Алгоритмы цифровой фильтрации сигналов, построенные на базе теории нечетких множеств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.04, кандидат технических наук Титов, Дмитрий Анатольевич

• Титов, Дмитрий Анатольевич
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Титов, Дмитрий Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ

1. АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ ВОПРОСА ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ СИГНАЛОВ, В ТОМ ЧИСЛЕ ФИЛЬТРАЦИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ

1.1 Алгоритмы линейной цифровой фильтрации

1.2 Алгоритмы оптимальной цифровой фильтрации

1.3 Алгоритмы адаптивной цифровой фильтрации

1.4 Алгоритмы цифровой фильтрации на основе теории нечетких множеств '

1.5 Нейросетевые алгоритмы цифровой фильтрации

1.6 Выводы

2. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ

НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

2.1 Разработка алгоритма фильтра нижних частот

2.2 Разработка алгоритма полосового (режекторного) фильтра

2.3 Оценка функций принадлежности нечетких множеств

2.4 Используемые критерии цифровой фильтрации

2.5 Анализ алгоритмов цифровой фильтрации

2.6 Выводы

3. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ НА ОСНОВЕ РАЗРАБОТАННЫХ АЛГОРИТМОВ

3.1 Проектирование цифрового фильтра нижних частот

3.2 Проектирование полосового (режекторного) фильтра

3.3 Выводы

4. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

4.1 Компьютерная модель цифрового фильтра нижних частот

4.2 Компьютерная модель полосового (режекторного) фильтра

4.3 Выводы

5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

5.1 Исследование компьютерной модели цифрового фильтра нижних частот

5.2 Исследование компьютерной модели режекторного фильтра

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы цифровой фильтрации сигналов, построенные на базе теории нечетких множеств»

Актуальность темы. В ряде областей техники форму сигналов связывают с объектом исследования, примером этого служат радиолокация, техническая и медицинская диагностика, телеметрия и др. Как правило, здесь имеют место нестационарные случайные сигналы малой продолжительности во времени. В результате обработки таких сигналов, например, с помощью линейного цифрового фильтра, их форма, а, следовательно, содержащиеся в ней диагностические признаки могут быть сильно искажены. В этой связи особую актуальность приобретает разработка алгоритмов цифровой фильтрации сигналов, направленных на сохранение их первоначальной (не искаженной шумами) формы. В современных литературных источниках, посвященных метрологическому обеспечению радиоизмерений (в частности в работах В. И. Нефедова), форма сигнала определяется как зависимость мгновенного значения сигнала от времени.

Рассмотрим, например, сигнал электрокардиограммы (ЭКГ). Как известно, кривая ЭКГ имеет характерную форму, содержащую в основе так называемые зубцы (экстремальные точки): Р, Q, R, S, Т. Каждому из этих зубцов соответствует определенный процесс возникновения и проведения электрического возбуждения в сердечной мышце. Установление диагноза в данном случае сводится к определению количественных признаков заболеваний с помощью формы зубцов. Под количественными признаками понимаются амплитуда зубцов, их продолжительность, временные интервалы между зубцами и т. д. Трудности, возникающие при фильтрации зашумленных ЭКГ сигналов заключаются в том, что характеристики сигналов при различных состояниях пациента значительно отличаются друг от друга. Так, например, линейный цифровой фильтр, рассчитанный для оптимального выделения нормальной кардиограммы из смеси с белым гауссовым шумом, искажает амплитуды зубцов кардиограмм с различными заболеваниями. При анализе сигнала ЭКГ, прошедшего обработку с помощью алгоритма линейной цифровой фильтрации, происходит пропуск заболевания (дефекта). Аналогичные трудности возникают при распознавании кривых в технической диагностике. Здесь информация о состоянии системы (машины) содержится в виде записи значений диагностического параметра или его отклонений от нормального в различные моменты времени. Примером является запись во времени значений уровня вибраций двигателей.

