Аналитические и приближенно-аналитические методы решения основных задач теории упругости и задач гидромеханики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Широкова, Елена Александровна

• Широкова, Елена Александровна
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Широкова, Елена Александровна

0.1 Введение.

Решение основных задач плоской теории упругости и их модификаций с приложениями в теории разрушений

1.1 Интерполяционное решение нестационарной задачи — второй основной плоской задачи динамики упругих тел

1.1.1 Постановка задачи и метод решения.

1.1.2 Пример интерполяционного решения задачи

1.2 Решение основных плоских задач теории упругости для бесконечных Я-областей путем сведения к двум задачам Шварца.

1.2.1 Метод решения

1.2.2 Примеры решения основных плоских задач теории упругости для областей с границами, содержащими каспы.

1.3 Решение основных задач теории упругости для бесконечных областей с каспами в общем случае.

1.4 'Смешанная задача теории упругости для бесконечных 11-областей

1.4.1 Постановка задачи и метод решения.

1.4.2 Решение смешанной задачи для плоскости с каплеобразным вырезом

1.5 О постановке обратной краевой задачи плоской теории упругости

1.6 Решение простейших задач, связанных с разрушением, для пластины с двоякосимметричным вырезом, имеющим две точки возврата

1.7 Направление начального роста трещины из каспа для одного класса вырезов.:.

1.7.1 Определение начального роста трещины для II-области.

1.7.2 Зависимость направления начального роста трещины из каспа на границах областей двух типов от направления растяжения.

1.8 Моделирование процесса роста полостей в вязких телах с применением семейств последовательно вложенных областей

1.8.1 О семействах последовательно вложенных областей

1.8.2 Пример образования каспа на границе полости

Решение задач теории упругости в трехмерных постановках с применением краевых задач на плоскости

2.1 Граничные задачи для покрытий плоских областей и для тонких симметричных оболочек

2.1.1 Представление трехмерных смещений в тонких упругих покрытиях плоских областей с помощью аналитических функций.

2.1.2 Постановка и решение краевых задач для конечной области.

2.1.3 Пример решения краевой задачи для тонкого покрытия конечной плоской области.

2.1.4 Случай бесконечной односвязной области.

2.1.5 Пространственные задачи для одного класса оболочек, аналогичные основным задачам теории упругости

2.1.6 Решение задач для оболочек с R-областью в срединной плоскости.

2.2 Интерполяционное решение основных граничных задач теории упругости в трехмерной постановке в случае цилиндрических упругих тел

2.2.1 Вид интерполяционного решения второй основной граничной задачи.

2.2.2 Сведение решения поставленной трехмерной задачи к решению последовательности краевых задач

2.2.3 Пример решения задачи для кругового цилиндра

2.2.4 Интерполяционное решение первой основной граничной задачи теории упругости для цилиндроида

2.2.5 Схема решения задачи.

2.2.6 Случай бесконечного пласта с цилиндрическим вырезом

2.3 Интерполяционное решение смешанной граничной задачи теории упругости в случае полого цилиндра.

2.3.1 Постановка задачи и предварительные предположения 2.3.2 Решение задачи.

2.3.3 Пример.

2.4 Изменение краевых условий при интерполяционном решении задач для цилиндрических тел.

2.4.1 Добавление новых уровней.

2.4.2 Изменение условий на прежних уровнях.

2.4.3 Добавочные условия на торцах.

2.5 О построении сплайн-интерполяционных решений задач для цилиндроидов.

Краевые и обратные краевые задачи с граничными особенностями для уравнений эллиптического типа

3.1 Сведение решения внутренней обратной краевой задачи по параметру 8 для аналитической функции к интегральному уравнению.

3.1.1 Сведение обратной краевой задачи в классической постановке к решению уравнения Фредгольма

3.1.2 Случай угловой точки на искомом контуре

3.1.3 Решение обратной краевой задачи для аналитической функции в обобщенной постановке с помощью интегрального уравнения.

3.1.4 Обобщенная постановка обратной краевой задачи в случае угловых точек на известном контуре

3.2 Некоторые достаточные условия корректности обратных краевых задач по параметру б для аналитических функций

3.2.1 Получение достаточных условий однолистности решения внутренней обратной краевой задачи в классической постановке.

3.2.2 Однолистность в случях угловой точки на искомом контуре и обобщенной постановки задачи

3.2.3 Получение классов данных для корректной постановки обратной краевой задачи путем перепараметризации

3.2.4 О получении классов данных для корректных постановок внутренних обратных краевых задач путем комбинации параметризаций.

3.2.5 Достаточное условие единственности решения внешней обратной краевой задачи в виде ограничений на исходные данные.

3.3 Краевые задачи для уравнений эллиптического типа

3.3.1 Задача Шварца для одного уравнения эллиптиче-о ского типа.

3.3.2 Решение внутренней обратной краевой задачи по параметру в для уравнения Бельтрами, заданного в плоскости известной области.

3.3.3 Смешанная краевая задача в полу полосе для уравнения эллиптического типа.

3.3.4 Решение смешанной задачи в полуполосе при заданном поведении в окрестности бесконечности

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитические и приближенно-аналитические методы решения основных задач теории упругости и задач гидромеханики»

Объектом исследования настоящей работы являются актуальные проблемы теории упругости и гидромеханики, математическими моделями которых служат граничные задачи для различных дифференциальных уравнений — динамических уравнений, уравнений равновесия теории упругости, приближенных уравнений Стокса, а также уравнения Бельтрами.

Актуальность. Трудно переоценить важность решения задач определения внутренних характеристик тела по его внешним — граничным - проявлениям. В теории упругости к таким задачам следует отнести задачи восстановления напряжений или смещений во внутренних точках тела по, соответственно, напряжениям или смещениям в точках поверхности тела. Задачи эти ставятся, начиная с середины 19-го века, но число точных решений таких задач в трехмерной постановке очень мало. Естественно, что соответствующие динамические — нестационарные — задачи являются еще более сложными. Обычно эти задачи решаются приближенно, например, методом конечных элементов.

В случае плоских стационарных задач теории упругости аппарат теории функций комплексного переменного, впервые предложенный в работах Г.В.Колосова и Н.И.Мусхелишвили, позволил получить точные решения основных задач уже для достаточно широкого класса областей, например, для областей, получаемых при дробно-рациональном отображении круга или его внешности. Однако, способ решения Н.И. Мусхелишвили заставляет исключать области с граничными точками возврата — каспами. В то же время, например, моделирование процессов разрушения требует описания точного асимптотического поведения граничных напряжений именно вблизи каспов, так как такие точки являются концентраторами напряжений.

Теория функций комплексного переменного и краевые задачи для аналитических функций имеют приложения также в теории фильтрации. Вопросы, связанные с фильтрацией, в 20-м веке приобрели особое значение в связи с интенсивным строительством гидросооружений. Именно в Казанском университете возникла и получила развитие теория обратных краевых задач фильтрации — задач определения формы подземного водонепроницаемого сооружения по заданным вдоль контура сооружения характеристикам процесса фильтрации, например, по эпюре фильтрационного давления или скорости фильтрации жидкости. В случае неоднородного грунта задача усложняется, и нетривиальные аналитические решения обратных задач фильтрации до сих пор не были построены. В последнее время актуальность задач фильтрации обусловлена также проблемами, связанными с загрязнением окружающей среды.

