Амплитудные уравнения для системы с термохалинной конвекцией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.28, кандидат физико-математических наук Козицкий, Сергей Борисович

• Козицкий, Сергей Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Козицкий, Сергей Борисович

Введение

1. Амплитудные уравнения в основных точках бифуркации

1.1. Постановка задачи и основные уравнения

1.2. О граничных условиях.

1.3. Дисперсионное соотношение и его следствия.

1.4. Медленные переменные и разложение решений.

1.5. Вывод амплитудных уравнений.

1.6. Амплитудное уравнение в точке бифуркации Хопфа.

1.7. Уравнение в форме возмущенного нелинейного уравнения Шредингера

1.8. Преобразование к нелинейному уравнению Шредингера

1.9. Уравнения в точках бифуркации Тейлора и двойного нуля

1.10. Выводы.

2. Вертикальные ABC уравнения и пограничный слой

2.1. Сравнение с внутренними волнами.

2.2. Термохалинная неустойчивость внутренних волн.

2.3. Эволюционные уравнения в сингулярно возмущенной форме

2.4. Бидиффузионный пограничный слой.

2.5. Дисперсионное соотношение при высоких частотах Хопфа

2.6. Вывод амплитудных ABC уравнений.

Основные обозначения t — время х — горизонтальная координата

2 — вертикальная координата ip(t, х, z) — функция тока

6(t,x,z) — вариации температуры t,x,z) — вариации солености

А — лапласиан

Л/ъЛ) -якобиан

V — вязкость жидкости

X — температуропроводность а — число Прандтля т — число Льюиса

Rt — температурное число Релея

Rs — соленостное число Релея а' — температурный коэффициент объемного расширения

7' — соленостный коэффициент объемного расширения h — толщина слоя жидкости д — ускорение свободного падения

ST — разность температур на границах области

SS — разность соленостей на границах области гт — нормализованное температурное число Релея rg — нормализованное соленостное число Релея

R* — критическое число Релея для тепловой конвекции

А — амплитудная переменная х — волновое число к — горизонтальное волновое число а — вертикальное волновое число

Л — собственное число линейной задачи на собственные значения uj — частота Хопфа

Q — приведенная частота Хопфа г — малый параметр, характеризующий степень надкритичности системы

Т, Т\, Т2 — медленные временные переменные

Xi,X — медленные горизонтальные переменные

Z — медленная вертикальная координата ai) А 5 7г ~ коэффициенты амплитудных уравнений с — коэффициенты амплитудных уравнений г}т, r)s, R — управляющие параметры амплитудных уравнений

N — частота Вяйсяля-Брента

N* — критическая частота Вяйсяля-Брента

Nq — предельная критическая частота Вяйсяля-Брента

Rd — критическая частота Вяйсяля-Брента е — малый параметр е = (crRs)~1^4: w(t,x,z) —вихрь

7] — быстрая переменная г/ = zje lc — горизонтальный размер конвективных ячеек е — малый параметр е = lc/h

Е — малый параметр Е = е[е

Р* — волновое число для наиболее неустойчивой моды

К — перенормированное горизонтальное волновое число

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Амплитудные уравнения для системы с термохалинной конвекцией»

В последние десятилетия процессы тепло- массопереноса и формирования тонкой структуры гидрофизических полей в океане нередко связываются с влиянием термохалинной конвекции. Важную роль в вертикальном переносе соли и тепла играют так называемые т,ермохалинные лестницы, ставшие теперь популярным объектом океанологических исследований. Экспериментальные наблюдения за процессами в инверсиях термохалинных лестниц свидетельствуют о существенной роли в них термохалинной конвекции.

По выражению известного океанолога К. Н. Федорова "наблюдения в океане редко допускают однозначную интерпретацию и чаще всего служат основой гипотез, нуждающихся в дополнительной проверке" [18]. Однако, до настоящего времени работ, посвященных созданию теоретических моделей формирования диссипативных структур, в частности, вертикальной микроструктуры, в системах с термохалинной конвекцией было сравнительно немного. В данной работе предпринята попытка восполнить имеющийся пробел.

Как писал Майкл С. Грегг еще в начале 70-х годов: "При условии дальнейшего прогресса в понимании нами мелкомасштабной динамики океана путем наблюдений над микроструктурой океана мы сможем получить критерии обоснованности различных моделей термоклина и в конечном счете сможем лучше предсказывать, каким образом рассеиваются в океане вещества, которые вносят в него природа и люди" [12].

Физические системы, в которых существенную роль играет конвекция, обусловленная двойной диффузией, часто встречаются в природе. В таких системах присутствуют две компоненты, коэффициенты диффузии которых существенно различны. Это могут быть тепло и соль в морской воде, тепло и гелий в звездных атмосферах, либо два реагента в химическом реакторе. В результате различного пространственного распределения этих компонент в поле силы тяжести возникает конвекция, которая может принимать различные формы и приводить к разнообразным явлениям [35]. Широко известны, например, солевые пальцы, возникающие в подсоленной и подогретой сверху воде [19, 105-135]. Понятно, что результаты, полученные для бидиффузионной конвекции, скажем, в океане, могут быть применимыми и для бидиффузионной конвекции в астрофизических системах или в химическом реакторе.

Процессы с конвекцией, обусловленной двойной диффузией, вообще очень характерны для океана. Этому способствует тот факт, что плотность морской воды существенно зависит от ее температуры и концентрации соли, причем коэффициенты диффузии этих величин отличаются примерно в восемьдесят раз. Первые работы, посвященные термохалин-ной конвекции появились еще в середине 50-х годов 20-го века [34, 32] и описывали гипотетическую модель, известную как "вечный солевой фонтан". На сегодняшний день в океанологической литературе существует большое количество статей, посвященных термохалинным лестницам [36104], с которыми связаны процессы вертикального переноса соли и тепла в океане, а также образования тонкой структуры гидрофизических полей [72, 89-104]. В термохалинных лестницах часто встречаются участки, называемые инверсиями, представляющие собой горизонтальные слои, вкоторых вертикальная стратификация соли и тепла носит инверсный характер, т.е. температура и соленость убывают кверху. Инверсии формируются в результате интрузионных процессов, играющих существенную роль в формировании и динамике термохалинных лестниц [75-88]. В инверсиях существуют благоприятные условия для развития конвекции с двойной диффузией [78]. Еще в 1969 году К.Н. Федоров высказал гипотезу, что ступенчатая термохалинная структура, повсеместно наблюдаемая в ме-зомасштабных термических инверсиях в океане может быть результатом послойной термохалинной конвекции [18]. Дальнейшие исследования подтвердили его выводы. По оценкам около 9% водных масс в термохалинной лестнице охвачены бидиффузионной конвекцией и 35-38% вовлечены в пальцевую конвекцию [74]. Эволюцию мнений специалистов на роль термохалинной конвекции в океанических процессах очень хорошо иллюстрирует следующая цитата из книги К.Н. Федорова [18], опубликованной в 1976 году: "О конвекции в толще воды океана океанологи знают гораздо меньше, не смотря на ряд теоретических исследований (.). Почти повсеместная гидростатическая устойчивость поля плотности в океане порождала иллюзию, что конвективная неустойчивость в толще океанических вод вдали от поверхности и дна — явление чрезвычайно редкое или вовсе невозможное. Эта иллюзия подкреплялась установившимся мнением, что молекулярные процессы в океане по сравнению с другими процессами настолько слабы, что принимать участие в явлениях сколько-нибудь заметного масштаба не могут." И далее: "Лишь сравнительно недавно ученые поняли, что баланс между термическим и солевым вкладами в гидростатическую устойчивость может нарушаться молекулярной диффузией (.). Возникающая при этом конвекция в известных условиях может быть эффективным механизмом формирования тонкой термохалинной стратификации в результате перераспределения потенциальной энергии между солевой и термической компонентами мезо- и макростратификации."

