Аналитические алгоритмы усреднения оптических характеристик ансамблей несферических частиц тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Шмидт, Владимир Андреевич

• Шмидт, Владимир Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шмидт, Владимир Андреевич

Введение.

Глава 1. Дифракция электромагнитного излучения несферической частицей.

1.1 .Постановка задачи.

1.2.Обзор современных строгих методов решения задачи дифракции.

1.2.1. Дифференциальные методы.

1.2.2.Интегральные методы.

1.3 .Метод Т-матриц.

1.3.1.Разложение плоской волны в ряды по векторным сферическим функциям.

1.3.2.Вращение системы координат.

1.3.3.Соотношения симметрии.

1.4.Оптические характеристики.

1.4.1. Сечения ослабления, рассеяния, поглощения.

1.4.2.LP и CP-представления электрического поля.

1.4.3. Амплитудная матрица рассеяния.

1.4.4.Матрица Мюллера и матрица рассеяния.

1.5.Выводы.

Глава 2. Аналитические алгоритмы ориентационного усреднения оптических характеристик ансамблей несферических частиц.

2.1 .Амплитудная матрица рассеяния ориентированной частицы.

2.2.Матрица рассеяния ансамбля частиц.

2.2.1.Коэффициенты разложения элементов матрицы рассеяния в ряды по обобщенным сферическим функциям.

2.2.2.Хаотически ориентированные частицы, не обладающие осевой симметрией.

2.2.3.Хаотически ориентированные гексагональные цилиндры.

2.2.4.Хаотически ориентированные осесимметричные частицы.

2.2.5.Сферические частицы.

2.3.Потоки рассеянного излучения в произвольных конических телесных углах.

2.4.Методика расчета.

2.5.Результаты расчетов.

2.6.Вывод ы.

Глава 3. Оптическая классификация ансамблей несферических частиц.

3.1.Классификация ансамблей полидисперсных сферических частиц. 62 3.2.Оптическая эквивалентность в приближении Рэлея - Ганса

Дебая.

3.3.Оптическая классификация изотропных ансамблей частиц.

3.3.1.Коэффициенты ослабления.

3.3.2.Элементы матрицы рассеяния.

3.3.3.Результаты расчетов.

3.4.Оптическая классификация ансамблей ориентированных частиц. 82 3.5. Обсуждения и выводы.

Глава 4. Определение ориентационной структуры ансамбля по матрице обратного рассеяния.

4.1 .Матрица обратного рассеяния.

4.2.Горизонтально ориентированные частицы.

4.2.1.5 = 0.

4.2.2.Наклонное падение 3 > 0.

4.3.Трехмерный случай ориентационной структуры.

4.3.1.<9 = 0.

4.3.2.Наклонное падение 5>0.

4.4. Обсуждение и выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитические алгоритмы усреднения оптических характеристик ансамблей несферических частиц»

Рассеяние и поглощение электромагнитного излучения частицами используется во многих областях науки и техники как важный источник информации о свойствах частиц, их природе, а также о процессах происходящих, например, в атмосфере и океане [31,36].

Разработка методов количественной оценки оптических характеристик несферических частиц на основе точных методов является актуальной задачей оптики атмосферы и океана, а результаты расчетов на их основе могут служить в качестве эталонных, например, для проверки корректности приближенных решений. Эти методы также необходимы для установления связей (в ряде случаев функциональных) между оптическими характеристиками частиц и микроструктурой взвеси, что позволяет решать как прямые, так и обратные задачи оптики дисперсных сред.

Интерес к таким задачам обусловлен интенсивным развитием дистанционных методов, усовершенствованием техники прямых оптических измерений в атмосфере и океане, широким внедрением в практику биофизического эксперимента оптических методов. Исследование оптических свойств аэрозолей, гидрозолей, частиц биологического происхождения необходимое для понимания их роли в геосферно-биосферных процессах представляет собой сложную комплексную задачу. Результаты подобных исследований значимы для фундаментальных теорий климата, видимости, переноса излучения служат основой для разработки оптических методов экологического мониторинга окружающей среды [83].

