Аналитическое и численное моделирование начальной стадии развития ветровой неустойчивости динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Сергеева, Елена Константиновна

• Сергеева, Елена Константиновна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сергеева, Елена Константиновна

Содержание

Введение_6

Глава 1. Приближенные аналитические и численные методы исследования неустойчивости сдвиговых течений_16

1.1. Неустойчивость Кельвина - Гельмгольца_16

1.2. Панельный флаттер_25

1.3. Ветровая неустойчивость_39

1.4. Магнитогидродинамический аналог ветровой неустойчивости_47

1.5. Выводы по первой главе_56

Глава 2. Аналитические и численные методы исследования обобщающей модели ветровой неустойчивости_58

2.1. Системный подход и обобщающая модель ветровой неустойчивости_58

2.2. Математическая основа обобщающей модели

ветровой неустойчивости_62

2.3. Приближенный аналитический метод исследования модели

ветровой неустойчивости_73

2.4. Численный метод исследования математической модели

ветровой неустойчивости_85

2.5. Выводы по второй главе_90

Глава 3. Ветровая неустойчивость гидроупругих систем_92

3.1. Приближение «мелкой воды»

92

3.2. Математическое моделирование ветровой неустойчивости

в приближении «мелкой воды»__95

3.3. Инкремент ветровой неустойчивости и частота волн изгиба_100

3.4. Исследование математической модели ветровой

неустойчивости численными методами_105

3.5. Выводы по третьей главе__115

Заключение_117

Список использованной литературы

Приложение

120

Условные обозначения:

Основные характеристики среды:

- скорость звука

с = д/^/г - скорость гравитационных волн

VА - альфвеновская скорость

иф - фазовая скорость

и 0 - величина скачка скорости

II (у) - скорость потока газа (жидкости)

ух и уу - возмущенные компоненты скорости потока газа (жидкости) ую. - инкремент неустойчивости Кельвина - Гельмгольца

- инкремент ветровой неустойчивости к - волновое число со - циклическая частота р2 - плотность газа

а(у) - поперечное волновое число р - давление газа (жидкости) V - вязкость газа (жидкости)

\)г — л/а/рг - пульсационная скорость турбулентного движения

д - сила трения, действующая на единицу площади поверхности пластины (стержня)

- глубина жидкости

g - ускорение свободного падения Я - длина волны

Основные характеристики пластины (стержня):

С, - вертикальное смещение точек пластины

рх - плотность материала упругой пластины (стержня)

В - жесткость на изгиб пластины (стержня)

Е - модуль Юнга

о0 - коэффициент Пуассона

к - толщина упругой пластины

а и /г, - стороны стержня

5 = а/г, - площадь поперечного сечения стержня

Основные сокращения:

ВН - ветровая неустойчивость

неустойчивость КГ - неустойчивость Кельвина - Гельмгольца МГД аналог - магнитогидродинамический аналог метод ВКБ - метод Вентцеля - Крамерса - Бриллюена

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитическое и численное моделирование начальной стадии развития ветровой неустойчивости динамических систем»

Введение

Задача о генерации волновых возмущений сдвиговыми потоками рассматривалась рядом авторов для описания широкого круга волновых процессов, начиная от раскачки волн на поверхности океана и в атмосфере Земли (J.W. Miles, L. Prandtl, О. Philips) и заканчивая образованием колоссальных волновых структур, наблюдаемых в ряде астрофизических объектов (кометных хвостах, выбросах из активных ядер галактик, галактических дисках и т.д.) (Т. Ray, A.I. Ershkovich, M. Birkinshow, P.E. Hardee, B.D. Turland, В.M. Конторович, С.Г. Гестрин) [1-24].

С точки зрения технических приложений к этому же кругу вопросов можно отнести и проблему флаттера, состоящую в динамической потере устойчивости аэроупругой, или гидроупругой системой (элементом конструкции самолета: крылом, фюзеляжем, хвостовым оперением, обшивкой; строительной конструкцией: мостом, плотиной, трубопроводом и т.д.) при ее взаимодействии с дозвуковыми и сверхзвуковыми сдвиговыми течениями (М.В. Келдыш, Т. Янг, Е. Доуэл, В.В. Веденеев) [25-38].

Несмотря на явные различия физических свойств, и масштабов упомянутых объектов, связанные с ними волновые процессы можно объяснить в рамках механизма ветровой неустойчивости. При развитии ветровой неустойчивости в критическом слое сдвигового потока происходит усиление волн различной физической природы (гравитационных, плазменных, магнитогидродинамических, упругих и т.д.), существующих на границе тех или иных динамических систем [19-24].

Описание этого процесса является сложной математической задачей, которая до настоящего времени решалась в основном аналитическими методами лишь для некоторых частных случаев (J.W. Miles, О. Philips, В.М. Конторович, С.Г. Гестрин) [1-3, 19-23].

В этой связи весьма актуальным является построение и исследование обобщающей математической модели ветровой неустойчивости, а также создание математического обеспечения, позволяющего оценить все основные характерные параметры ее развития: инкремент неустойчивости, длину волны и частоту наиболее быстро растущего возмущения, найти положение критического слоя в потоке, а также подобрать параметры конструкции, при которых влияние на нее ветровой неустойчивости будет минимальным.

В частности для исследования флаттера часто используется натурный эксперимент, основанный на размещении модели объекта с закрепленными на ней датчиками в аэродинамической трубе - экспериментальной установке, разработанной для изучения эффектов, возникающих при обтекании твердых тел (самолетов, автомобилей, зданий, мостов и т.п.) воздушным потоком. Зачастую такие исследования являются весьма затратными, а их результаты -сложными для интерпретации [39-44].

В этой связи актуальным является проведение на основе разработанной математической модели ветровой неустойчивости вычислительного эксперимента, который дает возможность легко и быстро менять условия его проведения, а также позволяет глубже вникнуть в детали происходящих процессов.

