Алгоритмы следящего управления нелинейными системами с адаптивной настройкой задающих воздействий" тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Бжихатлов Ислам Асланович

• Бжихатлов Ислам Асланович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Бжихатлов Ислам Асланович

Реферат

Synopsis

Введение

Глава 1. Обзор существующих решений и обобщенная

постановка задачи

1.1 Примеры систем, подверженных нелинейным возмущающим воздействиям

1.1.1 Шагающие роботы

1.1.2 Манипуляторы

1.1.3 Системы слежения

1.2 Основные подходы к решению задач компенсации внешнего возмущения и слежения

1.2.1 Адаптивные методы для мультигармонических сигналов

1.2.2 Адаптивные методы для хаотическоих сигналов

1.2.3 Методы построения сильной обратной связь

1.2.4 Метод внутренней модели

1.3 Обобщенная постановка задачи

Глава 2. Система компенсации нелинейных возмущающих

воздействий

2.1 Постановка задачи

2.2 Алгоритм компенсации возмущающих воздействий

2.3 Адаптивное управление по выходу

2.4 Математическое моделирование

2.5 Выводы по главе

Глава 3. Следящая система за нелинейным сигналом

3.1 Постановка задачи

3.2 Случай к ^ п

3.3 Адаптивное управление по выходу для случая к ^ п

Стр.

3.4 Случай к < п

3.5 Адаптивное управление по выходу для случая к < п

3.6 Математическое моделирование

3.7 Выводы по главе

Глава 4. Экспериментальное исследование предлагаемых

алгоритмов

4.1 Экспериментальная установка

4.2 Система технического зрения

4.3 Результаты эксперимента

4.4 Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Тексты публикаций

Реферат

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы следящего управления нелинейными системами с адаптивной настройкой задающих воздействий"»

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследований. Одним из важных разделов современной теории управления является разработка систем управления робо-тотехническими комплексами в связи с высоким спросом на сложные системы регулирования со стороны бизнеса. Роботы, как правило, способны выполнять самые разнообразные задачи за счёт возможности реконфигурирования, в том числе те задачи, которые раньше были под силу только человеку. Важной задачей, решение которой расширяют возможную область использования робо-тотехнических систем, является компенсация параметрически неопределенных внешних возмущающих воздействий. Это могут быть как и гармонические вибрации, но чаще всего, речь идёт о нелинейных воздействиях, снижающих точность позиционирования роботов.

С каждым годом увеличивается сложность технических систем, для которых необходимо решать задачи управления. При этом универсального подхода для решения подобных задач не существует, однако стоит отметить, что для некоторых классов систем уже давно разрабатываются методы синтеза систем управления, некоторые из них демонстрируют крайне высокую эффективность.

Методы управления принципиально можно разделить на два класса: регуляторы по выходу и использующие векторы оценки состояния. В данной работе рассматривается синтез управления по выходу системы.

Степень разработанности темы исследований. На сегодняшний день, задача компенсации нелинейных возмущающих воздействий для робо-тотехнических систем остается открытой. Одним из путей решения является разработка новых алгоритмов адаптивной компенсации с оценкой параметров внешних возмущающих воздействий в робототехнических системах, которые могут быть оснащены средствами технического зрения. Данная работа посвящена развитию методов синтеза регуляторов на основе внутренней модели с адаптивной подстройкой параметров.

В данной диссертационной работе предлагается новый метод синтеза адаптивной внутренней модели для разработки регулятора по выходу линейным объектом управления в задачах компенсации возмущающих воздействий и слежения за задающим сигналом, когда сигнал экзогенной системы является

нелинейным. В работе развиваются существующие методы синтеза регуляторов компенсации нелинейных сигналов на основе принципа внутренней модели на новый класс практически реализуемых регуляторов для механических систем.

Целью данной работы является синтез алгоритмов адаптивного управления по выходу при условии наличия возмущающих воздействий, которые являются выходом нелинейной экзогенной системы с неизмеряемыми параметрами, с практическим приложением для адаптивной следящей системы.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Компенсация параметрически неопределенных возмущающих воздействий, которые являются выходом нелинейной экзогенной системы, на основе развития метода адаптивной внутренней модели.

2. Разработка системы слежение за параметрически неопределенным задающим сигналом, который является выходом нелинейной экзогенной системы, на основе развития метода адаптивной внутренней модели.

3. Проведение экспериментального исследования разработанного алгоритма слежения за параметрически неопределенным нелинейным задающим воздействием на экспериментальной робототехнической установке с применением манипуляционного робота и системы технического зрения.

Научная новизна:

1. Разработан алгоритм компенсации возмущающих воздействий, которые являются выходом нелинейной экзогенной системы, развивающий принципы метода внутренней модели.

