Аналитическое решение задач ориентации и оптимального управления угловым движением твердого тела (космического аппарата) с использованием кватернионов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Молоденков, Алексей Владимирович

• Молоденков, Алексей Владимирович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Молоденков, Алексей Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.................................................6

ГЛАВА 1. КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОРИЕНТАЦИИ

ТВЕРДОГО ТЕЛА.................................39

1.1. Определение ориентации твердого тела по его угловой скорости и начальному угловому положению

в пространстве (задача Дарбу).......................39

1.1.1. Постановка задачи................................39

1.1.2. Приведение задачи Дарбу к удобной для

изучения форме..................................41

1.1.3. Решение задачи Дарбу на основе рекуррентных соотношений....................................47

1.1.4. Частные случаи решения задачи в замкнутой форме. . . .50

1.1.5. Точное решение приближенного уравнения Борца и построение на его основе алгоритма определения ориентации твердого тела (БИНС)...................54

1.2. Аналитическое решение кинематической задачи оптимального в смысле минимума энергетических затрат разворота твердого тела............................59

1.3. Выводы.........................................67

ГЛАВА 2. НОВЫЕ КЛАССЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА (КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА). . 70

2.1. Аналитическое решение задачи оптимального в смысле минимума энергетических затрат разворота сферически симметричного твердого тела (космического аппарата)

в классе конических движений......................70

2.1.1. Постановка задачи................................70

2.1.2. Переход к безразмерным переменным...............71

2.1.3. Применение принципа максимума...................71

2.1.4. Точное решение задачи в классе конических движений........................................73

2.1.5. Численный пример................................78

2.2. Аналитическое решение задачи оптимального по быстродействию разворота сферически симметричного твердого тела (космического аппарата)

в классе конических движений......................80

2.2.1. Постановка задачи................................80

2.1.2. Переход к безразмерным переменным...............80

2.2.3. Применение принципа максимума...................81

2.2.4. Точное решение задачи в классе конических движений........................................83

2.2.5. Численный пример................................87

2.3. Новый класс аналитических решений задачи оптимального разворота в случае осевой симметрии твердого тела (космического аппарата)...............89

2.3.1. Постановка задачи................................89

2.3.2. Переход к безразмерным переменным...............90

2.3.3. Замены переменных...............................90

2.3.4. Применение принципа максимума...................93

2.3.5. Построение условий трансверсальности..............95

2.3.6. Аналитическое решение задачи в классе

конических движений.............................98

2.3.7. Численный пример...............................101

2.4. Обобщение результатов и выводы.................104

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВОРОТА СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

(КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА) С ОГРАНИЧЕННЫМ

И ИМПУЛЬСНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ.............106

3.1. Постановка непрерывной задачи....................106

3.2. Замены переменных..............................107

3.3. Применение принципа максимума..................108

3.4. Численное решение задачи с ограниченным управлением .................................... 111

3.5. Переход к импульсной задаче......................113

3.6. Аналитическое решение задачи оптимального разворота

в импульсной постановке.........................117

3.7. Численные примеры решения задачи с импульсным управлением....................................124

3.8. Выводы........................................126

ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВОРОТА ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА (КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА) С ОГРАНИЧЕННЫМ И ИМПУЛЬСНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ

ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ.......................127

4.1. Постановка непрерывной задачи....................127

4.2. Замены переменных..............................128

4.3. Применение принципа максимума..................129

4.4. Численное решение задачи с ограниченным управлением....................................130

4.5. Переход к импульсной задаче......................135

4.6. Аналитическое решение задачи оптимального разворота

в импульсной постановке ......................... 140

4.7. Численные примеры решения задачи с импульсным управлением....................................145

4.8. Выводы........................................146

ГЛАВА 5. ОСОБЫЕ РЕЖИМЫ УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧАХ

ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА. . 148

5.1. Особые режимы управления в задаче оптимального

разворота сферически симметричного твердого тела. . 148

5.2. Особые режимы управления в задаче оптимального разворота в случае осевой симметрии...............156

5.3. Обобщение результатов и выводы..................160

ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТКЛОНЕНИЙ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ОСЕЙ КОСМИЧЕСКОГО МАНИПУЛЯЦИОННОГО КОМПЛЕКСА ОТ ИХ РАСЧЕТНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ ПО ДАННЫМ ОБ ОРИЕНТАЦИИ КОМПЛЕКСА В ПРОСТРАНСТВЕ..............................161

6.1. Описание космического платформенного комплекса "Аргус" проекта "Марс", его основные системы координат

и их взаимная ориентация........................163

6.2. Взаимная ориентация систем координат комплекса

с учетом юстировки...............................168

6.3. Постановка задачи юстировки комплекса............169

6.4. Решение задачи определения юстировочных параметров......................................170

6.5. О статистической обработке результатов и стендовых испытаниях.....................................176

6.6. Выводы........................................180

ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................182

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК..........................185

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитическое решение задач ориентации и оптимального управления угловым движением твердого тела (космического аппарата) с использованием кватернионов»

ВВЕДЕНИЕ

Задачам управления угловым движением космического аппарата (КА) посвящено большое количество публикаций как в России, так и за рубежом. Однако сложность стоящих здесь проблем, отсутствие общих аналитических решений и трудности численного решения дифференциальных краевых задач, к которым сводятся задачи оптимального управления пространственным движением КА, продолжают оставлять эту проблематику актуальной.

Построение управления угловым движением КА как твердого тела в традиционной постановке включает задачу построения программного углового движения (разворота), программного управления и задачу построения управления, стабилизирующего программное угловое движение в малом. Задача построения программного углового движения и программного управления во многих случаях решается с помощью методов теории оптимального управления. Аналитическое решение этой задачи для наиболее часто используемых функционалов оптимизации при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости КА не найдено даже в случае сферической симметрии КА, не говоря уже о его произвольной динамической конфигурации. Известны лишь некоторые частные случаи решения задачи (например, [1, 6, 10, 11, 39, 41, 46, 79, 109-111, 152]); поэтому в общем случае приходится рассчитывать лишь на приближенные аналитические или численные решения [12, 72, 101, 107, 132-138, 147, 152].

Следует также отметить, что задача оптимального пространственного разворота КА как твердого тела является одной из основных в классе задач, связанных с проблемой управления космическими аппаратами. Многочисленные примеры приложений задачи оптималь-

ного разворота включают в себя оптимальную (в том или ином смысле) переориентацию спутников связи, исследовательских КА, космических станций, а также перенацеливание космических платформ военного назначения (обзор S.L. Scrivener, R.C. Thompson [152]).

Как отмечено многими авторами, аналитическое решение задачи оптимального разворота в замкнутой форме, если бы оно было найдено, имело бы большой практический интерес. Решение задачи оптимального разворота, как правило [1, 10 - 12, 15, 16, 38, 47, 48, 79, 84, 101, 109 - 111, 119, 129-131, 136 - 138, 152 - 154], строится на основе принципа максимума Л.С. Понтрягина [82]. В результате применения необходимых условий принципа максимума исходная задача оптимального управления приводится к краевой задаче, численное решение которой (в случае отсутствия аналитического решения) достаточно трудоемко. Особенно эта проблема ощущается в случае оптимальных по быстродействию разворотов КА, когда может сложиться ситуация, при которой время, затрачиваемое на построение оптимальной программы, будет существенно больше, чем время быстродействия.

Одна из задач диссертационной работы - построение новых классов точных аналитических решений задачи оптимального разворота твердого тела (КА) в нелинейной пространственной постановке. Расширение классов аналитических решений задачи оптимального разворота КА (твердого тела) в замкнутой форме имеет не только теоретический, но и большой практический интерес, так как позволяет использовать на борту КА готовые законы программного управления и изменения оптимальной траектории углового движения КА.

