Аналитическое и численное исследование одной модели турбулентного течения газа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Макаров, Максим Вячеславович

• Макаров, Максим Вячеславович
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Макаров, Максим Вячеславович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. О моделировании турбулентных течений п.1. Подход, основанный на системе уравнений Навье-Стокса. п.2. Осреднение по Рейнольдсу п.З. Осреднение по Фавру п.4. Подход, основанный на балансных соотношениях турбулентного потока

ГЛАВА II. Математическая модель установившегося турбулентного неизотермического течения вязкого сжимаемого неидеального газа в круглой цилиндрической трубе п.1. Физические особенности задачи и допустимые упрощения п.2. Баланс массы, импульса и внутренней энергии турбулентного потока в цилиндрической трубе п.З. Замыкающие уравнения п.4. Математическая модель (модель I)

ГЛАВА III. Анализ системы уравнений модели I и процедура решения п.1. Метод решения системы уравнений модели I п.2. Расчет профиля скорости турбулентного потока сжимаемого газа в трубе п.З. Расчет константы С\ п.4. Осреднение уравнения баланса импульса п.5. Осреднение уравнения баланса внутренней энергии п.6. Постановка задачи расчета плотности, давления и температуры турбулентного потока сжимаемого неидеального газа в трубе (модель II)

ГЛАВА IV. Численное и аналитическое решения системы уравнений модели II и ее вариантов п.1. Приведение к безразмерному виду и преобразование общей системы уравнений модели II п.2. Метод Рунге-Кутта для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка. п.З. Алгоритм численного решения преобразованной системы уравнений. п.4. Аналитическое решение системы уравнений модели III

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитическое и численное исследование одной модели турбулентного течения газа»

Расчет течения газа по трубопроводу, протянутому от газокон-денсатного месторождения на шельфе Баренцева моря на материк, основан на классической задаче гидроаэромеханики —- задаче о течении жидкости в трубах [4, 11, 20, 21]. Простейшие оценки (Глава II, п.1.) показывают, что при планируемых значениях давления на входе в трубопровод (« 15 МПа) реализуется режим развитого турбулентного течения. Как известно [1, 4, 11, 20, 21], всеобъемлющая теория турбулентности отсутствует. Большинство инженерных расчетов основано на так называемых полуэмпирических теориях турбулентности. Задача о турбулентном течении жидкости (газа) в цилиндрических трубах имеет многочисленные приложения, ей посвящено огромное количество работ, библиография содержится, например, в книгах [5, 13, 24, 25].

К особенностям турбулентного течения в трубах относятся:

• Структура турбулентного течения существенно изменяется поперек трубы.

• Значительная доля изменения скорости происходит в узком пристеночном слое, состоящем из вязкого ламинарного подслоя и логарифмического турбулентного слоя.

• Турбулентное ядро занимает основную часть поперечного сечения (« 85% при числах Рейнольдса Ие > 105). Изменение скорости в турбулентном ядре мало.

Такая картина турбулентного течения в трубах потверждает-ся многочисленными экпериментальными исследованиями, например [10, 13, 24, 27].

Первые попытки расчета турбулентных течений в трубах основаны на введении коэффициентов турбулентного переноса, таких как: длина пути смешения, коэффициент турбулентной вязкости и т.п. Эти теории называют феноменологическими или полуэмпирическими теориями турбулентности, т.к. они сочетают в себе эвристические соображения и эмпирические данные для расчета турбулентных течений [8, 9, 10, 13, 18, 26]. Полуэмпирические теории (Прандтля, Кармана и др.) дают правильные результаты для конкретных практических задач и поэтому являются основой многих современных расчетов турбулентных течений в трубах. Известно [13, 18, 32], что в теоретическом плане ранние полуэмпирические теории турбулентности не безупречны. Это стимулировало дальнейшие исследования [12, 16, 17, 25, 26]. В частности, в диссертации используется одна из полуэмпирических моделей турбулентности Новожилова - Павловского [12], полученная как обобщение одной из первых полуэмпирических моделей турбулентности, предложенной Карманом [9]. Большая практическая ценность модели Новожилова - Павловского заключается в том, что выбор эмпирических констант, входящих в эту модель, основан на обработке обширного экспериментального материала по течению жидкостей и газов [10, 13, 17, 19, 30, 36]. Это позволяет надеяться на достаточную точность интегральных характеристик течения, полученных на основе этой модели.