2. Представлено развитие алгоритма компенсации возмущающих воздействий на класс параметрически неопределенных нелинейных экзогенных систем.

3. Разработан алгоритм слежения за параметрически неопределенным задающим сигналом, который является выходом нелинейной экзогенной системы, развивающий принципы метода адаптивной внутренней модели.

4. Показана практическая применимость разработанных алгоритмов для решения задачи слежения за нелинейными экзогенными сигналами с неизмеряемыми параметрами в приложении к робототехнической системе.

Теоретическая и практическая значимость работы заключается в развитии методов адаптивного управления в условиях наличия нелинейных возмущающих воздействий с неизмеряемыми параметрами. Предложенные алгоритмы могут быть применены в различным электромеханических системах для борьбы с нелинейными возмущающими воздействиями, вызванными либо компонентами самой электромеханической системы, либо внешними факторами, влияющими на качество работы системы. В работе развиваются существующие методы синтеза регуляторов компенсации нелинейных сигналов на основе принципа внутренней модели на новый класс практически реализуемых регуляторов для механических систем. Алгоритмы могут быть использованы в системах управления робототехническими системами, как мобильными, так и манипуляционными, для дистанционного управления в условиях подвижной среды, либо наличия внешних помех. Также разработанные методы могут быть применены в системах управления микроприводами, например, в системах стабилизации изображений.

Методология и методы исследования. Для решения поставленных целей и задач использовались современные методы теории управления для адаптивных систем, включающие методы нелинейной теории управления. В работе развивался метод разработки закона управления на основе принципов адаптивной внутренней модели с применением наблюдателя состояния системы. В работе развиваются разработанные ранее методы оценки неизвестных параметров систем. Экспериментальное исследование разработанных алгоритмов было проведено на экспериментальной робототехнической установке с применением манипуляционного робота и системы технического зрения, с предварительным компьютерным математическим моделированием в среде программирования МаШЬ 81шиНпк.

Положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритм компенсации параметрически неопределенных возмущающих воздействий, которые являются выходом нелинейной экзогенной системы, с адаптивной внутренней моделью.

2. Алгоритм слежения за параметрически неопределенным задающим сигналом, который является выходом нелинейной экзогенной системы, с адаптивной внутренней моделью.

Достоверность результатов, представленных в диссертационной работе, подтверждается:

— строгостью математических доказательств изложенных в диссертации методов управления по выходу с использованием принципов внутренней модели;

— представленных в работе результатами компьютерного математического моделирования в среде графического программирования Matlab Simulink;

— опубликованными работами в рецензируемых изданиях, а также докладами, представленных на профильных научных конференциях.

Апробация работы. Результаты работы опубликованы в журналах из списка ВАК[1; 2]. Основные результаты работы докладывались на:

— Седьмой международной конференции по управлению, принятию решений и информационным технологиям [3]

— Одиннадцатой международной конференции по системам электроприводов [4]

Результаты работы использованы при выполнении следующих НИР: «Методы искусственного интеллекта для киберфизических систем», «Разработка шестиосного малогабаритного манипулятора с использованием доступных конструкционных материалов», «Разработка методов создания и внедрения киберфизических систем», «Адаптивное бессенсорное управление синхронным электроприводом для интеллектуальных робототехнических и транспортных систем», «Управление киберфизическими системами».

Экспериментальное исследование проводились на инструментальной базе факультета систем управления и робототехники Университета ИТМО.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации представлены в 4 научных публикациях, из них 2 статьи в изданиях из перечня ВАК, 2 статьи в изданиях, индексируемых в международной базе научного цитирования Scopus.

Личный вклад. Содержание диссертационной работы и основные положения, выносимые на защиту, отражают личный вклад автора в опубликованные работы. Соискателем был подготовлен комплекс новых адаптивных алгоритмов управления по выходу при условии наличия нелинейных возмущающих воздействий с неизмеряемыми параметрами. Подготовка полученных результатов к публикации проводилась совместно с соавторами, причем все представленные в диссертации результаты получены лично автором. В рамках подготовки представляемой диссертационной работы был разработан алгоритм

компенсации параметрически неопределенных возмущающих воздействий, которые являются выходом нелинейной экзогенной системы, с адаптивной внутренней моделью, алгоритм слежения за параметрически неопределенным задающим сигналом, который является выходом нелинейной экзогенной системы, с адаптивной внутренней моделью, проведено экспериментальное исследование на робототехническом комплексе.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения.Полный объём диссертации составляет 142 страницы, включая 29 рисунков.Список литературы содержит 51 наименование.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в данной диссертационной работе, формулируются цель, задачи работы, а также отмечаются научная новизна и практическая значимость представляемой работы.