В кватернионных нелинейных постановках рассматриваются задачи оптимальных разворотов КА как твердого тела со сферической

или осевой симметрией при произвольных граничных условиях по угловому положению КА для различных функционалов оптимизации (минимум энергетических затрат, быстродействие, комбинированный функционал). В случае задач со сферической симметрией КА с помощью принципа максимума Л.С. Понтрягина получены новые точные аналитические решения этих задач в классе конических движений [58, 62, 64, 70, 71, 87, 90, 92 - 95, 98, 100, 105, 106, 145, 146, 148, 150]. Траектория движения сферически-симметричного КА представляет собой регулярную прецессию, вектор оптимального управления перпендикулярен вектору угловой скорости КА. Сформулированы условия на модуль начального и вид конечного значений векторов угловой скорости КА, при которых допустимы аналитические решения задач в классе конических движений при произвольных граничных условиях по угловому положению КА. Векторы конечных значений угловой скорости КА должны принадлежать коническим поверхностям, порождаемым произвольно заданными постоянными условиями задач. В случае осевой симметрии, с помощью взаимно-однозначных замен переменных [56, 57, 97, 141] исходная задача оптимального разворота осесимметричного КА упрощается (в смысле динамических уравнений Эйлера) до задачи оптимального разворота твердого тела со сферическим распределением масс, содержащей одно дополнительное скалярное дифференциальное уравнение. Для этой задачи представлено новое точное аналитическое решение при произвольных граничных условиях по угловому положению КА в виде регулярной прецессии [97], при этом возникают ограничения на вид начального и конечного значений вектора угловой скорости. Следует отметить, что возможны обобщения этих решений по Я.Г. Сапункову. В классе обобщенных конических движений допустима модификация задач оптимальных разворотов, которая позволяет получить приближенные

аналитические решения задач оптимальных разворотов твердого тела (КА) произвольной динамической конфигурации при произвольных граничных условиях [63, 70 - 72, 91, 96 98, 104, 107, 145 - 147, 149, 150].

Еще одна проблема, рассматриваемая в диссертационной работе, - исследование актуальной задачи программного оптимального импульсного разворота КА при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости КА, построение и исследование аналитических решений этой задачи в случаях сферической и осевой симметрии КА.

Как правило, под задачей оптимального разворота имеют в виду классическую задачу оптимального управления Понтрягинского типа, в которой функция управления полагается кусочно-непрерывной. В действительности же во многих случаях управление КА может осуществляться импульсными воздействиями (например, посредством импульсных газовых двигателей). В этом случае траектория КА "склеивается" из участков более простого движения. Возможность нахождения аналитического решения задачи управления КА при этом значительно возрастает. В диссертационной работе предлагаются ква-тернионные аналитические решения задач импульсного разворота КА как твердого тела со сферической [52, 53, 65, 73, 140] и осевой симметрией [49, 54, 55, 66, 89, 141] при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости КА, реализующие двухимпульсные схемы управления.

Следующая группа задач диссертационной работы - аналитическое исследование особых режимов управления в задачах оптимальных в смысле комбинированного функционала качества разворотов твердого тела (КА) со сферической [59, 61, 67, 99, 102, 142], осевой

[68, 85, 143] и произвольной [69, 86, 88, 103, 144] динамической конфигурацией. Функционал качества является линейной сверткой двух критериев: времени и суммарного импульса управляющего момента, а вектор управляющего момента ограничен по модулю. После применения принципа максимума Л.С. Понтрягина в этих задах получаются выражения для оптимального управления, которые содержат активные, свободные и особые режимы. Особым режимом управления принято называть ситуацию, когда структура оптимального управления не определяется из гамильтониана, тогда переходят к дополнительному исследованию производных от функции Гамильтона-Понтрягина, фазовых и сопряженных переменных задачи. С использованием этого подхода показано, что в зависимости от соотношения между весовыми коэффициентами функционала качества, элементами тензора инерции КА, граничными условиями задачи и заданной величиной, ограничивающей модуль вектора управления КА, особые режимы управления в задачах возможны. Получены новые первые интегралы задач, справедливые для особых участков управления. В случае сферической симметрии твердого тела (КА) особый участок управления носит изолированный характер [67, 142]. В остальных случаях динамической конфигурации КА возможны переходы от участков активного и свободного движения КА к участкам особого режима управления и обратно [68, 69, 143, 144].

В общей постановке задачи оптимального пространственного разворота твердого тела (КА) движение объекта управления описывается двумя группами уравнений: динамическими уравнениями Эйлера и системой кинематических уравнений, записанных в тех или иных параметрах (углах Эйлера-Крылова, направляющих косинусах, параметрах Родрига-Гамильтона (Эйлера), Кейли-Клейна). Как отмечено,

например, В.Н. Кошляковым [28], В.Н. Бранцом, И.П. Шмыглевским [10], Ю.Н. Челноковым [117, 121], среди кинематических параметров, с помощью которых задается ориентация твердого тела, параметры Родрига-Гамильтона и Кейли- Клейна занимают особое место, так как имеют перед другими кинематическими параметрами известные аналитические и вычислительные преимущества. Благодаря этому аппарат параметров Родрига-Гамильтона и Кейли-Клейна (матричный и кватернионный) находит все более широкое применение в различных геометрических, кинематических и динамических задачах вращательного движения твердого тела (КА). Следует отметить, что в диссертационной работе все задачи оптимальных программных разворотов рассматриваются в кватернионных постановках.

Решение указанных выше уравнений движения объекта управления (при произвольном заданном векторе управляющего момента, компоненты которого образуют правую часть динамических уравнений Эйлера) не найдено в замкнутой форме даже для такого простого, но важного при решении задач оптимального управления движением КА случая, как вращение тела со сферической симметрией, при котором тензор инерции в уравнениях Эйлера становится шаровым. Таким образом, получение аналитического решения классической задачи оптимального разворота твердого тела (КА) в общем случае (при произвольных граничных условиях) упирается в нерешенность одной из фундаментальных проблем теоретической механики и теории дифференциальных уравнений - построения аналитического решения кинематических уравнений вращательного движения твердого тела и динамических уравнений Эйлера.

Отдельный, самостоятельный интерес в проблеме интегрирования данной дифференциальной системы имеет задача построения решения в замкнутой форме кватернионного кинематического уравне-

ния при произвольном заданном векторе угловой скорости. Данная задача широко известна в литературе и носит название задачи Дарбу [21, 35] по имени французского математика Dаrbоuх, который впервые занимался ею в общей постановке. Подход Дарбу, заключающийся в сведении с помощью замен переменных исходных уравнений к интегрированию нелинейного дифференциального уравнения типа Риккати с переменными коэффициентами, получил в последнее время свое максимальное развитие в работе Г.П. Сачкова и Ю.М. Харламова [108], где получен наиболее общий частный случай решения задачи, при котором на компоненты вектора угловой скорости накладывается определенное ограничение. Проблему интегрирования кинематических уравнений, как показано Ю.Н. Челноковым и другими авторами, можно также свести к проблеме интегрирования линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами [120].

Однако возможен альтернативный подход к решению задачи интегрирования кинематических уравнений в общем случае, основанный на методах теории приводимости. Кватернионное кинематическое уравнение эквивалентно линейной дифференциальной системе четвертого порядка с кососимметрической матрицей коэффициентов. Как показано Н.П. Еругиным [18], линейная дифференциальная система с кососимметрической матрицей коэффициентов относится к классу приводимых систем, то есть систем, для которых существуют замены переменных (преобразования Ляпунова), приводящие данные системы к системам с постоянными коэффициентами. Впервые определение приводимой системы дал А.М. Ляпунов [36]. В качестве примера приводимых систем он привел систему, где элементы матрицы коэффициентов являются периодическими функциями с одним периодом. Никаких общих соображений о приводимости систем А.М.

Ляпунов не высказал и других примеров не привел. Дальнейшее развитие теории приводимости и ее приложений для конкретных линейных дифференциальных систем принадлежит И.А.Лаппо-Данилевскому [30], Н.П. Еругину [18, 19], А.М. Шифнеру [125], В.А. Якубовичу [126], Ю.С. Богданову [7-9], Ф.И. Иванову [22], И.М. Са-лиховой и Г.В. Чеботареву [83, 115], В.В. Морозову [76, 77], В.Н. Ка-леновой и В.М. Морозову [25, 78], В.Ф. Ляшенко [37], В.Н. Кошляко-ву [27], В.Н. Бранцу и И.П. Шмыглевскому [10], П.К. Плотникову [80], Ю.Н. Челнокову [116, 121], а также М.-Т Wu [155-157], 1.М. Hоrоwitz, J.С. Dennison [155] и другим ученым.