Дополнительные трудности возникают при моделировании сжимаемых жидкостей (в рассматриваемой задаче это неидеальная газовая смесь). Неизотермичность процессов и необходимость учета сжимаемости требуют исследования термодинамики турбулентного потока, что, очевидно, существенно более сложная задача, чем моделирование изотермического течения несжимаемой жидкости. Исследования в этом направлении представлены в работах [2, 3, 11, 19, 24, 32, 36, 40, 44, 45, 50].

Диссертационная работа является частью исследования проблем транспортировки природного газа по донным трубопроводам, начатого в 90-х годах прошлого века на кафедре физической механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета [44, 45, 46].

В диссертации исследуется ряд возможных моделей течения газа по донным трубопроводам большой протяженности. Рассмотрены достаточно общие модели течения (модели I, II), позволяющие учесть неизотермичность, сжимаемость, рельеф трассы, неидеальность газа. Предложен алгоритм численного решения уравнений модели II, который реализован в виде комплекса программ (Приложение). Для упрощенной модели (модели III) найден интеграл системы уравнений и получено точное аналитическое решение уравнений модели (Глава IV, п

Результаты исследований моделей неизотермического установившегося турбулентного течения сжимаемого газа, проведенные в настоящей диссертации, представляют теоретический интерес. Они позволяют сравнить два подхода к моделированию турбулентных течений в цилиндрических трубах — подход Прандтля-Никурадзе, рассмотренный для подобных задач в работах [44, 45], и подход Новожилова-Павловского. Несомненный теоретический интерес представляет найденное аналитическое решение упрощенного варианта модели (модели III), которая описывает в осредненной по сечению трубы форме неизотермическое установившееся турбулентное течение идеального сжимаемого газа в горизонтальной трубе. Сравнение расчетов по моделям II и III позволило оценить роль учета неидеальности газа, которая, как оказалось, весьма существенна.

Возможность использования исследованных моделей и соответствующего комплекса программ в инженерной практике несколько ограничена принятым допущением о гидравлической гладкости внутренних стенок трубопровода. Тем не менее в блазиусовском диапазоне чисел Рейнольдса полученные решения и программы расчета давления, плотности, температуры и скорости потока имеют большое прикладное значение.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Макаров, Максим Вячеславович

Основные результаты и выводы

При исследовании задачи траснпортировки газа по трубопроводам большой протяженности получены следующие результаты, выносимые на защиту.

1. Исследована математическая модель установившегося неизотермического турбулентного течения сжимаемого неидеального газа в цилиндрической трубе постоянного сечения при больших числах Рейнольдса и малых числах Маха, основанная на полуэмпирической модели Новожилова-Павловского, обобщенной на сжимаемые среды (модель I).

2. Решена задача расчета профиля скорости турбулентного потока в условиях модели I для гидравлически гладких труб; решение оформлено в виде программы.

3. Получена система уравнений, связывающая осредненные по сечению трубопровода давление, плотность и температуру потока (модель II); модель II включает учет неидеальности газа, рельефа трассы и условий теплообмена турбулентного потока с окружающей средой.

4. Алгоритм численного решения системы дифференциальных уравнений модели II оформлен в виде комплекса программ; анализ результатов расчета различных вариантов транспортировки газа позволил сделать важные для приложений выводы.

