Амплитудная спектроскопия и мониторинг состояний сверхпроводниковых кубитов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Денисенко Марина Валерьевна

• Денисенко Марина Валерьевна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Денисенко Марина Валерьевна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР ИНФОРМАЦИОННЫХ ИСТОЧНИКОВ ПО ОСНОВЫМ ТИПАМ КУБИТОВ И МЕТОДАМ ИХ КОНТРОЛЯ

1.1. Модель кубита

1.2. Релаксационные эффекты в кубитах

1.3. Физические реализации кубитов

1.4. Полупроводниковые кубиты

1.5. Сверхпроводниковые кубиты

1.5.1. Зарядовые кубиты

1.5.1.1. Зарядовый кубит

1.5.1.2. "Квантрониум" - кубит

1.5.1.3. "Трансмон" - кубит

1.5.2. Потоковые и фазовые кубиты

1.5.2.1. Трехконтактный джозефсоновский потоковый кубит

1.5.2.2. Фазовый кубит

1.6. Связанные кубиты

1.7. Методы управления и измерений состояний кубитов

1.7.1. Ландау-зинеровское туннелирование и амплитудная спектроскопия кубитов

1.7.2. Экспериментальные методики измерений состояний кубитов

ГЛАВА 2. ДИНАМИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ СОСТОЯНИЙ КУБИТА В БИГАРМОНИЧЕСКОМ ПОЛЕ

2.1. Модель системы и управляющего сигнала

2.2. Адиабатическая динамика

2.3. Обобщенная раби-динамика

2.4. Квазиэнергетический подход

2.5. Квазиэнергетические состояния кубита и многофотонные резонансы

2.6. Приложение к амплитудной спектроскопии

2.7. Фазовые и амплитудные эффекты населенности кубита в бигармоническом поле

2.8. Влияние эффекта диссипации на интерференционные картины населенностей уровней кубита в бигармоническом поле

2.9. Мезоскопические флуктуации населенности кубита в сильном переменном поле

2.10. Выводы к главе

ГЛАВА 3. МНОГОФОТОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ И АМПЛИТУДНАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ ДВУХ СВЯЗАННЫХ КУБИТОВ

3.1. Модель симметричных и несимметричных связанных кубитов

3.2. Резонансное приближение для двух связанных кубитов

3.3. Анализ по теории возмущений (разложение по туннельным константам)

3.4. Динамика кубитов

3.5. Приложение к амплитудной спектроскопии многокубитных систем

3.5.1. Влияние постоянного поля на многофотонные резонансы

3.5.2. Влияние константы взаимодействия кубитов на характер многофотонных резонансов

3.5.3. Влияние переменного поля на многофотонные резонансы

3.5.4. Интерференционная картина населенностей уровней кубитов

3.5.5. Влияние эффекта диссипации на интерференционные картины

3.6. Выводы к главе

ГЛАВА 4. КВАНТОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ И МОНИТОРИНГ СОСТОЯНИЙ СВЯЗАННОЙ СИСТЕМЫ КУБИТ-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЙ ПРИБОР В МЕЗОСКОПИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ

4.1. Квантовые скачки и диссипативная динамика кубита в бозонном термостате

4.1.1. Модель кубита в бозонном термостате

4.1.2. Метод квантовых траекторий для анализа квантовых скачков в кубите

4.1.3. Результаты численного моделирования единичных квантовых траекторий кубита

4.1.4. Единичные реализации и усредненная динамика кубита

4.2. Диссипативная динамика и мониторинг состояний связанной системы кубит -измерительный осциллятор

4.2.1. Модель связанной системы "кубит-осциллятор"

4.2.2. Диссипативная динамика связанной системы кубит-измерительный осциллятор

4.2.3. Функционирование измерительного нелинейного осциллятора в классическом режиме

4.2.4. Функционирование измерительного нелинейного осциллятора в мезоскопическом режиме

4.3. Неразрушающие измерения состояния кубита в реальном времени (single-shot mesuaments)

4.3.1. Временной мониторинг состояния кубита в единичных реализациях и в среднем при подаче раби-импульса

4.3.2. Временной мониторинг суперпозиционного состояния кубита при неразрушающих измерениях нелинейным осциллятором

4.4. Выводы к главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Амплитудная спектроскопия и мониторинг состояний сверхпроводниковых кубитов»

Актуальность темы

В настоящее время во многих лабораториях мира ведутся теоретические и экспериментальные исследования новых элементов памяти - квантовых битов (кубитов) [1]. Функционирование кубитов основано на использовании принципа суперпозиции и эффекта перепутыва-ния (entanglement) состояний, что отличает их от классических систем. Кубиты претендуют стать базовыми элементами квантового компьютера, который позволит осуществить экспоненциальное увеличение скорости вычислений в таких задачах, как поиск в базах данных, распознавание образов, решение сложных математических задач и проблем криптографии. Отметим важные практические результаты в области современных квантовых информационных технологий: разработаны и созданы резонаторы с фантастической добротностью [2], развита техника работы с единичными квантовыми объектами [3] (уединенными атомами, электронами и фотонами, локальными спинами и т.п.), позволяющая создавать кубиты и осуществлять контроль за ними, продемонстрировано перепутывание состояний пространственно удаленных квантовых объектов (более чем на 1 метр), осуществлена фильтрация перепутанных состояний и манипулирование ими [4]. Интерес к квантовым технологиям подтверждается созданием первых коммерческих проектов по выпуску квантового криптографического оборудования (швейцарская "ID Quantique" и американская "MagiQ Technologies" компании) и первого прототипа адиабатического "квантового" компьютера (канадская компания "D-Wave"). Кроме того, ярким свидетельством перспективности данного направления явилось присуждение в 2012 году Нобелевской премии по физике С. Арошу (Serge Haroche) и Д. Вайнленду (David Wineland) за "передовые открытия экспериментальных методов, позволяющие провести измерения индивидуальных квантовых систем" (см. нобелевские лекции [5, 6]). Сказанное свидетельствует об актуальности исследований в области разработки элементной базы для устройств квантовых информационных технологий.

Несмотря на имеющийся прогресс, существует ряд трудностей для массового внедрения квантовых технологий. Основными препятствиями работы кубитов на данный момент являются проблемы масштабируемости, то есть построение систем с большим количеством взаимодействующих кубитов, а также проблемы, связанные с нарушением когерентности (случайными изменениями квантовых состояний) за счет взаимодействия кубитов с окружающей средой или измерительными устройствами [3].

Ранее полученные результаты по квантовым вычислениям основывались на атомах в ионных ловушках (см. обзоры [3, 7]). Подобные системы имели сравнительно большие характерные времена декогерентности, однако средства контроля и управления состояниями таких кубитов очень сложны с практической точки зрения. В связи с этим, исследования были направлены на разработку твердотельных систем, которые могут выступать в роли кубита, например, таким как: полупроводниковые квантовые точки, квантовые ямы, NV-центры в алмазе, сверхпроводниковые мезоскопические контура и т.п. В отличие от атомов в ловушках, данные системы имеют более простую схему контроля и управления состоя-

ниями, а времена декогерентности уже превысили микросекунды [3, 7]. Кроме того, твердотельные кубиты имеют ещё несколько неоспоримых преимуществ, например: использование уже хорошо отработанных схем создания и детектирования нано- и мезосистем позволяют изготавливать кубиты с динамически управляемыми параметрами, контролируемой связью между ними и достигнуть хорошей степени масштабируемости ( > 1000 куби-тов на чипе).

В ключе описанных выше преимуществ, перспективными кандидатами на роль твердотельных кубитов могут служить сверхпроводниковые проволоки с встроенными джозеф-соновскими переходами - "джозефсоновские кубиты" (см. например обзоры [7-11]), которым будет уделяться основное внимание в диссертационной работе. Данные кубиты обладают малой диссипацией, хорошей устойчивостью к шумам и относительно простым способом управления состояниями, что важно в квантовой информатике при передаче, хранении и обработке информации. За последние годы достигнуты впечатляющие успехи в технологии производства и управления состояниями джозефсоновских кубитов, что позволило приблизиться к требованиям, выполнение которых необходимо для создания на их основе квантового компьютера. Отметим здесь, что именно на основе джозефсоновских кубитах реализовано наиболее значимое "коммерческое" достижение последнего времени - выпуск компанией D-Wave машины (D-Wave 2X™ System), состоящей из массива более чем 1000 кубитов, и позволяющий осуществлять так называемый "квантовый отжиг" - эволюцию системы связанных кубитов к глобальному минимуму энергии. Хотя "квантовый отжиг" не является истинно квантовым вычислением, поскольку реализует только суперпозицию состояний кубитов (степень запутывания в таких системах находится под вопросом), квантовый компьютер на его основе уже может решать широкий класс задач оптимизации.

Кратко охарактеризуем существующие экспериментальные достижения при изучении джозефсоновских кубитов, а также укажем на имеющиеся нерешенные проблемы. Как и в оптике, информация об энергетических параметрах джозефсоновских кубитов и шумах извлекается из спектроскопических измерений. Первоначально управление состояниями джо-зефсоновских кубитов и исследование динамических процессов (раби-осцилляций) осуществлялось путем воздействия электромагнитного резонансного слабого поля с частотой, сравнимой с расстоянием между уровнями кубитов [12-14]. Благодаря этому для одиночных кубитов было измерено время декогеренции, которое составляет ~100 мкс [11], снижена до 1% вероятность ошибки измерения состояния кубита [15], а степень достоверности при этом составила 90% [9]. Кроме того, подобные спектроскопические исследования были распространены и для случая взаимодействующих кубитов [16]. Благодаря этому, в системе связанных кубитов был продемонстрирован (в пределе слабых полей) контроль населенно-стей кубитов [17], перепутанные состояния [18], методика "неразрушающих измерений" [12], выполнены измерения времен декогеренции и параметров кубитов (см. работы в обзоре [3]).

Подобные спектроскопические исследования кубитов осуществляются при достаточно низких температурах (~ мК) в микроволновом и миллиметровом диапазонах (диапазонах

(10 -300 ГГц) - именно в этой области частот расположены линии джозефсоновских переходов. Как известно, в указанном частотном диапазоне практические измерения трудно выполнить из-за необходимости использования дорогостоящих и сложных в управлении источников стабильного излучения, где существует частотная зависимость дисперсии и затухания волн, а также накладываются жесткие требования по контролю за импедансом системы. В связи с этим появился огромный интерес к развитию новой методики - амплитудной спектроскопии [19-23], в основе которой лежит метод получения информации с помощью функции отклика по амплитудам постоянного и переменного поля сигнала при фиксированной частоте. Причем значение частоты может быть на несколько порядков меньше, чем расстояния между уровнями в системе. Это означает, что система эволюционирует адиабатически, за исключением непосредственной близости от квазипересекающихся уровней, между которыми могут быть реализованы квантовые когерентные переходы Ландау-Зинера [24, 25], и может наблюдаеться интерференция Штюкельберга [26]. Основное преимущество данного метода в том, что исследование энергетической структуры уровней квантовой системы производится в довольно широких диапазонах изменения амплитуды, что позволяет избежать многих проблем, связанных с частотным подходом (раби-спектроскопией). Благодаря этому становится возможным изучение свойств многофотонных резонансов в сильных полях, извлечение дополнительной информации об энергетических уровнях куби-та и параметрах шума, действующих на систему.