Целью диссертационной работы является построение обобщающей математической модели ветровой неустойчивости, аналитических и численных методов ее исследования, а также разработка на их основе проблемно-ориентированного комплекса программ, позволяющего исследовать воздействие сдвиговых течений на аэроупругие и гидроупругие системы.

Для достижения поставленной цели были поставлены и решены следующие основные задачи:

1. Построение математической модели ветровой неустойчивости аэроупругих и гидроупругих динамических систем в форме дифференциальных уравнений и связанных с особенностями системы граничных условий.

2. Разработка эффективных, аналитических и численных методов исследования, лежащих в основе модели ветровой неустойчивости дифференциальных уравнений второго порядка, содержащих сингулярность, и являющихся аналогом уравнения Рэлея.

3. Создание комплекса программ, позволяющего определить характеристики ветровой неустойчивости динамической системы для различных значений параметров системы и при различных вариантах внешнего воздействия.

Предметом и областью исследования является математическая модель ветровой неустойчивости, а также приближенные аналитические и качественные методы исследования этой модели; численные методы решения дифференциальных уравнений, составляющих основу модели, а также разработка на их основе комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента; комплексное исследование с применением математического моделирования и вычислительного эксперимента проблемы флаттера аэроупругих и гидроупругих систем.

Методы исследований.

В диссертации использованы методы системного анализа, приближенные аналитические и численные методы математического моделирования, применяемые в электродинамике сплошных сред, теории упругости,

гидродинамике, физике плазмы, квантовой механике, метод интегрального преобразования Фурье, аппарат специальных функций.

Достоверность полученных результатов определяется корректностью применяемых методов системного анализа и постановки решаемых задач, применением классических математических методов, определением границ применимости моделей по различным параметрам, совпадением с известными теоретическими результатами для предельных случаев, близостью результатов вычислительного и натурного экспериментов для тех ситуаций, когда возможно сравнение.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Впервые предложена и исследована обобщающая математическая модель волновых процессов в различных по своим свойствам и масштабам физических системах, позволяющая объяснить их с единой точки зрения, как результат развития ветровой неустойчивости. Наличие максимума инкремента ветровой неустойчивости естественным образом приводит к наличию выделенного масштаба наблюдаемых возмущений. Теоретический интерес представляют применявшиеся в работе качественные и приближенные аналитические, а также численные методы исследования модели ветровой неустойчивости.

Практическая значимость связана с созданием проблемно-ориентированного комплекса программ «Определение параметров ветровой неустойчивости аэроупругих и гидроупругих систем». Вычислительные эксперименты, основанные на использовании данного комплекса, позволяют по известным параметрам системы и взаимодействующего с ней потока определить основные параметры возникающего в этих системах флаттера, а также выдать рекомендации по оптимальному подбору параметров, при которых инкремент ветровой неустойчивости будет малым по сравнению с

вещественной частью частоты колебаний и, следовательно, ее влияние на систему станет незначительным.

Научная новизна работы:

1. Впервые предложена обобщающая модель ветровой неустойчивости, позволяющая объяснить возникновение волновых структур в системах, имеющих различную физическую природу и масштабы: волны на поверхности океана и в атмосфере Земли; волновые структуры, наблюдаемые в астрофизических объектах; различные варианты флаттера, возникающие при контакте аэроупругих и гидроупругих систем со сдвиговыми потоками.

2. Впервые разработаны новые аналитические и численные методы анализа дифференциальных уравнений, составляющих основу модели ветровой неустойчивости. Данные методы позволяют исследовать дифференциальные уравнения типа уравнения Рэлея, содержащие сингулярность.

3. На основе обобщающей математической модели и предложенных аналитических и численных методов, разработан алгоритм и создан комплекс проблемно-ориентированных программ, позволяющий по известным параметрам динамической системы и воздействующего на нее течения определять характерные параметры ветровой неустойчивости: инкремент, частоту и длину наиболее быстро растущего возмущения, положение резонансного слоя в потоке. Получаемые на основе вычислительного эксперимента результаты позволяют сделать заключение о значениях параметров, характеризующих аэроупругую или гидроупругую систему, при которых влияние на нее ветровой неустойчивости будет минимальным. Таким образом, решена прямая и обратная задача математического моделирования панельного флаттера.

4. На основе анализа инкремента ветровой неустойчивости показано, что неустойчивость имеет место при всех значениях скорости потока, хотя при

и

скоростях, превышающих скорость звука в газе, происходит стабилизация длинноволновых возмущений, распространяющихся вдоль потока.

5. Показано, что усиление изгибных волн в пластине происходит в критическом слое контактирующего с ней сдвигового потока, где его скорость близка к фазовой скорости волны. Инкремент ветровой неустойчивости при малых волновых числах растет степенным образом, а при больших убывает по экспоненциальному закону, что приводит к максимуму, с которым и связано наличие выделенного масштаба возмущений.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Обобщающая модель, основанная на дифференциальных уравнениях и связанных с ними граничных условиях, описывающих резонансное взаимодействие поверхностных волн со сдвиговым течением, позволяет исследовать начальную стадию развития ветровой неустойчивости в динамических системах.

2. Приближенный аналитический метод, предусматривающий совместное интегрирование исходного и сопряженного с ним дифференциального уравнения, позволяет исследовать дифференциальные уравнения с сингулярностью типа уравнения Рэлея, составляющие основу модели.

3. Численный метод, основанный на совместном использовании метода Рунге-Кутты и метода бисекции, алгоритм которого основан на поэтапной корректировке одного из граничных условий, позволяет найти решение уравнения Рэлея на отрезке, содержащем сингулярность.

