Аналитическая оценка структурированных производных финансовых инструментов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.10, кандидат наук Зуев Денис Валерьевич

• Зуев Денис Валерьевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Зуев Денис Валерьевич

Введение

Глава 1 Современный рынок структурированных производных финансовых инструментов (деривативов), зависящих от многомерного ценового процесса

1.1 Классификация и направления использования структурированных деривативов

1.2 Деривативы на многомерный ценовой процесс: принципы отбора финансовых переменных, лежащих в основе структурированного дериватива

1.3 Методы оценки и построение структурированных деривативов

Глава 2 Методология оценки структурированных деривативов на основе

двумерного негауссовского распределения вероятностей цен базовых активов

2.1 Построение базиса, обеспечивающего эволюцию во времени ожидаемой стоимости структурированного дериватива

2.2 Способы получения собственных значений, определяющих скорость и направление изменения ожидаемой стоимости структурированного дериватива

2.3 Разложение функции выплат и ожидаемая стоимость структурированного дериватива

Глава 3 Структурированные деривативы на валютном, денежном и срочном

рынках: построение, эмпирическая оценка, инвестиционные стратегии

3.1 Построение структурированных деривативов, зависящих от двух случайных процессов, на валютном, денежном и срочном рынках

3.2 Эмпирическая оценка структурированных деривативов, зависящих от двух случайных процессов, на валютном, денежном и срочном рынках

3.3 Инвестиционные стратегии со структурированными деривативами на валютном, денежном и срочном рынках

Заключение

Библиография

Приложения

Приложение А. Связь между уравнением Дынкина и уравнением Пригожина: теория поля в аналитической оценке структурированных деривативов с двумя базовыми

активами

Приложение Б. Уравнение Пригожина и принципы выбора правых частей уравнений движения: теория динамических систем в аналитической оценке структурированных

деривативов с двумя базовыми активами

Приложение В. Решение двумерного уравнения Пригожина методом Ритца

Приложение Г. Подход Гамбургера в построении системы ортонормированных по двум

переменным полиномов

Приложение Д. Результативность применения предложенного во второй главе подхода в оценке стандартизированных биржевых инструментов на одномерный ценовой

процесс

Приложение Е. Сравнительный анализ индексов S&P 500 и EURO STOXX

Приложение Ж. Динамика индексов S&P 500 и EURO STOXX

Приложение И. Методология расчёта индекса волатильности VIX американского

срочного рынка

Приложение К. Список и рыночная капитализация компаний, входящих в фондовый

индекс EURO STOXX

Приложение Л. Инвестиционная стратегия Collar (Risk reversal - Underlying) на рынке

производных финансовых инструментов торговли волатильностью

Приложение М. Связь структурированного фьючерсного свопциона (первого продукта

на срочном рынке) с инвестиционной стратегией Risk reversal

Приложение Н. Связь структурированного фьючерсного свопциона (второго продукта

на срочном рынке) с инвестиционной стратегией Strangle

Приложение П. Формализмы для оценки Structured Volatility Strangle Swaption (сделки sell call и buy put)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитическая оценка структурированных производных финансовых инструментов»

Введение

Актуальность диссертационного исследования обусловлена двумя противоречащими друг другу обстоятельствами.

Объём сделок со структурированными деривативами (structured products) существенно увеличился за последние несколько лет. Значительно расширилась продуктовая линейка сложных финансовых инструментов [92;112;116;120;121]. Рынок структурированных деривативов предлагает для управления инвестициями широкий выбор средств, значительно более гибких, чем традиционные производные инструменты (опционы, фьючерсы, своп контракты). При этом структурированные продукты обращаются исключительно на внебиржевом рынке и, несмотря на возросший объём сделок, остаются низколиквидными. Ключевая причина заключается в дороговизне сложных финансовых инструментов. Таким образом, современный растущий рынок структурированных деривативов характеризуется низкой ликвидностью и высокой стоимостью продуктов.

С чисто теоретической стороны объединение нескольких сделок со взаимосвязанными активами в один типовой контракт (структурированный дериватив) должно приводить к удешевлению финансовых инструментов и, как следствие, к росту ликвидности на рынке. Пусть, например, теоретическая равновесная (справедливая) цена1 сложного продукта определяется движением разницы цен взаимосвязанных базовых активов, торгуемых на валютном и денежном рынках. В силу фундаментальных законов рынка, которые могут быть описаны, в частности, моделью Манделла - Флеминга [72;87], такое движение более предсказуемо в среднесрочном периоде, в отличие от движения цены одного базового актива - уменьшаемого либо вычитаемого в функции выплат сложного инструмента. Это и приводит к тому, что теоретическая равновесная цена структурированного дериватива становится ниже суммы цен деривативов на одномерные ценовые процессы, которые входят в функцию выплат сложного

1 Комиссионные вознаграждения остаются за пределами нашего исследования. В параграфе 1.3 определены термины «теоретическая цена», «равновесная цена» и «справедливая цена».

продукта. Удешевление финансовых инструментов есть следствие нетривиальной взаимосвязи между их базовыми активами. Иными словами, рынок структурированных деривативов теоретически должен характеризоваться низкой стоимостью продуктов и, соответственно, высокой ликвидностью.

Практика не согласуется с теорией. Данный факт в рассматриваемом контексте свидетельствует об отсутствии справедливого ценообразования на рынке. В диссертации особое внимание уделено исследованию данной проблемы. Можно выделить две основные причины противоречия между теорией и практикой.

Во-первых, большинство структурированных продуктов разработано без учёта фундаментальных законов рынка. Подобные инструменты в силу их высокого риска обращаются по завышенным ценам.

Во-вторых, в рыночной практике и в научном сообществе отсутствует единый концептуальный подход (unique framework) к ценообразованию структурированных деривативов. Существующие подходы к оценке теоретической стоимости сложного продукта не учитывают корреляцию цен базовых активов, а также ключевую характеристику рынка - негауссовский характер ценовых процессов. Отсутствие справедливого ценообразования воспринимается участниками рынка как неопределённость. А любая дополнительная неопределённость приводит к неоправданной рыночной цене риска (дополнительной рыночной премии за риск), что и выражается в высоких ценах сложных продуктов.

У международного финансового сообщества назрела потребность решить эти проблемы в рамках и средствами единой теории.

Финансовому рынку объективно необходим теоретический подход к аналитической оценке справедливой стоимости сложных продуктов, который учитывает влияние базовых активов друг на друга, а также негауссовскую природу ценовых процессов. Наличие такого подхода приведёт к справедливому ценообразованию и сделает структурированные производные финансовые инструменты доступными для большего количества участников рынка. Возрастёт

интерес к сложным продуктам и со стороны компаний, которые в силу неоправданной дороговизны лишь рассматривали их в качестве альтернативного инструмента для управления инвестициями.

Степень изученности и научной разработанности темы. Теоретические основы рынка структурированных производных финансовых инструментов в целом и сложных продуктов в частности до сих пор не сформированы. В академической литературе отсутствуют методологические аспекты конструирования структурированных деривативов. В связи с этим недостаточно развит понятийно-категориальный аппарат. Тем не менее, можно выделить труды зарубежных учёных, представителей бизнес-сообщества, M. Mattoo (1996) [45] и U. Wystup (2006) [50], посвящённые классификации структурированных продуктов, конструированию, способам оценки и практическому применению.

Значительный вклад в развитие теории ценообразования производных финансовых инструментов внесли J. Baz, T. Bjork, G. Chacko, J. Cox, D. Davydov, H. Geman, J.C. Hull, A. Lewis, V. Linetsky, A. Pelsser, S. Ross и M. Yor [32;34;40;64-68;74-76;82;84-86;89;90].

В отечественной научной литературе теоретическим основам структурированных производных финансовых инструментов, исследованию вопросов их построения и оценки посвящены работы М.Ю. Глухова (2007) [23] и В.В. Омельченко (2010) [24].

Следует отметить работы С.В. Курочкина (2005) [29;30], в которых рассмотрены функции выплат, реализуемые с помощью опционных стратегий, а также построение структурированного коллара - диверсифицированного портфеля, доли которого определяются из решения задачи линейной оптимизации. В работе А.И. Бадаева (2014) [22] рассмотрено использование многомерных распределений в вопросах управления инвестиционным портфелем.

Опубликованные труды отечественных и зарубежных учёных объединяет детальный разбор существующих видов сложных финансовых продуктов, разработка методологии построения и подходов к оценке в зависимости от вида производного финансового инструмента. В работах не рассматривается

конструирование конкретных новых продуктов, удовлетворяющих непокрытые потребности рынка (за исключением исследований М.Ю. Глухова [23] и С.В. Курочкина [29]). Подходы к оценке основаны на определении равновесной (справедливой) стоимости структурированного дериватива как суммы цен его составных частей, для расчёта которых используется модель Блэка - Шоулза [56]. Предполагается, что финансовые переменные, описывающие динамику цен составных части сложного продукта, независимы друг от друга и распределены в соответствии с нормальным законом, что не подтверждается эмпирическими исследованиями. В опубликованных трудах недостаточно проработана методика проверки результатов оценки. В частности, теоретическая стоимость продуктов обычно не сравнивается с эмпирическими данными.

