Аналитические методы в теории дискретных динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Сперанский, Игорь Дмитриевич

• Сперанский, Игорь Дмитриевич
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сперанский, Игорь Дмитриевич

1. Введение.

2. Линейные и билинейные дискретные динамические системы: основные определения и обозначения.

3. Управляемость линейных автоматов в пространстве обобщенных состояний.

4. Аналитические методы построения тестов для линейных автоматов.

4.1. Построение тестов для стационарных линейных автоматов.

4.2. Построение тестов для нестационарных линейных автоматов.

5. Аналитические методы в задачах функционального контроля линейных дискретных систем.

5.1. Линейные автоматы существенно без потери информации конечного порядка.

5.2. Минимизация времени восстановления входных сигналов сети из линейных автоматов без потери информации.

6. Эксперименты с дискретными динамическими системами.

6.1. Эксперименты с билинейными системами.

6.1.1. Синхронизирующие последовательности.

6.1.2. Установочн ые последовательности.

6.1.3. Диагностические последовательности.

6.1.4. Эксперименты по распознаванию неизвестного входного слова.

6.2. Эксперименты с дискретными линейными системами с запаздыванием.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитические методы в теории дискретных динамических систем»

Предлагаемая работа в целом относится к теории систем. Такие понятия, как «система», «системный подход» и подобные им в настоящее время используются столь широко и свободно, что стало приводить к дополнительной путанице. По этой причине необходимо более точно очертить те основополагающие понятия, которые используются в дальнейшем. Для нас система, а точнее динамическая система, это строгое математическое понятие, которое используется в том же смысле, как оно понимается в работах таких ученых как Р. Калман, П. Фалб и М. Арбиб. Эти имена хорошо известны всем, работающим в области теории систем, поскольку именно они сделали очень важный вклад в развитие упомянутой теории. Классическая монография Калмана Р., Фалба П. и Арбиба М. «Очерки по математической теории систем» [19], опубликованная более 30 лет назад, до сего времени не устарела и основные ее идеи составляют золотой фонд теории систем.

Прежде чем приводить формальное определение понятия динамической системы, остановимся на интуитивных представлениях, с которыми оно связано. Далее система рассматривается как структура, в которую в некоторые моменты времени вводится нечто (например, информация, энергия и т. п.) и из которой в некоторые моменты времени выводится что-то (например, та же информация, та же энергия и т. п.). Так, систему можно представить в виде электрической схемы, для которой входным воздействием служит напряжение, а выходной величиной - показание прибора, измеряющего силу тока. Другим примером системы является совокупность лампочек, соединенных каким-то образом с переключателями. Для этой системы входным воздействием является включение или выключение переключателей, а выходной величиной картина, образованная горящими и погашенными лампочками. В первом из этих примеров можно считать, что события происходят непрерывно во времени, так как именно таким образом меняются во времени электрические сигналы, а во втором естественно предполагать, что время дискретно (к примеру, выключатели можно переключать лишь через равные промежутки времени, измеряемые секундами.)

В обоих этих случаях понятие системы, которую обозначим ^ , включает вспомогательное множество моментов времени Т. В каждый момент времени teT система получает некоторое входное воздействие u(t) и порождает некоторую величину y(t). Предполагается, что значения входных воздействий выбираются из некоторого фиксированного множества U, т. е. в любой момент времени t символ u(t) должен принадлежать U. Что касается выходных величин, то любое мгновенное значение выходной величины y(t) также принадлежит некоторому фиксированному множеству Y.

