АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДРОБНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор наук Лукащук Станислав Юрьевич

• Лукащук Станислав Юрьевич
• доктор наук
• 2017

Оглавление диссертации доктор наук Лукащук Станислав Юрьевич

Введение

Глава 1 Построение дробно-дифференциальных моделей неравновесных

процессов в системах с памятью

§1 Дробно-дифференциальные модели микроскопической динамики систем с

памятью

§2 Дробно-дифференциальные модели неравновесных процессов в системах с

памятью

§3 Эквивалентность обыкновенных дифференциальных уравнений дробного и

целого порядков

Глава 2 Симметрийные методы исследования дробно-дифференциальных

моделей

§4 Продолжение группы точечных преобразований на интегралы и производные

дробного порядка

§5 Симметрии дифференциальных уравнений с производными дробного порядка 65 §6 Симметрийный анализ нелинейной модели аномальной диффузии с источником

§7 Нелокальные симметрии дифференциальных уравнений с производными дробного порядка

Глава 3 Законы сохранения дробно-дифференциальных моделей

§8 Симметрийный алгоритм построения законов сохранения для дробно-дифференциальных моделей

§9 Законы сохранения дробно-дифференциальных моделей аномальной диффузии

§10 Нелинейная самосопряженность, законы сохранения и точные решения дробно-дифференциальных моделей типа Компанейца

Глава 4 Приближенные симметрии и решения дробно-дифференциальных

моделей

§11 Аппроксимация дробных производных и построение приближенных симмет-

рий дробно-дифференциальных моделей

§12 Групповая классификация приближенного уравнения субдиффузии

§13 Двухмасштабный метод построения приближенных решений дробно-дифференциальных уравнений

Глава 5 Параметрическая идентификация дробно-дифференциальных

моделей аномальной диффузии

§14 Интегральные представления постоянных параметров дробно-дифференциальных моделей аномальной диффузии через временные интегральные характеристики

§15 Пример идентификации параметров модели аномальной диффузии

§16 Численные алгоритмы идентификации линейных моделей аномальной диффузии

§17 Программный комплекс компьютерного моделирования процессов аномальной диффузии

Глава 6 Параллельные численные алгоритмы моделирования процессов

аномальной диффузии

§18 Параллельный алгоритм на основе оптимизированного метода Шварца для

численного решения дробно-дифференциального уравнения субдиффузии . . 208 §19 Двухсеточные параллельные алгоритмы для численного решения уравнений

аномальной диффузии

§20 Оценка эффективности двухсеточных параллельных алгоритмов

Заключение

Список литературы

Приложение А Необходимые сведения из теории интегро-

. дифференцирования дробного порядка

Приложение Б Классическое уравнение Лиувилля и его свойства

Приложение В Примеры файлов пакетов АД-НКЗ и АД-ВИХ

. программного комплекса компьютерного моделирования . процессов аномальной диффузии

Приложение Г Примеры рабочих форм графического интерфейса

. программного комплекса компьютерного моделирования . процессов аномальной диффузии

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДРОБНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Процессы переноса и релаксации в неупорядоченных и неоднородных сложных средах часто обладают кинетикой, не подчиняющейся нормальной (гауссовой) статистике. По этой причине такие процессы принято называть аномальными или неклассическими. Они наблюдаются экспериментально при исследовании диффузии в турбулентных потоках, тепло- и массопереноса в плазме, фильтрации флюидов в неоднородных пористых средах, переноса примеси в сложных геологических формациях, переноса зарядов в аморфных полупроводниках, релаксационных процессов в полимерах, гидродинамики неньютоновских жидкостей, эволюции сложных биологических систем, передачи информации в глобальных коммуникационных сетях и многих других явлений [42,47,89,112,138,149,179,180,182, 285,348, 364]. При этом аномальность процесса обычно проявляется в виде эффектов памяти и/или пространственной нелокальности.

Эффективным инструментом математического моделирования аномальных процессов с дробно-степенной кинетикой является теория интегро-дифференцирования дробного порядка [90, 104, 112,236,310]. Она позволяет использовать для построения математических моделей таких процессов те же принципы и подходы, которые использовались при построении классических моделей. Отличие заключается лишь в том, что теперь математическая модель является дробно-дифференциальной, то есть представляет собой дифференциальное уравнение (или систему таких уравнений) с производными дробных, а не целых, порядков. В течение последних двух десятилетий было предложено большое количество дробно-дифференциальных моделей (ДДМ) диффузионного типа [89,90,112,113,128,138,182,257,258,285,331,340,348].

Как правило, такие модели строятся с использованием метода случайных блужданий с непрерывным временем (СТКЖ), предложенным в 1965 г. Э. Монтроллом и Г. Вей-сом [288]. Однако более предпочтительным представляется построение таких моделей «из первых принципов», то есть из рассмотрения микроскопической динамики соответствующей системы. Известно, что практически любая макроскопическая модель неравновесного необратимого процесса может быть получена из соответствующего кинетического уравнения, которое, в свою очередь, является следствием перехода к сокращенному описанию микроскопической динамики системы. Такое сокращенное описание получается, в частности, в результате применения к уравнению Лиувилля проекционного формализма Цванцига-Мори [49,370]. В работах [92,217,218,333,335] предложены различные дробно-дифференциальные обобщения уравнения Лиувилля, однако проекционная техника для этих уравнений не развита и многие вопросы, связанные с построением на их основе макроскопических ДДМ остаются открытыми.

Математически, дифференциальные уравнения с производными дробного порядка относятся к классу интегро-дифференциальных уравнений. При этом подавляющее большинство исследуемых и используемых на практике дробно-дифференциальных уравнений являются линейными. Для них удалось обобщить многие методы классической теории линейных дифференциальных уравнений целого порядка (обыкновенных и в част-

ных производных), а также некоторые методы теории линейных интегральных уравнений. Для нелинейных дробно-дифференциальных уравнений получили развитие численно-аналитические методы, направленные на построение их приближенных решений. Однако аналитические методы исследования качественных свойств нелинейных ДДМ и построения их точных решений только начинают развиваться. Это связано с тем, что в силу нелокальности операторов дробного дифференцирования нелинейные дробно-дифференциальные уравнения являются достаточно сложным для изучения математическим объектом. В результате даже задача нахождения частных решений относительно простого нелинейного дробно-дифференциального уравнения часто оказывается весьма нетривиальной.

Одним из эффективных подходов к исследованию качественных свойств дифференциальных уравнений целого порядка является современный групповой анализ, основы которого были заложены в работах С. Ли и развиты в дальнейшем в работах научных школ Л. В. Овсянникова, Н. Х. Ибрагимова, Р. 01уег и др. [51,93,94,168-170]. К настоящему времени его методы и алгоритмы были успешно распространены и на некоторые виды классических интегро-дифференциальных уравнений (Больцмана, Власова и ряд других) [56,203,222,282], что обусловливает возможность использования данного подхода и для исследования уравнений с производными дробного порядка. Но несмотря на то, что понятие симметрии достаточно часто используется при построении и анализе ДДМ, методы современного группового анализа практически не применялись для их изучения. Вместе с тем, развитие этих методов в рамках общей теории интегро-дифференцирования дробного порядка откроет возможность исследования внутренней симметрийной структуры нелинейных ДДМ, даст возможность разработки конструктивных алгоритмов построения их точных аналитических решений, а также позволит установить связь этих моделей с законами сохранения. Поэтому задача разработки симметрийных методов исследования ДДМ представляется важной и актуальной.

С симметриями уравнения и понятием лагранжиана также неразрывно связаны законы сохранения. Лагранжиан, зависящий от производных дробного порядка, впервые исследовался в работе [319], а соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа были впервые построены в работе [133]. В работах [140,159,184,254,277,298] на основе этих результатов был доказан ряд дробно-дифференциальных обобщений теоремы Нётер и построены законы сохранения для некоторых ДДМ. Однако полученные в этих работах результаты носят частный характер и не дают достаточно общего, простого и эффективного алгоритма построения законов сохранения для ДДМ. В случае дифференциальных уравнений с производными целого порядка такой алгоритм был предложен Н.Х. Ибрагимовым [50]. Также недавно им был развит метод нелинейной самосопряженности, позволяющий находить законы сохранения по известным симметриям уравнений, не имеющих классического лагранжиана [52,223,225]. Задача распространения этих подходов на случай ДДМ также представляется актуальной.

С другой стороны, попытки практического использования существующих ДДМ часто наталкиваются на отсутствие необходимых числовых значений параметров этих моделей. В частности, в случае ДДМ аномальной диффузии такими параметрами являются коэф-

фициент аномальной диффузии и порядок дробного дифференцирования. В результате возникает задача параметрической идентификации ДДМ по данным натурных экспериментов, актуальная не только для нелинейных, но и для относительно простых и хорошо известных линейных моделей. Математически она приводит к различным постановкам коэффициентных обратных задач. При этом необходимо отметить, что задача восстановления порядка дробного дифференцирования не имеет аналога в теории обратных задач для дифференциальных уравнений целого порядка. Еще больше осложняет ситуацию разнообразие близких по смыслу моделей, построенных с использованием различных типов дробных производных: Римана-Лиувилля, Капуто, Маршо, Грюнвальда-Летникова, Адамара, Рисса, Джумари, локальных дробных производных Колванкара, континуальных дробных производных и ряда других [90,102,104,131,138,236,257]. В результате класс коэффициентных обратных задач для дробно-дифференциальных уравнений оказывается намного шире и разнообразнее, чем для уравнений с производными целых порядков, что приводит к необходимости разработки новых методов и алгоритмов их решения.

Серьёзные проблемы возникают и при численном исследовании аномальных процессов переноса. В настоящее время предложено множество методов дискретизации производных дробного порядка различных типов, позволяющих строить различные классы численных схем для исследования ДДМ методами компьютерного моделирования. Однако нелокальность операторов дробного дифференцирования приводит к колоссальной вычислительной трудоемкости таких численных алгоритмов. По этой причине представляется оправданным применение современных высокопроизводительных вычислительных систем (суперкомпьютеров и вычислительных кластеров), но их использование требует распараллеливания соответствующих численных схем. При этом непосредственное использование классических принципов декомпозиции пространственно-временной расчетной области часто приводит к огромным объемам межпроцессорных обменов данными, что фатальным образом сказывается на эффективности таких параллельных алгоритмов. В результате становится актуальной задача разработки параллельных вычислительных алгоритмов нового типа, применимых для ДДМ.

К настоящему времени наиболее хорошо теоретически обоснованными и экспериментально подтвержденными ДДМ являются модели диффузионного типа. Такие модели нашли широкое практическое применение в самых различных областях современного естествознания. По этим причинам этот тип ДДМ наилучшим образом подходит для апробации новых аналитических и численных методов и алгоритмов.

Все перечисленное обусловливает актуальность разработки аналитических методов и численных алгоритмов для решения проблемы исследования дробно-дифференциальных математических моделей (ДДМ).

Степень разработанности темы исследования. Идея обобщения понятия производной на нецелые порядки восходит еще к Г. Лейбницу и Л. Эйлеру. Основы теории дробного интегро-дифференцирования были заложены в начале XIX века в трудах Ж. Лиувилля и развиты в дальнейшем в работах А. Грюнвальда, А. В. Летнико-ва, Б. Римана, Х. Хольмгрена, Ж. Адамара, М. Рисса, Г. Вейля, А. Маршо, А. Эрдейи, Х. Кобера, М. М. Джрбашяна, Т. Ослера, М. Капуто и многих других исследователей.

Весьма подробный исторический обзор развития классической теории дробного интегро-дифференцирования содержится в фундаментальной монографии С. Г. Самко, А. А. Кил-баса и О. И. Маричева [104].

Первоначально теория дробного интегро-дифференцирования развивалась почти исключительно как область математического анализа [104,181,299]. К концу XX века центр исследований начал постепенно перемещаться в область дробно-дифференциальных уравнений. Это во многом было обусловлено открывшимися практическими приложениями дробного исчисления, прежде всего в физике сложных неоднородных сред. Оказалось, что дробно-дифференциальные уравнения идеально подходят для моделирования аномальных процессов, протекающих в системах с фрактальной структурой или обладающих степенной памятью. В результате интегро-дифференцирование дробного порядка стало развиваться как мощный современный аппарат математического моделирования, включающий как аналитические, так и численные методы исследования ДДМ. К настоящему времени издано достаточно большое количество монографий и тематических сборников, посвященных современным направлениям развития теории дробного интегро-дифференцирования и ее приложениям в различных областях современного естествознания [17,90,102,112,129,131,148,161,180,214,219,236,248,275,286,310,318,346,353].

Наиболее распространенными и изученными ДДМ являются модели различных аномальных процессов переноса диффузионного типа, кинетика протекания которых хорошо описывается (по крайней мере, асимптотически) степенными законами с дробными показателями степени. Величина этого показателя в зависимости среднеквадратического отклонения положений диффундирующих частиц (если его конечная величина существует) от времени позволяет разделить процессы аномальной диффузии на субдиффузионные, в которых он меньше единицы, и супердиффузионные, в которых он больше единицы. При субдиффузии интенсивность переноса частиц ниже, чем при классической диффузии. Такие процессы обычно наблюдаются в системах с памятью. Супердиффузионный перенос обладает более высокой, по сравнению с классической диффузией, интенсивностью переноса частиц и часто наблюдается в средах с фрактальной структурой. В системах, обладающих одновременно пространственной и временной нелокальностью, возможно протекание как суб-, так и супердиффузионных процессов [47]. Примерами дробно-дифференциальных уравнений диффузионного типа являются собственно уравнения субдиффузии и супердиффузии [128,163,284,285,364], диффузионно-волновые уравнения [13,139,261,269,270], дробно-дифференциальные уравнения Фоккера-Планка [150,164,234,283,334], адвекции-дисперсии [152,156,327,369], реакции-диффузии [128,174,326] и целый ряд других.