4. Разработанный комплекс проблемно-ориентированных программ «Определение параметров ветровой неустойчивости аэроупругих и гидроупругих систем», реализующих предложенные методы для получения основных характеристик ветровой неустойчивости и возникающих вследствие ее развития волновых структур, позволяет выдать рекомендации по

оптимальному подбору параметров системы, при которых влияние флаттера на нее будет минимальным.

5. Ветровая неустойчивость имеет место при всех значениях скорости потока газа, хотя при скоростях, превосходящих скорость звука в газе, происходит стабилизация длинноволновых возмущений, бегущих вдоль потока.

6. С ростом скорости течения газа и приближением ее к скорости звука в потоке происходит смещение максимума инкремента ветровой неустойчивости в область более коротких волн.

7. С ростом кривизны профиля скорости в резонансном слое происходит изменение в поведении решения уравнения Рэлея. Убывающее с удалением от пластины решение, описывающее поверхностную волну, сменяется решением, нарастающим вплоть до резонансного слоя, после перехода, через который начинается спад.

Апробация работы.

По основным результатам работы сделано 19 докладов на 12 международных, всероссийских, региональных и внутривузовских конференциях:

- Молодежной научной конференции «Молодые ученые - науке и производству» (Саратов, июнь 2008);

- Международной научно-практической конференции «Интернет и инновации: практические вопросы информационного обеспечения инновационной деятельности» (Саратов, ноябрь 2008);

- II Международной научно-практической конференции «Молодежь и наука: реальность и будущее» (Невинномысск, март 2009);

- Пятнадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых «ВНКСФ-15» (Кемерово - Томск, март-апрель 2009);

- Региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и научно-технический прогресс» (Владивосток, апрель-май 2009);

- XXII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-22» (Псков, май 2009);

- XVII Международной молодежной научной конференции «XVII Туполевские чтения» (Казань, май 2009) (награждена дипломом I степени за высокий научный уровень представленного доклада);

- Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых «Инновации и актуальные проблемы техники и технологий» (Саратов, сентябрь 2009);

- Второй международной научно-практической конференции «Измерения в современном мире - 2009» (Санкт-Петербург, декабрь 2009);

- XXIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-23» (Саратов, июнь 2010);

- XXIV Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-24» (Киев, май-июнь 2011);

- II Международной научной конференции «Проблемы управления, передачи и обработки информации - АТМ-2011» (Саратов, октябрь 2011);

- на научных семинарах кафедры «Физика» ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.».

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 26 работ (5 статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ, 2 статьи в иностранных изданиях, 18 статей в научных сборниках). Имеется свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012610990 от 24 января 2012 г. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Работа содержит 136 страницы, включая 42 рисунка, библиографический список из 120 наименований.

Во введении показано современное состояние решаемой проблемы, обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, определены основные задачи исследования, обоснована новизна полученных результатов, научная и практическая ценность работы, названы методы исследований, приведены сведения об апробации работы и структуре диссертации, сформулированы выносимые на защиту результаты и положения.

В первой главе рассмотрены основные известные механизмы генерации волновых возмущений сдвиговым потоком, а также приближенные аналитические и численные методы их исследования. К ним относятся неустойчивость Кельвина - Гельмгольца, возникающая при наличии в движущейся среде тангенциального разрыва скорости и ветровая неустойчивость, возникающая при наличии течения с профилем скорости С/(у).

Во второй главе рассматривается взаимодействие плоских упругих волн изгиба тонкой пластинки с потоком сжимаемого газа (сама пластинка при этом может являться частью более сложной аэроупругой системы). Для построения решения уравнения Рэлея в работе применяется численный метод, в основе которого лежит метод Рунге - Кутты и метод бисекции.

В третьей главе приближенный аналитический метод исследования модели ветровой неустойчивости, разработанный во второй главе, применяется для исследования взаимодействия плоских упругих волн изгиба в тонком стержне со сдвиговым течением «мелкой воды» (сам стержень при этом может

являться частью более сложной гидроупругой системы). Для исследования свойств решений уравнения Рэлея, а также определения точности приближенного аналитического метода к данной задаче применяется созданный во второй главе численный метод.

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертационной работы, указаны возможные области их применения.

В приложении приведена информация о разработанном комплексе проблемно-ориентированных программ «Определение параметров ветровой неустойчивости аэроупругих и гидроупругих систем» (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012610990 от 24 января 2012 г.). Данный комплекс программ реализует предложенные методы для получения основных характеристик ветровой неустойчивости и возникающих вследствие ее развития волновых структур.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Сергеева, Елена Константиновна

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, состоят в следующем:

1. Впервые предложена модель, позволяющая исследовать начальную стадию развития ВН, основанная на дифференциальном уравнении Рэлея (2.40) и уравнении, описывающем изгибные колебания пластины (2.37) или тонкого стержня (3.10) под действием перепада давлений на их противоположные стороны [69-80, 109-117].

При развитии ВН резонансное усиление изгибных волн происходит в критическом слое сдвигового потока, где его скорость ио{ус) близка к их фазовой скорости со/к. На основе анализа модели получены дисперсионные соотношения для изгибных волн (2.46), (2.47), (3.17) и выражения для инкремента ВН (2.89), (3.30). Отметим также сходство (2.89) и (3.30) с выражением для инкремента (1.74), полученным ранее в [19], для замагниченного кометного хвоста, обтекаемого плазмой солнечного ветра.

В то время как вещественная часть частоты зависит от индивидуальных физических свойств системы, ее мнимая часть (инкремент) определяется единым характером механизма воздействия на систему сдвигового потока. Это позволяет многие результаты, полученные на примере анализа какой-либо одной динамической системы (колебания пластины или стержня) распространить и на системы с совершенно иными физическими свойствами (волны на поверхности океана и в разнообразных астрофизических объектах: кометных хвостах, выбросах из ядер галактик; колебания в строительных конструкциях: мостах, плотинах, трубопроводах и т.п.).