Целью настоящей работы является построение решений граничных задач теории упругости и гидромеханики новыми методами, а также применение полученных решений в теории разрушений и теории фильтрации.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Впервые поставлены и решены следующие задачи: вариант смешанной задачи плоской теории упругости (аналог контактной задачи), обратная краевая задача плоской теории упругости, ряд краевых задач для тонких симметричных относительно срединной плоскости оболочек и покрытий плоских областей, граничная задача для полого цилиндра в трехмерной постановке, задача неустановившегося обтекания профиля вязкой жидкостью и задача течения жидкости в канале с динамичными стенками. В работе предложен новый метод решения основных задач плоской теории упругости для областей с граничными каспами, применяемый для ранее не рассматриваемых бесконечных областей с С- и Б-образными вырезами. Новыми являются все интерполяционные решения задач теории упругости и гидромеханики, итерационные решения задач фильтрации в неоднородном грунте, а также решение обратной краевой задачи для аналитической функции в обобщенной постановке и все достаточные условия корректности постановки этой задачи (однолистность и единственность решения).

Методы исследования. Основными методами, применяемыми в настоящей работе, являются

-методы краевых задач для аналитических функций и их обобщений, -метод интегральных уравнений.

Достоверность полученных в диссертации результатов обусловлена тем, что применяются точные и строго обоснованные аналитические методы в рамках общепринятых гипотез и допущений механики сплошных сред. Кроме того, результаты диссертации являются обобщением или развитием полученных ранее результатов и совпадают с этими результатами в частных случаях.

Апробация. Основные методы и результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в 46 публикациях, приведенных в конце, перед списком цитированной литературы.

Результаты докладывались на научных семинарах по ГТФКП при КГУ, на конференциях "Краевые задачи теории фильтрации и их приложения" (Казань, 1991), "Вторые математические чтения памяти М.Я. Суслина"(Саратов, 1991), "Алгебра и анализ"(Казань, 1994 и Казань, 1997), "Теория функций и ее приложения"(Казань, 1995, Казань, 1999, Казань, 2001, Казань, 2003), "Понтрягинские чтения - 10"(Воронеж, 1999), "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, 2000), "Краевые задачи аэрогидромеханики и их приложения"(Казань, 2000),

Геометрическая теория функций и краевые задачи"(Казань, 2002), "Актуальные проблемы математики и механики"(Казань, 2004), на Международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященной столетию С.М.Никольского (Москва, 2005), на научном семинаре при кафедре механики композитов МГУ (сентябрь 2005), на Шестом Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань, 2005), на Международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (Воронеж, 2005), на семинаре в институте математического моделирования РАН (руководитель — профессор Е.И.Леванов), на итоговых научных конференциях 2003 г. и 2004 г. Казанского научного центра РАН, а также, на ежегодных отчетных конференциях КГУ (секции геометрическая теория функций и механика твердого тела).

Основные результаты, представленные в настоящей работе и выносимые на защиту.

- Получено интерполяционное решение нестационарной задачи — второй основной плоской задачи динамики упругих тел.

- Предложен новый метод решения основных задач плоской теории упругости для бесконечных областей, являющихся образами внешности единичного круга при действии дробно-рациональных функций.

- Найдены зависимости направлений начального роста трещин из каспов от формы выреза и способа нагружения на основе полученных точных решений задач для областей с граничными каспами.

- Решены граничные задачи для тонких покрытий плоских областей и для оболочек специального вида — симметричных относительно срединной плоскости.

- Построены интерполяционные решения основных граничных задач в трехмерной постановке для цилиндроидов. Решена интерполяционная задача для полого кругового цилиндра, внутренняя поверхность которого находится под давлением.

- Получены интерполяционные решения задач течения вязкой жидкости с малым числом Рейнольдса — нестационарного плоского обтекания изолированного профиля и стационарного течения в цилиндре.

- Построены решения краевых и обратных краевых задач при достаточно общих предположениях относительно исходных данных, получены достаточные условия корректности постановок таких задач.

- Разработан метод решения задач фильтрации в неоднородном грунте.

Краткое описание содержания работы по главам.

Плоские задачи динамики упругих тел часто сводят [89,45,55] к задачам распространения плоских волн. Если же рассматривать вторую основную задачу динамики упругих тел для плоского случая (в постановке Н.И.Мусхелишвили [62]), то точные решения такой задачи получены с помощью теории волн только в частных случаях. Обычно трудности в решении таких задач связаны с переменными краевыми условиями [89]. В параграфе 1.1.1 ставится интерполяционная задача, позволяющая получать приближенное решение плоской динамической задачи по заданным в конечное число моментов граничным смещениям пластинки. Интерполирующее решение ищется в виде полинома по степеням переменной £ - времени. Решение исходной системы уравнений движения упругой среды сводится к системе дифференциальных уравнений относительно неизвестных коэффициентов. В результате мы приходим к конечному числу плоских краевых задач. Каждая задача состоит в том, чтобы определить две аналитические в области D функции f(z) и g(z) по краевому условию вида kf(z) + + W)UdD = R(t). (1)

Таким образом, возникают краевые задачи, математически совпадающие с основными задачами плоской теории упругости [62]. При этом получаемое решение является точным в том смысле, что совпадает с заданными граничными смещениями в заданные моменты времени и удовлетворяет дифференциальным уравнениям динамики упругого тела в двумерном случае. В параграфе 1.1.2 приводится интерполяционное решение задачи для круга с заданием в три момента следующих граничных смещений: сдвига по оси OY, обжатия и сдвига по оси ОХ. Соответствующие краевые задачи с граничным условием типа (1) решаются сведением к двум задачам Шварца.