Если говорить о структурированных деривативах, зависящих de facto от одного базового актива (например, продукт, сочетающий в себе ценную бумагу с фиксированной доходностью - облигацию, и опцион на акцию), то в отношении их оценки применимы труды, посвящённые исследованию вопросов ценообразования стандартизированных производных финансовых инструментов на одномерные ценовые процессы. В качестве примера можно привести работы J.-P. Bouchaud и M. Potters (2001, 2004), S.I. Boyarchenko и S.Z. Levendorskii (2002), L. Borland и J.-P. Bouchaud (2008), которые основываются на негауссовской природе ценовых процессов. Однако в этих исследованиях для получения функции плотности негауссовского распределения вероятностей из решения уравнения Фоккера - Планка задаётся упрощённый вид параметризующих функций. Такие функции не описывают реально наблюдаемые ценовые процессы. В исследовании L. Borland и J.-P. Bouchaud (2008) для оценки опционов используется t-распределение Стьюдента, которое, вообще говоря, с возрастанием числа степеней свободы достигает нормального распределения.

Основная научная гипотеза. Одна из ключевых характеристик рынка -негауссовский характер ценовых процессов, то есть тот эмпирический факт, что распределение логарифмов наблюдаемых цен финансовых инструментов, а также их относительных приростов не подчиняется нормальному закону [49;57;58]. В

связи с этим ценообразование сложных финансовых продуктов эффективно имитируется с помощью именно аналитической оценки равновесной (справедливой) стоимости структурированных деривативов, а не использования готовых формализмов (в частности, формулы Блэка - Шоулза), противоречащих вышеназванной характеристике рынка.

В рамках исследования предполагается, что теоретический подход к определению стоимости сложных продуктов, который основан на двумерных негауссовских асимметричных совместных распределениях вероятностей цен базовых активов, существенно снижает оценку структурированного дериватива (воспринимаемую рынком как справедливая стоимость) по отношению к совокупности эмпирических цен формирующих его базовых активов2.

Отсутствие общепринятого способа аналитической оценки сложных финансовых продуктов равносильно отсутствию механизма их справедливого ценообразования. Эта ситуация, в свою очередь, предполагает более высокие риски, а значит, и завышенные премии. Следовательно, появление специфической для данного типа инструментов аналитической оценки на основе негауссовского распределения скоррелированных базовых ценовых процессов способно обеспечить общее снижение уровня премий и рост ликвидности рынка структурированных контрактов. Этим обусловлен спрос со стороны профессиональных участников и финансовых институтов на результаты диссертационного исследования.

Кроме того, в диссертации предполагается, что объединение нескольких сделок со взаимосвязанными активами в один типовой контракт (структурированный дериватив) приводит к удешевлению финансовых инструментов. К примеру, если сложный продукт реплицирует некоторую

2 В исследовании установлено, что верхняя граница множества теоретических оценок сложного продукта близка к сумме эмпирических премий составных частей схемы, родственной к этому продукту. Способ оценки структурированного дериватива влияет на разницу между его теоретической ценой и суммой эмпирических цен составных частей. Эта разница, по сути, представляет собой стоимость корреляции базовых активов сложного продукта.

инвестиционную стратегию3, включающую различные наборы взаимосвязанных базовых активов (т.е. функции выплат продукта равны функциям выплат по стратегии), но эта стратегия может быть также реплицирована с помощью ряда деривативов, то в таком случае справедливая цена структурированного производного финансового инструмента становится ниже суммы справедливых чистых премий по реплицирующим деривативам, что обеспечивает значительную экономию для участников рынка.

Объект исследования - структурированный производный финансовый инструмент (дериватив) как сложный финансовый продукт, зависящий от двух случайных процессов. Предмет исследования - методология оценки теоретической равновесной (справедливой) стоимости структурированных деривативов, зависящих от двух случайных процессов.

Цель диссертационного исследования - реконструкция эмпирических цен структурированных производных финансовых инструментов с помощью разных подходов к их аналитической оценке, отличающихся свойствами распределения вероятностей цен базовых активов.

В соответствии с целью исследования в работе ставятся и решаются следующие задачи:

- предложить новый теоретический подход к аналитической оценке сложных финансовых продуктов, который учитывает взаимосвязь между базовыми активами и негауссовскую природу ценовых процессов;

- выявить сходимость полученных разными способами теоретических цен структурированных деривативов к эмпирически наблюдаемым премиям в тех случаях, когда они торгуются на рынке;

- построить продуктовую линейку структурированных деривативов и показать, какие потребности рынка удовлетворяет каждый из продуктов;

3 Butterfly, Calendar Spread, Collar, Condor, Fence, Guts, Iron Butterfly, Iron Condor, Jade Lizard, Risk reversal, Straddle, Strangle, Twisted sister и т.д.

- сравнить полученные разными способами теоретические цены ряда предлагаемых в диссертационной работе сложных продуктов4 с фактически наблюдаемыми на рынке премиями (эмпирическими данными) их составных частей;

- оценить преимущества использования многомерных (в частности, двумерных) негауссовских асимметричных совместных распределений для оценки сложных продуктов со взаимосвязанными базовыми активами, а также преимущества наличия на финансовых рынках сложных продуктов.

Теоретической и методологической основой исследования служат труды известных учёных в области экономики и финансовой математики, среди которых Дж. Баз, Т. Бьорк, П. Влар, В. Линецкий, Ф. Палм, М. Стил, Х.Феррейра, Дж. Чако и А.Н. Ширяев [20;21;32;34;66-68;70;71;76;84-86;91], а также другие значимые исследования, посвящённые многомерным распределениям и теории оценки производных финансовых инструментов.

Большое значение при выборе методов исследования и в разработке нового теоретического подхода к аналитической оценке сложных продуктов имели работы А.Б. Васильевой, И.М. Гельфанда, К. Грэнджера, В.Р. Евстигнеева, М. Мак-Кракена, Г.Г. Малинецкого, Дж. Марсдена, Г. Николиса, А.Б. Потапова, И. Пригожина, Н.А. Тихонова и С.В. Фомина [5;6;10-14;16;17;77].

Информационная (эмпирическая) база исследования. Для эмпирической оценки предлагаемых сложных продуктов, существующего структурированного дериватива одного из швейцарских банков и стандартизированных биржевых инструментов (опционов) были использованы реальные котировки валютного, денежного и срочного рынков, а также некоторые макроэкономические показатели. Источником информации послужили данные Казначейства (Министерства финансов) США [104], компании OANDA [115], индексного

4 Ряд продуктов реплицирует широко используемые участниками рынка инвестиционные стратегии Risk reversal и Strangle. В связи с этим оценка сложного продукта сравнивается с суммой (разницей) премий, наблюдаемых на рынке, по соответствующим опционам.

провайдера STOXX Limited [119], агентства Bloomberg (Bloomberg Terminal) [122], а также Чикагской биржи опционов CBOE [123].

Хронологический период и территориальные рамки исследования. Эмпирическая оценка предлагаемых сложных продуктов, существующего структурированного дериватива одного из швейцарских банков, стандартизированных биржевых инструментов (опционов) и сравнение результатов оценок с фактически наблюдаемыми на рынке ценами проводится по данным 2010-2015 гг. Исследуются американский и европейский финансовые рынки (валютный, денежный и срочный рынки).

Научная новизна диссертационного исследования заключается в следующем:

- разработан принципиально новый теоретический подход к аналитической оценке справедливой стоимости сложных финансовых продуктов, основанный на двумерных негауссовских асимметричных совместных распределениях вероятностей цен базовых активов. В отличие от существующих моделей оценки, подход учитывает ключевую характеристику финансового рынка - негауссовский характер ценовых процессов, а также не предполагает дробление структурированного дериватива на составные части и определение его теоретической цены как суммы цен составных частей;

- предложена классификация структурированных производных финансовых инструментов, которая содержит существенную для их ценообразования информацию (виды базовых активов, профиль исполнения, спецификация функции выплат, срок исполнения сделки) и может применяться при оценке сложного финансового продукта в терминах разработанного в диссертационной работе подхода;

- построена продуктовая линейка структурированных деривативов, зависящих от двух случайных процессов, на валютном, денежном и срочном рынках, которая удовлетворяет ряд непокрытых потребностей участников;

- усовершенствован математический инструментарий оценки теоретической стоимости сложных финансовых продуктов на базе современных количественных финансов;

- установлено, что верхняя граница множества теоретических оценок сложного финансового продукта близка к сумме эмпирических премий составных частей схемы, родственной к этому продукту. Способ оценки структурированного дериватива влияет на разницу между его теоретической ценой и суммой фактически наблюдаемых на рынке цен составных частей. Эта разница, по сути, представляет собой стоимость корреляции базовых активов сложного продукта. Особое внимание в диссертации уделено эмпирической оценке предлагаемых структурированных производных финансовых инструментов и сравнению эволюции теоретических цен (полученных различными способами) с эволюцией наблюдаемых на рынке премий;

- предложен принципиально новый способ повышения ликвидности производных финансовых инструментов на рынке, который заключается в снижении теоретической стоимости сложного продукта за счёт использования разработанного в диссертационной работе теоретического подхода к её аналитической оценке;

- построены инвестиционные стратегии на примере нескольких предлагаемых в диссертационной работе сложных продуктов, проведены оценка доходности по предлагаемым инвестиционным стратегиям и сравнение полученных результатов с наивной стратегией.

Научные положения, выносимые на защиту:

- предложен новый теоретический подход к аналитической оценке справедливой стоимости сложных финансовых продуктов с использованием двумерных негауссовских асимметричных совместных распределений вероятностей цен базовых активов (подход инвариантен к виду производного финансового инструмента);

- показано, что предложенный новый теоретический подход существенно снижает оценку структурированного дериватива (воспринимаемую рынком как

справедливая стоимость) по отношению к эмпирической премии для существующих на рынке сложных финансовых продуктов, сумме цен его базовых активов, а также по сравнению с оценками, полученными с помощью иных методов;

- предложена продуктовая линейка структурированных деривативов, зависящих от двух случайных процессов, на валютном, денежном и срочном рынках, которая удовлетворяет ряд непокрытых потребностей участников (потребность в едином инструменте, объединяющем несколько многосторонних сделок, а также потребность в повышении ликвидности ряда инструментов и потребность в более дешёвых аналогах существующих продуктов);

- показано, что создание единого инструмента, объединяющего несколько сделок со взаимосвязанными активами, значительно удешевляет стоимость деривативов и позволяет решить актуальную проблему низкой ликвидности не только сложных продуктов, но и стандартизированных биржевых контрактов.

Теоретическая и практическая значимость исследования. Теоретическая значимость работы заключается в развитии теории и методологии оценки и конструирования (построения) структурированных производных финансовых инструментов. В части оценки - разработка нового теоретического подхода к аналитической оценке равновесной (справедливой) стоимости сложных продуктов, основанного на двумерных негауссовских асимметричных совместных распределениях вероятностей цен базовых активов. В части конструирования -разработка принципов отбора финансовых переменных, лежащих в основе сложного продукта, с учётом фундаментальных законов рынка.

Сделаны существенные выводы о преимуществах использования многомерных негауссовских распределений для оценки сложных продуктов со взаимосвязанными базовыми активами, а также о преимуществах наличия на финансовых рынках сложных продуктов, если они построены с учётом фундаментальных законов рынка.

Практическая значимость работы сводится к двум основным результатам. Во-первых, разработан универсальный (то есть инвариантный к виду

производного финансового инструмента) подход к аналитической оценке сложных продуктов, который позволяет рассчитывать их справедливую цену в момент заключения контракта и с достаточной степенью надёжности прогнозировать эволюцию цены во времени, а значит и доходность на финансовом рынке. Во-вторых, современному рынку предложена продуктовая линейка структурированных деривативов, зависящих от двух случайных процессов, на валютном, денежном и срочном рынках, которая удовлетворяет ряд непокрытых потребностей участников.

Полученные результаты могут использоваться академическими исследователями в области финансовой математики и количественных финансов, профессиональными и непрофессиональными участниками рынка (включая рыночных аналитиков и корпоративных риск-менеджеров), а также разработчиками продуктов. Кроме того, предлагаемый подход к аналитической оценке может быть полезен для регулятора в части выявления инструментов, генерирующих риск, вследствие отсутствия справедливого ценообразования, и таким образом, создающих серьёзные диспропорции в развитии финансовых рынков. Наконец, полученные исследовательские результаты позволяют решить актуальную проблему низкой ликвидности не только сложных продуктов, но и стандартизированных биржевых контрактов, в частности опционов на индекс волатильности УБТОХХ европейского срочного рынка.

Достоверность результатов исследования подтверждается статистической оценкой надёжности полученных результатов, построением критической статистики и оценкой результативности виртуального инвестиционного портфеля.

Апробация результатов исследования. Основные выводы и результаты диссертационного исследования нашли отражение в четырёх научных публикациях в периодических изданиях общим объёмом 1,9 п.л., в том числе в трёх изданиях, включённых в перечень ВАК при Министерстве образования и науки РФ. Личный вклад автора составляет 1,9 п.л.

Исследовательские результаты неоднократно представлялись и обсуждались на открытом научно-исследовательском семинаре кафедры

международных валютно-финансовых отношений факультета мировой экономики и мировой политики НИУ ВШЭ «Принятие решений и прогнозирование финансовых рынков». Основные положения работы были представлены в виде доклада на XV научной конференции «Сократовские чтения - 2012», проходившей в академии «Международный университет в Москве» в 2012 г. Материалы диссертации использованы в плане научно-исследовательского семинара по направлению «Мировые финансы» программы «Мировая экономика» подготовки магистра в НИУ ВШЭ в 2014-2015 гг. Предлагаемые в диссертации сложные финансовые продукты обсуждались с сотрудниками Департамента стратегии ПАО «Московская биржа ММВБ - РТС» (МОЕХ).

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, библиографического списка и приложений. Библиографический список содержит 125 наименований, в том числе 85 зарубежных источников. Количество приложений - 13. Основная часть работы изложена на 122 страницах, включает 15 таблиц, 9 рисунков и 3 схемы.

Диссертация подготовлена по специальности 08.00.10 - Финансы, денежное обращение и кредит, п. 6.8. «Методология оценки доходности финансовых инструментов» Паспорта специальности ВАК.

Глава 1

Современный рынок структурированных производных финансовых инструментов (деривативов), зависящих от многомерного ценового

процесса

В первой главе на основе результатов анализа состава, профилей исполнения (структуры) и направлений использования структурированных деривативов, разработанных финансовыми институтами, предлагается классификация сложных финансовых продуктов по параметрам их аналитической оценки. Рассмотрены принципы отбора финансовых переменных, лежащих в основе формирования структурированного дериватива, а также показаны особенности построения функции выплат сложного продукта, которая используется в ходе его оценки. Проведён анализ существующих подходов к оценке стоимости структурированных деривативов как в научной литературе, так и в практике финансовых институтов.

1.1 Классификация и направления использования структурированных

деривативов

За последние несколько лет существенно возросли число структурированных (или, что то же самое, структурных) производных финансовых инструментов (structured products) и объём сделок с ними. Данное обстоятельство констатируется представителями институциональных участников рынка и информационно-консалтинговыми агентствами [92;112;116;120;121].

Не очень строгим и репрезентативным, однако наглядным примером могут послужить ежемесячно публикуемые отчёты Швейцарской Ассоциации структурированных продуктов (SSPA) о деятельности швейцарских финансовых институтов (UBS, Zurich Kantonalbank, VT, Julius Baer Group, Credit Suisse и др.). По данным SSPA количество обращающихся на этом рынке инструментов

увеличивается с каждым годом и в 2015 г. составило 32 тыс. шт. (рисунок 1), количество новых выпусков в 2015 г. - более 42 тыс. шт. (рисунок 2).

40 35 30 25 20 15 10 5 0

1 1

Vй \Ч О" Ф

-сч> -р> -л» -л» -сч»

-г -г ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

Рисунок 1 - Количество обращающихся структурированных продуктов

в 2003-2015 гг., тыс. шт.

Источник: [121]

60 50 40 30 20 10 0

.11

^ ^ Л Л ч\ Л Л Л

Рисунок 2 - Количество новых выпусков структурированных продуктов

в 2003-2015 гг., тыс. шт.

Источник: [121]

Обороты рынка, несмотря на периодические падения, поддерживаются на достаточно высоком уровне: в 2015 г. составили 26,9 млрд швейцарских франков (рисунок 3).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зуев Денис Валерьевич, 2016 год

Библиография

Отечественная литература

Книги, монографии

1. Арнольд В.И. Теория катастроф. - М.: Наука, 1990. - 127 с.

2. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. - М.: Наука, 1989. - 296 с.

3. Бочаров В.В. Финансовый инжиниринг. - СПб.: Питер, 2004. - 400 с.

4. Буренин А.Н. Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические и погодные производные. - М.: Научно-техническое общество имени академика С.И. Вавилова, 2005. - 540 с.

5. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. - СПб.: Издательство «Лань», 2009. - 160 с.

6. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. - М.: Физматлит, 1961. - 228 с.

7. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. - М.: Мир, 1984. Т. 1, 2. - 635 с.

8. Дарушин И. Финансовый инжиниринг. Инструменты и технологии. - М.: Проспект, 2015. - 304 с.

9. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. Перевод с английского Г.Г. Вайнштейна и А. М. Васьковского. Под редакцией В.Л.Стефанюка. - М.: Мир, 1976. - 511 с.

10. Евстигнеев В.Р. Прогнозирование доходности на рынке акций. - М.: Маросейка, 2009. - 192 с.

11. Малинецкий Г.Г. Математические основы синергетики: Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. - М.: Книжный дом «Либроком», 2015. -310 с.

12. Малинецкий Г.А., Потапов А.Б., Подлазов А.В. Нелинейная динамика: Подходы, результаты, надежды. - М.: Книжный дом «Либроком», 2016. -280 с.

13. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. - М.:Эдиториал УРСС, 2000. - 326 с.

14. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. - М.: Мир, 1980. - 366 с.

15. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. - М.: ГУ ВШЭ, 2001. - 254 с.

16. Пригожин И., Стенгерс И. Время. Хаос. Квант. К решению парадокса времени. - М.: Едиториал УРСС, 2014 - 240 с.

17. Пригожин И., Николис Г. Познание сложного: Введение. Пер. с англ. Изд. 4-е. - М.:Ленанд, 2014. - 360 с.

18. Романовский П.И.: Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. - М.: Наука, 1973. - 336 с.

19. Фельдман А.Б. Производные финансовые и товарные инструменты. - М.: Экономика, 2012. - 479 с.

20. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели. - М: Фазис, 1998. - 512 с.

21. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 2. Теория. - М: Фазис, 1998. - 544 с.

Диссертации

22. Балаев А.И. Составление портфелей ценных бумаг на основе прогнозирования совместной функции распределения доходностей: дисс. канд. экон. наук 08.00.13 / НИУ ВШЭ. - М., 2014. - 307 с.

23. Глухов М.Ю. Структурированные финансовые продукты в системе финансового инжиниринга: дисс. канд. экон. наук 08.00.10 / Финансовая Академия при Правительстве РФ. - М., 2007. - 211 с.

24. Омельченко В.В. Оценка стоимости розничных структурированных финансовых продуктов: дисс. канд. экон. наук 08.00.10 / НИУ ВШЭ. - М., 2010. - 173 с.

25. Пичугин И.С. Структурирование опционных продуктов на основе метода оптимизации конечных денежных выплат: дисс. канд. экон. наук 08.00.10 / НИУ ВШЭ. - М., 2007. - 154 с.

Публикации в периодических изданиях

26. Зуев Д.В. Онтология современных внебиржевых продуктов // Вестник Университета Российской академии образования, 2013. № 2 (65). С. 80-84.

27. Зуев Д.В. Производные финансовые инструменты: базис для разложения функций выплат и ценообразование структурированных деривативов // Деньги и кредит, 2015. № 3. С. 32-39.

28. Зуев Д.В. Структурированные деривативы: универсальная модель ценообразования // Научно-исследовательский финансовый институт. Финансовый журнал, 2015. № 4 (26). С. 72-84.

29. Курочкин С.В., Пичугин И.С. Структурированный коллар: построение сложных опционных продуктов // Рынок ценных бумаг, 2005. № 14. С. 64-68.

30. Курочкин С.В. Функции выплат, реализуемые с помощью опционных стратегий // Экономика и математические методы, 2005. т. 41, № 3. С. 135-137.

31. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. II. Непрерывное время // ТВП, 1994. № 39:1. С. 80-129.

Зарубежная литература

Книги, монографии

32. Baz J., Chacko G. Financial Derivatives. Pricing, Applications and Mathematics. -Cambridge University Press, 2004. - 338 p.

33. Birge J.R., Linetsky V. Handbooks in Operations Research and Management Science: Financial Engineering. - Elsevier Science and Technology, 2007. -1026 p.

34. Björk T. Arbitrage Theory in Continuous Time. - Oxford Finance Series, 2009. -560 p.

35. De Servigny A., Jobst N. The Handbook of Structured Finance. - McGraw-Hill, 2007. - 793 p.

36. Feller W. An Introduction to Probability Theory and its Applications. - Wiley, 3ed edition, 1968. - 527 p.

37. Feller W. Selected Papers I & II. - Springer Verlag International, 2015. - 1605 p.

38. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. - Springer, 2002. - 462 p.

39. Higham D.J. An Introduction to Financial Option Valuation: Mathematics, Stochastics and Computation. - Cambridge University Press, 2004. - 296 p.

40. Hull J.C. Options, Futures and Other Derivatives. - Prentice Hall, 9th Edition, 2014. - 896 p.

41. Hunt P.J., Kennedy J.E. Financial Derivatives in Theory and Practice. - Wiley, 2004. - 468 p.

42. Lancaster B.P., Schultz G.M., Fabozzi F.J. Structured Products and Related Credit Derivatives: A Comprehensive Guide for Investors. - Wiley, 2008. - 524 p.

43. Lewis A. Option Valuation under Stochastic Volatility. - Finance Press, California, 2000. - 350 p.

44. Mathews J., Walker R.L. Mathematical Methods of Physics. - W.A. Benjamin, 2nd edition, 1970. - 501 p.

45. Mattoo M. Structured Derivatives: A Handbook of Structuring, Pricing & Investor Applications. - Financial Times Series, 1996. - 320 p.

46. Polyallin A.D., Zaitsev Y.F., Moussiaux A. Handbook of First Order Partial Differential Equations. - Taylor & Francis, 2002. - 501 p.

47. Profeta C., Roynette B., Yor M. Option Prices as Probabilities: A New Look at Generalized Black-Scholes Formulae. - Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010. - 270 p.

48. Stone M. Methods of Mathematical Physics I. - Pimander-Casaubon, 2002. -315 p.

49. Voit J. The Statistical Mechanics of Financial Markets. - Springer-Verlag, 2005. -385 p.

50. Wystup U. FX Options and Structured Products. - The Wiley Finance Series, 2006. - 343 p.

Публикации в периодических изданиях

51. Andersen L., Andreasen J. Volatility Skew and Extensions of the LIBOR Market Model // Appl. Math. Finance, 2000. No. 7. P. 1-32.

52. Andersen L., Andreasen J., Eliezer D. Static Replication of Barrier Options: Some General Results // Working paper, General Re Financial Products, 2000. P. 1 -25.

53. Andersen T.G., Fusari N., Todorov V. Parametric Inference and Dynamic State Recovery from Option Panels // Econometrica, 2015. No. 83. P. 1081-1145.

54. Andersen T.G., Fusari N., Todorov V. The Pricing of Short-Term market Risk: Evidence from Weekly Options // NBER Working Paper, 2015. No. 21491. P. 1-52.

55. Andersen T.G., Fusari N., Todorov V. The Risk Premia Embedded in Index Options // Journal of Financial Economics, 2015. No. 117. P. 558-584.

56. Black F., Scholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities // Journal of Political Economy, 1973. No. 81. P. 637-654.

57. Bollerslev T., Todorov V. Estimation of Jump Tails // Econometrica, 2011. No. 79. P. 1727-1783.

58. Bollerslev T., Todorov V. Time Varying Jump Tails // Journal of Econometrics, 2014. No. 183. P. 168-180.

59. Breeden D., Litzenberger R. Prices of State Contingent Claims Implicit in Option Prices // Journal of Business, 1978. No. 51. P. 621-652.

60. Carr P., Wu L. What Type of Process Underlies Options? A Simple Robust Test // Journal of Finance, 2003. No. 58. P. 2581 -2610.

61. Cheuk T.H.F., Vorst T.C.F. Complex Barrier Options // Journal of Derivatives, 1996. No. 4. P. 8-22.

62. Christoffersen P., Jacobs K., Mimouni K. Volatility Dynamics for the S&P 500: Evidence from Realized Volatility, Daily Returns, and Option Prices // Review of Financial Studies, 2010. No. 23. P. 3141-3189.

63. Christoffersen P., Jacobs K., Ornthanalai C. Dynamic Jump Intensities and Risk Premiums: Evidence from S&P 500 Returns and Options // Journal of Financial Economics, 2012. No. 106. P. 447-472.

64. Cox J.C. Notes on Option Pricing I: Constant Elasticity of Variance Diffusions // J. Portfolio Manag, 1996. No. 22. P. 15-17.

65. Cox J., Ross S. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes // Journal of Financial Economics, 1976. No. 3. P. 145-166.

66. Davydov D., Linetsky V. Pricing and Hedging Path-dependent Options under the CEV Process // Management Science, 2001. No. 47. P. 949-965.

67. Davydov D., Linetsky V. Pricing Options on Scalar Diffusions: an Eigenfunction Expansion Approach // Operations Research, 2003. No. 51. P. 185-209.

68. Davydov D., Linetsky V. Structuring, Pricing and Hedging Double-barrier Step Options // Journal of Computational Finance, 2002. Winter. P. 55-87.

69. Douady R. Closed-form Formulas for Exotic Options and their Lifetime Distribution // International Journal of Theoretical and Applied Finance, 1998. No. 2. P. 17-42.

70. Ferreira J.T.A.S., Steel M.F.J. Bayesian Multivariate Regression Analysis with a New Class of Skewed Distributions // Mimeo, University of Warwick, 2004

71. Ferreira J.T.A.S., Steel M.F.J. On Describing Multivariate Skewed Distributions: A Directional Approach // The Canadian Journal of Statistics, 2006. No. 34. P. 411-429.

72. Fleming J.M. Domestic Financial Policies under Fixed and Floating Exchange Rates // IMF Staff Papers, 1962. No. 9. P. 369-379.

73. Fu M., Madan D., Wang T. Pricing Asian options: a comparison of analytical and Monte Carlo methods // Computational Finance, 1997. No 2. P. 49-74.

74. Geman H., Yor M. Bessel Processes, Asian Options and Perpetuities // Mathematical Finance, 1993. No. 3. P. 349-375.

75. Geman H., Yor M. Pricing and Hedging Double barrier Options: a Probabilistic Approach // Mathematical Finance, 1996. No. 6. P. 365-378.

76. Gorovoi V., Linetsky V. Black's Model of Interest Rates as Options, Eigenfunction Expansions and Japanese Interest Rates // Math. Finance, 2004. No. 14. P. 49-78.

77. Granger C.W., Maasoumi E., Racine J. A Dependence Metric for Possibly Nonlinear Processes // Journal of time series analysis. Blackwell Publishing Ltd, 2004. Vol. 25, No. 5. P. 649-669.

78. Hugonnier J.-N. The Feynman-Kac Formula and Pricing Occupation Time Derivatives // International Journal of Theoretical and Applied Finance, 1999. No 2. P. 153-178.

79. Hui H.C. Time-dependent Barrier Option Values // The Journal of Futures Markets, 1997. No. 17. P. 667-688.

80. Jarrow R., Kwok S. Specification Tests of Calibrated Option Pricing Models // Journal of Econometrics, 2015. Vol. 189, issue 2. P. 397-414.

81. Lasserre J.B., Prieto-Rumeau T., Zervos M. Pricing a Class of Exotic Options via Moments and SDP Relaxations // Blackwell Publishing Inc, 2006. No. 3. P. 469-494.

82. Lewis A. Applications of Eigenfunction Expansions in Continuous-Time Finance // Mathematical Finance, 1998. No. 8. P. 349-383.

83. Liberman N., Trope T. Temporal Construal // Psychological Review, 2003. P. 403-421.

84. Linetsky V. Exotic Spectra // RISK, 2002. P. 85-89.

85. Linetsky V. Lookback Options and Diffusion Hitting Times: A Spectral Expansion Approach // Finance and Stochastics, 2004. No. 8. P. 373-398.

86. Linetsky V. Spectral Expansions for Asian (Average Price) Options // Operations Research, 2004. No 52. P. 856-867.

87. Mundell R.A. Capital Mobility and Stabilization Policy under Fixed and Flexible Exchange Rates // Canadian Journal of Economic and Political Science, 1963. Vol. 29, No. 4. P. 475-485.

88. Pan J., Liu J. Dynamic Derivative Strategies // Journal of Financial Economics, 2003. No. 69. P. 401-430.

89. Pelsser A. Pricing Double Barrier Options using Analytical Inversion of Laplace Transforms // Finance and Stochastics, 2000. No. 4. P. 95-104.

90. Ross S. Options and Efficiency // Quarterly Journal of Economics, 1976. No. 90. P. 75-89.

91. Vlaar P.J.G., Palm F.C. The Message in Weekly Exchange Rates in the European Monetary System: Mean Reversion, Conditional Heteroscedasticity and Jumps // Journal of Business and Economic Statistics, 1993. No. 11 (3). P. 351-360.

Электронные ресурсы

Отечественные Интернет-ресурсы

92. Информационно-консалтинговое агентство «Структурированные продукты». Режим доступа: http://sproducts.ru.

93. Структурированные продукты «Ренессанс Капитал». Режим доступа: http://www.rencap.com/rus/InvestmentBanking/IBF/Products/.

94. Структурированные продукты «Ситибанк». Режим доступа: https://www. citibank. ru/russia/citigold/rus/why_citigold_structure_products.html.

95. Структурные депозиты «ВТБ». Режим доступа: http://www.vtb.ru/business/transactional/liquidity/deposit/structured/.

96. Структурные деривативные операции компании «Sberbank CIB». Режим доступа: http://www.sberbank-cib.ru/rus/products/gm/str_der/index.wbp.

97. Структурные продукты компании «БрокерКредитСервис». Режим доступа: https://broker.ru/sp.

98. Структурные продукты компании «КИТ Финанс Брокер». Режим доступа: http://brokerkf.ru/chastnym_investoram/structured-products/relevant-structural-products/.

99. Структурные продукты компании «Открытие Брокер». Режим доступа: http://open-broker. ru/ru/investing/structural-products/.

100. Структурные продукты компании «Финам». Режим доступа: http://www.finam.ru/services/indexing/.

Зарубежные Интернет-ресурсы

101. Bank of America Merrill Lynch Structured Products. Режим доступа: http://www. invest. baml.com.

102. Barclays Structured Products. Режим доступа: https://wealth.barclays.com, https://barxis.barcap.com/theme.app, http://www.barclays.co.uk, https://www.barclaysstockbrokers.co.uk.

103. BNP Paribas CIB Structured Products. Режим доступа: http://cib.bnpparibas.com/Products-services/Managing-your-risks-and-assets/Structured-Products/page.aspx/110.

104. Daily Treasury Yield Curve Rates, U.S. Department of the Treasury. Режим доступа: http://www.treasury.gov/resource-center/data-chart-center/interest-rates/Pages/TextView.aspx?data=yield.

105. DBS Structured Products. Режим доступа: http://www.dbs.com/.

106. Dell'Era M.M.D. Pricing of the European Options by Spectral Theory, 2009. Режим доступа: https://mpra.ub.uni-muenchen.de/17429/.

107. Deutsche Bank AG Structured Products. Режим доступа: https://www.xmarkets.db.com/CH/ENG/Home.

108. European Exchange. Режим доступа: http://www.eurexchange.com/exchange-en/products/vol/vstoxx/vstoxx--futures-and-options/VSTOXX--Futures/14566.

109. European Money Markets Institute (Архив ставок EURIBOR). Режим доступа: http://www. euribor-ebf. eu/euribor-org/euribor-rates.html.

110. Federal Reserve Bank of St. Louis Economic research (Архив ставок LIBOR). Режим доступа: https://research.stlouisfed.org/fred2/release?rid=253.

111. Goldman Sachs Structured Products. Режим доступа: http://www. goldmansachs.com.

112. Incapital LLC Member, securities and investment banking firm. Режим доступа: http://structuredinvestments.com/.

113. J.P. Morgan Structured Investments. Режим доступа: https://sp.jpmorgan.com/home/index.html.

114. Morgan Stanley Structured Products. Режим доступа: http://www. morganstanley. com.

115. OANDA (Архив котировок валют). Режим доступа: http://www. oanda. com/lang/ru/currency/historical-rates/.

116. Risk magazine (Incisive Media). Режим доступа: http://www.risk.net/structured-products.

117. Société Générale Structured Products. Режим доступа: http://warrants.com/home/.

118. S&P Dow Jones Indeces. Режим доступа: http://eu.spindices.com/index-finder/.

119. STOXX Limited. Режим доступа: https://www.stoxx.com/index-details?symbol=V2TX,

https://www.stoxx.com/document/Bookmarks/CurrentComponents/SX5GT.pdf.

120. Structured Retail Products. Режим доступа: http://www. structuredretailproducts. com.

121. Swiss Structured Products Association. Режим доступа: http://sspa-association.ch/.

122. The Bloomberg Professional Service (Bloomberg Terminal). Режим доступа: http://www.bloomberg.com/professional/.

123. The Chicago Board Options Exchange (CBOE). Режим доступа: http://www. cboe. com/products/snp500. aspx,

http://www. cboe.com/micro/vix/part2. aspx, http://www. cboe. com/micro/vix-options-and-futures. aspx.

124. Westpac Banking Corporation Structured Investments. Режим доступа: http://www. westpac. com. au/personal-banking/investments/manage/recently-closed-inv/.

125. Yahoo! Finance. Режим доступа: http://finance.yahoo.com/.

Приложения

Приложение А. Связь между уравнением Дынкина и уравнением Пригожина: теория поля в аналитической оценке структурированных деривативов с двумя базовыми активами

В параграфе 2.1 поставлен важнейший формальный вопрос: почему же мы вправе использовать решение уравнения Пригожина (9) для представления эволюционирующей во времени теоретической стоимости структурированного дериватива (7)? Для ответа на этот вопрос покажем, как связаны между собой уравнение Дынкина (5) и уравнение Пригожина (8). Обратимся к теории поля

Уравнение Дынкина (5) после разделения переменных принимает

следующий вид: Р(х,уД) = Н(х,у)-т(1);

тОО = В ■ е - \

где Н(х,у) - функция, определяющая теоретическую равновесную (справедливую) стоимость сложного продукта; в - собственное значение, соответствующее функции Н(х,у); В -произвольная постоянная; [^(х.у), Ц.2(х,у), аг2(х,у), ст22(х,у), р 1 2, г - определены в параграфе 2.1, см. (5).

Для удобства примем в (9) и ; ; (коэффициент

корреляции) отличным от нуля в (А.1).

Полем называется совокупность согласованных между собой дополнительных (граничных) условий. В контексте оценки деривативов с двумя базовыми активами под согласованностью краевых условий понимается тот факт, что каждое решение уравнения Дынкина удовлетворяет краевым условиям, поставленным как при (х,у) = (х 1,у1), так и при (х,у) = (х 2,у2), и наоборот.

Поле также определяется как совокупность интегральных кривых, применительно к рассматриваемым здесь формализмам, уравнения Дынкина. При

[6;18].

(А.1)

этом кривые удовлетворяют в каждой точке уравнению Пригожина, т.е. служат его общим решением.

В силу теоремы существования и единственности решений для дифференциальных уравнений, через каждую точку (х,у) той области, в которой задана некоторая (см. ниже) функция у^(х,у),х,у), проходит одна и только одна интегральная кривая (траектория поля) уравнения Пригожина. Согласно сказанному выше, каждая из этих кривых будет в то же время и решением уравнения Дынкина.

Таким образом, заданием поля уравнения Дынкина в некоторой области V определяется п-параметрическое семейство решений уравнения Дынкина такое, что через каждую точку этой области проходит одна и только одна кривая из этого семейства.

Сформулировав понятие поля, покажем:

- какой должна быть некоторая функция у^(х,у),х,у), чтобы уравнение Пригожина было полем для уравнения Дынкина;

- как в таком случае соотносятся между собой искомые функции в уравнениях (9)

Уравнение Пригожина (8) представляет собой поле для уравнения Дынкина (5), если некоторая функция у^(х,у),х,у) удовлетворяет двумерному уравнению Гамильтона - Якоби для уравнения Дынкина:

и (А.1).

^(ш(х,у),х,у) ^(ш(х,у),х,у) ^(ш(х,у),х,у)

+

+

■ ф(ш(х,у),х,у) = —ф(ш(х,у),х,у) — Н(х,у), (А.2)

ах

с1у

ан(х,у)

(А.3)

Перепишем уравнение Пригожина (9):

(А.4)

где:

Совокупность решений уравнения Гамильтона - Якоби (А.2) зависит от выбора функции у^(х,у),х,у), и каждым из них определяется некоторое поле уравнения Дынкина (А.1).

Рассмотрим среди решений уравнения Гамильтона - Якоби (А.2) простейшие, а именно те, которые линейны относительно ^^х,у): |(ш(х,у),х,у) = —С(х,у) ■ ш(х,у).

Поскольку правые части уравнений движения Е(х,у) и 0(х,у), по сути, описывают мгновенный снос ценового процесса, а также в силу (А.4), мы вправе предположить:

с! Н(х,у) с! Н(х,у) /А ~

Ш(х,у)--ц2(х,у)--^ = — 0(х,у) ■ Н(х,у), (А.5)

где В(х,у) - некоторая функция (см. ниже).

Данное предположение основано также на условии сопряжённости

дифференциальных операторов Ь и Ь* для дифференцируемых функций ш*(х,у) и

Н*(х,у):

с!ш *(х,у) с! ш *(х,у) Цш*(х,у)]: Е(х,у) ■ + С(х,у)--^ + С(х,у) ■ ш*(х,у) = 0 ;

с! Н *(х,у) с! Н *(х,у) Ь*[Н *(х,у)]: щ(х,у)--^ + Ц2(х,у)--0(х,у) ■ Н *(х,у) = 0 .

Иначе говоря, дифференциальное выражение Цш *(х,у)] взаимно однозначно определяется дифференциальным выражением Ь*[ Н*(х,у)] с помощью условия:

Ц (ш*(х,у) ■ Ц Н*(х,у)] — Н*(х,у) ■ Ь*[ш *(х,у)])с!У = 0. (А.6)

v

Функции ш *(х,у) и Н*(х,у) при этом должны удовлетворять одинаковым однородным краевым условиям. Тогда с учетом (А.3), (А.5) и (А.6) уравнение Гамильтона - Якоби (А.2) запишется в виде:

с! Б(х,у) с! Б(х,у) --^ ■ Н(х,у)--^ ■ Н(х,у) + 2 ■ Б(х,у)2 ■ Н(х,у) = (Б(х,у) — 1 ) ■ Н(х,у).

Разделим левую и правую части этого уравнения на Н(х,у):

—+ ——--2 ■ Б(х, у)2 = 1 — Б(х,у). (А.7)

Мы получили уравнение Риккати в частных производных (А.7) для функции D(x,y) из формализма Гамильтона - Якоби (А.2) для двумерного уравнения Дынкина (А.1). Его решение и определяет поле уравнения Дынкина, линейное по Н(х,у).

Итак, мы показали, что выбранная функция у^(х,у),х,у) удовлетворяет двумерному уравнению Гамильтона - Якоби для уравнения Дынкина. Соответственно, уравнение Пригожина (9) представляет собой поле (совокупность траекторий) для уравнения Дынкина (А.1). С учётом (А.3), (А.5),

(А.6) функции Н(х,у) и ^^х,у) соотносятся между собой следующим образом: ( ) ( ) ( ) ( )

То есть:

Н(х,у) = ^ху)^(х,у). (А.8)

В параграфе 2.3, при рассмотрении разложения функции выплат структурированного дериватива по базису, даётся пояснение тому, какую роль выполняет функция:

пг ^ с(ху) 0(х'у) = ^

Поскольку уравнение Пригожина представляет собой поле для уравнения Дынкина и с учётом соотношения (А.8) функций Н(х,у) и ^^х,у), мы вправе использовать решение уравнения Пригожина в представлении

эволюционирующей во времени стоимости дериватива (7). Другими словами, решение уравнения Дынкина (5) тождественно выражению (7), в основе которого лежит плотность вероятности ^^х,у), как решение уравнения Пригожина (9).

Приложение Б. Уравнение Пригожина и принципы выбора правых частей уравнений движения: теория динамических систем в аналитической оценке структурированных деривативов с двумя базовыми активами

В дополнение к рассмотренной в Приложении А связи между уравнением Пригожина и уравнением Дынкина в контексте теории поля, приведём обоснование выбора во второй главе (посвящённой разработке нового теоретического подхода к аналитической оценке структурированных деривативов) уравнения Пригожина (а не, например, Фоккера - Планка, решением которого также служит функция плотности вероятности и которое сопряжено с уравнением Дынкина) с точки зрения современной теории динамических систем. Предложены также принципы, которыми следует руководствоваться при выборе правых частей уравнений движения (динамической системы) в уравнении Пригожина.

В силу сложности и нетривиальности связей, лежащих в основе базовых активов, структурированные деривативы являются предметом исследования нелинейной динамики, теории динамических систем [11-14;38]. За счёт совместного действия структурированный дериватив наделяется некими новыми «свойствами», которые интересно как с академической, так и с практической точек зрения исследовать и сравнить со «свойствами» отдельно взятых частей продукта. В этой связи, важно сопоставить выигрыш (в том числе с позиции его получателя) в обоих случаях и сделать выводы об экономической целесообразности (или об её отсутствии) наличия на рынке структурированных продуктов. Разложение функции выплат по базису (см. параграф 2.1) и, соответственно, оценка позволяют выявить «свойства» инструмента (сравнивая его теоретическую цену с суммой (либо же разницей - в зависимости от спецификации функции выплат) цен составных частей, с одновременной вариацией всей совокупностью параметров продукта) и осуществить подобное сопоставление выигрыша.

Обратимся к проблеме сложного с точки зрения современной теории динамических систем. Цель теории - исследовать типы поведения систем, описываемых взаимосвязанными нелинейными уравнениями. В монографии [17] рассматриваются минимальные условия возникновения сложного поведения и основные особенности решений соответствующих уравнений. Кроме того, обсуждаются некоторые механизмы, посредством которых нелинейная система, отклонённая от равновесия, может порождать неустойчивости, приводящие к бифуркациям, нарушению симметрии и внезапному появлению хаотической динамики - естественной тенденции широкого класса систем (в частности, финансовых рынков) к переходу в состояния, в которых обнаруживаются как детерминистическое поведение, так и непредсказуемость.

Динамические системы обычно задают в виде уравнений движения [13]. Последние позволяют по точке х в момент времени t найти точку, отвечающую следующему моменту времени ^+1 - для дискретного времени, t+dt - для непрерывного времени), и так - шаг за шагом. Одна из основных задач хаотической динамики и состоит в том, чтобы по уравнениям движения исследовать свойства отображения - дискретной группы преобразований фазового пространства.

Рассмотрим динамические системы с конечным числом переменных. Динамические уравнения для систем с конечным числом степеней свободы имеют вид [17]:

^ = МХ}Д), (Б.1)

где 1 = 1,..,п; X - состояния системы.

Подразумевается, что в операторе F нет явной зависимости от

пространственной координаты. Мы ограничиваемся случаем автономных систем, для которых F не содержит явной зависимости от времени, вследствие чего траектории в фазовом пространстве инвариантны [17].

Эволюцию динамической системы можно рассматривать как преобразование, отображающее фазовое пространство само в себя. В процессе

этого преобразования траектории, выходящие из определённой части фазового пространства, образуют сложное движение. Одна из возможностей его описания состоит в полном задании состояния системы ( Х ь.., Х п) в любой момент времени, позволяющем предсказывать её состояние во все последующие времена. В таком случае, решение динамических уравнений (Б.1) однозначно. Однако, когда движение в фазовом пространстве становится чрезвычайно сложным, как в случае хаотического режима - нетривиально связанных случайных процессов (описывающих динамику цен базовых активов, формирующих сложный финансовый продукт), такой подход не имеет смысла. Здесь рассуждать на языке отдельных траекторий вообще бессмысленно. Очевидно, что необходим другой способ описания.

Одним из наиболее распространённых способов описания является вероятностный подход. Установим вид уравнения для плотности вероятности р с целью получения возможности предсказывать вероятность появления в системе тех или иных значений определённых финансовых переменных. Для этого воспользуемся некоторыми рассуждениями, весьма близкими к тем, которые используются в механике жидких сред - методологическом основании рассматриваемого здесь подхода.

В результате получим следующее уравнение [17]:

Алгебраическая сумма второго слагаемого в круглых скобках (без р) -дивергенция вектора F, компоненты которого отражают скорость изменения соответствующих переменных X. Смысл уравнения состоит в том, что плотность вероятности р при движении в фазовом пространстве сохраняется (теорема Лиувилля). р - вероятность обнаружения в момент времени t некоторого члена «ансамбля» (ансамбль Гиббса - очень большое число идентичных систем, находящихся в одних и тех же макроскопических условиях) в элементе объёма фазового пространства, содержащего внутри себя состояние X.

п

(Б2)

Уравнение (Б.2) используется для описания процессов, протекающих хаотично, т.е. в тех случаях, когда детерминистическое поведение носит в значительной мере случайный характер.

Итак, структурированные производные финансовые инструменты покрывают сложные явления, возникающие в финансовой системе. Мы установили методологическое основание для их аналитической оценки: дифференциальное уравнение Лиувилля с частными производными первого порядка в спецификации И. Пригожина и Г. Николиса (Б.2). Решением уравнения служит функция плотности вероятности, которая лежит в основе формализма (7), описывающего эволюцию во времени справедливой стоимости структурированного дериватива.

В структуре уравнения Пригожина - правые части уравнений движения. Для двумерного случая - два уравнения движения:

„г .

„ ,^ (Б.3)

Выражение (Б.3) и есть динамическая система - автономная система дифференциальных уравнений, анализируемая с точки зрения поведения её траекторий в фазовом пространстве. В нашем исследовании правые части уравнений движения отвечают за субъективное восприятие ценового процесса участниками рынка и описывают мгновенное смещение процесса. Заметим, что в предлагаемом нами теоретическом подходе к аналитической оценке структурированных деривативов динамическая система является заданной.

Итак, мы определили динамическую систему как ценовой процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности значений финансовой переменной в заданный момент времени и задан оператор, определяющий эволюцию начального состояния во времени. Нами рассматривается автономная система дифференциальных уравнений с двумя степенями свободы (двумерное фазовое пространство). Предлагаемый здесь

подход легко переносится на более высокие порядки степеней свободы (многомерные фазовые пространства под многомерные распределения).

Коль скоро количество возможных правых частей уравнений движения остаётся слишком большим, необходимо выработать подход к установлению их вида.

Очевидно, что структура будет весьма специфически зависеть от характера рассматриваемой системы, а также от типа протекающих в ней процессов. В нашем исследовании правые части уравнений движения отвечают за субъективное восприятие ценового процесса участниками рынка. Как раз здесь и начинает играть особую роль представление о нелинейности. Именно она отвечает за множественность решений и, следовательно, за диверсификацию типов поведения системы. На финансовом рынке нелинейностей, пожалуй, не меньше чем в механике жидких сред. Последняя, кстати, служит для нас отличным «прототипом сложного»: скорость изменения той или иной характеристики среды, помимо прочих факторов, зависит от переноса этой характеристики за счёт течения среды, скорость которого является одной из переменных данной задачи.

В научной литературе по теории динамических систем выделены среди возможных правых частей уравнений движения типичные модели [11-14;38], исследование которых даёт информацию о широком классе объектов. Кроме того, разработана полная классификация всех структурно-устойчивых фазовых портретов систем, эволюционирующих в двумерном фазовом пространстве.

Лейтмотивом нашего исследования (см. параграф 2.1) стала бифуркация рождения (исчезновения) предельного цикла из сложного фокуса конечномерной динамической системы: бифуркация Пуанкаре - Андронова - Хопфа [13;14].

Наметив общий подход к заданию динамической системы, сформулируем теперь строго принципы, которыми следует руководствоваться при выборе нелинейности (или, выражаясь на языке нелинейной динамики, типичной бифуркации нелинейных динамических систем), т.е. правых частей уравнений

движения. Параллельно будем давать комментарии к каждому из них. Итак, выделим пять принципов.

- Принцип методологического натурализма. Для биологических систем (напомним, что за обсуждаемыми здесь формализмами (Б.2) и (Б.3) стоит субъективное восприятие ценового процесса участниками рынка, работа головного мозга) характерно периодическое изменение различных характеристик. В фазовом пространстве такому типу поведения соответствует притягивающее множество (аттрактор), называемое предельным циклом. Предельный цикл есть изолированная замкнутая кривая на фазовой плоскости, к которой в пределе при ^го стремятся все интегральные кривые. Предельный цикл, таким образом, и отражает закон убывания неопределённости субъективной картины мира по мере продвижения мысленного взора к более отдалённому будущему (при достаточно большом 1:) - интуитивная картина будущего является более упорядоченной по сравнению с субъективной картиной настоящего [83].

- Принцип (а точнее, принципы) нелинейной динамики. Предложенный в параграфе 2.1 универсальный подход к ценообразованию структурированных продуктов основывается на многомерном базовом процессе. Нами рассматриваются два ценовых процесса, следовательно, минимальная модель должна содержать два уравнения. Таким образом, выбор априори более сложного поведения системы (чем, например, отсутствие всяких временных изменений, хорошо описываемое бифуркациями неподвижных точек, а также поведение системы, позволяющее проводить линеаризацию уравнений движения) обращается к предельному циклу, требующему двух уравнений, правые части которых должны быть представлены нелинейными функциями. Кроме того, рассматриваемые уравнения движения должны быть приведены к каноническому виду (данный подход лежит в основе теории катастроф [1;11]).

- Принцип «разумной максимизации» степени нелинейности: чем выше порядок нелинейности, тем более широкий класс процессов она может описать. Два последних принципа объясняют границы «разумности».

- Принцип создателя аэродинамики Н.Е. Жуковского: «Механиком является не тот, кто пишет уравнения, а тот, кто пишет их так, что они интегрируются». Нелинейность должна обеспечить возможность решения уравнения Пригожина (9) доступными исследователю способами.

- Техническая возможность решения уравнения Пригожина (9) средствами Mathcad, Maple, Matlab, Mathematica. Очевидно, что данный принцип является балансирующим между третьим и четвёртым принципами.

Типичная нелинейность в формализме (10), обеспечивающая бифуркацию Пуанкаре - Андронова - Хопфа соответствует всем вышеуказанным принципам. По нашему мнению, степень нелинейности, равная трём, является компромиссной с точки зрения последних трёх принципов.

Приложение В. Решение двумерного уравнения Пригожина методом Ритца

33

Построить аналитическое (в смысле, нечисленное) решение уравнения Пригожина (9) с выбранными правыми частями уравнений движения (10) не

34

представляется возможным в силу следующих причин :

- нет готового первого интеграла (principal integral) в справочной литературе [46];

- решение через нахождение двух независимых первых интегралов характеристической системы:

dx dy d w(x,y)

E(x, у) = G(x,y) = ЖУ) + dG^yn . w(x )

V dx dy /

не обеспечит должным результатом: по ходу решения появятся либо арктангенс, либо симбиоз показательной и степенной функции, когда переменная x или y присутствует как в основании степени, так и в показателе степени;

- решение динамической системы (10), получение x(t), y(t), w(t), принятие w(t) за сложную функцию с последующим возвратом к переменным x и y также не обеспечит должным результатом в силу причин, описанных в предыдущем пункте;

- средства Mathcad, Maple, Matlab, Mathematica не позволяют построить аналитическое решение.

В случае, когда построить решение дифференциального уравнения аналитически не представляется возможным, а также в случае необходимости решения задачи о собственных значениях и собственных функциях (аналогично по смыслу задаче Штурма - Лиувилля), следует поставить вариационную задачу на поиск минимума функционала, являющегося функцией - решением исходного дифференциального уравнения. Для этого можно воспользоваться так называемыми прямыми методами, которые позволяют при заданных краевых

33

В том числе стационарное решение (а=0) уравнения (9) с последующим подбором оператора, позволяющего прийти к нестационарному решению.

34 Приведённый здесь набор причин был установлен в ходе проведённого нами эксперимента в третьей главе (получение функции плотности для аналитической оценки сложных продуктов) и не является исчерпывающим.

естественных условиях (Feller's boundary classification [36;37]) получать численное решение исходного дифференциального уравнения.

Рассмотрим решение двумерного уравнения Пригожина (9) методом Ритца.

Шаг 1. Установим краевые естественные условия и зададим область интегрирования.

В рамках чисто финансового исследования мы вправе ослабить предпосылки к установлению краевых условий и заданию области интегрирования, о которых идёт речь в математической литературе при рассмотрении метода Ритца для двумерных уравнений, в частности, для задачи Дирихле.

Искомая функция плотности w(x,y) должна удовлетворять в заданной области интегрирования V требованию к объёму под поверхностью (должен быть равен единице) и w(x,y) > 0 в силу того, что функция распределения неубывающая. Это естественные условия задачи.

Область интегрирования должна соответствовать области определения финансовых переменных x и y, которые описывают цены базовых активов структурированного дериватива. Чем ближе верхние и нижние границы интегрирования расположены к наблюдаемым на рынке ценам базовых активов в рассматриваемом периоде времени (периоде, в рамках которого, оценивается справедливая стоимость сложного продукта), тем точнее будет численное решение.

Шаг 2. Установим вид функционала, в отношении которого ставится вариационная задача.

Задача с естественными краевыми условиями эквивалентна вариационной задаче для функционала:

R[Ф(х,у)] = // ф(х,У) ■ Е(х ,у) ■ ^ + ф(х,У) ■ G(x,y) ■ ф*(*у) ■ + ^ - a) dxdy (В.1)

V ^ '

То есть приближённое решение уравнения Пригожина (9) с естественными условиями даёт минимум функционалу (В.1). Если существует функция ф(х,у),

дающая минимум функционалу (В.1), то эта функция служит приближённым решением уравнения (9).

Шаг 3. Выберем систему линейно независимых функций (координатных функций).

Как и в случае установления естественных условий, при выборе координатных функций необходимо учесть, что весовая функция ф(х,у), служащая приближённым решением уравнения Пригожина (собственная функция задачи Штурма - Лиувилля), должна обладать свойствами функции плотности вероятности в заданной области интегрирования. При этом, область интегрирования необходимо максимально приблизить к области определения х и у с точки зрения их экономического содержания для более точной оценки коэффициентов при координатных функциях в численном решении. В таком случае, весовую функцию ф(х,у) можно определить как функцию плотности вероятности.

Систему линейно независимых координатных функций выберем произвольно для удобства расчётов и технической возможности получения решения. В таблице В.1 приведены примеры двух наборов координатных функций, которые мы использовали в нашем исследовании.

Таблица В.1 - Примеры двух наборов координатных функций

Первый набор координатных функций Второй набор координатных функций

ш0 = х-у

= х ■ (х - у) ш0 = 1-у

ш2 = X ■ (х - у) ■ у ( )

= х2 ■ (х - у) ш2 = (х2 - 1 ) ■ у

= х2 ■(х - у) ■ у ( )

= х2 ■ (х - у) ■ у 2 ш4 ( )

ш6 = х 3 ■ (х - у)

Источник: разработано автором

Заметим, что методом Ритца можно отыскать (разумеется, приближённо) лишь конечное число собственных значений задачи Штурма - Лиувилля (как правило, такие задачи имеют бесконечное множество собственных значений).

Причём, чем больше используется координатных функций, тем больше находим собственных значений и выше точность вычислений.

Шаг 4. Установим вид решения вариационной задачи - функцию плотности ф(х,у), которая служит приближённым решением уравнения Пригожина.

Решение вариационной задачи будем искать в виде линейной комбинации, принадлежащей классу допустимых функций при любых постоянных с (т.е. удовлетворяющей естественным краевым условиям):

11

ф(Ху) = ■ ¡=0

(В.2)

где с - коэффициенты при координатных функциях, с0 = 1.

Для первого набора базисных функций из таблицы В.1 функция ф(х,у) в соответствии с (В.2) примет следующий вид:

ф(х,у) = х - у + сг ■ х ■ (х - у) + с2 ■ х ■ (х - у) ■ у + с3 ■ х2 ■ (х - у) + с4 ■ х2 ■ (х - у) ■ у + с5 ■ х2 ■ (х - у) ■ у2 + с6 ■ х3 ■ (х - у),

а для второго набора:

ф(х, у) = 1 - у + с! ■ (х - 1) ■ у + с2 ■ (х2 - 1) ■ у + сз ■ (х3 - 1) ■ у + с4 ■ (х4 - 1) ■ у.

Подставляя выражение (В.2) в функционал (В.1), получим некоторую функцию Щф(х,у)]:

с!хс}у.

(В.3)

Функции R[ф(x,y)], Е(х,у), в(х,у), w(x,y) здесь и далее обозначены в компактном виде: R[ф], Е, О, w.

Подберём теперь коэффициенты с !,..., с п так, чтобы функция Щф] имела минимум. Если данная функция существует и даёт минимум функционалу, то она и служит решением дифференциального уравнения.

Для этого необходимо выполнение следующих условий (дифференцируем по параметрам с ± ,..., с п под знаком интеграла и приравниваем к нулю производные, ]=1,2,...,п):

с} Я[ф ] [[ V-1 /

ас.

= //е' ЕК^т* +с- ЕК^Т* -(ссх+сН-2'

Wjdх Су = 0.

(В.4)

Другими словами, приходим к следующей системе:

( Е ■ Ш; ■ ——+ 0 ■ ш; ■ ——) = 0 ,

ах ау

1=0

¿у

Zdwi dwi

( е^Ш^";^"!0^^";^") = 0' (В.5)

( Е ■ Ш; ■ "&Т + 0 ■ Ш; ■ "сГ~) = 0 '

1=0 где:

К'Ш) = Ц - ^ + - «) ■ 2 ■ Ш; ■ Шdxау. (В.6)

V

Из линейной системы (В.5) и определяются коэффициенты с !,..., с п . Подчеркнём, что их оценка производится в области определения V финансовых переменных х и у, которая максимально приближена к наблюдаемым на рынке ценам базовых активов сложного продукта.

Для составления системы (В.5) подсчитаем коэффициенты при неизвестных с !,..., с п и свободные члены (шп, шп). В силу того, что нами рассматривается задача о собственных значениях и собственных функциях, коэффициенты будут включать в себя «альфы».

Система (В.5) имеет ненулевое решение с ь..., с п тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю. Приравнивая к нулю определитель системы, получим характеристическое уравнение и решим его относительно а. Таким образом находим приближённые собственные значения задачи (по ходу решения, в целях недопущения появления мантиссы с высоким порядком после гауссовской процедуры, следует округлять «альфы» до трёх знаков после запятой).

Далее вновь возвращаемся к системе (В.5) и для каждого собственного значения а методом Гаусса находим коэффициенты с !,..., с п . Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (В.2) получаем собственную функцию ф(х,у) уравнения (9) при данном собственном значении а. Отметим, что каждое собственное значение и соответствующая ему собственная функция формируют полный ортогональный базис гильбертова пространства.

Из полученных пар собственных значений и соответствующих им собственных функций следует выбрать собственное значение, обеспечивающее

максимальную близость к единице (относительная погрешность должна быть минимальной) объёму под поверхностью соответствующей ему собственной функции.

Округлением коэффициентов при координатных функциях добиваемся «единицы под поверхностью» выбранной собственной функции ф(х,у). Такая функция и будет являться приближённым решением уравнения Пригожина (9), т.е. функцией плотности w(x,y) совместного негауссовского асимметричного распределения вероятностей двумерной случайной величины (весовой функцией). Напомним, что на степенных моментах функции плотности строится базис, который обеспечивает эволюцию во времени справедливой стоимости структурированного дериватива. Функция плотности также присутствует в явном виде в формализме (7), позволяющем определить справедливую стоимость сложного финансового продукта.

В качестве примера на рисунке В. 1 представлена полученная методом Ритца весовая функция, которая в заданной области интегрирования (области определения финансовых переменных х и у) понимается как плотность вероятностей совместного распределения цен базовых активов структурированного дериватива, описываемых финансовыми переменными х (отношением процентной ставки EURIBOR 3M к котировке валютной пары EUR/USD) и y (значением процентной ставки LIBOR USD 3M). На рисунке В.1 также приведён контур этого распределения.

Рисунок В.1 - Поверхность и контур, заданные весовой функцией ^^(х,у) (х и у

пробегают значения от 0 до 1 с шагом 0,01)

Источник: разработано автором

На рисунке В.2 приведён ещё один пример полученной методом Ритца весовой функции - двумерной функции плотности вероятностей.

Рисунок В.2 - Поверхность и контур, заданные некоторой весовой функцией -двумерной функцией плотности вероятностей (х и у пробегают значения от 0 до 2

с шагом 0,01)

Источник: разработано автором

Из рисунка В.1 и рисунка В.2 видно, что совместное распределение асимметрично. Такой вид плотности гарантирует сохранение нетривиальных свойств совмещённых процессов.

В заключение отметим, что регулируемыми параметрами в решении уравнения Пригожина методом Ритца являются: область интегрирования; округления (собственных значений, коэффициентов при координатных функциях). Их выбор (наряду с выбором самих координатных функций) оказывает влияние на численное решение.

Приложение Г. Подход Гамбургера в построении системы ортонормированных по двум переменным полиномов

В параграфе 2.1 предлагается построить базис с помощью определителей матриц Ганкеля (подхода Гамбургера) степенных моментов весовой функции (функции плотности вероятности), служащей решением уравнения Пригожина

(9).

Всякой весовой функции (обозначим её в формализмах ниже как соответствует система степенных моментов, которые определяются по формуле:

М(х,

i

:, у, n, k) = JJ хп-к ■ ук ■ w(x, у) dx dy,

(Г.1)

где Г - верхняя граница области интегрирования, соответствующая верхней границе области определения весовой функции, рассматриваемой как функции плотности совместного негауссовского асимметричного распределения вероятностей двумерной случайной величины (т.е. верхняя граница области интегрирования, в которой объём под поверхностью весовой функции равен единице).

Множество этих моментов можно представить в виде треугольной таблицы

(здесь и далее значения степенных моментов из формализма (Г.1) обозначены как

M):

м00,

м10,м11,

м20,м21,м22,

Мп0,Мп1.....м„п-1, мп

Из моментов (Г.2) составим определители:

Д00 = м00, Дт =

Ли =

Д™ =

м00 м10

|м10 м20|

м00 м10 м11

|м10 м20 м21| ,

м11 м21 м22

м00 м10 м11 м20

м10 м20 м21 м30

|м11 м21 м22 м31|

м20 м30 м31 м40

(Г.3)

м00 м10 Мц . Мпк

м10 м20 М21 . Мп+1,к

Дпк = м11 м21 М22 - Мп+1,к+1

мпк Мп+1,к Мп+1,к+1 - М2п,2к

Рассмотрим систему линейно независимых функций:

1, X, у, X2, ху, у2,..., хп-кук. (Г.4)

В определителе (Г.3) заменим последнюю строку функциями (Г.4). Рассмотрим при п>1 многочлен:

Рпк(х,у) =

М00 М10 - Мп,к-1 Мпк

М10 М20 - Мп+1,к-1 Мп+1,к

Мп,к-1 Мп+1,к-1 - М2п,2(к-1) М2п,2к-1

1 х - ,,п-к+1,,к-1 х у хп-кук

(Г.5)

С учётом (Г.3) и (Г.5) формула для ортонормированных многочленов

запишется в виде: 1

Гпк(х,у)

Рпк(х,у)

(Г.6)

УДп,к-1 " Дпк

(при к = 0 под знаком корня имеем: Дп-1,п-1 ■ Ап0).

С помощью формул (Г.3), (Г.5) и (Г.6) можно вычислять многочлены, ортонормированные по области V с весом Применяя эти формулы,

находим:

1

Гоо(х,у) = Гю(х,у) =

У11 (х, у) =

У2о(х,у) =

У21(х,у) =

ТДО' 1

УД00Д 1

|МПп м

10 | х I

7ДцД2

УД20Д2

М00 М10 М11

М10 М20 М21| ,

1 х у

М00 М10 М11 М20

М10 М20 М21 М30

|М11 М21 М22 М31| ,