5. Найдено точное аналитическое решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений, моделирующих поведение осре-денных давления, плотности и температуры установившегося турбулентного потока при трех упрощающих предположениях: труба теплоизолирована, газ идеальный, трасса горизонтальна.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации исследована математическая модель установившегося неизотермического турбулентного течения сжимаемого неидеального газа в гидравлически гладкой цилиндрической трубе с учетом теплообмена с окружающей средой и с учетом влияния силы тяжести. В отличии от известных математических моделей таких течений [45], основанных на полуэмпирической модели Прандтля-Никурадзе, в диссертации использована полуэмпирическая модель Новожилова-Павловского (обобщенная модель Кармана). Эта модель, предложенная авторами для несжимаемых жидкостей, обобщается в диссертации на сжимаемый газ. В вычислительном плане по-луэмпириеская модель Новожилова-Павловского существенно сложнее, чем модель Прандтля-Никурадзе, т.к. в ней путь перемешивания выражается через первую и вторую производные от г -ой компоненты скорости потока, тогда как в модели Прандтля-Никурадзе путь перемешивания пропорционален расстоянию до стенки. Несмотря на эти трудности в диссертации решена задача расчета профиля скорости турбулентного потока сжимаемого газа. Найденное решение является обобщением результатов Новожилова-Павловского на сжимаемые среды при малых числах Маха. В решение входят интегралы от бета-функций, численный расчет которых оформлен в виде программ (Приложение). Методом, предложенным Б. В. Филипповым [44], проведено осреднение нелинейных уравнений модели по сечению трубопровода и построен алгоритм численного решения модели II, позволяющей рассчитать давление, плотность, температуру и скорость рассматриваемого турбулентного потока.

Этот алгоритм реализован в виде комплекса программ (Приложение). Модель II охватывает часть допустимого диапазона изменения входных параметров и служит хорошим приближением для ряда режимов эксплуатации газовых трубопроводов.

Анализ численных расчетов по модели II позволил сделать следующие выводы:

• отличие трассы от горизонтальной более всего сказывается на начальном участке трубопровода, а именно, наличие значительного уклона в начале трассы приводит к существенным изменениям характеристик потока, в то время, как наличие аналогичного уклона в конце трассы практически не оказывает влияния на характеристики потока (Приложение);

• существенен учет неидеальности газовой смеси; переход от уравнения состояния неидеальной газовой смеси Редлиха-Квонга к уравнению состояния идеального газа приводит к искажению профиля температуры вдоль трассы на несколько градусов (в одном и том же сечении);

• большое влияние на основные характеристики потока оказывает условие теплообмена с окружающей средой;

Наряду с общей моделью II рассмотрен упрощенный вариант — модель III, котрая получена при трех предположениях: газ идеальный, теплообмен отсутствует, трасса горизонтальна. Несмотря на эти упрощения, модель III описывает достаточно сложное течение, а именно установившееся дозвуковое турбулентное течение неизотермического сжимаемого газа. В диссертации доказано, что в таком течении для осредненных по сечению характеристик потока имеет место интеграл движения типа интеграла Бернулли, а именно осредненная по сечению полная энтальпия {к} = (срТ-\~и2/2) сохраняется. В диссертации найдено точное решение (Глава IV, п.4-) системы дифференциальных уравнений модели III.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Макаров, Максим Вячеславович, 2002 год

1. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973.

2. Струминский В. В. Основные направления теоретических исследований проблемы турбулентности. Механика турбулентных потоков. М.: Наука, 1980.

3. Бай Ши И. Турбулентные течения жидкостей и газов. М.: ИЛ, 1962.

4. Лойцянский Л. Н. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973.

5. Турбулентность, принципы и применения: Сб. статей/Под ред. У. Фроста и Т. Моулдена. М.: Мир, 1980.

6. Брэдшоу Д. Введение в турбулентность и ее измерения. М.: Мир, 1974.

7. Рейнольде О. Динамическая теория движения несжимаемой вязкой жидкости и определение критериев//Проблемы турбулентности: Сб. переводных статей. М.-Л.: ОНТИ СССР, 1936.

