Аналитические решения осесимметричных контактных задач теории упругости для функционально-градиентного слоя тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Волков, Сергей Сергеевич

• Волков, Сергей Сергеевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Волков, Сергей Сергеевич

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

ГЛАВА 1. Обзор методов создания, исследования и математического моделирования защитных покрытий

1.1 Технологии создания и применения защитных покрытий

1.2 Методы определения физических и геометрических характеристик покрытия. Метод наноиндентирования

1.3 Математическое моделирование механического поведения покрытий

ГЛАВА 2. О внедрении индентора в неоднородное упругое покрытие постоянной толщины, лежащее на деформируемом основании

2.1 Выбор математической модели и постановка контактной задачи (о внедрении жесткого индентора в неоднородное покрытие, лежащее на деформируемом основании)

2.2 Интегральное уравнение задачи

2.3 Численное построение трансформанты Ь{и) ядра интегрального уравнения в случае скачка упругих модулей в зоне сопряжения покрытие/подложка

2.4 Численный анализ влияния жесткости упругого основания на поведение трансформант ядер для случая свободно лежащего и закрепленного слоя

2.5 Приближенное аналитическое решение парных интегральных уравнений, порождаемых контактной задачей о внедрении конического индентора в неоднородное упругое полупространство

2.6 Вывод основных соотношений для численного построения полей деформаций, напряжений и смещений по глубине неоднородного

полупространства

ГЛАВА 3. Численный анализ влияния геометрических и упругих параметров на решение контактной задачи о вдавливании индентора в неоднородное покрытие 51 3.1 Анализ влияния упругих параметров подложки на распределение контактных напряжений и напряженное состояние в однородном и неоднородном покрытии при внедрении индентора с плоской формой основания

2

3.2 Численный анализ напряженного-деформированного состояния под

индентором со сферической формой основания

3.3 Численный анализ напряженного-деформированного состояния под индентором с конической формой основания

3.4 Анализ механических свойств двухслойных антифрикционных покрытий

железнодорожных рельс

ГЛАВА 4. Осесимметричная контактная задача об изгибе круглой пластины, лежащей на неоднородном мягком слое конечной толщины

4.1 Постановка задачи

4.2 Построение решения

4.3 Численное построение контактных напряжений возникающих под пластиной

в случае действия на нее равномерно распределенной нагрузки

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитические решения осесимметричных контактных задач теории упругости для функционально-градиентного слоя»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы диссертации

В настоящее время во многих отраслях промышленности и на транспорте для повышения износоустойчивости изделий, увеличения сроков эксплуатации механизмов и машин, повышения коррозийной стойкости, способности функционировать в широком диапазоне температур используются функционально-градиентные и наноструктурные покрытия. Преимущества, связанные с увеличением срока эксплуатации изделий, стимулируют процесс создания функционально-градиентных покрытий, несмотря на все возрастающую сложность разработки новых технологий получения таких материалов. Существующие способы получения функционально-градиентных покрытий позволяют добиться заданного закона изменения упругих свойств покрытия по его толщине.

К основным направлениям развития современных технологий создания покрытий относятся следующие:

- разработка и внедрение новых способов производства многофункциональных композитных и градиентных покрытий на основе многокомпонентного напыления и лазерного плакирования;

- изготовление специализированных функциональных тонкослойных (10100 мкм) и толстослойных (100-1000 мкм) покрытий для промышленности и транспорта;

- внедрение комплексной диагностики для контроля параметров изготовленного покрытия: твердость (модуль Юнга) покрытия по его толщине, количество и качество слоев и их толщины и т. д. В качестве метода диагностики и контроля покрытий успешно применяется и развивается метод наноиндентирования. Полученные благодаря этому методу знания о структуре и свойствах покрытия (модуль Юнга, значения коэффициента Пуассона, толщина покрытия и т. п.) дают необходимую основу для построения математической модели покрытия;

- математическое моделирование свойств и функциональных характеристик покрытий в процессе их эксплуатации.

Последнему направлению уделяется все большее внимание, как на стадии проектирования покрытия, так и на стадии его изготовления и эксплуатации. Прежде всего, это математическое моделирование задачи о контакте изделий через покрытие, так как контакт является основным способом приложения нагрузок к деформируемому телу. Зачастую именно концентрация напряжений в зоне контакта инициирует разрушение материала, которое происходит в процессе функционирования машин и механизмов.

Цели работы состоят в следующем:

1) разработать эффективные математические методы решения задач контактного взаимодействия элементов конструкций с мягкими неоднородными покрытиями,

2) исследовать влияние формы индентора и неоднородности покрытия на напряженно-деформированное состояние мягкого покрытия: на особенности распределения контактных напряжений под индентором по толщине покрытия и на величину смещений поверхности вне основания индентора,

3) исследовать применимость упрощенных математических моделей контактного взаимодействия инденторов с мягкими неоднородными покрытиями.

Научную новизну работы составляют следующие основные результаты:

- разработан и численно реализован метод решения контактных задач:

1) о внедрении индентора с плоской подошвой, сферической или конической формы в неоднородный мягкий слой,

2) об изгибе круглой пластины со свободными и закрепленными краями, лежащей на неоднородном мягком слое,

- получено приближенное аналитическое решение контактной задачи о внедрении конического индентора в неоднородное упругое полупространство,

- предложен подход, позволяющий строить эффективные решения контактных задач в случае существенного скачка упругих свойств в зоне сопряжения покрытие/подложка,

- построено численно-аналитическое решение контактной задачи об изгибе круглой пластины с закрепленными краями, лежащей на неоднородном слое, сцепленном с упругим полупространством,

- проведена оценка применимости ряда упрощенных моделей контактного взаимодействия (модель Фусса — Винклера, модель слоя на недеформируемом основании) на примере решения контактных задач о внедрении индентора с плоской подошвой в мягкое неоднородное покрытие,

- проведено математическое моделирование механического поведения двухслойного антифрикционного покрытия железнодорожных рельсов при контактном воздействии. Распределение модуля Юнга по глубине покрытия восстановлено из результатов эксперимента по наноиндентированию.

Достоверность результатов работы обеспечивается:

- строгостью использованного математического аппарата,

- соответствием выявленных эффектов физическому смыслу задач,

- совпадением, в частных случаях, построенных решений с известными решениями.

Практическая ценность работы

Результаты работы могут быть использованы:

1)для моделирования и оптимизации структуры мягких неоднородных покрытий,

2) при расчете и исследовании тонкостенных элементов конструкций, контактирующих с мягким неоднородным слоем,

3) при моделировании процесса индентирования мягких покрытий и определения напряженно-деформированного состояния по его толщине,

4) для определения диапазонов изменения геометрических и физических параметров задач, допускающих решение с помощью упрощенных математических моделей.

Методы исследования

Решаемые контактные задачи применением методов интегральных

преобразований сводятся к интегральному уравнению Фредгольма 1 рода,

6

решение которого строится с применением двусторонне-асимптотического метода. Трансформанта ядра интегрального уравнения задачи строится численно с помощью модификации метода моделирующих функций.

Положения, выносимые на защиту:

- развитие двусторонне-асимптотического метода решения интегральных уравнений, позволившее моделировать процесс контактного взаимодействия как недеформируемых, так и гибких элементов конструкций с мягкими неоднородными покрытиями,

- приближенное аналитическое решение осесимметричной контактной задачи о внедрении конического индентора в неоднородное по глубине полупространство при произвольном законе неоднородности,

- приближенное аналитическое решение осесимметричной контактной задачи об изгибе круглой пластины с закрепленными краями, лежащей на мягком неоднородном слое,

- исследование границ применимости упрощенных математических моделей (модель Фусса — Винклера, модель недеформируемого основания) контактного взаимодействия индентора с плоской подошвой с мягкими неоднородными покрытиями.