2. Разработанный в диссертации численный метод, основанный на совместном использовании метода Рунге-Кутты и метода бисекции, впервые позволил найти решение уравнения Рэлея вблизи резонансной точки ус, положение которой в потоке определяется из условия U0(yc) = со/к, при большой кривизне профиля скорости \U"(yc)/U'0(yc] > 0,1м'1. Наличие у инкремента ВН в этом случае ярко выраженного острого максимума (см. рис. 3.6.а) является общим свойством ВН и не зависит от конкретных свойств динамической системы [82, 118, 119].

С максимумом инкремента можно связать выделенный масштаб волновых возмущений, наблюдаемых в различных динамических системах: один из видов панельного флаттера, изгибные колебания различных строительных конструкций: мостов, трубопроводов, плотин; волны на поверхности океана, гигантские волновые структуры в различных астрофизических объектах и т.п.

Таким образом, механизм ВН значительно лучше подходит для описания подобных явлений, чем применявшийся ранее другими авторами механизм неустойчивости КГ, инкремент которой лишен острого максимума. Развитие неустойчивости КГ приводит к одновременному нарастанию волн в большом диапазоне Я и возникновению хаотической структуры, а не к нарастанию возмущения с четко выделенным масштабом.

3. Для детального анализа панельного флаттера создан комплекс проблемно-ориентированных программ «Определение параметров ветровой неустойчивости аэроупругих и гидроупругих систем», реализующих предложенные в работе новые математические методы для получения основных характеристик неустойчивости и возникающих вследствие ее развития волновых структур [118-120].

Так, при различных значениях физических параметров, характеризующих пластину (модуле Юнга, коэффициенте Пуассона, плотности, толщине) и поток (скорости потока, вязкости газа, скорости звука, пульсационной скорости) могут быть определены максимальное значение инкремента неустойчивости, фазовая скорость волн изгиба, положение резонансного слоя в потоке, длина волны наиболее быстро растущего возмущения и т.д.

4. Установлены важные свойства исследованной в работе разновидности панельного флаттера. Показано, что с ростом скорости течения газа и приближением ее к скорости звука в газе происходит смещение максимума инкремента ВН, определяемого из условия 2к J —^ dy ~ 1, в д*)» с область более коротких волн (больших волновых чисел) [118, 119].

ВН имеет место при всех значениях скорости потока газа, или «мелкой воды» вдоль пластины, хотя при скоростях U0, превосходящих скорость звука в газе, или ее аналог ^¡gh на «мелкой воде», происходит стабилизация длинноволновых возмущений, распространяющихся вдоль потока. Известно, что с ростом |U"(yc )| число частиц потока, обгоняющих волну и отдающих ей энергию, растет, а отстающих и отбирающих энергию волны, уменьшается, что приводит к увеличению скорости передачи энергии от потока к волне [5, 8].

В диссертации впервые показано, что поведение решения уравнения Рэлея оказывается существенно зависящим от величины кривизны профиля скорости U"(yc) в резонансном слое. С ростом \U"(yc )| происходит изменение в поведении решения уравнения Рэлея [69-80, 109-117].

Убывающее с удалением от пластины решение, описывающее поверхностную волну, сменяется решением, нарастающим вплоть до резонансного слоя, после перехода, через который начинается спад. При этом выделяемая в резонансном слое в единицу времени энергия становится настолько большой, что волна в потоке теряет поверхностный характер и интенсивные колебания охватывают весь слой газа между пластиной и резонансным слоем. Данный вывод распространяется на все динамические системы, в которых развивается ВН [69-82, 109-120].

Заключение

Диссертационная работа посвящена изучению ВН динамических систем на примере панельного флаттера - изгибных колебаний тонкой пластины и тонкого стержня при их резонансном взаимодействии с потоком сжимаемого газа и со сдвиговым течением «мелкой воды».

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сергеева, Елена Константиновна, 2012 год

Список использованной литературы:

1. Miles J.W. On the aerodynamic instability of thin plates// Journal of the Aeronautical Sciences. V. 23. № 8. 1956. P. 771-780.

2. Miles J.W. On the generation of surface waves by shear flows// Journal of Fluid Mechanics. 1957. V. 3. P. 185-204.

3. Miles J.W. On the disturbed motion of a plane vortex sheet// Journal of Fluid Mechanics. 1958. V. 4. P. 538-552.

4. Miles J.W. On panel flutter in the presence of a boundary layer// Journal of the Aero/Space Sciences. 1959. V. 26. № 2. P. 81-107.

5. Степанянц Ю.А., Фабрикант A.JI. Распространение волн в сдвиговых гидродинамических течениях//УФН. 1989. Т. 159. Вып. 1. С. 83-123.

6. Ландау Л.Д. Об устойчивости тангенциальных разрывов в сжимаемой жидкости// Доклады АН СССР. 1944. Т. 44. № 4. С. 151-153.

7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория). - М.: Гос. изд. физ-мат. лит., 1963. - 702 с.

8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6: Гидродинамика. -М.: Наука, 1986.-736 с.

9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 7: Теория упругости. -М.: Наука, 1987. - 246 с.

10. Сыроватский С.И. Неустойчивость тангенциальных разрывов в сжимаемой среде// ЖЭТФ. 1954. Т. 27. Вып.1 (7). С. 121-123.

11. Должанский Ф.В., Крымов В.А., Манин Д.Ю. Устойчивость и вихревые структуры квазидвумерных сдвиговых течений// УФН. 1990. Т. 160. Вып. 7. С. 1-47.

12. Должанский Ф.В. Лекции по геофизической гидродинамике, Москва: ИВМ РАН, - 2006. - ISBN 5-901854-08-Х.

13. Куликовский А.Г. О глобальной неустойчивости однородных течений в неодномерных областях// Известия РАН. ПММ. 2006. Т. 70. Вып. 2. С. 257-263.