Ряд известных частных случаев интегрируемости кинематических уравнений хорошо вписывается в теорию приводимости (например, случай конической прецессии, когда вектор угловой скорости обращается по круговому конусу вокруг некоторой оси и постоянен по модулю). Рассмотрения же задачи интегрирования кинематических уравнений в общем случае как системы линейных дифференциальных уравнений с кососимметрической матрицей коэффициентов в аспекте теории приводимости на основе вывода, сделанного Н.П. Еругиным, в литературе встречено не было. В диссертационной работе строятся преобразования, связанные с попыткой такого интегрирования кинематических уравнений. На основе этих преобразований получены новые частные случаи интегрируемости задачи Дарбу в замкнутой форме и точное решение приближенного уравнения Борца, которое используется при построении алгоритмов сверхбыстрого цикла для вычисления инерциальной ориентации твердого тела с помощью бесплатформенной инерциальной навигационной системы (БИНС) [42, 50, 51, 60, 74, 139].

Помимо кинематических и динамических задач управления ориентацией твердого тела существуют геометрические задачи определения ориентации твердого тела и их систем, где эффективно использование кватернионного метода описания углового движения твердого тела и алгебры кватернионов. Примером такой геометрической задачи является задача юстировки кинематических осей механизмов с вращательными сочленениями, имеющая важное прикладное значение, например, с точки зрения точности управления движением такими механизмами.

Так, на точность управления движением космического манипу-ляционного платформенного комплекса с вращательными сочленениями существенное влияние оказывают технологические погрешности изготовления, сборки и крепления комплекса на борту КА. Важными составляющими этих погрешностей являются угловые отклонения действительных положений осей вращения в сочленениях комплекса от их расчетных положений. Поэтому возникает необходимость в определении (юстировке) этих отклонений. В диссертационной работе рассматривается решение задачи юстировки космического манипуляционного комплекса "Аргус" проекта "Марс" (1992-1996 гг.) [3, 127], в кватернионной постановке на основе информации об абсолютном угловом положении выходного звена комплекса в пространстве [2, 47, 48, 122 - 124, 127, 128].

Следует также отметить, что разработанные в диссертации алгоритмы построения оптимальной программной угловой скорости твердого тела использовались при построении программных управлений и траекторий платформенного комплекса "Аргус" [20, 40, 47, 48, 127, 158].

Первая глава диссертационной работы, состоящая из двух частей, посвящена кинематической задаче ориентации твердого тела. Первая часть касается проблемы разрешимости в замкнутой форме задачи Коши для системы кинематических уравнений вращения твердого тела (проблеме Дарбу) в кватернионной постановке:

2Л•= Л о ю, (1)

Л(0) = Л 0, (2)

где Л - неизвестный кватернион, описывающий ориентацию твердого тела, w(t) - вектор угловой скорости твердого тела, рассматриваемый как некоторая заданная непрерывно-дифференцируемая векторная функция скалярного аргумента (времени t), записанная в связанной с твердым телом системе координат, точка означает дифференцирование по времени t, "o" - кватернионное произведение.

В пункте 1.1.2 диссертации кватернионное уравнение вращательного движения твердого тела (1) с произвольной угловой скоростью w(t) сведено с помощью предложенных замен переменных (преобразований вращения и замены независимой переменной) к удобной для изучения форме

2dU/ dr= U о w, (3)

w = f (r)(-i1 sin г+ i2 cos г), где U(r) - новая зависимая переменная, связанная с Л^) преобразованиями вида Л^) = U(t) о V(t), а dt¡dr= g(t) (V(t) - задаваемый кватернионный оператор преобразования вращения, g(t) - известная скалярная функция времени); f(г) - некоторая явная скалярная функция новой независимой переменной г.

Кватернионный коэффициент w в полученном уравнении имеет смысл вектора угловой скорости вращения некоторой введенной сис-

темы координат, но, в отличие от произвольного переменного вектора ) в исходном уравнении, вектор w, оставаясь, в общем случае, переменным по модулю, совершает вполне определенное движение -вращается в плоскости (ц, i 2) вокруг оси i 3 (данное движение является частным случаем конической прецессии).

Отмечены некоторые интересные факты, возникающие в связи с изучением проблемы интегрируемости полученного кватернионного кинематического уравнения.

На основе еще одной группы замен переменных указанных выше типов исходное кинематическое уравнение приводится к уравнениям

йт= и! о w1, (4)

w1 = f (г)(- ^т(г/2)+ i 2cos(r/2))+ i 3/2

или

2^и2/йт= и2 о w2, (5)

w 2 = f (г)(- i 2^г)-2i 3,

где и1(г ), и2(т )- новые зависимые переменные, связанные с и(г).

Нахождение решений полученных кватернионных дифференциальных уравнений (линейных дифференциальных систем) по-прежнему остается трудной задачей. Однако уравнения, отличающиеся от уравнений (4), (5) только знаком правой части

2dу1/ йф=-у1 о w1, (6)

или коэффициентом "1/2"

2dу2/dф= у2 оw2/2, (7)

в диссертационной работе решены в замкнутой форме.

Обсуждается проблема существования связи между решениями

уравнений 2Л* = Л о ю и 2 у * = -у о ш в случае произвольного вектора ю(?). Показана связь решений для случаев, когда вектор угловой

скорости имеет не более двух компонент или является постоянным по направлению:

если w(t) = a1(t)i 1+a2(t)i2, то Л о i3 о у = C1 = const;

если w(t) = a2(t)i2+a3(t)i3, то Л о i1 о у = C2 = const; если w(t) = a1(t)i 1 +®3(t)i3, то Л о i2 о у = C3 = const;

если w(t) = q(t)w*, q(t)-произвольная функция переменной t,

w* = ¿y*i 1 + щ* i2 + iз = const, то и Л^) и y(t) выражаются как 1 1

exp(—w*{q(r)dr), где"ехр(.)"- кватернионная экспонента. 2 о

В пункте 1.1.3 получен новый частный случай интегрируемости кватернионного кинематического уравнения 2Л* = Л о Q(t) в замкнутой форме, когда вектор угловой скорости твердого тела Q(t) имеет вид:

т2тл-т2тл , . . . ) (8)

2. 2 ^ ' "

П =Т~2-2V„ 2-2Т12-1 + ®2 . 2 + Щ 3)

(щ + co^)(k(щ + ¿У2Т - (о3)

где C0j = C0j ^), } = 1, 3- некоторые дифференцируемые функции времени, подчиненные условию

(с2 + С22)( к (с2 + с|)1/2 - с3) ф 0, Vt. (9)

к - произвольная постоянная.

Следует отметить, что в отличие от известных случаев интегрируемости кинематических уравнений в замкнутой форме, где накладываются жесткие ограничения на направление вектора угловой скорости (например, постоянное направление, коническая прецессия или случай Г.П. Сачкова и Ю.М. Харламова [108]), в найденном частном случае вектор угловой скорости ) имеет произвольное направление (за исключением случаев, когда не выполняется условие (9)). Интегрируемость кватернионного кинематического уравнения в замкну-

той форме, тем самым, достигается только за счет требования, накладываемого на величину вектора угловой скорости твердого тела.

Также в п. 1.1.3 представлен целый ряд новых частных случаев разрешимости задачи Дарбу в явном виде, когда накладываются ограничения на направление вектора угловой скорости.

Из-за отсутствия на настоящий момент точного решения задачи Дарбу, продолжает быть актуальным построение новых высокоэффективных алгоритмов функционирования БИНС, реализующих интегрирование на бортовом вычислителе движущегося объекта в реальном масштабе времени дифференциальных уравнений ориентации по информации чувствительных элементов БИНС.

