Алгоритмы учета набора информации об отношении предпочтения ЛПР в процессе принятия решений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Басков Олег Владимирович

• Басков Олег Владимирович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Басков Олег Владимирович

1.5 Пример

1.6 Последовательный алгоритм учёта набора «квантов» информации

1.7 Нахождение образующих двойственного конуса

1.8 Исключение лишних критериев

2 Случай нечёткого отношения предпочтения ЛПР

2.1 Нечёткие множества

2.2 Нечёткие конические оболочки

2.3 Нечёткие двойственные конусы

2.4 Построение образующих нечёткого двойственного конуса

2.5 Задача сужения множества Парето

2.6 Учёт «квантов» нечёткой информации

3 Программная реализация: пакет ParSetRe

3.1 Решение задачи многокритериального выбора

3.2 Структура программы

4 Прикладная экономическая задача

4.1 Постановка задачи

4.2 Сужение множества Парето

Заключение TT

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы учета набора информации об отношении предпочтения ЛПР в процессе принятия решений»

Введение

Задачи принятия решений встречаются гораздо чаще, чем мы о них задумываемся. В повседневной жизни при выборе из группы товаров, представленных в магазине, часто необходимо сравнить несколько характеристик, среди которых, к примеру, могут быть цена товара и его качество. При ведении бизнеса нередко встречаются ситуации, в которых необходимо принятие важного стратегического решения, от которого зависит будущее предприятия, его сотрудников, но которое непременно сопряжено с определёнными рисками и затратами. Ситуаций, в которых требуется произвести выбор, неисчислимо много. И каждый выбор по своей природе многокритериален, поскольку человек склонен рассматривать и оценивать варианты с разных сторон.

Многие авторы сходятся в том, что выбираемый вариант следует искать во множестве Парето. Однако до сих пор нерешённой остаётся проблема собственно выбора варианта из этого множества. Зачастую непосредственный выбор из него затруднителен, поскольку множество Парето достаточно широкое. Существуют подходы, которые предлагают способ нахождения «наилучшего» парето-оптимального решения, однако в их основе лежат некоторые эвристики. Поэтому актуальным представляется развитие аксиоматического подхода, в котором вместо навязывания лицу, принимающему решение (ЛПР), какого-либо варианта производится сужение множества Парето, т. е. сужение области поиска «наилучшего» решения.

Выделяют три основных вида задач принятия решения [18]. Первый вид — задача упорядочивания альтернатив. В ней на множестве имеющихся вариантов следует ввести отношение порядка. Примером такой задачи является определение степени необходимости каких-либо покупок. Можно сказать, что в этой задаче требуется найти относительную ценность каждого варианта.

Ко второму виду относятся задачи классификации решений, в которых

имеющиеся альтернативы необходимо разделить на классы. К примеру, можно подразделять книги на группы по желанию их прочитать.

Однако традиционно главным видом задач принятия решения считают задачу поиска наилучшей альтернативы. Каждый человек может привести большое количество примеров таких задач из своей жизни: покупка компьютера, выбор места, куда поехать в отпуск, и т. д. Именно этому виду задач посвящена данная работа.

Следует также упомянуть о теории группового многокритериального выбора, где рассматривается целая группа лиц, принимающих решение, каждый член которой может иметь свои собственные предпочтения и оценки вариантов. Основной проблемой здесь является агрегирование коллективных предпочтений для упорядочивания альтернатив или выделения наилучшего решения [31].

Модель задачи выбора может строиться по-разному. В общей постановке вводится множество всех допустимых вариантов X и изучаются свойства различных функций выбора С(Х), определённых для всех подмножеств X множества X. Значением функции выбора С(Х) является множество вариантов, выбираемых из X, так что С(Х) С X. В книге [1] выделяются и исследуются различные классы функций выбора, например, класс многокритериаль-но-экстремизационных функций выбора, которые порождаются числовыми векторными критериями, заданными на множестве вариантов.