14. Фридман A.M. Предсказание и открытие сильнейших гидродинамических неустойчивостей, вызванных скачком скорости: теория и эксперименты// УФН. 2008. Т. 178. Вып. 3. С. 225-242.

15. Birkinshow М. The Kelvin-Helmholtz instability for relativistic particle beams. Stability analyses in the time and space domains for vortex-sheet flows.// Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. - 1984. - Vol. 208. - P. 887-903.

16. Hardee P.E. Helical and pinching instability of supersonic expanding jets in extragalactic radio sources.// The Astrophysical Journal. - 1982. - Vol. 257. - P. 509526.

17. Turland B.D., Schouer P.A.G. Instabilities of Kelvin-Helmholtz type for relativistic streaming.// Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. - 1976. -Vol. 176.-P. 421-443.

18. Ефремов Ю.Н. Очаги звездообразования в галактиках (звездные комплексы и спиральные рукава). - Москва. - Наука. 1989. 506 с.

19. Гестрин С.Г., Конторович В.М. Ветровая неустойчивость и спиральные структуры в кометных хвостах.// Письма в Астрон. Журн. - 1984. - Т. 10. № 10. С. 790-796.

20. Гестрин С.Г., Конторович В.М. Спиральная структура радиовыбросов из квазаров и активных ядер галактик.// Письма в Астрон. Журн. - 1986. - Т. 12. № 7. С. 522-531.

21. Гестрин С.Г., Конторович В.М. Ветровая неустойчивость и винтовые возмущения релятивистских замагниченных струй.// Журн. Эксперим. и Теор. Физ. - 1986. - Т. 91. № 3. С. 779-791.

22. Гестрин С.Г., Конторович В.М. Ветровая неустойчивость в астрофизике (применительно к джетам, кометным хвостам, спиральной структуре галактик).// Радиофизика и радиоастрономия. - 1997. - Т. 2. № 4. С. 419-438.

23. Гестрин С.Г., Конторович В.М. Ветровая неустойчивость в астрофизике (применительно к джетам, кометным хвостам, спиральной структуре галактик). II// Радиофизика и радиоастрономия. - 1998. - Т. 3. № 3. С. 259-272.

24. Гестрин С.Г., Сальников А.Н. Резонансное взаимодействие упругих колебаний тонкой пластинки с гидродинамическим потоком.// Известия вузов. Физика. - 2007. № 7. С. 77-80.

25. Garric I.E., Reed W.H. III. Historical development of aircraft flutter// Journal of Aircraft. 1981. V. 18. № 11. P. 897-912.

26. Dugundji J. Theoretical considerations of panel flutter at high supersonic Mach numbers// AIAA Journal. 1966. V. 4. № 7. P. 1257-1266. Перевод: Теоретическое исследование панельного флаттера при высоких сверхзвуковых числах Маха// Ракетная техника и космонавтика. 1966. Т. 4. № 7. С. 136-148.

27. Келдыш М.В. Избранные труды. Механика. М., - 1985. - 567 с.

28. Yang T.Y. Flutter of flat finite element panels in supersonic potential flow// AIAA Journal. 1975. V. 13. № 11. P. 1502-1507. Перевод: Исследование флаттера в сверхзвуковом потенциальном потоке методом конечных элементов// Ракетная техника и космонавтика. 1975. Т. 13. № 11. С. 110-117.

29. Dowell Е.Н., Voss Н.М. Theoretical and experimental panel flutter studies in the Mach number range 1.0 to 5.0// AIAA Journal. 1965. V. 3. № 12. P. 2292-2304. Перевод: Теоретическое и экспериментальное исследование флаттера панели при числах Маха от 1,0 до 5,0// Ракетная техника и космонавтика. 1965. Т. 3. № 12. С. 155-170.

30. Dowell Е.Н. Nonlinear oscillations of flutter plate// AIAA Journal. 1966. V. 4. № 7. P. 1267-1275. Перевод: Нелинейный флаттер пластины// Ракетная техника и космонавтика. 1966. Т. 4. № 7. С. 149-159.

31. Dowell Е.Н. Flutter of infinitely long plates and shells. Part I. Plate// AIAA Journal. 1966. V. 4. № 8. P. 1370-1377. Перевод: Флаттер бесконечно длинных пластин и оболочек. Часть I. Пластины// Ракетная техника и космонавтика. 1966. Т. 4. № 8. С. 74-83.

32. Dowell E.H. Nonlinear oscillations of fluttering plate. II// AIAA Journal. 1967. V. 5. № 10. 1856-1862. Перевод: Нелинейный флаттер пластины. II// Ракетная техника и космонавтика. 1967. Т. 5. № 10. С. 156-164.

33. Dowell E.H. Theoretical-experimental correlation of flutter boundaries at low supersonic speeds// AIAA Journal. 1968. V. 6. № 9. P. 1810-1811. Перевод: Сопоставление теоретических и экспериментальных границ флаттера при низких сверхзвуковых скоростях потока// Ракетная техника и космонавтика. 1968. Т. 6. № 9. с. 241-243.

34. Dowell E.H. Panel flutter: A review of the aero elastic stability of plates and shells// AIAA Journal. 1970. V. 8. № 3. P. 385-399. Перевод: Панельный флаттер. Обзор исследований аэроупругой устойчивости пластин и оболочек// Ракетная техника и космонавтика. 1970. Т. 8. № 3. С. 3-24.

35. Лапин Ю.В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа. Изд. 2. - М.: Наука, 1982. - 312 с.

36. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Изд. 6. - М.: Наука, 1987. - 277 с.

37. Веденеев В.В. Численное исследование сверхзвукового флаттера пластины с использованием точной аэродинамической теории // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. - 2009. № 2. - С. 169-178.