Существует несколько подходов к построению ДДМ аномального переноса, большинство из которых основано на статистических методах. Эти методы развивались в работах многих отечественных и зарубежных ученых, среди которых отметим Р. Р. Нигматулли-на [293,294], В. В. Учайкина [111,348], Р. Т. Сибатова [105,329], В. Е. Тарасова [334,340], R. Hilfer [217,218], D. Baleanu [200,292]. Одним из эффективных и наиболее часто используемых на практике является метод случайных блужданий с непрерывным временем (continuos time random walks — CTRW), предложенный в 1965 г. Э. Монтроллом и Г. Вей-сом [288]. Этот метод успешно применялся в работах H. Scher, J. Klafter, M. F. Shlesinger,

R. Metzler, M. M. Meerschaert, D. A. Benson, E. Barkai, B. Berkowitz, В. В. Учайкина, Р. Т. Сибатова и многих других исследователей для моделирования аномальных процессов переноса в различных сложных средах и системах [105,106,113,128,138,150,151, 153,153,154,177,280,283,285,289,329,364]. С его помощью были получены упоминавшиеся выше дробно-дифференциальные уравнения суб- и супердиффузии, Фоккера-Планка, адвекции-дисперсии с различными типами дробных производных по пространственным и/или временной переменным.

Вопросы разрешимости задач Коши и начально-краевых задач для различных видов линейных дробно-дифференциальных уравнений диффузионного типа, а также приводящих к ним абстрактных дифференциальных уравнений дробного порядка, исследовались в работах А. А. Килбаса, А. Н. Кочубея, Ю. Лучко, А. А. Ворошилова, А. В. Псху, М. О. Мамчуева, В.Е. Федорова, Д. М. Гордиевских, R. Gorenflo, F. Mainardi, M. M. Meerschaert, G. Pagnini, J.J. Trujillo и многих других [22-24,43,59,60,85,86,100-102,115,132,204,235, 237,241,256,260,261,271,272]. Большой вклад в исследование этих задач внесла отечественная научная школа профессора А. М. Нахушева. Для построения решений линейных дробно-дифференциальных уравнений диффузионного типа был предложен ряд методов и алгоритмов, основанных на функции Грина, интегральных преобразованиях Лапласа, Фурье и Меллина, обобщении метода разделения переменных Фурье, сведении к интегральным уравнениям вольтерровского типа и ряд других. В работах Ю. Лучко и его коллег [160, 202, 259] впервые группы точечных преобразований растяжения, допускаемые линейными дробно-дифференциальными уравнениями аномальной диффузии с дробными производными по временной и пространственной переменным, были использованы для построения точных автомодельных решений этих уравнений, но дальнейшего систематического развития данный подход не получил.

Вместе с тем, методы построения точных решений нелинейных дробно-дифференциальных уравнений в настоящее время практически отсутствуют. Известно относительно небольшое количество работ, посвященных вопросам построения решений нелинейных дробно-дифференциальных уравнений аномальной диффузии, среди которых отметим работы C. Tsallis, M. Bologna, E. K. Lenzi, P. S. Mendesa и их коллег [155,245-247,276], в которых для некоторых таких уравнений построены решения заранее заданного вида, вытекающего из свойств масштабирования, а также работы J. L. Vazquez [157,158,330], в которых проводится исследование вопросов существования, единственности и ограниченности решений нелинейных дробно-дифференциальных диффузионных уравнений.

Существенно более активно развивались численно-аналитические (или полу-анали-тические) методы построения приближенных решений нелинейных дробно-дифференциальных уравнений: метод декомпозиции Адомиана (Adomian's decomposition method), метод анализа гомотопии (homotopy analysis method — HAM), итерационный вариационный метод (variational iteration method), метод возмущенной гомотопии (homotopy perturbation method — HPM). Характерной особенностью этих методов является отсутствие необходимости введения в уравнение малого параметра для построения его приближенного решения, что принципиально отличает их от классических методов теории возмущений. Метод декомпозиции был предложен и развит в работах G. Adomian в 70-х годах прошлого века

для дифференциальных уравнений целого порядка [130] и в течение последних двух десятилетий успешно используется для решения нелинейных дробно-дифференциальных уравнений, в том числе диффузионного типа [314,316,325]. Метод анализа гомотопии [249,250] был предложен в 1992 г. в диссертации S. J. Liao и в дальнейшем также был развит для решения нелинейных дробно-дифференциальных диффузионных уравнений [173,227,317]. Итерационный вариационный метод [210,212,213] и метод возмущенной гомотопии [211, 213] были практически одновременно предложены J. H. He для построения приближенных аналитических решений нелинейных дифференциальных уравнений как целого, так и дробного порядков. Различные модификации этих методов также использовались для построения приближенных решений дробно-дифференциальных уравнений аномальной диффузии, содержащих дробные производные различных типов [205,228,296,306,313,368].

Несмотря на преимущества численно-аналитического подхода, основным способом построения приближенных решений ДДМ, особенно нелинейных, остаются численные методы. Ежегодно в мире по этому направлению публикуются сотни работ, и их количество год от года возрастает. Простейшие численные схемы были приведены еще в классических монографиях K. B. Oldham & J. Spanier [299] и I. Podlubny [310], более современные подходы можно найти в книгах [148,248]. Большая часть существующих в настоящее время работ посвящена разработке и исследованию конечно-разностных методов, основанных на различных видах аппроксимаций операторов дробного дифференцирования, среди которых для дробно-дифференциальных уравнений диффузионного типа отметим работы В. М. Головизнина и И. А. Короткина [40,41], М. Х. Шхануков-Лафишева [5,6,63], А. А. Алиханова [2,3,137], M. M. Meerschaert [279,281,366], S. B. Yuste [291,311,362,363]. Развиваются и другие численные подходы, в частности, конечно-элементный [232, 248] и конечно-объемный [230,252].

Однако основной проблемой численного решения дробно-дифференциальных уравнений остается высокая вычислительная трудоемкость соответствующих численных алгоритмов [206]. Существует несколько возможных подходов к ускорению вычислений, среди которых отметим принцип ограниченной памяти [310] и использование многосеточного подхода [307]. При этом основной задачей становится сохранение точности вычислений. Возможным выходом является распараллеливание численных алгоритмов, которое позволяет существенно сократить время вычислений при сохранении заданного уровня точности. Однако к настоящему времени известны лишь единичные работы в этом направлении. Один из первых параллельных алгоритмов для обыкновенных дробно-дифференциальных уравнений на основе метода Адамса-Башфорта-Мултона в 2011 г. предложил K. Diethelm [176]. В работах Q. Xu [360] и S-L. Wu [358] для дробно-дифференциальных уравнений предложены модификации алгоритма PARAREAL, отличительной особенностью которого является распараллеливание не по пространственным, а по временной переменной. Для дробно-дифференциальных уравнений аномальной диффузии с различными типами дробных производных ряд параллельных алгоритмов, основанных на принципах пространственной декомпозиции и распараллеливании матрично-векторных операций, был недавно предложен в работах C. Gong и его коллег [201,253].

Весьма небольшим остается и количество работ, посвященных проблемам идентификации ДДМ посредством решения соответствующих обратных задач. Четыре класса обратных задач для различных диффузионных ДДМ рассмотрены в вышедшей недавно обзорной статье B. Jin и W. Rundell [233]. Однако задача идентификации коэффициента аномальной диффузии, являющаяся одной из важнейших для практики, в данной работе даже не рассматривалась. Наиболее часто исследуемыми задачами данного класса являются задачи восстановления функции источника или отдельных параметров, входящих в эти функции. Такие задачи рассматривались, в частности, в работах А.В. Глушака [37,38], Д. Г. Орловского [95], H. Wei [354], G. Chi с соавторами [167], S. Tatar и S. Ulusoy [342], L. Miller and M. Yamamoto [287].

Проблемами идентификации коэффициентов аномальной диффузии в ДДМ и исследованием вопросов разрешимости соответствующих обратных задач в настоящее время занимается несколько научных групп. Обратные задачи восстановления порядка дробного дифференцирования и постоянного или зависящего от пространственной координаты коэффициента диффузии для дробно-дифференциального уравнения субдиффузии с дробной производной Капуто по времени рассматривалась в работах А. Н. Бондаренко и Д. С. Иващенко [15,16], а также E. Ozbilge и A. Demir [302,303] и J. Cheng с соавторами [166]. В работе D. Zhang и его коллег [365] для одномерного уравнения адвекции-диффузии с дробной производной по пространственной переменной предложен алгоритм одновременной идентификации коэффициента диффузии, порядка дробного дифференцирования и постоянной скорости сноса, основанный на минимизации квадратичного функционала невязки с использованием метода регуляризации А.Н. Тихонова. В работе S. Tatar и S. Ulusoy [343] рассмотрена обратная задача восстановления коэффициента диффузии как функции решения для нелинейного уравнения диффузии и доказано существование квазирешения этой задачи в заданном классе функций. Аналогичная задача рассматривалась также в работе [54]. Весьма интересный подход к параметрической идентификации диффузионных ДДМ с использованием искусственных нейронных сетей описан в монографии В. М. Головизнина с соавторами [42]. Однако в целом, методы решения обратных задач параметрической идентификации дробно-дифференциальных уравнений не получили еще должного развития.

Из приведенного обзора следует, что для линейных ДДМ достаточно хорошо развиты качественные методы исследования, в том числе методы построения их аналитических решений. Также хорошо разработаны численные методы и алгоритмы для проведения компьютерного моделирования на основе таких моделей. Вместе с тем, методы параметрической идентификации линейных моделей диффузионного типа, а также параллельные алгоритмы для их численного исследования с использованием современных высокопроизводительных вычислительных систем практически отсутствуют. Для нелинейных ДДМ активно развивается полу-аналитический подход, связанный с построением их приближенных решений без введения малого параметра. При этом аналитические методы построения точных решений таких уравнений, в частности, основанные на симметрийном подходе, практически отсутствуют.

Цели и задачи работы. Целью диссертационной работы является развитие методологических основ исследования дробно-дифференциальных математических моделей, предусматривающее разработку новых подходов к построению таких моделей, развитие качественных и приближенных аналитических методов их исследования, а также аналитических и численных алгоритмов их параметрической идентификации, на примере дробно-дифференциальных моделей диффузионного типа.

Для достижения данной цели в работе были поставлены и решены следующие задачи.

1. Развитие кинетического подхода к построению ДДМ процессов переноса в системах со степенной памятью, основанного на принципах классической неравновесной статистической механики.

2. Развитие теоретико-группового подхода для исследования симметрийных свойств ДДМ с производными дробного порядка различных типов и применение разработанных методов и алгоритмов для нахождения симметрий и построения точных решений ДДМ диффузионного типа.

3. Разработка и обоснование симметрийных методов построения законов сохранения для ДДМ и построение с их помощью новых законов сохранения для имеющих практическое значение моделей диффузионного типа.

4. Разработка новых, в том числе симметрийных, методов теории возмущений для построения приближенных решений ДДМ, в которых возможно выделение малого параметра из порядка дробного дифференцирования.

5. Разработка аналитических и численно-аналитических методов идентификации постоянных параметров ДДМ аномального переноса (включая порядки дробного дифференцирования) на основе теории интегральных представлений.

6. Разработка параллельных численных алгоритмов для решения задач компьютерного моделирования и идентификации ДДМ аномального диффузионного переноса.

7. Создание программного комплекса компьютерного моделирования процессов аномальной диффузии.

Научная новизна. 1. Для статистического ансамбля систем с памятью предложена процедура вывода из классического уравнения Лиувилля его дробно-дифференциального аналога с производными Римана-Лиувилля по времени, использующая понятие эквивалентности двух уравнений по решению. На основе полученного уравнения Лиувилля с использованием проекционного формализма Цванцига-Мори построены дробно-дифференциальные аналоги кинетического уравнения Цванцига, обобщенного уравнения Лан-жевена и уравнения Мори для эволюции макроскопических наблюдаемых. На примере модели аномальной диффузии показано, что полученные уравнения могут быть использованы для построения макроскопических ДДМ неравновесных необратимых процессов.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Лукащук Станислав Юрьевич, 2017 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абрамовиц, М. Справочник по специальным функциям / М. Абрамовиц, И. Стиган. — М. : Наука, 1979.—832 с.

2. Алиханов, А. А. Об устойчивости и сходимости нелокальных разностных схем / А. А. Алиханов // Дифференциальные уравнения. — 2010. — Т. 46, № 7. — С. 942954.

3. Алиханов, А. А. Устойчивость и сходимость разностных схем для краевых задач уравнения диффузии дробного порядка / А. А. Алиханов // ЖВММФ. — 2016.— Т. 56, № 4. —С. 572-586.

4. Ахатов, И. Ш. Нелокальные симметрии. Эвристический подход / И. Ш. Ахатов, Р. К. Газизов, Н. Х. Ибрагимов // Итоги науки и техники. Сер. Совр. пробл. мат. Нов. достиж. — 1989. — Т. 34. — С. 3-83.

5. Баззаев, А. К. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями III рода / А. К. Баззаев, М. Х. Шхануков-Лафишев // ЖВММФ. —2010. —Т. 50, №7. —С. 1200-1208.

6. Баззаев, А. К. Локально-одномерные схемы для уравнения диффузии с дробной производной по времени в области произвольной формы / А. К. Баззаев, М. Х. Шхануков-Лафишев // ЖВММФ. — 2016. — Т. 56, № 1. —С. 113-123.

7. Байков, В. А. Приближенные симметрии / В. А. Байков, Р. К. Газизов, Н. Х. Ибрагимов // Матем. сб. —1988. —Т. 136, № 4. —С. 435-450.