Первая глава содержит обзор примеров механических систем, подверженных внешним нелинейным возмущениям. Представлен подробный обзор современных методов автоматического управления, решающие задачу слежения за задающим воздействием, а также управления при наличия внешних параметрически неопределенных возмущений; управлению по выходу. Составляется обобщенная постановка задачи.

Рассмотрим общую задачу разработки системы управления по выходу в условиях наличия экзогенных нелинейных сигналов, представленой в виде уравнения:

а(р)у(1) = Ь(р)и(1) + сЬ(1), (1)

е(1) = у(1) - (2)

которое описывает динамику линейного объекта управления с выходом системы входом управления и(1), полиномами системы а(р) = рп+ап-1ра~1+.. .+а0, Ь(р) = Ьтрт + ат-1рт-1 + ... + Ь0, т ^ п, которые известны, параметрами с и ё, связи с экзогенным сигналом с известными значениями. В системе присутствует экзогенный вход 6(£), которое является выходом нелинейной экзогенной

системы вида

= 0i/i(6(i}} + e2/2(6(i)) +... + еж rn)

c известным порядком производной возмущения к, известными нелинейными функциями fi(S(t)),i = 1,/, а также ненулевыми начальными условиями 60 и некоторыми константами 0^,г = 1,/, которые могут быть неизвестны. Целью обобщенной задачи управления по выходу является поиск и разработка такого вида закона управления и, который обеспечивала бы асимптотическую сходимость ошибки управления е к нулю:

lim e(t) = 0.

Целью данной работы является синтез алгоритмов адаптивного управления по выходу при условии наличия возмущающих воздействий, которые являются выходом нелинейной экзогенной системы с неизмеряемыми параметрами, с практическим приложением для адаптивной следящей системы.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

Задача 1. Компенсация возмущающих воздействий с неизмеряемыми параметрами, которые являются выходом нелинейной экзогенной системы, на основе развития метода адаптивной внутренней модели.

Допущение 1. В рамках решения Задачи 1 рассматривается случай системы управления с параметром связи с экзогенным сигналом d = 0, т.е. задача управления сводится к задаче стабилизации выхода объекта управления.

Задача 2. Разработка системы слежение за параметрически неопределенным задающим сигналом, который является выходом нелинейной экзогенной системы, на основе развития метода адаптивной внутренней модели.

Допущение 2. В рамках решения Задачи 2 рассматривается случай системы управления с параметром связи с экзогенным сигналом с = 0, т.е. в результате разработки системы управления выход объекта управления должен повторять поведение задающего сигнала.

Задача 3. Проведение экспериментального исследования разработанного алгоритма слежения за параметрически неопределенным нелинейным задающим воздействием на экспериментальной робототехнической установке с применением манипуляционного робота и системы технического зрения. В качестве основы робототехнической системы следует рассматривать исследовательский робот Kuka youbot с открытыми программными кодами алгоритмов

управления положением сочленений. В ходе проведения экспериментального исследования необходимо изучать робастные свойства разработанных алгоритмов применительно механическим системам.

Во второй главе представлено решение задачи 1, а именно метод синтеза алгоритмов компенсации параметрически неопределенных возмущающих воздействий, которые являются выходом нелинейной экзогенной системы, на основе развития метода адаптивной внутренней модели.

Рассматривается задача робастного управления по выходу системой при условиях наличия нелинейных экзогенных возмущающих воздействий, пред-ставленой в виде уравнения:

а(Р)у(г) = ь(р)(и(г) + ь(г)), (3)

которое описывает динамику объекта с измеряемым выходом системы у(Ъ), входом управления и(1), известными полиномами системы а(р) = рп + ап-1рп-1 + ап-2Рп-2 + ... + ао, Ь(р) = Ьтрт + Ьт-1рт-1 + Ьт-2Рт~2 + ... + &о, т < п, подверженного влиянию неизмеряемого экзогенного воздействия Ь{р), который является выходом нелинейной экзогенной системы вида

ь(к)(1) = 91/1 т)+ыт)) +...+ад т) (4)

с известным порядком производной возмущения к, известными нелинейными функциями /¡(8(1))/1 = 1,1, а также ненулевыми начальными условиями 60 и некоторыми константами 9^,1 = 1,1, которые могут быть неизвестны. Целью задачи управления по выходу является разработка такого закона управления и(Ъ), который обеспечивал бы асимптотическую сходимость выхода у(¿) к нулю:

Иш у (г) = 0. (5)

Основная идея предлагаемого подхода заключается в поиске и разработке такого вида закона управления, который бы включал в себя внутреннюю модель, повторяющую динамику возмущения, составить модель, используя расширенную динамику исходной системы и дополнительные измерения.

Возьмём производную (к) порядка от исходной модели объекта (3), чтобы подставить выражение (4)

рка(р)у(г) = ъ(р)(рки(г) + ркь(г)) (6)

Ь(р) ^рки(г) + £ 9г/г(8(г))^ .