Если для цифровой фильтрации с сохранением формы сигналов используются адаптивные алгоритмы (адаптивные цифровые фильтры), то для них также возникает ряд сложностей, т. к. целью применения алгоритма адаптивной фильтрации сигналов является достижение локального или глобального экстремума функционала качества. В задаче сохранения исходной формы сигнала под функционалом качества понимается зависимость значений среднего квадрата ошибки (СКО) от параметров адаптации цифрового фильтра. Если статистические свойства сигналов меняются во времени, то функционал качества можно считать «размытым» или нечетким, т. е. изменяющим свою форму и местоположение относительно введенной системы координат. В этом случае процесс адаптации состоит не только в движении к точке экстремума, но и в слежении за этой точкой, поскольку она меняет свое местоположение в пространстве. В рассмотренных условиях использование адаптивных алгоритмов на основе принципов оптимальной линейной фильтрации является неэффективным и нерациональным с точки зрения вычислительных затрат. Таким образом, для решения задач цифровой фильтрации с сохранением формы сигналов особую актуальность приобретает разработка альтернативных алгоритмов цифровой фильтрации сигналов, позволяющих восполнить отсутствие статистических характеристик с помощью обучающей выборки.

Одним из вариантов построения алгоритмов цифровой фильтрации, сохраняющих первоначальную форму сигналов является использование нечеткой логики. Адаптивные фильтры на основе алгоритмов с нечеткой логикой имеют повышенное быстродействие и обеспечивают меньшую погрешность фильтрации за счет более адекватного описания обрабатываемых сигналов.'Альтернативой нечеткой логике служат нейронные сети, однако реализация нейросетевых систем цифровой фильтрации сигналов затруднена чрезвычайно высокой трудоемкостью процедуры обучения. Все это делает очень актуальным развитие существующих, а также создание новых алгоритмов цифровой фильтрации с использованием нечеткой логики, которые обеспечивают более высокое качество восстановления формы случайных сигналов, в том числе нестационарных.

Цель диссертационной работы - разработка алгоритмов цифровой фильтрации на основе теории нечетких множеств для сигналов с различным спектром.

Для достижения поставленной цели в диссертации решены следующие задачи:

1. Исследованы существующие алгоритмы цифровой фильтрации сигналов с использованием нечеткой логики и искусственных нейронных сетей.

2. Разработаны алгоритмы цифровой фильтрации сигналов на основе теории нечетких множеств.

3. Проведены проектирование и компьютерная реализация цифровых фильтров с нечеткой логикой.

4. Выполнена экспериментальная проверка разработанных цифровых фильтров.

Методы исследований. При выполнении работы были использованы положения общей теории радиотехнических сигналов, теория нечетких множеств, численные методы, методы вычислительной математики и теории программирования, методы статистической обработки экспериментальных данных.

Научная новизна. Решение поставленных задач определило новизну диссертации, которая заключается в следующем:

1. Разработан модифицированный алгоритм цифровой фильтрации сигналов на основе теории нечетких множеств, отличительной особенностью которого является адаптивное изменение функций принадлежности в зависимости от значений конечных разностей первого порядка сигнала.

2. Разработан алгоритм цифровой фильтрации сигналов, дающий возможность перестраивать центральную частоту фильтра в соответствии с характеристиками сигнала при сохранении всех других параметров фильтра.

На защиту выносятся:

1. Алгоритм цифровой фильтрации сигналов с адаптивно изменяемыми функциями принадлежности.

2. Алгоритм цифровой фильтрации сигналов с изменяемой центральной частотой фильтра при сохранении всех остальных его параметров.

Практическая значимость проведенных исследований.

Разработанное в диссертации программное обеспечение имеет практическую значимость, т. к. позволяет уменьшить временные затраты на проектирование радиотехнических устройств типа цифрового фильтра с нечеткой логикой почти в 10 раз.