С использованием результатов п.п. 1.1.3, 1.1.4 в п. 1.1.4 диссертации, на основе полученного точного решения приближенного уравнения Борца [151] относительно вектора ориентации твердого тела ) (справедливом при малых эйлеровых углах поворота твердого

тела р , ф = ре, |е| = 1)

где "[ . , . ]" обозначает векторное произведение, для вектора угловой скорости твердого тела w(t) типа (5), приближенно решена с помощью квадратур задача определения ориентации твердого тела при произвольном векторе угловой скорости и малом угле поворота твердого тела. Исходя из этого решения, предложен следующий подход к построению алгоритма БИНС для вычисления ориентации движущегося объекта:

1) по заданным компонентам вектора угловой скорости ю(?) твердого тела в каждый момент времени t вычисляются функции ), ) по формулам

ф = w + [ф, w ]/2,

(10) (11)

ф(0) = 0,

v(t )= sin (j^ (r)dr)b2 + cos(j(0®1 (r)drjb3,

j(t) = cos(j(®i (r)dr)^2 - sin(j^^i (r)dr)®3;

2) по вычисленным v(t), j(t) определяется вектор w(t) типа (5):

w(t) = j(t)(- i1 sin (j^ (t )dr)+ i 2 cos(j((«1 (t )dr))- 2i 3v(t);

3) используя вектор w(t) и начальное положение твердого тела Л0, находим точное решение приближенного уравнения Борца (10) с начальным условием (11):

Ф^) = ехр( 2 j0 ¡л(т)<Лт/4) о ехр(- i 3 j0 v(r)dT/2),

~ t ~ ~ ф = К о Ф^) о jФ(г) о w о Ф(г)^Г о Ф^) о К , К = Л0 о (-i2) ;

0

4) по вектору ориентации ф(t) определяем компоненты кватерниона U(t):

и0 = cos(^/2), и1 = cos(^/2),

и2 = sin(^/2)e2, и3 = sin(^/2)e3, ф = ^e, |e| = 1;

5) находим приближенное значение кватерниона ориентации твердого тела (БИНС) Лприбл

Лприбл = U о Л0 о (-i2) о (- Í1 sin(j0v(t)dT)+ i2 cos(j(v(T)dT))о

о exp(i 3 j0v (t )dT /2) о exp(i1 j0 0)1 (r)tfr /2). Тем самым задача определения ориентации твердого тела при малых углах поворота решена с помощью квадратур.

Отметим, что при построении алгоритма ориентации БИНС на каждом последующем шаге алгоритма m кватернион К следует выбирать в виде Кm = Лm-1 о (-i2). Тогда начальное значение по переменной ф каждый раз будет нулевым. Аналогичные результаты могут быть получены и для дифференциального уравнения относительно вектора конечного поворота твердого тела.

Как отмечено В.Н. Бранцом и И.П. Шмыглевским [10], задача оптимального пространственного разворота твердого тела (КА) может рассматриваться в кинематической и динамической постановках. Под кинематической задачей пространственного разворота твердого тела понимается задача управления угловым движением твердого тела, когда управляющей функцией является вектор угловой скорости твердого тела, а объект управления описывается кинематическим уравнением (1). Такая постановка задачи не учитывает того факта, что в действительности движение твердого тела (КА) описывается также и динамическими уравнениями Эйлера и что в качестве функции управления выступают величины моментов, действующих на тело. Тем не менее, кинематическая задача пространственного разворота имеет не только теоретический, но и практический интерес. Например, в случае управления ориентацией КА по своей динамической конфигурации близкого к сферической симметрии с помощью вращающихся маховиков построение необходимых законов изменения вектора кинетического момента маховиков включает в себя построение вектора требуемой абсолютной угловой скорости КА на основе теории кинематического управления угловым движением твердого тела. Другим примером практического применения кинематической задачи управления служит синтез законов изменения вектора требуемой угловой скорости трехосной стабилизированной платформы космического орбитального комплекса "Аргус" проекта "Марс", проводимый на основе теории кинематического управления угловым движением твердого тела.

Отличительной особенностью кинематической задачи оптимального разворота является то, что она для ряда минимизируемых функционалов, определяющих качество переходных процессов, решается на основе принципа максимума Л.С. Понтрягина аналитиче-

ски до конца в силу самосопряженности системы дифференциальных уравнений объекта управления. В литературе (В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский [10], Д.В. Лебедев, А.И. Ткаченко [31], Н.А. Стрелкова, В.В. Маланин [38]) хорошо изучена задача оптимального по быстродействию кинематического разворота твердого тела.

Во второй части главы 1 представлено аналитическое решение задачи оптимального в смысле минимума энергетических затрат кинематического программного разворота КА (твердого тела) в кватер-нионной постановке:

2Л•= Л о ю, (12)

3

где вектор w(t) = Z®k (t)i k определяет угловую скорость КА и являет-

k=1

3

ся функцией управления, кватернион Л^) = ^(t) +^Ä(t)i k опреде-

k=1

ляет угловое движение КА и предполагается нормированным, то есть

II и 3 2

Л = ZA = 1; функции Л^), w(t) подчинены требованиям задачи

k=0

Понтрягинского типа (Л(t) - непрерывна, w(t) - кусочно-непрерывна).

На модуль вектора управления наложено ограничение

|ю| <Ю0, О)0 = const. (13)

Заданы граничные условия по угловому положению КА

Л(0) = Л0, Л(T) = ЛT. (14)

Требуется определить оптимальное управление юопт системой (12) при ограничении на управление (13) и граничных условиях (14), доставляющее минимум критерию энергозатрат

J = j"T (ю? + ю22 +a])dt; (15)

время переходного процесса Т фиксировано.

На основе принципа максимума получены явные выражения, определяющие оптимальную траекторию

Л onT(t ) = Л о (cos(| c v|t ) - ctg (| c vT ) sin(| c v|t )) + Ar sin(| c v|t )/sm(| c V|T ), где |cv| = -1arccos[sca/(AT о Ло)], и оптимальное управление

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Молоденков, Алексей Владимирович, 2017 год

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Алексеев К.Б. Экстенсивное управление ориентацией космических летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1977. 121 с.

2. Алешин И.Н., Батурин В.В., Молоденков А.В., Пейсахович Г.А., Садомцев Ю.В., Уткин Г.В., Челноков Ю.Н. Управление движением космического платформенного комплекса. V. Алгоритмы юстировки комплекса // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2002. № 3. С.132-139.

3. Батурин В.В., Пейсахович Г.А., Рудаков Р.Н., Садомцев Ю.В., Уткин Г.В., Федосеев С.В., Челноков Ю.Н. Управление движением космического платформенного комплекса. I. Математическая модель комплекса // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2001. № 4. С. 153-160.

4. Бебенин Г.Г., Скребушевский Б.С., Соколов Г.А. Системы управления полетом космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1978. 270 с.

5. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. 368 с.

6. Бирюков В.Г., Молоденков А.В., Челноков Ю.Н. Оптимальное управление ориентацией космического аппарата с использованием в качестве управления вектора кинетического момента // Математика. Механика. Сб. научн. трудов. Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 171-173.

7. Богданов Ю.С. О нормальных системах А.М. Ляпунова //ДАН СССР. 1947. Т. 57. С. 215-217.

8. Богданов Ю.С. К теории систем линейных дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1955. Т.104. С.813-814.

9. Богданов Ю.С., Чеботарев Г.Н. О матрицах, коммутирующих со своей производной // Изв. вузов. Математика. 1959. N4 С.27-37.

10.Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. 320 с.

11.Бранец В.Н., Казначеев Ю.В., Черток М.Б. Оптимальный разворот твердого тела с одной осью симметрии // Космич. исслед. 1984. Т.22. Вып. 3. С.352-360.

12.Бутырин С.А. Оптимальный по энергии пространственный разворот твердого тела при ограниченных управлениях // Проблемы аналитической механики, устойчивости и управления движением: Сб. научн. трудов. Новосибирск, СО АН СССР: Наука, 1991. С. 212-220.

13.Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

14.Гончарский А.В., Черепащук А.М., Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. М.: Наука, 1978.

15.Гуляев В.И., Кошкин В.Л., Савилова И.В. Оптимальное по быстродействию управление трехосной ориентацией твердого тела при ограниченных параметрах управления // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1986. N5. С. 11-15.

16.Гурман В.И., Лавровский Э.К., Сергеев С.И. Оптимальное управление ориентацией осесимметричного вращающегося космического аппарата //Космич. исслед. 1970. Т.8. Вып.3. С.341-349.

17.Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам для персональных ЭВМ. М.: Наука, 1987. 240 с.

18.Еругин Н.П. Приводимые системы // Труды МИАН им. В.А. Стеклова. М., 1947. Т.13. С.1-95.

19.Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Минск: Изд-во АН БССР. 1963. 272 с.

20.Зубенко Г.И., Молоденков А.В., Пейсахович Г.А , Садомцев Ю.В., Уткин Г.В., Федосеев С.В., Челноков Ю.Н. Управление движением космического платформенного комплекса. II. Алгоритмы ориентации, наведения и программного управления// Изв. РАН. Теория и системы управления. 2001. N 5. С. 159-167.

21.Зубов В.И. Аналитическая динамика гироскопических систем. Л.: Судостроение, 1970. 317 с.

22.Иванов Ф.И. О коммутативных матрицах //Тр. кораблестроит. института. Л. 1962. Вып. 40. С.111-116.

23.Иванова Е.А. Об одном подходе к решению задачи Дарбу// Изв. РАН Механика твердого тела.. 2000. № 1. С. 45-52.