Апробация работы

Результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались на: VI,

VII Всероссийских школах-семинарах «Математическое моделирование и

биомеханика в современном университете», (пос. Дивноморское 2011, 2012); XIV

Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной

среды» (г. Ростов-на-Дону, 2011); X Всероссийском съезде по фундаментальным

проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, август

2011); Международной научно-технической конференции «Полимерные

композиты и трибология ПОЛИКОМТРИБ-2011» (Гомель, Беларусь, 2011);

Российско-Тайваньских симпозиумах «Physics and mechanics of new materials and

their applications» (г. Ростов-на-Дону, 2012, г. Гаосюн, Тайвань, 2013); 23-м

Международном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Пекин,

7

Китай, 2012); Международной конференции «Современные проблемы механики», посвященной 100-летию J1.A. Галина (Москва, 2012); X Международной конференции «Методологические аспекты сканирующей зондовой микроскопии (Минск, Беларусь, 2012), I Международной конференции «Shell and Membrane Theories in Mechanics and Biology» (Минск, Беларусь, 2013).

ч

Публикации

По теме диссертации опубликовано 20 работ, в том числе четыре статьи [4,39,40,130] представлены в журналах из "Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук", утвержденного ВАК РФ. Зарегистрировано 2 программы для ЭВМ [67,68].

В работах [4,13-15,44 ,95] Волкову С.С. принадлежат результаты по решению контактной задачи о внедрении индентора с плоской подошвой в слой в случае существенного отличия упругих свойств в зоне покрытие/подложка.

В работах [39,16,20,45,92,93,96,97,130] соавторам принадлежит постановка задачи и выбор метода исследования. Волкову С.С. принадлежит построение аппроксимаций трансформант ядер высокой точности для случая существенного скачка модуля Юнга в зоне сопряжения слой/основание, а также численный анализ полученных результатов.

В работе [43] Волкову С.С. принадлежит постановка задачи и построение аппроксимаций трансформанты ядра высокой точности.

В программах для ЭВМ [67,68] Волкову С.С. принадлежит алгоритм для вычисления осадки поверхности вне штампа.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 152 наименований, общий объем диссертации составляет 141 ч страницу.

На различных этапах данная работа поддерживалась грантами

Министерства образования и науки РФ (ГК № 11.519.11.3015, № 11.519.11.3028,

8

соглашение № 14.В37.21.1632) и Российского фонда фундаментальных исследований (№ 13-07-00952-а).

Краткое содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы и сформулированы цели проводимого исследования.

В ГЛАВЕ 1 проводится обзор технологий создания и применения современных защитных покрытий. Дается краткая информация о использующихся на практике способах для контроля и определения упругих свойств готовых покрытий. Приводится обзор существующих методов решения контактных задач теории упругости.

В ГЛАВЕ 2 сформулирована постановка осесимметричной контактной задачи о вдавливании индентора с плоской подошвой, а также сферической и конической формы в неоднородный слой конечной толщины, лежащий на деформируемом основании. Предложен метод численного построения трансформанты ядра интегрального уравнения (2), основанный на модификации метода моделирующих функций, предложенного В. А. Бабешко, Е. В. Глушковым, Н. В. Глушковой. Модификация метода позволяет численно построить трансформанту ядра для любого значения величины скачка модуля Юнга в зоне покрытие/подожка. Рассмотрены случаи, когда слой сцеплен с полупространством и когда слой свободно лежит на нем. В качестве параметра, определяющего величину данного скачка, вводится в рассмотрение параметр р, равный отношению модуля Юнга материала подложки к модулю Юнга покрытия в зоне их сопряжения.

Проведено численное сравнение значений трансформант L(u) ядер интегральных уравнений при ие [0,°°) для случая упругого слоя, свободно лежащего на упругом полупространстве, и слоя, сцепленного с полупространством, для характерных законов изменения модуля Юнга покрытия с глубиной. С помощью двустороннего асимптотического метода решения интегрального уравнения стро-

ится приближенное аналитическое решение задачи о вдавливании конического индентора.

В ГЛАВЕ 3 построены аппроксимации высокой точности трансформанты ядра интегрального уравнения контактной задачи для однородного слоя в виде (3) для случая, когда модуль Юнга подложки в 2, 5, 10, 100, 1000 раз больше модуля Юнга слоя. Для случаев внедрения индентора с плоской подошвой и внедрения сферического индентора в слой построено распределение контактных напряжений под штампом и произведено их сравнение с численными результатами, полученными другими методами (регулярным и сингулярным асимптотическим методом и методом ортогональных многочленов) для недеформируемого основания приведенными в монографии Александрова В.М., Пожарского Д.А. "Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел" 1998 года. Максимальное различие между значениями контактных напряжений, указанными в монографии Александрова В.М., Пожарского Д.А. и полученными в настоящей работе, наблюдается при X = 0,25, и не превышает 3%, а в случае X > 1 погрешность составляет менее 0,8%.

Проанализирован случай внедрения индентора в покрытие, у которого модуль Юнга изменяется по глубине. Здесь же проводится анализ применимости модели Фусса — Винклера на примере решения задачи о внедрении индентора с плоской подошвой. Определены диапазоны значений параметров X и р, при которых применима модель Фусса — Винклера. Для модуля Юнга, линейно убывающего с глубиной покрытия, при (3=100 диапазон применимости модели Фусса — Винклера X е [0.1,0.22], а для линейного возрастающего модуля Юнга Хе [0.03,0.25] при том же |3.

Построены смещения и главные напряжения внутри неоднородного слоя, модуль Юнга которого меняется с глубиной по линейному закону (возрастающему или убывающему). Исследованы случаи внедрения инденторов как с плоской подошвой, так и сферической и конической формы.

В этой же главе осуществлено моделирование процесса индентирования двухслойного антифрикционного покрытия железнодорожных рельс. Покрытие представляет собой силовой каркас, нанесенный на рельс методом электроискрового легирования, который затем покрывается антифрикционным полимерным композитом с модулем Юнга, равным 3,2 ГПа. Индентирование покрытия осуществлялось сферическим индентором. Модуль Юнга силового каркаса восстановлен по результатам наноиндентирования.

В ГЛАВЕ 4 дана постановка задачи об изгибе круглой пластины, лежащей на функционально-градиентном слое конечной толщины. Построено аналитическое решение задачи для случая жесткого закрепления краев пластины. Рассмотрено влияние граничных условий на распределение контактных напряжений под пластиной в зависимости от значений физических и геометрических параметров и закона изменения модуля Юнга с глубиной при действии равномерно распределенной нагрузки.

ГЛАВА 1. Обзор методов создания, исследования и математического моделирования защитных покрытий

1.1 Технологии создания и применения защитных покрытий

Остановимся на методах создания слоистых и функционально-градиентных покрытий как самых перспективных. С этой целью применяются методы химического осаждения из газовой фазы (СУХ)) и физического осаждения из паров или плазмы (Р\Т)). Другой способ — диффузионный [84] — основывается на том, что первоначально созданное слоистое покрытие, с использованием методов химико-термической обработки, начинает обладать плавными переходами между слоями в результате диффузии слоев друг в друга. Такие покрытия применяются в энергетике (для защиты поверхности лопаток паровых турбин от каплеударной эрозии) [57], машиностроении (для повышения износостойкости деталей и прочности конструкций) [100,124,125], авиации [82], космонавтике (для защиты от высоких температур и трения). Подобные материалы перспективны также для создания биосовместимых покрытий на имплантатах, формирования функциональных покрытий различного назначения, в том числе оптических [73,123].