Реализация и внедрение результатов работы. Разработанные алгоритмы и программное обеспечение внедрены в ООО НТК «Интеллектуальные комплексные системы», а также в НОУ «Институт радиоэлектроники, сервиса и диагностики», что подтверждено соответствующими актами.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы получили положительную оценку при обсуждении на 9 международных и всероссийских конференциях, в том числе:

- VII Международная конференция «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Новосибирск, 2004 г.);

- III Международный технологический конгресс «Военная техника, вооружение и технологии двойного применения» (Омск, 2005 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ, из них 2 - статьи в научных периодических изданиях, 10 - материалы и тезисы докладов в трудах международных и всероссийских конференций, 1 - свидетельство об отраслевой регистрации разработки.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложений. Общий объем диссертации - 159 страниц. Основной текст изложен на 138 страницах, включает 73 рисунка, список литературы из 86 наименований.

Заключение диссертации по теме «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения», Титов, Дмитрий Анатольевич

5.3 Выводы

В данной главе проведены экспериментальные исследования компьютерных моделей цифровых фильтров с использованием разработанных автором алгоритмов. В частности, выполнено сравнение компьютерных моделей цифровых фильтров на основе алгоритмов (2.1), (2.14) и (2.19). Для исследований применялись сигналы и помехи с различным спектральным составом.

Данные экспериментов выявили преимущества спроектированных в работе цифровых фильтров. В частности, выигрыш по помехоустойчивости цифрового фильтра на основе алгоритма (2.19) при одинаковом значении СКП фильтрации составляет в среднем 1,2 дБ. Снижение СКП фильтрации при постоянном соотношении сигнал/шум достигает 25%. Результаты моделирования позволяют рекомендовать к применению разработанные автором алгоритмы цифровой фильтрации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исходя из цели диссертационной работы, сформулированной во введении, автором получены следующие основные результаты:

1. Разработан модифицированный алгоритм цифровой фильтрации сигналов на основе теории нечетких множеств, отличительной особенностью которого является адаптивное изменение функций принадлежности в зависимости от значений конечных разностей первого порядка сигнала.

2. Разработан алгоритм цифровой фильтрации сигналов на. основе теории нечетких множеств, дающий возможность перестраивать центральную частоту фильтра в соответствии с характеристиками сигнала при сохранении всех остальных его параметров.

3. Созданные алгоритмы проанализированы с точки зрения типов и количества математических операций, необходимых для их реализации. Результаты анализа показывают, что по количеству математических операций представленные в работе алгоритмы сопоставимы с ранее известными алгоритмами на основе теории нечетких множеств. Это позволяет рекомендовать их использование для решения различных задач цифровой фильтрации сигналов.

4. Проведено проектирование цифровых фильтров на основе разработанных алгоритмов. В частности, разработаны и подробно описаны структурные схемы ФНЧ, а также полосового и режекторного фильтров с нечеткой логикой.

5. На базе спроектированных цифровых фильтров построены компьютерные модели в программной среде MATLAB.

6. Проведены экспериментальные исследования изложенных в работе теоретических положений.

Предложенные автором алгоритмы позволяют повысить качество фильтрации различных сигналов при отсутствии сведений об их статистических характеристиках. В частности, использование алгоритма фильтрации с адаптивно изменяемыми функциями принадлежности позволяет обеспечить снижение СКП фильтрации в 5 раз по отношению к алгоритму линейной цифровой фильтрации, а также достигнуть уменьшения этого параметра по сравнению с ранее известными алгоритмами фильтрации с нечеткой логикой до 25%.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Титов, Дмитрий Анатольевич, 2007 год

1. Гольденберг Л. М., Матюшкин Б. Д., Поляк М. Н. Цифровая обработка сигналов - М.: Радио и связь, 1990. - 256 с.

2. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. -М.: Мир, 1978.-576 с.

3. Цифровые фильтры в электросвязи и радиотехнике / Под ред. Л. М. Гольденберга. -М.: Радио и связь, 1982.-224 с.

4. Цифровые фильтры и их применение / В. Капеллини и др. М.: Энергоатомиздат, 1983 - 360 с.