Другим актуальным и важным аспектом при изучении работы кубитов является построение устройств квантовой логики является разработка методов по проведению нераз-рушающих измерений состояния кубита. Современные методы позволяют осуществлять "однократные" измерения (single-shot measurements) над кубитами [27], то есть мониторинг состояний открытой квантовой системы в реальном времени. Благодаря этому стало возможным исследовать динамику и характеристики отдельных квантовых систем как для каждой реализации, так и в среднем по ансамблю измерений [28, 29]. Эти эксперименты стимулировали интерес к исследованию ряда нерешенных вопросов, являющихся принципиальными для практической реализации протоколов квантовых вычислений. В частности, речь идет об исследовании процессов релаксации кубитов, которые происходят в виде квантовых скачков; об изучении процессов томографии состояний кубита и эффектов взаимного влияния измерительного устройства на процесс детектирования состояний кубита, а также изучении динамики перепутанных состояний многокубитных систем в зависимости от управляющих параметров (в различных условиях - резервуарах, при различных шумах и т.д.), имитирующих ситуацию в реальных экспериментах.

В рамках очерченного направления спектроскопических исследований многофотонных резонансов и мониторинга состояний джозефсоновских кубитов в реальном времени на момент начала работы над диссертацией был выделен круг нерешенных проблем:

1. Отсутствовала детальная теория манипулирования квантовыми состояниями в

сверхпроводниковых мезоскопических контурах со встроенными джозефсоновскими переходами.

2. Не была изучена роль квантово-когерентного туннелирования Ландау-Зинера при формировании интерференционной картины многофотонных резонансов населенно-стей взаимодействующих кубитов.

3. Не был до конца понят процесс мониторинга единичных квантовых объектов в реальном времени.

4. Оставался открытым вопрос о влиянии шумов и измерительных приборов на состояния квантовой системы.

Подробному обсуждению поставленных вопросов и будет посвящена данная диссертационная работа.

Цели и основные задачи диссертационной работы

Целью работы является разработка методов манипулирования квантовыми системами на основе сверхпроводниковых мезоконтуров с встроенными джозефсоновскими переходами, моделирование методик проведения квантовых измерений с учетом шумов, выработка рекомендаций по использованию физических квантовых логических элементов (кубитов) для информационных устройств на базе интеграции подходов квантовой оптики и физики конденсированных сред.

Исходя из этого, были определены следующие конкретные задачи исследования, а именно:

1. Проведение анализа бездиссипативной динамики кубита и системы связанных кубитов в периодическом внешнем поле на основе резонансной теории возмущений и квазиэнергетического подхода [30]. Этот метод дает точные промежуточные состояния системы в переменном поле произвольной амплитуды, а также позволяет выделить особенности резонансных переходов, обусловленных движением и пересечением квазиуровней при изменении поля. Численное моделирование позволяет установить пересечения квазиэнергетических уровней и их роль в формировании населенностей уровней.

2. Предполагалось провести исследование влияния запаздывания управляющих импульсов, поступающих на кубит, вызванного потерями в коаксиальных линиях передач. В рамках приближения вращающейся волны и численного анализа изучить поведение флуктуирующей величины - населенности уровней кубита в переменном поле, которое представляет собой суперпозицию электромагнитных импульсов большой амплитуды. Исследовать влияние характеристик импульса (амплитуды, длительности) и шумов (энергетического, фазового) на населенности уровней кубита.

3. Обобщение методики амплитудной спектроскопии на многоуровневые системы, в частности на систему двух связанных кубитов. Аналитическое и численное исследование населенностей уровней в рамках квазиэнергетического подхода. Получение интерференционных картин и проведение их анализа для извлечения дополнительной информации о системе.

4. Моделирование влияния шумовых эффектов (окружения) на интерференционные картины населенностей кубитов путем численного решения уравнения для матрицы плотности квантовым методом Монте-Карло [31, 32].

5. Численное моделирование процесса детектирования состояния кубита нелинейным бифуркационным осциллятором, выступающим в качестве измерительного прибора. Для расчета результатов процессов измерений, имитирующих процессы измерений, проводимых в реальных "однократных" экспериментах [27], используется метод квантовых траекторий (квантовый метод Монте-Карло) [31, 32]. Данный метод позволяет изучить поведение системы в единичных актах измерения (реализациях) и исследовать переход к усредненной (статистической) динамике из первых принципов, а также провести сравнение результатов, полученных с помощью решения уравнения для матрицы плотности и метода квантовых траекторий. Проанализировать эффект влияния мезоскопического измерительного прибора (нелинейного осциллятора) на состояния кубита и промоделировать процесс неразрушающего измерения состояний, включая "распутывание" суперпозиционного состояния кубита.

Научная новизна

Научная новизна результатов, полученных в диссертации, заключается в обнаружении следующих эффектов:

1. Установлено, что населенность уровней кубита в поле бигармонического сигнала чувствительна к относительной фазе составляющих управляющего импульса. Обнаружен эффект нелинейной интерференции, возникающий вследствие сложения амплитуды перехода на удвоенной частоте с амплитудой основной частоты сигнала, умноженной при смешении на нелинейном элементе - кубите. При относительной фазе составляющих управляющего импульса кратной п/2 наблюдается динамическое пленение населенностей.

2. Показано, что запаздывание импульсов, поступающих на кубит, приводит к сильным мезоскопическим флуктуациям населенностей уровней кубита, а увеличение длительности импульсов и параметров шумов - к ослаблению обнаруженных флуктуационных эффектов.

3. Впервые получены резонансные условия для вероятностей многофотонных переходов двух связанных кубитов, которые зависят от константы связи кубитов. Кроме того, в спектрах поглощения кубитов при воздействии монохроматического поля обнаружены дробные резонансы для перехода из основного состояния на высший возбужденный уровень, условия возникновения дробных резонансов не зависят от константы связи.

4. Метод амплитудной спектроскопии обобщен для многоуровневых квантовых систем. Подробно исследован случай двух связанных кубитов. Показано, что в переменном поле произвольной амплитуды интерференционные картины населенностей взаимодействующих кубитов зависят от константы связи и соотношения между управляющими полями, действующими на каждый из кубитов. Это открывает в свою очередь новый способ определения константы связи кубитов и параметров сигналов, действующих на систему. Установлено, что квантовые шумы размывают интерференционные картины и приводят к ушире-нию и перекрытиям резонансных пиков.

5. Впервые на основе метода квантовых траекторий исследована динамика связанной системы "кубит-измерительный осциллятор" в бозонном термостате. Данный под-

ход позволяет моделировать процесс неразрушающего измерения состояний единичной системы, включая "распутывание" суперпозиционного состояния кубита. Кроме того, продемонстрирован процесс накопления статистических данных, получаемых в отдельных актах измерения.

Теоретическое и практическое значение

Новые научные результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть полезны при теоретическом исследовании многофотонных резонансов и нелинейных эффектов в кубитах любого типа, например, для интерпретации результатов, полученных в ходе различных экспериментов над полупроводниковыми кубитами на квантовых точках или донорных атомах. Практически удалось достичь следующего:

1. Разработан метод амплитудной спектроскопии для многоуровневых квантовых систем на примере двух связанных кубитов. В переменном поле интерференционные картины населенностей взаимодействующих кубитов зависят от константы связи и несут информацию о параметрах кубитов. Фазовые шумы уширяют резонансы, что приводит к перекрытию резонансных пиков и размытию интерференционной картины. На основе разработанной данной методики расчета интерференционных картин населенностей связанных кубитов предложен метод извлечения дополнительной информации об исследуемой системе. В частности, обоснована возможность определения константы взаимодействия между кубитами и параметров сигналов, действующих на систему.

2. Разработан уникальный программный комплекс, который базируется на современных технологиях гетерогенных суперкомпьютерных вычислениях с использованием графических ускорителей (GPU, технология CUDA) и кластерных методах распараллеливания (MPI), позволяющий моделировать диссипативную динамику квантовых многоуровневых систем. Данный программный комплекс основан на квантовом методе Монте-Карло, который может быть использован для численного моделирования проводимых экспериментов, например по "однократным" измерениям состояний кубитов, а также для численного проектирования новых экспериментов и приборов квантовой оптики на начальной стадии исследований.

3. Предложена методика оптимального подбора экспериментальных параметров системы, включающая подбор характеристик сигналов (частоты, амплитуды, длительности импульса) для оптимизации процессов записи и считывания информации, что представляется важным как для квантовых вычислений, так и для сокращения времени и затрат при проведении реальных физических экспериментов.

На защиту выносятся основные положения:

^ Воздействие бигармонического импульса на кубит приводит к нелинейной интерференции амплитуд переходов на удвоенной и основной частотах. Населенность уровней кубита оказывается чувствительной к относительной разности фаз составляющих компонент бигармонического импульса. При относительной фазе управляющего импульса кратной п/2 имеет место динамическое пленение населенностей.

^ Разброс значений абсолютной фазы импульсов бигармонического сигнала, поступающих на кубит, обусловливает сильные мезоскопические флуктуации населенно-стей уровней кубита. Увеличение длительности импульса и времен энергетической и фазовой релаксации ослабляют интенсивность мезоскопических флуктуаций.

^ Сближения квазиэнергетических уровней в сильном переменном периодическом поле определяют положения многофотонных резонансов кубитов. Для взаимодействующих кубитов переходы из основного состояния на близлежащие уровни кубитов зависят от константы связи, кроме перехода на высоколежащий уровень.

^ Обнаружены дробные резонансы, обусловленные прямым переходом из основного состояния на высший возбужденный уровень. Условия возникновения дробных резонансов не зависят от константы связи.

> Квантовые траектории связанной системы кубит-бифуркационный измерительный осциллятор несут информацию о динамике единичной квантовой системы в бо-зонном термостате, позволяя моделировать процесс неразрушающего измерения состояний, включая "распутывание" суперпозиционного состояния кубита.

Личный вклад автора в получение результатов

Автором внесен определяющий вклад в получение основных результатов диссертационной работы: принимала активное участие в постановке и решении задач, в обсуждении полученных результатов и их интерпретации, в написании программного комплекса для численного моделирования, а также готовила работы к печати.

Апробация работы

Изложенные в диссертации результаты обсуждались на семинарах ННГУ, ИПФ РАН, ИФМ РАН и докладывались на 27 международных и всероссийских конференциях:

- 12-ом, 13-ом международном симпозиуме "Порядок, беспорядок и свойства оксидов" (Ростов-на-Дону, 2009, 2010);

- XIV, XV, XVI, XVIII, XIX международных симпозиумах "Нанофизика и наноэлек-троника" (Нижний Новгород, 2010, 2011, 2012, 2014, 2015);

- International conference on theoretical physics "Dubna-Nano2010" (Dubna, 2010);

- XV-XX нижегородские сессии молодых ученых. Естественные дисциплины (Нижний Новгород, 2010 - 2015);

- XII - XV всероссийских молодежных конференциях по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектронике (Санкт-Петербург, 2010-2013);

- XI всероссийской конференции "Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах" (Нижний Новгород, 2011);

- Всероссийские расширенные научные семинары "Методы суперкомпьютерного моделирования" (Таруса, 2011, 2014, 2015);

- "MES0-2012" Non-equilibrium and coherent phenomena at nanoscale (Chernogolovka, 2012);

- XXV IUPAP Conference on Computational Physics 2013 (Moscow, 2013);

- 1st International School and Conference "Saint-Petersburg OPEN 2014" (St. Petersburg,

2014);

- 13-я международная научная конференция-школа "Материалы нано-, микро-, опто-электроники и волоконной оптики: физические свойства и применение" (Саранск, 2014);

- IX всероссийская научная конференция молодых ученых "Наука. Технологии. Инновации" (Новосибирск, 2014);

- The 18th Conference on Quantum Information Processing "QIP 2015" (UTS, Sydney, Australia, 2015).