Развитие существующих модельных представлений об оптических свойствах атмосферного аэрозоля, терригенной и биогенной составляющих океанской взвеси, биологических клеток с учетом их многообразия предполагает разработку данной проблемы в нескольких направлениях. 4

Во-первых, развитие точной теории дифракции электромагнитного излучения одиночными несферическими частицами

41,42,44,49,54,102,107,109], разработка и численная реализация алгоритмов оценки полной системы оптических характеристик одиночной частицы, наблюдаемых линейным квадратичным приемником.

Во-вторых, при исследовании взаимодействия электромагнитного излучения с ансамблем частиц в однократном рассеянии необходимо учитывать ориентационную структуру ансамбля частиц, в этом случае особую значимость имеют эффективные алгоритмы усреднения оптических характеристик. Согласно литературным источникам [78], одним из наиболее эффективных точных методов решения задачи дифракции является метод Т-матриц, разработанный Уотерменом [109]. Отличительной особенностью метода является возможность аналитического ориентационного усреднения оптических характеристик [63,79,87]. Для изотропного ансамбля хаотически ориентированных осесимметричных частиц (2D частицы) получено аналитическое разложение элементов матрицы рассеяния [79] в ряды по обобщенным сферическим функциям [8] и численно реализован алгоритм, исключающий процедуру численного интегрирования.

Для хаотически ориентированных частиц, не обладающих осевой симметрией (3D частицы) аналогичное решение отсутствует, авторами [43,111] используется трудоемкая процедура численного интегрирования по трем углам Эйлера.

В-третьих, необходимость решения обратных задач стимулирует исследования по оптической классификации ансамблей частиц [23,58], что позволяет свести решение ряда обратных задач к решению на классах эквивалентности.

Цель работы. Используя метод Т-матриц, разработать и численно реализовать эффективные алгоритмы аналитического ориентационного усреднения оптических характеристик ансамблей частиц, не обладающих осевой симметрией с последующим приложением результатов для а) проведения оптической классификации ансамблей частиц, б) оценки параметров ориентационной структуры ансамбля частиц по данным обратного рассеяния.

Научная новизна результатов и положения, выносимые на защиту.

1. Для хаотически ориентированных несферических частиц, не обладающих осевой симметрией (3D частицы) получено аналитическое разложение (в терминах элементов Т-матрицы) элементов матрицы рассеяния в ряды по обобщенным сферическим функциям, исключающее трудоемкую процедуру численного интегрирования оптических характеристик по трем углам Эйлера. Коэффициенты являются компактным и удобным способом хранения информации об оптических характеристиках частиц и могут быть многократно использованы в задачах однократного и многократного рассеяния. На основе аналитического разложения разработан и численно реализован комплекс эффективных программ расчета оптических характеристик - угловой зависимости элементов матрицы рассеяния, коэффициентов рассеяния, поглощения, ослабления. Для гексагональных цилиндров разработанный алгоритм по времени численной реализации на два порядка эффективнее существующих аналогов.

2. Основываясь на оптической эквивалентности изотропных ансамблей эллипсоидальных частиц в приближении Рэлея-Ганса-Дебая (РГД), проведена оптическая классификация ансамблей несферических частиц (в том числе ориентированных) по микроструктурным параметрам. Определены классы эквивалентности, в пределах которых элементы матрицы рассеяния имеют близкие значения. Оптическая классификация ансамблей несферических частиц позволяет свести решение ряда обратных задач к решению на классах эквивалентности.

3. Разработана методика оценки параметров ориентационной структуры осесимметричных частиц по данным обратного рассеяния. Для горизонтально ориентированных частиц получены оценки параметров, однозначно определяющих вклад ориентационной структуры в обратное рассеяние.

Практическая значимость. Диссертационное исследование имеет практическую направленность, а его результаты могут быть использованы при создании математического обеспечения специализированной аппаратуры оптического контроля дисперсных систем для решения задач экологического мониторинга атмосферных и водных объектов, идентификации частиц, информационного обеспечения работы лидарных и радарных систем.

Достоверность результатов. Обеспечивается корректным использованием методов теории дифракции электромагнитных волн частицами несферической формы, совпадением результатов численных расчетов с данными других авторов.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на X Рабочей группе "Аэрозоли Сибири" (Томск, 2003), X Юбилейном международном симпозиуме "Оптика атмосферы и океана. Физика атмосферы" (Томск, 2003), XI международном симпозиуме "Оптика атмосферы и океана. Физика атмосферы" (Томск, 2004), семинарах кафедры прикладной математики Красноярского государственного технического университета (Красноярск, 2004, 2005, 2006), XII Рабочей группе "Аэрозоли Сибири" (Томск, 2005), IX Международной конференции "Electromagnetic and Light Scattering by Nonspherical Particles" (Санкт-Петербург, 2006), XIII Рабочей группе "Аэрозоли Сибири" (Томск, 2006).