Отметим, что одного знания текущего значения входного воздействия u(t) может оказаться недостаточным для предсказания выходной величины. Предыдущие входные воздействия, подававшиеся на систему ^ , могли ее изменить (к примеру, из-за накопления энергии в первом приведенном примере или из-за срабатывания некоторого внутреннего переключателя во втором) настолько, что это приведет к изменению выходной величины. Иначе говоря, в общем случае значение выходной величины системы ]Г зависит как от текущего значения входного воздействия, так и от предыстории этого воздействия. Лучше всего было бы не делать специальных различий между текущим и предшествующим входным воздействием системы. Поэтому будем говорить, что текущее состояние выходной величины системы ^ зависит от состояния системы ^ , и определим чисто интуитивно текущее состояние системы ^ как такую часть настоящего и прошлого системы , которая необходима для определения настоящих и будущих значений выходной величины. Другими словами, состояние системы ^ рассматривается как некоторая ее внутренняя характеристика, значение которой в настоящий момент времени определяет текущее значение выходной величины и оказывает влияние на ее будущее. Следовательно, состояние можно рассматривать как своего рода хранилище информации, или запоминающее устройство, или накопитель прецедентов. При этом нужно потребовать, чтобы множество внутренних состояний системы ^ было достаточно богатым для того, чтобы вместить всю информацию о предыстории системы ]Г 5 необходимой для предсказания влияния прошлого на будущее. Безусловно, удобным упрощающим предположением является такое, что состояние содержит лишь минимум такой информации, хотя это предположение делается далеко не всегда.

Чтобы система была динамической, она должна обладать еще одним свойством. Знание состояния o(t) и входного воздействия u(t) должно быть необходимым и достаточным условием, позволяющим определить состояние o(t+l), т. е. состояние в следующий момент времени. Это фактически означает, что придется потребовать, чтобы множество моментов времени Т было упорядоченным, т. е. чтобы в нем было определено направление времени. Обычно упорядоченность множества Т выбирается так, чтобы прошлое предшествовало будущему. Заметим также, что введенное понятие «динамической» системы, грубо говоря, совпадает с понятием «причинной» системы в том смысле, что прошлое влияет на будущее, но не наоборот. Иначе говоря, математическое понятие динамической системы служит для описания потока причинно-следственных связей из прошлого в будущее.

Подводя итог сказанному выше, отметим, что динамическая система ^ определяется рядом аксиом:

• заданы множества моментов времени Т, множество состояний а, множество значений входных воздействий U, множество значений выходных величин Y;

• множество Т есть некоторое упорядоченное подмножество множества вещественных чисел (для непрерывных систем) или целых (для дискретных систем);

• множество входных воздействий системы должно быть нетривиальным (непустое множество) и допускать возможность их сочленения в моменты времени, следующие один за другим;

• существует переходная функция состояний, с помощью которой по состоянию системы в момент времени t и известному входному воздействию можно определить состояние системы в следующий момент времени;

• существует выходная функция системы, определяющая значение выходного сигнала по известному входному воздействию и известному состоянию системы.

Понятие динамической системы в том виде, как оно описано выше, является чрезмерно общим. Оно безусловно полезно и необходимо для того, чтобы выработать общую терминологию, исследовать и уточнить основные понятия и увидеть единство в разнообразии многочисленных приложений, но недостаточно конкретно для того, чтобы на его основе можно было получить глубокие математические результаты и практически полезные выводы.

Для получения нетривиальных результатов и интересных приложений необходимо заниматься конкретизацией и введением дополнительных структур, исследованием различных частных классов систем.

В связи с этим отметим, что предметом дальнейших рассмотрений будут являться дискретные динамические системы, в основном линейные и так называемые билинейные. Такие рассмотрения будут проводиться в предположении, что система ^ является конечномерной, т.е. пространство ее состояний есть конечномерное линейное пространство.

Как известно, конечные детерминированные автоматы образуют простейший общий класс систем. Этой математической моделью мы воспользуемся, поскольку их исследование позволяет привлечь мощный математический аппарат финитных методов логики и алгебры.

Отметим также, что предположение о конечномерности системы чрезвычайно существенно с точки зрения получения конкретных численных результатов.