Итак, значение термохалинной конвекции для понимания многих океанологических процессов невозможно переоценить. В связи с этим представляет определенный интерес построение математических моделей казалось бы хорошо изученных явлений таких как, например, внутренние волны, с учетом эффектов термохалинной конвекции. Естественный вопрос, который в этой связи возникает, состоит в том, чтобы оценить, когда этими эффектами можно пренебречь, и когда они становятся существенными для понимания того или иного океанологического явления. Данный вопрос не лишен и чисто практического содержания. Нужно ли, например, при численном моделировании процессов рассеяния звука на шельфовых внутренних волнах, как это сделано, например, в работе [1], учитывать эффекты термохалинной конвекции при тех или иных обстоятельствах, или всегда достаточно будет обойтись классической теорией?

Основной целью данной работы является построение простых математических моделей для системы с термохалинной конвекцией при различных значениях параметров, характеризующих эту систему. В основе этих моделей лежит построение так называемых амплитудных уравнений методом многомасштабных разложений [21-24]. Постановка этой задачи во многом была мотивирована неоднократными обсуждениями автором всей этой проблематики в первой половине 90-х годов с В.П. Шевцовым, который указывал на насущную необходимость построения теоретических моделей формирования микроструктуры в океане основываясь на учете термохалинной конвекции. Амплитудные уравнения - весьма удобный инструмент теоретических исследований, поскольку он очень часто позволяет избежать громоздких численных расчетов и обычно выводит исследователя на непосредственный физический смысл того или иного явления.

В литературе существуют многочисленные работы, посвященные теоретическим моделям систем с бидиффузионной конвекцией [136-167]. В 80 — 90-е гг. появился ряд работ, в которых изучается процесс формирования структур в окрестности точки бифуркации Хопфа для трансляционно-инвариантных по горизонтали систем. Осцилляции в таких системах могут привести к возникновению различных типов волн (например, стоячих, бегущих, модулированных, хаотических), удобным методом исследования которых является построение амплитудных уравнений [178]. Впервые амплитудное уравнение для системы с конвекцией получено в работе [33]. Оно описывает двумерную тепловую конвекцию и имеет вид обобщенного уравнения Гинзбурга — Ландау. В [172] предложена система уравнений типа Гинзбурга — Ландау, описывающая бегущие волны двойной диффузии, распространяющиеся в обе стороны в бесконечной по горизонтали полосе жидкости: dt + sdx)AR = (со + Ic^Ar + (с2 + 1съ)д2хАп

-(с4 + icb)\AR\2AR - (с6 + ic7)\AL\2ARl (dt - sdx)AL = (со + ic{)AL + (с2 + ic3)d2xAL--(с4 + ic5)\AL\2AL - (с6 + ic7)\AR\2AL.

Вид этих уравнений постулируется из общих соображений (типа соображений симметрии); предполагается, что коэффициенты в них должны быть выведены асимптотическими методами из уравнений в частных производных, описывающих конкретную физическую систему.

Однако, полный и обоснованный вывод амплитудных уравнений для систем с двойной диффузией слабо представлен в литературе. Во многих работах вид коэффициентов в уравнениях (1) не обсуждается. В некоторых работах эти коэффициенты получаются на основе тех или иных физических соображений. Так, автор работы [175], рассматривая систему с конвекцией бинарных смесей в пределе малых частот Хопфа, в качестве первого, самого грубого приближения коэффициенты с1,сз,с5,с7 в (1) положил равными нулю, мотивируя это эмпирическими данными об аналогии рассматриваемого случая со случаем чисто температурной конвекции. Понятно, что строго обосновать подобные предположения о виде коэффициентов можно только при строгом математическом выводе амплитудных уравнений, что является основной целью данной работы.

В работах по бидиффузионной конвекции, посвященных конвекции бинарных смесей в объемных и пористых средах [168-190], частота Хопфа при изучении колебательной конвекции оказывается порядка единицы. В случае же термохалинной конвекции имеет смысл рассмотреть асимптотику, когда частота Хопфа стремится к бесконечности. В этом пределе амплитудное уравнение должно принимать вид нелинейного уравнения Шредингера, описывающего внутренние волны в двумерной геометрии. Очень интересным оказался подход к описанию вертикальных вариаций профилей температуры и солености в упомянутом высокочастотном пределе с помощью амплитудных ABC уравнений. Автору на сегодняшний день известна лишь одна работа, посвященная ABC уравнениям [136], в которой эти уравнения и были впервые выведены. Эта работа была опубликована в конце 1998 года. В то же время хотелось бы отметить, что автором с 1996 года проводились независимые исследования по выводу вертикальных уравнений с целью описания вертикальной микроструктуры. В идейном и качественном отношении результаты автора и результаты упомянутой статьи во многом похожи, но не совпадают в точности, поскольку в этой статье рассмотрена задача о термохалинной конвекции в узкой и высокой области. Автором же изначально рассматривалась термохалинная конвекция в бесконечной по горизонтали полосе жидкости, предполагающая бегущие по горизонтали, а не стоячие волны конвекции.

Стоит отметить, что на сегодняшний день, насколько известно автору, существует лишь две математических модели, объясняющих формирования тонкой структуры гидрофизических полей в океане: это модель Ю.З. Миропольского с соавторами [10] и модель Р. Гримшоу [30, 31]. Результаты, полученные в данной работе, позволяют надеяться, что модели тонкой структуры, основанные на амплитудных уравнениях по вертикальной координате (таких как ABC уравнения) найдут свое место в этом ряду.

Резюмируя основные результаты диссертации можно сказать, что в данной работе методом разложения производной, являющимся разновидностью метода многомасштабных разложений выведено четыре амплитудных уравнения для системы с термохалинной конвекцией.