Ценность результатов, изложенных в диссертации, отражена следующими наградами:

1) 2009-2011 г. - стипендия Научно-образовательного центра "Физики твердотельных наноструктур" ННГУ им. Н.И. Лобачевского;

2) 2010 г., 2011 г. - стипендия некоммерческого фонда Д. Зимина "Династия" для молодых физиков теоретиков (студенческая программа);

3) 2010 г. - диплом за доклад "Исследование нелинейных эффектов в квантово-размерных наноструктурах методом амплитудной спектроскопии" на XII Всероссийской молодежной конференции по физике полупроводников и наноструктур, полупроводниковой опто- и наноэлектронике (Санкт-Петербург);

4) 2011 г. - победа в конкурсе "Эффективное использование GPU-ускорителей при решении больших задач", проводимом группой компаний "Т-Платформы" при поддержке МГУ имени М.В.Ломоносова (совместно с А.И. Гельманом);

5) 2011 г., 2012 г. - победа в конкурсе научных работ аспирантов на получение финансовой поддержки диссертационных исследований, ННГУ им. Н.И. Лобачевского;

6) 2011 г., 2012 г. - победа в конкурсе прикладных разработок и исследований в области компьютерных технологий "Компьютерный континуум: от идеи до воплощения" Intel;

7) 2012 г. - победа на 17-й Нижегородской сессии молодых ученых (естественные, математические науки). Диплом первой степени в секции "Теоретическая физика";

8) 2012 г., 2013 г. - стипендия им. Г.А. Разуваева;

9) 2012 г., 2013 г. - стипендия Президента РФ для аспирантов;

10) 2013 - 2015 г. - стипендия некоммерческого фонда Д. Зимина "Династия" для молодых физиков теоретиков (аспирантская программа);

11) 2014 г. - победа на 19-й Нижегородской сессии молодых ученых (естественные, математические науки). Диплом первой степени в секции "Теоретическая физика";

12) 2014 г. - победа на IX-ой всероссийской научной конференции молодых ученых "Наука. Технологии. Инновации" (Новосибирск, 2014). Диплом о присуждении первого места в секции "Численное моделирование физических систем".

Результаты, составившие содержание диссертации, использовались при выполнении работ по грантам, где соискатель выступал в роли исполнителя: ФЦП №07.514.11.4012, ФЦП №07.514.11.4147, РФФИ № 12-07-31161, РФФИ 12-07-00546, РФФИ 14-07-00582, а также в программах "Развитие научного потенциала высшей школы" Ми-

нобрнауки РФ в 2012-2014 г № 24231201 и стратегической инициативе "Достижение лидирующих позиций в области суперкомпьютерных технологий и высокопроизводительных вычислений" 02.В.49.21.0003 МОН РФ и ННГУ. Кроме этого, соискатель также являлся руководителем двух грантов: ФЦП № 14.132.21.1399 и "Мой первый грант" № 12-07-31144 мол-а, при выполнении которых были получены основные результаты диссертационной работы.

По материалам диссертационного исследования издано три учебно-методических пособия.

В результате работы над диссертацией был создан уникальный программный комплекс с использованием суперкомпьютерных вычислительных технологий (MPI, CUDA) для расчета релаксационной динамики многоуровневых квантовых систем. Соискатель благодарит заведующего лабораторией при кафедре МО ЭВМ ННГУ им. Н.И. Лобачевского Линёва Алексея Владимировича за полезные консультации и помощь в разработке данного программного комплекса, с помощью которого были получены численные результаты разделов 4.2 и 4.3.

Автор диссертации выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Сатанину Аркадию Михайловичу за помощь, всестороннюю поддержку, а также за ценные советы в научной работе и при подготовке диссертации. Автор признателен S.Ahhab, F.Nori, В.П.Гергелю, Д.С. Пашину, В.О.Муняеву, А.И.Гельману и А.В.Волкову за полезное сотрудничество.

Публикации

Оригинальные результаты по теме работы опубликованы в 44 научных работах, в том числе 9 статей в международных и Российских журналах из списка ВАК, 31 материал конференций и абстрактов, 3 учебно-методических пособия.

Степень достоверности результатов проведенных исследований

Результаты, полученные аналитическими и численными методами, согласуются друг с другом и не противоречат имеющимся в литературе данным. Правильность выводов и согласованность полученных результатов неоднократно подтверждались при апробации работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Денисенко Марина Валерьевна, 2016 год

+ а2 -

е А2 ^аЙ +А2 -£о

А^е? + А2 -е0)

ооб'

(Ол*) + 31И ( 2nRt) (Хпт )

(2.19)

Где %пт (Апт ) .

Выражение (2.19) показывает, что вероятность перехода в единицу времени для отдельной реализации зависит от параметров управляющего импульса, а также от запаздывания (общей фазы и), входящих в выражение для аргумента комплексного параметра АПП1.

2.4. Квазиэнергетический подход

Для получения результатов, имеющих место при произвольной амплитуде поля, в диссертационной работе используется квазиэнергетическое представление [30, 139, 140], которое дает точные промежуточные состояния системы в переменном поле произвольной амплитуды и позволяет выявить особенности резонансных переходов, обусловленных движением и пересечением квазиуровней при изменении поля.

Если гамильтониан любой многоуровневой квантовой системы изменяется во времени с периодом Т , т.е. Н(?) = Н(? + Т), то согласно теореме Флоке общее решение уравнения

Шредингера (2.9) может быть разложено по полному набору функций Флоке (?))

к(0> = |Ф*(0)е~'вкт, (2.20)

где величины Qk не зависят от времени и называются квазиэнергиями [30, 139, 140], а векторы состояний зависят периодически от времени (/)) = |ф(^ + Т)} и являются решением уравнения

. а

Н () - г - |Фк ()) = Qk | Фк (/)).

(2.21)

Квазиэнергии Qk и собственные функции |Фкв начальный момент времени I = t0 находятся из решения уравнения

2

и (Т) | Фк )> = е"^/Ь | Фк & )), (2.22)

. Т

где и(Т) = Р ехр(— I Н(?*)&), Р - оператор хронологического упорядочения. Поскольку

Ь ^

" 0

квазиэнергии определены неоднозначно = Qk + пЬш, то мы будем изображать их в первой зоне "Бриллюэна" (0 < Qk < Ьш ).

Обычно для отыскания квазиэнергий используют периодичность функций (г,

раскладывая их в ряд Фурье [30]. В свою очередь, коэффициенты ряда Фурье удовлетворяют бесконечномерной системе линейных уравнений, которая решается приближенно путем конечномерной аппроксимации. В данной работе вид функций (ги квазиэнергии Qk

находится численным методом по схеме Кэли [143]. Таким образом, нам не нужно работать с матрицами большого размера, а также такой подход позволяет получить контролируемое приближенное решение.

Амплитуда перехода системы в момент времени ? определяется действием на начальный вектор состояния оператора Флоке:

Ч) = (0) е4* ("0)/\Фк (0|. (2.23)

Пусть первоначально система находилась в состоянии . Предполагается, что ввиду

взаимодействия с термостатом волновая функция имеет случайную фазу, т.е. первоначально система фактически характеризуется матрицей плотности. Вероятность перехода в возбужденное состояние , усредненная по случайным фазам прихода импульса на систему

(времена ?0), описывается следующим выражением, зависящим от длительности импульса т = г - /0:

Р^(т) = Ее"^^)т/Ь)(т)М(")*(т) , (2 24)

1 Т

где М(п)(т) = -1е-пшт (р\Фк(т + т')){Фк(Т)\а)йт'. Выражение (2.24) показывает, что в

Т 0

сильном поле эволюция системы происходит через промежуточные квазиэнергетические состояния кубитов. Можно показать, что вероятность перехода (2.24) содержит быстро осциллирующие по времени слагаемые, которые могут быть определены, если время действия импульса намного больше периода т » Т. Исключения составляют вклады с почти равными квазиэнергиями. После усреднения по длительности импульса вероятность перехода вычисляется следующей формулой:

Р^ЕЕМф^) К" И|2, (2.25)

где фурье-компонента Ф(п)^ квазиэнергетической функции определена соотношением:

1 Т

Кй)) = 1 \етШ\Фк(t))dt. (2.26)

Т 0

Разработанная в диссертационной работе численная методика позволяет получить квазиэнергии и соответствующие им квазиэнергетические функции, а по ним - найти вероятности переходов в поле произвольной амплитуды и построить интерференционные картины, демонстрирующие зависимость вероятности перехода от различных параметров сигнала.

2.5. Квазиэнергетические состояния кубита и многофотонные резонансы

Пусть первоначально кубит находился в состоянии = , которое является собственным вектором гамильтониана (2.1) в отсутствие переменной составляющей поля ( A = 0 в выражении (2.4)), т.е. кубит был "приготовлен" на энергетическом уровне

E =-s2 + А2 . Будем интересоваться вероятностью перехода кубита в конечное состояние |р)=(1, 0)Т (после действия импульса поля), которое связано с измеряемой экспериментально проекцией тока в сверхпроводящей петле потокового кубита [132, 133]. Для вычисления вероятностей населенностей уровней системы мы используем квазиэнергетическое представление, описанное в разделе 2.4.

Предварительно исследуем поведение квазиэнергетических кривых Q1(s0) и Q2(s0) в

зависимости от управляющего параметра s0 (см. рис. 2.3 (а). Когда выполняется условие А << кю, численный анализ показывает, что кривизна дисперсионной зависимости уровней кубита от s не играет важной роли в формировании квазиэнергетических уровней и в значениях вероятностей резонансных переходов. Квазиэнергии являются периодическими функциями по энергии с периодом ha, и они описываются линейным законом Q12 = ±s0 / 2

(mod кю ). Однако когда управляющий параметр s0 ~ А, кривизна квазиэнергетических уровней важна, и их поведение не описывается линейным законом. Для целочисленных значений s0, когда выполняются условия резонансов (2.15), происходят сближения квазиуровней, что сопровождается появлением пиков на графике населенности уровня | р) кубита (рис. 2.3 (б)), которые физически соответствуют областям многофотонных переходов.

Рис. 2.3. Зависимость квазиэнергетических уровней от управляющего параметра (а), где пунктирная кривая соответствует Ц (е0), а сплошная - (£0). Вероятность перехода куби-

та Ра^р (б). Параметры системы: А/Ьа = 0.25, А/ Ьа = 5 ГГц, у = 0.5, в = ж .

При условии А << Ьа, резонансные пики межуровневых переходов имеют лоренцев-скую форму. Пренебрегая влиянием шумов на систему, можно заметить, что многофотонные переходы происходят, когда выполнено условие резонанса (2.15), т.е. £0 + (п + 2т)Ьа = 0. Эффекты декогеренции и случайный сбой фаз приводит к эффективному уширению уровней, в результате чего происходит уширение пиков многофотонных переходов. Данное утверждение доказано с помощью теории возмущений [19], которая дает точные зависимости лоренцевых пиков для вероятностей переходов.

В случае, когда частота внешнего поля и туннельная константа кубита одного порядка, т.е. А ~ Ьа , кривизна дисперсии уровней влияет на формирование нерезонансного фона и изменяет форму пиков многофотонных резонансов. Отметим, что если выполнено неравенство А >> Ьа, то форма резонансов сильно зависит от туннельного параметра кубита А. Нерезонансный фон возрастает и приводит к уширению и перекрытию соседних многофотонных резонансов, что продемонстрировано с помощью численного моделирования на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Зависимость вероятностей перехода между уровнями кубита Р от управляющего параметра £ при различных значениях туннельных констант: синяя кривая А / Ьа = 0.01 ГГц, черная - А / Ьа = 0.1 ГГц и красная - А / Ьа = 0.5 ГГц. Остальные параметры системы аналогичны тем, что представлены на рис. 2.3.