Теория дискретных динамических систем естественно содержит целый ряд различных разделов, в каждом из которых изучаются свои специфические задачи. Одним из таких важных разделов является элементарная теория управления. В этом разделе преобладающую роль играют математические соображения. В частности, речь идет об управляемости линейных систем, где соответствующий математический аппарат заимствован из линейной алгебры. Некоторые аспекты управляемости линейных систем, имеющие давнюю историю, нашли на наш взгляд естественное обобщение в одном из подразделов диссертации. Этот материал служит иллюстрацией возможностей математики, подтверждающих, как от абстрактных соображений можно перейти к сугубо конкретным результатам.

Отметим большую важность теории управления в чисто практическом аспекте. Как известно, цель управления состоит в том, чтобы изменить динамику поведения физической системы в соответствии с желаемой программой. Эта задача естественным образом распадается на две совершенно различные части:

• необходимо получить математическое описание динамических свойств физической системы, подлежащей управлению;

• необходимо найти средство достижения желаемого поведения управляемой системы.

Первая из этих задач по существу есть задача моделирования: необходимо предсказать динамику поведения объекта с помощью нашей математической модели с точностью, по крайней мере, не меньшей, чем требуемая точность управления. Этой моделью управления может быть динамическая система в том смысле, как было описано нами выше. Требуемая модель получается в результате физических экспериментов или с помощью известных физических законов. Построение конкретных моделей обычно относится к компетенции физиков или специалистов в других предметных областях, обладающих математическими знаниями, и не входит в компетенцию ни специалистов по теории управления, ни даже по теории систем. По этой причине в диссертации совершенно не затрагиваются вопросы построения математических моделей систем, а такого рода модели используются в готовом виде из арсенала других теорий и областей.

После того как модель объекта построена, можно переходить ко второй, чисто математической части задачи. Различные средства, позволяющие осуществлять управление, создаются на базе высокоразвитой технологии, как правило, с привлечением вычислительной техники, для которых математическое описание часто играет роль обычных технических чертежей. Другими словами, вторая половина проблемы такова, что для ее решения требуется некоторый математический результат. Верно и обратное, каждое эффективное средство управления представляет собой некоторый математический результат.

Подводя итоги можно отметить, что, строго говоря, теория управления не занимается исследованием реального мира, а лишь математическими моделями определенных аспектов реального мира. В связи с этим аппарат, а также результаты теории управления являются математическими.

В диссертации в качестве математической модели широко используется конечный детерминированный автомат, как правило линейный. Отметим кстати, что теория автоматов и теория управления не так далеки друг от друга, как это может показаться при поверхностном изучении и что было подтверждено в [19]. Так, понятия, введенные в теории управления, допускают содержательное с интуитивной точки зрения определения и в рамках теории конечных систем.

Описанные выше динамические системы становятся автоматами в смысле теории автоматов после того, как будет осуществлено квантование времени и введена договоренность изучать поведение систем в последовательные моменты времени t=0, 1, . какой-либо подходящим образом выбранной шкалы времени, а также потребуем, чтобы множества входных и выходных алфавитов были конечными.

Упомянутая выше близость теории автоматов и теории управления, как одного из разделов теории систем, объясняет интерес к изучению такого важного раздела как эксперименты с автоматами. В диссертации ему посвящен последний по счету, но не по значимости, подраздел, где в качестве моделей фигурируют как линейные, так и билинейные автоматы. Важность этих моделей подтверждается чрезвычайно широким диапазоном технических устройств, описываемых ими.