Процессы деформации твердых тел могут приводить к возникновению и развитию трещин в телах. Теория трещин возникла в начале 20-го века. Основы ее заложил A.A.Griffith [30], исследовавший растяжение пластины с прямолинейным разрезом и сформулировавший энергетический метод расчета предельных напряжений, при которых трещина начинает расти. В дальнейшем теория Griffith'a дополнялась й уточнялась для различных типов тел. Большой интерес к теории трещин возник с конца 40-х - начала 50-х годов 20-го века([38],[39],[17],[18],[19],[62], [80],[86],[87],[94] и др). Многие математики и механики исследовали вопросы концентрации напряжений вблизи отверстий, особенно, напряжений вблизи конца трещины. Анализ этих напряжений на основе точного решения первой основной задачи теории упругости для прямолинейного разреза [62] показал, что напряжения на таком конце бесконечны — имеют асимптотику типа z-1/2, где z — комплексная координата точки вблизи конца трещины в точке 0. В связи с этим для анализа плоских задач развития трещин был введен комплексный коэффициент интенсивности напряжений К\ — iK\\ — величина, пропорциональная коэффициенту при [z — zq)~1!2 в представлении суммы компонент тензора (<тц + СГ22) вблизи конца разреза zq. Была, например, экспериментально установлена зависимость между скоростью роста трещины и коэффициентом К\ при нормальном разрыве трещины [44]. Было также установлено, что значительное увеличение К\ для растущей трещины при нормальном разрыве приводит к ветвлению трещины [40]. Были получены и другие интересные результаты. Интерес к проблеме развития трещин очень велик, и здесь трудно упомянуть всех ученых, занимавшихся этой проблемой даже в рамках теории Griffith'a. Большой вклад в эту теорию внесли представители украинской школы ([72],[41],[42],[69],[81],[82],[24],[80],[73] и др). В диссертации используются сформулированные Г.И.Баренблаттом [17] и принятые в теории разрушений гипотезы, в соответствии с которыми, стенки трещины в ее конце должны плавно смыкаться под нулевым углом, так как расстояние между стенками трещины должно переходить в межатомное [72], при том, что уже на незначительном расстоянии от конца стенки не должны касаться друг друга. Поэтому прямолинейный разрез или узкий эллиптический вырез, применявшиеся для моделирования трещин (например, [83]), не вполне адекватны форме реальной трещины. В монографиях [20,41] и работах [95,96,97] показано, как получить бесконечную область с вырезом такого типа, который лучше моделирует трещину, с помощью вспомогательного отображения на внешность единичного круга |С| > 1В случае, когда рассматриваемая область является R-областью, то есть, отображение внешности круга на нее — дробно-рациональная функция, решения основных задач плоской теории упругости, используемые для моделирования напряжений или смещений, могут быть получены в замкнутом виде. Этот факт был доказан в [62], где краевая задача решается с помощью применения интегралов типа Коши. Подобным способом решаются основные задачи теории упругости для Я-областей и в монографиях [54,65]. В указанных монографиях приводится сингулярное интегральное уравнение, которому должен удовлетворять один из комплексных потенциалов. При этом при выражении плотности применяемых интегралов типа Коши производная отображающей функции оказывается в знаменателе. Поскольку у плотности интеграла типа Коши допускаются только слабые особенности, при решении задачи с применением интегрального уравнения делается обязательное предположение о том, что отображающая единичный круг на исследуемую область функция не может иметь на границе ноль первого порядка у производной. Следовательно, такой метод неприменим в случае области с граничным каспом. В работах [41],[42],[95],[96],[97] для вырезов с каспами решения находятся приближенно — путем разложения в ряды и сравнения коэффициентов. В других работах применяется метод предельного перехода, когда необходимые параметры вычисляются для близких к исследуемой областей с гладкой границей, и только затем делается предельный переход, соответствующий переходу к области с граничной точкой возврата ([74],[105]).

В параграфе 1,2.1 настоящей диссертации предложен новый метод нахождения точного решения основных задач плоской теории упругости для бесконечных Я-областей, в том числе, и областей с граничными каспами. Основой метода является сведение задачи с краевым условием (1) к двум задачам Шварца для мероморфных функций. В итоге решение задачи сводится к конечной системе линейных алгебраических уравнений. С помощью указанного метода в параграфе 1.2.2 решены основные задачи для плоскости с вырезами четырех типов. Каждый из них моделирует трещину определенного вида. Такие вырезы могут найти применение в исследовании вопросов развития трещин в рамках различных деформационных критериев разрушения, например, тех, которые представлены в монографии [59].

В последние годы в теорию трещин вносятся новые уточнения. Появились теории, связанные с развитием микротрещин вблизи конца магистральной трещины, с возможным появлением там зоны пластичности, с микротрещинами, обусловленными неоднозначностью смещений, например, [25],[100],[36],[93],[104]. Пока в работах, связанных с этими теориями, трещины моделируются прямолинейными разрезами, видимо, в силу сложности решений задач с вырезами, имеющими каспы. Значит, упрощение решений таких задач может помочь более точному моделированию процессов, связанных с трещинами, и в новых теориях.

Для областей с граничными каспами, не являющимися 11-областями, найден способ решения, состоящий в сведении задачи к бесконечной системе линейных уравнений. Этот способ описан в параграфе 1.3 настоящей диссертации.

Следует заметить, что представленные методы решения основных задач плоской теории упругости в бесконечной области с граничными каспами, а также, решения конкретных задач можно успешно применять не только в теории трещин, но также в теории изгиба тонких пластин с трещинами под действием изгибающих моментов и перерезывающих сил или по заданным на границе прогибам и их нормальным производным [20],[35], так как эти задачи также сводятся к определению аналитических функций по краевому условию вида (1).

В параграфе 1.4.1 ставится и решается новая смешанная задача плоской теории упругости, которую можно трактовать как вариант контактной задачи теории упругости. Особенностью решения этой задачи является то, что она сводится к обобщающей задачу Шварца задаче Гильберта ([27],[61]). В параграфе 1.4.2 приведен пример решения такой задачи для плоскости с каплеобразным вырезом, имеющим граничный касп.

В параграфе 1.5 дается постановка следующей обратной краевой задачи теории упругости: по заданным граничным значениям смещений и напряжений на границе неизвестной области требуется определить саму область. В отличие от случая обратных краевых задач для аналитических функций [91] при решении обратной задачи теории упругости в такой постановке приходится пользоваться перепараметризацией граничных данных, так как иначе задача является переопределенной.

В трех последующих параграфах приведены примеры применения решений основных задач плоской теории упругости для бесконечных областей с граничными каспами. Большой интерес в механике разрушений представляет изучение асимптотических напряжений вблизи граничных каспов, условий и направлений роста трещин из вершин каспов. Существует ряд гипотез относительно условий и направлений роста трещин, например, пВ-сгНегюп"[75]. Для случая упругих тел в плоской задаче будем пользоваться гипотезой [72], в соответствии с которой начальное распространение трещины происходит в направлении (3, для которого нормальное разрывающее напряжение ар [88] имеет максимальное значение коэффициента интенсивности. Рост трещины происходит, если коэффициент интенсивности разрывающих напряжений в каспе достигает критического значения, определяемого для каждого материала экспериментально. В том случае плоской задачи, когда помимо разрывающих усилий в окрестности каспа действует поперечный сдвиг, влияние на разрушение оказывает комплексный коэффициент интенсивности К\ — гКц [102].

В параграфе 1.6 рассмотрен случай двоякосимметричного выреза, наиболее адекватно моделирующего симметричную трещину с плавно смыкающимися берегами. Соответствующая задача для бесконечной плоскости с таким вырезом в общем случае решена в параграфе 1.2.2. Рассмотрены различные случаи напряжений в такой области. Получены комплексные коэффициенты интенсивности напряжений в каспе, направление и условие роста трещины из каспа в случае растяжения. Приведены графики зависимостей направления начального роста трещины из каспа и величины предельного напряжения от направления растяжения плоскости. Полученные зависимости практически совпадают с соответствующими зависимостями для прямолинейного разреза [72]. Это свидетельствует о том, что направление и предельное напряжение, необходимое для роста трещины из каспа, практически не зависят от степени "раскрытия" прямой трещины, и значит применение прямолинейного разреза для моделирования прямых трещин вполне оправдано. Такое свойство симметричных вырезов с каспами, хотя и полученных с помощью отображающих функций, отличных от рассмотренных в диссертации, — обеспечивающих меньшее раскрытие выреза или содержащих большее количество каспов, — было отмечено в [42],[20].

В параграфе 1.7.1 указан общий способ определения начального направления роста трещины из каспа для случая, когда соответствующая область является И-областыо. Полученная формула применяется в параграфе 1.7.2 для нахождения зависимости направлений начального роста трещин из каспов от направления растяжения и от формы области для семейств областей двух типов — бесконечных областей с каплеобразными и с 5-образными вырезами. Графики направлений начального роста трещины в зависимости от направления растяжения плоскости с соответствующим вырезом показывают, как направления начального роста трещины меняются, когда вырез деформируется. Это доказывает, в частности, что в качестве модели изогнутой трещины при Б-образном изгибе или выреза с одним каспом при достаточно большом раскрытии выреза нельзя брать разрезы по отрезку прямой.