Дополним динамику системы цепочкой из к интеграторов в канале управления:

и(1) = Л1Й, (7)

п 1{г)= Ц2{г),

где у(£) является новым входным сигналом, который необходимо разработать. Цепочка интеграторов позволяет увеличить количество измерений в системе, необходимых для синтеза нелинейной внутренней модели.

Таким образом, рки(Ъ) = у(Ь), тогда выражение (6) принимает вид:

или

рка(р)Уа) = Ь(р)(уВД + £0!/,(6(г)П ,

(8)

РкIV« о У,т*))} • (9)

Перепишем передаточную функцию ркщ) в виде:

ц=+и (10)

где с(р) и с1(р) являются результатом деления а(р) на Ь(р) так, что является реализуемым фильтром, р — относительная степень объекта управления, степени с(р), ё,(р), Ь(р) будут равны соответственно к + р — 1, к + п — р — 1, п — р. Подставим (10) в (9), получим:

Рк+ру (г) = — с(р)у(1) — у(1)+ у(1) + ¿; ег/г(8(^). (11)

Пусть г(1) = ц^у(£), при условии, что Ь(р) — гурвицев. Тогда запишем х{Ъ) как выход системы

г(1) = С? (12)

¿1(1) = А^(1) + Вху (I),

являющейся нуль-динамикой системы (движением системы при у = 0). Матрица А является гурвицевой, так как д.е1(рI — А) = Ь(р). Представим модель (11) в нормальной форме:

у(1) = СТ г2(г), —с(р)у(1) = Ьт х2(1),

/ у(ь) ^

(13)

(14)

^а) =

№

(к+р—1)

Ш =

0 00

0

/

ъ(г) + с(ът ъ(г) — г(г) + у(г) + 9Л(5(^

г2(1) + С — г(1) + у(1) + ^ 9г/г(Щ)

¡=1

,

А2

где С = (О 0 ... ^ .

Объединим компоненты г^) и х2(Ъ) в общую модель системы:

(= ( \ т) \

А1 ИС

—СС? А'2

) +0 (

у(1) + £ 9г/г (6(*)) . (15)

¡=1

Для удобства дальнейшего анализа произведём следующие замены переменных: г1(г) = ОД, х2(г) = ОД, = А12, —ССТ = А21. Система (15)

примет вид:

шА-) Ш с) (.....± «ч

Найдём выражение выхода экзосистемы 6(£) из (3): а(р)

(16)

Ъ{р)

у(г) = и{ 0 + 6(0,

т = ^у(г) — и® = с(р)Уа) + ^„(о — иа),

(17)

(18)

где полиномы с(р) и <Л(р) имеют размерности р, п — р соответственно. Запишем в виде матрицы с(р)у(Ь) = 3£,(£), так как вектор содержит производные сигнала ( ).

Для системы (16) с учетом (18) запишем номинальное управление:

упот (г) = к ад — ^ ег/г( з ад + ^ад — щ(^) , (19)

связанное с системой

ад = (А2 + СК (20)

где К может быть выбран так, чтобы матрица (А2 + СК) являлась гурвице-вой. Такая система является нереализуемой, так как измерению недоступны £,(£). Реализуемую форму регулятора можно построить, составив наблюдатель состояния внутренней модели ¿.

Утверждение 1. Для математической модели (3) и модели возмущения (4), используя наблюдатель состояния вида

¿ад = ¿ад + агк+р—1 (ад — ¿ад), (21)

¿ад = ¿ад + а2 гк+р—2 (ад — ад),

Iк+р (г) = ак+р го (у(1) — ¿1(0) ,

с настраиваемыми параметрами а, г0, г1, ..., гк+р—1, релизуемый закон управления вида

У1(г) = к ¿¿(г), (22)

У2(г) = — £егт + ^)у(г) — , (23)

У(г) = У1 (0 + У2 (г), (24)

с применением цепочки интеграторов (7), обеспечивает выполнение цели задачи управления по выходу (5), где эа^) — функция насыщения, у1(0 — часть стабилизации, у2(Ъ) — часть компенсации возмущения.

Закон управления (24) зависит от параметров экзогенной системы е, которые могут быть неизвестными. Построим алгоритм оценивания параметров экзосистемы для последующего их использования в законе управления. Для этого сначала представим модель экзосистемы в виде регрессионной модели. Для

запишем функции экзосистемы в вектор Фт(^ = [^(6^)) /2(6^)) ... ¡1 (6(£))], параметры в вектор 9т = [91 02 ... 9/].

Уравнение экзосистемы (4) примет вид:

6(к) (1) = Фт (1)9, (25)

где значение 6(к)(£) не измеряется.