В данной работе рассматривается более узкая постановка задачи принятия решения. А именно, исследуется задача многокритериального выбора, характеризуемая двумя центральными объектами: множеством возможных вариантов X, содержащим все доступные альтернативы, и числовым векторным критерием f, описывающим цели ЛПР. Как правило, критерии стремятся максимизировать или минимизировать. Но поскольку в подавляющем большинстве встречающихся на практике случаев они описывают противоречивые свойства альтернатив, варианта, на котором все критерии одновременно достигают желаемого оптимального значения, нет. В этом состоит существенное отличие многокритериальной оптимизации от однокритериальной.

Проблема многокритериального выбора известна достаточно давно. Впервые её исследовал английский экономист Ф. И. Эджворт [36] в случае двух критериев. Он предложил определение кривой безразличия, обобщающее по-

нятие экстремума скалярной функции. Позднее случай произвольного числа критериев был рассмотрен В. Парето [43]. Он ввёл понятие оптимальности, которое впоследствии стали называть его именем. Говорят, что решение x является парето-оптимальным, если не существует другого варианта, который по всем критериям имел бы оценки не хуже, чем x, а хотя бы по одному критерию его оценка была бы строго лучше. Множество всех таких решений стали называть множеством Парето, и кривая безразличия — его частный случай.

Хотя, говоря о выборе, часто подразумевают выбор какого-либо одного варианта, в общем случае выбранными могут оказаться и несколько альтернатив, и вообще ни одной. Поэтому вводится понятие множества выбираемых решений. Оно состоит из тех вариантов, которые наиболее удовлетворяют всем требованиям и предпочтениям ЛПР. Однако предпочтения ЛПР субъективны и трудно формализуемы, и дать математическое определение множества выбираемых вариантов, которое бы устроило всех, не представляется возможным.

Во многих методах принятия решений руководствуются так называемым принципом Эджворта — Парето, в соответствии с которым каждое выбираемое решение должно быть парето-оптимальным. Но, как правило, это требование считается очевидным и не получает обоснования. В то же время существуют методы, которые могут предложить решение за пределами множества Парето.

Впервые класс задач, в которых применим принцип Эджворта — Парето, был исследован в статье [24] В. Д. Ногиным. Им предложены три аксиомы, которые моделируют рациональное поведение ЛПР. При их выполнении можно доказать, что множество выбираемых решений действительно должно содержаться во множестве Парето. Однако если хотя бы одна аксиома нарушается, применение принципа Эджворта — Парето рискованно и недопустимо [24,25].

К настоящему времени разработано и реализовано множество подходов к решению задачи принятия решения при многих критериях. Среди них можно выделить следующие группы: методы многокритериальной теории полезности (MAUT — Multiattribute Utility Theory) [14,18,21,31,38]; «outranking approaches» [18,21,31,38,45,48]; методы вербального анализа решений [1618,31,38]; итеративные процедуры принятия решений [18,21,31,38]; аксиома-

тический подход к сужению множества Парето [2-13,15,26-30], к которому относится и данная работа.

Методы MAUT основаны на теории ожидаемой полезности Неймана и Моргенштерна [23]. Ключевым понятием здесь является лотерея, которую составляют альтернативы со своими вероятностями наступления. Постулируется несколько аксиом, при выполнении которых поведение ЛПР называют «рациональным» и его предпочтения могут быть выражены в виде аддитивной функции полезности (теорема Неймана — Моргенштерна), т. е. каждому варианту можно сопоставить число так, что варианты с большими значениями функции полезности предпочитаются вариантам с меньшими значениями. Таким образом можно проранжировать все варианты и выбрать наилучший, которому соответствует максимальная полезность.

На многокритериальный случай эту теорию обобщили Кини и Райф [14]. Они предложили сначала строить функцию полезности для каждого критерия по отдельности, а затем агрегировать их в общую функцию полезности. Добавив аксиомы независимости по полезности и по предпочтению, они доказали существование многомерной функции полезности, заданной на множестве возможных вариантов и имеющей либо мультипликативную, либо аддитивную форму. Так же как и в одномерном случае, предлагается выбирать альтернативу, которой соответствует максимальная полезность.

Данные методы не лишены недостатков. При построении функции полезности для одного критерия ЛПР могут просить, например, найти эквивалент определённости для лотереи, имеющей с равными вероятностями наименьший или наибольший возможный доход. Дать точный ответ на такого рода вопрос достаточно непросто. Кроме того, определённые трудности возникают и при проверке выполнения аксиом, которая в лучшем случае выполняется лишь частично.