Теория экспериментов с автоматами представляет собой фундамент многих современных методов и средств технической диагностики цифровой аппаратуры. Одной из существенных причин, порождающих сложности при решении упомянутой проблемы диагностирования, является отсутствие, как правило, информации о начальном, промежуточном или конечном состоянии устройства. Для снятия указанной неопределенности и служат так называемые синхронизирующие, установочные и диагностические последовательности, подаваемые при проведении соответствующего эксперимента на входы устройства. В настоящее время теория экспериментов с дискретными динамическими системами, описываемыми математическими моделями автоматов Мили и Мура, достаточно хорошо развита и ей посвящен ряд работ. Прежде всего отметим основополагающую работу Э. Мура [24], которая по существу послужила исходной точкой, с которой начались исследования по экспериментам с автоматами. В последующие годы значительный вклад в развитие этой теории внесли многие исследователи, как зарубежные, так и отечественные, среди которых назовем Богомолова А. М. [5-9], Барашко А. С. [2-5], Глушкова В. М. [15], Гилла А. [13], Грунского И. С. [5,16], Сытника А. А. [51,52], Твердохлебова В. А. [9, 53], Сперанского Д. В. [29-38], Яблонского С. В. [58], Хиббарда Т. Н. [56], ТрахтенбротаБ. А. и БардзинаЯ. М. [54] и др. Среди работ по теории экспериментов следует отметить особое место монографии А. Гилла [13], которая по существу явилась первой работой, систематизировавшей основные результаты этой теории к середине 60-х годов. Полученные результаты позволяют сделать вывод о значительной трудоемкости методов синтеза упомянутых последовательностей, а также о сложности проверки факта существования этих последовательностей для конкретного автомата. Заметим, что в большинстве случаев проверка наличия у заданного автомата того или иного вида последовательности фактически была равносильна по трудоемкости ее построению.

Трудоемкость проверки критериев существования различных видов последовательностей у заданного автомата и процедур их синтеза объясняется тем, что соответствующие процедуры, как правило, базировались на использовании графовых моделей автоматов. Операции над ними хотя и не представляют принципиальных сложностей, но по необходимости влекут весьма трудоемкие процессы построения, выделения, преобразования и модификации отдельных компонентов графа или всего графа в целом.

Одним из возможных путей сокращения трудоемкости процедур синтеза различного рода экспериментов с автоматами, а также получения эффективно проверяемых критериев их существования является выделение из общего класса автоматов некоторых подклассов, обладающих специфическими особенностями. Именно эти особенности и должны быть использованы для сокращения трудоемкости построения экспериментов и проверки критериев существования. Вместе с тем желательно, чтобы выделяемые частные подклассы автоматов не были слишком узкими, а содержали бы достаточно много различных типов реальных дискретных устройств, описываемых соответствующими моделями.

Отметим, что к числу упомянутых подклассов автоматов относятся так называемые линейные последовательностные машины, именуемые нами далее линейными автоматами (ЛА) и билинейные дискретные системы (БС). Названные дискретные системы являются математическими моделями широкого класса реальных цифровых устройств, используемых для кодирования, декодирования и сжатия информации, для проведения сигнатурного анализа, при синтезе схем встроенного контроля и систем автоматического управления [2, 18, 22].

Специфической чертой упомянутых дискретных динамических систем является возможность задания их функционирования в виде разностных дискретных уравнений, позволяющих производить над ними аналитические преобразования. Отсюда вытекает очень важный вывод о том, что для решения упоминавшихся выше проблем упрощения трудоемкости процедур синтеза экспериментов и проверки критериев их существования возможно применение аналитических методов. Роль и значимость таких методов во многих разделах математики очень велика и потому применительно к ДА и БС аналитические методы открывают заманчивые перспективы.

Отметим, что аналитические методы в задачах теории автоматов, а также теории экспериментов с автоматами Мили и синтеза дискретных устройств уже успешно применялись ранее в работах А. М. Богомолова [8], Ю. А. Скобцова, Д. В. Сперанского [26-28], ЦыпкинаЯ. 3. [56], Фараджева Р. Г. [55] и др.

Результаты ,полученные в перечисленных работах, свидетельствуют об эффективности применения аналитических методов к довольно широкому классу задач и это делает тем более перспективной возможность их применения и к другим задачам.

Несмотря на обилие задач в области теории дискретных динамических систем, где уже применялись и доказали свою эффективность аналитические методы, до сего времени имеется целый ряд разделов упомянутой теории, в которых подобного рода методы еще не использовались.

Перечислим некоторые из таких разделов. Так, в теории систем возникли естественные обобщения понятия состояния системы и логичным продолжением их является попытка получения эффективно проверяемых критериев обобщенной управляемости в терминах характеристических матриц системы.