Одним из подвидов функционально-градиентных покрытий считаются периодические, в которых слои из различных материалов сменяют друг друга по глубине покрытия 10 и более раз [119]. Предлагаются также варианты периодической конструкции покрытий, в которых модуль Юнга меняется по глубине непрерывно [126]. Несмотря на то, что механизм повышения прочностных характеристик пока еще недостаточно исследован, данный эффект экспериментально подтвержден [103]. Ведутся исследования по применению таких покрытий в энергетике [57].

Рисунок

1.1 — Многослойное нанокомпозитное покрытие, получаемое магнетронным

распылением

Еще одной перспективной технологией создания покрытий с заданной структурой является технология лазерного плакирования, позволяющая получать поверхностные слои с функционально-градиентной микроструктурой, или покрытие из композиционного материала с металлической матрицей с компонентами различного состава. Лазерное плакирование с касательным инжектированием порошка в зону плакирования позволяет производить смешивание компонентов покрытия непосредственного в процессе изготовления и тем самым корректировать его состав. Эта технология является одним из перспективных направлений изготовления износоустойчивых покрытий. Использование наноструктурирования позволят получить композиционный материал с металлической матрицей, износ которого происходит более равномерно. Послойное лазерное плакирование обеспечивает получение функционально-градиентного материала с вертикальной ориентацией.

Современные технологии напыления (например, детонационное напыление

и холодное газодинамическое напыление) имеют существенные преимущества

13

при производстве различных технических покрытий и обеспечивают следующие возможности:

— применение в качестве исходного сырья всех порошковых материалов;

— комбинирование напыляемых порошков;

— возможность обработки наноструктурированных порошковых материалов без нарушения структуры;

— создание плотных, однородных покрытий, обладающих высокой адгезией к подложке;

— устранение ограничений на материал подложки, в том числе для керамических материалов, стекла, полимеров и т. п.

Важным классом покрытий, широко используемых на практике, являются мягкие покрытия. К ним относятся покрытия, созданные из мягких металлов [72], различные краски, твердые смазки, мягкие полимеры и др. Интенсивно развивается создание смазок из полимерных композитов, с применением метода электроискрового легирования. Такого рода смазочные покрытия являются перспективными для применения на железнодорожном транспорте [65,66,120]. При этом значения модуля Юнга некоторых таких смазок отличаются более чем в 400 раз от его значений для рельсовой стали [54].

1.2 Методы определения физических и геометрических характеристик покрытия. Метод наноиндентирования

К наиболее важным характеристикам защитных покрытий, влияющим на их эксплуатационные качества, относятся:

- толщина,

- прочность при ударе,

- прочность при растяжении,

- адгезия - сила сцепления между покрытием и подложкой,

- твердость - способность противостоять образованию царапин и истиранию,

- модуль Юнга - величина, отражающая способность материала противодействовать сжатию/растяжению при упругой деформации.

Измерение толщины покрытий на сталях производят магнитными измерителями, на титановых и алюминиевых подложках — измерителями, работающими на принципе вихревых токов, на неметаллических подложках (пластик, древесина, бетон, дерево) — ультразвуковым методом [131].

Прочность при ударе показывает способность покрытия выдерживать ударные воздействия. При этом испытании важно учитывать толщину покрытия и эластичность подложки. Прибор для измерения удара называется копер. В качестве количественной характеристики может применяться, например, величина максимального удара грузом единичной массы, не нарушающего целостность покрытия при стандартной толщине.

Измерение прочности на вытяжке для контроля качества лакокрасочных покрытий регламентируется ГОСТ 29309.

Для измерения адгезии применяются различные методы, так или иначе основанные на измерении силы, прикладываемой к покрытию в направлении от образца, которая приводит к его отрыву. Различные методы измерения адгезии приводятся в ГОСТ 15140, 28089, 28574, 24992. Современным методом измерения адгезии покрытий является метод скретч-тестирования, при котором происходит внедрение индентора нормально к поверхности образца при одновременном приложении латеральной нагрузки. Однако, поскольку результаты такого эксперимента во многом зависят от формы используемого индентора, а также от упругих и пластических свойств пленки данная методика может применяться только для сравнения адгезионных свойств различных образцов покрытий между собой.

Для определения физико-механических характеристик материала применяются динамические методы: отскок (ГОСТ 27110-86), удар, выстрел и др. Применение их для оценки свойств покрытий требует учета упругих свойств подложки.

В качестве метода контроля параметров изготовленного покрытия (изменения модуля Юнга покрытия по его толщине, количество и качество слоев, и их

толщины, твердости) широко распространен и развивается метод наноиндентиро-

15

вания. Этот метод возник в результате продолжительного во времени эволюционного развития методов локальных механических воздействий, в частности, измерения твердости как отношения силы вдавливания индентора в материал к площади отпечатка. В настоящее время наноиндентирование применяется для решения разнообразных физических задач и выяснения фундаментальных закономерностей поведения нанометровых приповерхностных слоев самых разных материалов - от мягких биологических до сверхтвердых алмазоподобных. Основательный обзор метода и его приложений, наряду с авторскими исследованиями и экспериментальными результатами приводятся в монографии Ю.И. Головина [133].

Работы Г. Герца [112, 113] в области контактных задач послужили основой для развития методов определения твердости и модуля Юнга материала. Идея непрерывной регистрации кривой «нагрузка-деформация» [134] стала заметной вехой в развитии данной методологи. Первоначальное развитие она получила благодаря советским ученым А.П. Терновскому, В.П. Алехину, М.Х. Шоршорову, М.М. Хрущову и их коллегам [135,136]. Однако, настоящий всплеск интереса к наноиндентированию по всему миру произошел после публикации работы [137] в Philosophical Magazine в 1983 году. Для определения модуля Юнга материала широкое распространение получил метод, разработанный Оливером и Фарром [138]. Среди других ученых, внесших существенный вклад в развитие метода, следует отметить Д. Табора, М.Дорнера, В.Никса, Дж.Филда, М.Свэйна, А.Фишера-Криппса, С.Булычева, С.Дуба, Ю.Мильмана, М.Сакаи, С.Суреша, К.Шуха.

Задачи неразрушающего контроля механических свойств материала качества изучаются уже более ста лет, но применение методов непрерывного инден-тирования нашло свое место совсем недавно. Сегодня методы неразрушающего контроля при помощи индентирования находят свое применение в строительстве [133], в металлургии [140, 141] при анализе ключевых механических свойств конструкций деталей. I. Argatov и соавт. недавно описали применение неразрушающего контроля с помощью наноиндентирования по отношению к слоистой структуре суставных тканей [142]. Актуально стоит проблема определения свойств

упрочненных материалов, так, в работе [143] определяют локальную прочность и остаточные напряжения в упрочненном стекле, используя индентирование.

Большой интерес для науки и инженерных приложений представляет контроль механических и упругих свойств композитных и функционально-градиентных материалов, а также для определения свойств тонких пленок, получаемых напылением, осаждением или другими способами [144-152]. При этом остро стоит проблема учета упругих свойств подложки при моделировании контакта [148-152].

1.3 Математическое моделирование механического поведения покрытий

Исследование, проектирование и создание современных защитных покрытий является дорогостоящим и длительным процессом. Снижение издержек при разработке, а также экспериментальном исследовании механических свойств защитных покрытий возможно за счет использования эффективных математических моделей, описывающих контактное взаимодействие элементов конструкций с ними. Математическое моделирование процессов контактного взаимодействия сводится к решению ряда смешанных задач теории упругости.