В первой главе выводятся амплитудные уравнения для волн двойной диффузии в двумерной, бесконечной по горизонтали геометрии в окрестности точек бифуркации Хопфа, Тейлора и точки двойного нуля дисперсионного соотношения. Рассмотрен простейший случай идеализированных граничных условий. В случае бифуркации Хопфа рассматривается амплитудное уравнение для волн, распространяющихся только в одну сторону. Получены аналитические выражения для коэффициентов уравнений. Исследованы их различные асимптотики, обсуждаются асимптотические формы, которые принимают амплитудные уравнения при различных значениях параметров.

Во второй главе особо рассмотрен предельный случай термохалинной конвекции при высоких частотах Хопфа. Для этого случая выведены амплитудные ABC уравнения по медленной вертикальной координате, численное решение которых показало наличие у этих уравнений предельных режимов, известных как диффузионный хаос [9]. Также оценен инкремент роста внутренних волн при надкритических значениях частоты Вяйсяля-Брента вследствие бидиффузионной конвективной неустойчивости и получены решения типа пограничного слоя для конвективной нормальной моды.

Цель работы можно сформулировать так: вывод и исследование амплитудных уравнений в системе с термохалинной конвекцией. Отдельные задачи исследования сводятся к следующим пунктам:

• Вывести амплитудные уравнения в окрестности основных точек бифуркации, характерных для системы с термохалинной конвекцией в бесконечной по горизонтали полосе с использованием метода многомасштабных разложений.

• Исследовать поведение коэффициентов полученных уравнений при различных значениях управляющих параметров.

• Выявить возможные типы диссипативных структур в исследуемой системе.

• Провести численное моделирование амплитудных уравнений по вертикальной координате (ABC уравнений), их анализ и определить возможность использования этих уравнений для описания параметров микроструктуры в инверсиях термохалинной лестницы.

Перечислим основные положения, выносимые на защиту:

1. Методом многомасштабных разложений выведены амплитудные уравнения для системы с термохалинной конвекцией в окрестности основных точек бифуркации: комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау в окрестности точек бифуркации Хопфа, уравнение типа

Ньюэла-Уайтхеда в окрестности точек бифуркации Тейлора, уравнение типа 04 в точке двойного нуля. Представлены замкнутые формы для коэффициентов этих уравнений.

2. Показано, что при частоте Хопфа, стремящейся к нулю или бесконечности, уравнение в точках бифуркации Хопфа сводится к нелинейному уравнению Шредингера, для которого характерны решения в виде солитонов огибающей, в том числе "темных" солитонов в высокочастотном пределе.

3. Исследовано дисперсионное соотношение для внутренних волн с учетом влияния термохалинной конвекции и оценены пространственные масштабы, при которых влияние термохалинной конвекции становится существенным.

4. Исследовано влияние граничных условий на форму собственных функций линейной задачи на собственные значения для нормальных конвективных мод. В рамках теории возмущений получены поправки к собственным функциям для внутренних волн в виде бидиф-фузионных пограничных слоев. Выполнена оценка для характерных вертикальных неоднородностей, связанных с термохалинной конвекцией.

5. Сделана оценка инкремента роста линейных внутренних волн вследствие термохалинной конвективной неустойчивости.

6. Показано, что в пределе высоких частот Хопфа конвективные ячейки становятся узкими и высокими. Для этого предела выведены ABC уравнения по вертикальной координате. Приведены формулы для коэффициентов этих уравнений.

15

7. По результатам численного моделирования показано, что при помощи ABC уравнений можно описать тонкую структуру масштаба 10100 см в инверсиях термохалинных лестниц.

Автор считает своим долгом поблагодарить за конструктивные обсуждения материалов диссертации директора ИАПУ ДВО РАН академика

B.П. Мясникова, а также сотрудников ТОЙ ДВО РАН: И.О. Ярощука,

C.В. Иранца, К.В. Кошеля, В.В. Новотрясова, А.Д. Захаренко.

Заключение диссертации по теме «Океанология», Козицкий, Сергей Борисович

2.9. Выводы

Сформулируем основные выводы по результатам исследований, описанных в данной главе:

• Исследовано дисперсионное соотношение для внутренних волн с учетом влияния бидиффузионной конвекции. При этом показано, что эффекты двойной диффузии существенно влияют на частоту внутренних волн лишь при очень малых глубинах порядка нескольких сантиметров. При больших масштабах этими эффектами обычно можно пренебречь.

• В работе показано, что бегущие волны бидиффузионной конвекции [178, 188] с частотой Хопфа ш вблизи порога конвективной неустойчивости, в пределе больших Rs трансформируются в обычные внутренние волны с той же частотой си и обычным дисперсионным соотношением (2.12).

• Исследовано влияние граничных условий на форму собственных функций линейной задачи на собственные значения для нормальных конвективных мод. В рамках теории возмущений получены поправки к собственным функциям для обычных внутренних волн в виде бидиффузионных пограничных слоев (2.13), которые имеют толщину порядка Я^4. Тонкая структура, неисчезающая вдалеке от границ, не может быть выявлена при линейном подходе и является существенно нелинейным явлением. Получена оценка для характерных вертикальных неоднородностей, связанных с бидиффузионной конвекцией. Их типичные величины составляют около 2 см.

• Сделана оценка инкремента роста линейных внутренних волн из-за термохалинной неустойчивости. Когда частота Вяйсяля-Брента становится меньше некоего порогового значения, инкремент роста линейной конвективной моды двойной диффузии становится положительным и порядка Rs1^2. При этом инкремент роста в первом приближении не зависит от конкретного типа граничных условий и может считаться универсальным параметром, характеризующим механизм генерации внутренних волн, основанный на термохалинной неустойчивости, который тем более эффективен, чем меньше частота плавучести и длина внутренней волны. В природных условиях такой механизм может работать, например, в инверсиях термохалинной лестницы [78], где параметры стратификации обычно близки к порогу термохалинной конвективной неустойчивости.

Показано, что в пределе высоких частот Хопфа конвективные ячейки становятся очень узкими и высокими. При этом отношение ширины ячейки к ее высоте (глубине слоя) оказывается малым параметром, имеющим порядок 10 * что позволяет в упомянутом пределе применить формализм вывода амплитудных ABC уравнений по вертикальной координате.

В высокочастотном пределе в случае бифуркации Хопфа выведена система из трех вертикальных ABC уравнений (2.35). Формулы для коэффициентов этих уравнений существенно отличаются от известных в литературе [136], что связано с несколько иной геометрией рассматриваемой задачи и возможной ошибкой в цитируемой статье.