Далее, одной из важных проблем теории дискретных динамических систем является их тестирование, позволяющее обнаруживать неисправности системы. Хотя некоторые исследования по этой проблеме применительно к системам, описываемым моделями JIA и были выполнены (назовем, к примеру, работы Агибалова Г. П., Юфата Я. Г. [1], Колесова Н. В. [20]), однако они требовали наличия информации о начальном состоянии системы, которая практически никогда не известна. Именно поэтому возникла необходимость в разработке аналитических методов, позволяющих строить тесты для линейных систем в условиях отсутствия информации об их начальном состоянии.

К числу важных проблем теории дискретных систем относятся также проблемы их функционального контроля. Заметим, что перспективным направлением решения этой проблемы является использование так называемых схем встроенного контроля (СВК), сигнализирующих о возникновении неисправностей в системе. Один из возможных принципов, на которых работают СВК, является сравнение сигналов, реально подаваемых на вход системы, с сигналами, восстанавливаемыми по выходам этой системы. Однако упомянутое восстановление возможно лишь для класса систем, описываемых моделями автоматов без потери информации. В связи с этим возникает необходимость получения эффективно проверяемых критериев принадлежности автоматов упомянутому классу и разработки аналитических методов восстановления входных сигналов системы по ее реакции. Подобного рода проблема возникает и для сложных устройств, представляющих собой сеть из автоматов без потери информации.

Как уже было отмечено выше, при решении проблем диагностирования дискретных устройств возникает необходимость определения начального, промежуточного или конечного их состояний. Известные методы определения таких состояний связаны с проведением различного рода экспериментов с исследуемыми системами. При этом под экспериментом, следуя [13], понимается процесс подачи на систему некоторой входной последовательности, наблюдение выходной реакции системы и вывода о состоянии системы на основе полученной информации.

Заметим, что построение экспериментов для систем общего вида и проверка факта существования их для конкретного устройства -весьма трудоемкий процесс. В связи с этим возникает потребность в отыскании таких классов систем, для которых перечисленные задачи могут быть решены эффективно. В работах [34-38] было показано, что это удается сделать для линейных дискретных систем. Однако естественной является попытка построить конструктивно проверяемые критерии существования экспериментов и разработать аналитические методы их построения для более широкого класса дискретных систем.

В связи с изложенным в предлагаемой диссертационной работе проведены исследования, позволяющие заполнить ранее не заполненные ниши, связанные с перечисленными нами выше задачами в области теории дискретных динамических систем, описываемых математическими моделями JIA и БС.

Цель работы состоит в разработке в перечисленных выше разделах теории дискретных динамических систем аналитических методов решения ряда задач, являющихся более эффективными, чем известные ранее методы, и получение конструктивно проверяемых критериев их разрешимости, сводящихся к проверке справедливости аналитических соотношений.

Для достижения указанной цели поставлены и решены следующие задачи:

• получения конструктивно проверяемых критериев управляемости JIA в пространстве обобщенных состояний в терминах характеристических матриц этого JIA;

• разработки эффективных аналитических методов построения тестов, обнаруживающих неисправности как в стационарных, так и нестационарных ЛА;

• найти новые модификации ЛА БПИ, имеющие эффективные схемы функционального контроля, получить конструктивные критерии принадлежности ЛА этим классам;

• разработать аналитический метод решения задачи о минимизации времени восстановления сигналов на входах сети из ЛА БПИ;

• найти конструктивно проверяемые критерии существования синхронизирующих, установочных и диагностических последовательностей для билинейных дискретных систем в терминах их характеристических матриц;

• разработать аналитические методы построения перечисленных выше последовательностей;

• исследовать свойства всех типов перечисленных последовательностей;

• из результатов, установленных для БС, получить критерии существования всех типов экспериментов для ЛА, в том числе для ЛА с запаздыванием.