Хорошо известно, что методы решения смешанных задач для непрерывно-неоднородных (слоистых) сред являются общими для целого класса задач математической физики (термоупругости, вязкоупругости, пластичности, теории консолидации [3,79, 17, 25, 60] и др.). Среди основополагающих работ теории смешанных контактных задач можно выделить работы Г. Герца [112, 113], Я. Буссинеска [99], С. А. Чаплыгина [87]. В работе Н.И. Мусхелишвилли [70] развивались методы, основывающиеся на теории функций комплексного переменного, которые базировались на использовании конформных отображений и теории сингулярных интегральных уравнений. Применение методов теории функции комплексного переменного можно обнаружить в трудах Л. А. Галина, Д. И. Шермана, А. И. Каландия, С. Г. Михлина, Г. И. Савина и др. В основном все ранее перечисленные работы касались так называемых классических контактных

задач теории упругости. С основными результатами по контактным задачам за этот период, можно познакомиться в монографиях [48, 69, 70, 83, 91] или в обзорах работ [61, 89, 90].

В 50-е года прошлого века повышается интерес к неклассическим задачам теории упругости, что связано с их практической применимостью в области расчета фундаментов и оснований конструкций, дорожных покрытий [65, 64], а также плит [33, 36, 47, 56, 62]. Для построения решений контактных задач для покрытий различных толщин используются различные методы (регулярный асимптотический метод [47,101], сингулярный асимптотический метод [22, 24, 26-28, 34, 74, 75, 78, 85 ,128], методы ортогональных многочленов [62,77, 78], коллока-ции [58] и др.), т.к. каждый из них эффективен в своей области значений характерного геометрического параметра задачи. Более полный обзор работ по методам решения неклассических контактных задач можно прочесть в работах [3, 4,31, 25, 46, 58,76,80].

К наиболее значимым работам за последние десятилетия в области исследования контактных задач для неоднородных сред можно отнести следующие работы:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Волков, Сергей Сергеевич, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абрамян, Б.Л. Обзор результатов, полученных по контактным задачам в Академии Наук Армянской ССР [Текст] / Б.Л. Абрамян // Контактные задачи и их инженерные приложения. - М., 1969. - С. 3-7.

2. Абрамян, Б.Л. Осесимметричные задачи теории упругости [Текст] / Б.Л. Абрамян, А.Я. Александров [Текст] // Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. - М.: Наука, 1966. - С. 7-37.

3. Айзикович, С.М. Механика контактных взаимодействий [Текст] / С.М. Айзикович, В.М. Александров и др.; под общ.ред. Воровича И.И., Александрова В.М. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 672 с.

4. Айзикович, С.М. Аналитические решения осесимметричных контактных задач для слоя [Текст]/ С.М. Айзикович, A.C. Васильев, С.С. Волков // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2011. -Т.4, № 5. - С. 1947-1948.

5. Айзикович, С.М. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред [Текст] / С.М. Айзикович [и др.]. - М.: Физматлит, 2006. - 240 с.

6. Айзикович, С.М. Аналитические решения смешанных осесимметричных задач для функционально-градиентных сред [Текст] / С.М. Айзикович [и др.]. -М.: Физматлит, 2011. - 192 с.

7. Айзикович, С.М. Асимптотические решения контактных задач теории упругости для неоднородных по глубине сред [Текст] / С.М. Айзикович // ПММ. - 1982. - Т.46, вып. 1. — С.148-158.

8. Айзикович, С.М. Асимптотическое решение задачи о взаимодействии пластины с неоднородным по глубине основанием [Текст] / С.М. Айзикович // ПММ. - 1995. - Т. 59, №4. - С. 688-697.

9. Айзикович, С.М. Асимптотическое решение одного класса парных уравнений [Текст] / С.М. Айзикович // ПММ. - 1990. - Т. 54. - С.872-877.

10.Айзикович, С.М. Асимптотическое решение одного класса парных уравнений при больших значениях параметра [Текст] / С.М. Айзикович // Докл. АН СССР. - 1991. - Т.319, №5. - С. 1037-1041.

11 .Айзикович, С.М. Асимптотическое решение одного класса парных уравнений при малых значениях параметра [Текст] / С.М. Айзикович // Докл. АН СССР. - 1990.-Т. 313, №1. -С.48-52.

12.Айзикович, С.М. Контактные задачи расчета тонкостенных элементов на основаниях сложной структуры [Текст] / С.М. Айзикович, С.С. Волков, И. Федотов // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете, VII Всерос. шк.-семинар (п. Дивноморское, 28 мая-1 июня): тез.докл. - Ростов-н/Д: Изд-во ЮФУ, 2012. - С. 4.

13.Айзикович, С.М. Метод решения осесимметричных контактных задач для мягких неоднородных покрытий [Текст] / С.М. Айзикович, С.С. Волков// Трибология - машиностроению, науч.-техн. конф. (Москва, Институт машиноведения им. A.A. Благонравова РАН, 29-31 октября 2012 г.): тез. докл. - Москва, 2012. - Т.1. - С. 207-208.

14.Айзикович, С.М. Новый подход в решении осесимметричных контактных задач для слоя на жестком основании [Текст] / С.М. Айзикович, С.С. Волков // Современные проблемы механики, междунар. конф., посвящ. 100-летию JI.A. Галина (Москва, 20-21 сентября, 2012 г.): тез. докл. - М.: ИПМехРАН, 2012.-С. 7.

15.Айзикович, С.М. Новый подход к решению осесимметричных контактных задач для неоднородного слоя [Текст] / С.М. Айзикович, A.C. Васильев, С.С. Волков // Развитие идей JI.A. Галина в механике: сб. под общ. ред. И.Г. Горячевой. - М., Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2012. - 382 с. - С. 139-150.

16. Айзикович, С.М. О внедрении сферического индентора в мягкий функционально-градиентный упругий слой [Текст] / С.М. Айзикович, С.С. Волков // Современные проблемы механики сплошной среды, XV

междунар. конф. (Ростов-на-Дону, 4-7 декабря 2011г.): сб. тр.- Ростов-н/Д: Изд-во ЮФУ. - С. 901-905.

17.АЙЗИКОВИЧ, С.М. О разрешимости динамической задачи, связанной термовязкоупругости [Текст] / С.М. Айзикович // Изв. СКНЦВШ. Серия естеств. наук. - 1975. - №4. - С. 3-7.

18.Айзикович, С.М. Осесимметрическая задача о вдавливании круглого штампа в упругое, неоднородное по глубине полупространство [Текст] / С.М. Айзикович, В.М. Александров // Изв. АН СССР, МТТ. - 1984. - Т.39, №2. - С.73-82.

19.Айзикович, С.М. Осесимметричная контактная задача о внедрении штампа заданной формы в мягкий функционально-градиентный слой [Текст] / С.М. Айзикович, С.С. Волков, З.В. Шанько // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете, VII Всерос. шк.-семинар (п. Дивноморское, 28 мая-1 июня): тез. докл. - Ростов-н/Д: Изд-во ЮФУ, 2012. -С. 49.

20.Айзикович, С.М. Осесимметричные контактные задачи для функционально-градиентных покрытий сложной структуры и их аналитические решения [Текст] / С.М. Айзикович, A.C. Васильев, С.С. Волков, И.В. Цветкова // V сессия Научного совета РАН по механике деформируемого твердого тела (Астрахань, 31 мая - 5 июня): тез.докл. -Изд-во АГТУ, 2011 - С.50.

21 .Александров, В.М. Контактные задачи для упругого клина [Текст] / В.М. Александров // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1967, № 2.