Поведение квазиэнергий при изменении амплитуды поля А также могут быть качественно поняты в рамках резонансного приближения. Действительно, в этом приближении квазиэнергии являются собственными значениями гамильтониана (2.16), т.е. они определяются частотой Раби: 01 , Q2 = . Следовательно, выражение (2.14) для обобщенной частоты Раби приближенно описывает зависимость квазиэнергий от амплитуды поля. На рис. 2.5 приведены зависимости квазиэнергетических уровней и вероятностей населен-ностей уровней системы Р , рассчитанные согласно формулам (2.22) и (2.25), при изменении амплитуды А бигармонического поля. Как видно, точки антикроссинга соответствуют малым частотам Раби и наблюдается эффект динамического пленения (динамической локализации) населенностей. При изменении знака управляющего параметра £0 наблюдается сдвиг участков, где сближаются квазиэнергии, что соответствует явной асимметрии в квазиуровнях и, следовательно, является причиной асимметрии населенности возбужденного уровня кубита в зависимости от амплитуды поля (рис. 2.5 (б)). Заметим, что в случае монохроматического сигнала (у = 0 ) квазиэнергетические уровни при £0 > 0 и £0 < 0 совпадают. Из проведенного анализа следует, что кубит чувствителен к изменению параметров бигармонического сигнала, т.е. показано влияние формы бигармонического управляющего поля на экспериментально измеряемую величину (проекцию сверхтока в интерферометре). Это позволяет контролировать переходы между уровнями кубита путем изменения параметров бигармонического поля.

Отметим, что для положительного параметра £0 вероятность населенностей уровней в

двухуровней системе не может превышать 0.5 [36], тогда как при £0 < 0 вероятность лежит в диапазоне: 0.5 < Р^^ < 1 и наблюдается формальное изменение характера кривых ("пи-

ки" заменяются на "провалы" см. рис. 2.3 (б) и рис. 2.5 (б)). Данные изменения связаны с экспериментальной техникой измерений проекции тока в сверхпроводящей петле, следовательно для другой проекции тока, т.е = (0,1)г ), в случае £0 > 0 , вероятность не превышает 0.5 (0 < Р < 0.5), поэтому далее мы будем характеризовать характер резонансов ("пики" и "провалы") в соответствии с их видом для положительных £0.

Рис. 2.5. Зависимости квазиэнергетических уровней (а) и вероятность населенности уровня кубита от амплитуды внешнего поля (б), где красные кривые соответствуют

£0 / Но = -2, а синие кривые - £0 / Но = 2. Пунктирные кривые соответствуют Ц / На, а

сплошные кривые - /Но. Остальные параметры системы: А/Но = 0.25 ГГц, у = 0.5, в = п.

2.6. Приложение к амплитудной спектроскопии

Проанализируем теперь отмеченные выше особенности поведения вероятностей переходов в зависимости от параметров сигнала более подробно. Будем изучать поведение населенности возбужденного состояния кубита при изменении параметров сигнала, подобно тому, как это делается в методе амплитудной спектроскопии [19-23, 132, 133]. Рассчитанные согласно (2.25) зависимости населенностей уровней от управляющего параметра £0 и амплитуды внешнего переменного поля А при двух значениях отношений амплитуд у гармонического сигнала (2.4) и при относительной фазе в = п изображены на рис. 2.6. Как отмечалось выше в разделе 2.3, качественно эти зависимости могут быть поняты в рамках резонансного приближения. Частота осцилляций, согласно (2.14), пропорциональна сумме

произведений функций Бесселя, взятых с разными фазами, следовательно, её минимумы и максимумы оказываются чувствительными к значению фазы в. Другая особенность данной системы связана с уже обсуждавшейся асимметрией по управляющему параметру £0. Как видно из рис. 2.6 (а), при монохроматическом сигнале, когда у = 0, получается симметричная относительно £0 ^ —£0 интерференционная картина. Подобные зависимости населен-ностей наблюдались в недавних экспериментальных исследованиях кубита методами амплитудной спектроскопии [19-23], тогда как при уф 0 на рис. 2.6 (б) отчетливо видна асимметрия в расположении пиков поглощения и дополнительные пики. Положения данных пиков обусловлены резонансным условием (2.15) и набором близких по абсолютной величине п и т, которые и определяют зависимость функций Бесселя от параметров сигнала. Асимметрия интерференционной картины позволяет путём изменения параметров сигнала управлять квантово-когерентным туннелированием Ландау-Зинера, что может быть важно для управления состояниями кубита во внешнем поле большой амплитуды.

0

Рис. 2.6. Населенность состояния от амплитуды внешнего поля А и управляющего параметра £0 при у= 0 (а) и у = 1/2 (б). Параметры кубита: А/На = 0.25, в = п .

2.7. Фазовые и амплитудные эффекты населенности кубита в бигармони-

ческом поле

В отличие от монохроматического сигнала, резонансное приближение позволило понять, что частота Раби обобщенного резонанса зависит от относительной фазы и амплитуды бигармонического сигнала. В данном разделе диссертации акцент делается на подробном изучении влияния относительной амплитуды и фазы сигнала на многофотонные переходы в кубите. Численные расчеты выполнены с использованием квазиэнергетического приближения, изложенного в разделе 2.4.

Будет показано, что в случае бигармонического сигнала возможен эффект нелинейной интерференции за счет взаимодействия двух гармоник, формирующих данное поле. Если расстояние между уровнями кубита таково, то для возбуждения системе необходимо поглотить два кванта энергии с частотой а (переход происходит через виртуальный уровень), что соответствует первой гармонике сигнала (2.4) [ ~ Асо$>(Ш) ]. Эффективно это означает, что

переход между уровнями кубита происходит на частоте 2т [ ~ А2оов(2о1) ] с амплитудой

вероятности а^ (см. рис. 2.7). В тоже время, данный переход может быть возбужден вто-

рой гармоникой сигнала ~ у А ео8(2ю/ + 0), имеющей амплитуду перехода а2б) (см. рис. 2.7). Это означает, что в общем случае переход между уровнями кубита в поле бигар-

монического сигнала происходит с вероятностью

а(О + а (О

2

и является результатом нели-

нейной интерференции, возникающей на кубите. Таким образом, смешение амплитуды перехода на частоте 2т и удвоенной амплитуды основной частоты т сигнала с различными фазами является основным вкладом в фазовую чувствительность населенностей уровней кубита.

хч V

О)

у у' 1 } £С

Рис. 2.7. Энергетическая диаграмма, показывающая собственные состояния Е+ и Е- потокового кубита в зависимости от управляющего параметра £0 . Красными стрелками показаны необходимые кванты энергии для перехода между состояниями кубита, а черные стрелки схематично указывают на амплитуды соответствующих переходов а(1) и а(2) .

На рис. 2.8 продемонстрировано поведение населенностей уровней кубита Р и

поведение частоты Раби от относительной разности фаз сигнала 0 . Как было отмечено выше, резонансный гамильтониан (2.16) в случае бигармонического сигнала чувствителен к относительной фазе сигнала, что продемонстрировано на рис. 2.8 (б). Отметим, что частота обобщенного Раби резонанса в независимости от относительной амплитуды сигналов у ведёт себя одинаково, как показано на рис. 2.8 (а), при одновременных заменах: £ и

0 + , где ^ - любое целое число. Данные особенности сдвига частоты на ж проявляются и в вероятностях населенностей уровней (см. рис. 2.8 (б)). Например, зеленая сплошная кривая для е0 / Но = —2 и 0 = ж с точностью до проекции на состояние тока совпадает с пунктирной синей кривой, параметры которой £0 / Но = 2 и 0 = 0 .

0.3

3 0.2 -

¿К ос

0.1 -

О 4 8 12 16 20

Рис. 2.8. Зависимости Раби частоты от амплитуды поля А для нескольких значений относительной фазы сигнала (а). Черная кривая соответствует фазе 0 = 0 при £0 / Но = —2 (или 0 = ж при £ /На = 2), серая - фазе 0 = ж/2 (при £ /Но = +2) и оранжевая - 0 = ж при £ / Но = —2 (или 0 = 0 при £ / Но = 2). Зависимость вероятностей населенностей уровней от амплитуды поля А (б) при £ / Но = 2 (пунктирные кривые) и е0 / Но = —2

(сплошные), где синие кривые отвечают фазе 0 = 0, красные 0 = ж /2, а зеленые - 0 = ж . Параметры системы: А / Но = 0.5, у = 1/2.

Поведение населенностей уровней кубита Р и зависимость частоты Раби 0.д при

одновременном изменении относительной разности фаз сигнала 0 и амплитуды поля А представлено на рис. 2.9. Красные области на рис. 2.9 (а) означают наличие "плато" населенностей, где Р~ 0.5, а сиреневые - означают "провалы", когда населенность падает до нуля. Рис. 2.9 (б) демонстрирует, что при смене знака управляющего параметра £0 наблюдается инверсная картина в поведении населенностей (синие области соответствуют появлению плато населенностей - Р « 0.5). Как и обсуждалось ранее, это связано с измеряемой проекцией тока в кубите. Обнаружено, что имеются особые интервалы измерения фазы в вблизи значений 0 = ж /2 и 0 = 3ж /2, когда частоты Раби слабо зависят от амплитуды поля и населенности возбужденного состояния выходят на константу, что видно на рис. 2.9 (в, г)). Обнаруженный эффект пленения населенностей позволит динамически управлять системой, когда при определенных параметрах сигнала (относительной разности фаз сигнала в кратной п/2) можно добиться стабильности населенностей уровней кубита даже при небольших изменениях амплитуды подаваемых на систему сигналов.

Ра^р О 0.5 1

Рис. 2.9. Населенности состояния (а, б) и частоты Раби 0.д (в, г) как функции от относительной фазы бигармонического сигнала, при £ / Но = 2 (а, в) и £ /Но = —2 (б, г). Параметры системы: А / Но = 0.25, у = 1/2. Сверху приведены соответствующие шкалы изменения вероятности перехода и частоты Раби.

Для получения дополнительной информации о влиянии формы сигнала были рассчитаны интерференционные картины населенностей, изображенные на рис. 2.10 (а, б), при изменении амплитуд сигналов А и у А , входящих в (2.4). Эффект динамического подавления туннелирования виден на рис. 2.10 (а, б); он проявляется в увеличении сиреневой области (отсутствие возбуждения в системе) при изменении управляющего параметра £0. Для

интерпретации интерференционной картины на рис. 2.10 (в, г) показаны поведение соответствующих частот Раби 0,д в зависимости от А и уА. Можно сказать, что на рис. 2.10 (в, г) сиреневыми областями продемонстрированы траектории движения нулей населенностей уровней кубита. В резонансном приближении, как видно из рис. 2.10 (в, г), частота обобщенного Раби резонанса качественно повторяет поведение нулей населенностей рис. 2.10 (а, б). Следует отметить, что при £0 = 0 формируется симметричная картина вероятностей относительно оси Ау = 0, а с увеличением расстояния между уровнями в системе наблюдается "наклон" интерференционной картины.

Рис. 2.10. Зависимости вероятностей нахождения кубита в состоянии (а, б) и зависимости частот Раби 0.д (в, г) при изменении амплитуд бигармонического сигнала, при £0 / На = 2 (а, в) и £0 / На = 6 (б, г). Параметры системы: А/На = 0.25, в = л .