8. Прандтлъ Л. Результаты работ последнего времени по изучению турбулентности//Проблемы турбулентности: Сб. переводов. М.-Л.: ОНТИ СССР, 1936.

9. Карман Т. Некоторые вопросы турбулентности//Проблемы турбулентности: Сб. переводов. М.-Л.: ОНТИ СССР, 1936.

10. Никурадзе И. Закономерности турбулентного движения жидкости в гладких трубах//Проблемы турбулентности: Сб. переводов. М.-Л.: ОНТИ СССР, 1936.

11. Кочин Н. Е., Кибелъ И. А., Розе Н. В. Теоретическая механика. Т.2. М.-Л.: ОГИЗ, 1948.

12. Новожилов В. В. Установившиеся пристенные течения в свете обобщенной теории Кармана//ПММ АН СССР, 1983. Т. 47. N4. С. 694 700.

13. Рейнольде А. Дж. Турбулентные течения в инженерных приложениях. М.: Энергия., 1979.

14. Шиллер А. Движение жидкостей в трубах. М.-Л.: ОНТИ СССР, 1936.

15. Зегжда А. П. Гидравлические потери на трение в каналах и трубопроводах. М.-Л.: Гос. изд-во лит-ры стр. и арх., 1957.

16. Тоунес Д., Гоу Н., Пау Н., Вебер Е. Турбулентный поток в гладких и шероховатых трубах//Теоретические основы инженерных расчетов. 1972, 2. С. 108 119.

17. Рошко Д. Структура турбулентных сдвиговых течений; новая точка зрения (Драйденовская лекция)//Ракетная техника и космонавтика, 1976. 10. С. 8-14.

18. Новожилов В. ВПавловский В. А. Напорное плоское турбулентное течение Куэтта несжимаемой жидкости в свете обобщенной теории Кармана//ДАН СССР, 1985. Т. 283. N5. С. 11311134.

19. Современная гидродинамика. Успехи и проблемы//Под ред. Дж. Бэтчелора и Г. Моффата. М.: Мир, 1984.

20. Седов Л. И. Механика сплошной среды. 4.1, II. М.: Наука, 1970.

21. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975.

22. Acmapuma ДМаруччи Д. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М.: Мир, 1978.

23. Эриксон М. Исследование по механике сплошных сред. М.: Мир, 1977.

24. Лапин Ю. В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа. М.: Мир, 1975.

25. Глушко Г. С Некоторые особенности турбулентных течений несжимаемой жидкости с поперечным сдвигом//Изв. АН СССР: Сер. Механика жидкости и газа, 1971. 4. С. 51-59.

26. Хонъкин А. Д., Воротников П. П., Плоцкий А. И. Турбулентные течения в пограничном слое. Ч. I. Феноменологические подходы и новые направления в исследовании турбулентности. М.: ОНТИ ЦАГИ, 1979.

27. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.

28. Черных К. Ф. О формах связи между симметричными тензорами в механике сплошных сред//Механика твердого тела. 1967, 3. С. 42-57.

29. Vakulenko A. and, Markov К. On the bases in the space of second-order tensors//Bulletin de l'Academie Polonaise des sciences, ser. des sciences techniques, 1976. Vol.24. 6. P. 282-292.

30. Новожилов В. В., Павловский В. А. Описание турбулентныхтечений на феноменологическом уровне, ИПМ АН СССР: Препринт 341. М., 1988.

31. Кутателадзе С. С.Основы теории теплообмена. М.: Атомиз-дат, 1979.

32. Бэтчелор Д. К. Теория однородной турбулентности. М.: Изд-во иностр. лит., 1955.

33. Ван Дрист Е. Д. Конвективная теплопередача в газах. —

34. В кн.: Турбулентное течение и теплопередача. М.: Изд-во иностр лит., 1963.