22.Александров, В.М. Асимптотическое решение одного класса интегральных уравнений и его применение к контактным задачам для цилиндрических тел [Текст] / В.М. Александров, A.B. Белоконь // ПММ. - 1967 - №31, вып. 4.

23.Александров, В.М. Асимптотическое решение задачи о цилиндрическом изгибе пластинки конечной ширины на упругом полупространстве [Текст] /

В.М. Александров, М.Д. Солодовник // Прикладная механика.- 1974Т. 10, вып. 7.-С. 77-83.

24.Александров, В.М. Асимптотическое решение контактной задачи для тонкого упругого слоя [Текст] / В.М. Александров // ПММ. - 1969. - № 33, вып. 1.-С. 61-73.

25.Александров, В.М. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями [Текст] / В.М. Александров, Е.В. Коваленко. - М.: Наука, 1986.-336с.

26.Александров, В.М. К решению некоторых контактных задач теории упругости [Текст] / В. М. Александров // ПММ. - 1963. - № 27, вып. 5.

27.Александров, В.М. Контактные задачи для упругого слоя малой толщины [Текст] / В.М. Александров, В.А. Бабешко, В.А. Кучеров // ПММ. - 1966-№ 30, вып. 1.

28.Александров, В.М. Контактные задачи для упругой полосы малой толщины [Текст] / В.М. Александров, В.А. Бабешко // Изв. АН СССР. Механика. -1965, №2.

29.Александров, В.М. О решении одного класса парных уравнений [Текст] / В.М. Александров // Докл. АН СССР. - 1973. - Т. 210, №1. - С. 55-58.

30.Александров, В.М. Универсальная программа расчета изгиба балочных плит на линейно-деформируемом основании [Текст] / В.М. Александров, J1.C. Шацких // VII Всесоюзная конф. по теории оболочек и пластин (Днепропетровск, 1969): сб. тр. - М: Наука, 1970 - С. 46-51.

31 .Александров, В.М. Эффективное решение задачи о цилиндрическом изгибе пластинки конечной ширины на упругом полупространстве [Текст] / В.М. Александров, И.И. Ворович, М.Д. Солодовник // Известия Академии наук СССР. Механика твердого тела.- 1973.- № 4,- С. 129-138.

32.Александров, В.М., Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел [Текст] / В.М. Александров, А.Д. Пожарский. - М.: Факториал, 1998. - 288 с.

33.Алифанов, О.М. Экстремальные методы решения некорректных задач [Текст] / О.М. Алифанов, Е.А. Артюхин, С.В.Румянцев. - М.: Наука, 1988. -280 с.

34.Бабешко, В.А. Интегральные уравнения свертки первого рода на системе отрезков, возникающие в теории упругости и математической физике [Текст] / В.А. Бабешко// ПММ. - 1971. - № 35, вып. 1.

35.Бабешко, В.А. Методы построения матриц Грина для стратифицированного упругого полупространства [Текст] / В.А. Бабешко, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1987. - Т. 27, № 1. - С. 93-101.

36.Бирман, С.Е. Об осадке жесткого штампа на упругом слое, расположенном на несжимаемом основании [Текст] / С.Е. Бирман // ДАН СССР. - 1953. -Т. 93, №5.-С. 791-794.

37.Босаков, C.B. К решению контактной задачи для круглой пластинки [Текст] / C.B. Босаков// ПММ.- 2008. -Т.72,№ 1.-С. 59-61.

38.Волков, С.С. Изгиб круглой пластинки, лежащей на мягком непрерывно-неоднородном слое [Текст] / С.С. Волков, Б.И. Митрин, И.В. Погоцкая// Математическое моделирование и биомеханика в современном университете, VI Всерос. шк.-семинар (п. Дивноморское, 30 мая-2 июня 2011 г): тез. докл. - Ростов-н/Д: Изд-во ЮФУ, 2012. - С. 30.

39.Волков, С.С. Аналитическое решение контактной задачи о внедрении сферического индентора в мягкий упругий слой [Текст] / С.С. Волков // Вестник ДГТУ. - 2012. - № 7. - С.5-10.

40.Волков, С.С. Аналитическое решение осесимметричной контактной задачи о вдавливании штампа в мягкий слой [Текст] / С.С. Волков, С.М. Айзикович, И.В. Погоцкая // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества (ЧЭС). - 2012. -Вып. 2. -С. 19-26.

41.Волков, С.С. Математическое моделирование внедрения штампа в упругую

среду с мягким покрытием [Электронный ресурс] / С.С. Волков, Б.И.

128

Митрин // Инновация, экология и ресурсосберегающие технологии (ИнЭРТ-2012), X междунар. науч.-техн. форум (Ростов-на-Дону, 9-11 октября 2012 г.): сб. тр. - Ростов н/Д: Изд-во ДГТУ, 2012. - С. 207-208.

42.Волков, С.С. Математическое моделирование осесимметричной контактной задачи о внедрении штампа в существенно мягкий слой лежащий на упругом основании [Текст] / С.С. Волков, С.М. Айзикович, З.В. Андреева, И.В. Погоцкая // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете, VI Всерос. шк.-семинар (п. Дивноморское, 30 мая-2 июня 2011г): тез. докл. - Ростов-н/Д: Изд-во ЮФУ, 2011. - С.9.

43.Волков, С.С. Метод определения механических свойств мягкого неоднородного слоя с использованием атомно-силовой микроскопии / С.С. Волков, Б.И. Митрин, И. Федотов, Е.С. Дрозд // Методологические аспекты сканирующей зондовой микроскопии (БелСЗМ-Х) (Минск, 13-16 ноября), X междунар. конф.: сб. докл. - Минск: Беларуская навука, 2012. -С. 265-269.

44.Волков, С.С. Метод решения осесимметричной контактной задачи для мягкого функционально-градиентного слоя, лежащего на жестком упругом основании [Текст] / С.С. Волков, С.М. Айзикович, И.В. Погоцкая, З.В. Андреева // Полимерные композиты и трибология (ПОЛИКОМТРИБ-2011), междунар. науч.-техн. конф (г. Гомель, Беларусь, 27-30 июня): тез. докл. -Минск: Изд-во HAH Беларуси, 2011. - С.61.

45.Волков, С.С. Об одном эффективном методе решения осесимметричной задачи для мягкого функционально-градиентного слоя, лежащего на жестком упругом основании [Текст] / С.С. Волков, С.М. Айзикович, И.В. Погоцкая, З.В. Андреева // Материалы, технологии, инструменты. - 2011. -Т.16, № 3. - С. 10-16.

46.Ворович, И.И. Неклассические смешанные задачи теории упругости [Текст] / И.И. Ворович, В.М. Александров, В.А. Бабешко. - М.: Наука, 1974.-456с.

47.Ворович, И.И. О давлении штампа на слой конечной толщины [Текст] / И.И. Ворович, Ю.А. Устинов // ПММ. - 1959. - Т. 23, вып.З. - С. 445-455.

48.Галин, JI. А. Контактные задачи теории упругости [Текст] / JI.A. Галин. -Гостехиздат, 1953. -264 с.

49.Гоголинский, К.В. Измерение модуля упругости сверхтвердых материалов с помощью сканирующего силового микроскопа «Наноскан» [Текст]/ К.В. Гоголинский, A.C. Усеинов // VI Белорусский семинар по сканирующей зондовой микроскопии (Минск, 12-15 октября 2004 г.): сб. докл.- Минск: Институт тепло- и массообмена им. А. В. Лыкова HAH Беларуси, 2004. - С. 47-53.

50.Головин, Ю.И. Наноиндентирование и его возможности [Текст] / Ю.И. Головин. - М.:Машиностоение, 2009. - 312 с.