Публикации и личный вклад автора. По материалам диссертации опубликовано 13 работ, перечень которых приведен в конце диссертации. Результаты диссертации, сформулированные в защищаемых приложениях и выводах, отражают личный вклад автора в опубликованные работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, трех приложений и библиографии из 119 наименований. Работа изложена на 119 машинописных листах.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Шмидт, Владимир Андреевич

Основные результаты настоящей работы можно сформулировать следующим образом.

1. Получено аналитическое разложение элементов матрицы рассеяния хаотически ориентированных несферических 3D частиц в ряды по обобщенным сферическим функциям (в терминах элементов Т-матрицы), исключающие трудоемкую процедуру численного интегрирования по трем углам Эйлера. Коэффициенты являются компактным и удобным способом хранения информации об оптических характеристиках частиц и могут быть многократно использованы в задачах однократного и многократного рассеяния.

2. На основе аналитических алгоритмов ориентационного усреднения разработан комплекс эффективных программ с использованием метода Т-матриц для расчета оптических характеристик ансамблей 3D частиц -угловой зависимости элементов матрицы рассеяния, коэффициентов ослабления, рассеяния, поглощения, потоков рассеянного излучения. Для гексагональных цилиндров разработанный алгоритм по времени численной реализации на два порядка эффективнее существующих аналогов.

3. Определены необходимые условия и проведена оптическая классификация ансамблей несферических частиц, в том числе ориентированных, позволяющая свести решение ряда обратных задач к решению на классах эквивалентности.

4. Разработана и численно реализована методика оценки параметров ориентационной структуры частиц по данным обратного рассеяния, позволяющая оценивать влияние ориентирующих факторов -геофизических полей.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шмидт, Владимир Андреевич, 2006 год

1. Абдулкин В.В., Парамонов Л.Е. Применение ортогональных полиномов для оценки коэффициентов светорассеяния изотропного ансамбля полидисперсных несферических частиц. // Оптика атмосферы и океана.- 2001. Т. 14, № 6-7. - С. 594-595.

2. Апелъцан В.Ф., Кюркчан А.Г. Гипотеза Релея и аналитические свойства волновых полей // Радиотехника и электроника. 1985. - Т. XXX, Вып. 2.-С. 193-210.

3. Архипов В.А., Бондарчук С.С., Квеско Н.Г., Росляк А.Т., Трофимова В.Ф. Идентификация унимодальных распределений частиц по размерам // Оптика атмосферы и океана. -2004. Т. 17, № 5-6. - С. 513-516.

4. Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. М.: Мир, 1986.-660 с.

5. Бугаенко О.И. Обощенные сферические функции в задаче Ми // Изв. АН СССР, серия ФАО. 1976. - Т. 12. - С. 603-611.

6. Ван де Хюлст Г. Рассеяние света малыми частицами. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1961. 536 с.

7. Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. Л.; Наука, 1975. 439 с.

8. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. -512 с.

9. Гелъфанд- И.М., Шапиро З.Я. Представления группы вращений трехмерного пространства и их применения. // УМН., 1952. Т. 7. -С. 3-117.10 .Гуревич М.М. Фотометрия (Теория, методы и приборы). JI.:

10. Энергоатомиздат, 1983. 268 с. 11. Иванов А.П. Оптика рассеивающих сред. Минск: Наука и техника, 1969.- 592 с.

11. Кауль Б.В. Симметрия матриц обратного рассеяния света в связи с ориентацией несферических аэрозольных частиц // Оптика атм. и океана. 2000.-Т. 13, № 10.-С. 895-900.

12. Кауль Б.В. Оптико-локационный метод поляризационных исследований анизотропных аэрозольных сред. Автореф. дис. . д.ф.-м.н. Томск. ИОА СО РАН, 2004. 29 с.

13. Кауль Б.В., Самохвалов И.В. Теория и результаты лазерного зондирования ориентированных кристаллических частиц в облаках // Оптика атм. и океана.-2005.-Т. 18, № 12.-С. 1051-1057.