К MAUT можно отнести и реализованный в получившем мировое признание и широкое распространение за рубежом пакете EXPERT CHOICE метод анализа иерархий (МАИ), разработанный Т. Л. Саати [35]. В качестве функции полезности здесь выступает линейная свёртка критериев с весами, которые характеризуют важность соответствующих им критериев. Весовой вектор является собственным вектором матрицы парных сравнений, соответствующим её наибольшему собственному числу. Однако это справедливо

лишь в случае, когда она обладает свойством совместности. На практике же чаще приходится работать с матрицами, не удовлетворяющими этому требованию. Но согласно МАИ весовой вектор предлагается находить тем же способом. Таким образом, метод является эвристическим, он рекомендует действовать точно так же в ситуациях, которые могут отличаться от тех, в которых справедливость данных действий обоснована. Следовательно, если это отличие велико, применение метода становится рискованным. Поэтому Т. Л. Саати предложил числовой показатель, называемый индексом совместности, характеризующий степень доверия к полученным с помощью МАИ результатам. Как указывается в [46], при достаточно малом значении этого индекса матрица парных сравнений близка к некоторой совместной матрице, и результат применения МАИ оказывается близким к результату, получаемому на основе этой совместной матрицы. При больших же значениях индекса совместности применять метод автор не рекомендует.

Следует также отметить, что МАИ применяется для конечных множеств возможных вариантов. Однако максимизация линейной свёртки критериев равносильна парето-оптимальности только в случае выпуклого множества возможных решений (лемма Карлина, см. [34]). Поэтому некоторые варианты из множества Парето могут быть упущены.

Французским математиком B. Roy было положено начало группе методов, получившей название «outranking approach». Им был разработан метод ELECTRE (ELimination and Choice Expressing REality) [38,44,45]. Основная его идея заключается в следующем. Вводится отношение «один вариант по крайней мере настолько же хороший, как второй» — outranking relation. Для того, чтобы вариант а был не менее хорош, чем вариант b, необходимы два условия, называемые принципами согласия и несущественного разногласия. В соответствии с первым принципом вариант а должен по достаточному количеству критериев превосходить b. Принцип несущественного разногласия гласит, что ни по одному из остальных критериев вариант b не должен существенно превосходить а. Их выполнение проверяется с помощью индексов согласия с(а, b) и несогласия d(a,b), которые должны быть соответственно не меньше и не больше своих пороговых значений ci и di, которые задаёт ЛПР (c(a,b) ^ c1, d(a,b) ^ d1). Ужесточая эти ограничения, можно получить сужающуюся последовательность ядер outranking relation, наименьшее

из которых может считаться «оптимальным» выбором.

К недостаткам этого подхода следует отнести тот факт, что некоторые доминируемые варианты могут не исключаться из окончательного выбора [21]. Метод не имеет аксиоматического обоснования. При большом количестве критериев процедура определения пороговых значений становится достаточно непростой. Кроме того, в индексе согласия присутствуют «веса» критериев, определение которых также возлагается на ЛПР. Наконец, outranking relation не обязательно является транзитивным, что может трактоваться как противоречивость суждений ЛПР.

Рассматривавшиеся до сих пор методы предполагали, что оценки вариантов по критериям являются числовыми. О. И. Ларичевым был предложен другой подход, в котором оценки являются качественными, что приближает процедуру принятия решения к естественному процессу мышления человека [16-18]. Он получил название вербального анализа решений, и первым в его рамках был разработан метод ЗАПРОС (ЗАмкнутые ПРоцедуры у Опорных Ситуаций) [16]. В нём для каждой пары критериев предлагается строить единую порядковую шкалу (ЕПШ). Для этого берут гипотетическую альтернативу с наилучшими оценками по всем критериям, понижают на одну градацию оценки по двум сравниваемым критериям и спрашивают ЛПР, какая из полученных альтернатив с его точки зрения предпочтительней. Затем оценку выбранной ЛПР альтернативы понижают ещё на одну градацию, и вопрос повторяется. Таким образом удаётся упорядочить оценки по паре критериев. После того, как построены ЕПШ для всех пар критериев, они объединяются в общую ЕПШ. При этом проверяется непротиворечивость суждений ЛПР: общая ЕПШ должна оказаться транзитивной.