Проведено численное моделирование ABC уравнений. По результатам численного моделирования высказано предположение, обоснованное рядом экспериментальных данных, что решения ABC уравнений в виде диффузионного хаоса при надкритических значениях час

76 тоты Вяйсяля-Брента могут быть использованы для описания процессов формирования и развития во времени вертикальной микроструктуры гидрофизических полей масштаба 10-100 см в океанологических системах, где существенно влияние термохалинной конвекции. z z

Рис. 2.4. Амплитуда - Re[A(T,Z)],r = 1/10

Рис. 2.5. Амплитуда - Im[A(T, Z)], т = 1/10

Рис. 2.6. Модуль амплитуды - |A(T,Z)|,r = 1/10 Z z

Рис. 2.7. Профиль температуры - B(T,Z),t = 1/10 z z

Рис. 2.8. Профиль солености - C(T,Z),t = 1/10 Z Z

Рис. 2.9. Амплитуда - Re[A(T, Z)] и Im[A(T,Z)],T = 1/81 Z Z

Рис. 2.10. Профили B{T,Z) и C{T,Z),r = 1/81 Z Z

Рис. 2.11. Профили \A{T,Z)\ и iV2, т = 1/81 Z n=512 R=8 t=979.7

Рис. 2.12. Вклад в N2 от B(T,Z) и C{T,Z),r = 1/10

Заключение

Подводя основные итоги исследования, можно отметить следующее. В данной работе мы изучали систему с двумерной термохалинной конвекцией в бесконечной по горизонтали полосе жидкости. Для описания динамических процессов в этой системе был выбран метод построения амплитудных уравнений с помощью формализма многомасштабных разложений.

Охарактеризуем основные результаты проведенных исследований.

Цель работы была сформулирована так: вывод и исследование амплитудных уравнений в системе с термохалинной конвекцией.

Научная новизна. В работе впервые методом многомасштабных разложений получены амплитудные уравнения для системы с термохалинной конвекцией в окрестности основных точек бифуркации в бесконечной по горизонтали полосе жидкости. При этом уточнены результаты, полученные ранее другими методами.

Впервые представлены замкнутые формулы для коэффициентов полученных уравнений и проанализированы их возможные асимптотики.

Впервые выведена система амплитудных ABC уравнений по вертикальной координате для бегущих волн конвекции в пределе высоких частот Хопфа в бесконечной по горизонтали полосе жидкости.

Впервые проведено численное моделирование полученных ABC уравнений, результаты которого свидетельствуют о наличии у этих уравнений предельных режимов, известных как диффузионный хаос, которые могут быть использованы для описания тонкой структуры гидрофизических полей масштаба 10-100 см в мезомасштабных температурных инверсиях.

Степень достоверности результатов исследований. Все полученные результаты являются достоверными. Аналитические выкладки проверены с использованием системы аналитических вычислений MAPLE, проведены сравнения и получено согласование с результатами других авторов и данными натурных измерений.

Практическая значимость работы. Полученные в работе уравнения позволяют продвинуться в оценке масштабов тонкой структуры в океане и уточнить постановку экспериментов в этой области. В частности, используя методы дистанционного акустического зондирования океана и полученные автором уравнения, можно более четко идентифицировать структуры, связанные именно с термохалинной конвекцией, предварительно зная, какими эти структуры могут быть в принципе.

Работа выполнена в ТОЙ ДВО РАН в рамках Федеральной целевой научно-технической программы "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники гражданского назначения" по подпрограмме "Комплексные исследования океанов и морей, Арктики и Антарктики", проекты "Внутренние волны" и "Микроструктура".

Личный вклад. Автором непосредственно получены все основные результаты работы: проделаны аналитические выкладки, разработаны и написаны программы для численного моделирования, проведены само численное моделирование и анализ неоднородностей в океане, связанных с термохалинной конвекцией, на основе полученных уравнений.

Апробация работы. По теме диссертации автором опубликованы восемь работ [1-8], из которых две работы [1, 7] - с соавторами, две [4, 5] - тезисы международных конференций, две [6, 7] - отчеты о научно

88 исследовательской работе. Результаты исследований докладывались на научной сессии ТОЙ в мае 1996 г. (получена поощрительная премия), на семинаре по нелинейной динамике в июне 1998 г. и в декабре 2001 г., на семинаре в ИАПУ в январе 2002 г., представлялись на международных конференциях, а именно: на IV Международной научно-технической конференции "Современные методы и средства океанологических исследований" (Москва, 1998), и на Международной конференции "PICES-X" (Виктория, Канада, 2001).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Козицкий, Сергей Борисович, 2002 год

1. Козицкий С.Б. О влиянии эффектов двойной диффузии на распространение внутренних волн в мелком море // Информатика и моделирование в океанологических исследованиях, Владивосток: Дальнаука, 1999. С. 266-273.

2. Козицкий С.Б. Амплитудные уравнения для системы с термохалинной конвекцией // ПМТФ, 2000. Т. 41, №. 2. С. 56-66.

3. Козицкий С.Б. Внутренние волны в инверсиях термохалинной лестницы: влияние двойной диффузии // Тезисы доклада на IV Международной научно-технической конференции "Современные методы и средства океанологических исследований." М., 1998. С. 7.

4. Kozitskiy S.B. Linear stability problem for a system with thermohaline convection in a limit of high Hopf frequency // Abstracts of Tenth Annual Meeting PICES. Victoria, B.C., Kanada. 2001. P. 191.

5. Козицкий С.Б. Двойная диффузия и формирование тонкой структуры гидрофизических полей в океане (проект "Микроструктура"): Отчет о НИР / ТОЙ ДВО РАН. № ГР 01.960.010938. Владивосток,2000. 22 с.

6. Козицкий С.Б. Термохалинная конвекция в пределе высоких частот Хопфа // Препринт. ТОП ДВО РАН, Владивосток: ТОЙ ДВО РАН,2001. 40 с.1. Работы на русском языке

7. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М: Наука, 1992. 544 с.

8. Воронович А.Г., Леонов А.И., Миропольский Ю.З. К теории образования тонкой структуры гидрофизических полей в океане // Океанология. 1976. Т. 11, N2 5. С. 490-497.

9. Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Саммакия Б. Свободнокон-вективные течения, тепло- и массообмен. М.: Мир, 1991. Т. 1 — 678 е., Т. 2 528 с.

10. Грегг М.С. Микроструктура океана // Наука об океане. М.: Прогресс, 1981. С 219-243.

11. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. 694 с.

12. Ландау Л Д., Лифшиц E.M. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.

13. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. JL: Гидрометеоиздат, 1981. 302 с.

14. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986. 528 с.

15. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М.: Мир, 1977. 431 с.

16. Федоров К.Н. Тонкая термохалинная структура вод океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1976. 184 с.

17. Хапперт Г., Тернер Дж. Конвекция, обусловленная двойной диффузией // Современная гидродинамика. Успехи и проблемы. М.: Мир, 1984. С. 413-453.

18. Метод многих масштабов и солитоны

19. Doering C.R., Gibbon J.D., Holm D.D., Nicolaenko В. Exact Lyapunov dimension of the universal attractor for the complex Ginzburg-Landau equation // Phys. Rev. Lett. 1987. Y. 59. № 26. P. 2911-2914.