14. Квятковский С.О. Сходимость метода T-матриц и гипотеза Релея // Радиофизика. 1987. - Т. XXX, № 11. - С. 1408-1410.

15. Копелевич О.В. Оптические свойства океанской воды. Дис. . докт. физ.-мат. наук. М., 1981. -212 с.

16. Левин JI.M. О функциях распределения облачных капель по размерам // Изв. АН СССР.- 1958.-№ Ю.-С. 1211-1221.

17. Лопатин В.Н., Сидько Ф.Я. Введение в оптику взвесей клеток. Новосибирск: Наука, 1988. 240 с.

18. ЛюкЮ. Специальные математические функции и их апроксимации. М: Мир, 1980.-608 с.

19. Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир, 1981 344 с.

20. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: ИЛ, 1958. -Т.1.-930 е.; 1960.-Т. 2.-896 с.

21. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Основы теории специальных функций. // М.: Наука, 1974.-304 с.

22. Парамонов Л.Е. Ослабление и рассеяние электромагнитного излучения ансамблями частиц произвольной формы с произвольной функцией распределения по ориентациям. Красноярск, 1994. 32 с. (Препринт № 216Б / Институт биофизики СО РАН).

23. Парамонов Л.Е. Рассеяние света эллипсоидальными частицами. I. Красноярск, 2003. 32 с. (Препринт № 826 / Институт физики СО РАН).

24. Парамонов Л.Е., Лопатин В.Н. Рассеяние света несферическими частицами (алгоритм, методика расчета, программы). Красноярск, 1987. 50 с. (Препринт / Институт физики СО АН СССР).

25. Парамонов Л.Е., Хромечек Е.Б., Абдулкин В.В., Шмидт В.А. К решению обратных задач на классах эквивалентности // Оптика атмосферы и океана. 2004. - Т. 17, № 5-6. - С. 508-512.

26. Парамонов Л.Е., Шмидт В.А. К вопросу математического обеспечения нефелометров и спектрофотометров // Математическое моделирование и численные методы. Вып. 37. Красноярск: КГТУ, 2005. - С. 159-168.

27. Парамонов Л.Е., Шмидт В.А. Оптическая классификация изотропных ансамблей «мягких» эллипсоидальных частиц // Оптика атмосферы и океана. 2004. - Т. 17, № 5-6. - С. 521-525.

28. Парамонов Л.Е., Шмидт В.А., Черкасова ЕВ. Аналитические алгоритмы усреднения в задачах дифракции света несферическими частицами//Вычислительныетехнологии.-2005.-Т. 10.-С. 100-108.

29. Ромашов Д.Н., Рахимов РФ. Определение ориентации о се симметричных вытянутых частиц по данным поляризационного зондирования // Оптика атмосф. и океана. 1993. - Т. 6, № 6. - С. 891898.

30. Современные проблемы атмосферной оптики, в 9 т. Л.: Гидрометеоиздат.

31. Стрэттои Ж.А. Теория электЬромагнитизма. М. ГИТТЛ, 1948. 539 с.

32. Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М., Наука, Т. 2. 1970.

33. ХенлХ., Мауэ А., Вестнфалъ К. Теория дифракции. М.: Мир

34. Шерклифф У. Поляризованный свет. М.: Мир, 1965. 264 с.

35. Шифрин К.С. Введение в оптику океана. JL: Гидрометеоиздат, 1983. -278 с.

36. Шмидт В.А. Коэффициенты разложения элементов матрицы рассеяния хаотически ориентированных частиц, не обладающих осевой симметрией // Электронный журнал «Исследовано в России». 2005. -Т. 8. - С. 1005-1009. http://zhurnal.gpi.ru/articles/2005/097.pdf

37. Шмидт В.А. Поляризационные характеристики хаотически ориентированных осесимметрических частиц // Тезисы докладов X Рабочей группы "Аэрозоли Сибири". Томск: Институт оптики атмосферы, 2003. - С. 8.

38. Al-Rizzo H.M., Tranquilla J.M. Electromagnetic scattering from dielectrically coated axisymmetric objects using generalized point-matching technique (GMPT). I. Theoretical formulation // J. Comput. Phys. 1995. -V. 119.-P. 342-355.