Полученные в диссертации результаты имеют не только теоретическое значение, но и могут быть использованы в приложениях, относящихся к построению тестов, обнаруживающих неисправности в дискретных динамических системах, при синтезе схем встроенного контроля, применяемых при функциональном контроле дискретных устройств, при создании систем автоматического управления и .т. д.

Исследования по теме диссертации выполнены в основном в 1998-2000 г. г. и проводились в рамках следующих грантов:

1) Грант РФФИ № 98-01-00113, проект «Неклассические задачи и средства исследования свойств конечных автоматов» (1998-2000 г. г.)

2) Грант РФФИ № 01-01-00080, проект «Задачи и методы анализа взаимодействующих автоматов» (2001-2003 г. г.)

3) Грант Минобразования РФ, проект «Разработка методов теории конечных автоматов и формальных языков» (19982000 г. г.)

4) Грант Минобразования РФ, проект «Разработка методов анализа и синтеза экспериментов с линейными и билинейными системами» (2001-2002 г. г.)

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международной конференции «Проблемы и перспективы прецизионной механики и машиностроения в управлении» (Саратов, 1997 г.), 4-ой международной конференции «Автоматизация проектирования дискретных систем» (Минск, 2001), Российской конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследованиях дискретных структур» (Томск, 2000),международной конференции памяти проф. А.М.Богомолова (2002 г.) и на семинарах в Саратовском государственном университете.

По результатам исследований опубликовано 11 работ, из них 6 выполнено в соавторстве, остальные самостоятельно.

Диссертация содержит 129 машинописных страниц, состоит из введения, одного вспомогательного и четырех основных разделов, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Сперанский, Игорь Дмитриевич

Основные результаты диссертации, освещены в публикациях [3949]. В работах [39-45], выполненных в соавторстве с Д. В.

Сперанским, ему принадлежат, как правило, постановки задач и частично идеи методов решения, остальные результаты (доказательства теорем, обоснования методов, численные примеры) в этих работах получены автором диссертации.

В процессе работы над диссертацией автор обсуждал круг исследуемых задач и полученные результаты с научным руководителем профессором А. А. Сытником, часто получая от него полезную критику и конструктивные советы. За проявленное внимание к проделанной работе хочу выразить А. А. Сытнику свою искреннюю благодарность.

7. Заключение

В диссертации представлены исследования, цель которых состоит в разработке в рамках теории дискретных динамических систем аналитических методов решения ряда задач, являющихся более эффективными, чем известные ранее методы, и получение конструктивно проверяемых критериев их разрешимости, сводящихся к проверке истинности аналитических соотношений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сперанский, Игорь Дмитриевич, 2002 год

1. Агибалов Г. П., Юфат Я. Г. О простых экспериментах для линейных инициальных автоматов // Автоматика и вычислительная техника. -1972. -№2. -с. 17-19.

2. Барашко А. С. К теории сигнатурных анализаторов // Кибернетика. -1990. -№2. с. 18-22.

3. Барашко А. С. Математические основы контроля дискретных устройств методом счета фрагментов // Кибернетика и системный анализ. -1994. -№2. -с.44-51.

4. Барашко А. С., Скобцов Ю. А., Сперанский Д. В. Моделирование и тестирование дискретных устройств. -Киев, Наукова думка. -1992. -286 с.

5. Богомолов А. М., Барашко А. С., Грунский И. С. Эксперименты с автоматами. -Киев, Наукова думка. -1973. -144 с.

6. Богомолов А. М., Грунский И. С., Сперанский Д. В. Контроль и преобразование дискретных автоматов. -Киев, Наукова думка. -1975. -174 с.

7. Богомолов А. М., Скобелев В. Г. Об одном алгоритме решения диагностической и установочной задач с автоматом. // Кибернетика. -1975. -№6. с. 1-6.

8. Богомолов А. М., Сперанский Д. В. Аналитические методы в задачах контроля и анализа дискретных устройств. -Саратов, изд-во Саратовского ун-та. -1986. -240 с.