20. Ablowitz M., Segur H. Solitons and the inverse scattering transform. Philadelphia: SIAM, 1981.

21. Dodd R.K., Eilbeck J.C., Gibbon J.D., Morris H.C. Solitons and Nonlinear Wave Equations. Academic Press Inc. (London) Ltd., 1982.

22. Nayfeh A.H. Perturbation methods. N. Y., London, Sydney, Toronto: John Wiley and Sons, 1973.

23. Nayfeh А.Я. Introduction to perturbation techniques. N. Y., Chichester, Brisbane, Toronto: John Wiley and Sons, 1981.

24. Keefe L.R. Integrability and structural stability of solutions to the Ginzburg-Landau equations // Phys. Fluids. 1986. V. 29. P. 3135-3141.

25. W. van Saarloos, Hohenberg P.C. Pulses and Fronts in the Complex Ginzburg-Landau Equation near a Subcritical Bifurcation // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64. P. 749-752.

26. W. van Saarloos, Hohenberg P.C. Fronts, pulses, sources and sinks in generalized complex Ginzburg-Landau equations // Physica D. 1992. V. 56. P. 303-367. Errata: 1993. V. 69. P. 209.

27. Shraiman B.I., Pumir A., W. van Saarloos, Hohenberg P.C., Chate H., Holen M. Spatiotemporal chaos in the one-dimensional complex Ginzburg-Landau equation // Physica D. 1992. V. 57. P. 241-248.

28. Концептуально значимые работы

29. Grimshaw R. Mean flows induced by internal gravity wave packets propagating in a shear flow // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. V. 292. P. 391-417.

30. Grimshaw R. The effect of dissipative processes on mean flows induced by internal gravity wave packets //J. Fluid Mech. 1982. V. 115. P. 347-377.

31. Groves G.W. Flow estimate for the perpetual salt fountain // Deep-Sea Res. 1959. V. 5. P. 209-214.

32. Newell А.С., Whitehead J.A. Finite bandwidth, finite amplitude convection J J J. Fluid Mech. 1968. V. 38. P. 279-303.

33. Stommel H., Arans А.В., Blanchard D. An oceanographical curiosity: the perpetual salt fountain // Deep-Sea Res. 1956. V. 3. P. 152-153.

34. Turner J.S. Double-diffusive phenomena // Ann. Rev. Fluid Mech. 1974. V. 6. P. 37-56.

35. Термохалинные лестницы (termohaline staircases)

36. Boyd J.D. Properties of thermal staircases off the northeast coast of South America, Spring and Fall 1985 // J. Geophys. Res. 1989. V. 94. P. 83038312.

37. Boyd J.D., Perrins H. Characteristics of thermohaline steps of the northeast coast of South America, July 1983 // Deep-Sea Res. 1987. V. 34. P. 337-364.

38. Cooper J. W., Stommel H. Regularly spaced steps in the main thermocline near Bermuda // J. Geophys. Res. 1968. V. 73. P. 5849-5854.

39. D'Asaro E.A. Upper ocean temperature structure, inertial currents, and Richardson numbers observed during strong meteorological forcing //J. Phys. Oceanogr. 1985. V. 15. P. 943-962.

40. D'Asaro E.A. Wind forced internal waves in the North Pacific and Sargasso Sea //J. Phys. Oceanogr. 1984. V. 14. P. 781-794.

41. Evans D.L. Velosity shear in a termohaline staircase Jj Deep-Sea Res. 1981. V. 28A. P. 1409-1415.

42. Fleury M., Lueck R.D. Fluxes across a thermohaline interface // Deep-Sea Res. 1991. V. 38. P. 745-769.

43. Gregg M.C. Scaling turbulent dissipation in the thermocline //J. Geo-phys. Res. 1989. V. 94. P. 9686-9698.

44. Gregg M.C. Diapycnal mixing in the termocline. A review //J. Geophys. Res. 1987. V. 92. P. 5249-5286.

45. Gregg M.C., Sanford T.B. The dependence of turbulent dissipation on stratification in a diffusively stable thermocline //J. Geophys. Res. 1988. V. 93. P. 12381-12392.

46. Gregg M., Sanford T.B. Shear and turbulence in thermohaline staircases. Deep-Sea Res. 1987. V. 34. P. 1689-1696.

47. Gregg M.C., Sanford T.B. Signatures of mixing from the Bermuda Slope, the Sargasso Sea and the Gulf Stream // J. Phys. Oceanogr. 1980. V. 10. P. 105-127.

48. Griffiths R.W. The transport of multiple components through thermohaline diffusive interfaces // Deep-Sea Res. 1979. V. 26. P. 383-397.

49. Jacobs S.S., Huppert H.E., Holdsworthy G., Drury D.J. Thermohaline steps induced by melting of the erebus glacier tongue //J. Geophys. Res. 1981. V. 86. P. 6547-6555.

50. Howe M.R., Tait R.I. Futher observations of the thermohaline stratification in the deep ocean // Deep-Sea Res. 1970. V. 17. P. 963-972.

51. Home E.P.W. Interleaving at the subsurface front in the Slope Water off Nova Scotia // J. Geophys. Res. 1978. V. 83. P. 3659-3671.

52. Huppert H.E., Turner J.S. Double-diffusive convection and its implications for the temperature and salinity structure of the ocean and Lake Vanda // J. Phys. Oceanogr. 1972. V. 2. P. 456-461.

53. Kelley D.E. Fiuxes through diffusive staircases: A new formulation //J. Geophys. Res. 1990. V. 95. P. 3365-3371.

54. Kelley D.E. Effective diffusivities within oceanic thermohaline staircases // J. Geophys. Res. 1984. V. 89. P. 10484-10488.

55. Lambert R.B., Sturges W.E. A thermohaline staircase and vertical mixing in the thermocline // Deep-Sea Res. 1977. V. 24. P. 211-222.

56. Marmorino G.O., Brown W.K., Morris W.D. Two-dimensional temperature structure in the C-SALT thermohaline staircase // Deep-Sea Res. 1987. V. 34. P. 1667-1676.

57. McDougall T.J. Neutral surfaces // J. Phys. Oceanogr. 1987. V. 17. P. 1950-1964.

58. Moum J.N., Osborn T.R. Mixing in the main thermocline //J. Phys. Oceanogr. 1986. V. 16. P. 1250-1259.

59. Munns R.G., Stanley R.G., Densmore C.D. Hydrographic observations of the Red Sea brines // Nature. 1967. V. 214. P. 1215-1217.

60. Needier G.T., Heath R.A. Diffusion coefficients calculated from the Mediterranean salinity anomaly in the North Atlantic Ocean //J. Phys. Oceanogr. 1975. V. 5. P. 173-182.

61. Padman L., Dillon T.M. On the horizontal extent of the Canada Basin thermohaline steps //J. Phys. Oceanogr. 1989. V. 18. P. 1458-1462.

62. Pingree R.D. Mixing in the deep stratified ocean // Deep-Sea Res. 1972. V. 19. P. 549-561.

63. Pingree R.D. Regularly spaced instrumental temperature and salinity structures // Deep-Sea Res. 1971. V. 18. P. 841-844.