24.Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов. М.: Наука, 1976.

25.Каленова В.И., Морозов В.М. О применении методов теории приводимости к некоторым задачам динамики гироскопических систем // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1987. N 1. С.8-14.

26.Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. 576 с.

27.Кошляков В.Н. О приводимости уравнений движения гирогори-зонткомпаса //Прикл. математ. и механ. 1961. Т.25. Вып. 5. С. 801-805.

28. Кошляков В.Н. О применении параметров Родрига - Гамильтона и Кейли - Клейна в прикладной теории гироскопов // Прикл. математ. и механ. 1965. Т.29. Вып. 4. С. 729-733.

29.Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1973. 400 с.

30.Лаппо-Данилевский И.А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1957. 456 с.

31. Лебедев Д.В., Ткаченко А.И. Системы инерциального управления. Алгоритмические аспекты. Киев: Наукова думка. 1991. 208с.

32. Лебедев Д.В. Управление ориентацией твердого тела с использованием параметров Родрига-Гамильтона // Автоматика. 1974. N 4. С. 29-32.

33. Лебедев Д.В. К задаче управления ориентацией твердого тела // Прикл. механика. 1976. Т.12. Вып. 2. С.76-82.

34.Левский М.В. Оптимальное управление переориентацией космического аппарата, совмещенное с коррекцией его орбиты //Космич. исслед. 1998. Т.36. Вып. 2. С.189-199.

35.Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824с.

36.Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Л.,М.: ОНТИ, 1935. 386 с.

37.Ляшенко В.Ф. О приводимости уравнений движения гирогори-зонткомпаса и двухгироскопической вертикали //Прикл. матем. и механ. 1962. Т.26. Вып.2. С. 369-372.

38.Маланин В.В., Стрелкова Н.А. Оптимальное управление ориентацией и винтовым движением твердого тела. Москва; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2004. 204 с.

39.Молоденков А.В. Кватернионное решение динамической задачи оптимального разворота твердого тела со сферическим распределением масс // Гироскопические системы и их элементы: Тр. Всерос. научно-технич. конф. Саратов: Изд-во СПИ. 1992. С. 5.

40.Молоденков А.В. Кватернионное решение кинематической задачи оптимального разворота. СФ ИМАШ РАН. Саратов, 1994. 9 с. Деп. в ВИНИТИ N 245-В95 от 26.01.95.

41. Молоденков А.В. Кватернионное решение задачи оптимального в смысле минимума энергетических затрат разворота твердого тела // Проблемы механики и управления: Сб. научных трудов. Пермь: Изд-во ПГУ,1995. С.122-131.

42.Молоденков А.В. Построение общего решения одного кватер-нионного дифференциального уравнения. ИПТМУ РАН. Саратов, 1996. 6с. Деп. в ВИНИТИ N 2644-В96 от 08.08.96.

43.Молоденков А.В. О числе переключений оптимального управления в задаче оптимального по быстродействию разворота сферически симметричного твердого тела при произвольных граничных условиях // Проблемы и перспективы прецезионной механики и управления в машиностроении: Сб. трудов между-нар. конф. Саратов: Изд-во СГУ. 1997. С.90.

44.Молоденков А.В. Решение задачи оптимального разворота сферически симметричного КА с ограниченной и импульсной тягой при произвольных граничных условиях // Бортовые интегрированные комплексы и современные проблемы управления: Сб. трудов междунар. конф. М,: Изд-во МАИ, 1998. С.53-59.

45.Молоденков А.В. Решение задачи оптимального разворота сферически симметричного КА с ограниченной и импульсной тягой при произвольных граничных условиях // Проблемы теории, конструкции, проектирования и эксплуатации ракет: Тр. постоянно действ. научно - технич. семинара. Вып. 32. Академия военных наук. Саратов: Изд-во ВАУ, 2000. С.57-58.

46.Молоденков А.В. Решение задачи оптимального разворота сферически симметричного космического аппарата для одного

частного случая // Сб. трудов 6-й Междунар. конф. «Системный анализ и управление космическими комплексами». Крым, Евпатория. М.: МАИ, 2001. С.42.

47.Молоденков А.В. Кватернионное решение задач оптимальной переориентации сферически симметричного твердого тела (космического аппарата). Автореф. дис. канд. технич. наук. Специальность 05.13.01. Саратов, 2001. 23 с.

48.Молоденков А.В. Кватернионное решение задач оптимальной переориентации сферически симметричного твердого тела (космического аппарата). // Дис. канд. технич. наук. Саратов, 2001. 136 с.

49.Молоденков А.В. Аналитическое решение импульсной задачи оптимального разворота осесимметричного космического аппарата// Сб. трудов Междунар. конф. «Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении». ИПТМУ РАН. Саратов, 2002. С.99.

50.Молоденков А.В. Об определении ориентации твердого тела по его угловой скорости // Вестник Саратовского гос. технич. университета. 2007. №1. С. 67-73.

51.Молоденков А.В. К решению задачи Дарбу // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2007. №2. С.3-13.

52.Молоденков А.В., Сапунков Я.Г. Аналитический алгоритм решения импульсной задачи оптимального разворота сферически симметричного КА при произвольных граничных условиях // Системный анализ и управление космическими комплексами. Исследование и освоение космоса в наступающем веке: Сб. трудов 5-й междунар. конф. М.: Изд-во МАИ, 2000. С.31.

53.Молоденков А.В., Сапунков Я.Г. Аналитическое решение импульсной задачи оптимального разворота КА // Математика.

Механика: Сб. научн. трудов. Саратов: Изд-во СГУ, 2000. С.171-172.

54.Молоденков А.В., Сапунков Я.Г. Аналитическое решение импульсной задачи оптимального разворота динамически симметричного КА // Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов. Тр. 5 междунар. конф. Ульяновск, 2003. Изд-во УлГУ. С.134-135.

55.Молоденков А.В., Сапунков Я.Г. Аналитическое решение импульсной задачи оптимального разворота космического аппарата при произвольных граничных условиях // Сб. научн. тр. "Проблемы точной механики и управления". ИПТМУ РАН. Саратов, 2004 г. С. 113-119.

56. Молоденков А.В., Сапунков Я.Г. Решение задачи оптимальной переориентации осесимметричного вращающегося космического аппарата с импульсным управлением // Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении: Материалы Междунар. конф. / ИПТМУ РАН. Саратов: Изд-во СГТУ, 2006. С.60-68.

57.Молоденков А.В., Сапунков Я.Г. Решение задачи оптимального разворота космического аппарата с ограниченным и импульсным управлением при произвольных граничных условиях // IX Всероссийский съезд теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Т.1. Н-Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2006. С. 90.

58.Молоденков А.В., Сапунков Я.Г. О новом частном случае аналитического решения оптимального разворота сферически симметричного космического аппарата // Сб. тез. докл. 8 Междуна-

родной конференции «Авиация и космонавтика-2009». М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2009. С. 41-42.

59.Молоденков А.В., Сапунков Я.Г Особые режимы управления в задаче оптимального разворота космического аппарата и их приложения // Х Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Т. 2. Н-Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2011.

60.Молоденков А.В., Сапунков Я.Г., Молоденкова Т.В. Точное решение приближенного уравнения Борца и построение на его основе кватернионного алгоритма ориентации БИНС // Тез. докладов 14-ой междунар. конф. «Авиация и космонавтика-2015» М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2015.. С. 431-433.

61.Молоденков А.В., Сапунков Я.Г. Особые режимы управления в задаче оптимального разворота космического аппарата и их приложения // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4 (2). С.237-238.

62.Молоденков А.В., Сапунков Я.Г. Новый класс аналитических решений в задаче оптимального разворота сферически симметричного твердого тела // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2012. № 2. С.16-27.

63.Молоденков А.В., Сапунков Я.Г. Решение задачи оптимального разворота сферически симметричного твердого тела при произвольных граничных условиях в классе обобщенных конических движений // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2014. № 5. С.22-34.

64.Молоденков А.В., Сапунков Я.Г. Аналитическое решение задачи оптимального в смысле комбинированного функционала разворота твердого тела в классе конических движений // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2016. №2. С. 3-16.

65.Молоденков А.В., Сапунков Я.Г. Решение задачи оптимального разворота сферически симметричного космического аппарата с ограниченным и импульсным управлением при произвольных граничных условиях // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2004. № 2. С.185-196.