38. Веденеев В.В., Гувернюк С.В., Зубков А.Ф., Колотников М.Е. Экспериментальное исследование одномодового панельного флаттера в сверхзвуковом потоке газа // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. - 2010. № 2. -С. 161-175.

39. Новичков Ю.Н. О применении трехмерной аэродинамической теории к задачам выпучивания и флаттера панелей// Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1963. № 3. С. 138-141.

40. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек// Итоги науки и техники. Серия «Механика деформируемого твердого тела». Т. 11. М.: ВИНИТИ, 1978. С. 67122.

41. Мовчан А.А. О колебаниях пластинки, движущейся в газе// Известия АН СССР. ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 2. С. 211-222.

42. Мовчан А.А. Об устойчивости панели, движущейся в газе// Известия АН СССР. ПММ. 1957. Т. 21. Вып. 2. С. 231-243.

43. Мовчан А.А. Устойчивость лопатки, движущейся в газе// Известия АН СССР. ПММ. 1957. Т. 21. Вып. 5. С. 700-706.

44. Микишев Г.Н. Экспериментальное исследование автоколебаний квадратной пластины в потоке// Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1959. № 1. С. 154-157.

45. Незлин М.В., Снежкин Е.Н., Трубников А.С. Неустойчивость Кельвина -Гельмгольца и большое красное пятно Юпитера// ЖЭТФ. 1982. Т. 36. Вып. 6. С. 190-193.

46. Незлин М.В., Снежкин Е.Н. Вихри Россби и спиральные структуры (астрофизика и физика плазмы в опытах на мелкой воде). - Москва. - Наука. 1990. 240 с.

47. Zhou R.C., Xue D.Y., Mei С. Finite element time domain-modal formulation for nonlinear flutter of composite panels// AIAA Journal. 1994. V. 32. № 10. P. 20442052.

48. Zhou R.C., Lai Z., Xue D.Y., Huang J.-K., Mei C. Suppression of nonlinear panel flutter with piezoelectric actuators using finite element method// AIAA Journal. 1995. V. 33. №6. P. 1089-1105.

49. Zhou J.G., Causon D.M., Mingham C.G., Ingram D.M. The surface gradient method for the treatment of source terms in the shallow water equations. J. Comput. Phys. - 2001. - № 168. - P. 1-25.

50. Mei C., Abdel-Motagaly K., Chen R.R. Review of nonlinear panel flutter at supersonic and hypersonic speeds// Applied Mechanics Reviews. 1999. V. 10. P. 321-332.

51. Abdel-Motagaly К., Chen R., Mei C. Nonlinear flutter of composite panels under yawed supersonic flow using finite elements// AIAA Journal. 1999. V. 37. № 9. P. 1025-1032.

52. Махортых Ж.К. Устойчивость многопролетной панели, движущейся в газе// Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1959. № 2. С. 174-177.

53. Галкин М.С. К вопросу о динамической устойчивости мембран в сверхзвуковом потоке газа// Ученые записки ЦАГИ. 1976. Т. VII. № 3. С. 80-90.

54. Bein Т., Friedmann P., Zhong X., Nydick I. Hypersonic flutter of curved shallow panel with aerodynamic heating// AIAA Paper 93-1318. 1993. 15 p.

55. Gray Jr. C.E., Mei C. Large-amplitude finite element flutter analysis of composite panels in hypersonic flow// AIAA Journal. 1993. V. 31. № 6. P. 1090-1099.

56. Ильюшин A.A. Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей // Известия АН СССР. ПММ. - 1956. Т. 20. Вып. 6. -С. 733-755.

57. Ляскин А.С., Шахов В.Г. Метод расчета аэродинамических характеристик деформируемого крыла // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника, (2000), 4, С. 15-17.

58. Duan В., Abdel-Motagaly К., Guo X., Mei С. Suppression of supersonic panel flutter and thermal deflection using shape memory alloy// AIAA Paper 1003-1513. 2003. 10 p.

59. Баранцев Р.Г. Влияние критических частот на постановку задачи о колебании тонкого крыла в потоке газа // Дальневосточный математический журнал, - 2004. Т. 5, № 1, - С. 226-230.

60. Кабальнов Ю.С., Уразаева Л.Ю. Математическое моделирование колебательных движений крыла с гибким профилем // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета, 7 (2006), 2, С. 3643.

61. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Численное исследование флаттера прямоугольной пластины // ЖПМТФ. - 2003. Т. 44, № 4. - С. 35-42.

62. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. - М.: Наука, 2006. -348 с.

63. Арсентьев Т.П., Баранцев Р.Г. Решение задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа // Дальневосточный Математический Журнал. Т. 7. №1-2. Владивосток Дальнаука - 2007. - С. 30-34.

64. Арсентьев Т.П. Колебания крыла в сверхзвуковом потоке газа // Вестник Санкт-Петербургского Университета, Сер 1, Вып. 4, - 2007. - С. 100-107.

65. Годунов С.К. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.-298 с.

66. Уизем Г.В. Линейные и нелинейные волны. Изд. МИР, Москва, - 1977. - 567 с.

67. Шокин Ю.И., Яненко H.H. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. Новосибирск: Наука, - 1985. - 368 с.

68. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978.-344 с.

69. Сергеева Е.К. Резонансное взаимодействие упругих колебаний тонкой пластинки со сдвиговым сверхзвуковым течением / Гестрин С.Г., Сальников А.Н., Сергеева Е.К. // Вестник СГТУ. 2008. - № 4 (36). - С. 7-16.

70. Сергеева Е.К. Ветровая неустойчивость и резонансное взаимодействие упругих колебаний тонкой пластинки со сверхзвуковым газодинамическим потоком / Гестрин С.Г., Сергеева Е.К. // Известия ВУЗов. Физика. 2011. - Т. 54, № 3. - С. 89-94.