64. Roden G.I. Thermohaline structure, fronts, and sea-air energy exchange of the trade wind region east of Hawaii //J. Phys. Oceanogr. 1974. V. 4. P. 168-182.

65. Ruddick B.R., Griffiths R.W., Symonds G. Frictional stress at a sheared double-diffusive interface // J. Geophys. Res. 1989. V. 94. P. 1816118173.

66. Ruddick B.R., Zhang L. The mythical thermohaline oscillator? //J. Mar. Res. 1989. V. 47. P. 717-746.

67. Schmitt R.W. Form of the temperature-salinity relationship in the Central Water: Evidence for double-diffusive mixing //J. Phys. Oceanogr. 1981. V. 11. P. 1015-1026.

68. Schmitt R.W., Perkins H., Boyd J.D., Stalcup M.C. C-SALT: an investigation of the thermohaline staircase in the western tropical North Atlantic // Deep-Sea Res. 1987. V. 34. P. 1655-1666.

69. Shay T.G., Gregg M.C. Convectively driven turbulent mixing in the upper ocean // J. Phys. Oceanogr. 1986. V. 16. P. 1777-1798.

70. Simpson J.H., Howe M.R., Morris N.C.G., Stratford J. Velocity shear on the steps below the Mediterranean outflow // Deep-Sea Res. 1979. V. 26A. P. 1381-1386.

71. Tait R.I., Howe M.R. Some observations of thermohaline stratification in deep ocean // Deep-Sea Res. 1968. V. 15. P. 275-280.

72. Tait R.I., Howe M.R. Thermohaline staircase // Nature. 1971. V. 231. P. 178-179.

73. Taylor J. The fluxes across a diffusive interface at low values of the density ratio // Deep-Sea Res. 1988. V. 35. P. 555-567.

74. Zodiatis G., Gasparini G.P. Thermohaline staircase formations in the Tyrrhenian Sea // Deep-Sea Res. 1996. V. 43. P. 655-678.1. Интрузии

75. Garrett C. On the parametrization of diapycnal fluxes die to double-diffusive intrusions //J. Phys. Oceanogr. 1982. V. 12. P. 952-959.

76. Gregg M.C. The three-dimensional mapping of a small thermohaline intrusion //J. Phys. Oceanogr. 1980. V. 10. P. 1468-1492.

77. Gregg M.C., McKenzie J.M. Termohaline intrusions lie across isopycnals // Nature. 1979. V. 280. P. 310-311.

78. Marmorino G.O. Intrusions and diffusive interfaces in a salt-finger staircase // Deep-Sea Res. 1990. V. 38. P. 1431-1454.

79. May B.D., Kelley D.E. Effect of baroclinicity on double-diffusive interleaving //J. Phys. Oceanogr. 1997. V. 27. P. 1997-2008.

80. McDougall T.J. Double-diffusive interleaving. Part G: finite amplitude, steady state interleaving //J. Phys. Oceanogr. 1985. V. 15. P. 1542-1556.

81. Nof D. Generation of fronts by mixing and mutual intrusion. J. Phys. Oceanogr. 1979. V. 9. P. 298-310.

82. Osborn T.R. Signatures of doubly diffusive convection and turbulence in an intrusive regime // J. Phys. Oceanogr. 1988. V. 18. P. 145-155.

83. Ruddick B. The life of a termohaline intrusion // J. Mar. Res. 1984. V. 42. P. 831-852.

84. Ruddick B.R., Turner J.S. The vertical scale of double diffusive intrusions // Deep-Sea Res. 1979. V. 26A. P. 903-913.

85. Stern M.E. Lateral mixing of water masses // Deep-Sea Res. 1967. V. 14. P. 747-753.

86. Turner J.S. Double-diffusive intrusions into a density gradient //J. Geo-phys. Res. 1978. V. 83. P. 2887-2901.

87. Walsh D., Ruddick B. Nonlinear equilibration of thermohaline intrusions //J. Phys. Oceanogr. 1998. V. 28. P. 1043-1069.

88. Williams A.J. 3rd The role of double diffusion in a Gulf Stream frontal intrusion // J. Geophys. Res. 1981. У. 86. P. 1917-1928.1. Микроструктура

89. Crawford W.R., Osborn T.R. Microstructure measurements in the Atlantic Equatorial Undercurrent during GATE // Deep-Sea Res. 1968. V. 26 (Suppl. G). P. 285-308.

90. Eriksen C.C. Measurements and models of finestructure, internal gravity waves, and wave breaking in the deep ocean //J. Geophys. Res. 1978. V. 83. P. 2989-3009.

91. Gargett А.Е., Osborn T.R. Small-scale shear measurements during the Fine and Microstructure Experiment. (FAME) //J. Geophys. Res. 1981. V. 86. P. 1929-1944.

92. Gargett A.E. Microstructure in an upper ocean frontal regime //J. Geophys. Res. 1978. V. 83. P. 5123-5133.

93. Gregg M.C. Microstructure patches in the termocline // J. Phys. Oceanogr. 1980. V. 10. P. 915-943.

94. Gregg M.C. Vatiations in the intensity of small-scale mixing in the main thermocline //J. Phys. Oceanogr. 1977. У. 7. P. 436-454.

95. Gregg M.C. Microstructure and intrusions in the California Current // J. Phys. Oceanogr. 1975. V. 5. P. 253-278.

96. Gregg M.C., Cox C.S. The vertical microstructure of temperature and salinity // Deep-Sea Res. 1972. У. 19. P. 355-376.

97. Kunze E., A.J. Williams 3rd, Schmitt R.W. Optical microstructure in the thermohaline staircase east of Barbados // Deep-Sea Res. 1987. V. 34. P. 1697-1704.

98. Lueck R.G. Microstructure measurements in a thermohaline staircase // Deep-Sea Res. 1987. V. 34. P. 1677-1688.

99. Mack S.A. Towed-chain measurements of ocean microstructure // J. Phys. Oceanogr. 1989. V. 19. P. 1108-1129.

100. Mack S.A. Two-dimensional measurements of ocean microstructure: the role of double diffusion // J. Phys. Oceanogr. 1985. V. 15. P. 1581-1604.

101. Padman L., Dillon T.M. Thermal microstructure and internal waves in the Canadian basin diffusive staircase // Deep-Sea Res. 1989. V. 36. P. 531-542.

102. Sanford T.B. Observations of the vertical structure of internal waves // J. Geophys. Res. 1975. V. 80. P. 3861-3871.

103. Schmitt R.W., Georgi D.T. Finestructure and microstructure in the North Atlantic Current // J. Mar. Res. 1982. V. 40(Suppl.). P. 659-705.