Обратим внимание на две существенно разные области расположения резонансных кривых. Во-первых, это наличие "сеточной" структуры резонансов в нижних углах интерференционных картин на рис. 2.10 (а, б) ( | у А | >> А ). Во-вторых, имеется центральная область, где видна расходящаяся - "веерная" - структура траекторий нулей. Сеточные участки можно объяснить исходя из асимптотик функций Бесселя для больших аргументов

( -А >>| п2 -11 и >>| ш2 - 1 |) в формуле (2.14) для частоты Раби: На 4 2На 4

зп (А) (УА)«

" На ш 2На лА

уУ

(а-у)-лл(п - ш))+^ (а-лл(п+ш),

что объясняет формирование периодической решетки в данном интервале изменения параметров. В центральной же области, где | у А | << А, в сумме (2.14) эффективно представлено

' у А '

небольшое число слагаемых с J„

2На

, поэтому нули частотой Раби в основном опреде-

ляются несколькими функциями Бесселя.

Как отмечалась ранее, при изменении знака управляющего параметра £0, наблюдается инверсная картина населенностей, а также явная асимметрия за счёт формы сигнала, что

проявляется и при изменении амплитуд сигналов, см. рис. 2.11 (а, б). Подробно изучено поведение населенностей при фиксированной фазе в = . Выяснено, что область стабильности населенностей Р ~ 0.5 наблюдается во многих областях при фазах кратных ^^,

что видно на рис. 2.11 (в), а также на фазовых зависимостях на рис. 2.9. Это связано с формированием особого вида сигнала и позволяет манипулировать состояниями кубита в сильных полях, т.е. при А,уА >> На,£, А. Укажем ещё на одну симметрию системы, которая следует из анализа гамильтониана (2.1): частота Раби испытывает одинаковые осцилляции при замене: £ ^ —£0 и у ^ — у , что соответствует изменению знака перед сигналом на удвоенной частоте и указывает на замеченную ранее симметрию в сдвиге относительной разности фаз в ^-в + пл , где л - любое целое число (см. рис. 2.9).

0.5

10 15 20 25 30

уА/Ъа

10 15 20 25 30 0.5 '

уА/Ъа

10 15 20 25 30 0

уА/Ъа

Рис. 2.11. Зависимости вероятностей нахождения кубита в состояния при изменении амплитуд бигармонического сигнала при (а) £ / На = 2, в = п ; (б) £ / На = —2, в = ж ; (в) £ / На = 2, в = ж/2. Параметры системы: А/На = 0.5 ГГц. Справа от графиков приведены

шкалы изменения вероятности Ра^р .

Отметим, что при численном расчёте частоты Раби был учтён вклад функций Бесселя с номерами —100 < п, т < 100, удовлетворяющих условию резонанса, что вполне целесообразно при изменении амплитуды поля в рассматриваемых диапазонах. При расчете же усредненных по длительности импульса вероятностей, переходом между уровнями кубита

Ра^р , согласно выражению (2.25), была учтена 101 гармоника, что дает точность расчёта населенностей уровней ~10-6.

2.8. Влияние эффекта диссипации на интерференционные картины населенностей уровней кубита в бигармоническом поле

При реальных условиях проведения эксперимента особую роль на результаты измерений оказывают внешние факторы, приводящие к шумам. В сверхпроводниковых кубитах основным каналом декогеренции является взаимодействие электронов с фононами, а так же процессы, связанные с взаимодействием с управляющим или измерительным оборудованием (радиационное затухание).

В общем виде процессы релаксации можно рассмотреть, например, как взаимодействие кубита с фоннонным резервуаром, содержащим большое число степеней свободы. Данная модель резервуара включает в себя и другие возбуждения бозонного типа, как, например, спиновые волны, экситоны, фотоны и т.д. В таком случае гамильтониан системы имеет вид:

Н, = Н + + + ,

+ г. . _ . _

■ ' 2~ 2 ' -Х~Х> (2.27)

ч

где первое слагаемое Н - гамильтониан кубита, определенный выражением (2.1); второе слагаемое в (2.27) гамильтониан бозонного резервуара, с учетом того, что Ъ и Ъ+д - операторы уничтожения и рождения бозонов, а ф - частота бозона с моментом импульса ч; а последние два слагаемых в (2.27) отвечают за взаимодействие кубита с бозонным резервуарам. Эрмитовые операторами резервуара р, р , которые отвечают за продольную и поперечную релаксацию в системе, линейно зависят от операторов резервуара

1 ( Л

рх = ^Ех(ч)Ъ Е+ (чЪ , с учетом того, что х(д) - константы связи, V- объ-

' ^ У ч ' ч " ") '

ем системы. Статистические свойства же операторов резервуара р, р определены корреляционными функциями: К^ — = ^р *(^(О).

Учитывая гауссову статистику, можно рассмотреть модель шума с гладким спектром, когда спектральная плотность шума не имеет особенностей, что позволяет рассмотреть резервуар как марковский. При этом уравнение для оператора плотности кубита р в борн-марковском приближении [36, 37] имеет вид:

^р = — г- \р, Н ] + ^ (<р< — р) + ^ (2а—ра+ — а<а_р — ра<а_ ), (2.28)

от п \ J 2 2

где скорость характеризует процесс затухания фазы (дефазировка, йерЬа8т%) с характерным временем Т = -/ Г/, параметр Ге отвечает за темп потери энергии (Те = 1/ Ге) [36], Н - гамильтониан кубита (2.1), а а± = (< ±<)/2. Учитывая экспериментальные работы

[19, 21, 132], процессы термического возбуждения (спонтанного "подброса" за счет температуры) в данной работе не учитываются, так как вероятность этих процессов на несколько порядков меньше двух других механизмов релаксации.

Для численных расчетов матрицу плотности удобно представить в виде

р = - (1 + <г Я ), где - единичная матрица, < = {< ,<у } - наб°р матриц Паули. уравнение (2.28) для матрицы плотности эквивалентно уравнению для компонент вектора II = Тг (6р(0):

— Л Г

-А = е(гЛ - 2Г гях--^И,

—г у 1 х 2 х

—Л Г

= - е(г)Ях +Щ - 2ГуЯу -^Лу,, (2.29)

—Л

—^ = -АЛ -Г Л -Г .

—г у е * е

Начальное состояние (2.17) запишется в виде:

(

Я (0) =

^В* +А 2 -В0 )

2А|

V о о |

0,-1 -

2А2

А2-

(2.30)

(Т^+А2-в0 ) а2 +^8о2 +а2-8о )

а вероятность перехода в состояние , будет определяться соотношением:

Ра^(г) = 1 + л (г). (2.31)

Как и в случае квазиэнергетического представления, для качественного соответствия с техникой проведения экспериментов по амплитудной спектроскопии величину (2.31) необходимо усреднить по случайным начальным фазам сигнала и длительности импульса. Следует отметить, что в экспериментах с кубитами [21, 132] механизм поперечной релаксации (дефазировки) обычно существенно доминирует над процессом релаксации энергии, т.е. Тг << Те.

Влияние релаксации на динамику одиночного кубита под действием монохроматического поля и формирование интерференционных картин населенностей уровней аналогичных тем, что получают в рамках амплитудной спектроскопии, было рассмотрено ранее методом квантовых траекторий [31, 32] в работах [144, 145]. Однако, как известно из работ [19, 132], экспериментально для получения сведений о состоянии кубита проводится несколько тысяч реализаций опыта с одинаковыми начальными условиями, т.е. происходит набор статистики, поэтому, строго говоря, численный расчет интерференционных картин можно проводить и на основе уравнения для матрицы плотности, которое и описывает статистический набор данных. В силу этого, на основе решения уравнения (2.29) были получены усредненные интерференционные картины вероятности перехода между уровнями ку-бита в поле бигармонического сигнала (2.4). Согласно [144], учет дефазировки при анализе интерференционной картины приводит к уширению резонансов и полному их перекрытию уже при Гf — с / 2п, что происходит и в случае воздействия на кубит бигармонического

сигнала, что продемонстрировано на рис. 2.12 (а-в). Отметим, что асимметрия интерференционной картины относительно £0 и осцилляции населенности по амплитуде А при фиксированном £0 сохраняются. Также различим и наклон полос интерференции к оси А, который присутствует при Г^ >> с/ 2п. Это может быть использовано для динамического

контроля состояния кубита посредством подбора разности фаз между гармониками и их относительной интенсивности.

Рис. 2.12. Интерференционные картины зависимостей населенностей возбужденного уровня кубита при различных параметрах релаксации. При фиксированной скорости энергетической релаксации Ге/Ню = 0.01: (а) Гу/Ню =0.1; (б) Г^Ню =0.18; (в) Г^/Ню=0.36. При фиксированной скорости фазовой релаксации Г,/Нс =0.1: (г) Г /Ню=0.03;

У е

(д) Г /Ню=0.05; (е) Г /Ню =0.1. Параметры кубита аналогичны тем, что представлены на рис. 2.6.

В работе также был рассмотрен случай, когда времена поперечной и продольной релаксации величины одного порядка, т.е Г^ ~ Г. В этом случае, кроме случайного сбоя фаз,

приводящего к размытию и уширению резонансов на интерференционных картинах, добавляется эффект спонтанного сброса энергии в единичных реализациях кубита, что в усредненной динамике соответствует установившемуся равновероятному заселению уровней. Данный процесс приводит к тому, что уже при Ге — Г^ /2 контрастность интерференционных картин на рис. 2.12 (г-е) быстро теряется и многофотонные резонансы, определяемые условием (2.15), становятся плохо различимыми.

2.9. Мезоскопические флуктуации населенности кубита в сильном переменном поле

Основываясь на эксперименте [133], в данном разделе диссертационной работы подробно изучается хаотическая динамика вероятностей перехода между уровнями кубита в бигармоническом поле, вызванная случайными запаздываниями управляющего импульса, происходящими в коаксиальных линиях передачи сигнала от импульсного генератора на кубит. Динамика вероятности перехода между уровнями в кубите оказывается во многом аналогична мезоскопическим флуктуациям полной проводимости (кондактанса) в проводниках, которые обусловлены фазовой когерентностью при прохождении электронных волн через образцы, размеры которых малы по сравнению с характерной длиной неупругого рассеяния [146]. Известно, что особенно чувствителен к конфигурациям примесей кондактанс одномерной проволоки, когда интерференция электронных волн существенно изменяется уже при сдвиге одной примеси на расстояние порядка длины волны электрона. В одномерных системах возвратные траектории электронов всегда проходят одни и те же рассеивате-ли, что и обусловливает сильную чувствительность проводимости к виду потенциала [147]. Квантовые интерференционные поправки к проводимости также чувствительны к изменению тех параметров, которые нарушают симметрию относительно обращения времени, например, к результату действия магнитного поля или спин-орбитального взаимодействия. При измерениях кондактанса контроль осуществляется путем изменения макроскопических управляющих параметров - магнитного поля, концентрации электронов, частоты приложенного переменного поля и др. В то же время, рельеф примесного потенциала в образце трудно контролировать, за исключением тех модельных экспериментов, где разработана специальная методика изменения конфигураций рассевателей, позволившая продемонстрировать интересные эффекты в теории слабой локализации и квантового хаоса [148].