5. Хемминг Р. В. Цифровые фильтры. М.: Недра, 1987. - 221 с.

6. Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование. М.: Радио и связь, 1983.-320 с.

7. Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры: Расчет и реализация. Пер. с англ. -М.: Мир, 1982.-592 с.

8. Основы цифровой обработки сигналов: Курс лекций / А. И. Солонина, Д. А. Улахович, С. М. Арбузов, Е. Б. Соловьева, И. И. Гук. СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 608 с.

9. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Радио и связь, 1989. - 656 с.

10. Ю.Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. 2. -М.: Сов. радио, 1975. 392 с.

11. П.Нелинейная обработка сигналов / А. К. Розов. Спб.: Политехника, 1994. -381 с.

12. Haykin S., Lee P., Derbez E. Optimum nonlinear filtering // IEEE Transactions on Signal Processing. 1997. Vol. 45. No. 11. P. 2774-2786.

13. Pitas I., Venetsanopoulos A. Nonlinear Digital filters: principles and applications. Kluwer Academic, Norwell Ma. 1990. 302 p.

14. Astola J., Kuosmanen P. Fundamentals of Nonlinear Digital Filtering, CRC Press, Boca Raton, New York, 1997. 128 p.

15. Кассам С. А., Пур Г. В. Робастные методы обработки сигналов: Обзор / ТИИЭР, т. 73, № 3, март 1985.

16. Адаптивные фильтры: Пер. с англ. / Под ред. К. Ф. Н. Коуэна и П. М. Гранта. М.: Мир, 1988.-392 с.

17. Монзинго Р. А. Миллер Т. У. Адаптивные антенные решетки: Введение в теорию. М.: Радио и связь, 1986.-448 с.

18. Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов. М. : Радио и связь, 1989.-440 с.

19. Алгоритмы и процессоры цифровой обработки сигналов / А. И. Солонина, Д. А. Улахович, С. М. Арбузов, Е. Б. Соловьева, И. И. Гук. СПб.: БХВ-Петербург, 2002, - 464 с.

20. Kailah Т. A view of three decades of linear filtering theory // IEEE Trans. Inf. Theory. 1974. Mar. vol. IT-20. P. 145-181.

21. Gabor D., Wilby W., Woodcock R. A universal nonlinear filter predictor and simulator which optimizes itself by a learning process // Proc. Inst. Electr. Eng. 1960. July. vol. 108B.

22. Khriji L., Gabbouj M. Vector Median-Rational Hybrid Filters for multichannel image processing // IEEE Signal Processing Letters. 1999. July. 6 (7). P. 186190.

23. Arakawa K. Median filter based on fuzzy rules and its application to image restoration // Fuzzy Sets and Systems. 1996. January. 77 (1). P. 3-13.

24. Chatzis V., Pitas I. Fuzzy .scalar and vector median filters based on fuzzy distances // IEEE Trans, on Image Processing. 1999. May. 8(5). P. 731-734.

25. Taguchi A., Azawa N. Fuzzy center weighted median filters // European Signal Processing Conference Eusipco-96, III, Trieste, Italy. 1996. 10-13 September. P. 1721-1724.

26. Ferreria P., Reis M. Impulsive noise, fuzzy uncertainty and the analog median filter // Systematic organization of information in fuzzy systems. 2002. P. 25-42.

27. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. / Под ред. Д. А. Поспелова. М.: Наука, 1986. - 312 с.

28. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления / Под ред. Н. Д. Егупова. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. - 744 с.29.0совский С. Нейронные сети для обработки информации. М.: Высш. шк., 2002.-440 с.

29. Karakuzu С., Oztiirk S. A Comparison of Fuzzy, Neuro and Classical Control Techniques Based on an Experimental Application // Journal of Qafqaz University. 2000. No. 6. P. 189-198.