66.Молоденков А.В., Сапунков Я.Г. Решение задачи оптимального разворота осесимметричного космического аппарата с ограниченным и импульсным управлением при произвольных граничных условиях // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2007. №2. С.90-105.

67.Молоденков А.В., Сапунков Я.Г. Особый режим управления в задаче оптимального разворота сферически-симметричного космического аппарата // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2009. № 6. С. 47-54.

68.Молоденков А.В., Сапунков Я.Г. Особый режим управления в задаче оптимального разворота осесимметричного космического аппарата // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2010. № 6. С. 61-69.

69.Молоденков А.В., Сапунков Я.Г. Особый режим управления в задаче оптимального разворота произвольного твердого тела (космического аппарата) // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2012. № 2. С. 145-152.

70.Молоденков А.В., Сапунков Я.Г. Аналитическое решение задачи оптимального разворота сферически-симметричного космического аппарата в классе конических движений // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2013. № 3. С. 167-176.

71.Молоденков А.В., Сапунков Я.Г. Аналитическое решение задачи оптимального по быстродействию разворота сферически-симметричного космического аппарата в классе конических

движений // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2014. № 2. С. 13-24.

72.Молоденков А.В., Сапунков Я.Г. Аналитическое приближенное решение задачи оптимального разворота космического аппарата при произвольных граничных условиях // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2015. № 2. С. 170-180.

73.Молоденков А.В., Сапунков Я.Г. Решение задачи оптимальной переориентации вращающегося сферически симметричного космического аппарата с импульсным управлением // Мехатро-ника, автоматизация, управление. 2007. № 10. С. 63. Управление и информатика в авиакосмических системах (приложение к журналу «Мехатроника, автоматизация, управление»). № 10. С.18-24.

74.Молоденков А.В., Сапунков Я.Г, Молоденкова Т.В. Точное решение приближенного уравнения Борца и построение на его основе кватернионного алгоритма определения ориентации БИНС // Мехатроника, автоматизация, управление. 2016. Том 17. № 5. С. 335-340.

75.Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975. 528 с.

76.Морозов В.В. О коммутативных матрицах // Учен. зап. Казан. ун-та. 1952. Т.112. Кн.9. С.17-20.

77.Морозов В.В. Об одной задаче Н.П. Еругина // Изв. вузов. Математика. 1959. N 5. С. 171-173.

78.Морозов В.М., Каленова В.И. Оценивание и управление в нестационарных линейных системах. М.: Изд-во МГУ, 1988. 142с.

79.Петров Б.Н., Боднер В.А., Алексеев К.Б. Аналитическое решение задачи управления пространственным поворотным маневром // ДАН СССР. 1970. Т.192. N 6. С. 1235-1238.

80.Плотников П.К. Измерительные гироскопические системы. Саратов: Изд-во СГУ, 1976. 168 с.

81.Плотников П.К., Челноков Ю.Н. Применение кватернионных матриц в теории конечного поворота твердого тела //Сб. научн.-методич. статей по теоретич. механ. М.: Высшая школа, 1981. Вып. 11. С. 122-129.

82.Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1969. 384 с.

83.Салихова И.М., Чеботарев Г.Н. О разрешимости в конечном виде некоторых систем линейных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1960. N 3. С.230-234.

84. Сапунков Я.Г., Молоденков А.В., Глазков К.А. Оптимальное управление угловым движением твердого тела с учетом сил сопротивления // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 216-220.

85.Сапунков Я.Г., Молоденков А.В. Исследование особого режима управления в задаче оптимального разворота осесимметричного космического аппарата // Сб. тез. докл. 14 Международной научной конференции "Системный анализ, управление и навигация". М: Изд-во МАИ. 2009. С. 108-110.

86.Сапунков Я.Г., Молоденков А.В. Исследование особого режима управления в задаче оптимального разворота космического аппарата произвольной динамической конфигурации// Сб. тез. докл. 15 Международной научной конференции "Системный анализ, управление и навигация". М: Изд-во МАИ. 2010. С.62-64.

87. Сапунков Я.Г., Молоденков А.В. О новом классе аналитических решений в задаче оптимального разворота космического аппа-

рата // Материалы 7-й научно-технической конференции "Меха-троника, автоматизация, управление (МАУ-2010)". СПб.: Изд-во ОАО "Концерн "ЦНИИ "Электроприбор", 2010. С. 337-340.

88.Сапунков Я.Г., Молоденков А.В. Об особом режиме управления в задаче оптимального разворота космического аппарата // Материалы 4-ой Всероссийской мультиконференции по проблемам управления. Том 2. Таганрог. Изд-во ТГУ ЮФО. 2011. С. 393395.

89. Сапунков Я.Г., Молоденков А.В. Решение задачи оптимального разворота космического аппарата произвольной динамической конфигурации с ограниченным и импульсным управлением// Сб. тез. докл. 16 Международной научной конференции "Системный анализ, управление и навигация". М: Изд-во МАИ.

2011. С.65-66.

90. Сапунков Я.Г., Молоденков А.В Аналитическое решение задачи оптимального разворота сферически симметричного космического аппарата в классе конических движений //Труды 17-й ме-ждунар. конф. «Системный анализ, управление и навигация». М.: Изд-во МАИ, 2012. С. 60-61.

91.Сапунков Я.Г., Молоденков А.В. Решение модифицированной задачи оптимального разворота сферически симметричного космического аппарата // Тез. докладов 11-ой междунар. конф. «Авиация и космонавтика-2012» М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ,

2012.

92. Сапунков Я.Г., Молоденков А.В. Новый класс аналитических решений в задаче оптимального разворота сферически-симметричного космического аппарата // Материалы Всероссийской научной конф. с междунар. участием «Проблемы кри-

тических ситуаций в точной механике и управлении». Саратов. ООО Изд. Центр «Наука». 2013. С. 308-312.

93.Сапунков Я.Г., Молоденков А.В Аналитическое решение задачи оптимального по быстродействию разворота сферически симметричного космического аппарата в классе конических движений //Труды 18-й междунар. конф. «Системный анализ, управление и навигация». М.: Изд-во МАИ, 2013. С. 60-61.

94.Сапунков Я.Г., Молоденков А.В. Аналитическое решение задачи оптимального разворота сферически-симметричного космического аппарата в классе конических движений (комбинированный функционал) // Тез. докладов 12-ой междунар. конф. «Авиация и космонавтика-2013» » СПб.: Изд-во Мастерская печати, 2013. С. 603-606.

95. Сапунков Я.Г., Молоденков А.В. Аналитическое решение задачи оптимального в смысле комбинированного функционала разворота космического аппарата в классе конических движений //Труды 19-й междунар. конф. «Системный анализ, управление и навигация». М.: Изд-во МАИ, 2014. С. 71-73.

96.Сапунков Я.Г., Молоденков А.В. Аналитическое приближенное решение задачи оптимального разворота космического аппарата при произвольных граничных условиях // Тез. докладов 13-ой междунар. конф. «Авиация и космонавтика-2014» М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2014.

97.Сапунков Я.Г., Молоденков А.В. Аналитическое решение задачи оптимального разворота осесимметричного космического аппарата в классе конических движений // XX международная научная конференция «Системный анализ, управление и навигация»: Тезисы докладов. Сборник. - М.: Изд-во МАИ, 2015. С. 155-157.

98.Сапунков Я.Г., Молоденков А.В. Аналитическое решение задачи оптимального разворота космического аппарата в классе конических движений // Аннотации докладов XI Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Казань. 2015 г. С. 247-248.

99.Сапунков Я.Г., Молоденков А.В. Скользящий режим управления в задаче оптимальной переориентации космического аппарата // Вестник Саратовского гос. технич. ун-та. 2009. №4(42). С.10-15.

100. Сапунков Я.Г., Молоденков А.В. Решение задачи оптимального в смысле минимума энергетических затрат разворота космического аппарата в классе конических движений // Вестник Саратовского гос. технич. ун-та. 2013. №2 (70). Выпуск 1. С. 42-48.

101. Сапунков Я.Г., Молоденков А.В. Численное решение задачи оптимальной переориентации вращающегося космического аппарата // Мехатроника, автоматизация, управление. 2008. № 6. Автоматическое и автоматизированное управление летательными аппаратами (приложение к журналу «Мехатроника, автоматизация, управление»).2008. № 6. С.10-15.