104. Williams A.J. 3rd Images of ocean microstructure // Deep-Sea Res. 1975. V. 28. P. 811-829.

105. Солевые пальцы (salt fingers)

106. Chen C.F., Sanford R.D. Sizes and shapes of salt fingers near the marginal state //J. Fluid Mech. 1976. V. 78. P. 601-607.

107. Gargett A.E., Schmitt R.W. Observations of salt fingers in the central waters of the Eastern North Pacific //J. Geophys. Res. 1982. V. 87. P. 8017-8029.

108. Hamilton J.M., Lewis M.R., Ruddick B.R. Vertical fluxes of nitrate associated with salt fingers in the world's oceans // J. Geophys. Res. 1989. V. 94. P. 2137-2145.

109. Hebert D. Estimates of salt-fingers // Deep-Sea Res. 1988. V. 35. P. 18871901.

110. Holyer J.Y. The stability of long, steady, two-dimensional fingers //J. Fluid Mech. 1984. V. 147. P. 169-185.

111. Holyer J.Y. On the collective instability of salt fingers. J. Fluid Mech. 1981. V. 110. P. 195-207.

112. Huppert H.E., Linden P.F. The spectral signature of salt fingers // Deep-Sea Res. 1976. V. 23. P. 909-914.

113. Huppert H.E. and P.S. Manins Limiting conditions for salt-fingering at an interface // Deep-Sea Res. 1973. V. 20. P. 315-323.

114. Joyce T.M. Salt fingers: Limits to growth //J. Mar. Res. 1982. V. 40(Suppl.). P. 291-306.

115. Kunze E. The evolution of salt fingers in inertial wave shear // J. Mar. Res. 1990. V. 48. P. 471-504.

116. Kunze E. Limits on growing, finite-length salt fingers: a Richardson number constraint //J. Mar. Res. 1987. V. 45. P. 533-556.

117. Linden P.F. The formation of banded salt fingers structure //J. Geophys. Res. 1978. V. 83. P. 2902-2912.

118. Linden P.F. On the structure of salt fingers // Deep-Sea Res. 1973. V. 20. P. 325-340.

119. Linden P.F. Salt fingers in the presence of grid-generated turbulence // J. Fluid Mech. 1971. V. 49. P. 611-624.

120. Magnell B. Salt fingers observed in the Mediterranean outflow using a towed sensor //J. Phys. Oceanogr. 1976. V. 6. P. 511-523.

121. Ma rmorino G.O. "Turbulent mixing" in a salt finger staircase //J. Geophys. Res. 1990. V. 95. P. 12983-12994.

122. Marmorino G.O. Substructure of oceanic salt finger interfaces //J. Geophys. Res. 1989. V. 94. P. 4891-4904.

123. Marmorino G.O. Observations of small-scale mixing processes in the seasonal thermocline: Part I: Salt fingering //J. Phys. Oceanogr. 1987. V. 17. P. 1339-1347.

124. McDougall T.J., Taylor J.R. Flux measurements across a finger interface at low values of the stability ratio // J. Mar. Res. 1984. V. 42. P. 1-14.

125. Radko Т., Stern M.E. Salt fongers in three dimensions //J. Mar. Res. 1999. V. 57. P. 471-502.

126. Schmitt R.W. Flux measurements on salt fingers at an interface //J. Mar. Res. 1979. V. 37. P. 419-436.

127. Schmitt R.W. The growth rate of super-critical salt fingers // Deep-Sea Res. 1979. V. 26A. P. 23-40.

128. Schmitt R.W., Evans D.L. An estimate of the vertical mixing due to salt fingers based on observations in the North Athlantic Central Water // J. Geophys. Res. 1978. V. 83. P. 2913-2919.

129. Shirtcliffe T.G.L., Turner J.S. Observations of the cell structure of salt fingers // J. Fluid Mech. 1970. V. 41. P. 707-719.

130. Stern M.E. Maximum buoyancy flux across a salt fingers interface //J. Mar. Res. 1976. V. 34. P. 95-110.

131. Stern M.E. Collective instability of salt fingers // J. Fluid Mech. 1969. V. 35. P. 209-218.

132. Stern M.E. Salt finger convection and the energetics of the general circulation // Deep-Sea Res. 1969. V. 16. P. 263-267.

133. Stern M.E., Turner J.S. Salt fingers and convecting layers // Deep-Sea Res. 1969. V. 16. P. 497-517.

134. Taylor J., Veronis G. Experiment on salt fingers in a Hele Shaw cell // Science. 1986. V. 231. P. 39-41.

135. Turner J.S. Salt fingers across a density interface // Deep-Sea Res. 1967. V. 14. P. 599-611.

136. Williams A.J. 3rd Salt fingers observed in the Mediterranean outflow // Science. 1974. V. 85. P. 941-943.

137. Модели бидиффузионнной конвекции

138. Balmforth N.J., Biello J.A. Double diffusive instability in a tall thin slot // J. Fluid Mech. 1998. V. 375. P. 203-233.

139. Baines P.G., Gill A.E. On thermohaline convection with linear gradients // J. Fluid Mech. 1989. V. 37. P. 289-306.

140. Da Costa L.N., Knobloch E., Weiss N.O. Oscillations in double-diffusive convection // J. Fluid Mech. 1981. V. 109. P. 25-43.

141. Fleury L., Thual O. Stationary fronts of the thermohaline circulation in the low-aspect-ratio limit // J. Fluid Mech. 1997. V. 349. P. 117-147.

142. Huppert H.E., Moore D.R. Nonlinear double-diffusive convection //J. Fluid Mech. 1976. V. 78. P. 821-854.

143. Huppert H.E. Transitions in double-diffusive convection // Nature. 1976. V. 263. P. 20-22.

144. Huppert H.E. On the stability of a series of double-diffusive layers // Deep-Sea Res. 1971. V. 18. P. 1005-1021.

145. Huppert H.E., Linden P.F. On heating a stable salinity gradient from below // J. Fluid Mech. 1979. V. 95. P. 431-464.

146. Hurle D.T.J., Jalceman E. Soret-driven thermosolutal convection //J. Fluid Mech. 1971. V. 47. P. 667-687.

147. Knobloch E., Moore D.R., Toomre J., Weiss N.O. Transitions to chaos in two-dimensional double-diffusive convection //J. Fluid Mech. 1986. V. 166. P. 409-448.

148. Knobloch E., Proctor M.R.E. Nonlinear periodic convection in double diffusive systems // J. Fluid Mech. 1981. V. 108. P. 291-316.

149. McDougall T.J. Double-diffusive convection with a nonlinear equation of state // Progr. Oceanogr. 1981. V. 10. P. 71-121.

150. Mamou M., Vasseur E., Bilgen E. Double-diffusive convection instability in a vertical porous enclosure //J. Fluid Mech. 1998. V. 368. P. 263-289.

151. Moore D.R., Weiss N.O. Two-dimensional Rayleigh-Benard convection // J. Fluid Mech. 1973. V. 58. P. 289-312.

152. Newell A.C., Passot Т., Souli M. The phase diffusion and mean drift equations for convection at finite Rayleigh numbers in large containers // J. Fluid Mech. 1990. V. 220. P. 187-252.