Последние два параграфа первой главы посвящены изучению возможности применения аналитических функций для моделирования роста полостей в вязких телах. В случае вязкого тела компоненты тензора напряжений, как и в случае упругих тел в [62], выражаются через те же аналитические функции — комплексные потенциалы, которые участвуют в краевых условиях вида (1) для основных задач плоской теории упругости ([102]). В монографии [102] указана возможность применения однопараметрического семейства последовательно вложенных бесконечных областей для моделирования процесса роста внутренних полостей в вязких телах. Очевидно, что такие последовательно вложенные друг в друга области обязаны быть однолистными. Достаточное условие однолистности таких семейств с использованием цепей подчинения получено в параграфе 1.8.1. В параграфе 1.8.2 построен пример того, как с ростом параметра круговая полость в вязком теле при длительном воздействии на границу превращается в полость с граничным каспом. Построено семейство отображающих функций, соответствующее семейству последовательно вложенных друг в друга бесконечных однолистных областей. Для такого семейства комплексные потенциалы определяются из соотношения вида (1) на границе движущейся полости. Теперь, выражая вектор граничных напряжений через найденные комплексные потенциалы, можно найти, как должны изменяться напряжения на границе полости, чтобы был обеспечен такой ее рост, который приводил бы от полости с гладкой границей к полости с граничным каспом.

Вторая глава диссертации посвящена граничным задачам теории упругости в трехмерных постановках. На связь между плоскими и пространственными задачами и на возможности использовать решения плоских задач для решения пространственных задач указывали ранее многие авторы. В основном, это касалось осесимметричных задач ([98],[71], [70],[29],[10],[11],[12],[13]). В монографии [14] решение трехмерной задачи методом интегральных наложений сводится к использованию комплексных потенциалов для плоских задач в сечениях тела плоскостями, меняющихся поворотами. В настоящей диссертации предложены новые применения комплексных переменных в приложениях к решению задач в трехмерной постановке.

Первый шаг к применению основных задач плоской теории упругости к задачам в трехмерной постановке делается в параграфах 2.1.1 - 2.1.6. Здесь ставятся и решаются трехмерные задачи, аналогичные основным задачам плоской теории упругости для тонких покрытий плоских областей, то есть оболочек, одной из внешних поверхностей которых является плоскость г — 0, и для тонких оболочек, симметричных относительно срединной плоскости 5 = 0. Сначала рассматриваются постановки задач для покрытий. То, что эти трехмерные тела имеют малую толщину, позволяет предполагать, что компоненты вектора смещений в этих телах линейно зависят от соответствующей координаты х. Благодаря этому предположению получаем, что уравнения равновесия превращаются в линейные уравнения относительно г. Сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, придем к соотношениям, позволяющим ввести аппарат аналитических функций. Ставятся задачи восстановления введенных комплексных потенциалов по заданным на границе плоских областей и на кромках поверхностей над ними значений смещений или напряжений. Задачи, решаемые в этих параграфах, продолжают идеи, изложенные в [103] в связи с применением аналитических функций к задачам для пластин, симметричных относительно срединной плоскости.

В параграфе 2.1.1 для случая покрытий вводятся комплексные потенциалы - три аналитические функции, устанавливаются их связи с напряжениями и смещениями. В параграфе 2.1.2 приводятся различные постановки аналогов основных задач плоской теории упругости для тонких покрытий конечных односвязных плоских областей, находятся условия разрешимости таких задач и указывается способ решения. Пример решения для случая конечной Я-области, то есть образа единичного круга при действии дробно-рациональной функции, приведен в параграфе 2.1.3. В параграфе 2.1.4 подобные задачи ставятся в случае, когда области являются бесконечными. ■

Следующие два параграфа посвящены решению трехмерных задач для тонких оболочек, симметричных относительно срединной плоскости ¿ = 0, подвергнутых симметричным относительно срединной плоскости деформациям. Введение аппарата комплексных переменных и аналитических функций для таких оболочек впервые было осуществлено в [103]. Предположения относительно зависимости компонент вектора смещений от г здесь являются более жесткими, чем в случае покрытий: первые две координаты вектора смещений зависят только от координат точки срединной плоскости, а третья координата пропорциональна расстоянию до срединной плоскости. Здесь аналитические функции применяются при более жестких ограничениях, чем в случае покрытий. В параграфе 2.1.5 ставятся задачи как для конечной, так и для бесконечной области на срединной плоскости, указывается метод их решения. В параграфе 2.1.6 указан способ получения точного решения для случая, когда область является бесконечной 11-областыо. Приведен пример решения задачи для бесконечной двоякосимметричной области с двумя граничными каспами. Заметим, что рассмотренные в данной главе задачи могут применяться в задачах определения напряжений в многослойных телах для мягких упругих слоев и в исследованиях проблем разрушения покрытий.

В остальных параграфах второй главы находятся интерполяционные решения основных граничных задач теории упругости в случае цилиндрических тел. Известно [62], что первая и вторая граничные задачи теории упругости в трехмерной постановке - когда задаются напряжения или смещения на поверхности трехмерного тела и требуется определить напряжения или смещения в любой внутренней точке тела - имеют единственное решение при условиях достаточной гладкости поверхности тела. В случае первой задачи для разрешимости требуется удовлетворить условиям равенства нулю главного вектора и главного момента внешних напряжений. Построение решений этих задач сводится даже при сравнительно простых краевых условиях и канонических телах к интегральным уравнениям, обычно решаемым приближенно.

Суть интерполяционного решения задач заключается в том, что напряжения или смещения задаются не на всей поверхности цилиндра, а только на конечном числе кривых, лежащих на цилиндрической поверхности, что более соответствует реальным условиям, чем задание напряжений или смещений во всех точках цилиндрической поверхности. Специальное представление смещений позволяет свести задачу к набору плоских задач. При этом, если такие плоские задачи имеют точное решение, мы получим в результате решения смещения или напряжения, в точности совпадающие с заданными на заданных кривых, и интерполирующие смещения и напряжения в остальных точках цилиндрической поверхности. Очевидно, что такая задача имеет бесчисленное множество решений, так как в остальных точках поверхности тела граничные данные не задаются. Однако при достаточно плотном покрытии боковой поверхности замкнутыми кривыми, проходящими через узлы достаточно хороших полиномиальных приближений компонент смещений на соответствующих отрезках, задание смещений или напряжений на этих кривых может достаточно точно моделировать задание смещений или напряжений на всей боковой поверхности. При этом точное частное решение задачи будет адекватно решению соответствующей граничной задачи в трехмерной постановке во внутренних точках цилиндрического тела, удаленных от его торцов.

В соответствии с количеством замкнутых кривых, на которых задаются смещения при решении первой основной задачи, каждая координата вектора смещений ищется в виде полинома соответствующей степени по степеням г (параграф 2.2.1). При этом уравнения равновесия будут представлять собой уравнения с полиномами по степеням г в левой части и нулем в правой части. Уравнения равновесия будут выполняться, если приравнять нулю каждый из коэффициентов полинома. .Поскольку интерполяционное решение представляет собой полином по степеням г, то возникает вопрос о способе выбора "узлов интерполяции", то есть о выборе системы кривых, на которых задаются граничные смещения для того, чтобы интерполяция напряжений и смещений была оптимальной. В силу обширности этого вопроса в данной диссертации он не рассматривается. Можно, например, предположить, что кривые, на которых задаются смещения, проходят через чебышевские узлы интерполяции для полинома степени п.