30. Вешкурцев Ю. M., Бычков E. Д., Титов Д. А. Исследование алгоритмов цифровой фильтрации случайных сигналов при нечетких условиях // Актуальные проблемы электронного приборостроения: Мат. VII Международной конф. Новосибирск: НГТУ. 2004. т. 4. - С. 18-22.

31. Veshkurtsev Yu. М., Bychkov Е. D., Titov D. A. Research on algorithms of digital filtering under fuzzy conditions // Актуальные проблемы электронного приборостроения: Мат. VII Международной конф. Новосибирск: НГТУ. 2004. т. 1.-С. 107-111.

32. Kim H., Kosko B. Fuzzy prediction and filtering in impulsive noise // Fuzzy Sets and Systems. 1996. January. 77 (1). P. 15-33.

33. Russo F. Fuzzy sets in instrumentation: Fuzzy signal processing // IEEE Trans. Instrum. Meas. 1996. April. 45. P. 683-689.

34. Simon D. Sum Normal Optimization of Fuzzy Membership Functions // International Journal of Uncertainty, Fuzziness, and Knowledge-Based Systems. 2002. August, vol. 10. P. 363-384.

35. Khriji L., Gabbouj M. Rational-based adaptive fuzzy filters // International Journal of Computational Cognition. 2004. Vol. 2, No. 1. P 113-132.

36. Вешкурцев Ю. M., Бычков E. Д., Титов Д. А. Приложение теории нечетких множеств в цифровой фильтрации случайных сигналов // Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2004. Вып. 3. С. 3-9.

37. Титов Д. А. Моделирование цифрового фильтра на основе теории нечетких множеств // Наука. Технологии. Инновации: Мат. докладов всероссийской научной конф. молодых ученых в 6-ти частях. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003 .Часть 1.-С. 78-79.

38. Ракитянская А. Б., Ротштейн А. П. Нечеткая модель прогнозирования с генетико-нейронной настройкой // Известия РАН. Теория и системы управления. 2005. №1.-С. 110-119.

39. В. Widrow, J. R. Glover, J. M. McCool, J. Kaunitz, C. S. Williams, R. H. Hearn, J. R. Zeidler, E. Dong, R.C.Goodlin, Adaptive Noise Cancelling: Principles and Applications //Proc. IEEE. 1975. Vol. 63. No. 12. P. 1692-1716

40. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения / Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. 3. -М.: Наука. 1967.-368 с.

41. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука. 1987.-600 с.

42. Романенко А. Ф., Сергеев Г. А. Вопросы прикладного анализа случайных процессов. М.: Советское Радио. 1968. - 256 с.

43. Мазмишвили А. И., Беляев Б. И. Способ наименьших квадратов. М.: Изд-во геодез. лит. 1959. - 371 с.

44. Амосов О. С. Адаптивная нелинейная фильтрация случайных последовательностей на основе нейронных сетей и нечеткой логики // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2004. № 5. С. 4853.

45. Амосов О. С. Системы нечеткой логики для фильтрации марковских последовательностей // Информационные технологии. 2004. №11. С. 31-38.

46. Han L. A Fuzzy-Kalman Filtering Strategy for State Estimation: A Thesis Submitted to the College of Graduate Studies. -Saskatoon: University of Saskatchewan. 2004. — 114 p.

47. Ramponi N. Nonlinear fuzzy operators for image processing // Signal Processing. 1994. April. 38.-P. 429-440.

48. Vertan C., Boujemaa N. Using fuzzy histograms and distances for color image retrieval // Challenge of image retrival. 2000. P. 1-6.

49. Нейрокомпьютеры и их применение / Под ред. А. И. Галушкина -М.: ИПРЖР, 2000. 256 с.

50. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя: Пер. с англ. -М.: Наука, 1991. -432 с.

51. Нейросетевые системы управления / Под ред. А. И. Галушкина. Кн. 8. М.: ИПРЖР, 2002.-480 с.

52. McCulloch W., Pitts W. A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity//Bulletin of mathematical biophysics. 1943. Vol. 5. -P 115-133.