153. Proctor M.R.E. Steady subcritical thermohaline convection //J. Fluid Mech. 1981. V. 105. P. 507-521.

154. Proctor M.R.E., Weiss N.O. Normal forms and chaos in thermosolutal convection // Nonlinearity. 1990. V. 3. P. 619-637.

155. Rubenfeld L.A., Siegmann W.L. Nonlinear dynamic theory for a double-diffusive convection model // SIAM Journal of Applied Mathematics. 1977. V. 32. P. 871-894.

156. Rucklidge A.M. Chaos in models of double-diffusive convection //J. Fluid Mech. 1992. V. 237. P. 209-229.

157. Siegmann W.L., Rubenfeld L.A. A nonlinear model for double-diffusive convection // SIAM Journal of Applied Mathematics. 1975. V. 29. P. 540557.

158. Skarda J.R.L., Jacqmin В., McCaughan F.E. Exact and approximate solutions to the double-diffusive Marangoni-Benard problem with cross-diffusive terms // J. Fluid Mech. 1998. V. 366. P. 109-133.

159. Straus J.M. Finite amplitude doubly-diffusive convection //J. Fluid Mech. 1972. V. 56. P. 353-374.

160. Thorpe S.A., Hutt P.K., Soulsby R. The effect of horizontal gradients on thermohaline convection //J. Fluid Mech. 1969. V. 38. P. 375-400.

161. Turner J.S. The behaviour of a stable salinity gradient heated from below jI J. Fluid Mech. 1968. V. 33. P. 183-200.

162. Turner J.S., Chen C.F. Two-dimensional effects in double diffusive convection // J. Fluid Mech. 1974. V. 58. P. 289-312.

163. Turner J.S., Shirteliffe T.G.L., Brewer P.G. Elemental variations of transport coefficients across density interfaces in multiple diffusive systems // Nature. 1970. V. 228. P. 1083-1084.

164. Veronis G. Effect of a stabilizing gradient of solute on thermal convection // J. Fluid Mech. 1968. V. 34. P. 315-336.

165. Veronis G. On finite amplitude instability in thermohaline convection // J. Mar. Res. 1965. V. 23. P. 1-17.

166. Weiss N.O. Convection in an imposed magnetic field. Part 1. The development of nonlinear convection // J. Fluid Mech. 1981. V. 108. P. 247-272.

167. Weiss N.O. Convection in an imposed magnetic field. Part 2. The dynamical regime // J. Fluid Mech. 1981. V. 108. P. 273-289.

168. Whitfield D.W., Holloway A.G., Holyer J.Y. Spectral transform simulations of finite amplitude double-diffusive instabilities in two dimensions // J. Mar. Res. 1989. V. 47. P. 241-265.

169. Yoshida J., Nagashima H., Nino H. The behavior of double-diffusive intrusion in a rotating system //J. Geophys. Res. 1989. V. 94. P. 4923-4937.

170. Бегущие волны конвекции (traveling waves)

171. Anderson K.E., Behringer R.P. Long time scales in traveling wave convection patterns // Phys. Lett. A. 1990. V. 145. P. 323.

172. Brand H., Hohenberg P.C. Amplitude equation near a polycritical point for the convective instability of a binary fluid mixture in a porous media // Phys. Rev. A. 1983. V. 27. P. 591-593.

173. Brand H., Hohenberg P.C., Steinberg V. Codimension-2 bifurcation for convection in binary fluid mixtures // Phys. Rev. A. 1984. V. 30. P. 25482561.

174. Bretherton C.S., Spiegel E.A. Intermittency through modulational instability // Phys. Lett. 1983. У. 96A. P. 152-156.

175. Coullet P., Fauve S., Tirapegui E. Large scale instability of nonlinear standing waves // J. Phys. Lett. 1985. V. 46. P. 787-791.

176. Cross M.C. Boundary conditions on the envelope function of convective rolls close to onset // Phys. Fluids. 1982. V. 25. P. 936-941.

177. Cross M.C. An eight-mode Lorenz model of traveling waves in binary fluid convection // Phys. Lett. A. 1986. V. 119. P. 21-24.

178. Cross M.C. Structure of nonlinear traveling wave states in finite geometries // Phys. Rev. A. 1988. V. 38. P. 3593-3600.

179. Cross M. С., Kim К. Linear instability and the codimension-2 region in binary fluids convection between rigid impermeable boundaries // Phys. Rev. A. 1988. V. 37. P. 3909-3920.

180. Cross M.C., Kuo E.Y. One-dimensional spatial structure near a Hopf bifurcation at finite wavenumber // Physica D. 1992. V. 59. P. 90.

181. Dean A.E., Knobloch E., Toomre J. Traveling waves and chaos in ther-mosolutal convection // Phys. Rev. A. 1987. V. 36. P. 2862-2869.

182. Dean A.E., Knobloch E., Toomre J. Traveling waves in large-aspect-ratio thermosolutal convection // Phys. Rev. A. 1988. V. 37. P. 1817.

183. Fineberg J., Moses E., Steinberg V. Spatially and temporally modulated traveling-wave pattern in convecting binary mixtures // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 61. P. 838.

184. Heinrichs R., Ahlers G., Cannell D.S. Taveling-waves and spatial variation in the convection of a binary mixture // Phys. Rev. A. 1987. V. 35. P. 2761-2764.

185. Knobloch E. Oscillatory convection in binary mixtures // Phys. Rev. A. 1986. V. 34. P. 1538-1549.

186. Knobloch E. Convection in binary fluids // Phys. Fluids. 1980. V. 23. P. 1918-1920.

187. Kolodner P. Counter-propagating quasilinear wave packets in binary-fluid convection // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 69. P. 2519-2522.

188. Moses E., Fineberg J., V. Steinberg V. Multistability and confined traveling-wave patterns in a convecting binary mixture // Phys. Rev. A. 1987. V. 35. P. 2757-2760.108

189. Ning L., Harada Y., Yahata H. Modulated traveling waves in binary fluid convection in an intermediate-aspect-ratio rectangular sell // Progr. Theor. Phys. 1997, V. 97. P. 831-848.

190. Niemelo J. J., Ahlers G., Cannell D.S. Localized traveling-wave states in binary-fluid convection // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64. P. 1365.

191. Predtechensky A.A., McCormick W.D., Swift J.В., Rossberg A.G., Swin-ney H.L. Travelling wave instability in sustained double-diffusive convection 11 Phys. Fluids. 1994. V. 6. P. 3923-3935.

192. Predtechensky A.A., McCormick W.D., Swift J.B., Noszticzius Z., Swin-ney H.L. Onset of traveling waves in isothermal double-diffusive convection 11 Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 218.

193. Surko C.M., Kolodner P. Oscillatory traveling-wave convection in a finite container // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 2055.