Построение интерполяционного решения второй основной задачи теории упругости в трехмерной постановке в параграфе 2.2.2 сводится к последовательным решениям краевых задач с граничным условием вида (1) для аналитических функций. При этом меняются лишь правые части в краевых условиях с использованием полученных ранее функций, так что схема решения может быть запрограммирована для практического использования. Кроме того, схема решения задачи со сдвигами на (п+1) уровне может быть использовано для построения соответствующих сплайнов.

В случае, когда ортогональным сечением цилиндрического тела является конечная Я-область, любая из получаемых на каждом этапе краевых задач, а следовательно, и сама поставленная задача имеют точное решение. Точность интерполяционного решения задачи, удовлетворяющего уравнениям равновесия во всех точках цилиндроида, понимается в смысле совпадения заданных смещений со смещениями, полученными в результате решения, в заданных точках поверхности. В качестве примера приведено решение задачи для кругового цилиндра с заданием вектора смещений на трех уровнях боковой поверхности — когда цилиндр сжат и изогнут (параграф 2.2.3).

В параграфах 2.2.4 и 2.2.5 ставится и решается аналогичная задача при задании на замкнутых кривых векторов напряжений. Схема решения является той же, но вследствие возникающих на каждом этапе условий разрешимости приходится накладывать дополнительные условия на задаваемые функции.

В параграфе 2.2.6 обсуждается возможность решения интерполяционной задачи в случае бесконечного цилиндрического тела конечной высоты — бесконечного пласта с цилиндрическим вырезом. В отличие от плоской задачи здесь не удается найти решения, для которого все компоненты тензора напряжений в бесконечности были бы ограниченными. В качестве примера рассмотрено решение задачи для бесконечного пласта с прямолинейной щелью по всей толщине.

Следующие три параграфа диссертации являются аналогом параграфов 2.2.1 - 2.2.3, только для кругового полого цилиндра. В этом случае помимо смещений на (п 4- 1)-м уровне внешней цилиндрической поверхности дополнительно на внутренней поверхности задаются постоянное давление и условие скольжения. Компоненты вектора смещений также ищутся в виде полиномов относительно соответствующей координаты (параграф 2.3.1). В параграфе 2.3.2 для определения коэффициентов полиномов последовательно решаются краевые задачи с граничным условием вида (1) в кольце. Решение краевых задач, в свою очередь, сведено к решению линейных систем относительно коэффициентов разложения искомых функций в ряды Лорана. В качестве примера в параграфе 2.3.3 найдено точное решение задачи со смещениями, параллельными осям координат, на трех уровнях — полый цилиндр сжат и изогнут.

В параграфе 2.4 обсуждается возможность изменения краевых условий при построении интерполяционных решений трехмерных задач с иллюстрацией примерами. В частности, решается вспомогательная задача для изменения условий предыдущей задачи для полого цилиндра: дополнительно к сжатию и изгибу вводится обжатие на двух уровнях. Кроме того, рассмотрена возможность решения интерполяционной задачи при задании смещений в конечном числе точек на торцах цилиндроида.

В параграфе 2.5 указывается способ построения сплайн-интерполяционных решений трехмерных задач для цельного цилиндроида и для полого кругового цилиндра на основе интерполяционных решений этих задач.

Третья глава посвящена решениям краевых и обратных краевых задач для аналитических функций и их обобщений — решений уравнений эллиптического типа. В параграфах 3.1.1 - 3.1.4 проведено исследование возможности обобщения постановки внутренней обратной краевой задачи по параметру s. Такая задача была впервые поставлена и решена — с применением вспомогательного конформного отображения — в работе [66]. Интерес к обратным краевым задачам возник в Казанском университете в связи с замечательными приложениями этих задач к задачам механики. Обратные краевые задачи возникли вначале как гидромеханические задачи, связанные с проблемой построения профилей по заданному вдоль них распределению скоростей [92]. Параллельно с большим количеством прикладных задач решались и теоретические вопросы, связанные с постановкой и обобщением основной обратной краевой задачи — задачи восстановления аналитической функции и области ее задания по краевым значениям функции в терминах определенного параметра, главным образом, дуговой абсциссы s искомого контура. Традиционная схема решения внутренней обратной краевой задачи такова: производится вспомогательное конформное отображение единичного круга Е = {CllCl < 1} на известную область Dw в плоскости значений искомой функции w = f(z), в результате сравнения граничных параметров определяется зависимость s = s(0), и граничные значения Re lnz'(() = \nds/d9 используются для восстановления аналитической в Е функции z((), отображающей Е на неизвестную область Dz. Далее функция w = f(z) восстанавливается в Dz в случае однолистности последней по граничным значениям с использованием интегральной формулы Коши.

Ф.Д.Гаховым [26] был указан наиболее широкий класс исходных данных, обеспечивающих разрешимость внутренней обратной краевой задачи. С.Н.Андрианов[16] указал на то, что наряду с решением, названным им фундаментальным и обладающим тем свойством, что w = f(z) непрерывна в Dz вместе со своей производной, существует еще совокупность решений, названная общим решением. Дополнительные решения появляются вследствие того, что при восстановлении функции z'(() в

Е, согласно теореме В.И.Смирнова, имеет место представление

2т

If dse* + C 1 Л е^+С ,. 2 (С) = е exp-J ln--^exp-^ -^#(0), о где г/>(0) — произвольная сингулярная невозрастающая функция, и фундаментальное решения соответствует случаю ф(в) = const.

Особый интерес вызывает постановка задачи, при которой обеспечивается появление угловых точек на известном и на искомом контурах. Наиболее полное исследование представления исходных функций в таких случаях было проведено в работе [28].

В первых четырех параграфах третьей главы строится решение внутренней обратной краевой задачи по параметру s без применения вспомогательного отображения на единичный круг. В параграфе 3.1.1 решение задачи сводится к решению. интегрального уравнения в случае, когда исходные функции u(s) и v(s) — вещественная и мнимая части граничных значений искомой аналитической функции — облада-,. ют гельдеровыми производными. При таких ограничениях получается фундаментальное в смысле Андрианова решение и именно этот класс исходных данных использовался в работах основоположников обратных краевых задач [91]. Поэтому такая постановка задачи в диссертации названа классической. При этой постановке соответствующее интегральное уравнение решается в пространстве гельдеровых функций. В параграфе 3.1.2 рассмотрен случай, когда условия классической постановки нарушаются в конечном числе точек, что соответствует угловым точкам на искомом контуре. Сделав перепараметризацию известной кривой, удается свести решение задачи к решению интегрального уравнения в том же пространстве гельдеровых функций. В параграфе 3.1.3 приведена обобщенная постановка внутренней обратной краевой задачи по параметру s. В отличие от классической постановки здесь производные функций и v(s) не являются непрерывными, а принадлежат подпространству функций, интегрируемых по Лебегу. Это значит, что вместо конкретных функций и'(з) и г/(я) мы рассматриваем совокупность функций, отличающихся от конкретных функций на множестве лебеговой меры ноль. Соответствующее решение уже не будет, вообще говоря, фундаментальным в смысле Андрианова. Здесь также проводится перепараметризация, и задача сводится к решению интегрального уравнения в пространстве функций, интегрируемых по Лебегу. При восстановлении аналитической функции по ее граничным значениям используются результаты Б.В.Хведелидзе [101] о свойствах интеграла типа Коши с плотностью из класса функций, интегрируемых по Лебегу. В параграфе 3.1.4 рассмотрен случай обобщенной постановки наряду с присутствием угловой точки на известном контуре. Решение такой задачи снова сводится к решению интегрального уравнения в пространстве функций, интегрируемых по Лебегу.