102. Сапунков Я.Г. Молоденков А.В. Аналитическое исследование особого режима управления в задаче оптимального разворота космического аппарата // Мехатроника, автоматизация, управление. 2008. № 11. Управление и автоматика в авиакосмических системах (приложение к журналу «Мехатроника, автоматизация, управление»). 2008. № 11. С.12-17.

103. Сапунков Я.Г., Молоденков А.В. Исследование особого режима управления в задаче оптимального разворота произвольного твердого тела (космического аппарата) // Мехатроника, автоматизация, управление. 2011. № 4. С. 67-70.

104. Сапунков Я.Г., Молоденков А.В. Решение модифицированной задачи оптимального разворота космического аппарата // Меха-троника, автоматизация, управление. 2012. № 11. С. 66-70.

105. Сапунков Я.Г., Молоденков А.В. Алгоритм оптимального по быстродействию разворота космического аппарата в классе конических движений // Мехатроника, автоматизация, управление. 2013. № 10. С. 66-70.

106. Сапунков Я.Г., Молоденков А.В. Алгоритм оптимального в смысле комбинированного функционала разворота космического аппарата в классе конических движений // Мехатроника, автоматизация, управление. 2014. № 7. С. 67-72.

107. Сапунков Я.Г., Молоденков А.В. Алгоритм оптимального по энергии разворота космического аппарата при произвольных граничных условиях // Мехатроника, автоматизация, управление. 2015. Том 16. № 8. С.536-544.

108. Сачков Г.П., Харламов Ю.М. Об интегрируемости кинематических уравнений вращения // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1991. N 6. С.11-15.

109. Сиротин А.Н. Оптимальное управление переориентацией симметричного твердого тела из положения покоя в положение покоя // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1989. № 1. С. 36-43.

110. Сиротин А.Н. Об оптимальной по быстродействию пространственной переориентации в положение покоя вращающегося сферически-симметричного твердого тела // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1997. № 3. С. 18-27.

111. Стрелкова Н.А. Об оптимальной переориентации твердого тела // Проблемы механики управляемого движения. Нелиней-

ные системы: Сб. научн. трудов. Пермь: Изд-во ПГУ, 1990. С. 115-133.

112. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

113. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 488 с.

114. Харламов Е.И., Горр Г.В. О безнутационных движениях твердого тела, имеющего неподвижную точку // Киев: Механика твердого тела. 1976. Вып. 8. С. 23-31.

115. Чеботарев Г.Н. О решении матричного уравнения ав аС = ав+С // ДАН СССР. 1954. Т. 96. 1954. С.1109-1112.

116. Челноков Ю.Н. Об определении ориентации объекта в параметрах Родрига-Гамильтона по его угловой скорости // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1977. N 3. С. 11-20.

117. Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные методы в задачах механики твердого тела и материальных систем // Дис. докт. физ.-мат. наук. Саратов, 1986. 339 с.

118. Челноков Ю.Н. Об осцилляторном и ротационном движениях одного класса механических систем// Изв. АН СССР. Механика твердого тела.. 1989. № 1. С. 28-35.

119. Челноков Ю.Н. Кватернионное решение кинематических задач управления ориентацией твердого тела: уравнения движения, постановка задач, программное движение и управление // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1993. N 4. С.7-14.

120. Челноков Ю.Н. Кватернионы и связанные с ними преобразования в динамике симметричного твердого тела. Ч.2.//Изв. РАН. Механика твердого тела.. 1998. С.3-18.

121. Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения. Геометрия и кинематика движения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 512 с.

122. Челноков Ю.Н., Молоденков А.В. Технология повышения точностных характеристик роботов-манипуляторов на примере юстировки космического платформенного комплекса «Аргус» проекта «Марс»// Сб. научн. тр. «Высокие технологии - путь к прогрессу». Изд-во «Научная книга». Саратов, 2003. С.190-195.

123. Челноков Ю.Н., Молоденков А.В., Батурин В.В., Пейсахович Г.А, Уткин Г.В., Алешин И.Н. Определение отклонений кинематических осей манипуляционного комплекса "Аргус" проекта "Марс" от их расчетных положений // Робототехника в экстремальных условиях: Сб. трудов 7-ой Всерос. конферен. СПб: Изд-во ЦНИИ РТК, 1996. С. 196-203.

124. Челноков Ю.Н., Молоденков А.В., Батурин В.В., Пейсахович Г.А, Уткин Г.В., Алешин И.Н. Определение отклонений кинематических осей манипуляционного комплекса "Аргус" проекта "Марс" от их расчетных положений по информации об абсолютном угловом положении платформы в пространстве // Проблемы и перспективы прецезионной механики и управления в машиностроении: Сб. тр. междунар. конф. Саратов: Изд-во СГУ, 1997. С.91-92.

125. Шифнер А.М. Об интегрировании в конечном виде некоторых диф- ференциальных систем. // Изв. АН СССР. Серия матема-тич. Том. 4. N 3. С. 341-348.

126. Якубович В.А. Некоторые критерии приводимости систем // ДАН СССР. 1949. Т.66. С. 577-580.

127. Разработка алгоритмов ориентации и программного движения съемочного комплекса "Аргус" проекта "Марс" // Отчет о

НИР N 51, СФ ИМАШ РАН, Саратов, 1994. Рег. N 01.950003915.

128. Alyoshin I.N., Baturin V.V., Molodenkov A.V., Peysahovich G.A., Sadomtsev Yu.V., Utkin G.V. and Chelnokov Yu.N. Motion Control for a Space Platform Complex: V. Algorithms for Adjustment of the Complex // Journal of Computer and Systems Sciences International. 2002. Vol. 41. No. 3. Pp. 462-469.

129. Bai X. and Junkins J.L. New Results for Time-Optimal Three-Axis Reorientation of a Rigid Spacecraft // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2009. Vol.32. N 4. Pp. 1071-1076.

130. Bilimoria K.D. and Wie B. Minimum-Time Large-Angle Reorientation of a Rigid Spacecraft // AIAA Paper 90-3486.

131. Bilimoria K.D. and Wie B. Time-Optimal Three-Axis Reorientation of Rigid Spacecraft // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 1993. Vol.16. N 3. Pp. 446-452.

132. Boyarko G.A., Marcello R. and Yakimenko O.A. Time-Optimal Reorientation of a Spacecraft Using an Inverse Dynamics Optimization Method // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2011. Vol.34. N 4. Pp. 1197-1208.

133. Byers R.M. and Vadali S.R. Quasi-Closed Form Solution to the Time-Optimal Rigid Spacecraft Reorientation Problem // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 1993. Vol.16. N 3. Pp. 453-461.

134. Chowdry R.S., Ben-Asher J.Z. and Cliff E.M. Optimal Rigid Body Motions, Part 1: Approximate Formulation // Journal of Optimization Theory and Applications. 1991. Vol.70. N 1. Pp. 57 -78.

135. Chowdry R.S. and Cliff E.M. Optimal Rigid-Body Motions, Part 2: Minimum-Time Solutions // Journal of Optimization Theory and Applications. 1991. Vol.70. N 2. Pp. 255-276.

136. Junkins J.L. and Turner J.D. Optimal Continuous Torque Attitude Maneuvers // Journal of Guidance and Control. 1980. Vol.3. N 3. Pp. 210-217.

137. Lastman G.J. A shooting method for solving two-point boundary-value problems arising from non-singular bang-bang optimal control problems // International. J. Control. 1978. V.27. № 4. Pp. 513524.

138. Li.F. and Bainum P.M. Numerical Approach for Solving Rigid Spacecraft Minimum Time Attitude Maneuvers // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 1990. Vol. 13. N 1. Pp. 38-45.

139. Molodenkov A.V. On the solution of the Darboux problem // Mechanics of Solids. 2007. Vol. 42. No. 2. Pp. 167-176.

140. Molodenkov A.V. and Sapunkov Ya.G. Solution of the Problem of the Optimal Turn of a Spherically Symmetric Spacecraft with Bounded and Pulse Control under Arbitrary Boundary Conditions // Journal of Computer and Systems Sciences International. 2004. Vol. 43. No.2. Pp. 317-328.

141. Molodenkov A.V. and Sapunkov Ya.G. A Solution of the Optimal Turn Problem of an Axially Symmetric Spacecraft with Bounded and Pulse Control under Arbitrary Boundary Conditions // Journal of Computer and Systems Sciences International. 2007. Vol. 46. No.2. Pp. 310-323.