39. Asano S. Light scattering by horizontally oriented spheroidal particles // Appl. Opt. 1983. -V. 22, № 9. - P. 1390-1396.

40. Asano S.,Yamamoto G. Light scattering by a spheroidal particle // Appl. Opt. 1975. -V. 14, № 1,-P. 29-49.

41. Barcin A.J., Yang P., Havemann S. Calculation of the single-scattering properties of randomly oriented hexagonal ice columns: a comparison of the T-matrix and the finite-difference time-domain methods // Appl. Opt. 2001. -V. 40, №24.-P. 4376-4386.

42. Barber P.W., Yeh C. Scattering of electromagnetic waves by arbitrarily shaped dielectric bodies //Appl. Opt. 1975. -V. 14, № 12. - P. 2864-2872.

43. Bickel W.S., Davidson J.F., Huffman D.R., Kilkson R. Application of polarization effects in light scattering : A new biophysical tool 11 Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1973. - V. 73. - P. 486-490.

44. Caterdra M. F., Gago E., Nuno L. A numerical scheme to obtain the RCS of three-dimensional bodies of resonant size using the conjugate gradient method and the fast fourier transform // IEEE Trans. Antennas Propag. -1989.-№37.-P. 528-537.

45. DoicuA., Wriedt T. Formulation of the extended boundary condition method for three-dimensional scattering using the method of discrete sources // J. Modern Opt. 1998. -V. 45.-P. 199-213.

46. Domke H. Fourier expantion of the phase matrix for the Mie scattering 11 Z.Meteorologie 1975. - V. 25. - P. 357-361.

47. Domke H. The expansion of scattering matrices for an isotropic medium in generalized spherical functions // Astronomy. Space Sci. 1974. - V. 29. -P. 379-386.

48. Draine В. T. The discrete-dipole approximation and its application to interstellar graphite grains //Astrophys. J. 1988. - V. 333. - P. 848-872.

49. Draine В. Т., Flatciu P. J. Discrete-dipole approximation for scattering calculations // J. Optical Society of America A. 1994. - V. 11. - P. 14911499.

50. Eremin Yu. A., Sveshinikov A. G. The discrete source method for investigating three-dimensional electromagnetic scattering' problems // Electromagnetics. 1993. -V. 13. - P. 1-22.

51. Farafonov KG, Voshchinnikov N.V., Somsikov V.V. Light scattering by a core-mantle spheroidal particle//Appl. Opt. 1996.-V. 35.-P. 5412-5426.

52. Hafner Ck, Bomholt K. The 3D Electrodynamic Wave Simulator // Wiley, Chichester. 1993.

53. Hage J. I., Mayo J. A model for optical properties of porous grains // Astrophys. J. 1990. - V. 361. - P. 251-259.

54. Hansen J., Travis L.D. Light scattering in planetary atmospheres // Space Sci. Rev. 1974. - V. 16. - P. 527-610.

55. Hovenier J.W., van der Mee C.V.M. Fundamental relationships relevant to the transfer of polarized light in a scattering atmosphere // Astron. Astrophys. 1983.-V. 128.-P. 1-16.

56. Kawano M., Ikuno #., Nishimoto M. Numerical analysis of 3-D scattering problems using the Yasuura method // IEICE Trans, on Electronics. 1996. -E79-C.-P. 1358-1363.

57. Kim C.S., Yeh C. Scattering of an obliquely incident wave by a multilayered elliptical lossy dielectric cylinder // Radio Sci. 1991. - V. 26. - P. 11651176.

58. Kuscer /., Ribaric M. Matrix formalism in the theory of diffusion of light // Opt. Acta. 1959. - V. 6. - P. 42-51.

59. Khlebtsov N.G. Orientational averaging of light-scattering observables in the T-matrixapproach//Appl.Opt.- 1992.-V. 31.-P. 5359-5365.

60. Laitinen H., Lumme K. V-matrix method for general star-shaped particles: First results // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1998. - V. 60. - P. 325334.

61. Lakhtakia A., Mulhollancl G Ж On two numerical techniques for light scattering by dielectric agglomerated structures // J. Res. Natl. Inst. Stand. Technol.- 1993. V. 98.-P. 699-716.