Параграфы 3.2.1 - 3.2.5 настоящей диссертации посвящены исследованию корректности постановок обратных краевых задач по параметру 5. Термин "корректность" в применении к внутренним обратным краевым задачам по параметру й означает простоту границы Г2 искомой ограниченной области действия неизвестной аналитической функции, заданной своими граничными значениями ги(й), где параметр 5 — дуговая абсцисса неизвестного контура. Помимо того, что однолистность искомой области необходима для реализации решений задач механики, именно в случае однолистности области Вг возможно восстановление искомой аналитической функции т = ги(г) с помощью интегральной формулы Коши. Достаточных условий однолистности в различных формах получено очень много. В [4] приведен обзор достаточных условий однолистности решений внутренних обратных краевых задач. Однако, большая часть имеющихся результатов связана со вспомогательным отображением на единичный круг и представляет собой ограничения, обеспечивающие однолистность отображения единичного круга на искомую область (слабая проблема однолистности). Так, достаточные условия почти-выпуклости в рамках слабой проблемы однолистности были получены в работах [3],[47],[5],[6],[48],[3],[56]. Более перспективной является задача получения достаточных условий однолистности Д* в виде ограничений на исходную функцию ги(з) = и(в) + гу(з), называемая сильной проблемой однолистности [4]. Результаты такого типа получены, например, в [1],[9],[57].

Достаточные условия выпуклости и почти-выпуклости границы искомой области в рамках решения сильной проблемы однолистности получены в параграфах 3.2.1 - 3.2.4 диссертации. Результаты первых двух из указанных параграфов основаны на применении оценки Три-коми [90] разности решений данного интегрального уравнения и уравнения с измененным ядром. Используя полученное в параграфе 3.1.1 интегральное уравнение, изменяя его и получая решение измененного уравнения, мы находим оценки для характеристик искомой граничной кривой, обеспечивающие ее простоту.

Большую роль в решении обратной краевой задачи по параметру 5 играет то, что параметр — дуговая абсцисса искомой кривой. Перепараметризовав уравнение известного контура Гш = {ги = м^-Иг;^), 5 6 [0,/]}, мы получим новую задачу, приводящую к новой области Иг. В параграфах 3.2.3 и 3.2.4 получены достаточные условия однолистности решения соответствующих внутренних обратных краевых задач при перепараметризации заданной функции т^).

Внешняя обратная краевая задача при тех же граничных данных отличается от внутренней тем, что неизвестная область обязана содержать бесконечно удаленную точку. Следовательно, если решать задачу с помощью вспомогательного конформного отображения на единичный круг, мы должны обеспечить существование простого полюса у функции в круге Е. В [26] было получено уравнение, называемое теперь уравнением Гахова, для нахождения полюса. Разрешимость этого уравнения была исследована и доказана в [26]. Для того, чтобы обеспечить единственность решения внешней обратной краевой задачи, достаточно обеспечить единственность корня уравнения Гахова. Можно, как и в. случае исследования однолистности, получать достаточные условия единственности внешней обратной краевой задачи по параметру в в виде ограничений на функцию, отображающую каноническую область на искомую область, то есть, уже получив решение. Такие достаточные условия однолистности найдены, например, в [8],[49]. Более перспективным представляется получение достаточных условий единственности внешней обратной краевой задачи в виде ограничений на исходную функцию Подобное условие найдено в параграфе 3.2.5.

Параграфы 3.3.1 - 3.3.4 настоящей диссертации посвящены решению краевых и обратных краевых задач для функций из более широкого класса, чем аналитические функции — удовлетворяющих уравнению эллиптического типа = А(*)£ + Л(*),*е А (2) где |А(,г)| < Е И. Производные в уравнении (2) являются обобщенными производными в смысле Соболева. Очевидно, что аналитические функции удовлетворяют такому уравнению с Х(г) = = 0. В случае Н{г) = 0 уравнение (2) является уравнением Бельтрами, и его решения осуществляют квазиконформное отображение области И. Основные результаты, связанные с решениями уравнения (2) и краевыми задачами для таких функций, приведены в [15],[22],[23],[60]. Основным аппаратом для решения краевых задач для функций, удовлетворяющих уравнению (2), является интегральный оператор вида тмЧ//^, (3) и его модификации для конкретных областей. Функции, удовлетворяющие эллиптическим уравнениям, являются естественным обобщением аналитических функций и имеют приложения в физических задачах, например, когда от однородных сред переходят к неоднородным, от несжимаемой идеальной жидкости — к дозвуковому обтеканию.

Основой для решения обратных краевых задач для аналитических функций является краевая задача Шварца. В параграфе 3.3.1 найдено решение задачи Шварца для функций, удовлетворяющих уравнению (2). Задача решается как в области с гладкой границей, так и в области с граничной угловой точкой. В следующем параграфе (3.3.2) с использованием решения задачи Шварца ставятся и решаются обратные краевые задачи в классической и обобщенной постановках для функции ии = ь)(г), удовлетворяющих уравнению Бельтрами

А (т^ии';,.

Параграфы 3.3.3 и 3.3.4 посвящены решению смешанной краевой задачи в полуполосе для функции, удовлетворяющей уравнению (2). При этом вводится не применявшееся ранее новое подпространство функций, интегрируемых по Лебегу в полуполосе. Для решения вводится и используется новый оператор Т с особенностью типа особенности оператора Т из (3). Реализуются различные условия на поведение искомой функции в окрестности бесконечно удаленной точки.

В четвертой главе диссертации рассмотрены задачи гидромеханики, решение которых сводится к решению плоских краевых задач. Методы решения краевых задач для функций, удовлетворяющих эллиптическому уравнению применяются для решения обратных задач фильтрации в неоднородном грунте. Аналитические функции широко применяются для определения давления и скорости фильтрующейся жидкости, когда грунт однородный ([77],[46],[79]). Однако в реальных условиях грунт редко бывает однородным. В случае неоднородного грунта в законе фильтрации коэффициент уже не будет постоянным, и условия Коши-Римана заменяются на эллиптическое уравнение [46]. Обратные задачи теории фильтрации, то есть задачи определения подземного профиля гидротехнических сооружений, были поставлены и решены для случая однородного грунта [67]. В настоящей диссертации предложен метод аналитического решения подобных задач для неоднородного грунта.

Параграф 4.1 посвящен описанию постановки и способа решения задачи построения подземного контура по заданной вдоль него эпюре фильтрационного давления для бесконечного неоднородного водонепроницаемого слоя. Для случая однородного грунта такая задача была поставлена и решена в монографии [67]. Решение, полученное в [67], представляет собой однопараметрическое семейство функций. Изменяя параметр, можно изменять заглубление флютбёта.