8. Байков, В. А. Методы возмущений в групповом анализе / В. А. Байков, Р. К. Газизов, Н. Х. Ибрагимов // Итоги науки и техники. Сер. Совр. пробл. мат. Нов. достиж. — 1989. —Т. 34. —С. 85-147.

9. Байков, В. А. Приближенные симметрии и законы сохранения / В. А. Байков, Р. К. Газизов, Н. Х. Ибрагимов // Труды Математического института им. В. А. Стек-лова. — 1991. — Т. 200. — С. 35-45.

10. Байков, В. А. Приближенные группы преобразований / В. А. Байков, Р. К. Газизов, Н. Х. Ибрагимов // Дифференциальные уравнения. — 1993. — Т. 29, № 10. — С. 17121732.

11. Балеску, Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика / Р. Балеску. — Москва : Изд-во «Мир», 1978. —Т. 2. —396 с.

12. Белевцов, Н. С. Групповая классификация одного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка / Н. С. Белевцов, Науч. рук.: С. Ю. Лукащук // Мав-лютовские чтения: Материалы IX Всероссийской молодежной научной конференции (28-30 октября 2015 г.). —Т. 3. —Уфа : ФГБОУ ВПО «УГАТУ», 2015. —С. 170-175.

13. Боголюбов, А. Н. Способ введения дробного дифференцирования в классической электродинамике / А. Н. Боголюбов, А. А. Потапов, С. Ш. Рехвиашвили // Вестник Московского ун-та. Сер. 3: Физика, астрономия. — 2009. — Т. 4. — С. 9-11.

14. Боголюбов, Н. Н. Введение в теорию квантованных полей / Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков. — М. : Наука, 1984. — 600 с.

15. Бондаренко, А. Н. Численные алгоритмы решения обратных задач аномальной диффузии / А. Н. Бондаренко, Д. С. Иващенко // Сб. науч. тр. НГТУ. — 2003. — Т. 4 (34). —С. 59-64.

16. Бондаренко, А. Н. Численные методы решения обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с переменным коэффициентом / А. Н. Бонда-ренко, Д. С. Иващенко // Тр. межд. конф. «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященной 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск. — 2007. — С. 1-5.

17. Васильев, В. В. Дробное исчисление и аппроксимационные методы в моделировании динамических систем / В. В. Васильев, Л. А. Симак. — Киев : НАН Украины, 2008. — 256 с.

18. Власов, В. В. Интегральные характеристики в определении коэффициентов параболических систем и уравнений / В. В. Власов, В. Г. Серегина, Ю. С. Шаталов // ИФЖ. — 1977. — Т. 32, № 4. — С. 712-718.

19. Власов, В. В. Методы неразрушающего теплофизического контроля анизотропных тел / В. В. Власов, Ю. С. Шаталов, Е. Н. Зотов [и др.] // ИФЖ. — 1977. — Т. 33, № 3. —С. 479-485.

20. Власов, В. В. Методы и устройства неразрушающего контроля теплофизических свойств материалов массивных тел / В. В. Власов, Ю. С. Шаталов, Е. Н. Зотов [и др.] // Измерительная техника. — 1980. — № 6. — С. 42-45.

21. Власов, В. В. Неразрушающий контроль зависящих от температуры коэффициентов тепло- и температуропроводности / В. В. Власов, Ю. С. Шаталов, А. А. Чуриков, Е. Н. Зотов // Промышленная теплотехника. — 1981. —Т. 3, № 3. — С. 43-52.

22. Ворошилов, А. А. Задача Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Капуто / А. А. Ворошилов, А. А. Килбас // Дифференциальные уравнения. — 2006. — Т. 42, № 5. — С. 599-609.

23. Ворошилов, А. А. Задача типа Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Римана-Лиувилля / А. А. Ворошилов, А. А. Килбас // ДАН. — 2006. —Т. 406, № 1. —С. 12-16.

24. Ворошилов, А. А. Условия существования классического решения задачи типа Ко-ши для уравнения диффузии с частной производной Римана-Лиувилля / А. А. Ворошилов, А. А. Килбас // Дифференциальные уравнения. — 2008. — Т. 44, № 6. — С. 768-784.

25. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. / Под ред. Дж. Дем-мель. —М. : Мир, 2001.—435 с.

26. Вычислительные процессы и системы. Вып. 6 / Под ред. Г. И. Марчука. — М. : Наука, 1988. —312 с.

27. Газизов, Р. К. Приближенные группы преобразований дифференциальных уравнений с малым параметром : Дисс. ... д-ра. физ.-мат. наук / Р. К. Газизов ; УГАТУ. — 1999. — 250 с.

28. Газизов, Р. К. Приближенные симметрии и решения уравнения Компанейца / Р. К. Газизов, Н. Х. Ибрагимов // ПМТФ. — 2014. — Т. 55, № 2. —С. 38-42.

29. Газизов, Р. К. Непрерывные группы преобразований дифференциальных уравнений дробного порядка / Р. К. Газизов, А. А. Касаткин, С. Ю. Лукащук // Вестник УГАТУ.—2007.—Т. 9, №3 (21). —С. 125-135.

30. Газизов, Р. К. Симметрийный подход к дифференциальным уравнениям дробного порядка / Р. К. Газизов, А. А. Касаткин, С. Ю. Лукащук // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. пятой Всерос. научн. конф. с межд. участием. Ч. 3. — Самара : Самарский гос. техн. ун-т, 2008. — С. 59-61.

31. Газизов, Р. К. Основы суперкомпьютерных технологий / Р. К. Газизов, В. О. Лукащук, С. Ю. Лукащук, А. В. Юлдашев. — Уфа : УГАТУ, 2008. — 267 с.

32. Газизов, Р. К. Симметрийные свойства дифференциальных уравнений переноса дробного порядка / Р. К. Газизов, А. А. Касаткин, С. Ю. Лукащук // Тр. Ин-та Механики УНЦ РАН. —2012. —Т. 1. —С. 59-64.

33. Газизов, Р. К. Уравнения с производными дробного порядка: замены переменных и нелокальные симметрии / Р. К. Газизов, А. А. Касаткин, С. Ю. Лукащук // Уфимский математический журнал. — 2012. — Т. 4, № 4. — С. 54-63.

34. Газизов, Р. К. Разработка параллельных алгоритмов решения задач механики сплошной среды на основе принципа пространственной декомпозиции / Р. К. Газизов, С. Ю. Лукащук, К. И. Михайленко // Вестник УГАТУ. - 2003. - Т. 4, № 1. — С. 100107.

35. Гамаюнов, Н. И. Метод комплексного определения теплофизических характеристик и алгоритм обработки экспериментальных данных на ЭВМ / Н. И. Гамаюнов, Р. А. Ис-пирян, А. Л. Калабин // ИФЖ. — 1988. — Т. 55, № 2. — С. 265-270.

36. Гамаюнов, Н. И. Метод статистического моделирования для оценки погрешности определения коэффициента диффузии влаги / Н. И. Гамаюнов, Р. А. Испирян,

A. А. Шейнман // ИФЖ. — 1980. — Т. 38, № 4. —С. 709-715.

37. Глушак, А. В. Обратная задача для эволюционного уравнения с интегралом дробного порядка в граничном условии / А. В. Глушак // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2008. — Т. 29. — С. 49-61.

38. Глушак, А. В. Прямая и обратная задачи для абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Адамара / А. В. Глушак, Т. А. Манаенко-ва // Дифференциальные уравнения. — 2011. — Т. 47, № 9.— С. 1294-1304.

39. Годунов, С. К. Уравнения математической физики / С. К. Годунов. — М. : Наука, 1971. —416 с.

40. Головизнин, В. М. Прямые задачи неклассического переноса радионуклидов в геологических формациях / В. М. Головизнин, В. П. Киселев, И. А. Короткин, Ю. И. Юрков // Изв. РАН. Энергетика. — 2004. — № 4. — С. 121-132.

41. Головизнин, В. М. Методы численного решения некоторых одномерных уравнений с дробными производными / В. М. Головизнин, И. А. Короткин // Дифференциальные уравнения. — 2006. — Т. 42, № 7. — С. 907-913.

42. Головизнин, В. М. Аномальная диффузия радионуклидов в сильнонеоднородных геологических формациях / В. М. Головизнин, П. С. Кондратенко, Л. В Матвеев [и др.]. —М. : Наука, 2010. —342 с.

43. Гордиевских, Д. М. Решения начально-краевых задач для некоторых вырожденных систем уравнений дробного порядка по времени / Д. М. Гордиевских, В. Е. Федоров // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер.: Математика. — 2015. — Т. 12, № 10. —С. 12-22.

44. Джрбашян, М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области / М. М. Джрбашян. — Москва : Наука, 1966. — 672 с.

45. Дородницын, В. А. Об инвариантных решениях уравнения нелинейной теплопроводности с источником / В. А. Дородницын // ЖВММФ. — 1982. — Т. 22, № 6. — С. 13931400.

46. Завьялов, Ю. С. Методы сплайн-функций / Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, В. Л. Мирошниченко.— М. : Наука, 1980. — 352 с.

47. Заславский, Г. М. Гамильтонов хаос и фрактальная динамика / Г. М. Заславский. — Москва-Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных исследований, 2010. — 472 с.

48. Зельдович, Я. Б. Взаимодействие свободных электронов с электромагнитным излучением / Я. Б. Зельдович // УФН. — 1975. — Т. 115, № 5.— С. 161-197.

49. Зубарев, Д. Н. Статистическая механика неравновесных процессов / Д. Н. Зубарев,

B. Г. Морозов, Г. Рёпке. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. —Т. 1.—432 с.

50. Ибрагимов, Н. Х. Инвариантные вариационные задачи и законы сохранения / Н. Х. Ибрагимов // ТМФ. —1969. —Т. 1, № 3. —С. 350-359.

51. Ибрагимов, Н. Х. Группы преобразований в математической физике / Н. Х. Ибрагимов. — М. : Наука, 1983. — 280 с.

52. Ибрагимов, Н. Х. Нелинейная самосопряженность, законы сохранения и построение решений уравнений в частных производных с помощью законов сохранения / Н. Х. Ибрагимов, Е. Д. Авдонина // УМН. — 2013. — Т. 68, № 5. —С. 111-146.

53. Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида. — М. : Мир, 1967.—624 с.

54. Карачурина, Э. В. Решение коэффициентной обратной задачи для уравнения аномальной диффузии дробного порядка / Э. В. Карачурина, С. Ю. Лукащук // Тр. Ин-та Механики УНЦ РАН. — 2012. — Т. 2. — С. 65-70.

55. Касаткин, А. А. Симметрии и точные решения уравнений с производными дробного порядка типа Римана-Лиувилля : Дисс. ... канд. физ.-мат. наук / А. А. Касаткин ; УГАТУ. —2013. —118 с.

56. Ковалев, В. Ф. Групповой анализ кинетического уравнения Власова / В. Ф. Ковалев, С. В. Кривенко, В. В. Пустовалов // Дифференциальные уравнения. — 1993. — Т. 29, № 10.— С. 1804-1817.

57. Компанеец, А. С. Об установлении теплового равновесия между квантами и электронами / А. С. Компанеец // ЖЭТФ. — 1956. — Т. 31, № 5. — С. 876-885.

58. Копысов, С. П. Объектно-ориентированный метод декомпозиции области / С. П. Ко-пысов, И. В. Красноперов, Рычков В. Н. // Выч. мет. и прогр. — 2003. — Т. 4. — С. 1-18.

59. Кочубей, А. Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка / А. Н. Кочубей // Дифференциальные уравнения. — 1989.—Т. 25, № 8. — С. 13591368.

60. Кочубей, А. Н. Диффузия дробного порядка / А. Н. Кочубей // Дифференциальные уравнения. — 1990. — Т. 26, № 4. — С. 660-670.

61. Крылов, В. И. Приближенное вычисление интегралов / В. И. Крылов. — М. : Наука, 1967. —500 с.

62. Лагно, В. И. Симметрийный анализ уравнений эволюционного типа / В. И. Лагно, С. В. Спичак, В. И. Стогний. — Москва-Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2004. — 292 с.

63. Лафишева, М. М. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка / М. М. Лафишева, М. Х. Шхануков-Лафишев // ЖВММФ. — 2008. —Т. 48, № 10. —С. 1878-1887.

64. Либов, Р. Введение в теорию кинетических уравнений / Р. Либов. — М. : Мир, 1974. — 372 с.

65. Лукащук, С. Ю. Обратные задачи ионной имплантации / С. Ю. Лукащук // Обратные задачи химии: Матер. Всерос. научно-практ. шк.-сем. — Бирск : Бирский гос. пед. ин-т, 1999. —С. 149-160.

66. Лукащук, С. Ю. Идентификация матрицы коэффициентов диффузии простой структуры методом временных интегральных характеристик / С. Ю. Лукащук // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. десятой научн. межвуз. конф. Ч. 3. — Самара : Самарский гос. техн. ун-т, 2000. — С. 97-99.

67. Лукащук, С. Ю. Оценка погрешности идентификации коэффициента диффузии при ионной имплантации методом временных интегральных характеристик / С. Ю. Лука-щук // Моделирование, вычисления, проектирование в условиях неопределенности -2000: Тр. межд. научн. конф.—Уфа : Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т, 2000. — С. 279283.

68. Лукащук, С. Ю. Восстановление коэффициентов гиперболического уравнения теплопроводности методом временных интегральных характеристик / С. Ю. Лукащук // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. одиннадцатой научн. межвуз. конф. Ч. 3. — Самара : Самарский гос. техн. ун-т, 2001. — С. 83-86.

69. Лукащук, С. Ю. Восстановление матрицы коэффициентов системы дифференциальных уравнений параболического типа на основе идеи метода временных интегральных характеристик / С. Ю. Лукащук // Актуальные проблемы математики. Математические модели современного естествознании: Межвуз. научн. сб.—Уфа : Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т, 2002. — С. 88-93.