В этом методе необходимо построить N(N2-1) ЕПШ для пар критериев, где N — число критериев. При этом количество вопросов, задаваемых ЛПР, линейно зависит от числа градаций на шкалах критериев. При такой нагрузке неизбежны ошибки, приводящие к противоречивости результатов. Однако вопросы, задаваемые ЛПР в ходе работы метода ЗАПРОС, достаточно просты и понятны, диалог ведётся на языке оценок критериев, а противоречия, возникающие в результате случайных ошибок, легко исправляются при повторном опросе [18].

Для того, чтобы ЛПР было проще получить представление о множестве

Парето, группой учёных под руководством А. В. Лотова [20,21,42] был разработан метод достижимых целей. В нём с помощью компьютера множество Парето аппроксимируется выпуклым многогранником и затем строятся так называемые карты решений: выбираются три критерия, два из которых являются координатными, в осях этих двух критериев строятся сечения аппроксимирующего многогранника при различных значениях третьего критерия, которые показываются цветом. На полученной карте ЛПР может отметить наиболее предпочтительный вариант, тем самым задавая приемлемые значения трёх выбранных критериев. Далее процедуру можно повторять, выбирая другие тройки критериев, до тех пор, пока ЛПР не найдёт удовлетворительный вариант.

Очевидное преимущество метода достижимых целей состоит в том, что ЛПР принимает непосредственное участие в процессе поиска наилучшего решения. Наглядное представление множества Парето позволяет визуально сравнивать парето-оптимальные варианты. Однако с ростом числа критериев количество возможных карт решений быстро растёт, что осложняет задачу ЛПР. Поэтому авторы рекомендуют применять метод в задачах с 3 — 7 критериями.

Исследования данной работы посвящены аксиоматическому подходу к сужению множества Парето [26,27]. В нём используется модель многокритериального выбора, состоящая из трёх объектов: множества возможных вариантов X, числового векторного критерия /: X ^ К и бинарного отношения предпочтения >х. Идея подхода отличается от предыдущих тем, что множество выбираемых вариантов, обозначаемое С(Х), возможно, состоящее из одной наилучшей альтернативы, не ищется непосредственно. Более того, так как вкусы и предпочтения каждого ЛПР индивидуальны и субъективны, этому множеству даже не даётся строгого определения. Вместо того, чтобы искать само множество С(Х), предлагается строить оценки сверху на него путём исключения тех вариантов, которые заведомо не будут выбраны. Так, прежде всего в соответствии с принципом Эджворта — Парето исключаются все не парето-оптимальные варианты. Для дальнейшего сужения множества Парето необходима дополнительная информация от ЛПР.

В качестве таких дополнительных данных ЛПР может предоставлять информацию о готовности пойти на компромисс, который заключается в том,

что ЛПР согласно пожертвовать несколькими пунктами по менее значимым критериям ради получения выгоды по более важным для него критериям. Такое суждение задаёт «квант» информации, который может быть использован для сужения множества Парето с помощью теоремы 1.3, доказанной В. Д. Ногиным [27].

Понятие направленного компромисса встречается в работах [39,40]. Оно совпадает по смыслу с «квантом» информации, и полученные результаты повторяют уже имеющиеся в книге [27].

В. В. Подиновским также вводятся различные определения относительной важности и равной важности критериев [22,32,33]. На их основе строятся бинарные отношения предпочтения, с помощью которых получают множества недоминируемых вариантов. Однако в данных работах речь идёт только о конечных множествах возможных вариантов, для которых ядро бинарного отношения может быть построено перебором. Кроме того, построенные множества недоминируемых вариантов не рассматриваются как оценки сверху на множество выбираемых решений, которое даже не вводится. Отсутствует аксиоматизация, позволяющая доказать, что для определённого класса задач выбор действительно лежит в построенных множествах.