Схема решения для неоднородного грунта, приведенная в параграфе 4.1, примерно та же, что и для однородного грунта, хотя в качестве канонической области здесь выбрана полуполоса и использованы решения задач из параграфов 3.3.3 и 3.3.4 предыдущей главы. Существенной особенностью данного решения является итерационный процесс, обусловленный тем, что коэффициент эллиптического уравнения зависит от искомой функции. Для каждой итерации решается смешанная краевая задача в полуполосе. При этом для каждой итерации выбираются значения параметра, при которых получаемый при итерации контур лежит ниже вещественной оси.

В параграфе 4.2.1 дана новая интерпретация построения квазирешения задачи построения подземного контура по заданной вдоль него скорости для однородного грунта. Для разрешимости такой задачи приходится вводить дополнительное ограничение на заданную функцию для того, чтобы начальная и конечная точки контура оказались на уровне, задаваемом прямолинейными границами верхнего и нижнего бьефов. [67]. Предложенный в параграфе 4.2.1 способ изменения исходных данных является способом перепараметризации граничных значений потенциальной функции. В следующем параграфе (4.2.2) такой метод изменения исходных данных является основой для построения квазирешений подобной задачи в случае неоднородного грунта. Предложен способ построения итераций на основе решенных в параграфах 3.3.3 и 3.3.4 задач.

В трех следующих параграфах (4.3.1 - 4.3.3) приведена модификация метода решения задачи о шпунте Жуковского [77] с учетом неоднородности грунта. Здесь также в качестве канонической области использована полуполоса , что позволяет применять для решения вспомогательных краевых задач оператор Т, исследованный в третьей главе, а также N его модификацию — оператор Т. Задача о шпунте Жуковского так же, как и задача из параграфа 4.1, решается методом итераций. Проведено исследование сходимости итерационного процесса.

Последние три параграфа четвертой главы посвящены двум интерполяционным задачам, связанным с течением вязкой жидкости с малым числом Рейнольдса. Известно [84], что в этом случае уравнения Навье-Стокса заменяются на приближенные уравнения Стокса. Следовательно, так же, как и в первых двух главах, можно, представляя решение с известными граничными значениями в отдельные моменты времени (нестационарная задача) или на отдельных уровнях (стационарная задача для цилиндра) в виде полинома, свести задачу с тремя переменными к конечному числу плоских задач для двух аналитических функций с граничным условием вида (1). В этих интерполяционных задачах возможно точное решение соответствующих краевых задач на каждом этапе в том случае, когда соответствующие области являются Д-областями. Задачи для течения вязкой жидкости с малым числом Рейнольдса могут найти применение при изучении процессов, связанных с нанотехнологиями. Кроме того, интерполяционное решение задачи для приближенных уравнений Стокса может служить начальной итерацией при построении интерполяционных решений уравнений Навье-Стокса.

Предложенные в диссертации интерполяционные и итерационные методы решения задач теории упругости и гидромеханики являются теоретической основой для создания комплексов программ, осуществляющих численное решение указанных задач. Приведенные оценки ошибок интерполирования и найденные условия сжимаемости отображения при итерациях позволят получать численные решения, адекватные аналитическим.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Широкова, Елена Александровна, 2006 год

1. Авхадиев Ф.Г. К слабой и сильной проблемам однолистности в обратных краевых задачах/ Ф.Г. Авхадиев// Тр.семин.по краевым задачам, вып 10: сб.ст./ Изд. КГУ. - Казань, 1973. - С. 3-10.

2. Авхадиев Ф.Г. Конформные отображения и краевые задачи/ Ф.Г. Авхадиев. Казань.: Изд. Казанск.фонд "Математика", 1996. - 216 с.

3. Авхадиев Ф.Г. Применение почти-выпуклых функций к обратным краевым задачам/ Ф.Г. Авхадиев, В.Н. Гайдук// Изв.вузов. Математика. 1968. - N 6. - С. 3-10.

4. Авхадиев Ф.Г. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций/ Ф.Г. Авхадиев, Л.А. Аксентьев// Успехи мат.н. 1975. - Т.ЗО. - В. 4. - С.3-60.

5. Аксентьев Л.А. Условия однолистности решения основных обратных краевых задач// Успехи мат.н. 1960. - Т.15. - В.6. - С. 119-124.

6. Аксентьев Л.А. Геометрические вопросы в обратных краевых задачах/ Л.А. Аксентьев// Тр.семин.по краевым задачам, вып.1: сб.ст./ Изд. КГУ. Казань, 1964. - С. 14-18.

7. Аксентьев Л.А. Связь внешней обратной краевой задачи с внутренним радиусом области// Изв.вузов. Математика. 1984. - N 2. - С. 3-11.

8. Аксентьев Л.А. О единственности решения внешней обратной краевой задачи/ Л.А. Аксентьев, Ю.Е. Хохлов, Е.А. Широкова// Мат.зам.- 1978. Т.24. - N 3. - С. 319-330.

9. Аксентьев JI.A. Условия однолистности с квазиконформным продолжением и их применение/ JI.A. Аксентьев, П.Л. Шабалин// Изв.вузов. Математика. 1983. - N 2. - С. 6-14.

10. Александров А.Я. Некоторые соответствия между функциями напряжений осесимметричной и плоской задач теории упругости и решение осесимметричной задачи для бесконечного полого тяжелого конуса// Изв.СО АН СССР 1962. - N 2. - С. 15-24.

11. Alexandrov A.Y. Solution of three-dimentional problems of the theory of elasticity for solids of revolution by means of analytical functions// Int.J.Solids Structures. 1968. - V.4 - P. 701-721.

12. Александров А.Я. Пространственные задачи теории упругости. Применение методов теории функций комплексного переменного/ А.Я. Александров, Ю.И. Соловьев. М.: Наука, 1978. - 464 с.

13. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям/ Л. Аль-форс. М.: Мир, 1969. - 133 с.

14. Андрианов С.Н. О существовании и числе решений обратной краевой задачи теории аналитических функций// Уч. зап. Казанск. ун-та.- 1953. Т.113. - Кн.10. - С. 21-30.

15. Баренблатт Г.И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении. Осесимметрические трещины// Прикл.матем.и мех-ка. 1959. - Т.23. - В.З. - С. 434-444.

16. Баренблатт Г.И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении. Прямолинейные трещины в плоских пластинках//

17. Ляв А. Математическая теория упругости/ А. Ляв. М.-Л.: ОНТИ, 1935.- 674 с.

18. Майер Ф.Ф. Подчинение в некоторых классах аналитических функций и его применение/Ф.Ф. Майер// Тр.семин.по краевым задачам, вып. 24: сб!ст./ Изд.КГУ. Казань, 1990. - С.144-152.

19. Майер Ф.Ф. К сильной проблеме однолистности решения внутренней обратной краевой задачи/ Ф.Ф. Майер, М.А. Севодин// Изв.вузов. Математика. 1985. - N 3. - С. 44-51.

20. Mangier W. Die Berechnung eines Tragfliigelprofiles mit vorgeschriebener Druckverteilung// Jahrb.Dtsch.Luftfahrtforschung. 1938. - N 1. - P.46-53.

21. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин/ Н.Ф. Морозов. М.: Наука, 1984. - 255 с.

22. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений/ В.Н. Монахов. Новосибирск: Наука, 1977.-424 с.

23. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения/ Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1968. - 512 с.

24. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости/ Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1966. - 707 с.