51.Гольцев, A.B. Исследование механических свойств нанопокрытий, нанесенных электроискровым легированием [Текст]/ A.B. Гольцев, П.Г. Иваночкин // Транспорт-2010, Всерос. науч.-практ. конф., в 3 ч.: сб.тр. -Ростов н/Д: Изд-во РГУПС, 2010. - Ч. 3: Технические науки. - С. 247-248.

52.Горбунов-Посадов, М.И. Расчет балок и плит на упругом полупространстве [Текст] / М.И. Горбунов-Посадов // Прикладная математика и механика-1940.-Т.4, вып.З.-С.61-80.

5 З.Гребенщиков, В.Н. Расчет круглой пластинки на упругом полупространстве [Текст] / В. Н. Гребенщиков // Теория расчета и надежность приборов: II Саратовская обл. конф. молодых ученых: сб. тр. -1969 - С.48-51.

54.Данильченко, С.А. Моделирование наноиндентирования материалов антифрикционных покрытий железнодорожных рельс [Текст] / С.А.Данильченко, В.А. Наседкин // Вестник РГУПС. - 2013. - Вып. 2 -С.80-86.

55.Захаров, С.М. Контактно-усталостные повреждения колес грузовых вагонов [Текст] / С.М. Захаров. - М.: Интекст, 2004. - 496 с.

56.Ишкова, А.Г. Об изгибе полосы и круглой пластины, лежащих на упругом полупространстве [Текст] / А.Г. Ишкова// Инженерный сборник. - 1960. -Т.23. - С.171-181.

57.Каблов, E.H. Наноструктурные ионно-плазменные защитные и упрочняющие покрытия для лопаток газотурбинных двигателей [Текст] / E.H. Каблов, С.А.Мубояджян, А.Н. Луценко // Вопросы материаловедения. - 2008. - Т. 2, вып. 54. - С. 175-186.

58.Каландия, А.И. Математические методы двумерной упругости. [Текст] / А.И. Каландия. - М.: Наука, 1973. - 393с.

59.Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. [Текст] / Э. Камке. - М.: Наука, 1971. - 576с.

60.Керчман, В.И. Задачи консолидации и связанной термоупругости для деформируемого полупространства [Текст] / В.И. Керчман // Изв. АН ССР, МТТ. - 1976. - №1. - С. 45-47.

61.Кильчевский, H.A. О развитии в XX веке теории контактных взаимодействий между твердыми телами [Текст] /H.A. Кильчевский, Э.Н. Костюк // ПММ. - 1966.-Т. 2.

62.Клубин, П.И. Расчет балочных и круглых плит на упругом основании [Текст] / П.И.Клубин // Инженерный сборник. - 1952. - Т.12. - С. 95-125.

63.Коган, Б.И. Напряжения и деформации в покрытиях с непрерывно меняющимся модулем упругости [Текст] / Б.И. Коган // Труды Харьковского автомоб.-дор. инст-та. - 1957. -Вып. 19. - С. 53-66.

64.Коган, Б.И. Напряженное состояние неоднородного слоя, покоящегося на упругом полупространстве [Текст] / Б.И.Коган, В.Д. Зинченко // Изв. ВУЗов. Строительство и архитектура. - 1969. - №3. - С.8-18.

65.Колесников, В.И. Методы диагностики состояния многослойного антифрикционного наномодифицированного покрытия на боковой поверхности головки рельса [Текст] / В.И.Колесников, H.A. Мясникова [и др.] // Управление большими системами. - 2012. - Вып. 38. - М.: ИЛУ РАН.-С. 205-214.

66.Колесников, В.И. Многослойное антифрикционное наноструктурированное покрытие для лубрикации в тяжелонагруженных узлах трения [Текст] / В.И.Колесников, А.В.Белый[и др.] // Экологии, вестн. научных центров ЧЭС. - 2012. - № 2. - С. 34-41.

67.Кренев, Л.И. Построение решения осесимметричной задачи о внедрении штампа с плоской подошвой в непрерывно-неоднородное по глубине полупространство / Л.И. Кренев, С.М. Айзикович, С.С. Волков, Б.И. Митрин // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2012614938 Российская Федерация. - №2012612799; заявл. 12.04.2012; зарег. 01.06.2012.

68.Кренев, Л.И. Построение решения осесимметричной задачи о внедрении сферического штампа в непрерывно- неоднородное по глубине полупространство / Л.И. Кренев, С.М. Айзикович, С.С. Волков, Б.И. Митрин // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2012614937 Российская Федерация. — №2012612798; заявл. 12.04.2012; зарег. 01.06.2012.

69.Лурье, А.И. Пространственные задачи теории упругости [Текст] / А.И. Лурье. -М.: Гостехиздат, 1955. - 492 с.

70.Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости [Текст] / Н. И.Мусхелишвили. - Физматгиз, 1966. - 709 с.

71.Погоцкая, И.В. Влияние физико-механических свойств «мягких» материалов на характеристики колебания зонда в динамической атомно-силовой микроскопии/ТекгтУ /И.В. Погоцкая, С.О. Абетковская, С.А.Чижик // Методологические аспекты сканирующей зондовой микроскопии, VIII Меж-дунар. семинар: сб. докл. - Минск: ИТМО НАН Беларуси, 2008. - С. 169174.

72.Погребняк, А. Д. Физико-механические свойства керамических и металллокерамических покрытий, нанесенных плазменно-детонационным способом [Текст] / А.Д. Погребняк // Физическая инженерия поверхности. 2006. - Т. 4, №1-2. - С.48-72.

73.Попов, В.Ф., Процессы и установки электронно-ионной технологии. [Текст] / Г. Я. Попов, Ю.Н.Горин. - М. Высшая школа, 1988. - 255 с.

74.Попов, Г.Я. Вдавливание полубесконечного штампа в упругое полупространство [Текст] / Г.Я.Попов // Теоретическая и прикладная математика. - 1968. - № 1.

75.Попов, Г.Я. Изгиб полубесконечной плиты на комбинированном упругом основании / Г.Я. Попов // Докл. АН СССР. - 1959. - Т. 126, № 3.

76.Попов, Г.Я. Контактные (смешанные) задачи теории упругости [Текст] / Г. Я. Попов, H.A. Ростовцев // II Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике: сб. тр. - М.: Наука, 1966. - С. 235-252.

77.Попов, Г.Я. О методе ортогональных многочленов в контактных задачах теории упругости [Текст] / Г.Я. Попов // ПММ - 1969 - Т.ЗЗ, вып. 3. - С. 518-531.

78.Попов, Г.Я. Применение методов Винера-Хопфа и ортогональных многочленов к контактным задачам [Текст] / Г.Я. Попов // Контактные задачи и их инженерные приложения: сб. тр. - М., изд. НИИмаш, 1969.

79.Развитие теории контактных задач в СССР [Текст] / под общ. ред. JI.A. Галина. - М.: Наука, 1976. - 493с.

80.Рвачев, B.JI. Исследования ученых Украины в области контактных задач теории упругости [Текст] / B.JI. Рвачев // Прикладная механика. - 1967. -Т.З, № 10.-С. 109-116.

81.Сакало, В.И. Контактные задачи железнодорожного транспорта [Текст] / В.И. Сакало, В.С.Косов. - М.: Машиностроение, 2004. - 160 с.

82.Сироткин, О.С. Проектирование, расчет и технология соединений авиационной техники [Текст] /О.С.Сироткин, В.И. Гришин, В.Б.Литвинов. - М.: Машиностроение, 2006. - 331 с.