Используем замену (18) и (10), чтобы выразить значение 6(к)(£) через измеряемые величины:

(Р к+р + с(р))у(1) + *Му(г) — у(1) = Фт 9. (26)

Произведём замену (рк+р + с(р))у(Ъ) = Н£,(£), так как производные у(Ъ) оцениваются наблюдетелем закона управления в £,(£).

Вектор Ф^) содержит функции, зависимые от неизмеряемых величин 61(1 ). Выразим их, применив подстановку, аналогичную (24):

Фа) =

+ Щу а) — Л1(г]))^

Ч (/, (зад + — шм)),

(27)

Для оценивания параметров неизвестного нелинейного экзогенного воздействия будем использовать традиционный интегральный метод оценивания на основе принципа поиска минимума квадратичной функции, движением по градиенту.

Утверждение 2. Для математической модели (3) и модели возмущения (4) с неизвестными параметрами 9, используя наблюдатель состояния вида

¿1(0 = Ш + а гк+р—1 (у(1) — 11(1)) , (28)

12(1) = Ш + а2 Гк+р—2 (у(1) — ¿1(0) ,

1 к+р (г) = ак+р го (у (г) — Ш) ,

Рисунок 1

Рисунок 2

-<т = 60 (7 = 80 <7 = 100

0.2

0.1 0

г-0.1

50

100

150

200

50

100

150

200

Время, t[c] Время, t[c]

Переходные процессы для регулятора по выходу с известными 6

и различными к

-0.2 -0.9 -1.2

0.2

0

50

100

150

200

50

100

150

200

Время, 1[с] Время, t[c]

Переходные процессы для регулятора по выходу с известными и

различными 6

с настраиваемыми параметрами а, г0, г1, ..., rK+p_i, релизуемый закон управления вида

■Vi(t) = K Ut), V2(t) = _ ^ 6,sat Гf, ( v(t) = Vi(t)+V2 (t),

6(t) = yi(t) (нí(t) + My(t) _ y(t) _ Ф?(t)6^ ,

J 1«) + Щт _ Mt)

(29)

(30)

(31)

(32)

с применением цепочки интеграторов (7), обеспечивает выполнение цели задачи управления по выходу (5), где эа^) — функция насыщения, у1(0 — часть стабилизации, у2(Ъ) — часть компенсации возмущения.

На рисунке 1 показаны переходные процессы выхода системы для регулятора по выходу с известными е и различными а, а также сигнал возмущения. На рисунке 2 показаны переходные процессы выхода системы для регулятора

0

0

0

0

12 10

0

-2

1

~ 0.8

№

1 0.6

X

о

о

2 0.4

<о

3

° 0.2

0

Рисунок 3 — Переходные процессы для регулятора по выходу с неизвестными

и различными 6

по выходу с известными и различными значениями параметра 62. На рисунке можно проследить, как параметр 62 влияет на поведение и периодичность экзогенной системы. Показана робастность предложенного закона управления в различных условиях. На рисунке 3 показаны переходные процессы выхода системы для адаптивного регулятора по выходу и ошибка оценки 6(£) при различных значениях параметра адаптации у.

В третьей главе представлено решение задачи 2, а именно метод разработки системы слежение за параметрически неопределенным задающим сигналом, который является выходом нелинейной экзогенной системы, на основе развития метода адаптивной внутренней модели. Логика построения систем управления остаётся такой же, как и в Главе 2.

Рассматривается задача робастного управления по выходу системой при условиях наличия нелинейных экзогенных возмущающих воздействий, пред-ставленой в виде системы уравнений:

Время, Цс]

а(р)у() = Ь(р)и(г), е = у(Г) - Щ)

(33)

(34)

которое описывает динамику объекта с измеряемым выходом системы у, входом управления и, известными полиномами системы а(р) = рп + ап-1рп-1 + ап-2рп-2 + ... + ао, Ь(р) = Ьтрт + ат-1рт-1 + ... + Ь0, т < п, наличие измеряемого задающего воздействия b(t), который является выходом нелинейной экзогенной системы вида

b(K)(t) = Qifi(b(t)) + e2f2(b(t)) +... + elfl rn) (35)

c известным порядком производной возмущения к, известными нелинейными функциями fi(S(t)),i = 1,1, а также ненулевыми начальными условиями 60 и некоторыми константами Qi,i = 1,1, которые могут быть неизвестны. Целью задачи управления по выходу является разработка такого закона управления u(t), который обеспечивал бы асимптотическую сходимость ошибки слежения за задающим воздействием e(t) к нулю:

lim e(t) = 0. (36)

Утверждение 3. Для математической модели (33) и модели возмущения (35), при условии к ^ п, используя наблюдатель состояния вида

Ш = Ш + аГк-1 (e(t) - ад) , (37)