25. Насыров P.M. Сходимость приближенного метода С. А. Христиа-новича решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения/ P.M. Насыров, С.Р. Насыров// Изв.вузов. Математика. 1987. - N 3. - С. 60-67.

26. Натансон И.П. Основы теории функций вещественной переменной/ И.П. Натансон. Л.: Изд.ЛГУ, 1941. - 294 с.

27. Новацкий В. Теория упругости/ В. Новацкий. М.: Мир, 1975. -872 с.

28. Нужин. М.Т. О некоторых обратных краевых задачах и их применении к определению формы сечений скручиваемых стержней// Уч. зап. Казанск. ун-та. 1949. - Т.109. - Кн.1. - С. 97-120.

29. Нужин М.Т. Методы построения подземного контура гидротехнических сооружений/ М.Т. Нужин, Н.Б. Ильинский. Казань: Изд-во КГУ, 1963. - 139 с.

30. Paatero V. Uber die konforme Abbildung von Gebieten, deren Ränder von beschränkter Drehung sind, Akad.abh.,Helsinki, 1931

31. Панасюк B.B. Некоторые пространственные задачи теории равновесия хрупких тел, имеющих трещины/ В.В. Панасюк// Вопр. мех. ре-альн. тв. тела. Вып.2: сб.ст./ Киев: Наукова думка, 1964. С. 3-26.

32. Папкович П.Ф. К вопросу об аналогии между плоской задачей теории упругости и задачей о деформации, симметричной относительно оси// Прикл.матем.и мех-ка. 1939. - Т.З. - Вып.З. - С. 45-66.

33. Pöschl Th. Zur Theorie des Druckversuchs für zylindrische Köper// Z. ang. Math. Mech. -1927. Bd.7. - H.6. - P. 424-425.

34. Панасюк B.B. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами/ В.В. Панасюк. Киев: Наукова думка, 1968. - 246 с.

35. Панасюк В.В. Коэффициенты интенсивности и распределение напряжений около остроугольных упругих включений/ В.В. Панасюк, J1.T. Бережницкий, В.М. Садивский// ДАН СССР. 1977. - 232. - N 2. - С. 304-307.

36. Панасюк В.В. Распределение напряжений около дефектов типа жестких остроугольных включений/ В.В. Панасюк, JI.T. Бережницкий, И.И. Труш// Пробл. прочн. 1972. - N 7. - С. 3-9.

37. Papadopoulos G.A. Crack initiation under biaxial loading// Eng. Fract. Mech. 1988. - V.29. - N 5. - P. 585-598.

38. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений/ И.Г. Петровский. М.: Наука, 1965. - 127 с.

39. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод/ П.Я. Полубаринова-Кочина. М.: Наука, 1977. - 664 с.

40. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций/ И.И. Привалов. М.-Л.: ГИТТИ, , 1950. - 336с.

41. Радыгин В.М. Применение функций комплексного переменного взадачах физики и техники/ В.М. Радыгин, О.В. Голубева. М.: Высшая школа, 1983. - 160 с.

42. Савин Г.Н. Концентрация напряжений около отверстий/ Г.Н. Савин. М.-Л.: ГИТТИ, 1951. - 496 с.

43. Савин Г.Н. Развитие исследований по теории предельного равновесия хрупких тел с трещинами/ Г.Н. Савин, В.В. Панасюк// Прикл. мех-ка. 1968. - 4. - N 1. - С. 3-24.

44. Саврук М.П. О плоской задаче термоупругости для тела с термоизолированными трещинами// Физ-хим. мех. мат-в. 1975. - Т.Н. - N 3. - С. 110-112.

45. Седов Л.И. Механика сплошной среды. В 2 т. Т.2/ Л.И. Седов. М.: Наука, 1984. - 560 с.

46. Слезкин H.A. Динамика вязкой несжимаемой жидкости/ H.A. Слез-кин. М.: ГИТТЛ, 1955. - 520 с.

47. Стечкин C.B. Сплайны в вычислительной математике/ C.B. Стеч-кин, Ю.Н. Субботин. М: Наука, 1976. - 248 с.

48. Stroh A.N. The formation of cracks as a result of plastic flow, 1// Proc. Royal Soc. 1954. - A223. - P. 404-414.

49. Stroh A.N. The formation of cracks as a result of plastic flow, 11// Proc. Royal Soc. 1954. - A223. - P. 548-560.

50. Тимошенко С.П. Теория упругости/ С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер.- М.: Наука, 1979. 560 с.

51. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики/ А.Н. Тихонов, A.A. Самарский. М.: Наука, 1977. - 736 с.

52. Трикоми Ф. Интегральные уравнения/ Ф. Трикоми. М.: ИЛ, 1960.- 300 с.

53. Тумашев Г.Г. Обратные краевые задачи и их приложения/ Г.Г. Ту-машев, М.Т. Нужин. Казань: Изд. Казанск.ун-та, 1965. - 333 с.

54. Тумашев Г.Г. Нахождение формы профиля по заданному распределению скорости с учетом сжимаемости жидкости// Изв. Казанск. физ.-мат. об-ва при КГУ. 1945. - Т.13. - Сер.З. - С. 127-132.

55. Wand J.-H. Near crack line elastic-plastic analysis for a infinite plate loaded by two pairs of point tesile forces/ J.-H. Wand, X.-P. Zhou// Mech. Res.Com. 2004. - V.31. - N.4. - P. 415-420.

56. Williams M.L. On the stress distribution at the base of a stationary crack// J. Appl.Mech. 1957. - V.24. - N 1. - P. 109-114.

57. Wu C.H. The contact of a cuspidal crack// J. Appl.Mech. -1982. V.49. -P. 525-530.

58. Wu C.H. Unconventional internal cracks. P.l. Symmetric variation of a straight crack// J.Appl.Mech. 1982. - V.49. - P. 62-68.

59. Wu C.H. Unconventional internal cracks. P.2. Method of generating simple cracks// J.Appl.Mech. 1982. - V.49. - P. 383-388.

60. Феппль А. Сила и деформация. В 2 т. Т.2/ А. Феппль, JI. Феппль.- М.-Л.: ОНТИ, 1936. 408 с.

61. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т.З/ Г.М. Фихтенгольц. М.:Наука, 1966. - 656 с.

62. Xiao Z.M. Stress analysis for a Zener-Stroh crack interacting with a coated inclusion/ Z.M. Xiao, B.J. Chen// Int.J.Solids Structures. 2001. -V.38. - P. 5007-5018. .

63. Хведелидзе Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные уравнения и некоторые их приложения// Тр. Матем. ин-та АН Груз.ССР. 1956. - Т.23. - С. 3-158.

64. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения/ Г.П. Черепанов.- М.: Наука, 1974. 640 с.

65. Шарафутдинов Г.З. Применение функций комплексного переменного к некоторым пространственным задачам теории упругости// Прикл. матем.и мех-ка. 2000 - Т.64. - Вып.4. - С. 659-669.

66. Yang О. Relationship between refined Griffith criterion and power laws for cracking/ O. Yang, L.G. Tham, G. Swoboda// Mech.Res.Com. 2004.- V.31. N 4. - P. 429-434.

67. Яськевич T.P. Предельное равновесие полуплоскости с боковым надрезом// Физ-хим. мех. мат-в. 1975. - Т.Н. - N 3. - С. 112-114.