70. Лукащук, С. Ю. Решение коэффициентных обратных задач для уравнений параболического типа методом интегральных характеристик / С. Ю. Лукащук // Вестник УГАТУ. — 2003. — Т. 4, № 2. — С. 67-71.

71. Лукащук, С. Ю. Идентификация параметров дифференциального уравнения субдиффузии / С. Ю. Лукащук // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. второй Всерос. научн. конф. Ч. 3. — Самара : Самарский гос. техн. ун-т, 2005.— С. 160-163.

72. Лукащук, С. Ю. Численное решение диффузионно-волновых уравнений дробного порядка на кластерных системах / С. Ю. Лукащук, И. В. Костри-гин // Тр. VI Всерос. конф. молодых ученых по мат. модел. и инфор-мац. техн. (с участием иностранных ученых). — Кемерово, 2005. — С. 1-10. — http://www.nsc.ru/ws/YM2005/9231/short.html (эл. текст доклада).

73. Лукащук, С. Ю. Восстановление коэффициентов уравнения конвекции-диффузии дробного порядка методом временных интегральных характеристик / С. Ю. Лука-щук // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2010. —Т. 17, № 3. — С. 438-439.

74. Лукащук, С. Ю. Модификация алгоритма parareal для решения дифференциальных уравнений дробного порядка / С. Ю. Лукащук // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2010): Тр. межд. научн. конф. —Челябинск : Изд. ЮУрГУ, 2010. — С. 519-524.

75. Лукащук, С. Ю. Параллельный алгоритм решения дробно-дифференциальных уравнений переноса на основе модифицированного метода Шварца / С. Ю. Лука-щук // Вестник ЮУрГУ. Сер. Математическое моделирование и программирование. —2011. —Т. 17 (234), № 8. —С. 85-91.

76. Лукащук, С. Ю. Двухсеточные параллельные алгоритмы для решения дробно-дифференциальных уравнений аномальной диффузии / С. Ю. Лукащук // Вестник ЮУрГУ. Сер. Вычислительная математика и информатика. — 2012. — Т. 47 (306), № 2. —С. 83-98.

77. Лукащук, С. Ю. О построении законов сохранения для интегро-дифференциальных уравнений дробного порядка / С. Ю. Лукащук // ТМФ. — 2015. — Т. 184, № 2. — С. 179-199.

78. Лукащук, С. Ю. Идентификация параметров дробно-дифференциальных моделей аномальной диффузии методом временных интегральных характеристик / С. Ю. Лу-кащук // Вестник ЮУрГУ. Сер. Математическое моделирование и программирование. —2016. —Т. 9, № 3. — С. 105-118.

79. Лукащук, С. Ю. Взаимосвязь математических моделей, описываемых уравнениями с производными целого и дробного порядков / С. Ю. Лукащук // Вестник УГАТУ. — 2016. —Т. 20, № 4 (74). —С. 97-106.

80. Лукащук, С. Ю. Симметрийная редукция и инвариантные решения нелинейного дробно-дифференциального уравнения аномальной диффузии с источником / С. Ю. Лукащук // Уфимский математический журнал. — 2016. — Т. 8, № 4. — С. 114126.

81. Лукащук, С. Ю. Групповая классификация одного нелинейного приближенного уравнения субдиффузии / С. Ю. Лукащук // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. —2016.—Т. 20, № 4.— С. 603-619.

82. Лукащук, С. Ю. Программа решения интегральных уравнений первого рода методом регуляризации (И^и1) / С. Ю. Лукащук // Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ № 950456, выдано РосАПО 18.12.1995.

83. Лукащук, С. Ю. АД-ВИХ: идентификация параметров уравнения аномальной диффузии методом временных интегральных характеристик / С. Ю. Лукащук // Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ № 2016610761 от 19.01.2016.

84. Лукащук, С. Ю. АД-НКЗ: численное решение первой начально-краевой задачи для неоднородного уравнения аномальной диффузии / С. Ю. Лукащук // Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ № 2017616979 от 21.06.2017.

85. Мамчуев, М. О. Задача Коши в нелокальной постановке для системы уравнений с частными производными дробного порядка / М. О. Мамчуев // Дифференциальные уравнения. —2012. —Т. 48, № 3. —С. 351-358.

86. Мамчуев, М. О. Фундаментальное решение нагруженного параболического уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами / М. О. Мамчуев // Дифференциальные уравнения. — 2015. — Т. 51, № 5. —С. 611-620.

87. Мацокин, А. М. Метод альтернирования Шварца в подпространстве / А. М. Мацокин, С. В. Непомнящих // Изв. вузов. Математика. — 1985. — № 10. — С. 61-66.

88. Найфэ, А. Х. Методы возмущений / А. Х. Найфэ. — М. : Мир, 1976.— 456 с.

89. Нахушев, А. М. Уравнения математической биологии / А. М. Нахушев. — М. : Высшая школа, 1995. — 301 с.

90. Нахушев, А. М. Дробное исчисление и его применение / А. М. Нахушев. — М. : ФИЗ-МАТЛИТ, 2003. — 272 с.

91. Нётер, Э. Инвариантные вариационные задачи / Э. Нётер // Вариационные принципы механики / Под ред. Л. С. Полака. —М. : Физматгиз, 1959. — С. 611-630.

92. Нигматуллин, Р. Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация / Р. Р. Ниг-матуллин // ТМФ. — 1992. — Т. 90, № 3. — С. 354-368.

93. Овсянников, Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л. В. Овсянников. — М. : Наука, 1978. — 400 с.

94. Олвер, П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер. — М. : Мир, 1989. —639 с.

95. Орловский, Д. Г. Определение параметра дифференциального уравнения дробного порядка с производной Римана-Лиувилля в гильбертовом пространстве / Д. Г. Орловский // Ж-л. Сиб. фед. ун-та. Сер. Математика и физика. — 2015. —Т. 8, № 1. — С. 55-63.

96. Пригожин, И. Неравновесная статистическая механика / И. Пригожин. — М. : Мир, 1964. —314 с.

97. Прудников, А. П. Интегралы и ряды. Т. 1. Элементарные функции / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. —М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003.—632 с.

98. Прудников, А. П. Интегралы и ряды. Т. 2. Специальные функции / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. —М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003.—664 с.

99. Прудников, А. П. Интегралы и ряды. Т. 3. Специальные функции. Дополнительные главы / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. —632 с.

100. Псху, А. В. Решение краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка методом функции Грина / А. В. Псху // Дифференциальные уравнения. — 2003. — Т. 39, № 10.— С. 1430-1433.

101. Псху, А. В. Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка / А. В. Псху // Дифференциальные уравнения. — 2003. — Т. 39, № 9. — С. 12861289.

102. Псху, А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка / А. В. Псху. — М. : Наука, 2005. — 199 с.

103. Рихтмайер, Р. Принципы современной математической физики / Р. Рихтмайер. — М. : Мир, 1982. —488 с.

104. Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев. — Минск : Наука и техника, 1987. — 688 с.

105. Сибатов, Р. Т. Дробно-дифференциальная кинетика переноса заряда в неупорядоченных полупроводниках / Р. Т. Сибатов, В. В. Учайкин // Физика и техника полупроводников. — 2007. — Т. 41, № 3. — С. 346-351.

106. Сибатов, Р. Т. Дробно-дифференциальный подход к описанию дисперсионного переноса в полупроводниках / Р. Т. Сибатов, В. В. Учайкин // УФН. — 2009. — Т. 179, № 10.— С. 1079-1104.

107. Смирнов, В. И. Курс высшей математики. Т. 4, Ч. 2. / В. И. Смирнов. — М. : Наука, 1981. —550 с.

108. Соболев, С. Л. Алгорифм Шварца в теории упругости / С. Л. Соболев // ДАН СССР. — 1936. — Т. 4, № 6. — С. 235—238.

109. Теоретические и практические основы теплофизических измерений / Под ред. С. В. Пономарева. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2008. —408 с.

110. Теплофизические измерения: справочное пособие / Под ред. В. В. Власова, Ю. С. Шаталова. — Тамбов : Изд. ВНИИРТМаша, 1975. — 252 с.

111. Учайкин, В. В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы / В. В. Учайкин // УФН. —2003. —Т. 173, № 8.— С. 847-876.

112. Учайкин, В. В. Метод дробных производных / В. В. Учайкин.—Ульяновск : Изд-во «Артишок», 2008.— 512 с.

113. Учайкин, В. В. О дробно-дифференциальной модели переноса космических лучей в галлактике / В. В. Учайкин // Письма в ЖЭТФ. — 2010. — Т. 91, № 3. — С. 115-120.

114. Учайкин, В. В. О дробно-дифференциальном уравнении Лиувилля как уравнении динамики открытой системы / В. В. Учайкин // Научные ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. — 2014. — Т. 37, № 25 (196). —С. 58-67.

115. Федоров, В. Е. Уравнения в банаховых пространствах с вырожденным оператором под знаком дробной производной / В. Е. Федоров, Д. М. Гордиевских, М. В. Плеханова // Дифференциальные уравнения. — 2015. — Т. 51, № 10. — С. 1367-1375.

116. Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс. — М. : Изд-во иностранной литературы, 1962. — 830 с.

117. Чиркунов, Ю. А. О групповых свойствах и законах сохранения для квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка / Ю. А. Чиркунов // ПМТФ. — 2009. —Т. 50, № 3. —С. 64-70.

118. Шаталов, Ю. С. Интегральные представления постоянных коэффициентов теплопе-реноса / Ю. С. Шаталов. — Уфа : Изд. УАИ, 1992. —94 с.

119. Шаталов, Ю. С. Функционально-интегральные уравнения теплофизических характеристик / Ю. С. Шаталов. — М. : Наука, 1996.—304 с.

120. Шаталов, Ю. С. Обратная задача восстановления матриц коэффициентов диффузии и имплантации ионов в многофазных системах на основе интегральных представлений коэффициентов / Ю. С. Шаталов, С. Ю. Лукащук, Ю. Ю. Рыкачев // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения: Научн. сб.—Уфа : ИМВЦ УНЦ РАН, 1996. —Т. 6. —С. 121-127.

121. Шаталов, Ю. С. Математическая модель радиационно-стимулированной диффузии при ионной имплантации / Ю. С. Шаталов, Ю. Ю. Рыкачев, С. Ю. Лукащук // Поверхность: Межвуз. научн. сб. — Уфа : Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т, 1996. — С. 31-36.

122. Шаталов, Ю. С. Идентификация параметров системы дифференциальных уравнений переноса на основе интегральных представлений и функционально-интегральных уравнений / Ю. С. Шаталов, С. Ю. Лукащук // Проблемы математики и теории управления: Межвуз. научн. сб. — Уфа : Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т, 1998. — С. 316-324.

123. Шаталов, Ю. С. Идентификация характеристик тепломассопереноса в процессах ионной имплантации / Ю. С. Шаталов, С. Ю. Лукащук // Тр. Второй Росс. нац. конф. по теплообмену, Т. 6. —Москва : ИВТ РАН, 1998. —С. 386-389.

124. Шаталов, Ю. С. Интегральные представления коэффициентов диффузионной модели имплантации через временные интегральные характеристики / Ю. С. Шаталов, С. Ю. Лукащук // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. восьмой научн. межвуз. конф. Ч. 2. — Самара : Самарский гос. техн. ун-т, 1998. — С. 90-92.

125. Шаталов, Ю. С. Система функционально-интегральных уравнений характеристик переноса анизотропных сред / Ю. С. Шаталов, С. Ю. Лукащук // Актуальные проблемы математики. Математические методы в естествознании: Меж-вуз. научн. сб. — Уфа : Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т, 1999. — С. 238-242.

126. Эльсгольц, Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л. Э. Эльсгольц. — М. : Наука, 1969. — 424 с.

127. Якобовский, М. В. Введение в параллельные методы решения задач / М. В. Якобов-ский. — М. : Изд-во Московского ун-та, 2013. — 328 с.

128. Abad, E. Reaction-sub diffusion and reaction-superdiffusion equations for evanescent particles performing continuous-time random walks / E. Abad, S. B. Yuste, K. Lindenberg // Phys. Rev. E. —2010.—Vol. 81, No. 3. —P. 031115.

129. Abbas, S. Topics in fractional differential equations / S. Abbas, M. Benchohra, G. M. N'Guerekata. — New York : Springer, 2012. —398 p.

130. Adomian, G. A review of the decomposition method in applied mathematics / G. Ado-mian // J. Math. Anal. Appl. — 1988.— Vol. 135, No. 2.—P. 501-544.

131. Advances in fractional calculus. Theoretial developments and applications in physics and engineering / Ed. by J. Sabatier, O. P. Agrawal, J. A. T. Machado. — Dordrecht: Springer, 2007. —568 p.

132. Aghajani, A. On the existence of solutions of fractional integro-differential equations / A. Aghajani, Y. Jalilian, J. J. Trujillo // Fract. Calc. Appl. Anal. — 2012. — Vol. 15, No. 1. —P. 44-69.

133. Agrawal, O. P. Formulation of Euler-Lagrange equations for fractional variational problems / O. P. Agrawal // J. Math. Anal. Appl. — 2002.—Vol. 272, No. 1. —P. 368-379.

134. Agrawal, O. P. Analytical schemes for a new class of fractional differential equations / O. P. Agrawal // J. Phys. A: Math. Theor. — 2007. —Vol. 40. —P. 5469-5477.

135. Agrawal, O. P. Generalized variational problems and Euler-Lagrange equations / O. P. Agrawal // Comput. Math. Appl. — 2010.—Vol. 59, No. 5.—P. 1852-1864.

136. Agrawal, O. P. Generalized variational calculus in terms of multi-parameters fractional derivatives / O. P. Agrawal, S. I. Muslih, D. Baleanu // Commun. Nonlin. Sci. Numer. Simulat. —2011.—Vol. 16, No. 12. —P. 4756-4767.