Данная работа продолжает исследования, проводившиеся в [10-12,15]. В этих статьях рассматривались наборы «квантов» определённой структуры и предлагались теоремы для сужения множества Парето с использованием именно таких «квантов». Их общей идеей является вывод формул для построения нового векторного критерия, множество Парето относительно которого даст более точную оценку сверху на множество выбираемых решений, чем исходное множество Парето. В данной же работе рассматривается произвольный конечный набор «квантов» информации. Единой формулы для нового векторного критерия получить не удаётся, однако предлагается алгоритм его построения, обобщающий все полученные ранее результаты.

Вторая глава посвящена рассмотрению случая чёткого отношения предпочтения ЛПР. После определений используемых понятий приводится математическая постановка задачи сужения множества Парето на основе произвольного конечного набора «квантов» информации об отношении предпочтения. Исследование опирается на теорему 1.3 В. Д. Ногина, позволяющую учитывать один «квант». Характерна её формулировка: так как множество

выбираемых вариантов не может быть строго определено в силу субъективности вкусов ЛПР, говорится, что каким бы оно ни было, оно содержится во множестве Парето относительно нового векторного критерия.

Следующим рассматривается такой вопрос: если учесть один «квант» по теореме 1.3, что произойдёт с остальными? Выясняется, что после несложного преобразования они становятся «квантами» в задаче с построенным новым векторным критерием. При таком преобразовании возможны случаи, когда новый «квант» не подходит под определение «кванта». Доказывается, что это происходит в том случае, когда предоставленная ЛПР информация противоречива. Таким образом, появляется возможность производить учёт «квантов» последовательно, одновременно проверяя непротиворечивость суждений ЛПР. Центральный результат этой главы — алгоритм, описывающий последовательный учёт информации.

Однако простой пример показывает, что размерность нового векторного критерия может быть уменьшена. Поэтому далее ставится вопрос об исключении тех его компонент, которые не являются существенными для построения множества Парето. Эта задача решается за счёт того, что в рамках принятой аксиоматики отношение предпочтения ЛПР конусное, и преобразование векторного критерия связано с построением двойственного конуса. В конце главы приводится необходимое и достаточное условие существенности компонент векторного критерия.

Человек при оценке своих предпочтений часто уверен в них лишь в определённой степени. Для моделирования этого применяется теория нечётких множеств. ЛПР может приписать каждому «кванту» информации степень уверенности в готовности пойти на компромисс, описываемый этим «квантом». Рассмотрению вопроса об учёте такой информации посвящена третья глава.

Являясь обобщением задачи сужения множества Парето с использованием «квантов» в чётком случае, учёт «квантов» нечёткой информации также сводится к нахождению образующих двойственного конуса. Однако теперь рассматриваемые конусы нечёткие. В связи с этим возникает необходимость обобщить определения конической оболочки, двойственности конусов и т. п. После исследования некоторых свойств этих объектов излагается главный результат: алгоритм построения образующих нечёткого двойственного кону-

са, который применяется в задаче сужения множества Парето. В завершение главы приводится критерий непротиворечивости предоставленных ЛПР данных.

В третьей главе описывается программная реализация разработанных алгоритмов. Уделяется внимание как программному интерфейсу (API), так и пользовательскому.

Четвёртая глава содержит пример расчёта сужения множества Парето с использованием предложенного алгоритма. Исследуется набор «квантов», который не подпадает ни под одну из ранее предложенных теорем учёта. Показывается, как естественным образом выводится критерий непротиворечивости набора «квантов» и строится суженное множество Парето.

Таким образом, на защиту выносятся следующие основные положения:

1. Алгоритм последовательного учёта набора «квантов» информации о чётком отношении предпочтения ЛПР, его обоснование и программная реализация;

2. Оценка сверху для множества выбираемых вариантов, построенная на основе конечного набора «квантов» нечёткой информации (утверждение 2.15);

3. Критерий противоречивости «квантов» информации о нечётком отношении предпочтения ЛПР (утверждение 2.16);

4. Алгоритм последовательного учёта набора «квантов» информации о нечётком отношении предпочтения ЛПР, его обоснование и программная реализация.

Результаты диссертации были опубликованы соискателем в девяти работах [2-9,30], из которых три [8,9,30] являются статьями в журналах, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК.