Обсудим эксперимент и полученные результаты работы [133]. Объектом исследования являлся сверхпроводниковый потоковый кубит, как и в их ранней работе по амплитудной спектроскопии [132], управление состояниями кубита осуществляется с помощью переменного бигармонического поля большой амплитуды вида (2.4), а считывание состояний производится интерферометром типа СКВИДа. При этом вероятность нахождения кубита в одном из состояний меняется во времени, причем управляющее периодическое поле действует подобно потенциалу, приложенному к блоховскому электрону. Предполагается, что постоянный магнитный поток (эквивалентный управляющему параметру кубита е0 ~ /ас),

пронизывающий сверхпроводниковый контур кубита, флуктуирует 8в0 ~ 8^, тогда

управляющее поле имеет вид: е(С) = £0+8е0+£ас(¿). В результате измеряется логарифм

скорости межуровневых переходов Г(т) = — Ln[pPa^б (т)]/ т в момент прекращения действия

управляющего поля (длительность которого т составляет несколько периодов внешнего переменного поля Т) при изменении относительной разности фаз сигналов в (см. рис. 2.13), что ведет к нарушению симметрии относительно обращения времени и, как следствие, приводит к флуктуационным эффектам. Таким образом, эксперимент [133] демонстрирует,

что изменение формы управляющего сигнала (например, за счет флуктуаций магнитного потока) ведет к существенным изменениям в населенностях уровней кубита, что аналогично мезоскопическим универсальным флуктуациям кондактанца в проволоках.

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 L -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 Asymmetry u Asymmetry а

Рис. 2.13. (а) Скорость межуровневого перехода в кубите Г при изменении постоянного магнитного потока (по вертикальной оси) и относительной фазы сигналов а (по горизонтальной оси) в обозначениях, используемых в работе [133], что аналогично а~ в, в выражении (2.4). Усредненная скорость перехода (Ь) между уровнями в диапазоне и дисперсия (с) величины Г. Изображение взято из экспериментальной работы [133].

Основываясь на известных данных об изучении потоковых кубитов [77], можно сказать, что существуют методы, которые позволяют минимизировать флуктуации магнитного потока до нескольких процентов через сверхпроводниковый контур. Однако в диссертационной работе нами выдвигается утверждение, что флуктуационные эффекты в скорости межуровневого перехода в кубите останутся, так как существует ещё один флуктуацион-ный канал, который в работе [133] не был принят во внимание. Кроме того, наш подход не предполагает малость туннельной константы А, в отличие от численного анализа в работе [133] на основе разработанного метода в [19].

Основной идей, изложенной в данном разделе диссертации, является то, что флуктуа-ционные эффекты в зависимостях населенностей уровней кубита в первую очередь связаны с неконтролируемыми потерями в коаксиальных линиях передач, что ведет к случайным временам прихода сигнала на кубит 10. Для учета этого эффекта, в разделе 2.1 была рассмотрена общая фаза сигнала: ф = t0ф . Будем изучать зависимость населенностей уровней кубита от случайных сбоев фаз в линиях передач, принимая во внимание эффект взаимодействия кубита с окружающей средой (учет дефазировки и энергетической релаксации). При этом относительная фаза смешиваемых сигналов будет влиять на фазу волновой функции кубита в процессе эволюции, а также приведет к нарушению симметрии относительно обращения времени. Данный факт позволяет говорить также об аналогии с мезоскопиче-скими системами, согласно которой флуктуирующая величина (вероятность перехода между основным и возбужденным уровнями кубита в единицу времени) ведет себя подобно проводимости квантовых проволок. В свою очередь, населенность кубита как функция длительности импульса флуктуирует подобно проводимости проволоки в зависимости от ее

длины, а влияние относительной фазы двух импульсов будет подобно магнитному полю в проводниках, нарушающему симметрию относительно обращения времени. В данном разделе будут продемонстрированы те принципиальные различия, которые имеют место между случайной временной динамикой населенностей уровней кубита и мезоскопическими флуктуациями в проволоках.

Согласно рассуждениям проведенным в разделе 2.3, динамика кубита под воздействием периодического сигнала с длительностью меньшей, чем времена декогерентности описывается выражением U = Uo:gUNUin, Пропагаторы "включения" и "выключения" случайны и зависят от общей фазы и, а пропагатор на периоде обладает свойством и (Т) = и (г + T, г), который можно представить в виде: и (Т) = Б 1DS, где

D =

(¿0Т о ^

02т

к 0 е .

(2.32)

где 0 и 02 - квазиэнергетические уровни [30], а полный пропагатор и = и^Б 1ОмБи„.

Как видно, для сигнала большой длительности (N >> 1) резонансы в переходах определяются пересечением квазиэнергий [30], которые не зависят от фазы сигнала. Пропагаторы и и и , соответствующие случайным конечным и начальным интервалам, зависят от

общей фазы сигнала и и вызывают флуктуации в населенностях уровней, слегка уширяя резонансы, что было подробно изучено в разделе 2.5. Иное дело, если изменение формы импульса (флуктуации параметров сигнала) будет сильно менять квазиэнергии. Ниже мы покажем, что для сигнала типа (2.4) это действительно имеет место, причем это свойство появляется уже для импульса, "несущего" небольшое число периодов.

Исследуем более подробно поведение системы в бесдиссипативном пределе, рассматривая влияние общей фазы импульсов (запаздывания) на интерференционные картины вероятности перехода кубита Ра^б(0 из основного состояния (2.17) на диабатический уровень (2.18), соответствующей экспериментально определяемой проекции тока в контуре. На рис. 2.14 приведены зависимости Дг), полученные по

приближенной формуле (2.19) и путем численного решения уравнения (2.9), вычисленых в момент прекращения действия подаваемого импульса, т.е в момент времени т = 10Т (Т -период сигнала). Значения вероятностей перехода показано цветом. Красные области означают резонансные пики, где ~ 1, а сиреневые означают "провалы", когда населенность

падает до нуля « 0 . Заметим, что резонансная теория дает хорошее согласие с прямым численным расчетом, что позволяет качественно объяснить формирование интерференционной картины при различных случайных значениях фаз импульса (р.

Как отмечалось выше, при малых амплитудах А << ка, е0, А управляющего импульса имеет место обычная раби-динамика системы, и вероятность перехода не чувствительна к относительной фазе и запаздыванию импульса. При увеличении амплитуд импульса, обоб-

щенная частота Раби пропорциональная сумме произведений функций Бесселя Jn \ —

" Ню

и J_

уЛ 2Ню

, входящих в (2.14), взятых с разными фазами е

-I — $,1п(в+р)-п(в+р) Ню

и е

уЛ

— —— $1п(2р)-2т<р

2Ню

оказывается чувствительной к значению относительной разности фаз в. В то же время, частота Раби не чувствительна по отношению к общей фазе и импульса, так как учитывается запаздывание импульса как целого, т.е зависимость от задержки импульса на время (0 = ф/а. Именно поэтому, в случае с объяснением интерференционных картин,

получаемых в рамках методики амплитудной спектроскопии (см. рис. 2.8), где запаздывание импульса не играет важной роли, проводилось сравнение частоты обобщенного раби-резонанса и вероятности перехода в квазиэнергетическом приближении.

Рис. 2.14. Зависимость населенности Дг) от относительной фазы в и общей фазы и, рассчитанная в резонансном приближении (а) и путем численного решения временного уравнения Шредингера. Параметры системы: А/Ню = 0.5, Л/ Ню = 22, е0 / Ню = 2, у = 0.25, г = ЮГ.

Как следует из качественно анализа, проведенного ранее в разделах 2.2 и 2.3, на основе приближения вращающейся волны (обобщенной теории Раби) и адиабатического приближения, населенность кубита, в случае воздействия на него импульса сложной формы, чувствительна как к относительной, так и к абсолютной фазам смешиваемых импульсов, поскольку изменение фаз меняет темп переходов Ландау-Зинера, а, следовательно, и населенность уровней кубита.

Далее проведем исследование влияния окружения на обнаруженные флуктуационные эффекты. Путем численного решения уравнения (2.28) для матрицы плотности исследуем логарифм скорости межуровневых переходов

Г(г) = -Ьп[Ра^р (г)]/г (2.33)

в зависимости от относительной фазы импульсов в, длительности импульса г, а также от

параметров, ответственных за фазовую Г/ и энергетическую релаксацию Ге. Случайный ансамбль формировался путем генерирования систем с различным временем прихода импульса (равновероятным на периоде импульса). Количественная мера флуктуаций физической

величины (2.33) характеризовалась среднеквадратичным отклонением дГ = ^Г2^ — (Г)2 от

равновесного значения, где (•) - означает усреднение по всем возможным временам прихода импульса.

Рис. 2.15. (а) Зависимости дГ от относительной фазы импульсов в для Г / ф = 0.001 и при различных значениях фазового шума. Кривая 1 - Г ¡/ю = 0.001; 2 - 0.005; 3 - 0.025, 4 -0.075, 5 - 0.1 и 6 - 0.5. (б) Влияние энергетического шума на флуктуации для Г^ю = 0.005 в зависимости от в : 1 - 0.001; 2 - 0.002; 3 - 0.003; 4 - 0.004; 5 - 0.005. Параметры системы: А/Па = 0.5, А/Па= 29.83, е0 Шт = 5, у = 0.25.

Как мы уже отмечали, самые короткое времена в системе связаны с переходами Ландау-Зинера, которые обычно существенно короче периода Т (для оценок полагаем ~ 10 нс). Время фазовой релаксации Т/=1/Г/ может быть больше или порядка периода поля, тогда как время энергетической релаксации Те = 1/Ге обычно на несколько порядков может превышать Т/ [19, 21, 132, 133]. В то же время, длительность управляющего импульса т= ЫТ (в численных расчетах N = 10 ^ 100) может быть как меньше, так и больше Т/. Импульсы, длительность которых превышает Т/ и Те, не представляют интерес с точки зрения мезоскопики, поскольку на таких временах происходит "самоусреднение" населенности ку-бита, которая слабо флуктуирует. Мезоскопические эффекты будут особенно заметными, когда выполнено неравенство Т<< т<< Т/.

На рис. 2.15, приведены зависимости дГ от относительной фазы импульсов. Как следует из (2.1) и (2.4), при в Ф 0 гамильтониан неинвариантен относительно преобразования ? ^ - ?. Это означает, что фазы волн, распространяющихся вперед и назад по времени, будут отличаться, поэтому фазовая когерентность будет подавлена. Следовательно, вблизи

в = 0 флуктуации максимальны, что видно из рис. 2.15 (а). Уменьшение характерного времени энергетической релаксации (Te = 1/ Ге) приводит к резкому уменьшению флуктуаций (рис. 2.15 (б)). Можно сказать, что параметр Te играет роль, аналогичную длине неупругой релаксации.

Как правило, системы, используемые в качестве кубитов, имеют довольно большое время Te - такое, что за это время система может произвести необходимые вычисления и реализуются протоколы по коррекции ошибок. Более опасными процессами воздействия шума для квантовых вычислений являются процессы случайного сбоя фаз. Основываясь на данных эксперимента [133], время энергетической релаксации для сверхпроводящего потокового кубита на несколько порядков больше времени фазовой релаксации Te >> Tf. Следовательно, главным эффектом будет зависимость флуктуаций от параметра дефазировки Гу В этом случае также наблюдается пик в зависимости ЗГ при в = 0 (см. рис. 2.15 (а)), который уширяется и падает с ростом Г/ Однако следует отметить, что значение максимума стандартного отклонения ЗГ при увеличении потерь энергии уменьшается быстрее, чем при процессах сбоя фаз. Отличия обусловлены тем, что дефазировка приводит к изменению только недиагональных элементов матрицы плотности, отвечающих за когерентность, в отличие от энергетического шума, который влияет и на диагональные элементы, описывающие населенности энергетических уровней. Соответственно, скорость релаксации компонентов, отвечающих за когерентность в системе (недиагональных), вдвое ниже, к тому же во время пересечения энергетических уровней (переходов Ландау-Зинера) наблюдается частичное восстановление когерентности, следовательно, амплитуда максимума стандартного отклонения при увеличении параметра фазового шума Гу (см. рис. 2.15 (а)) убывает медленнее, чем для случая вариации энергетического шума Ге (см. рис. 2.15 (б)). В этом смысле параметр Гу аналогичен обратной длине упругого рассеяния.