Ш = Ш + а2 т'к-2 (e(t) - ii (i)) ,

iк(г) = акго (e(t) - h(t)) ,

с настраиваемыми параметрами а, г0, г1, ..., гк-1, релизуемый закон управления вида

vi(t) = КОД - QTn(t), (38)

i

V2(t) = ^ Qifi(y(t) - e(t)), (39)

i=i

v(t) = Vi(t)+ V2(t), (40)

с применением цепочки интеграторов

и(г)= Мг), (41)

п 1 (г) = Л2(*),

11 г+т (0 = V(1),

обеспечивает выполнение цели задачи управления по выходу (36), где VI (£) — часть стабилизации, V2(t) — часть компенсации возмущения.

Утверждение 4. Для математической модели (33) и модели возмущения (35) с неизвестными параметрами 6, при условии к ^ п, используя наблюдатель состояния вида

Цг) = 12(1) + агк-1 (е(1) - ад) , (42)

12(1 ) = Ш + а2 Гк-2 ( е(1) - ¿1 (*)) ,

Iк(г) = акго (е(1) - ад) ,

с настраиваемыми параметрами а, г0, г 1, ..., гк-1, релизуемый закон управления вида

Vl(t) = кШ - 0<Тц(г), 7 (43)

(О = £ 6i - Ф)), %=1 (44)

V(t) = Vl(t)+ V2(t), (45)

¿и = уф(г) (дТп(г) + - н1а) - ФТ(ф), (46)

с применением цепочки интеграторов , обеспечивает выполнение цели задачи управления по выходу (36), где V1(í) — часть стабилизации, v2(t) — часть компенсации возмущения.

Утверждение 5. Для математической модели (33) и модели возмущения (35), при условии к < п, используя наблюдатель состояния вида

¿1^) = ¿2(1) + агп_ 1 (е(1) - ¿1 (I)) , (47)

¿2(1 ) = ш + а2 гп-2 ( е(1) - ¿1(1)) ,

Ш = ап го (е(г) - Ш) ,

с настраиваемыми параметрами а, г0, г 1, ..., г п-1, релизуемый закон управления вида

Vl(t) = к¿(1) -ЯТп(^, (48)

V2(t)= рк £ 6,¡г(у(г) - е(г)), (49)

=1

V(t)= Vl(t)+ V2(t), (50)

с применением цепочки интеграторов

и(г)= П1^), (51)

П1^)= П2(г),

Пт(0 = V(t),

обеспечивает выполнение цели задачи управления по выходу (36), где V1(t) — часть стабилизации, V2(t) — часть компенсации возмущения.

Утверждение 6. Для математической модели (33) и модели возмущения (35) с неизвестными параметрами 6, при условии к < п, используя наблюдатель состояния вида

¿1^) = ¿2(1) + аГп-1 (е(1) - ¿1 (I)) , (52)

¿2(1 ) = ш + а2 Гп-2 ( е(1) - ¿1(1)) ,

Ш = ап го (е(1) - ¿1(1)) ,

0.05 0.04 0.03

со

ё 0.02

Э

о

0.01 0

-0.01

0

10

50

60

20 30 40 Время, t[c]

Рисунок 4 — График ошибки слежения за задающим сигналом

20 30 40 50 60 Время, t[c]

Рисунок 5 — График траектории задающего воздействия 8(t)

с настраиваемыми параметрами а, г0, г\, ..., rn-i, релизуемый закон управления вида

Уг(1) = КОД - Q1 n(t),

i

v2(t) = рк £ Qifi(y(t) - e(t)),

i=\

v(t) k(t)

V\(t) + V2(t),

YPKé(t) (qtn(í) + v(t) - Hí(t) - рКФт(t'k

(53)

(54)

(55)

(56)

с применением цепочки интеграторов, обеспечивает выполнение цели задачи управления по выходу (36), где "У1 (1) — часть стабилизации, у2(^ — часть компенсации возмущения.

Представлен пример моделирования шагающей механической системы на основе среды моделирования шагающих робот компании Mathwoгks. Далее представлены графики переходных процессов одного из двигателей шагающей системы. На рисунке 4 показаны переходные процессы ошибки слежения для адаптивного регулятора по выходу с неизвестными параметрами экзосистемы 6. Задающее воздействие показано на рисунке 5 и является результатом записи траектории движения одного сустава ноги человека при ходьбе, полученным путем применения технологии захвата движений. В ходе математического моделирования ошибка слежения ( ) за задающим воздействием, генерируемым нелинейной экзосистемой, сошлась в окрестность нуля. Улучшить сходимость процесса можно либо постобработкой траектории движения, полученной от человека, либо путем дальнейшего анализа модели нелинейной траектории движения.