Основные утверждения, представленные в диссертации, докладывались на XLI, XLII, XLIII, XLIV международных научных конференциях аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» факультета прикладной математики — процессов управления СПбГУ (Санкт-Петербург, 20102013), международной конференции «Конструктивный негладкий анализ и

смежные вопросы» (Санкт-Петербург, 2012), VII московской международной конференции по исследованию операций 0ЯМ-2013 (Москва, 2013).

Исследования, проведённые в диссертации, поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (проекты №№ 08-01-00301, 11-07-00449а, 14-07-00899).

Глава 1

Случай чёткого отношения предпочтения ЛПР

Данная глава посвящена решению задачи учёта произвольного конечного набора «квантов» информации об отношении предпочтения ЛПР в случае, когда оно чёткое. Вначале приводятся определения основных понятий, затем даётся математическая постановка задачи многокритериального выбора. Следующий параграф содержит базовые теоремы, которые разработаны для учёта одного «кванта» информации. Основной результат, доказанный В. Д. Ногиным [27], использует заданный «квант» для построения нового векторного критерия.

Оказывается, что если задано более одного «кванта», можно выбрать любой из них, применить базовую теорему, определённым образом преобразовать оставшиеся кванты и получить задачу учёта «квантов», количество которых на единицу меньше. Так появляется последовательный алгоритм учёта информации об отношении предпочтения. В случае нескольких «квантов» возникает вопрос о непротиворечивости предоставляемой информации. Он также решается данным алгоритмом по ходу работы. Далее для наглядности приведён пример его использования. На этом же примере показано, что прямолинейное применение такого подхода может приводить к появлению избыточных критериев. Так возникает вопрос об их удалении. Для этого рассматривается взаимосвязь между задачей учёта информации об отношении предпочтения и задачей нахождения образующих двойственного конуса. Бла-

годаря ей удаётся получить необходимое и достаточное условие того, что критерий не является лишним, которое приведено в последнем параграфе.

1.1 Основные определения

Напомним определения основных понятий выпуклой геометрии, которыми в дальнейшем будем активно пользоваться.

Определение 1.1. Множество С С Кт — конус, если Ух Е С, Vа > 0 ^ ах Е С.

Определение 1.2. Множество С С Кт называется выпуклым, если Ух, у Е С, Уа Е [0; 1] ^ ах + (1 - а)у Е С.

Определение 1.3. Выпуклая коническая оболочка множества С С Кт — множество

cone C =4 ж Е Rm

k

k

3a1,..., ak E C, Ebi,..., ak ^ 0: ж = ^^ aka

i=1

Условимся считать cone 0 = {0}.

Очевидно, что выпуклая коническая оболочка конечного числа векторов a1,... ,ap E Rm может быть представлена как

cone a

{a\...,ap} = ж E Rm

p

3а1,... ,ap ^ 0: ж = ^^aiai

i=i

в силу того, что векторы, не участвующие в сумме, гарантированной определением 1.3, можно добавить с нулевыми коэффициентами.

Определение 1.4. Линейная оболочка множества С С Кт — множество

CC = I ж Е Rm

k

k

3a1,...,ak E C, 3a1,... ,ak E R: ж = ^^aka

i=1

Будем считать £0 = {0}.

Здесь можно сделать аналогичное замечание о том, что линейная оболоч-

ка конечного числа векторов а1,... ,ap £ Rm представима в виде

L{a\...,ap} = x £ Rm

p

3a1,... ,ap £ R: x = ^^aiai

i=1

Определение 1.5. Сумма множеств A, B С Rm — множество A + B = {x £ Rm |3a £ A, 3b £ B: a + b = x} .

Определение 1.6. Ортогональным дополнением множества C С Rm называется множество

L^C = {x £ Rm |Vy £ C ^ xy = 0} .

Заметим, что L^C = L^LC, и линейные пространства L^C и LC образуют прямую сумму:

L^C 0 LC = Rm.

Определение 1.7. Выпуклый конус C С Rm конечнопорожденный, если Bx1,..., xk £ Rm: cone {x1,..., xkj = C. Векторы x1,... , xk называются образующими.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Басков Олег Владимирович, 2014 год

Литература

1. Айзерман М. А., Алексеров Ф. Т. Выбор вариантов. Основы теории. М.: Наука, 1990. 240 с.