71. Sergeeva Е.К. The wind instability and the resonant interaction of the elastic vibration of a thin plate with a supersonic gas stream / Gestrin S.G., Sergeeva E.K. // Russian Physics Journal. 2011. - Vol. 54, № 3. - P. 364-369.

72. Сергеева Е.К. Ветровая неустойчивость и упругие колебания тонкой пластинки (сверхзвуковой случай) / Сергеева Е.К. // Молодые ученые - науке и производству: Материалы конф. молодых ученых. - Саратов, 2008. - С. 203205.

73. Сергеева Е.К. Математическое моделирование резонансного взаимодействия упругих колебаний тонкой пластинки со сдвиговым сверхзвуковым течением / Сергеева Е.К., Гестрин С.Г., Сальников А.Н. // Молодежь и наука: реальность и будущее: Материалы II Междунар. науч.-прак. конф. - Невинномысск, 2009. - Т. 8. С. 518-520.

74. Сергеева Е.К. Взаимодействие тонкой пластинки с газодинамическим потоком / Сергеева Е.К. // ВНКСФ-15: Материалы Пятнадцатой Всероссийск. науч. конф. студентов - физиков и молодых ученых. - Кемерово - Томск, 2009. С.625-626.

75. Сергеева Е.К. Математическое моделирование ветровой неустойчивости изгибных колебаний пластины / Сергеева Е.К., Гестрин С.Г., Сальников А.Н. // Молодежь и научно-технический прогресс: Материалы регионал. науч.-прак. конф. - Владивосток, 2009. Ч. 2. С. 40^13.

76. Сергеева Е.К. Математическое моделирование взаимодействия течения газа с изгибными колебаниями пластины / Сергеева Е.К., Гестрин С.Г., Сальников А.Н. // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-22: Материалы XXII Междунар. науч. конф. - Псков, 2009. - Т. 8. С. 126-129.

77. Сергеева Е.К. Математическое моделирование «сверхзвукового» течения газа / Сергеева Е.К. // Инновации и актуальные проблемы техники и технологий: Материалы Всероссийск. науч.-прак. конф. молодых ученых. -Саратов, 2009. - Т. 1. С. 128-130.

78. Сергеева Е.К. Дисперсионное уравнение и инкремент неустойчивости для упругих колебаний пластины / Сергеева Е.К., Гестрин С.Г., Сальников А.Н. // Измерения в современном мире - 2009: Материалы Второй Междунар. науч.-прак. конф. - Санкт-Петербург, 2009. С. 276-278.

79. Сергеева Е.К. Резонансное взаимодействие «сверхзвукового» течения газа с пластиной / Сергеева Е.К., Гестрин С.Г., Сальников А.Н. // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-23: Материалы XXIII Междунар. науч. конф. - Саратов, 2010. - Т. 5. С. 120.

80. Сергеева Е.К. Система дифференциальных уравнений, описывающих взаимодействие тонкой пластины с газодинамическим потоком / Сергеева Е.К. // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-24: Материалы XXIV Междунар. науч. конф. - Киев, 2011. - Т. 1. С. 87-88.

81. Сергеева Е.К. Ветровая неустойчивость как причина возникновения панельного флаттера / Сергеева Е.К., Гестрин С.Г. // Проблемы управления, передачи и обработки информации АТМ-2011: Материалы Междунар. науч. конф. - Саратов, 2011. - Т. 2. С. 34-36.

82. Сергеева Е.К. Численный метод исследования дифференциального уравнения Рэлея / Гестрин С.Г., Сергеева Е.К. // Вестник СГТУ имени Гагарина Ю.А. - 2011. - № 4 (60). Вып. 2. - С. 7-11.

83. Фреман Н., Фреман П.У. ВКБ-приближение. - М.: Мир, - 1976. - 168 с.

84. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1965.-703 с.

85. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, - 1975. - 392 с.

86. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1983. - 352 с.

87. Charney J.G., Fjortoft R.J. Von Neumann. Numerical integration of the barotropic vorticity equation. Tellus. - 1950. - Vol. 2. - P. 237-254.

88. Hendcrshott M.C. Long waves and ocean tides. Ch. 10 in: B.A. Warren and C. Wunsch (eds.) Evolution of physical oceanography, MIT Press, 1981. - P. 292-341.

89. Alcrudo F., Garcia-Navarro P. A high resolution Godunov-type scheme in finite volumes for the 2D shallow water equation, Int. J. Numer. Meth. Fluids. - 1993. - № 16 - P. 489-505.

90. Stelling G.S. On the construction of the computational methods for shallow-water flow problems, PhD thesis Delft Univ. of Technology. - 1983. - 324 p.

91. Вольцингер H.E., Пясковский P.B. Теория мелкой воды. Океанологические задачи и численные методы. JL: Гидрометеоиздат. - 1977. - 310 с.

92. Овсянников JI.В. К обоснованию теории мелкой воды, Сборник «Динамика сплошной среды» вып. 15, СО АН СССР, 1973, - 320 с.

93. Остапенко В.В. О разрывных решениях уравнений мелкой воды над уступом дна.// ПМТФ. - 2002. - Т. 43. № 6. С. 62.

94. Остапенко В.В. Течения, возникающие при разрушении плотины над ступенькой дна.// ПМТФ. - 2003. - Т. 44. № 4. С. 51.

95. Борисова Н.М., Остапенко В.В. О численном моделировании процесса распространения прерывных волн по сухому руслу.// Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 2006. - Т. 46. № 7. С. 1322-1344.

96. Марчук А.Г., Чубаров Л.Б., Шокин Ю.И. Численное моделирование цунами. Новосибирск: Наука, - 1983. - 487 с.

97. Карельский К.В., Петросян А.С., Славин А.Г. Численное моделирование гидродинамических течений над произвольным профилем дна в рамках приближения квазидвухслойной мелкой воды.// Ротапринт ИКИ РАН. М., -2006.-С. 1-51.