83.Снеддон, И. Преобразования Фурье [Текст] / И. Снеддон. - М.: ИЛ, 1955. -668 с.

84.Тамарин, Ю.А. Жаростойкие диффузионные покрытия лопаток ГТД [Текст] / Ю.А. Тамарин. - М., Машиностроение, 1978, - 134 с.

85.Фок, В.А. О некоторых интегральных уравнениях математической физики [Текст] / В.А. Фок // Математический сборник. - 1944. - Т. 1, №14.

86.Цейтлин, А.И. Об изгибе круглой плиты, лежащей на линейно деформируемом основании [Текст] / А.И. Цейтлин // Известия АН СССР. Механика твердого тела. - 1969. - № 1. - С. 99-112.

87.Чаплыгин, С.А. Давление жесткого штампа на упругое основание. Собрание сочинений, в 3 т. [Текст] / С.А.Чаплыгин. - Т. 3. - Гостехиздат, 1950.

88.Шацких, JI.C. К расчету изгиба плиты на упругом слое [Текст] / JI.C. Шацких // Известия Академии наук СССР. Механика твердого тела. - 1972. - №2. - С. 170-176.

89.Шерман, Д.И. Метод интегральных уравнений в плоских пространственных задачах статической теории упругости [Текст] / Д.И. Шерман // Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике: сб. тр -М.:Наука, 1962.

90.Шерман, Д.И. Основные плоские контактные задачи (смешанные задачи) статической теории упругости [Текст] / Д.И. Шерман // Механика в СССР за 30 лет: сб. тр. - Гостехиздат, 1950.

91.Штаерман, И .Я. Контактная задача теории упругости [Текст] / И.Я. Штаерман. - Гостехиздат, 1949.

92.Aizikovich, S.M., Krenev, L.I., Vasiliev, A.S., Volkov, S.S. Delamination of the Soft Coatings of Complicated Structure from the Hard Substrate Caused by Torsion or Indentation [Text]; Fracture Mechanics for Durability, Reliability and Safety: book of abstracts of 19th European Conference on Fracture, August 2631. - Kazan (Russia), Foliant. 2012, P.371.

93.Aizikovich, S.M., Sevostianov, I., Vasiliev, A.S., Volkov, S.S. The approximated analytical solutions of axisymmetric contact problems for the coatings of complicated structure [Text]; Abstract Book of the 23rd International Congress of Theoretical and Applied Mechanics August 19-24, Beijing, China. 2012, P. 160.

94.Aizikovich, S.M., Vasiliev, A.S., Volkov, S.S. Method of solution of axisymmetric contact problems for coatings of complicated structure [Text]; Mechanics of composite materials: book of abstracts of XVIIth international conference, May 28-June 1, Riga, Latvia. 2012, P. 22.

95.Aizikovich S.M., Krenev L.I., Fedotov I., Volkov S.S., Vasiliev A.S. The analytical solution of axisymmetric contact problems for the coatings of complicated structure // Physics and mechanics of new materials and their applications: Тезисы докладов российско-тайваньского симпозиума, г.Ростов-на-Дону, Россия, 4-6 июня, 2012. — Ростов-н/Д: Изд-во ЮФУ, 2012.— С. 6.

96.Aizikovich, S.M., Vasiliev, A.S., Volkov, S.S., Evich, L.N. Effective analytical solution method of contact problems for materials with functionally-graded coatings [Text]; proceedings of the XXXIX Summer School, conference «Advanced Problems In Mechanics» (APM-2011), St. Petersburg (Repino), July 1-5. 2011, pp. 21-23.

97.Aizikovich, S.M., Vasiliev, A.S., Volkov, S.S., Mitrin, B.I, Wang, Y.-S. The analytical solution of axisymmetric contact problem for the coating of complicated structure [Text]; Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications, Nova Science Publishers, Inc. 2013, P.207-214.

98.Awojobi, A.O. On the hyperbolic variation of elastic modulus in a non-homogeneous stratum [Text]; Intern. J. Solids Struct. 1976, vol. 2, no. 11, pp. 639-748.

99.Boussinesque, J. Application des potentiels à l'étude de l'équilibre et du mouvement des solides élastiques [Text]; Paris, 1885.

100. Byrne, G., Dornfeld, D., Denkena, B. Byrne, G. Advancing Cutting Technology [Text]; CIRP Annals. 2003, vol 52, no. 2.

101. Carleman, T. Sur le résolution des certaines équations intégrales [Text]; Arkiv. Mat. Astron. Fys. 1922, vol. 16, no. 26, pp. 1-19.

102. Choi, H. J., Paulino, G. H. Thermoelastic contact mechanics for a flat punch sliding over a graded coating/substrate system with frictional heat generation [Text]; Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2008, vol. 56, 16731692.

103. Dayal, P., Savvides, N., Hoffman, M. Characterisation of nanolayere daluminium palladium thin films using nanoindentation [Text]; Thin Solid Films. 2009, vol. 517, pp. 369-370.

104. El-Sherbiney, Hailing, J. The Hertzian Contact of Surfaces Covered with Metallic Films [Text]; Wear. 1996, vol.40, no3, pp.325-337.

105. Gibson, R.E. Some Results Concerning Displacements and Stresses in a Nonhomogeneous Elastic Half-space [Text]; Geotechnique. 1967, vol. 17, pp. 58-67.

106. Gibson, R.E., Brown, P.T., Andrews, K.R.F. Some Results Concerning Displacements in a Non-homogeneous Elastic Layer [Text]; Z. Angew. Math.and Phys. 1971, vol. 22, no. 5, pp. 855-868.

107. Gibson, R.E., Kalsi, G.S. The Surface Settlement of a Linearly Inhomogeneous Cross-anisotropic Elastic Half-Space [Text]; Z. Angew. Math, und Phys. 1974, vol. 25, no. 6, pp.843-847.

108. Gibson, R.E., Sills Gilliane C. Settlement of a Strip Load on a Non-homogeneous Ortotropic Incompressible Elastic Half-Space [Text]; Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1975, vol. 28, no. 2, pp. 233-243.

109. Guler, M.A., Erdogan, F. Contact mechanics of two deformable elastic solids with graded coatings [Text]; Mech. Mater. 2006, vol. 38, pp. 633-647.

110. Guler, M.A., Erdogan, F. Contact mechanics of graded coatings [Text]; Int. J. Solids Struct. 2004, vol. 41, pp. 3865-3889.

111. Guler, M.A., Erdogan, F. The frictional sliding contact problems of rigid parabolic and cylindrical stamps on graded coatings [Text]; Int. J. Mech. Sei. 2007, vol. 49. pp. 161-182.

112. Hertz, H. Gesammelte Werks[Text]; T. 1, 1895.

113. Hertz, H. Uberdie Beruhrung fester elastischer Körper [Text]; Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik; Grelle 92, 1882.

114. Kashtalyan, M. Three-dimensional elasticity solution for bending of functionally graded rectangular plates [Text]; European Journal of Mechanics A/Solids. 2004, vol. 23, no.5, pp. 853-864.

115. Kashtalyan, M., Menshykova, M. Effect of a functionally graded interlayer on three-dimensional elastic deformation of coated plates subjected to transverse loading [Text]; Composite Structures. 2009, T.89, vol.2, pp. 167-176.

116. Ke, L.L., Wang Y.S. Fretting contact of two dissimilar elastic bodies with functionally graded coatings [Text]; Mech. Adv. Mater. Struct. 2001, vol. 17, pp. 433-447.

117. Ke, L.L., Wang Y.-S. Two-dimensional contact mechanics of functionally graded materials with arbitrary spatial variations of material properties [Text]; Int. J. Solids Struct. 2006, vol. 43, pp. 5779-5798.