Четвертая глава содержит решение задачи 3 — описание экспериментальной установки для проведения экспериментального исследования разработанного алгоритма слежения за параметрически неопределенным нелинейным задающим воздействием на экспериментальной робототехнической установке с применением манипуляционного робота и системы технического зрения, а также результаты экспериментов.

Рисунок 6 — Общий вид экспериментальной установки

Целью экспериментов заключалась в формировании сигналов управления для робота, которые бы обеспечили слежении камеры за объектом слежения, обеспечивая минимальное расхождение положения объекта и центра кадра камеры. Объект, за которым осуществлялось слежение, отображался на дисплее,

представлял собой прямоугольник белого цвета, совершающий движение по заданной нелинейной траектории, которая просчитывалось алгоритмом вдоль горизонтальной и вертикальной осей. Компоненты экспериментальной установки проиллюстрированы на рисунке 6.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бжихатлов Ислам Асланович, 2021 год

Список литературы

1. Nonlinear exogeneous system and internal model design [Текст] / A. Isidori [et al.] // Journal of Instrument Engineering. — 2021. — Vol. 64, no. 9. — P. 782—788.

2. Бжихатлов, И. А. Исследование колебаний платформы двуногого шагающего робота [Текст] / И. А. Бжихатлов, В. С. Громов // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. — 2020. — Т. 63, № 3. — С. 278—285.

3. Bzhikhatlov, I. Human Gait Model Identification Approach Based on Foot Trajectory [Текст] / I. Bzhikhatlov, V. Gromov, A. Pyrkin // 7th International Conference on Control, Decision and Information Technologies, CoDIT 2020. — 2020. — P. 668—673.

4. Development of a 6-axis Robotic Manipulator for Stereotactic Surgery [Текст] / V. Bondarenko [et al.] // 2020 11th International Conference on Electrical Power Drive Systems, ICEPDS 2020 - Proceedings. — 2020.

5. Hybrid Nonlinear Disturbance Observer Design for Underactuated Bipedal Robots [Текст]. — Proceedings IEEE Conference on Decision, Control. The address of the publisher : Mohammadi, Alireza et al., 2018. — An optional note.

6. Design of active disturbance rejection controller for compass-like biped walking [Текст] / S. Song [et al.] // International Journal of Advanced Robotic Systems. — 2018. — Vol. 1, no. 11.

7. Lebastard, V. Observer-based control of a walking biped robot without orientation measurement [Текст] / V. Lebastard, Y. Aoustin, P. F. // Robotica, Cambridge University Press. — 2006. — Vol. 24, no. 3. — P. 385—400.

8. Homayounzade, M. Disturbance Observer-based Trajectory Following Control of Robot Manipulators [Текст] / M. Homayounzade, A. Khademhosseini // International Journal of Control, Automation and Systems. — 2019. — Vol. 17, no. 1. — P. 203—211.

9. Observer Based Adaptive Output Feedback Tracking Control of Robot Manipulators [Текст]. — Proceedings IEEE Conference on Decision, Control. The address of the publisher : Zergeroglu, Erkan, Tatlicioglu, Enver, 2010.

10. Trajectory tracking control for a quadrotor UAV via extended state observer [Текст] / W. Gai [et al.] // Electronics. — 2018. — Vol. 6, no. 3. — P. 126—135.

11. Sang, W. H. Disturbance Observer-Based Control for Trajectory Tracking of a Quadrotor [Текст] / W. H. Sang, B. S. Park // Electronics. — 2020. — Vol. 9, no. 10. — P. 1—13.

12. A Moving Target Tracking Control of Quadrotor UAV Based on Passive Control and Super-Twisting Sliding Mode Control [Текст] / W. Xue [et al.] // Mathematical Problems in Engineering. — 2021. — Vol. 1, no. 1. — P. 1—18.

13. Никифоров, В. Робастное управление линейным объектом по выходу [Текст] / В. Никифоров // Автоматика и телемеханика. — 1998. — № 9. — С. 87—99.

14. Цыкунов, А. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений [Текст] / А. Цыкунов // Автоматика и телемеханика. — 2007. — № 7. — С. 103—115.

15. Гайдук, А. Управление нелинейными объектами с компенсацией неопределенного возмущения [Текст] / А. Гайдук, Е. Плаксиенко // Автоматика и телемеханика. — 2013. — № 1. — С. 2—8.

16. Никифоров, В. Наблюдатели внешних детерминированных возмущений I. Объекты с известными параметрами [Текст] / В. Никифоров // Автоматика и телемеханика. — 2004. — № 10. — С. 13—24.

17. Marino, R. Adaptive Regulator for Uncertain Linear Minimum Phase Systems with Unknown Undermodeled Exosystems [Текст] / R. Marino, P. Tomei // Proc 17th World Congr. IFAC. Seoul, Korea. — 2008.