62. Lakhtakia A., Varadan V.K., Varadan V.V. Scattering and absorption characteristic of lossy dielectric, chiral, nonspherical objects // Appl. Opt. -1985.-V. 24, №23. -P. 4146-4154.

63. Latimer P. Boold platelet aggregometry: Predicted effeects of aggregation, photometry geometry and multiple scattering // Appl. Opt. 1983. - V. 22, № 8.-P. 1136-1143.

64. Latimer P. Experimental tests of a theoretical method for predicting light scattering by aggregates // Appl. Opt. 1985. - V. 24. - P. 3231 -3239.

65. Latimer P Light scattering by ellipsoids // J. Colloid Interfase Sci. 1975. -V. 53, № l.-P. 102-109.

66. Latimer P. Particle sizing with a laser transmittance photometer and th Mie theory // IEE J. Quantum Electron. 1984. - V. 20. - P. 1529-1532.

67. Latimer P. The influence of photometer design on optical conformational changes//J. Theor. Boil.- 1975.-V. 51, № l.-P. 1-12.

68. Latimer P., Roberts R., Bijlani K. The size of aspherical or nonhomogeneous particles in suspension as determined with a transmittance photometer // J. Colloid Interface Sci. 1985.-V. 105. - P. 410-416.

69. Leviatan Y., Baharav Z., Heyman E. Analysis of Electromagnetic Scattering using Arrays of Fictitious Sources // IEEE Trans. Antennas Propog. 1995. -AP-43.-P. 1091-1098.

70. Medgyesi-Mitschang L.N., Putnam J.M., Gedera M.B. Generalized method of moments for three-dimensional penetrable scatterers // J. Opt. Soc. Am. -1994.-V. 11.-P. 1383-1398.

71. Mishchenko M.I. Light scattering by randomly oriented axially symmetric particles // J. Opt. Soc. Amer. A. 1990. -V. 8, № 6. - P. 871-882.

72. Mishchenko M.I., Hovenier J.W., Travis L.D. eds. Light scattering by nonspherical particles. Academic Press, San Diego, 2000.

73. Mishchenko M.I., Travis L.D. Capabilities and limitations of a current FORTRAN implementation of the T-matrix method for randomly oriented, rotationally symmetric scatterers // J. Quant. Spectrosc. Radial. Transfer. -1998.-V. 60.-P. 309-324.

74. Mishchenko M. I., Travis L. D., Lacis A. A. Scattering, Absorption, and Emission of Light by Small Particles. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.-P. 445.

75. Mishchenko M. I., Travis L. D., Lacis A. A. Multiple Scattering of Light by Particles: Radiative Transfer and Coherent Backscattering. Cambridge University Press, Cambridge, 2006.

76. Mishchenko M. /., Travis L. D. Light scattering by polydispersions of randomly oriented spheroids with sizes comparable to wavelength of observation. Appl.Opt. 1994. - V. 33, № 30. - P. 7206-7223.

77. Mishchenko M.I., Travis L.D. T-matrix computations of light scattering by large spheroidal particles // Opt. Commun. 1994. - V. 109. - P. 16-21.

78. Oguchi T. Scattering Properties of oblate raindrops and cross polarization of radio waves due to rain: calculations at 19.3 and 34.8 GHz // J. Radio Res. Lab. Japan. 1973.-V. 20. P. 79-118.

79. Paramonov L.E. T matrix approach and the angular momentum theory in light scattering problems by ensembles of arbitrarily shaped particles // J. Opt. Soc. Am. A. - 1995.-V. 13. - P. 2698-2707.

80. Paramonov L.E., Schmidt V.A. Linear backscattering depolarization ratio for nonspherical particles // Atmospheric and Ocean Optics. Atmospheric Physics. XI Joint International Symposium. Tomsk, 2004. - P. 112.

81. Paramonov L.E., Schmidt V.A. Scattering matrix of randomly oriented ellipsoidal particles 11 Atmospheric and Ocean Optics. Atmospheric Physics. X Joint International Symposium. Tomsk, 2003. - P. 100-101.

82. Peterson B.O., Strom S. Matrix formulation of acoustic scattering from an arbitary number of scatterers // J. Acoust.Soc. A. 1974. - V. 56, № 3. - P. 771-780.

83. Peterson B.O., Strom S. Matrix formulation of acoustic scattering from multilayered scatterers // J. Acoust.Soc. A. 1975. - V. 57, № 1. - P. 2-13.