118. Ke, L.-L., Wang Y.-S. Two-dimensional sliding frictional contact of functionally graded materials [Text]; Eur. J. Mech. A-Solids. 2007, vol. 26, pp. 171-188.

119. Koehler, J. S. Attempt to Design a Strong Solid [Text]; Physical Review B. 1970, vol. 2, no.2, pp. 547-551.

120. Kolesnikov, V., Myasnikova, N., Sidashov, A., Myasnikov, P., Kravchenko, J. Multilayered antifriction nanostraction covering for lubrication in the tribocoupling «wheel-rail» [Text]; Transport problems. 2010, vol. 5, no 4, pp. 71-79.

121. Krenk, S. On quadrature formulas for singular integral equations of the first and the second kind [Text]; Quart. Appl. Math. 1975, vol. 33, no. 3, pp. 225232.

122. Liu, T.-J., Wang, Y.-S. Reissner-Sagoci problem for functionally graded materials with arbitrary spatial variation of material properties [Text]; Mechanics Research Communications. 2009, vol. 36, pp. 322-329.

123. Mahan, J.E. Physical vapor deposition of thin films [Text]; John Wiley & Sons, 2000.

124. Okumiya, M. Mechanical properties and tribological behavior of TiN-CrAIN and CrNCrAIN multilayer coatings [Text]; Surfaceand Coating Technologies. 1999, vol. 112, pp.123-128.

125. Panckow, A.N., Steffenhagen, J., Wegener, D., L. Dubner, L., Lierath, F. Application of novel vacuum-arc ion-plating technologies for the design of advanced wear resistant coatings [Text]; Surface and Coating Technologies. 2001, vol.138, pp. 71-76.

126. Shen, H. Control of sound and vibration for cylindrical shells by utilizing a periodic structure of functionally graded material [Text]; Physics Letters A.

2012, vol.376, pp. 3351-3358.

127. Silva, A.R.D., Silveira, R.A.M., Goncbalves, P.B. Numerical methods for analysis of plates on tensionless elastic foundations [Text]; International Journal of Solids and Structures. 2001, vol. 38, no. 10-13, pp. 2083-2100.

128. Stephens, L.S., Liu, Y., Meletis, E.I. Finite element analysis of the initial yielding behavior of a hard coating/substrate system with functionally graded interface under indentation and friction [Text]; ASME J. Tribol. 2000, vol. 122, pp.381-387.

129. Suresh, A.E. Giannakopoulos A new method for estimating residual stresses by instrumented sharp indentation [Text]; Acta Mater. 1998, vol. 46, no. 16, pp. 5755-5767.

130. Volkov, S., Aizikovich, S., Wang, Y.-S., Fedotov, I. Analytical solution of axisymmetric contact problem about indentation of a circular indenter with flat base into the soft functional-gradient layer [Text]; Acta Mechanica Sinica.

2013, pp. 1-6.

131. ГОСТ 27750-88. Контроль неразрушающий. Покрытия восстановительные. Методы контроля толщины покрытий [Текст]. -Введ. 1988-06-20. - М.: Изд-во стандартов, 1989. - 3 с.

132. Якубович, С.В. Испытания лакокрасочных материалов и покрытий [Текст] /С.В. Якубович. -М.: Госхимиздат, 1952.-480 с.

133. Головин, Ю.И. Наноиндентирование и его возможности [Текст] / Ю.И. Головин - М.: Машиностроение, 2009. - 312 с.

134. Grodzinski, P. Hardness testing of plastics [Text]; Plastics. 1953. vol. 18, pp. 312-314.

135. Терновский, А.П. О микромеханических испытаниях материалов путем вдавливания [Текст] / А.П. Терновский, В.П. Алехин [и др.] // Заводская лаборатория. - 1973. - Т. 39, № 10. - С. 1241-1247.

136. Булычев, С.И., Алехин, В.П., Шоршоров, М.Х., Терновский, А.П., Шнырев, Г.Д. Определение модуля Юнга по диаграмме погружения индентора [Текст] / С.И. Булычев, В.П. Алехин [и др.] // Заводская лаборатория. - 1975.-Т. 41.-С. 1137-1141.

137. Pethica, J.B., Hutchings, R., Oliver, W.C. Hardness measurement at penetration depth as small as 20 nm [Text]; Philosophical Magazine. 1983, vol. 48, no. 4, pp. 593-606.

138. Oliver, W.C., Pharr, G.M. An improved technique for determining hardness and elastic modulus using load and displacement sensing indentation experiments [Text]; Journal of Materials Research. 1992, vol.7, no. 6, pp. 1564-1583.

139. Malhotra, V.M. Surface Hardness Methods [Text]; CRC Press LLC, 2004.

140. Haggag, M. In-situ nondestructive measurements of key mechanical properties of oil and gas pipelines [Text]; PVP-Vol. 429, Residual Stress Measurement and General Nondestructive Evaluation, ASME 2001.

141. Riccardi, В., Montanari, R., Moreschi, L.F., Sili, A., Storai, S. Mechanical characterisation of fusion materials by indentation test [Text]; Fusion Engineering and Design, 2001. vol.58-59, pp. 755-759.

142. Argatov, I., Daniels, A.U., Mishuris, G., Ronken, S., Wirz, D. Accounting for the thickness effect in dynamic spherical indentation of a viscoelastic layer: Application to non-destructive testing of articular cartilage [Text]; European Journal of Mechanics - A/Solids. 2013, vol.37, pp. 304-317.

143. Bao, Y.W., Su, S.B., Yang, J.J., Sun, L., Gong, J.H. Nondestructively determining local strength and residual stress of glass by Hertzian indentation [Text]; Acta Materialia. 2002, vol. 50, iss. 18, pp.4659-4666.

144. Jonsson, B., Hogmark, S. Hardness measurements of thin films [Text]; Thin Solid Films. 1984, vol. 114, iss. 3, pp. 257-269.

145. King, R.B. Elastic analysis of some punch problems for a layered medium // International Journal of Solids and Structures. 1987. 23 (12), pp. 1657-1664.

146. Nix, W.D. Mechanical properties of thin films [Text]; Metallurgical Transactions A. 1989, vol. 20, iss. 11, pp. 2217-2245.

147. Bell, T.J., Field, J.S., Swain, M.V. Elastic-plastic characterization of thin films with spherical indentation [Text]; Thin Solid Films. 1992, vol. 220, no. 1-2, pp. 289-294.

148. Yu, H.Y., Sanday, S.C., Rath, B.B. The effect of substrate on the elastic properties of films determined by the indentation test - axisymmetric Boussinesq problem [Text]; Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1990, vol. 38, no. 6, pp. 745-764.

149. Schwarzer, N., Schimmel, J., Richter, F. Elastic indentation of coating-substrate systems with large difference in the Young moduli [Text]; Physica Status Solidi (A) Applied Research. 1994, vol. 145, no. 2, pp. 379-383.

150. Wittling, M., Bendavid, A., Martin, P.J., Swain, M.V. Influence of thickness and substrate on the hardness and deformation of TiN films [Text]; Thin Solid Films. 1995, vol. 270, iss. 1-2, pp. 283-288.

151. Gouldstone, A., Koh, H.-J., Zeng, K.-Y., Giannakopoulos, A.E., Suresh, S. Discrete and continuous deformation during nanoindentation of thin films [Text]; Acta Materialia. 2000, vol. 48, no. 9, pp. 2277-2295.

152. Fischer-Cripps, A.C. Critical review of analysis and interpretation of nanoindentation test data [Text]; Surface and Coatings Technology. 2006, vol. 200, iss.14-15, pp. 4153-4165.