98. Карельский К.В., Петросян А.Н. Задача о стационарном обтекании ступенек в приближении мелкой воды.// Известия РАН, Механика Жидкости и Газа, -2006.-№ 1.-С. 15-24.

99. Garvine R.W. Estuary plume and fronts in shelf waters: a layer modele, J. Phys. Oceanogr. - 1987. - № 17. - P. 1877-1896.

100. Крукиер Л.А., Муратова Г.В. Использование метода конечных разностей для решений уравнений мелкой воды.// Журн. Мат. Мод. - 2001. Т. 13. № 3. С. 57-60.

101. Hubbard М.Е., Garcia - Navarro P. Flux difference splitting and the balancing of source terms and flux gradients. J. Comput. Phys. - 2001. - № 165. - P. 89-125.

102. Epstein R.J., Srinivasan R., Do well E.H. Flutter of an infinitely long panel in a duct// AIAA Journal. 1995. V. 33. № 1. P. 109-115.

103. Audusse E., Bristeau F. A well-balanced positivity preserving «second-order» scheme for transport by shallow water equations on unstructured meshes. J. Comput. Phys. - 2005. - № 206. - P. 311-333.

104. Бетчов P., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. - M.: Мир, 1971.-340 с.

105. Беликов В.В., Семенов А.Ю. Построение численных методов распада разрыва для решений уравнений теории мелкой воды.// Труды ИОФАН. Выч. Гидродинамика природных течений. М.: Наука. Физматлит. - 1997. - Т. 53. С. 5-43.

106. Беликов В.В., Семенов А.Ю. Численный метод распада разрыва для решения уравнений теории мелкой воды.// Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 1997. - Т. 37. № 8. С. 1006-1019.

107. Чепмен Д.Р. Вычислительная аэродинамика и перспективы ее развития.// Ракетная техника и космонавтика. 1980. Т. 18. № 2. С. 3-32.

108. Ферцигер Дж.Х. Численное моделирование крупных вихрей для расчета турбулентных течений.// Ракетная техника и космонавтика. 1977. Т. 15. № 9. С. 56-66.

109. Сергеева Е.К. Математическое моделирование резонансного взаимодействия упругих колебаний тонкого стержня со сдвиговым течением «мелкой воды» / Гестрин С.Г., Сальников А.Н., Сергеева Е.К., Щукина Е.В. // Вестник СГТУ. - 2009. - № 3 (40). Вып. 1. - С. 7-14.

110. Сергеева Е.К. Резонансное взаимодействие упругих колебаний тонкого стержня со сдвиговым течением «мелкой воды» / Гестрин С.Г., Сальников А.Н., Сергеева Е.К. // Известия ВУЗов. Физика. 2010. - Т. 53, № 1. - С. 28-33.

111. Sergeeva Е.К. Resonant interaction of elastic thin bar vibrations with a shear shallow - water flow / Gestrin S.G., Salnicov A.N., Sergeeva E.K. // Russian Physics Journal. 2010. - Vol. 53, № 1. - P. 29-34.

112. Сергеева E.K. Математическое моделирование сверхзвукового полета (приближение «мелкой воды»)/ Гестрин С.Г., Сальников А.Н., Сергеева Е.К. // Интернет и инновации: практические вопросы информационного обеспечения инновационной деятельности: Материалы Междунар. науч.-прак. конф. -Саратов, 2008. - С. 43-48.

113. Сергеева Е.К. Взаимодействие колебаний тонкого стержня с потоком «мелкой воды» / Сергеева Е.К., Гестрин С.Г., Сальников А.Н. // ВНКСФ-15: Материалы Пятнадцатой Всероссийск. науч. конф. студентов и молодых ученых. - Кемерово - Томск, 2009. С. 626-627.

114. Сергеева Е.К. Математическое моделирование ветровой неустойчивости на «мелкой воде» / Сергеева Е.К. // Молодежь и научно-технический прогресс: Материалы регионал. науч.-прак. конф. - Владивосток, 2009. Ч. 2. С. 37-40.

115. Сергеева Е.К. Математическое моделирование «дозвукового» и «сверхзвукового» течения «мелкой воды» / Сергеева Е.К., Гестрин С.Г., Сальников А.Н. // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-22: Материалы XXII Междунар. науч. конф. - Псков, 2009. - Т. 5. С. 66-69.

116. Сергеева Е.К. Математическое моделирование ветровой неустойчивости в приближении «мелкой воды» / Сергеева Е.К. // Инновации и актуальные проблемы техники и технологий: Материалы Всероссийск. науч.-прак. конф. молодых ученых. - Саратов, 2009. - Т. 1. С. 130-131.

117. Сергеева Е.К. Система дифференциальных уравнений, описывающих взаимодействие «мелкой воды» со стержнем / Сергеева Е.К., Гестрин С.Г., Сальников А.Н. // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-23: Материалы XXIII Междунар. науч. конф. - Саратов, 2010. - Т. 5. С. 120-121.

118. Сергеева Е.К. Ветровая неустойчивость и резонансное взаимодействие стержня с течением «мелкой воды» / Сергеева Е.К., Гестрин С.Г. // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-24: Материалы XXIV Междунар. науч. конф. - Киев, 2011. - Т. 1. С. 66-68.

119. Сергеева Е.К. Моделирование панельного флаттера взаимодействием стержня с «мелкой водой» / Сергеева Е.К., Гестрин С.Г. // Проблемы управления, передачи и обработки информации АТМ-2011: Материалы Междунар. науч. конф. - Саратов, 2011. - Т. 2. С. 36-38.

120. Сергеева Е.К. Определение параметров ветровой неустойчивости аэроупругих и гидроупругих систем / Гестрин С.Г., Сергеева Е.К. // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012610990. Зарегистрировано от 24 января 2012 г.