2. Басков О. В. Алгоритм последовательного учёта информации об относительной важности критериев в задаче многокритериального выбора. // Процессы управления и устойчивость: Труды XLI международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. Спб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2010. С. 553-558.

3. Басков О. В. Последовательный алгоритм построения двойственного конуса и его применение в принятии решений // Процессы управления и устойчивость: Труды XLII международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А. С. Ерёмина, Н. В. Смирнова. Спб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2011. С. 427-431.

4. Басков О. В. Двойственные нечёткие конусы // Процессы управления и устойчивость: Труды XLIII международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А.С.Ерёмина, Н.В.Смирнова. Спб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2012. С. 449-453.

5. Басков О. В. Свойства острых нечётких конечнопорожденных конусов // Труды 44-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Т. Е. Смирновой. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2013. С. 557-559.

6. Baskov O. Dual fuzzy cones // Конструктивный негладкий анализ и смежные вопросы. Тезисы докладов международной конференции. СПб.: Изд-во Санкт-Петербургкого университета, 2012. С. 25-26

7. Baskov O. V. Narrowing the Pareto set using fuzzy information on the preference relation // VII Moscow International Conference on Operations Research (ORM2013). Proceedings. Vol. 1. Moscow: MAKS Press, 2013. P. 98-101.

8. Басков О. В. Алгоритм сужения множества Парето на основе конечного набора нечёткой информации об отношении предпочтения ЛПР // Искусственный интеллект и принятие решений, 2014, № 1. С. 57-65.

9. Басков О. В. Критерий непротиворечивости «квантов» информации о нечётком отношении предпочтения лица, принимающего решения // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2014. Вып. 2. С. 13-19.

10. Богданова А. В., Ногин В. Д. Сужение множества Парето на основе простейших наборов нечёткой информации об относительной важности критериев // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2007. Вып. 2. С. 3-17.

11. Захаров А. О. Сужение множества Парето на основе взаимозависимой информации замкнутого типа // Искусственный интеллект и принятие решений. 2011. № 1. С. 67-81.

12. Захаров А. О. Сужение множества Парето на основе замкнутой информации о нечётком отношении предпочтения лица, принимающего решение // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2012. Вып. 3. С. 33-47.

13. Захаров А. О. Учёт информации об отношении предпочтения в одной экономической задаче // Процессы управления и устойчивость: Труды 44-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Т. Е. Смирновой. СПб.: Издат. дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2013. С. 582-587.

14. Кини Р. Л., Райфа Х. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. М.: Радио и связь, 1981. 560 с.

15. Климова О. Н., Ногин В. Д. Учёт взаимно зависимой информации об относительной важности критериев в процессе принятия решений // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2006. Т. 46, № 12. С. 2179-2191.

16. Ларичев О. И., Зуев Ю. А., Гнеденко Л. С. Метод ЗАПРОС (ЗАмкнутые ПРоцедуры у Опорных Ситуаций) анализа вариантов сложных решений // Многокритериальный выбор при решении слабоструктуризованных проблем / Под ред. С. В. Емельянова: Сб. тр. ВНИИСИ. М., 1978. С. 83-95.

17. Ларичев О. И. Вербальный анализ решений / Под ред. А. Б. Петровского. М.: Наука, 2006. 181 с.

18. Ларичев О. И. Теория и методы принятия решений, а также хроника событий в волшебных странах. М.: Логос, 2000. 296 с.

19. Лотов А. В. Введение в экономико-математическое моделирование. М.: Наука, 1984. 392 с.

20. Лотов А. В., Бушенков В. А., Каменев Г. К., Чёрных О. Л. Компьютер и поиск компромисса. Метод достижимых целей. М.: Наука, 1997. 239 с.

21. Лотов А. В., Поспелова И. И. Многокритериальные задачи принятия решений: Учебное пособие. М.: МАКС Пресс, 2008. 197 с.

22. Меньшикова О. Р., Подиновский В. В. Построение отношения предпочтения и ядра в многокритериальных задачах с упорядоченными по важности неоднородными критериями // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1988. Т. 28, № 5. С. 647-659.

23. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение / перевод с англ. под ред. и с доб. Н. Н. Воробьёва. М.: Наука, 1970. 708 с.

24. Ногин В. Д. Логическое обоснование принципа Эджворта — Парето // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2002, Т. 42, № 7. С. 950-956.

25. Ногин В. Д. Обобщённый принцип Эджворта — Парето в терминах функций выбора // Методы поддержки принятия решений: Сб. трудов ИСА РАН / Под ред. С. В. Емельянова, А. Б. Петровского. М.: Едиториал УРСС, 2005. С. 43-53.

26. Ногин В. Д. Принцип Эджворта-Парето и относительная важность критериев в случае нечёткого отношения предпочтения // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2003, т. 43, № 11. С. 16761686.

27. Ногин В. Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход (изд. 2-ое, испр. и доп.). М.: Физматлит, 2002, 2005, 176 с.

28. Ногин В. Д. Сужение множества Парето на основе информации о предпочтениях ЛПР точечно-множественного типа // Искусственный интеллект и принятие решений, 2009, № 1, С. 98-109.

29. Ногин В. Д. Сужение множества Парето на основе информации о предпочтениях ЛПР множественно-точечного типа // Искусственный интеллект и принятие решений, 2010, № 2, С. 54-63.

30. Ногин В. Д., Басков О. В. Сужение множества Парето на основе учёта произвольного конечного набора числовой информации об отношении предпочтения // Доклады Академии Наук, 2011, т. 438, № 4. С. 1-4.

31. Петровский А. Б. Теория принятия решений. М.: Изд. центр «Академия», 2009. 400 с.

32. Подиновский В. В. Об относительной важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений // Многокритериальные задачи принятия решений. М.: Машиностроение, 1978. С. 48-82.

33. Подиновский В. В. Введение в теорию важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений. М.: Физматлит, 2007. 64 с.

34. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач (изд. 2-ое, испр. и доп.). М.: Физматлит, 2007. 256 с.

35. Саати Т. Л. Принятие решений при зависимостях и обратных связях: Аналитические сети. Пер. с англ. / Науч. ред. А. В. Андрейчиков, О. Н. Андрейчикова. М.: Издательство ЛКИ, 2008. 360 с.

36. Edgeworth F. Y. Mathematical physics: an essay on the application of mathematics to the moral sciences. London: C. Kegan Paul and Co., 1881. 150 p.

37. Elsaid E. Ammar. Some properties of convex fuzzy sets and convex fuzzy cones // Fuzzy Sets and Systems, 1999. Vol. 106. P. 381-386.

38. Figueira J. L., Greco S., Ehrgott M. Multiple criteria decision analysis: state of the are surveys. Springer, 2005. 1045 p.

39. Hunt B. J. Multiobjective programaming with convex cones: methodology and applications. PhD thesis, Clemson University, Clemson, South Carolina, USA, 2004. 190 p.

40. Hunt B. J., Wiecek M. M., Hughes C. S. Relative importance of criteria in multiobjective programming: A cone-based approach // European Journal of Operational Research, 2010. V. 207. P. 936-945.

41. Loredana Biacino. An Extension Principle for Closure Operators // Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1996. Vol. 198. P. 1-24.

42. Lotov A. V., Bushenkov V. A., Kamenev G. K. Interactive decision maps. Approximation and visualization of Pareto frontier. Kluwer Academic Publishers, Boston, 2004. 336 p.

43. Pareto V. Manuale di economia politica con una introduzione alla scienza sociale. Milano: Societa Editrice Libraria, 1919. 575 p.

44. Roy B. Classement et choix en presence de criteres multiples (la methode ELECTRE) // RIRO, 1968. 8. P. 57-75.

45. Roy B. Multicriteria methodology for decision aiding. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1996. 292 p.

46. Saaty T. L. Multicriteria Decision Making. The Analytic Hierarchy Process: Planning, Priority Setting, Resource Allocation. University of Pittsburgh, RWS Publications, 1990. 287 p.

47. Zadeh L. A. Fuzzy sets // Information Control, 1965. Vol. 8. P. 338-353.

48. Zopounidis C., Pardalos P. M. Handbook of multicriteria analysis. Springer, 2010. 455 p.