84. Peterson B.O., Strom S. T-matrix for electromagnetic scattering from arbitrary number scatteres and representation E(3) // Phys. Rev. D. 1973. -V. 8,№ 10.-P. 3661-3678.

85. Peterson B.O., Strom S. T-matrix for electromagnetic scattering from multilayered scatteres // Phys. Rev. D. 1975. - V. 10, № 8. - P. 2670-2684.

86. Purcell E. M., Pennypacker C. R. Scattering and absorption of light by nonspherical dielectric grains // Astrophys. J. 1973. -V. 186. - P. 705-714.

87. Tciflove A. Computational electrodynamics: the finitedifference time-domain method // Artech House, Boston, 1995.

88. Tsang L., Kong J.A., Shin R.T. Radiative transfer theory for active remote sensing of layer of nonspherical particles // Radio Sci. 1984. - V. 19, № 2. - P. 629-642.

89. Pinnick R.G., Auvermann H.J. Response characteristic of Knollenberg light-scattering aerosol counter // J. Aerosol. Sci. 1978. - V. 10. - P. 55-74.

90. Shimizu K., Ishimani A. Scattering pattern analysis of bacteria // Opt. Eng.- 1978.-V. 17.-P. 129-134.

91. Voshchinnikov N.V., Farafonov V.G. Optical properties of spheroidal particles // Astrophys. Space Sci. 1993. - V. 204. - P. 19-86.

92. Vouk V. Projected area of convex bodies // Nature (London). 1948. -V. 162.-P. 330-331.

93. Wait J.R. Electromagnetic scattering from a radially inhomogeneous sphere //Appl. Sci. Res. Sect. В 10. 1963. - P. 441-450.

94. Wait J.R. Scattering of a plane wave from a circular dielectric cylinder at oblique incidence // Can. J. Phys. 1955. - V. 33. - P. 189-195.

95. Wang D.S., Barber PW. Scattering by inhomogeneous nonspherical objects//Appl. Opt.- 1979.-V. 18, №8.-P. 1190-1198.

96. Waterman PC. Matrix formulation of electromagnetic scattering 11 Proc. IEEE. 1965. -V. 53, № 8.-P. 805-812.

97. Waterman PC. New formulation of acoustic scattering // J. Acoust. Soc. Amer. 1969. -V. 45, № 6. - P. 1417-1729.

98. Waterman PC. Symmetry, unitary and geometry in electromagnetic scattering // Phys. Rev. D. 1971. - V. 3, № 4. - P. 825-839.

99. Wiscombe W.J., Mugnai A. Scattering from nonspherical Chebyshev particles. 2.: Means of angular scattering pattern // Appl. Opt. 1988. -V. 27.-P. 2405-2421.

100. Wriecll Т. Using the T-Matrix method for light scattering computations by non-axisymmetric particles: Superellipsoids and realistically shaped particles // Part. Part. Syst. Charact 19. 2002. - P. 256-268.

101. Wielaard D.J., Mishchenko M.I., Маске A., Carlson B.E. Improved T-matrix computations for large, nonabsorbing and weakly absorbing nonspherical particles and comparison with geometrical-optics approximation //Appl. Opt. 1997. - V. 36. - P. 4305-4313.

102. Wyatt P.J. Differential light scattering techniques for microbiology // Methods in Microbiology. V.8 / Eds. J.R.Norris, D.W.Ribbons. N.-Y., Acad. Press, 1973.-P. 183-263.

103. Wyatt PJ. Scattering of electromagnetic plane waves from inhomogeneous spherically symmetric objects // Phys. Rev. 1962. - V. 127. -P 1837-1843.

104. Wyatt P. J., Schehrer K.L., Phillips C.D., Jackson C., Chang Y.J., Parker E.G., Phillips D.T., Bottiger J.R. Aerosol particle analyser // Appl. Opt. -1988.-V. 27. -P. 217-221.

105. Yang P, Liou K, N. Finite difference time domain method for light scattering by small ice crystals in three-dimensional shape // J. Opt. Soc. Am. A. 1996,-V. 13.-P. 2072-2085.

106. Yee K. S. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media // IEEE Trans. Antennas Propag.- 1966.-V. 14.-P. 302-307.