137. Alikhanov, A. A. A new difference scheme for the time fractional diffusion equation / A. A. Alikhanov // J. Comput. Phys. — 2015.—Vol. 280. —P. 424-438.

138. Anomalous transport: foundations and applications / Ed. by R. Klages, G. Radons, I. M. Sokolov. —Berlin : Willey-VCH, 2008. —608 p.

139. Atanackovic, T. M. A diffusion-wave equation with two fractional derivatives of different order / T. M. Atanackovic, S. Pilipovic, D. Zorica //J. Phys. A: Math. Theor. — 2007. — Vol. 40, No. 20.—P. 5319-5333.

140. Atanackovic, T. M. Variational problems with fractional derivatives: Invariance conditions and Nother's theorem / T. M. Atanackovic, S. Konjik, S. Pilipovic, S. Simic // Nonlin. Anal. —2009. —Vol. 71, No. 5-6. —P. 1504-1517.

141. Baghani, O. On fractional Langevin equation involving two fractional orders / O. Baghani // Commun. Nonlin. Sci. Numer. Simulat. — 2017. — Vol. 42, No. 5.— P. 675-681.

142. Bahrami, F. A new approach on fractional variational problems and Euler-Lagrange equations / F. Bahrami, H. Fazli, A. Jodayree Akbarfam // Commun. Nonlin. Sci. Numer. Simulat. —2015.—Vol. 23, No. 1-3. —P. 39-50.

143. Bakkyaraj, T. Group formalism of Lie transformations to time-fractional partial differential equations / T. Bakkyaraj, R. Sahadevan // Pramana - J. Phys. — 2015.—Vol. 85, No. 5. —P. 849-860.

144. Baleanu, D. About fractional quantization and fractional variational principles / D. Baleanu // Commun. Nonlin. Sci. Numer. Simulat. — 2009. — Vol. 14, No. 6. — P. 2520-2523.

145. Baleanu, D. On fractional Euler-Lagrange and Hamilton equations and the fractional generalization of total time derivative / D. Baleanu, S. I. Muslih, E. M. Rabei // Nonlin. Dyn. —2008.—Vol. 53, No. 1-2. —P. 67-74.

146. Baleanu, D. Fractional Hamiltonian analysis of higher order derivatives systems / D. Baleanu, S. I. Muslih, K. Tas // J. Math. Phys. — 2006.—Vol. 47, No. 10. —P. 103503.

147. Baleanu, D. On exact solutions of a class of fractional Euler-Lagrange equations / D. Baleanu, J. J. Trujillo // Nonlin. Dyn. — 2008.—Vol. 52, No. 4. —P. 331-335.

148. Baleanu, D. Fractional calculus: models and numerical methods / D. Baleanu, K. Di-ethelm, E. Scalas, J. J. Trujillo. — Singapore : World Scientific, 2012. — 400 p.

149. Balescu, R. Aspects of anomalous transport in plasmas / R. Balescu. — Bristol : IOP Publishing, 2005.—478 p.

150. Barkai, E. Fractional Fokker-Planck equation, solution, and application / E. Barkai // Phys. Rev. E. —2001.—Vol. 63, No. 4. —P. 046118.

151. Barkai, E. CTRW pathways to the fractional diffusion equation / E. Barkai // Chem. Phys. —2002.—Vol. 284, No. 1-2. —P. 13-27.

152. Benson, D. A. Application of a fractional advection-dispersion equation / D. A. Benson, S. W. Wheatcraft, M. M. Meerschaert // Water Resour. Res. — 2000. — Vol. 36, No. 6. — P. 1403-1412.

153. Berkowitz, B. Theory of anomalous chemical transport in random fracture networks / B. Berkowitz, H. Scher // Phys. Rev. E. —1998.—Vol. 57, No. 5. —P. 5858-5869.

154. Berkowitz, B. Modeling non-Fickian transport in geological formations as a continuous time random walk / B. Berkowitz, A. Cortis, M. Dentz, H. Scher // Rev. Geophys.— 2006.—Vol. 44, No. 2.—P. 1-49.

155. Bologna, M. Anomalous diffusion associated with nonlinear fractional derivative Fokker-Planck-like equation: exact time-dependent solutions / M. Bologna, C. Tsallis, P. Grigolini // Phys. Rev. E.— 2000.— Vol. 62, No. 2. —P. 2213-2218.

156. Bolster, D. Mixing-driven equilibrium reactions in multidimensional fractional advec-tion-dispersion systems / D. Bolster, D. A. Benson, M. M. Meerschaert, B. Baeumer // Physica A. —2013. —Vol. 392, No. 10.—P. 2513-2525.

157. Bonforte, M. Quantitative local and global a priori estimates for fractional nonlinear diffusion equations / M. Bonforte, J. L. Vazquez // Adv. Math. — 2014. — Vol. 250. — P. 242-284.

158. Bonforte, M. Fractional nonlinear degenerate diffusion equations on bounded domains. Part I. Existence, uniqueness and upper bounds / M. Bonforte, J. L. Vazquez // Nonlin. Anal.: Theory, Methods & Appl.— 2016.— Vol. 131. —P. 363-398.

159. Bourdin, L. A continuous/discrete fractional Noether's theorem / L. Bourdin, J. Cresson, I. Greff // Commun. Nonlin. Sci. Numer. Simulat. — 2013.—Vol. 18, No. 4. —P. 878887.

160. Buckwar, E. Invariance of a partial differential equation of fractional order under the Lie group of scaling transformations / E. Buckwar, Yu. Luchko //J. Math. Anal. Appl.— 1998.—Vol. 227, No. 1. —P. 81-97.

161. Caponetto, R. Fractional order systems: modeling and control applications / R. Caponetto, G. Dongola, L. Fortuna, I. Petras. — Singapore : World Scientific, 2010.— 198 p.

162. Chan, T. F. Domain decomposition algorithms / T. F. Chan, T. P. Mathew // Acta Numerica. —1994. —Vol. 3.—P. 61-143.

163. Chechkin, A. V. Retarding subdiffusion and accelerating superdiffusion governed by distributed-order fractional diffusion equations / A. V. Chechkin, R. Gorenflo, I. M. Sokolov // Phys. Rev. E. — 2002.— Vol. 66, No. 4. —P. 046129.

164. Chechkin, A. V. Fractional Fokker-Planck equation for ultraslow kinetics / A. V. Chechkin, J. Klafter, I. M. Sokolov // Europhys. Lett. — 2003.—Vol. 63, No. 3. — P. 326-332.

165. Chen, M. Second-order lod multigrid method for multidimensional Riesz fractional diffusion equation / M. Chen, Y. Wang, X. Cheng, W. Deng // BIT Numer. Math. — 2014. — Vol. 54, No. 3. — P. 623-647.

166. Cheng, J. Uniqueness in an inverse problem for a one-dimensional fractional diffusion equation / J. Cheng, J. Nakagawa, M. Yamamoto, T. Yamazaki // Inverse Probl.— 2009.—Vol. 25, No. 11. —P. 115002.

167. Chi, G. Numerical inversions of a source term in the FADe with a Dirichlet boundary condition using final observations / G. Chi, G. Li, X. Jia // Comput. Math. Appl.— 2011.—Vol. 62, No. 4.—P. 1619-1626.

168. CRC Handbook of Lie group analysis of differential equations / Ed. by N. H. Ibragimov. — Boca Raton, FL : CRC Press, 1994.—Vol. 1. —448 p.

169. CRC Handbook of Lie group analysis of differential equations / Ed. by N. H. Ibragimov. — Boca Raton, FL : CRC Press, 1995.—Vol. 2. —576 p.

170. CRC Handbook of Lie group analysis of differential equations / Ed. by N. H. Ibragimov. — Boca Raton, FL : CRC Press, 1996.—Vol. 3. —560 p.

171. Dai, X. Stable parareal in time method for first- and second-order hyperbolic systems / X. Dai, Y. Maday // SIAM J. Sci. Comput. — 2013.—Vol. 35, No. 1.—P. A52-A78.

172. Dal, F. Multiple time scales solution of an equation with quadratic and cubic nonlinearities having fractional-order derivative / F. Dal // Math. Comput. Appl. — 2011.—Vol. 16, No. 1. —P. 301-308.

173. Das, S. Homotopy analysis method for solving fractional diffusion equation / S. Das, K. Vishal, P. K. Gupta, S. S. Ray // Int. J. Appl. Math. and Eng. Sci. — 2011.—Vol. 5, No. 1. —P. 2006-2012.

174. Del-Castillo-Negrete, D. Front dynamics in reaction-diffusion systems with Levy flights: a fractional diffusion approach / D. Del-Castillo-Negrete, B. A. Carreras, V. E. Lynch // Phys. Rev. Lett. —2003. —Vol. 91, No. 1. —P. 018302.

175. Diethelm, K. The analysis of fractional differential equations. An application-oriented exposition using differential operators of Caputo type / K. Diethelm. — Heidelberg : Springer, 2010. — 246 p.

176. Diethelm, K. An efficient parallel algorithm for the numerical solution of fractional differential equations / K. Diethelm // Fract. Calc. Appl. Anal. — 2011. — Vol. 14, No. 3.— P. 475-490.

177. Edery, Y. Origins of anomalous transport in heterogeneous media: structural and dynamic controls / Y. Edery, A. Guadagnini, H. Scher, B. Berkowitz // Water Resour. Res. — 2014.—Vol. 50, No. 2.—P. 1490-1505.

178. Feldman, Y. Dielectric relaxation phenomena in complex materials / Y. Feldman, A. Puzenko, Y. Ryabov // Fractals, diffusion, and relaxation in disordered complex systems / Ed. by W. T. Coffey, Yu. P. Kalmykov. — John Wiley & Sons, Inc., 2006.— Vol. 133 of Adv. chem. phys. —P. 1-126.

179. Feldmann, A. The changing nature of network traffic: scaling phenomena / A. Feldmann, A. C. Gilbert, W. Willinger, T. G. Kurtz // ACM SIGCOMM Computer Commun. Rev. —1998. —Vol. 28, No. 2. —P. 5-29.

180. Fractals, diffusion, and relaxation in disordered complex systems / Ed. by W. T. Coffey, Yu. P. Kalmykov. —Hoboken, New Jersey : John Wiley and Sons, 2006. —594 p.

181. Fractional calculus and its applications / Ed. by B. Ross. — Berlin : Springer-Verlag, 1975. —381 p.

182. Fractional dynamics: recent advances / Ed. by J. Klafter, S. C. Lim, R. Metzler. — Singapore : World Scientific, 2011.—532 p.

183. Frederico, G. S. F. Noether's theorem for nonsmooth extremals of variational problems with time delay / G. S. F. Frederico, T. Odzijewicz, D. F. M. Torres // Applicable Anal. — 2014.—Vol. 96, No. 1.—P. 153-170.

184. Frederico, G. S. F. A formulation of Noether's theorem for fractional problems of the calculus of variations / G. S. F. Frederico, D. F. M. Torres //J. Math. Anal. Appl.— 2007.—Vol. 334, No. 2. —P. 834-846.

185. Frederico, G. S. F. Fractional Noether's theorem with classical and Riemann-Liouville derivative / G. S. F. Frederico, D. F. M. Torres // Decision and Control (CDC), Proc. of 51st IEEE Conference on Decision and Control. — Maui, Hawaii : IEEE, 2012. — P. 6885-6890.

186. Gander, M. J. 50 years of time parallel time integration / M. J. Gander // Multiple shooting and time domain decomposition / Ed. by T. Carraro, M. Geiger, S. Korkel, R. Rannacher. — Heidelberg : Springer, 2015. — P. 69-113.

187. Gander, M. J. A non-overlapping optimized Schwarz method which converges with arbitrarily weak dependence on h / M. J. Gander, Golub G. H. // Proc. of the Fourteenth Int. Conf. on Domain Decomposition Methods, Cocoyos, Mexico. — 2003. — P. 281-288.

188. Gander, M. J. Optimal convergence for overlapping and nonoverlapping Schwarz waveform relaxation / M. J. Gander, L. Halpern, F. Nataf // Proc. of the Eleventh Int. Conf. on Domain Decomposition Methods, Greenwich, Great Britain. — 1999. — P. 27-36.

189. Gander, M. J. Optimized Schwarz methods / M. J. Gander, L. Halpern, F. Nataf // Proc. of the Twelfth Int. Conf. on Domain Decomposition Methods, Chiba, Japan. — 2001.— P. 15-28.

190. Gander, M. J. Analysis of the parareal time-parallel time-integration method / M. J. Gander, S. Vandewalle // SIAM J. Sci. Comput.— 2007.— Vol. 29, No. 2. —P. 556-578.

191. Gazizov, R. K. Lie algebras of approximate symmetries / R. K. Gazizov // Nonlin. Math. Phys. —1996.—Vol. 3, No. 1-2.—P. 96-101.

192. Gazizov, R. K. Representation of general invariants for approximate transformation groups / R. K. Gazizov // J. Math. Anal. Appl. — 1997. — Vol. 213, No. 1. — P. 202-228.

193. Gazizov, R. K. Nonlinear self-adjointness, conservation laws and exact solutions of time-fractional Kompaneets equations / R. K. Gazizov, N. H. Ibragimov, S. Yu. Lukashchuk // Commun. Nonlin. Sci. Numer. Simulat. — 2015.—Vol. 23, No. 1-3. —P. 153-163.

194. Gazizov, R. K. Symmetry properties of fractional diffusion equations / R. K. Gazizov, A. A. Kasatkin, S. Yu. Lukashchuk // Physica Scripta. — 2009.—Vol. 136. —P. 014016.

195. Gazizov, R. K. Group-invariant solutions of fractional differential equations / R. K. Gaz-izov, A. A. Kasatkin, S. Yu. Lukashchuk // Proc. of the 2nd Conf. of Nonlinear Science and Complexity. — Portugal, Porto. — 2008. — P. 1-12.