53. Медведев B.C., Потемкин В.Г. Нейронные сети. MATLAB 6. М.: Диалог-МИФИ. 2002.-496 с.

54. Рычагов М. Н. Нейронные сети: многослойный перцептрон и сети Хопфилда // Exponenta Pro. 2003. № 1. С. 29-37.

55. Simon D. Training Radial Basis Neural Networks with the Extended Kalman Filter//Neurocomputing. 2002. October, vol. 48. P. 455-475.

56. Simon D. Training Fuzzy Systems with the Extended Kalman Filter // Fuzzy Sets and Systems. 2002. December, vol. 132. P. 189-199.

57. Simon D. Fuzzy Membership Optimization via the Extended Kalman Filter // North American Fuzzy Information Processing Society Conference, Atlanta, GA. 2000. July.-P. 311-315.

58. Титов Д. А. Алгоритм адаптивной фильтрации сигналов на основе теории нечетких множеств // Информационно-телекоммуникационные системы: Сборник тезисов докладов международной конф. молодых ученых.- Новосибирск: Изд-во НГТУ. 2006. С. 88-91.

59. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов СПб.: Питер, 2003. - 608 с.

60. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высш. шк., 2000. -462 с.

61. Гоноровский С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь, 1986.-462 с.

62. Гуревич М. С. Спектры радиосигналов. М.: Изд-во литературы по вопросам связи и радио, 1963. - 312 с.

63. Харкевич А. А. Спектры и анализ. М.: Изд-во физико-математической литературы, 1963.-236 с.

64. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. - 376 с.

65. Вешкурцев Ю. М. Автокогерентные устройства измерения случайных процессов. Омск: Изд-во ОмГТУ, 1994. - 163 с.

66. Бычков Е. Д., Титов Д.А. Цифровая фильтрация нестационарных сигналов при нечетких условиях // Динамика систем, механизмов и машин: Мат. IV Международной науч.-техн. конф., посвящ. 60-летию ОмГТУ. Омск, 2002. Кн. 2.-С. 156-158.

67. Бакалов В. П. Электросвязь в биологии и медицине. М.: Радио и связь, 1998.-176 с.

68. Мурашко В. В., Струтынский А. В. Электрокардиография. М.: Медицина, 1987.-256 с.

69. Вешкурцев Ю. М., Бычков Е. Д., Титов Д. А. Полосовой фильтр на основе теории нечетких множеств // Военная техника, вооружение и технологии двойного применения: Мат. III Международного технологического конгресса. Омск. 2005. Часть 2. - С. 34-36.

70. Вешкурцев Ю. М., Бычков Е. Д., Титов Д. А. Адаптивный полосовой фильтр на основе теории нечетких множеств // Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2006. Вып. 2. С. 16-23.

71. Лазарев Ю. Ф. MatLAB 5.x. К.: Изд. группа BHV, 2000. - 384 с.

72. Дьяконов В. П. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. Спб.: Питер, 2002. - 608 с.

73. Дьяконов В. П., Круглов В. И. Математические пакеты расширения MATLAB. Специальный справочник. Спб.: Питер, 2001. - 480 с.

74. Сергиенко А. Б. Алгоритмы адаптивной фильтрации: особенности реализации в MATLAB // Exponenta Pro. 2003. N1. С. 11-20.

75. Дьяконов В. П. MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5. Основы применения. М.: СОЛОН-Пресс. 2004. - 768 с.

76. Вешкурцев Ю. М., Бычков Е. Д., Титов Д. А. Адаптивный полосовой (или режекторный) фильтр. М.: ВНТИЦ. 2005. - № 50200500735'.

77. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982. -624 с.

78. Горяинов В. Т., Журавлев А. Г., Тихонов В. И. Статистическая радиотехника: Примеры и задачи: Учеб пособие для вузов / Под ред. В. И. Тихонова. -М.: Сов. радио. 1980. 544 с.