Отметим, что подобное поведение, в зависимости от релаксации в системе, наблюдалось при моделировании на основе эксперимента [133]. Считалось, что постоянная составляющая управляющего поля флуктуирует (s(t) = s0 + Зе0 +sac (t)) в диапазоне 0 < 3s0 < 4%а. Сопоставляя параметры численно изучаемой системы с экспериментальными, удалось добиться качественного согласования (см. рис. 2.13 и рис. 2.16). Видно, что дефазировка, как и обсуждалось ранее в разделе 2.8, приводит к уширению резонансов и к размытию интерференционной картины, что получено путем численного анализа и изображено на рис. 2.16 (а, б). Значение усредненного по всем возможным флуктуациям потока логарифма скорости межуровневого перехода Г равновероятно в зависимости от относительной фазы сигнала, а дисперсия величины ЗГ также имеет выраженный максимум при в = 0, как и в случае флуктуации времен прихода импульса на кубит (рис. 2.15). Значение данной величины чувствительно к процессам дефазировки, и с ростом фазового шума Гу флуктуации исчезают.

Рис. 2.16. Зависимости логарифма скорости межуровневого перехода Г от относительной фазы импульсов в при изменении постоянного магнитного потока £0 при различных значений фазового шума Г//ю = 0.001 (а) и Г//ю = 0.005 (б). Величина Г(в) усредненная по постоянной составляющей сигнала в диапазоне изменения: 0 <де0< 4На при Г//ю = 0.005. Дисперсия величины Г при различных значениях фазовой релаксации: 1 - 0.001; 2 - 0.005; 3 - 0.0075; 4 - 0.01; 5 - 0.05. Параметры кубита и шума: Ге/а = 0.001, А/На = 0.5,

А/На = 29.83, е0 /На = 5, у = 0.25.

Исследуем влияние туннельного расщепления на характер мезоскопических флуктуа-ций дГ. Как видно из рис. 2.17, флуктуации падают при увеличении туннельной прозрачности. Это связано с влиянием параметра А на времена туннелирования (см. оценки, приведенные выше) и амплитуду перехода. Отметим, что указанный эффект не может быть получен в рамках теории возмущений [19] и не исследован экспериментально в работе [133].

1.5

0.5

~\1

\2 \

3\ \

/ /

-ч\\ У.

Рис. 2.17. Влияние параметра туннельного расщепления кубита А на зависимости флуктуа-ций ЗГ населенности при изменении относительной фазы в, составляющих компонент импульса. Кривая 1 для А/ю =0.1; 2 - 0.2; 3 - 0.3; 4 - 0.4, 5 - 0.5; 6 - 0.75. Остальные параметры системы и шума аналогичны, тем, что представлены на рис. 2.15 (а) для кривой 2.

На рис. 2.18 (а) приведено поведение флуктуаций скорости перехода между уровнями кубита ЗГ в зависимости от длительности импульса. Из данных зависимостей можно заметить, что сильные мезоскопические флуктуации наблюдаются на временах, меньших времени сбоя фаз (т < Ту), тогда как на больших временах (т > Ту ) зависимость от относительной фазы сигнала в полностью подавлена (см, например, бордовая кривая на рис. 2.18 (а) для т = Ту = 200Т). Это связано с тем, что на временах больших длин когерентности наблюдается размешивание по фазам, и нельзя уже различить состояния кубита в зависимости от запаздывания импульсов.

Численные эксперименты показали, что недиагональные элементы матрицы плотности убывают, как правило, экспоненциально, то есть максимум флуктуаций убывает по сле-

—Г / / т

дующему закону: ЗГ ~ е , следовательно, логарифм данной величины является линейной функцией длительности сигнала. Как показано на рис. 2.18 (б) на основе решения уравнения (2.28), результаты численного моделирования хорошо ложатся на пунктирные линии, соотвествующее теоретическому закону убывания флуктуаций. Данный факт позволяет подчеркнуть ещё раз аналогию с мезоскопикой, состоявшую в том, что зависимость флуктуаций населенности кубита от длительности импульса подобна поведению флуктуаций проводимости проволоки от её длины.

Рис. 2.18. Зависимости флуктуациий дГ (а) от относительной фазы импульса в при Г7/а = 0.005: кривая 1 для т = 5Т, 2 - 10Т, 3 - 50Т, 4 - 100Т и 5 - 200Т. (б) Влияние на высоту пика нормального отклонения ¿Г от времени действия импульса. Красные точки -рассчитанные значения, а пунктирные линии - качественный закон убывания пика дисперсии. Линия 1 при Гу /а = 0.1, 2 - 0.075, 3 - 0.05, оранжевая - 0.025 и 4 - 0.005. Параметры

системы аналогичны тем, что представлены на рис. 2.15 (а).

Дадим теперь геометрическую интерпретацию численным результатам численных расчетов. На временах, меньших времени фазовой релаксации, рассмотрим эволюцию чистого состояния. Пропагатор кубита и обладает групповыми свойствами 8и(2) . Согласно [149], такой оператор можно "параметризовать" тремя действительными параметрами - углами Эйлера ф, х), которые зависят от времени:

Г

U =

'Ф+¥\ : Л

X 1 r2Í •X 1 { 2 J

cos — e i sin — e

2 2

(w-f\ (Ф+w

■ • X X -i W,

i sin — e cos — e

2 2 J

(2.34)

Соответственно, для чистого состояния вектор Блоха определяется выражением: R(t) = (у(t) | á\^(t)) = (^(0) | U+ (t)áU (t) | iy(0)), R2 = 1. Например, если смещение велико ( А ^ е0 ), то начальное положение R(0) = (0,0, — 1) соответствует южному полюсу сферы

—2 u

Блоха R = 1. При малой диссипации в процессе эволюции вектор R(t) = (sin ^(t)cos^(t ),sin(t )sin^(t ),cos x(t)) вращается по сфере Блоха, а углы определяются значением пропагатора U в текущий момент времени.

Вероятность перехода, измеряемая на эксперименте, получается путем повторения огромного числа измерений. Поэтому вероятность перехода должна быть усреднена по ансамблю реализаций случайных фаз (в нашем случае - по случайной фазе импульса). Следуя идеологии работы [19], приведем пример такого расчета. Будем считать выполненным

неравенство е0»А. Приближенное решение уравнения Шредингера (2.9) для пропагато-ра и (7,0) дает:

и (7,0) =

2

.А 1-е 2

;Ф(Л I 2

.А — г — е 2

фф(0 г 2

| е

гф(()

| ¿г' е

ф)

ф)

(2.35)

I

где ф(г) = ^£(г')&" + Зф(г), Зф(г)- гауссовская случайная функция (её отдельная реализация

0

соответствует определенному измерительному импульсу). Рассмотрим переход между диа-батическими состояниями (переход с верхнего уровня кубита из состояния (0,1 )т на нижний уровень в состояние (1,0)т ). Тогда усредненная по ансамблю вероятность перехода равна:

-с) 4<

г' )+Зф(г'))

(2.36)

где скобки (...) означают усреднение по ансамблю случайных фаз. Расписывая как и в [19] модуль, для гауссовского ансамбля случайных фаз, получим коррелятор:

^е'(ЗФС)—ЗФ(г"= е-ТАг'—г"\ ^

Как видно, вероятность перехода приобретает экспоненциально затухающий множитель, который означает, что на временах больших периода внешнего поля появляется экспонен-

1(ф(Г )—ф( г"))

циальная зависимость от длины импульса. Далее, раскладывая е по функциям

Бесселя, можно получить выражение для вероятности перехода между уровнями (выражение типа (5) в работе [19]) . Отметим, что приведенная формула может быть использована и для расчета высших моментов вероятности перехода, однако получаемые формулы содержат суммы от большого числа произведений функций Бесселя, которые не вычисляются в явном виде.

Обсудим кратко соответствие между одномерной задачей локализации в пространственных (одномерная модель Андерсона) и квазислучайной динамикой кубита (мезоскопи-кой). Аналогия становится очевидной, если одномерное уравнение Шредингера для электрона у/"(х) + к2(х)щ(х) = 0 ( к2(х) = 2т(Е — V(х))/ Н2) в потенциальном поле V(х) переписать соответствующим образом. Для этого введем функцию

ф( х) = ^

4к (х)г( х) — ^Щ х)

^к (х)^( х) + . 1 ц/'( х) ^к(х)

(2.38)

Дифференцируя (2.38) с учетом уравнения Шредингера, получим:

2

г

0

i = H (х)Ф, H (x) = —1 (e( x)a2 +A( x)ax ), (2.39)

где s(x) = —2k(x), A(x) = ik'(x)/ k(x). Следовательно, пропагатор для задачи Андерсона

определяется выражением: U(x, 0) = Px exp

fx \

— i J H (x')dx' V о J

. Однако в этом случае условие

сохранения тока приводит к следующему условию на пропагатор: и+а2Ц . Чтобы удовлетворить такому условию, необходимо ввести параметризацию:

U =

( у

ch %e фу J V i sh %e

2 2

(y—f)

V i sh %e sh %%e

\ 2 2

ф—У) \

ф+У

(2.40)

Поскольку в решаемой нами задаче динамика системы рассматривается на временах т< Tf, уходы по углам %(t), ft) и y(t) малы и определяются диффузией вблизи полюса сферы. В то же время, проводимость проволоки конечной длины также описывается двумя углами, но в отличие от населенности кубита, изображающая состояние системы точка лежит на гиперболоиде [149]. Следовательно, в данном случае фазовое пространство системы представляет собой некомпактное пространство - гиперболоид. Иными словами, в модели Андерсона оператор U принадлежит некомпактной группе SU(1,1) [149]. Безразмерное сопротивление проволоки длины x определяется выражением углом р(x) = ch%(x) — 1 [150]. Можно показать, что когда длина проводника x превышает длину свободного пробега, сопротивление экспоненциально возрастает. На небольших длинах гиперболические функции можно разложить в ряд, считая угол % малым. Это означает, что для коротких проволок флуктуации сопротивления подобны флуктуациям населенности во временной задаче.

Таким образом, на временах, меньших времени энергетической релаксации Te, динамика населенности кубита демонстрирует поведение, которое аналогично поведению кон-дактанса проволоки в зависимости от её длины. В случае кубита, управляющее переменное поле создает квазислучайный потенциал, а нарушающая обратимость по времени фаза смешиваемых сигналов действует подобно магнитному полю. При этом переходы Ландау-Зинера между состояниями кубита имитируют процессы, аналогичные процессам рассеяния электрона на примесных центрах. Изменение параметров сигнала приводит к сильным мезоскопическим флуктуациям населенности кубита. Следует отметить, что "реализацию" импульса наперед заданной формы, а также смену реализации поля легко осуществить путем программирования импульсного генератора [150], поэтому во временной области проще наблюдать различные локализационные и мезоскопические эффекты, связанные с изменением формы управляющей функции.