196. Gazizov, R. K. Symmetries and group-invariant solutions of nonlinear fractional differential equations / R. K. Gazizov, A. A. Kasatkin, S. Yu. Lukashchuk // Proc. of the Int. Workshop on New Trends in Science and Technology. — Turkey, Ankara. — 2008. — P. 1-6. — http://ntst08.cankaya.edu.tr/proceedings/proceedings.html.

197. Gazizov, R. K. Group-invariant solutions of fractional differential equations / R. K. Gaz-izov, A. A. Kasatkin, S. Yu. Lukashchuk // Nonlinear Science and Complexity / Ed. by J. A. T. Machado, A. C. J. Luo, R. S. Barbosa [et al.]. — Springer, 2011.—P. 51-59.

198. Gazizov, R. K. Linearly autonomous symmetries of the ordinary fractional differential equations / R. K. Gazizov, A. A. Kasatkin, S. Yu. Lukashchuk // Proc. of 2014 Int. Conf. on Fractional Differentiation and Its Applications (ICFDA 2014). — IEEE, 2014. — P. 1-6.

199. Gazizov, R. K. Approximations of fractional differential equations and approximate symmetries / R. K. Gazizov, S. Yu. Lukashchuk // Preprints of the 20th IFAC World Congress.—IFAC, 2017. —P. 14587-14592.

200. Golmankhaneh, A. K. On the fractional Hamilton and Lagrange mechanics / A. K. Gol-mankhaneh, A. M. Yengejeh, D. Baleanu // Int. J. Theor. Phys. — 2012. — Vol. 51, No. 9. —P. 2909-2916.

201. Gong, C. A parallel algorithm for the Riesz fractional reaction-diffusion equation with explicit finite difference method / C. Gong, W. Bao, G. Tang // Fract. Calc. Appl. Anal. —2013. —Vol. 16, No. 3. —P. 654-669.

202. Gorenflo, R. Wright functions as scale-invariant solutions of the diffusion-wave equation / R. Gorenflo, Yu. Luchko, F. Mainardi // J. Comput. Appl. Math. — 2000. — Vol. 118, No. 1. —P. 175-191.

203. Grigoriev, Yu. N. Symmetries of integro-differential equations: with applications in mechanics and plasma physics / Yu. N. Grigoriev, N. H. Ibragimov, V. F. Kovalev, S. V. Meleshko. — Dordrecht : Springer, 2010. — 302 p.

204. Gu, H. Existence of mild solution for evolution equation with Hilfer fractional derivative / H. Gu, J. J. Trujillo // Appl. Math. Comp. — 2015.—Vol. 257, No. 2. —P. 344-354.

205. Guo, S. Fractional variational homotopy perturbation iteration method and its application to a fractional diffusion equation / S. Guo, L. Mei, Y. Li // Appl. Math. Comp. — 2013. — Vol. 219, No. 11.—P. 5909-5917.

206. Guo, S. Computational challenge of fractional differential equations and the potential solutions: a survey / S. Guo, L. Mei, Y. Li // Math. Probl. Eng. — 2015.—Vol. 2015, No. 258265. —P. 1-13.

207. Haase, G. Multigrid methods: from geometrical to algebraic versions / G. Haase, U. Langer // Modern methods in scientific computing and applications / Ed. by A. Bourlioux, M. Gander. —New York : Springer, 2002.—Vol. 75.—P. 103-153.

208. Hashemi, M. S. Group analysis and exact solutions of the time fractional Fokker-Planck equation / M. S. Hashemi // Physica A. — 2015.—Vol. 417. —P. 141-149.

209. Hashemi, M. S. On the time fractional generalized Fisher equation: group similarities and analytical solutions / M. S. Hashemi, D. Baleanu // Commun. Theor. Phys. — 2016.— Vol. 65, No. 1. —P. 11-16.

210. He, J. H. Approximate analytical solution for seepage flow with fractional derivatives in porous media / J. H. He // Comput. Methods in Appl. Mech. Eng. —1998. — Vol. 167, No. 1-2. —P. 57-68.

211. He, J. H. Homotopy perturbation technique / J. H. He // Comput. Methods in Appl. Mech. Eng. —1999. —Vol. 178, No. 3-4. —P. 257-262.

212. He, J. H. Variational iteration method - a kind of non-linear analytical technique: some examples / J. H. He // Int. J. Nonlinear Mech. —1999.— Vol. 34, No. 4. —P. 699-708.

213. He, J. H. Some asymptotic methods for strongly nonlinear equations / J. H. He // Int. J. Mod. Phys. B. —2006. —Vol. 20. —P. 1141-1191.

214. Herrmann, R. Fractional calculus. An introduction for physicists / R. Herrmann. — Singapore : World Scientific, 2011. — 273 p.

215. Herzallah, M. A. E. Fractional-order Euler-Lagrange equations and formulation of Hamil-tonian equations / M. A. E. Herzallah, D. Baleanu // Nonlin. Dyn. — 2009. — Vol. 58, No. 1-2. —P. 385-391.

216. Herzallah, M. A. E. Fractional Euler-Lagrange equations revisited / M. A. E. Herzallah, D. Baleanu // Nonlin. Dyn.— 2012.— Vol. 69, No. 3.—P. 977-982.

217. Hilfer, R. Classification theory for an equilibrium phase transitions / R. Hilfer // Phys. Rev. E. —1993. —Vol. 48, No. 4. —P. 2466-2475.

218. Hilfer, R. Fractional dynamic, irreversibility and ergodicity breaking / R. Hilfer // Chaos, Solitons & Fractals. —1995. —Vol. 5, No. 8.—P. 1475-1484.

219. Hilfer, R. Applications of fractional calculus in physics / R. Hilfer. — Singapore : World Scientific, 2000.—470 p.

220. Huang, Q. Lie symmetries and group classification of a class of time fractional evolution systems / Q. Huang, S. Shen // J. Math. Phys. — 2015.—Vol. 56.—P. 123504.

221. Ibragimov, N. H. Elementary Lie group analysis and ordinary differential equations / N. H. Ibragimov. — Chichester : John Wiley & Sons, 1999. — 366 p.

222. Ibragimov, N. H. Symmetries of integro-differential equations: a survey of methods illustrated by the Benny equations / N. H. Ibragimov, V. F. Kovalev, V. V. Pustovalov // Nonlin. Dyn. —2002. —Vol. 28, No. 2. —P. 135-153.

223. Ibragimov, N. H. A new conservation theorem / N. H. Ibragimov //J. Phys. A: Math. Theor. —2007. —Vol. 333, No. 1. —P. 311-328.

224. Ibragimov, N. H. Time-dependent exact solutions of the nonlinear Kompaneets equation / N. H. Ibragimov // J. Phys. A: Math. Theor.— 2010.— Vol. 43. —P. 502001.

225. Ibragimov, N. H. Nonlinear self-adjointness and conservation laws / N. H. Ibragimov // J. Phys. A: Math. Theor. — 2011. —Vol. 44.—P. 432002.

226. Ibragimov, N. H. Group analysis of kinetic equations in a nonlinear thermal transport problem / N. H. Ibragimov, V. F. Kovalev, S. V. Meleshko, V. Yu. Bychenkov // Int. J. Nonlinear Mech.— 2015.— Vol. 71. —P. 1-7.

227. Jafari, H. Homotopy analysis method for solving linear and nonlinear fractional diffusion-wave equation / H. Jafari, S. Seifi // Commun. Nonlin. Sci. Numer. Simulat. — 2009.— Vol. 14, No. 5. —P. 2006-2012.

228. Jafari, H. Solving fractional diffusion and wave equations by modified homotopy perturbation method / H. Jafari, S. Momani // Phys. Lett. A. — 2007.—Vol. 370, No. 5-6.— P. 388-396.

229. Jefferson, G. F. Fracsym: automated symbolic computation of Lie symmetries of fractional differential equations / G. F. Jefferson, J. Carminati // Comput. Phys. Commun.— 2014.—Vol. 185, No. 1. —P. 430-441.

230. Jia, J. A fast finite volume method for conservative space-fractional diffusion equations in convex domains / J. Jia, H. Wang //J. Comput. Phys. — 2016.—Vol. 310. — P. 63-84.

231. Jianga, Y. Multigrid methods for space fractional partial differential equations / Y. Jianga, X. Xub // J. Comput. Phys. —2015.—Vol. 302.—P. 374-392.

232. Jin, B. The Galerkin finite element method for a multi-term time-fractional diffusion equation / B. Jin, R. Lazarov, Y. Liu, Z. Zhou //J. Comput. Phys. — 2015. —Vol. 281. — P. 825-843.

233. Jin, B. A tutorial on inverse problems for anomalous diffusion processes / B. Jin, W. Rundell // Inverse Probl. — 2015.—Vol. 31, No. 3. —P. 035003.

234. Kazakevicius, R. Anomalous diffusion in nonhomogeneous media: power spectral density of signals generated by time-subordinated nonlinear Langevin equations / R. Kazakevicius, J. Ruseckas // Physica A.— 2015.— Vol. 438. —P. 210-222.

235. Kilbas, A. A. On the solution of fractional evolution equations / A. A. Kilbas, T. Pieran-tozzi, J. J. Trujillo, L. Vazquez // J. Phys. A: Math. Gen. — 2004.—Vol. 37, No. 9.— P. 3271-3283.

236. Kilbas, A. A. Theory and applications of fractional differential equations / A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo.—Amsterdam : Elsevier, 2006. — 523 p.

237. Kilbas, A. A. Cauchy-type problem for difussion-wave equation with the Riemann-Liouville partial derivative / A. A. Kilbas, J. J. Trujillo, A. A. Voroshilov // Fract. Calc. Appl. Anal. —2005.—Vol. 9, No. 2. —P. 225-239.

238. Klimek, M. Stationarity-conservation laws for fractional differential equations with variable coefficients / M. Klimek // J. Phys. A: Math. Theor.— 2001.— Vol. 34, No. 31.— P. 6167-6184.

239. Klimek, M. Lagrangean and Hamiltonian fractional sequential mechanics / M. Klimek // Czech. J. Phys. —2002.—Vol. 52, No. 11. —P. 1247-1253.

240. Kobelev, V. Fractional Langevin equation to describe anomalous diffusion / V. Kobelev, E. Romanov // Progress of Theoretical Physics Supplement. — 2000. — Vol. 139.— P. 470-476.

241. Kochubei, A. N. The fundamental solutions for the fractional diffusion-wave equation / A. N. Kochubei, S. D. Eidelman // J. Differential Equations —2004.— Vol. 199, No. 2.— P. 211-255.

242. Kolwankar, K. M. Studies of fractal structures and processes using methods of the fractional calculus : Ph. D. thesis / K. M. Kolwankar. — University of Pune. — 1997. — 115 p.

243. Kubo, R. Statistical physics II. Nonequilibrium statistical mechanics / R. Kubo, M. Toda, N. Hashitsume. — Berlin : Springer-Verlag, 1985. — 279 p.

244. Lazo, M. J. The Dubois-Reymond fundamental lemma of the fractional calculus of variations and an Euler-Lagrange equation involving only derivatives of Caputo / M. J. Lazo, D. F. M. Torres //J. Optimiz. Theory and Appl. — 2013.—Vol. 156, No. 1.—P. 56-67.

245. Lenzi, E. K. Solutions for a fractional nonlinear diffusion equation with external force and absorbent term / E. K. Lenzi, M. K. Lenzi, L. R. Evangelista [et al.] //J. Stat. Mech.: Theory and Exper. — 2009.—Vol. 2009, No. 2.—P. P02048.

246. Lenzi, E. K. Anomalous diffusion, nonlinear fractional Fokker-Planck equation and solutions / E. K. Lenzi, L. C. Malacarne, R. S. Mendes, I. T. Pedron // Physica A. — 2003. — Vol. 319. —P. 245-252.

247. Lenzi, E. K. Solutions of some nonlinear diffusion equations and generalized entropy framework / E. K. Lenzi, M. A .F. dos Santos, F. S. Michels [et al.] // Entropy. — 2013. — Vol. 15, No. 9. —P. 3931-3940.

248. Li, C. Numerical methods for fractional calculus / C. Li, F. Zeng. — Boca Raton : CRC Press, 2015. —300 p.

249. Liao, S. On the homotopy analysis method for nonlinear problems / S. Liao // Appl. Math. Comp. —2004. —Vol. 147, No. 2.—P. 499-513.

250. Liao, S. J. He proposed homotopy analysis technique for the solution of nonlinear problems : Ph.D. thesis / S. J. Liao. — Shanghai Jiao Tong University. — 1992. — 118 p.

251. Lions, J.-L. Resolution d'edp par un schema en temps parareal / J.-L. Lions, Y. Maday, G. Turinici // C.R. Acad Sci. Paris. Ser. I Math. — 2001.—Vol. 332. —P. 661-668.

252. Liu, F. A new fractional finite volume method for solving the fractional diffusion equation / F. Liu, P. Zhuang, I. Turner [et al.] // Appl. Math. Model. — 2014. — Vol. 38, No. 1516. —P. 3871-3878.

253. Liu, J. Solving the Caputo fractional reaction-diffusion equation on GPU / J. Liu, C. Gong, W. Bao [et al.] // Discrete Dynamics in Nature and Society. — 2014.—Vol. 2014, No. 820162. —P. 1-7.

254. Long, Z. X. Fractional Noether theorem based on extended exponentially fractional integral / Z. X. Long, Y. Zhang // Int. J. Theor. Phys. — 2014. — Vol. 53, No. 3. — P. 841-855.

255. Luchko, Y. Algorithms for evaluation of the Wright function for the real arguments' values / Yu. Luchko // Fract. Calc. Appl. Anal.— 2008.— Vol. 11, No. 1. —P. 57-75.