142. Molodenkov A.V. and Sapunkov Ya.G. Special Control Regime in Optimal Turn Problem of Spherically Symmetric Spacecraft // Journal of Computer and Systems Sciences International. 2009. Vol. 48. No.6. Pp. 891-898.

143. Molodenkov A.V. and Sapunkov Ya.G. Special Control Regime in the Problem of Optimal Turn of an Axially Symmetric Spacecraft //

Journal of Computer and Systems Sciences International. 2010. Vol. 49. No.6. Pp. 891-899.

144. Molodenkov A.V. and Sapunkov Ya.G. Special Control Regime in the Problem of Optimal Turn of an Arbitrary Rigid Body (Spacecraft) // Journal of Computer and Systems Sciences International. 2012. Vol. 51. No.2. Pp. 891-899.

145. Molodenkov A.V. and Sapunkov Ya.G. Analytical Solution of the Optimal Slew Problem of a Spherically Symmetric Spacecraft in the Class of Conical Motion// Journal of Computer and Systems Sciences International. 2013. Vol. 52. No.3. Pp. 491-501.

146. Molodenkov A.V. and Sapunkov Ya.G. Analytical Solution of the Time-Optimal Slew Problem of a Spherically Symmetric Spacecraft in the Class of Conical Motion// Journal of Computer and Systems Sciences International. 2014. Vol. 53. No.2. Pp. 159-171.

147. Molodenkov A.V. and Sapunkov Ya.G. Analytical Approximate Solution of the Problem of a Spacecraft's Optimal Turn with Arbitrary Boundary Conditions// Journal of Computer and Systems Sciences International. 2015. Vol. 54. No.3. Pp. 458-465.

148. Molodenkov A.V. and Sapunkov Ya.G. A New Class of Analytic Solutions in the Optimal Turn Problem for a Spherically Symmetric Body// Mechanics of Solids. 2012. Vol. 47. No.2. Pp. 167-177.

149. Molodenkov A.V. and Sapunkov Ya.G. Solutions of the Optimal Turn Problem for a Spherically Symmetric Body under Arbitrary Boundary Conditions in the Class of Generalized Conical Motion// Mechanics of Solids. 2014. Vol. 49. No. 5.

150. Molodenkov A.V. and Sapunkov Ya.G. Analytical Solution of the Optimal Attitude Maneuver Problem with a Combined Objective Functional for a Rigid Body in the Class of Conical Motions // Mechanics of Solids. 2016. Vol. 51. No.2. Pp.135-147.

151. Savage P.G. Strapdown Analytics. Strapdown Associates Inc., Maple Plan, Minnesota. 2007.

152. Scrivener S.L., Thompson R.C. Survey of Time-Optimal Attitude Maneuvers // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 1994. Vol. 17. N 2. Pp. 225-233.

153. Vadali S.R. and Junkins J.L. Spacecraft Large Angle Rotational Maneuvers with Optimal Momentum Transfer // Journal of the As-troutical Sciences. 1983. Vol.31. N 2. Pp. 217-235.

154. Vadali S.R., Kraige L.G. and Junkins J.L. New Results on the Optimal Spacecraft Attitude Maneuver Problem // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 1984. Vol.7. N 3. Pp. 225-233.

155. Wy M.-Y., Horowitz I.M. and Dennison J.C. On solution, stability and transformation of linear time-varying system // Intern. J. Control. 1975. Vol. 22. N 2. Pp. 169-180.

156. Wy M.-Y. Transformation of a linear time-varying system into a linear time-invariant system // Intern. J. Control. 1978. Vol. 27. N 4. Pp. 589-602.

157. Wy M.-Y. A sucsussive decomposition method for the solution of linear time-varying systems // Intern. J. Control. 1981. Vol. 33. N 1. Pp. 181-186.

158. Zubenko G.I., Molodenkov A.V., Peisakhovich G.A., Sadomtsev Yu.V.., Utkin G.V., Fedoseev S.V., Chelnokov Yu.N.. Motion Control for a Space Platform Complex. II. Algorithms for orientation, programmed control, and guidance// Journal of Computer and Systems Sciences International. 2001. Vol. 40. No. 5. Pp. 829-837.

о практическом использовании результатов докторской диссертации Молоденкова A.B.

на тему "Решение задач ориентации и оптимального управления угловым движением твёрдого тела с использованием кватернионов"

Я, нижеподписавшийся представитель ООО "Аэроспецпроект", руководитель проекта "НИР «Ярд»" д.т.н., проф. С.Е. Переляев составил настоящий акт о том, что при непосредственном участии Молоденкова A.B. и им лично был решён ряд задач, связанных с разработкой алгоритмического обеспечения для бесплатформенной инерциальной навигационной системы (БИНС) нового поколения на базе прецизионных волоконно-оптических гироскопов (ВОГ), которая выполнялась по заказу ООО "Аэроспецпроект". Среди таких задач следует выделить:

- точные решения приближенного кинематического дифференциального уравнения Борца и построенные на их основе алгоритмы сверхбыстрого цикла для вычисления инерциальной ориентации твёрдого тела (БИНС);

- кватернионные алгоритмы начальной выставки БИНС, построенные с использованием метода регуляризации А.Н. Тихонова.

Исследования проводились в рамках договора "Разработка технологии разработки программно-аппаратных модулей для БИНС нового поколения на базе прецизионных ВОГ" от 01.02.13 между ООО "Аэроспецпроект" (Московская обл., г. Жуковский) и временным трудовым коллективом (ВТК), руководитель ВТК д.ф.-м.н., проф., Ю.Н. Челноков. Основанием для договора являлось положения этапа № 2 по ГК № 12411.1400099.18.009 от 15.10.12 г. (НИР), заключенного между ООО "Аэроспецпроект" и Министерством промышленности и торговли Российской Федерации, действующим от имени Российской Федерации. Молоденков A.B. являлся одним из исполнителей данного договора. Предполагается дальнейшее развитие и использование результатов диссертационной работы Молоденкова A.B. в рамках будущих исследований, связанных с разработкой алгоритмического и программного обеспечения для БИНС нового поколения.

1 2

25. Человеко-машинный симбиоз; интеллектуальное управление; управление в неопределенных средах; управление в междисциплинарных моделях организационных, социальных, экономических, биологических и экологических систем Разработан однопользовательский прототип расширяемой интеллектуальной системы по химии, интегрирующей информационные и программные ресурсы. Прототип включает трехуровневый редактор и подсистему сопровождения. Предложены наборы графовых моделей и соответствующих структурных свойств, существенных для обеспечения качества интеллектуальных систем, использующих теории компьютерного банка знаний. Выявлены структурные свойства, которые эффективны при обнаружении показателей сложности реализации некоторых компонентов системы и затрат на обеспечение контроля вводимой информации. ИАПУ ДВО РАН Исследованы критерии эффективности методов интеллектуального управления. Развита теория принятия решений о значениях управляющих воздействий, подаваемых на динамические объекты, при управлении ими в соответствии с заданными критериями качества. ИПМАШ РАН Разработаны индексы манипулируемости процедур коллективного выбора и проанализирована степень коалиционной манипулируемости процедур: относительного большинства, одобряющего голосования, порогового агрегирования, процедуры Борда. В рамках моделей социальной динамики проанализированы основные сценарии конкуренции двух, трех и большего числа групп при разных параметрах среды, значениях численности групп и других параметров. Результаты получены с помощью аналитических методов и с помощью новой версии - с существенно более широкими возможностями - программного комплекса имитационного моделирования социальной динамики в рамках предложенных моделей. ИПУ РАН

26. Управление движением; управление в энергетических и транспортных системах; управление производством (автоматизация проектирования, Исследованы проблемы оптимального управления орбитальным движением твёрдого тела (космического аппарата) с использованием кватернионов. Получен новый класс явных аналитических решений в задаче оптимального разворота сферически симметричного твёрдого тела (космического аппарата) с ограниченной функцией управления. ИПТМУ РАН В результате анализа современных систем управления городским транспортом установлено, что действующие автоматизированные системы в большинстве городов России относятся к 1-2-му поколениям и функционируют без постоянного мониторинга параметров дорожного движения. Перспективные системы управления городским транспортом 4-5-го поколений (интеллектуальные транспортные системы, ИТС) объединяют электронные системы слежения, управления и навигации. Реализация полноценных ИТС подразумевает активное использование сетевых порталов с постоянной корректировкой наземных данных аэрокосмическими методами. НГИЦ РАН, ИПУ РАН