Укажем теперь, почему в рассматриваемой системе нет явления типа андерсоновской локализации, и почему могут наблюдаться только мезоскопические флуктуации. Физически это обусловлено тем, что населенность уровней кубита не может превышать единицы,

поэтому она остается ограниченной. Математическое объяснение допускает следующую геометрическую интерпретацию: оператор эволюции в динамической задаче принадлежит компактной группе SU(2), а в модели Андерсона - некомпактной группе SU(1,1). Поэтому системы ведут себя аналогично на масштабах меньших длины пробега (времени декоге-рентности), тогда как на больших масштабах поведение таких систем будет сильно различаться.

2.10. Выводы к главе 2

Проведенные исследования позволяют сделать вывод, что изменение формы бигармо-нического сигнала качественно влияет на населенности уровней кубита. Благодаря этому возможно осуществлять динамический контроль за системой, варьируя параметры поля, при этом система проявляет особенности, которые невозможно увидеть при подаче монохроматического сигнала. Кратко сформулируем основные результаты:

1. В высокочастотном пределе аналитически проведен анализ бездиссипативной динамики кубита в бигармоническом электромагнитном поле произвольной амплитуды, представляющем собой суперпозицию двух сдвинутых по фазе импульсов. Численно на основе квазиэнергетического подхода были найдены состояния кубита (квазиэнергетические уровни) и рассчитана вероятность перехода между уровнями в сильном бигармоническом поле. Пересечения квазиэнергетических уровней оказываются зависящими от параметров сигнала, что приводит к изменению характера многофотонных переходов в зависимости от знака управляющего параметра. Положения многофотонных резонансов определяются резонансными условиями, найденными в рамках приближения вращающейся волны.

2. Изучена обобщенная раби-динамика кубита в бигармоническом поле. Обнаружено, что населенность уровней чувствительна к относительной фазе. При заданной относительной фазе найдены диапазоны параметров управляющего импульса, в которых наблюдается динамическое пленение населенностей уровней кубита. Показано, что данный эффект может быть использован для квантового контроля состояний при считывании или записи информации в кубит.

3. Показано, что варьирование параметров управляющего бигармонического сигнала существенно влияет на временную динамику населенностей уровней кубита и позволяет реализовать новые сценарии туннелирования ("затянутые" сближения энергетических уровней), которые качественно отличаются от стандартного (линейного) сценария туннелирования Ландау-Зинера. В этом случае темп переходов зависит от характеристик импульсов, что дает тем самым новый метод фазового контроля за состояниями кубита в реальном времени. Подобные особенности в динамике населенностей уровней кубита могут быть экспериментально зарегистрированы - аналог измерений туннелирования Ландау-Зинера в реальном времени, см., например, работу [118].

4. Для интерпретации экспериментов по амплитудной спектроскопии выполнены расчеты интерференционных картин населенностей уровней кубита в поле бигармони-ческого сигнала. Показано, что результаты численного моделирования качественно согла-

суются с экспериментальными данными [132]. Поскольку обобщенная раби-динамика и населенности кубита зависят от формы сигнала, то кубит может быть использован для калибровки ультракоротких импульсов.

5. В рамках модели борн-марковского приближения на основе решения уравнения для матрицы плотности изучено влияние энергетической и фазовой релаксации на интерференционные картины населенностей уровней кубита. Выяснено, что шумы не влияют на положения многофотонных резонансов, но ухудшают контрастность снимаемых картин и уширяют резонансные пики.

6. Обнаружен эффект нелинейной интерференции, возникающий вследствие сложения амплитуды перехода на удвоенной частоте с амплитудой основной частоты, умноженной при смешении на нелинейном элементе - кубите.

7. Исследовано влияние запаздывания управляющих импульсов бигармониче-ского поля, поступающих на кубит, вызванного потерями в коаксиальных линиях передач. Аналитически, в рамках приближения вращающейся волны, и численным методом проанализировано поведение флуктуирующей величины - логарифма скорости перехода между уровнями кубита в переменном поле большой амплитуды. Поскольку длительности импульсов, поступающих на кубит, контролируется с точностью до периода поля, то это приводит к сильным мезоскопическим флуктуациям населенности кубита. При этом относительная фаза импульсов ведет себя подобно магнитному полю в мезоскопике и может разрушать интерференционную картину населенности кубита. Изучено влияние длительности импульса и шума на обнаруженные флуктуационные эффекты.

ГЛАВА 3. МНОГОФОТОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ И АМПЛИТУДНАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ ДВУХ СВЯЗАННЫХ КУБИТОВ

В данной главе обсуждается динамика двух связанных джозефсоновских кубитов в сильном управляющем поле. Изучается отклик кубитов в монохроматическом поле фиксированной частоты (вероятности многофотонных межуровневых переходов) при изменении амплитуд управляющих полей (постоянной и переменной составляющей сигнала). Аналогичная ситуация была реализована экспериментально в рамках техники амплитудной спектроскопии для одного кубита в случае монохроматического [19-21] и бигармонического [132, 133] сигналов. Теоретический и численный анализ для одного кубита в рамках данной методики измерений был проведен в главе 2, на примере бигармонического поля воздействующего на единичный кубит. Для двух взаимодействующих кубитов к настоящему времени не было проведено экспериментов по наблюдению интерференционных картин вероятностей переходов в сильном поле. Цель данной главы диссертации - это обобщение метода амплитудной спектроскопии на случай многоуровневой квантовой системы на примере двух взаимодействующих сверхпроводниковых потоковых кубитов и получение дополнительной информации о системе по исследованию детектируемых интерференционных картин.

Аналитический анализ бездиссипативной динамики системы двух связанных кубитов в сильном поле проводится в рамках резонансного приближения (перехода во "вращающуюся систему координат"). Получены условия формирования многофотонных резонансов, положения которых зависят от константы взаимодействия кубитов. Как следствие, предлагается новый способ измерения константы взаимодействия между кубитами за счет определения величины сдвигов многофотонных резонансов. Проведенный численный анализ системы в рамках квазиэнергетического приближения [30, 139, 140] показал, что межуровне-вые резонансные переходы, как и в случае единичных кубитов, описанных в главе 2, происходят за счет сближения квазиэнергетических уровней системы. Исследуется явление квантового пленения населенностей кубитов при определенных параметрах внешнего поля, а также обнаружен новый физический эффект формирования дробных резонансов в ультраквантовой системе. Дробные резонансы - это резонансные пики, на интерференционных картинах вероятностей двух кубитов при переходе из основного состояния на высший возбужденный уровень, которые не зависят от константы взаимодействия кубитов и формируются за счет интерференции амплитуд переходов через виртуальные уровни безучастия промежуточных уровней системы, а их положения определяются соотношением между управляющими параметрами кубитов, что эквивалентно возбуждению дробных гармоник в системе. Возникновение дробных резонансов демонстрируется в рамках теории возмущения при условии малости туннельных констант кубитов. Кроме того, на основе решения уравнения для матрицы плотности в борн-марковском приближении подробно изучено влияние фазового шума на интерференционные картины населенностей кубитов.

3.1. Модель симметричных и несимметричных связанных кубитов

Основные черты поведения двух сверхпроводниковых потоковых связанных кубитов,

изучаемых в экспериментах [17, 151, 152], могут быть описаны гамильтонианом (1.24), который можно представить в явном виде:

Н =— 2

( ех+е2 + 3

А 0

А2 А1

е1—е2— 3 0

0 —е + е2 — 3

А1 А2

0

А1 А,

—е — е2 + 3

(3.1)

где е - управляющие параметры, А - туннельные расщепления уровней /-го кубита (/ = 1,2), J - константа взаимодействия. Параметры е и А определяют спектр несвязанных

кубитов при J = 0: Е =± е2 + А2 . Связь между двумя джозефсоновскими потоковыми

кубитами может быть реализована различными методами (см. раздел 1.6).

Состояния системы двух связанных кубитов может быть представлено четырьмя амплитудами: Сст(?) = 1,...,4), так что = ^(0|ст), где |ст) базис гамильтониана (3.1).

Спектр Еет и собственные функции гамильтониана (3.1) нетрудно найти. Наиболее просто гамильтониан выглядит в случае одинаковых кубитов (симметричных), когда е = ех=е2 и А= \ =А2. В этом случае матрица (3.1) может быть разложена на синглетное и

триплетное неприводимые представления. Чтобы увидеть это, удобно совершить унитарный поворот с матрицей

и*—'г 72

•у/2 0 0 0

Л

0 10-1 0 10 1 0 0 72 0

(3.2)

позволяющий привести гамильтониан к так называемому синглет-триплетному представ-

лению ( Н^г = и^Ни—, ):

(

г=—2

2е + 3 Т2А

0

Л

(3.3)

0

Т2А —3 л/2А 0 0 Т2А —2е + 3 0 0 0 0 — 3

ч У

Видно, что волновая функция синглетного состояния (нижняя строка матрицы (3.3)) может рассматриваться независимо, поэтому для изучения динамики можно ограничиться матрицей меньшей размерности

н„ = —

2

2е + 3 л/2А 0 л/2А —3 >/2А 0 >/2А —2е + 3

Л

(3.4)

Три собственные функции гамильтониана (3.4) можно обозначить как: Ц = ,

1

= |^} = +|^)|Т})/ и = | ТТ^, соответственно, для самого нижнего Е^ , про-

межуточного Е^ и верхнего уровней Е^ . Например, при 3 = 0 собственные значения равны: (-л/е2 + А2, 0, л/е2 + А2); при е = 0, имеем: (-^(3/2)2 +А2, -3/2, 3/2)2 +А2), а при

А = 0: (-3/2-е, -3/2 + е, 3/2).

Управление джозефсоновскими кубитами осуществляется внешними магнитными потоками по аналогии с одним кубитом, т.е. управляющий параметр есть функция времени: е (?) ~ + /Г (?) . Подача внешних магнитных потоков, постоянного и переменного /Г, реализуется с помощью управляющих катушек, схематически изображенных на рис. 3.1, что позволяет манипулировать состояниями кубитов. Описанная в экспериментальной работе [152] методика позволяет индивидуально подавать постоянное и переменное поле на каждый из кубитов.

Рис. 3.1. Схема связанных джозефсоновских кубитов с управляемыми катушками.

В случае симметричной системы кубитов, которая описывается гамильтонианом (3.4), рассматривается одинаковый поток, пронизывающий связанные сверхпроводящие контуры. Согласно этому управляющаяя функция имеет вид:

е(1) = е0 + А соз(о ? + ф),

(3.5)

где е0 - параметр, отвечающий за смещение уровней (постоянный магнитный поток), а А -

амплитуда внешнего поля с частотой а (переменный магнитный поток). Воздействие на несимметричные кубиты будем описывать функциями:

е (?) = е01+ А cos(o1t + ф), е2 (?) = е02 + А со8(о2? + ф). (3.6)

Для простоты будем обсуждать только случай, когда подается монохроматическое поле (( = ®2 = О, а импульсы, действующее на систему, имеют одинаковый сдвиг фаз

ф = Ф = Ф. Таким образом, полагается, что на систему кубитов действует последовательность синхронизированных импульсов переменного поля, длительность которых значительно больше периода поля. Мы также учитываем флуктуации времен прихода импульсов и их длительность [30], см. описание в раздел 2.4.

Типичные зависимости невозмущенных (/Г(?) = 0 , т.е. А = 0 в (3.5) и А = 0 в (3.6),

где / = 1,2 ) энергетических уровней кубитов Еа от управляющего параметра представлены на рис. 3.2.

3

2

3 1

0

-1

-2

-3