256. Luchko, Y. Some uniqueness and existence results for the initial-boundary-value problems for the generalized time-fractional diffusion equation / Yu. Luchko // Comput. Math. Appl. —2010. —Vol. 59, No. 5.—P. 1766-1772.

257. Luchko, Y. Anomalous diffusion: models, their analysis, and interpretation / Yu. Luchko // Advances in applied analysis / Ed. by S. Rogosin, A. Koroleva. — Boston : Birkhauser Verlag, 2012.—P. 115-145.

258. Luchko, Y. Fractional diffusion and wave propagation / Yu. Luchko // Handbook of Geomathematics / Ed. by W. Freeden, M. Z. Nashed, T. Sonar. — Berlin : Springer, 2014. —P. 1-36.

259. Luchko, Y. Scale-invariant solutions of a partial differential equation of fractional order / Yu. Luchko, R. Gorenflo // Fract. Calc. Appl. Anal. — 1998. — Vol. 1, No. 1. — P. 63-78.

260. Luchko, Y. An operational method for solving fractional differential equations with the Ca-puto derivatives / Yu. Luchko, R. Gorenflo // Acta Mathematica Vietnamica. — 1999. — Vol. 24, No. 2. —P. 207-233.

261. Luchko, Y. Propagation speed of the maximum of the fundamental solution to the fractional diffusion-wave equation / Yu. Luchko, F. Mainardi, Yu. Povstenko // Comput. Math. Appl. —2013. —Vol. 66, No. 5. —P. 774-784.

262. Lukashchuk, S. Y. Estimation of parameters in fractional subdiffusion equations by the time integral characteristics method / S. Yu. Lukashchuk // Comp. Math. Appl.— 2011.—Vol. 62, No. 3.—P. 834-844.

263. Lukashchuk, S. Y. Two scale method for ordinary fractional differential equations / S. Yu. Lukashchuk // Proc. of the Fifth Symposium on Fractional Differentiation and Its Applications. — Nanjing : Hohai University, Nanjing, China, 2012.—P. 1-4. — paper #108.

264. Lukashchuk, S. Y. Time-fractional extensions of the Liouville and Zwanzig equations / S. Yu. Lukashchuk // Cent. Europ. J. Phys.— 2013.— Vol. 11, No. 6. —P. 740-749.

265. Lukashchuk, S. Y. An approximate solution method for ordinary fractional differential equations with the Riemann-Liouville fractional derivatives / S. Yu. Lukashchuk // Commun. Nonlin. Sci. Numer. Simulat. — 2014.—Vol. 19, No. 2. —P. 390-400.

266. Lukashchuk, S. Y. Conservation laws for time-fractional subdiffusion and diffusion-wave equations / S. Yu. Lukashchuk // Nonlin. Dyn. — 2015.— Vol. 80, No. 1-2. —P. 791-802.

267. Lukashchuk, S. Y. Group classification of nonlinear time-fractional diffusion equation with a source term / S. Yu. Lukashchuk, A. V. Makunin // Appl. Math. Comput. — 2015.— Vol. 257. —P. 335-343.

268. Lutz, E. Fractional Langevin equation / E. Lutz // Phys. Rev. E. — 2001. — Vol. 64, No. 5. —P. 051106.

269. Mainardi, F. The time fractional diffusion-wave equation / F. Mainardi // Radiophys. Quantum Electron. — 1995.— Vol. 38, No. 1-2.—P. 13-24.

270. Mainardi, F. Fractional relaxation-oscillation and fractional diffusion-wave phenomena / F. Mainardi // Chaos, Solitons & Fractals. —1996.— Vol. 7, No. 9.—P. 1461-1477.

271. Mainardi, F. The fundamental solutions for the fractional diffusion-wave equation / F. Mainardi // Appl. Math. Lett. — 1996.— Vol. 9, No. 6.—P. 23-28.

272. Mainardi, F. The fundamental solution of the space-time fractional diffusion equation / F. Mainardi, Yu. Luchko, G. Pagnini // Fract. Calc. Appl. Anal. — 2001. — Vol. 4, No. 2. —P. 153-192.

273. Mainardi, F. The Wright functions as solutions of the time-fractional diffusion equation / F. Mainardi, G. Pagnini // Appl. Math. Comput. — 2003.— Vol. 141, No. 1. —P. 51-62.

274. Mainardi, F. The fractional Langevin equation: Brownian motion revisited / F. Mainardi, P. Pironi // Extracta Mathematicae. —1996.— Vol. 10, No. 1. —P. 140-154.

275. Mainardy, F. Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity. An introduction to mathematical models / F. Mainardy. — Singapore : Imperial College Press, 2010. — 367 p.

276. Malacarne, L. C. Nonlinear equation for anomalous diffusion: unified power-law and stretched exponential exact solution / L. C. Malacarne, R. S. Mendes, I. T. Pedron, E. K. Lenzi // Phys. Rev. E.— 2001.— Vol. 63, No. 3. —P. 030101.

277. Malinowska, A. B. A formulation of the fractional Noether-type theorem for multidimensional Lagrangians / A. B. Malinowska // Appl. Math. Lett. — 2012. — Vol. 25, No. 11. — P. 1941-1946.

278. Matrix-based multigrid. Theory and applications / Ed. by Y. Shapira. — New York : Springer, 2008. — 318 p.

279. Meerschaert, M. M. Finite difference methods for two-dimensional fractional dispersion equation / M. M. Meerschaert, H. Scheffler, C. Tadjeran //J. Comput. Phys. — 2006.— Vol. 211, No. 1.—P. 249-261.

280. Meerschaert, M. M. Semi-Markov approach to continuous time random walk limit processes / M. M. Meerschaert, P. Straka // The Annals of Probability. — 2014. — Vol. 42, No. 4. —P. 1699-1723.

281. Meerschaert, M. M. Finite difference approximations for fractional advection-dispersion flow equations / M. M. Meerschaert, C. Tadjeran //J. Comput. Appl. Math. — 2004.— Vol. 172, No. 1.—P. 65-77.

282. Meleshko, S. V. Methods for constructing exact solutions of partial differential equations. Mathematical and analytical techniques with applications to engineering / S. V. Meleshko. — Boston : Springer US, 2005. — 352 p.

283. Metzler, R. Anomalous diffusion and relaxation close to thermal equilibrium: a fractional Fokker-Planck equation approach / R. Metzler, E. Barkai, J. Klafter // Phys. Rev. Lett. —1999.—Vol. 82, No. 18. —P. 3563-3567.

284. Metzler, R. Fractional model equation for anomalous diffusion / R. Metzler, W. G. Glockle, T. F. Nonnenmacher // Physica A. —1994.— Vol. 211, No. 1. —P. 13-24.

285. Metzler, R. The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach / R. Metzler, J. Klafter // Phys. Rep. — 2000.—Vol. 339. —P. 1-77.

286. Miller, K. S. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations / K. S. Miller, B. Ross. — New York : John Wiley and sons, 1993. — 376 p.

287. Miller, L. Coefficient inverse problem for a fractional diffusion equation / L. Miller, M. Ya-mamoto // Inverse Probl. — 2013. — Vol. 29, No. 7. —P. 075013.

288. Montroll, E. W. Random walks on lattices II / E. W. Montroll, G. H. Weiss // J. Math. Phys. —1965.—Vol. 6, No. 2. —P. 167-181.

289. Montroll, E. W. Nonequlibrium phenomena II. From statistics to hydrodynamics / E. W. Montroll, M. F. Shlesinger // On the wonderful world of random walks / Ed. by J. L. Lebowitz, E. W. Montroll. — Amsterdam : North-Holland Physics Publishing, 1984. —P. 1-122.

290. Multigrid / Ed. by U. Trottenderg, C. W. Oosterlee, A. Schuller. — San Diego : Academic press, 2001. — 631 p.

291. Murillo, J. Q. An explicit difference method for solving fractional diffusion and diffusion-wave equations in the Caputo form / J. Q. Murillo, S. B. Yuste //J. Comput. and Nonlin. Dyn. —2011.—Vol. 6, No. 2. —P. 021014.

292. Muslih, S. I. Formulation of Hamiltonian equations for fractional variational problems / S. I. Muslih, D. Baleanu // Czech. J. Phys. — 2005.—Vol. 55, No. 6.—P. 633-642.

293. Nigmatullin, R. R. The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry / R. R. Nigmatullin // Phys. stat. sol. (b). — 1986. —Vol. 133, No. 1. — P. 425-430.

294. Nigmatullin, R. R. Fractional kinetic equations and universal decoupling of a memory function in mesoscale region / R. R. Nigmatullin // Physica A. — 2006. — Vol. 363, No. 2. — P. 282-298.

295. Nonnenmacher, T. F. Towards the formulation of a nonlinear fractional extended irreversible thermodynamics / T. F. Nonnenmacher, D. J. F. Nonnenmacher // Acta Phys. Hung. —1989.—Vol. 66.—P. 145-154.

296. Odibat, Z. Applications of variational iteration and homotopy perturbation methods to fractional evolution equations / Z. Odibat, S. Momani // Topological Methods in Nonlin. Anal. —2008. —Vol. 31. —P. 227-234.

297. Odzijewicz, T. Fractional calculus of variations of several independent variables / T. Odz-ijewicz, A. B. Malinowska, D. F. M. Torres // Europ. Phys. J. — 2013. — Vol. 222, No. 8. —P. 1813-1826.

298. Odzijewicz, T. Noether's theorem for fractional variational problems of variable order / T. Odzijewicz, A. B. Malinowska, D. F. M. Torres // Cent. Eur. J. Phys. — 2013. — Vol. 11, No. 6. —P. 691-701.

299. Oldham, K. B. The fractional calculus. Theory and applications of differentiation and integration to arbitrary order / K. B. Oldham, J. Spanier. —San Diego : Academic press, 1974. —240 p.

300. Osler, T. J. Fractional derivatives and Leibniz rule / T. J. Osler // Am. Math. Mon. — 1971.—Vol. 78, No. 6.—P. 645-649.

301. Osler, T. J. A further extension of the Leibniz rule to fractional derivatives and its relation to Parseval's formula / T. J. Osler // SIAM J. Math. Anal. —1972.—Vol. 3, No. 1.— P. 1-16.

302. Ozbilge, E. Analysis of the inverse problem in a time fractional parabolic equation with mixed boundary conditions / E. Ozbilge, A. Demir // Boundary Value Problems. — 2014.—Vol. 134, No. 1. —P. 1-9.

303. Ozbilge, E. Inverse problem for a time-fractional parabolic equation / E. Ozbilge, A. Demir // J. of Inequalities and Applications. — 2015. — Vol. 81. — P. 1-9.

304. Padovan, J. Nonlinear vibrations of fractionally damped systems / J. Padovan, Z. T. Saw-icki // Nonlin. Dyn. —1998.—Vol. 16, No. 4.—P. 321-336.

305. Pan, M. Lie group analysis and similarity solution for fractional Blasius flow / M. Pan, L. Zheng, F. Liu, X. Zhang // Commun. Nonlin. Sci. Numer. Simulat. — 2016.— Vol. 37. —P. 90-101.

306. Pandey, R. K. An analytic solution for the space-time fractional advection-dispersion equation using the optimal homotopy asymptotic method / R. K. Pandey, O. P. Singh, V. K. Baranwal, M. P. Tripathi // Comput. Phys. Commun. — 2012.—Vol. 183, No. 10. —P. 2098-2106.

307. Panga, H.-K. Multigrid method for fractional diffusion equations / H.-K. Panga, H.W. Sunb // J. Comput. Phys. —2012. —Vol. 231, No. 2.—P. 693-703.

308. Paradisi, P. The fractional Fick's law for non-local transport processes / P. Paradisi, R. Cesari, F. Mainardi, F. Tampieri // Physica A. — 2001. — Vol. 293, No. 1-2.—P. 130142.

309. Patera, J. Subalgebras of real three- and four-dimensional Lie algebras / J. Patera, P. Winternitz //J. Math. Phys. — 1977.— Vol. 18, No. 7. —P. 1449-1455.

310. Podlubny, I. Fractional differential equations / I. Podlubny. — San Diego : Academic press, 1999. —240 p.

311. Quintana-Murillo, J. Q. A finite difference method with non-uniform timesteps for fractional diffusion and diffusion-wave equations / J. Q. Quintana-Murillo, S. B. Yuste // Europ. Phys. J. —2013.—Vol. 222, No. 8. —P. 1987-1998.

312. Rabei, E. M. The Hamilton formalism with fractional derivatives / E. M. Rabei, K. I. Nawafleh, R. S. Hijjawi [et al.] // J. Math. Anal. Appl. — 2007. — Vol. 327, No. 2. — P. 891-897.

313. Rajeev. Homotopy perturbation method for a limit case Stefan problem governed by fractional diffusion equation / Rajeev, M. S. Kushwaha // Appl. Math. Model. — 2013. — Vol. 37, No. 5. —P. 3589-3599.

314. Ray, S. S. Exact solutions for time-fractional diffusion-wave equations by decomposition method / S. S. Ray // Phys. Scr. — 2006.— Vol. 75, No. 1. —P. 53-61.

315. Ray, S. S. Analytical solution of a fractional diffusion equation by Adomian decomposition method / S. S. Ray, R. K. Berab // Appl. Math. Comp. — 2006. — Vol. 174, No. 1. — P. 329-336.

316. Ray, S. S. Analytical solution for the space fractional diffusion equation by two-step Ado-mian decomposition method / S. S. Ray // Commun. Nonlin. Sci. Numer. Simulat. — 2009.—Vol. 14, No. 4.—P. 1295-1306.

317. Ray, S. S. Analytical approximate solutions of Riesz fractional diffusion equation and Riesz fractional advection-dispersion equation involving nonlocal space fractional derivatives / S. S. Ray, S. Sahoo // Math. Methods in Appl. Sci. — 2015. — Vol. 38, No. 13.— P. 2840-2849.