35. Кутателадзе С. С., Леонтьев А. И. Турбулентный пограничный слой сжимаемого газа. Новосибирск.: Изд-во СО АН СССР, 1962.

36. Лыков А. В. Тепломассообмен. М.: Энергия, 1972.

37. Турбулентное течение и теплопередача. Под ред. Ц. Ц. Линя. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.

38. Николаевский В. Н. Пространственное осреднение и теория турбулентности//Вихри и волны: Сб.статей. М.: Мир, 1984, С. 266-335.

39. Гуржиенко Г. А. Влияние вязкости жидкости на законы турбулентного течения в прямой цилиндрической трубе с гладкими стенками//Труды ЦАГИ, вып.ЗОЗ. М., 1936.

40. Дмитриев Н. М., Лурье М. В. О реологической модели анизотропной турбулентности. ДАН СССР, 1975, Т. 225, 4.

41. Нигматуллин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.

42. Николаевский В. Н. Тензор напряжений и осреднение в механике сплошных сред. ПММ, Т. 39, 2, 1975.

43. Новожилов В. В. Реология установившихся турбулентных течений несжимаемой жидкости. Изв. АН СССР, Мех. жидк. газов, 1973, 3.

44. Фридман А. А., Келлер Л. В. Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости. М.: Наука, 1966.

45. Курбатова Г. И., Скробач А. В., Филиппов Б. В. Турбулентное неизотермическое движение газа в трубопроводе. Труды конференции "Новожиловские чтения". СПб., 1998, С. 225-230.

46. Скробач А. ВФилиппов Б. В. Модель Прандтля-Никурадзе для неизотермического турбулентного движения неидеального газа в круглой трубе. Сб." Физическая механика". вып. 7, СПбГУ, 1998, С. 9-35.

47. Дерцакян А. К., Курбатова Г. И., Неизвестное Я. В., Филиппов Б. В. Некоторые научно-технические проблемы освоения шельфа арктических морей России. Труды XIII сессии международной школы по моделям механики сплошных сред. СПб., 1996, С. 99 109.

48. Новожилов В. В., Павловский В. А. Установившиеся турбулентные течения несжимаемой жидкости. СПб.: СПб ГМТУ, 1998.

49. Курбатова Г. И., Филиппов В. Б. Элементы тензорного исчисления. СПб. Изд-во СПбГУ. 1998.

50. Рид Р., Прауспиц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей. Л.: Химия. 1982.

51. Курбатова Г. И., Филиппов Б. В. Основы моделирования движущихся сред. Термодинамика. СПб. Изд-во СПбГУ. 1997.

52. Градштейн И. СРыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М. Наука. 1971.

53. Coles D. Е. Hirst Е. A. Memorandum on data seiection. Proc. Computation of Turbulent Boundary Layers: AFORS-IFP. Stanford Conf, 1968.

54. Колмогоров В. В. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса//ДАН СССР. 1941. Т. 30. N4. с. 299-303.

55. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т.2, М., 1962.

56. Лапин Ю. В., Стрелец M. X. Внутренние течения газовых смесей. М.: Наука, 1989.

57. Курбатова Г. И., Макаров М. В. Об одном интеграле системы уравнений, моделирующей турбулентное течение вязкого сжимаемого газа. Сб."Процессы управления и устойчивость". СПб. 1998. С. 157-163.

58. Макаров М. В. Численное интегрирование системы уравнений неизотермического течения вязкого сжимаемого газа в трубопроводах. Сб. "Процессы управления и устойчивость". СПб. 1999. С. 272-276.

59. Курбатова Г. И., Макаров М. В., Филиппов В. Б. Анализ тепловых режимов течения газа в донных трубопроводах. Вестник СПбГУ. Серия 1. Вып.2. СПб. 2002.С.

60. Макаров М. В., Попова Е. А. Обобщение модели Новожилова Павловского для сжимаемых сред при малых числах Маха. Сб. "Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела". Вып.5. СПб. 2002. С. 59 - 64.