9. Богомолов А. М., Твердохлебов В. А. Целенаправленное поведение автоматов. -Киев, Наукова думка. -1975. -169 с.

10. Высшая математика: Общий курс: Учебник / А. В. Кузнецов, JI. Ф. Янчук и др.; Под общей редакцией А. И. Яблонского. -Лен.: Вышэйшая школа. -1993. 348 стр.

11. Габасов Р., Кириллова Ф. М., Крахотко В. В., Минюк С. А. Теория управляемости линейных дискретных систем // Дифференциальные уравнения. -1972. -т. 8. -№5, 6, 7. -с. 767774, 1081-1092, 1283-1292.

12. Гараев М. И., Фараджев Р. Г. Аналитические методы вычисления процессов в линейных последовательностных машинах // Автоматика и телемеханика. -1971. -№1. -с. 66-74.

13. Гилл А. Введение в теорию конечных автоматов. -М.: Наука. -1966. -272 с.

14. Гилл А. Линейные последовательностные машины. -М.: Наука. -1974. -278 с.

15. Глушков В. М. Синтез цифровых автоматов. -М.: Физматгиз. -1962. -476 с.

16. Грунский И. С., Козловский В. А., Пономаренко Г. Г. Представления конечных автоматов фрагментами поведения. -Киев, Наукова думка. -1990. -232 с.

17. Д'Анджело Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез. -М.: Машиностроение, 1974.

18. Казначеев В. И. Диагностика неисправностей цифровых автоматов. М.: Сов. радио. -1975. -256 с.

19. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. -М.: Мир. -1971. 400 с.

20. Колесов Н. В. Построение проверяющего теста для линейного конечного автомата // Автоматика и телемеханика. -1996. -№5. -с. 141-149.

21. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. -М.: Наука. -1976. -432 с.

22. Латыпов P. X., Нуруждинов Ш. Р., Столов Е. Л., Фараджев Р. Г. Применение теории линейных последовательностных машин в системах диагностирования. // Автоматика и телемеханика. -1988. -№8. -с. 3-27.

23. Майника Э. Алгоритмы оптимизации на сетях и графах. М.: Мир, 1981.

24. Мур Э. Умозрительные эксперименты с последовательностными машинами // Сб. «Автоматы». -М.: ИЛ. -1956.-с. 179-210.

25. Пархоменко П. П., Согомонян Е. С. Основы технической диагностики. -М.: Энергоиздат. -1981. -319 с.

26. Скобцов Ю. А., Сперанский Д. В. Аналитический метод построения различающих последовательностей для дискретных устройств // Автоматика и телемеханика. -1980. -№1. -с. 122130.

27. Скобцов Ю. А., Сперанский Д. В. Структурно-аналитический подход в задачах диагностики синхронных последовательностных схем // Электронное моделирование. -1980. -№4. -с.32-38.

28. Скобцов Ю. А., Сперанский Д. В. Синтез проверяющих последовательностей для дискретных устройств с памятью методом различающей функции. // Автоматика и вычислительная техника. -1978. -№3. -с. 21-27.

29. Сперанский Д. В. Автоматы существенно без потери информации. // Автоматика и телемеханика. -1971. -№10. -с. 3844.

30. Сперанский Д. В. Об автоматах существенно без потери информации конечного порядка. // Автоматика и телемеханика. -1972. -№6. -с. 74-79.

31. Сперанский Д. В. Обобщенные автоматы без потери информации, I //Кибернетика и системный анализ. -1994. -№3. -с. 63-69.

32. Сперанский Д. В. Обобщенные автоматы без потери информации конечного порядка, 2 // Кибернетика и системный анализ. -1994. -№4. -с. 174-178.

33. Сперанский Д. В. Обобщенные линейные автоматы без потери информации // Изв. РАН Теория и системы управления. -1998. -№1. -с. 166-172.

34. Сперанский Д. В. Обобщенная синхронизация линейных последовательностных машин // Кибернетика и системный анализ. -1998. -№3. -с. 17-25.