318. Recent advances in applied nonlinear dynamics with numerical analysis. Fractional dynamics, network dynamics, classical dynamics and fractal dynamics with their numerical simulations / Ed. by C. Li, Y. Wu, R. Ye. — Singapore : World Scientific, 2013. — 391 p.

319. Riewe, F. Nonconservative Lagrangian and Hamiltonian mechanics / F. Riewe // Phys. Rev. E. —1996. —Vol. 53, No. 2. —P. 1890-1899.

320. Riewe, F. Mechanics with fractional derivatives / F. Riewe // Phys. Rev. E. —1997.— Vol. 55, No. 3. —P. 3581-3592.

321. Rossikhin, Y. A. New approach for the analysis of damped vibrations of fractional oscillators / Y. A. Rossikhin, M. V. Shitikova // Shock Vibr. — 2009. — Vol. 16, No. 4.— P. 365-387.

322. Rossikhin, Y. A. Forced vibrations of a nonlinear oscillator with weak fractional damping / Y. A. Rossikhin, M. V. Shitikova, T. Shcheglova // J. Mech. Mater. Struct. — 2009. — Vol. 4, No. 9. —P. 1619-1636.

323. Rui, W. Lie symmetries and conservation laws for the time fractional Derrida-Lebowitz-Speer-Spohn equation / W. Rui, X. Zhang // Commun. Nonlin. Sci. Numer. Simulat.—

2015.—Vol. 34, No. 5.—P. 38-44.

324. Ruprecht, D. Parareal for diffusion problems with space- and time-dependent coefficients / D. Ruprecht, R. Speck, R. Krause // Domain Decomposition Methods in Science and Engineering XXII / Ed. by T. Dickopf, M. J. Gander, L. Halpern [et al.]. — Springer,

2016. —Vol. 104. —P. 371-378.

325. Safari, M. Application of Adomian's decomposition method for the analytical solution of space fractional diffusion equation / M. Safari, M. Danesh // Adv. Pure Math. — 2011. — Vol. 1, No. 5-6.—P. 345-350.

326. Saxena, R. K. Fractional reaction-diffusion equations / R. K. Saxena, A. M. Mathai, H. J. Haubold // Astrophys. Space Sci. — 2006.— Vol. 305, No. 3.—P. 289-296.

327. Schumer, R. Multiscaling fractional advection-dispersion equations and their solutions / R. Schumer, D. A. Benson, M. M. Meerschaert, B. Baeumer // Water Resour. Res.—

2003.—Vol. 39, No. 1.—P. 1022.

328. Shatalov, Y. S. The problem of coefficients identification in the mathematical model of the ion implantation diffusion process / Yu. S. Shatalov, S. Yu. Lukashchuk, Yu. Yu. Rikachev // Inverse Problems in Engineering. — 1999. — Vol. 7, No. 3. —P. 267290.

329. Sibatov, R. T. Truncated Levy statistics for transport in disordered semiconductors / R. T. Sibatov, V. V. Uchaikin // Commun. Nonlin. Sci. Numer. Simulat. — 2011.— Vol. 16, No. 12.—P. 4564-4572.

330. Stan, D. The Fisher-KPP equation with nonlinear fractional diffusion / D. Stan, J. L. Vazquez // SIAM J. Math. Anal. — 2014.—Vol. 46, No. 5.—P. 3241-3276.

331. Stochastic models for fractional calculus / Ed. by M. Meerschaert, A. Sikorskii. — Berlin : De Gruyter, 2012. —291 p.

332. Suchorsky, M. K. A pair of Van-der-Pol oscillators coupled by fractional derivatives / M. K. Suchorsky, R. H. Rand // Nonlin. Dyn. — 2012.—Vol. 69, No. 1.—P. 313-324.

333. Tarasov, V. E. Fractional generalization of Liouville equations / V. E. Tarasov // Chaos. —

2004.—Vol. 14, No. 1.—P. 123-127.

334. Tarasov, V. E. Fractional Fokker-Planck equation for fractal media / V. E. Tarasov // Chaos. —2005. —Vol. 15, No. 2. —P. 23102.

335. Tarasov, V. E. Fractional Liouville and BBGKI equations / V. E. Tarasov //J. Phys. Conf. Ser. —2005. —Vol. 7, No. 1.—P. 17-33.

336. Tarasov, V. E. Transport equations from Liouville equations for fractional systems / V. E. Tarasov // Int. J. Mod. Phys. B.— 2006.— Vol. 20, No. 3. —P. 341-353.

337. Tarasov, V. E. Dynamics with low-level fractionality / V. E. Tarasov, G. M. Zaslavsky // Physica A. —2006. —Vol. 368, No. 2. —P. 399-415.

338. Tarasov, V. E. Fokker-Planck equation for fractional systems / V. E. Tarasov // Int. J. Mod. Phys. B. —2007. —Vol. 21, No. 6. —P. 955-967.

339. Tarasov, V. E. Liouville and Bogoliubov equations with fractional derivatives / V. E. Tarasov // Mod. Phys. Lett. B.— 2007.— Vol. 21, No. 5. —P. 237-248.

340. Tarasov, V. E. Fractional dynamics: application of fractional calculus to dynamics of particles, fields and media / V. E. Tarasov.—Heidelberg : Springer, 2011.—504 p.

341. Tarasov, V. E. Power-law spatial dispersion from fractional Liouville equation / V. E. Tarasov // Phys. Plasmas.— 2013.— Vol. 20, No. 10. —P. 102110.

342. Tatar, S. An inverse source problem for a one dimensional space-time fractional diffusion equation / S. Tatar, S. Ulusoy // Applicable Anal.— 2015.— Vol. 94, No. 11. —P. 22332244.

343. Tatar, S. An inverse problem for a nonlinear diffusion equation with time-fractional derivative / S. Tatar, S. Ulusoy //J. Inverse Ill-posed Probl. — 2016. — P. online.

344. Tofighi, A. An especial fractional oscillator / A. Tofighi // Int. J. Stat. Mech. — 2013.— Vol. 2013. —P. 175273.

345. Tofighi, A. A perturbative study of fractional relaxation phenomena / A. Tofighi, A. Golestani // Physica A. — 2008.—Vol. 387, No. 8-9.—P. 1807-1817.

346. Uchaikin, V. V. Chance and stability: stable distributions and their applications / V. V. Uchaikin, V. M. Zolotarev. — Utrecht : VSP, 1999.—594 p.

347. Uchaikin, V. V. Fractional Boltzmann equation for multiple scattering of resonance radiation in low-temperature plasma / V. V. Uchaikin, R. T. Sibatov //J. Phys. A.: Math. Theor. —2011. —Vol. 44. —P. 145501.

348. Uchaikin, V. Fractional kinetics in solids: Anomalous charge transport in semiconductors, dielectrics and nanosystems / V. Uchaikin, R. Sibatov. — Singapore : World Scientific, 2013. —276 p.

349. Wang, G. Symmetry analysis and conservation laws for the class of time-fractional nonlinear dispersive equation / G. Wang, A. H. Kara, K. Fakhar // Nonlin. Dyn. — 2015.— Vol. 82, No. 1. —P. 281-287.

350. Wang, G.-w. Lie symmetry analysis to the time fractional generalized fifth-order KdV equation / G.-w. Wang, X.-q. Liu, Y.-y. Zhang // Commun. Nonlin. Sci. Numer. Simulat. —2013.—Vol. 18, No. 9. —P. 2321-2326.

351. Wang, L. Lie symmetry analysis and conservation laws of a generalized time fractional foam drainage equation / L. Wang, S.-F. Tian, Z-T. Zhao, X.-Q. Song // Commun. Theor. Phys. —2016. —Vol. 66, No. 1. —P. 35-40.

352. Wang, X.-B. Lie symmetry analysis, conservation laws and exact solutions of the generalized time fractional Burgers equation / X.-B. Wang, S.-F. Tian, C.-Y. Qin, T.-T. Zhang // Europhysics Lett. —2016. —Vol. 114, No. 2. —P. 20003.

353. West, B. J. Physics of fractal operators / B. J. West, M. Bologna, P. Grigolini. — New York : Springer-Verlag, 2003. — 354 p.

354. Wei, H. A coupled method for inverse source problem of spatial fractional anomalous diffusion equations / H. Wei, W. Chen, H. Sun, X. Li // Inverse Probl. Sci. Eng. — 2010.—Vol. 18, No. 7.—P. 945-956.

355. Weymann, R. Diffusion approximation for a photon gas interacting with a plasma via the Compton effect / R. Weymann // Phys. Fluids. — 1965. — Vol. 8, No. 11. — P. 2112-2114.

356. Wheatcraft, S. W. Fractional conservation of mass / S. W. Wheatcraft, M. M. Meer-schaert // Adv. Water Resour. — 2008.—Vol. 31, No. 10. —P. 1377-1381.

357. Wu, J.-N. Fractional Langevin equation in quantum systems with memory effect / J.-N. Wu, H.-C. Huang, S.-C. Cheng, W.-F. Hsieh // Appl. Math. — 2014. — Vol. 5, No. 12. —P. 1741-1749.

358. Wu, S.-L. A second-order parareal algorithm for fractional PDEs / S. -L. Wu //J. Comput. Phys. —2016.—Vol. 307. —P. 280-290.

359. Xie, F. Asymptotic solution of the Van-der-Pol oscillator with small fractional damping / F. Xie, X. Lin // Phys. Scr. — 2009.—Vol. T136. — P. 014033.

360. Xu, Q. A parareal method for time-fractional differential equations / Q. Xu, J. S. Hes-thaven, F. Chen // J. Comput. Phys.— 2015.— Vol. 293. —P. 173-183.

361. Yasar, E. Lie symmetry analysis, conservation laws and exact solutions of the seventh-order time fractional Sawada-Kotera-Ito equation / E. Yasar, Y. Yildirim, C. M. Khalique // Results in Phys. —2016. —Vol. 6. —P. 322-328.

362. Yuste, S. B. Weighted average finite difference methods for fractional diffusion equations / S. B. Yuste // J. Comput. Phys.— 2006.— Vol. 216, No. 1. —P. 264-274.

363. Yuste, S. B. An explicit difference method for solving fractional diffusion and diffusion-wave equations in the Caputo form / S. B. Yuste, J. Q. Quintana-Murillo // Numer. Alg. —2016. —Vol. 71, No. 1. —P. 207-228.

364. Zaslavsky, G. M. Chaos, fractional kinetics, and anomalous transport / G. M. Zaslavsky // Phys. Rep. —2002.—Vol. 371. —P. 461-580.

365. Zhang, D. Numerical identification of multiparameters in the space fractional advection dispersion equation by final observations / D. Zhang, G. Li, G. Chi [et al.] //J. Appl. Math. —2012.—Vol. 2012, No. 740385. —P. 1-14.

366. Zhang, H. A novel numerical method for the time variable fractional order mobile-immobile advection-dispersion model / H. Zhang, F. Liu, M. S. Phanikumar, M. M. Meerschaert // Comp. Math. Appl. — 2013.—Vol. 66, No. 5.—P. 693-701.

367. Zhang, S.-H. Hamilton formalism and Noether symmetry for mechanico-electrical systems with fractional derivatives / S.-H. Zhang, D.-Y. Chen, J.-L. Fu // Chin. Phys. B.— 2012.—Vol. 21, No. 10. —P. 100202.

368. Zhang, X. Homotopy perturbation method for two dimensional time-fractional wave equation / X. Zhang, J. Zhao, J. Liu, B. Tang // Appl. Math. Model. — 2014. — Vol. 38, No. 23. —P. 5545-5552.

369. Zhang, Y. Time and space nonlocalities underlying fractional-derivative models: distinction and literature review of field applications / Y. Zhang, D. A. Benson, D. M. Reeves // Adv. Water Resour. — 2009.—Vol. 32, No. 4.—P. 561-581.

370. Zwanzig, R. Nonequilibrium statistical mechanics / R. Zwanzig. — Oxford : University Press, 2001. —222 p.

371. http://www.ddm.org. — Domain decomposition. — Дата обращения: 15.08.2016.

ПРИЛОЖЕНИЕ А (обязательное)

Необходимые сведения из теории интегро-дифференцирования дробного порядка

Данное приложение содержит краткое изложение используемых в работе базовых положений теории дробного интегро-дифференцирования на основе монографий [104,236].

А.1 Интегралы дробного порядка и их основные свойства. Интеграл дробного порядка является обобщением понятия п-кратного повторного интеграла на нецелые порядки.

Определение А.1. Пусть функция f (х) € Ь\(а,Ъ) (—то < а <Ь < то). Интегралы

X

ш)(х) 3 ^<"• х>а <А-1>

а

Ь

(х™ 3 ^ Х<Ъ <А-2)

называются, соответственно, левосторонним и правосторонним дробными интегралами

а1х и х1Ь

Римана-Лиувилля порядка а > 0. Операторы и х1а называются операторами дробного

интегрирования Римана-Лиувилля.

В определения дробных интегралов (А.1) и (А.2) входит гамма-функция Г(г), определение и основные свойства которой приведены в п. А.6.

При а = —то и Ъ = то интегралы дробного порядка (А.1) и (А.2) называются дробными интегралами Лиувилля.

Приведем основные свойства дробных интегралов [104].

1) Пусть f (х) € Ьр(а, Ъ), д(х) € Ьд(а, Ъ), 1/р + 1/д < 1 + а, р > 1, д > 1, но р = 1, д =1 при 1/р + 1/д = 1 + а. Тогда справедлива формула дробного интегрирования по частям:

Ь Ь

I f (х) (а^Хсg)(x)dx = У д(х) (х1af )(х)<ь. (А.3)

аа

2) При f (х) € Ь\(а,Ъ) почти всюду выполнено полугрупповое свойство: