Аналитическая модель стационарного магнитного пересоединения в бесстолкновительной плазме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.03, кандидат физико-математических наук Коровинский, Даниил Борисович

• Коровинский, Даниил Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коровинский, Даниил Борисович

Введение в

1 Магнитное пересоединение

1.1 Магнитное пересоединение - механизм преобразования энергии в плазме

1.2 Эффект Холла и скорость пересоединения.

1.3 Модель пересоединения Свита-Паркера.

1.4 Модель пересоединения Петчека. Скейлинг.

1.5 От альфеновских волн к вистлерам

1.6 Электронная диффузионная область.

1.7 Приближения HMHD и EHMHD.

1.8 Формулировка проблемы

1.8.1 Основные черты холловского пересоединения

1.8.2 Постановка задачи.

2 Модель антипараллельного пересоединения в несжимаемой плазме

2.1 Решение системы уравнений EHMHD.

2.1.1 Формулировка задачи.

2.1.2 Потенциалы.

2.1.3 Уравнение Бернулли.

2.1.4 Замена переменных

2.1.5 Уравнение Грэда-Шафранова.

2.1.6 Решение. Сводка формул.

2.2 Свойства решения.

2.2.1 Правая часть уравнения Грэда-Шафранова. Функция G(A). Оценки величин.

2.2.2 Линейное приближение по А. Магнитное поле Ву

2.3 Сводка результатов.

2.4 Пример простейшей модели.

2.5 Резюме.

3 Обобщения модели

3.1 Сжимаемая плазма.

3.1.1 Модификация уравнений.

3.1.2 Решение для потенциалов А и Фе.

3.1.3 Движение протонов

3.1.4 Сводка формул и результатов.

3.2 Наличие ведущего поля.

3.2.1 Аналитическое решение.

3.2.2 Исследование решения.

3.3 Резюме.

4 Сравнение с кинетическим моделированием

4.1 Описание численной модели.

4.2 Граничные условия и параметры аналитической модели

4.3 Сравнение результатов.

4.4 Резюме.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитическая модель стационарного магнитного пересоединения в бесстолкновительной плазме»

Настоящая диссертация посвящена разработке аналитической модели стационарного магнитного пересоединения в квазинейтральной бесстолкновительной плазме па бесконечном токовом слое. Модель строится в двухжидкостном приближении с использованием приближения электронной холловской магнитогидродинамики (EHMHD -electron Hall MHD). Метод основан на решении уравнения Грэда-Шафранова для магнитного потенциала и уравнения Бернулли для движения протонов. На основе полученного решения этих уравнений построена модель пересоединения в несжимаемой и сжимаемой плазме при произвольном значении величины ведущего поля. Проведено сравнение модели с результатами численного моделирования методом particle-in-cell (PIC). Оба метода демонстрируют хорошее соответствие: структуры распределений физических параметров, полученные двумя сравниваемыми методами, качественно совпадают, количественные различия характеризуются коэффициентом порядка 1.

Актуальность темы. В современной физике плазмы большое внимание уделяется процессам быстрого преобразования энергии магнитного поля в кинетическую и тепловую энергию плазмы. Для космической физики особенно важно исследование выделения энергии, накопленной в тонких токовых слоях. Процессы распада токового слоя, сопровождаемые топологической перестройкой магнитного поля, ускорением и нагревом плазмы, ответственны за такие явления, как вспышки на Солнце [9| и звездах [5j, взаимодейстие солнечного ветра с магнитосферой Земли [1, 11, 51, 54] и других планет [63], магнитосферные суббури [14, 31], неустойчивости срыва в тока-маках [4] и др.

Исследования, посвященные процессам быстрого распада токового слоя, проводятся, начиная с 50-х годов прошлого века. Модели, предложенные для объяснения этого класса явлений, известны под общим названием теории магнитного пересоединения. Из магнитогидродинамических (МГД) моделей пересоединения наибольшую известность получили модели Свита-Паркера [87J и [125] и, чуть позже, Петчека [89]. Модель Петчека оказалась предпочтительной для для объяснения явлений в космической плазме, так как эффективность пересоединения, предсказываемая этой моделью, оказалась гораздо выше, чем в модели Свита-Паркера. Принципиальной особенностью петчековского пересоединения является механизм быстрого преобразования энергии, который заключается в распаде токового слоя на систему ударных волн, на фронтах которых происходит ускорение плазмы.

С момента опубликования работы Петчека исследованию этой модели было посвящено большое количество научных работ. Были получены экспериментальные подтверждения реализации петчековского механизма пересоединения в магнитосфере, было проведено множество численных экспериментов. Развита была и теория Петчека: получены аналитические решения для нестационарного пересоединения, пересоединения в сжимаемой среде, трехмерного пересоединения [13, 107, 108]. Однако, по сравнению с достижениями компьютерного моделирования, аналитическая теория развита недостаточно. В частности, было установлено, что для развития сценария, описываемого петчековской моделью (построенной в рамках МГД приближения), необходимо наличие неоднородной проводимости плазмы, проявляющейся в присутствии локализованного аномального сопротивления. Появление такого сопротивления в бесстолкновительной плазме, каковой, в частности, является плазма земной магнитосферы, может вызываться развитием микронеустойчивостей, например, нижнегибридной неустойчивости, бунемановской, ионно-акустической или иных. Однако, потребность в неустойчивостях отпадает, если в законе Ома учесть член, описывающий эффект Холла. За счет этого эффекта происходит генерация дисперсионных волн (вистлеров), поддерживающих петчековскую конфигурацию и способ преобразования энергии. На сегодняшний день численными экспериментами подтверждена эффективность такого механизма, называемого иногда холлопским пересоединением, а спутниковыми наблюденими неоднократно зафиксированы его характерные проявления. Однако, в связи с математическими трудностями, удовлетворительной аналитической модели холловского пересоединения до сих пор не создано. В то же время, потребность в пей ощутима, поскольку исследование процесса магнитного пересоединения численными методами требует огромных вычислительных ресурсов, зачастую отсутствующих. Кроме того, как мы покажем в нашей работе, аналитическая модель позволяет более глубоко понять физическую природу и механизмы этого явления.

Целью настоящей работы является разработка аналитической модели стационарного магнитного пересоединения в квазинейтральной бесстолкновительной плазме на бесконечном токовом слое; построенние модели необходимо осуществить для процесса, описанного в рамках двухжидкостного приближения с использованием приближения электронной холловской магнитогидродинамики. Целью построения этой модели является выявление необходимых условий для осуществления процесса пересоединения, выяснение энергетических аспектов пересоединения, а также выявление взаимосвязей, существующих между физическими величинами в плазме в ходе пересоединения.

На защиту выносятся:

1. Метод решения системы уравнений электронной холловской магнитогидродинамики, разработанный для стационарного случая при наличии трансляционной симметрии вдоль одной из координатных осей и при условии бездивергентного течения электронной компоненты плазмы, и основанный на решении двух уравнений: уравнения Бернулли для движения протонов и уравнения Грэда-Шафранова для потенциала магнитного поля в плоскости пересоединения;

2. Аналитическая модель стационарного магнитного пересоединения в бесстолк-новительной квазинейтральной плазме, построенная на основе полученного решения в приближении тонкого погранслоя, и дающая наглядное представление о природе и взаимосвязи таких характерных особенностей холловского пересоединения, как

• квадрупольная структура магнитного поля пересоединения и

• соответствующая структура электронных холловских токов,

• структура электрических полей пересоединения и

• ускорение протонов до альфвеновской скорости под действием этих полей;

3. Необходимые условия такого пересоединения, выявленные построенной моделью:

• ускорение электронов в направлении Х-линии до скорости порядка электронной альфвеновской в окрестности сепаратрис магнитного поля, включая электронную диффузионную область;

• скачок электрического потенциала через сепаратрисы магнитного поля, имеющий величину порядка В%/(4тте), где Во есть величина магнитного поля па верхней границе EHMHD области, над Х-линией, а п и е есть концентрация частиц и величина элементарного заряда, соответственно.

Научная новизна:

1. Впервые показано, что система уравнений для плазмы, описанной в рамках двухжидкостного приближения с использованием приближения электронной холловской магнитогидродинамики, в стационарном случае, при наличии трансляционной симметрии вдоль одной из координатных осей, и при условии бездивергентного течения электронной компоненты плазмы, сводится к системе из двух уравнений: уравнению Грэда-Шафранова для потенциала магнитного поля в плоскости пересоединения, и уравнению Бернулли для скорости протонов.

2. Впервые получено полное самосогласованное решение этих уравнений в приближении тонкого пограничного слоя.

3. На основе полученного решения впервые разработана аналитическая модель стационарного магнитного пересоединения в бесстолкновительной плазме на бесконечном токовом слое (с бесконечной Х-линией).

4. С помощью разработанной модели впервые выявлена ключевая роль ускорения электронов в направлении Х-линии, а также связь скорости электронов с электрическим потенциалом и связь между величиной падения этого потенциала и скоростью протонов, - таким образом, выявлены необходимые условия осуществления стационарного пересоединения.

Практическая ценность. Научная ценность предложенной модели состоит в простом, но адекватном описании магнитного пересоединения в бесстолкновительной плазме, в частности, его энергетических аспектов. Построенная модель позволяет исследовать взаимосвязь между плазменными характеристиками, а также выявить вклад диффузионной области во всех тех случаях, когда пересоединение может быть описано в рамках электронной холловской МГД. Таким образом, модель, как исследовательский инструмент, имеет тпирочайтпую область применимости, в которую входят явления, связанные с магнитным пересоединением, развивающиеся в магнитосфере Земли и других планет, в солнечном ветре, в солнечных вспышках и других астрофизических процессах, а также в лабораторных плазменных установках.

Личный вклад автора. Автор участвовал в разработке модели, метода решения, его реализации в среде Matlab и в сравнении модели с данными численного моделирования. Все изложенные в диссертации результаты получены автором самостоятельно или на равных правах с соавторами.

Апробация работы. Представленные в работе результаты докладывались на семи международных конференциях: 36th COSPAR Scientific Assembly (Пекин, Китай, 2006), 29th and 31th Annual Seminars "Physics of Auroral Phenomena" (Апатиты, Россия, 2006, 2008), International Conferences "Problems of Geocosmos" (Санкт-Петербург, Россия, 2006, 2008), EGU General Assembly (Вена, Австрия, 2008), "The 9th International Conference on Substorms" (Сеггау, Австрия, 2008), а также на всероссийских конференциях "Физика плазмы в солнечной системе" (Москва, Россия, 2008 и 2009).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 4 статьи в научных рецензируемых журналах и 4 статьи в сборниках трудов научных конференций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 144 наименований и приложения; содержит 147 страниц машинописного текста, включая 46 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Физика Солнца», Коровинский, Даниил Борисович

Основные результаты

1. Показано, что система стационарных уравнений двухжидкостного приближения с использованием приближения EHMHD в 2.5-мерном случае при условии бездивергентного течения электронной компоненты плазмы сводится к системе из двух уравнений: уравнению Бернулли для скорости протонов и уравнению Грэда-Шафранова для потенциала магнитного поля в плоскости пересоединения.

2. Получены решения этих уравнений в приближении тонкого пограничного слоя; из полученных решений найдены все динамические и электромагнитные параметры плазмы, - то есть построено полное самосогласованное решение поставленной задачи в полном пространстве4.

3. Полученное решение позволило построить аналитическую модель пересоедине-"ния, которая помогла прояснить физический механизм этого процесса и выявить взаимосвязь плазменных характеристик. А именно:

4 В пределах области применимости EHMHD.

Показано, что для осуществления стационарного пересоединения необходимо существование, во-первых, области, в которой нарушается условие вмороженности магнитного поля в электронную жидкость, - электронной диффузионной области, EDR, а во-вторых, механизма, обеспечивающего разгон электронов в направлении .АТ-линии до скоростей порядка электронной альфвеновской скорости, как внутри EDR, так и в окрестности сепаратрис магнитного поля.

Установлено, что экстремальное значение этой скорости, равно как и экстремальная величина нормальной компоненты электрического поля определяются поперечным (то есть поперек слоя) размером EDR, демонстрируя обратнопропорциональную зависимость от него.

Также установлено, что магнитное поле пересоединения, - поле в направлении .Х-линии, - является функцией тока для вектора плотности потока электронной жидкости в плоскости пересоединения. Экстремальное значение этого поля также зависит от размеров EDR, обладая логарифмической зависимостью от ее продольного (то есть вдоль слоя) размера. С другой стороны, величина этого поля определяется магнитным полем в плоскости пересоединения, то есть распределением магнитного потенциала, которое, в свою очередь, определяется распределением скорости электронов в направлении .АТ-линии. Поскольку последняя зависит от поперечного размера EDR, то, т.о., установлено, что продольный и поперечный размеры EDR являются не независимыми, но самосогласованными параметрами.

Кроме того, установлено, что величина магнитного поля пересоединения обладает степенной зависимостью от скорости пересоединения с показателем степени 1/2.

Показано, что ускорение протонов осуществляется за счет сил электрического поля, распределение потенциала которого также определяется распределением скорости электронов в направлении Х-линии. При этом перепад потенциала вдоль траектории протона зависит только от величины магнитного поля Во на верхней границе области EHMHD, непосредственно над Х-линией. Величина этого перепада потенциала имеет значение примерно Вд/(8тгпе) в области втекания и еще столько же - в области ускорения, то есть всего « В2/(4тте) (точное равенство достигается на предельной траектории, лежащей на координатных осях). Такой перепад потенциала обеспечивает преодоление протонами сил давления и их разгон ровно до альфвеновской скорости в центре слоя.

Установлено, что скорость пересоединения в тонком слое, от которой зависит кривизна силовых линий магнитного поля в плоскости пересоединения, должна быть достаточно мала, - при увеличении кривизны силовых линий растет нормальная компонента магнитного поля, которая, как было показано, препятствует проникновению протонов в область ускорения. f) Установлено, что в приближении бездивергентного течения электронной компоненты плазмы концентрация частиц, определяется исключительно распределением магнитного поля пересоединения, имея от него степенную зависимость с показателем 2, что приводит к разрежению плазмы в области экстремальных значений этого поля, лежащих вблизи магнитных сепаратрис, внутри области ускорения. g) Показано, что наличие ненулевого ведущего поля приводит к возникновению квадрупольной структуры распределения концентрации частиц, при этом степень асимметрии пропорциональна произведению величины этого ведущего поля на магнитное поле пересоединения. h) Далее показано, что наличие ведущего поля оказывает малое влияние на движение электронной компоненты плазмы, и большее - на движение протонной компоненты. В частности, при направлении ведущего поля противоположном к направлению поля пересоединения происходит увеличение нормальной компоненты магнитного поля, что затрудняет проникновение протонов в область ускорения.

В то же время, наличие или отсутствие ведущего поля мало сказывается на движении протонов внутри этой области, внося лишь некоторые искажения в пространственное рапределение их скоростей. i) Наконец, показано, что ускорение протонов в направлении Х-линии определяется распределением их скорости в плоскости пересоединения. Протоны формируют тонкий, медленно расширяющийся токовый слой, шириной порядка инерционной длины электрона, с линейно увеличивающимся значением скорости от нуля на Х-линии до, примерно, 1/2 альфвеновской скорости, Уд, в том месте, где ^-компонента их скорости достигает значения Уд. При этом наличие ведущего поля слегка, в пределах 0.1, увеличивает это конечное значение, одинаково для всех четырех квадрантов.

4. Проведенное сравнение с данными кинетического моделирования бесстолкови-тельного пересоединения показало, что построенная модель дает вполне адекватное представление этого процесса. Распределения физических параметров, полученные двумя сравниваемыми методами, качественно совпадают, количественные различия характеризуются коэффициентом порядка 0.1 для величин, вычисляемых посредством интегрирования, и порядка 1 для величин, вычисляемых дифференцированием. При этом по сравнению наиболее существенных характеристик пересоединения получены следующие результаты: а) по значению нормальной компоненты электрического поля на магнитной сепаратрисе - совпадение с точностью до коэффициента 2 — 3; b) по пространственному расположению области ускорения, которое можно охарактеризовать отношением ее поперечного размера на выходе из области к продольному - совпадение с точностью до 30%; c) по профилю скорости электронов вдоль токового слоя в его центре - совпадение с точностью до значения скорости, набираемой электронами внутри EDR, которая находится за рамками применимости приближения EHMHD; d) по профилю скорости протонов в направлении Х-линии вдоль токового слоя в его центре - совпадение с точностью до величины фонового тока в Х-линии; e) по профилю скорости протонов вдоль токового слоя в его центре - совпадение с точностью до 20%; f) по экстремальному значению магнитного поля пересоединения - совпадение с точностью до 1%.

Таким образом, результатом работы явилось построение простой, но адекватной и содержательной модели стационарного магнитного пересоединения в квазинейтральной бесстолкновительной плазме, которая может быть использована для дальнейшего изучения этого явления; в частности для исследования взаимосвязей, существующих между физическими величинами в течение этого процесса.

Заключение

Диссертационная работа была посвящена решению задачи стационарного магнитного пересоединения в квазинейтральной бесстолкновительной плазме на бесконечном токовом слое; подобные задачи принято называть 2.5-мерными. Задача была поставлена в рамках двухжидкостного приближения, где движение электронной компоненты рассматривалось в приближении электронной холловской магнитогидродинамики, EHMHD. Сначала было получено решение для простейшего случая несжимаемой плазмы в отсутствии ведущего поля, на основе которого была построена аналитическая модель такого пересоединения. Затем, с использованием приближения бездивергентного течения электронной компоненты плазмы, решение было обобщено на случай сжимаемой плазмы, а также на случай присутствия ненулевого ведущего поля; для этих случаев также была представлена аналитическая модель таких процессов. Наконец, построенная модель была сверена с результатами кинетического моделирования пересоединения в бесстолкновительной плазме.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коровинский, Даниил Борисович, 2009 год

1. Акасофу С.И., Чепмен С. Солнечно-земная физика. - М.: Мир, 1975. - 512 с.

2. Ахиезер А.И. и др. Электродинамика плазмы / И.А. Ахиезер, Р.В. Половин, А.Г. Ситенко, К.Н. Степанов. М.: Наука, 1974. - 720 с.

3. Баранов В.Б., Краснобаев К.В. Гидродинамическая теория космической плазмы. М.: Наука, 1977. - 355 с.

4. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, 1988. - 303 с.

5. Кацова М.М., Лившиц М.А. Активность молодых звезд. М.: Знание, 1986. -61 с.

6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. - 736 с.

7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992. - 664 с.

8. Пристп Э.Р. Солнечная магнитогидродинамика. М.: Мир, 1985. - 589 с.

9. Прист Э., Форбс Т. Магнитное пересоединение / Пер. с англ.; Под ред. В.Д. Кузнецова и А.Г. Франк. М.: Физматлит, 2005. - 591 с.

10. Пудовкин М.И., Семенов B.C. Теория пересоединения и взаимодействие солнечного ветра с магнитосферой земли. М.: Наука, 1985. - 150 с.

11. Пудовкин М.И., Шухова Л.З. Некоторые проявление процесса магнитного пересоединения в солнечном ветре // Геомагнетизм и аэрономия. 1988. - Т. 28. - С. 667-672.

12. Семенов В. С., Хейн М. Ф., Кубышкин И.В. Пересоединение магнитных силовых липий в нестационарном случае // Советская астрономия. 1983. - Т. 27.- С. 660-665.

13. Сергеев В.А., Цыганенко Н.А. Магнитосфера Земли. М.: Наука, 1980. - 174 с.

14. Сыроватпский С.И. Формирование токовых слоев в плазме с вмороженным сильным магнитным полем // ЖЭТФ. 1971. - Т. 33. - № 3. - С. 933-940.

15. Сыроватпский С.И. Ключевые вопросы теории вспышек // Изв. АН СССР. -1979. Сер. Физ. - Т. 43. - № 4. - С. 695-704.

16. Франк А.Г. Формирование, эволюция и взрывное разрушение токовых слоев в плазме // Тр. ФИАН. 1985. - Т. 160. - С. 93-121.

17. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М: Наука, 1974. - 712 с.

18. Alexeev I.I., Belenkaya E.S., Bobrovnikov S. Y., Kalegaev V. V. Modelling of the electromagnetic field in the interplanetary space and in the Earth's magnetosphere // Space Science Rev. 2003. - Vol. 107. - № 1/2. - P. 7—26.

19. Alexeev I.V., Owen C.J., Fazakerley A.N., Runov A., Dewhurst J.P., Balong A., Reme H., Klecker В., and Kistler L., Cluster observations of currents in the plasma sheet during reconnection // GRL. 2005. - № 32. - P. L03101.1-L03101.7.

20. Bale and Mozer Measurement of Large Parallel and Perpendicular Electric Fields on Electron Spatial Scales in the Terrestrial Bow Shock // Phys. Rev. Lett. 2007.- Vol. 98. P. 205001.1-205001.4.

21. Bhattacharjee A., Germaschewski K., and Ng C.S. Current singularities: Drivers of impulsive magnetic reconnection // Phys. Plasmas. 2005. - Vol. 12. - № 4. -P. 042305.1-042305.11.

22. Bhattacharjee A., Ma W., and Wang X. Impulsive reconnection dynamics in col-lisionless laboratory and space plasmas // J. of Geophys. Res. 1999. - Vol. 104. -№ A7. - P. 14543-14570.

23. Birdsall C.K., Langdon A.B. Plasma Physics via Computer Simulation. Bristol: Adam Hilger, 1991. - 479 p.

24. Biskamp D. Magnetic reconnection via current sheets // Phys. Fluids. 1986. -Vol. 29. - P. 1520-1531.

25. Biskamp, D. Magnetic reconnection in Plasmas. Cambridge: Cambridge University Press, 2000. - 387 p.

26. Biskamp D., Schwarz E., and Drake J.F. Two-fluid theory of collisionless magnetic reconnection 11 Phys. Plasmas. 1997. - Vol. 4. - № 4. - P. 1002-1009.

27. Gai H.J., Ding D.Q., and Lee L.G. Momentum transport near a magnetic X line in collisionless reconnection //J. Geophys. Res. 1994. - Vol. 99. - № Al - P. 35-42.

28. Coroniti F. V. Explosive tail reconnection: the growth and explosive phases of mag-netospheric substorm // J. Geophys. Res. 1985. , Vol. 90. - P. 7427-7447.

29. Cothran C.D., Landreman M., Brown M.R., and Matthaeus W.H. Generalized Ohm's law in a 3-d reconnection experiment // Geophys. Res. Lett. 2005. - Vol. 32. - № 2. - P. L03105.1-L03105.4.

30. Craig I.J.D., Watson P. G. Exact models for Hall current reconnection with axial guide fields // Phys. Plasmas. 2005. - Vol. 12. - P. 012306.1-012306.9.

31. Daughton W., Scudder J., and Karimabadi H. Fully kinetic simulations of undriven magnetic reconnection with open boundary conditions // Phys. Plasmas. 2006. -Vol. 13. - P. 072101.1-072101.5.

32. Divin A. V., Sitnov M.I., Swisdak M., and Drake J.F. . Reconnection onset in the magnetotail: Particle simulations with open boundary conditions // Geophys. Res. Lett. 2007. - Vol. 34. - № 9. - P. L09109.l-L09109.14.

33. Dorelli J. C. Effects of Hall electric fields on the saturation of forced antiparallel magnetic field merging // Phys. Plasmas. 2003. - Vol. 10. - № 8. - P. 3309-3314.

34. Dorelli J. G. and Birn J. Wistler-mediated magnetic reconnection in large systems: Magnetic flux pileup and the formation of thin current sheets //J. Geophys. Res.- 2003. Vol. 108. - № A3. - R 1133-1143.

35. Drake J.F., Swisdak M., Cattell G., Shay M.A.,Rogers B.N., and Zeiler A. Formation of electron holes and particle energization during magnetic reconnection // Science. 2003. Vol. 299. - P. 873-879.

36. Dungey J. W. Conditions for the occurence of electrical discharges in astrophysical systems // Phil. Mag. 1953. - Vol. 44. - P. 725-738.

37. Dungey J. W. Interplanetary magnetic field and the auroral zones // Phys. Rev. Lett. 1961. - Vol. 6. - P. 47-48.

38. Dungey J. W. Noise-free neutral sheet // International Workshop in Space Plasma: Proc. Paris: ESA SP-285, 1988. - Vol. 2. - P. 15-19.

39. Erkaev N. V., Semenov V.S., Jamitzky F. Reconnection rate for the inhomogeneous resistivity Petschek model // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 84. - № 7. - P. 1455.11455.8.

40. Erkaev N.V., Semenov V.S., Alexeev I.V., Biernat U.K. Rate of steady-state reconnection in an incompressible plasma // Phys. Plasmas. 2001. - Vol. 8. - 11.- P. 4800-4809.

41. Erkaev N. V., Semenov V.S., and Biernat H.K. Tvvo-dimensional MHD model of the reconnection diffusion region // Nonlinear Processes in Geophysics. 2002. -Vol. 9. - P. 131-138.

42. Fitzpatrick R. Scaling of forced magnetic reconnection in the Hall-magnetohydrodynamical Taylor problem // Phys. Plasmas. 2004. - Vol. 11. - № 8. - P. 3961-3968.

43. Furno I., Intrator T.P., Hemsing E. W., Hsu S.C., Abbate S., Ricci P., and Lapenta G. Coalescence of two magnetic flux ropes via collisional magnetic reconnection 11 Phys. Plasmas. 2005. - Vol. 12. - № 5. - P. 055702.1-055702.7.

44. Furth H.P., Killeen J., Rosenbluth M.N. Finite-resistivity instabilities of a sheet pinch 11 Phys. Fluids. 1963. - Vol. 6. - P. 459-464.

45. Giovanelli R.G. A theory of chromospheric flares // Nature. 1946. - Vol. 158. -P. 81-82.

46. Gosling J. T. Observations of Magnetic Reconnection in the Turbulent High-Speed Solar Wind // Astrophys. J. Lett. 2007. - Vol. 671. - P. L73-L76.

47. Gosling J.T., Asbridge J.R., Вате S.J., Feldman W.G., Paschmann G., Sckopke N. and Russell C.T. Evidence for quasi-stationary reconnection at the dayside magnetopause // J. Geophys. Res. 1982. - Vol. 87. - P. 2147-2158.

48. Gosling J.T., Birn J., Hesse M. Three-Dimensional Magnetic Reconnection and the Magnetic Topology of Coronal Mass Ejection Events // Geophys. Res. Lett. -1995. Vol. 22. - № 8. - P. 869-872.

49. Gosling J.T. and Szabo A. Bifurcated current sheets produced by magnetic reconnection in the solar wind // J. Geophys. Res. 2008. - Vol. 113. - Л* A10 - P. A10103.1-A10103.8.

50. Grad H. and Rubin H. Hydromagnetic Equilibria and Force-Free Fields // 2nd UN Conf. on the Peaceful Uses of Atomic Energy: Proc. Geneva: IAEA, 1958. - Vol. 31. - P. 190-197.

51. Grasso D., Porcelli F., and Califano F. Hamiltonian magnetic reconnection // Plasma Phys. Contr. Fusion. 1999. - Vol. 41. - P. 1497-1515.

52. Harris E. G. On a plasma sheet separating regions of oppositely directed magnetic field 11 Nuovo Cimento. 1962. - Vol. 23. - P. 115-121.

53. Hesse M., Kuznetsova M., Birn J. The role of electron heat-flux in guide-field magnetic reconnection 11 Phys. Plasmas. 2004. - Vol. 11. - P. 5387-5397.

54. Hesse M., Schindler K., Birn J., and Kuznetsova M. The diffusion region in colli-sionless magnetic reconnection // Phys. Plasmas. 1999. - Vol. 6. - P. 1781—1786.

55. Hesse M., and Winske D. Electron Dissipation in collisionless Magnetic Reconnection // J. Geophys. Res. 1998. - Vol. 103. - № All. - P. 26479-26486.

56. Heyn M.F., Pudovkin M.I. A time-dependent model of magnetic field annihilation // J. Plasma Phys. 1993. - Vol. 49(1). - P. 17-27.

57. Heyn M.F., Semenov V.S. Rapid reconnection in compressible plasma // Phys. Plasmas. 1996. - Vol. 3. - P. 2725-2741.

58. Hones E. W. Magnetic reconnection in space and laboratory plasmas. Washington: AGU, 1984. - 386 p.

59. Horiuchi R., and Sato T. Partical simulation study of collisionless driven reconnec-tion in a sheared magnetic field 11 Phys. Plasmas. 1997. - Vol. 4. - P. 277—289.

60. Hoshino M. Electron surfing acceleration in magnetic reconnection //J. Geophys. Res. 2005. - Vol. 110. - P. А10215.1-АЮ215.8.

61. Hoshino M., Mukai Т., Terasawa Т., and Shinohara I. Suprathermal electron acceleration in magnetic reconnection //J. Geophys. Res. 2001. - Vol. 106. - № All- P. 25979-25997.

62. Huba J.D., and Rudakov L.I. Hall magnetic reconnection rate // Phys. Rev. Lett.- 2004. Vol. 93. - № 17. - P. 175003-175013.

63. Jemella B.D., Drake J.F., and Shay M.A. Singular structure of magnetic islands resulting from reconnection // Phys. Plasmas. 2004. - Vol. 11. - № 12. - P. 5668-5672.

64. Jemella B.D., Shay M.A., Drake J.F., and Rogers B.N. Impact of frustrated singularities on magnetic island evolution // Phys. Rev. Lett. 2003. - Vol. 91. 12.- P. 125002-125005.

65. Karimabadi H., Krauss-Varban D., Omidi N., and Vu X. Magnetic structure of the reconnection layer and core field generation in plasmoids // J. Geophys. Res. -1999. Vol. 104. - P. 12313-12326.

66. Korovinskiy D.B., Semenov V.S., Erkaev N. V., Divin A. V., and Biernat H.K. The 2.5-D analytical model of steady-state Hall magnetic reconnection //J. Geophys. Res. 2008. - Vol. 113. - P. A04205.l-A04205.13.

67. Kuznetsova M., Hesse M., and Winske D. Kinetic Quasi-Viscous and Bulk Flow Inertia Effects in Collisionless Magnetotail Reconnection // J. Geophys. Res. 1998.- Vol. 103. J\> A1 - P. 199-213.

68. Laval G.R., Pellat R., and Vuillemin M. Instabilities electromagnetiques des plasmas sans collisions // Plasma Phys. Controlled Nucl. Fusion Res. 1966. - Vol. 2.- P. 259-265.

69. Lyons L.R., and Pridmore-Brown D. C. Force balance near an X line in collisionless plasma I j J. Geophys. Res. 1990. - Vol. 95. - Л* A12. - P. 20903-20909.

70. Ma Z. V., and Bhattacharjee A. Fast impulsive reconnection and current sheet intensification due to electron pressure gradients in semi-collisional plasmas // Geophys. Res. Lett. 1996. - Vol. 23. - № 13. - P. 1673-1676.

71. Malyshkin L.M. Model of Hall reconnection // Phys. Rev. Lett. 2008. - Vol. 101.- P. 225001.1-225001.4.

72. Mandt M.E., Denton R.E., Drake J.F. Transition to Whistler Mediated Magnetic Reconnection // Geophys. Res. Lett. 1994. - Vol. 21. - № 1. - P. 73-76.

73. Melrose D.B. Instabilities in space and laboratory plasmas. Cambridge: Cambridge University Press, 1989. - 280 p.

74. Morales L.F., Dasso S., Gomez D.O., and Mininni P. Hall effect on magnetic reconnection at the Earth's magnetopause 11 JASTP. 2005. - Vol. 67. - P. 18211826.

75. Mozer F., Bale S.D., and Phan T.D. Evidence of diffusion regions in a subsolar magnetopause crossing // Phys. Rev. Lett. 2002. - Vol. 89. - ДЬ1. - P. 015002.1015002.4.

76. Nagai Т., Fujimoto M. The Hall Current System for Magnetic Reconnection in the Magnetotail // Particle Acceleration in Astrophysical Plasmas: Geospace and Beyond / Ed. by D.L. Gallagher. Washington: AGU Geophysical Monograph, 2005. - P. 149-160.

77. Nagai Т., Shinohara /., Fujimoto M., Machida S., Nakamura R., Saito Y. and Mukai T. Structure of the Hall current system in the vicinity of the magnetic reconnection site // J. Geophys. Res. 2003. - Vol. 108. - Л» A10. - P. 1357.11357.8.

78. Qieroset M., Phan T.D., Fujimoto M., Lin R.P., and Lepping R.P. In situ detection of collisionless reconnection in the Earth's magnetotail // Nature. 2001. - Vol. 412. - P. 414-417.

79. Parker E.N. Sweet's mechanism for merging magnetic fields in conducting fluids // J. Geophys. Res. 1957. - Vol. 62. - № 4. - P. 509-520.

80. Parker E.N. Cosmical Magnetic Fields: Their Origin and Their Activity. Oxford: Clarendon press, 1979. - 858 p.

81. Petschek H.E. Magnetic field annihilation // Physics of solar flares / Ed. by W.N. Hess Washington: NASA SP-50, 1964. - PP. 425-439.

82. Porcelli F., Borgogno D., Galifano F., Ottaviani M., Grasso D., and Pegoraro F. Recent advances in collisionless magnetic reconnection // Plasma Phys. Contr. Fusion. 2002. - Vol. 44. - P. B389-B405.

83. Priest E.R., Forbes T.G. New models for fast steady-state magnetic reconnection // J.Geophys. Res. 1986. - Vol. 91. - P. 5579-5588.

84. Priest E.R., Lee L. G. Nonlinear magnetic reconnection models with separatrix jets // J. Plasma Phys. 1990. - Vol. 44. - P. 337-360.

85. Pritchett P.L. Collisionless magnetic reconnection in a three-dimensional open system // J. Geophys. Res. 2001. - Vol. 106. - № All. - P. 25961-25977.

86. Pritchett P.L. Geospace environmental modeling magnetic reconnection challenge: simulations with a full particle electromagnetic code //J. Geophys. Res. 2001. -Vol. 106. - N A3. - P. 3783-3798.

87. Pritchett, P.L., and Goroniti F. V. Three-dimensional collisionless magnetic reconnection in the presence of a guide field // J. Geophys. Res. 2004. - Vol. 109. -№ 1. - P. A01220.l-A01220.17.

88. Ren Y., Yamada M., Gerhard S., Ji H., Kulsrud R., and Kuritsyn A. Experimental verification of the hall effect during magnetic reconnection in a laboratory plasma 11 Phys. Rev. Lett. 2005. - Vol. 95. - № 5. - P. 005003.1-005003.4.

89. Ricci P., Lapenta G., and Brackbill J.U. Gem reconnection challenge: Implicit kinetic simulations with the physical mass ratio // Geophys. Res. Lett. 2002. -Vol. 29. - № 23. - P. 2088-2094.

90. Rijnbeek R.P., Semenov V.S. Features of Petschek-type reconnection model // Trends Geophys. Res. 1993. - Vol. 2. - P. 247-268.

91. Rogers B.N., Denton R.E., Drake J.F., and Shay M.A. Role of dispersive waves in collisionless magnetic reconnection // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 87. - № 19. -P. 195004.1-195004.4.

92. Runov A., Nakamura R., Baumjohann W., Zhang T.L., Volwerk M., Eichelberger H.-U. and Balogh A. Cluster observation of a bifurcated current sheet // Geophys. Res. Lett. 2003. - Vol. 30. - № 2. - P. 1036.1-1036.8.

93. Sazhin S. Whistler-mode Waves in a Hot Plasma. Cambridge: Cambridge University Press, 1993. - 259 p.

94. Schindler К Physics of Space Plasma Activity. Cambridge: Cambridge University Press, 2007. - 508 p.

95. Schmitz H. and Grauer R. Kinetic Vlasov simulations of collisionless magnetic reconnection // Phys. plasmas. 2006. - Vol. 13. - № 9. - P. 092309.1-092309.9.

96. Scholer M. Undriven reconnection in an isolated current sheet //J. Geophys. Res.- 1989. Vol. 94. - P. 8805-8812.

97. Scudder J.D., Mozer F.S., Maynard N.G., and Russel C.T. Fingerprints of collisionless reconnection at the separator, I, Ambipolar-Hall signatures //J. Geophys. Res. 2002. - Vol. 107. - № A10. - P. 1294-1307.

98. Semenov V.S., Drobysh O.A., Heyn M.F. Analysis of time-dependent reconnection in compressible plasmas // Л. Geophys. Res. 1998. - Vol. 103. - P. 11863-11873.

99. Semenov V.S., Heyn M.F. and Ivanov I.B. Magnetic reconnection with space and time varying reconnection rates in a compressible plasma // Physics of plasmas. -2004. Vol. 11. - P. 62-70.

100. Semenov V., Korovinskiy D., Divin A., Erkaev N., and Biernat H. Collisionless magnetic reconnection: analytical model and PIC simulation comparison // Ann. Geophys. 2009. - Vol. 27. - P. 905—911.

101. Semenov V.S., Kubyshkin I.V., Heyn M.F., Biernat H.K. Field-line reconnection in the 2D asymmetric case // J. Plasma Phys. 1983. - Vol. 30. - P. 321-344.

102. Semenov V.S., Kubyshkin I. V., Rijnbeek R.P. and Biernat H.K. Analytical Theory of Unsteady Petschek-type Reconnection // Physics of Magnetic Reconnection in High-Temperature Plasmas / Ed. by M. Ugai. Trivandrum: Research Signpost, 2004. - P. 35-68.

103. Sergeev V.A., Semenov V.S., Sidneva M.V. Impulsive reconnection during sub-storm expansion // Planet. Space Science. 1987, Vol. 35. - P. 1199-1212.

104. Shafranov V.D. Plasma equilibrium in a magnetic field // Reviews of Plasma Physics. New York: Consultants Bureau, 1966. - Vol. 2. - P. 103-107.

105. Shaikhislamov I.F. Collapse of the neutral current sheet and reconnection at micro-scales // J. Plasma Phys. 2008. - Vol. 74(2). - P. 215-232.

106. Shay M.A., and Drake J.F. The role of electron dissipation on the rate of colli-sionless magnetic reconnection // Geophys. Res. Lett. 1998. - Vol. 25. - № 20 -P. 3759-3762.

107. Shay M.A., Drake J.F., Denton R.E., Biskamp D. Structure of the dissipation region during collisionless magnetic reconnection // J. Geophys. Res. 1998. - Vol. 103. - № A5 - P. 9165-9176.

108. Shay M.A., Drake J.F., Rogers B.N., and Denton R.E. The scaling of collisionless magnetic reconnection for large systems // Geophys. Res. Lett. 1999. - Vol. 26. - № 14. - P. 2163-2166.

109. Shay M.A., Drake J.F., Rogers B.N., and Denton R.E. . Alfvenic collisionless reconnection and the Hall term // J. Geophys. Res. 2001. - Vol. 106. - № A3 - P. 3759-3772.

110. Shay M.A., Drake J.F., Swisdak M. Two-scale structure of the electron dissipation region during collisionless magnetic reconnection // Phys. Rev. Lett. 2007. - Vol. 99. - P. 155002.1-155002.4.

111. Simakov A.N. and Chacon Quantitative analytical model for magnetic reconnection in Hall magnetohydrodynamics // Phys. Plasmas. 2009. - Vol. 16. - P. 055701.1-055701.10.

112. Sobolev S.L. et al. Partial Differential Equations of Mathematical Physics / E.R. Dawson, T.A.A. Broadbent. New York: Dover, 1989. - 427 p.

113. Sonnerup B. U. 6. Magnetic field reconnection in highly conducting incompressible fluid 11 J. Plasma Phys. 1970. - Vol. 4. - P. 161-173.

114. Sonnerup B.U.6. Magnetic field reconnection // Solar System Plasma Physics / Eds. L.J. Lan/erotti, C.F. Kennel, and E.N. Parker. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1979. - Vol. 3. - P. 45-108.

115. Sweet P. A. The neutral point theory of solar flares // Electromagnetic phenomena in cosmical physics: Proc. from IAU Symposium N 6 / Ed. by B. Lehnert. -Cambridge: Cambridge University Press, 1958. P. 123-134.

116. Terasawa T. Hall current effect on tearing mode instability // Geophys. Res. Lett. 1983. - Vol. 10. - P. 475-478.

117. Treumann R.A. Resistive scales for collisionless reconnection in space plasma // http: arXiv : 0902.0123т; 1 2009. - P. 1-5.

118. Trintchonk F., Yamada M., Ji H., Kulsrud R.M., and Carter T.A. Measurement of the transverse spitzer resistivity during collisional magnetic reconnection // Phys. Plasmas. 2003. - Vol. 10. - Л* 1. - P. 319-322.

119. Tsiklauri D. A new fast reconnection model in a collisionless regime // http: arXiv.org/abs/0808.Q143v5. 2008. - P. 1-7.

120. Ugai M. MHD simulations of fast reconnection spontaneously developing in a current sheet // Сотр. Phys. Commun. 1988. - Vol. 49. - P. 185-192.

121. Ugai M. Computer studies on development of the fast reconnection mechanism for different resistivity models // Phys. Fluids. 1992. - Vol. 4. - № 9. - P. 2953—2963.

122. Ugai M. Computer studies on the spontaneous fast reconnection model as a nonlinear instability // Phys. Plasmas. 1999. - Vol. 6. - № 5. - P. 1522-1531.

123. Ugai M., Tsuda T. Magnetic field-line reconnection by localized enhancement of resistivity // J. Plasma Phys. 1979. - Vol. 21. - P. 459-473.

124. Uzdensky D.A., and Kulsrud R.M. Two-dimensinal numerical simulation of the resistive reconnection layer // Phys. Plasmas. 2000. - Vol. 7. - № 10. - P. 40184030.

125. Uzdensky D.A., and Kulsrud R.M. Physical origin of the quadrupole out-of-plane magnetic field in Hall-magnetohydrodynamics reconnection // Phys. Plasmas. -2006. Vol. 13. - № 6. - P. 062305.1-062305.14.

126. Vasyliunas V.M. Theoretical models of magnetic field line merging // Rev. Geophys. Space Sc. 1975. - Vol. 13. - P. 303-317.

127. Wang X., Bhattacharjee A., and Ma Z.W. Collisionless reconnection: Effects of Hall current and electron pressure gradient // J. Geophys. Res. 2000. - Vol. 105. - JS'« A2. - P. 27633-27648.

128. Wang X., Bhattacharjee A., and Ma Z. W. Scaling of collisionless forced reconnection // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 87. - P. 265003.1-265003.4.

129. Watson P.G., and Porcelli F. Exact steady state reconnection solutions in weakly collisional plasmas // Astrophys. J. 2004. - № 617. - P. 1353-1360.

130. Yamada M., Ren Y., Ji II., Breslau J., Gerhardt S., Kulsrud R., Kuritsyn A. Experimental study of two-fluid effects on magnetic reconnection in a laboratory plasma with variable collisionality // Phys. Plasmas. 2006. - Vol. 13. -P. 052119.1-052119.13.

131. Yang H.A., Jin S.P., and Zhou G.C. Density depletion and Hall effect in magnetid reconnection // J. Geophys. Res. 2006. - Vol. 111. - P. A11223.1-A11223.15.

132. Zeiler D., Biskamp D., Drake J.F., Rogers B.N., Shay M.A., and Scholer M. Three-dimensional particle simulations of collisionless magnetic reconnection //J. Geophys. Res. 2002. - Vol. 107. - № A9. - P. 1230.1-1230.9.

133. Zelenyi L., Artemyev A., Malova H., and Popov V. Marginal stability of thin current sheets in the Earth's magnetotail //J. Atmos. Solar-Terr. Phys. 2008. -Vol. 70. - P. 325-333.

134. Zelenyi L.M., Artemyev A. V., Petrukovich A.A., Nakamura R., Maloval H. V., and Popov V. Y. Low frequency eigenmodes of thin anisotropic current sheets and Cluster observations // Ann. Geophys. -2009. Vol 27. - P. 861—868.