35. Сперанский Д. В. Распознавание состояний нестационарных линейных автоматов // Изв. РАН Теория и системы управления. -2000. -№6. -с. 82-89.

36. Сперанский Д. В. Синхронизация линейных последовательностных машин // Автоматика и телемеханика. -1996. -№5. -с. 141-149.

37. Сперанский Д. В. Установочные и диагностические последовательности для линейных автоматов // Автоматика и телемеханика. -1997. -№5. -с. 133-141.

38. Сперанский Д. В., Колдобанова М. В. Обобщенные установочные и диагностические последовательности для линейных автоматов // Автоматика и телемеханика. -2001. -№3. -с. 3-13.

39. Сперанский Д. В., Сперанский И. Д. Разрешающие возможности диагностических экспериментов с линейными автоматами // Кибернетика и системный анализ. -2000. -№3. -с. 3-13.

40. Сперанский Д. В., Сперанский И. Д. Эксперименты с билинейными дискретными системами // Автоматика и телемеханика. -2000. -№6. -с. 176-189.

41. Сперанский Д. В., Сперанский И. Д. Эксперименты с линейными дискретными системами // Электронное моделирование. -1999. -№4. -с. 64-73.

42. Speranskiy D. V., Speranskiy I. D. Experiments with linear discrete systems // Engineering simulation -2000. -v. 17. -p. p. 535-541.

43. Сперанский Д. В., Сперанский И. Д. Синтез тестов для линейных автоматов // Новые информационные технологии в исследовании дискретных структур. Научн. изд., Томск, ТНЦ СО РАН. -2000. -с. 216-218.

44. Сперанский Д. В., Сперанский И. Д. Об одной задаче для сетей из линейных автоматов без потери информации // Автоматика и телемеханика. -1999. -№1. -с. 140-147.

45. Сперанский И. Д. Достижимость и управляемость линейных автоматов в пространстве обобщенных состояний // Теоретические проблемы информатики и ее приложений, вып. 2. Научн. изд., Саратов. -1998. -с. 95-103.

46. Сперанский И. Д. Обобщенная управляемость линейных автоматов // Теоретические проблемы информатики и ее приложений, вып. 1. Научн. изд., Саратов. -1997. -с. 71-78.

47. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления. -М.: Наука, 1985.

48. Сытник А. А. Восстановление поведения сложных систем. -Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1992. -192 с.

49. Сытник А. А. Перечислимость при восстановлении поведения автоматов // Доклады РАН. -1993. т. 238. -с. 25-26.

50. Твердохлебов В. А. Логические эксперименты с автоматами-Саратов. Изд-во Саратовского ун-та. -1998. -184 с.

51. Трахтенброт Б. А., Бардзинь Я. М. Конечные автоматы (поведение и синтез). -М.: Наука. -1970. -400 с.

52. Фараджев Р. Г. Линейные последовательностные машины. -М.: Сов. радио. -1975. -256 с.

53. Хиббард Т. Н. Точные верхние границы длин минимальных экспериментов, определяющих заключительное состояние лдя двух классов последовательностных машин // Кибернетический сборник. -Вып. 2. -1996. -с. 7-23.

54. Цыпкин я. 3., Фараджев Р. Г. Преобразование Лапласа-Галуа в теории последовательностных машин // Доклады АН СССР. -1996. -т. 166. -№3. -с. 570-574.

55. Яблонский С. В. О построении тупиковых кратных экспериментов для автоматов. -Тр. матем. ин-та АН СССР, т. 73, М.: Наука, 1973. -с. 263-272.

56. Янушевский Р. Т. Управление объектами с запаздыванием. -М.: Наука, 1978. -416 с.

57. Even S. On information lossless automata of finite order // IEEE Frans. Electr. Comput. -1965. -v. C-14. №4. -p. 561-569.

58. Huffman D. A. Canonical forms for information-lossless finite state logical machines // IRE. Frans. -1956. -v. CT-6. -p. 41-59.