18. Андриевский, Б. Р. Управление хаосом: методы и приложения. II. Приложения [Текст] / Б. Р. Андриевский, А. Л. Фрадков // Автоматика и телемеханика. — 2004. — Т. 4. — С. 3—34.

19. Андриевский, Б. Адаптивная синхронизация нелинейных систем одного класса при ограниченной пропускной способности канала связи [Текст] / Б. Андриевский, А. Фрадков // Управление большими системами: сборник трудов. — 2009. — № 25.

20. Efimov, D. Adaptive partial observers with application to time-varying chaotic systems [Текст] / D. Efimov, A. Fradkov // IUTAM Symposium on Chaotic

Dynamics and Control of Systems and Processes in Mechanics. — 2005. — P. 27—35.

21. Adaptive observer design for a chaotic Duffing system [Текст] / A. Bobtsov [et al.] // International Journal of Robust and Nonlinear Control. — 2009. — Vol. 19, no. 7. — P. 829—841.

22. Bobtsov, A. An adaptive observer with reduced order for chaotic duffing system transmitting a vector of parameters [Текст] / A. Bobtsov, A. Pyrkin, S. Kolyubin // IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). — 2010. — P. 290—295.

23. Cheng, Y. High Gain Disturbance Observer-Based Control for Nonlinear Affine Systems [Текст] / Y. Cheng, W. Xie, W. Sun // International Journal of Advanced Robotic Systems. — 2017. — Vol. 9, no. 12.

24. High Gain Disturbance Observer and Its Application in Robust Control Attenuation [Текст]. — Proceedings of the IEEE International Conference on Information, Automation. Jiang, Ziya, He, Yuqing, Han, Jianda, 2013.

25. Francis, B. Synthesis of multivariable regulators: the internal model principle [Текст] / B. Francis, O. Sebakhy, W. Wonham // Applied Mathematics and Optimization. — 1974. — Vol. 1, no. 1—3. — P. 64—86.

26. Isidori, A. Lectures in Feedback Design for Multivariable Systems [Текст]. Vol. 1 / A. Isidori. — 3rd ed. — The address : Springer International Publishing, 07/2017. — (10). — An optional note.

27. Итеративный алгоритм адаптивного управления по выходу с полной компенсацией неизвестного синусоидального возмущения [Текст] / А. А. Боб-цов [и др.] // Автоматика и телемеханика. — 2012. — № 8. — С. 64.

28. Marconi, L. Output stabilization via nonlinear Luenberger observers [Текст] / L. Marconi, L. Praly, A. Isidori // SIAM Journal on Control and Optimization. — 2007. — Vol. 45, no. 1. — P. 2277—2298.

29. Byrnes, C. I. Nonlinear internal models for output regulation [Текст] / C. I. Byrnes, A. Isidori // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2004. — Vol. 49, no. 12. — P. 2277—2298.

30. Adaptive output regulation of invertible MIMO systems [Текст]. Vol. 50. — Proceedings 20th IFAC World Congress. Pyrkin, A., Isidori, A., 2017.

31. Output regulation for robustly minimum-phase multivariable nonlinear systems [Текст]. — Proceedings 56th IEEE Conference on Decision, Control. Pyrkin, A., Isidori, A., 2017.

32. Francis, B. A. The internal model principle of control theory [Текст] /

B. A. Francis, W. M. Wonham // Automatica. — 1976. — Vol. 12, no. 1. — P. 457—465.

33. Davison, E. J. The robust control of a servomechanism problem for linear time-invariant multivariable systems [Текст] / E. J. Davison // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1976. — Vol. AC—21, no. 1. — P. 25—34.

34. Huang, J. On a nonlinear multivariable servomechanism problem [Текст] / J. Huang, W. J. Rugh // Automatica. — 1990. — Vol. 26, no. 6. — P. 963—972.

35. Isidori, A. Output regulation of nonlinear systems [Текст] / A. Isidori,

C. I. Byrnes // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1990. — Vol. 35, no. 2. — P. 131—140.

36. Huang, J. Asymptotic tracking and disturbance rejection in uncertain nonlinear systems [Текст] / J. Huang // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1995. — Vol. 40, no. 6. — P. 1118—1122.

37. Byrnes, C. Structurally stable output regulation for nonlinear systems [Текст] / C. Byrnes, F. D. Priscoli, A. Isidori // Automatica. — 1997. — Vol. 33, no. 3. — P. 369—385.

38. Byrnes, C. I. Limit sets, zero dynamics and internal models in the problem of nonlinear output regulation [Текст] / C. I. Byrnes, A. Isidori // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2003. — Vol. 48, no. 10. — P. 1712—1723.

39. Marconi, L. Output stabilization via nonlinear Luenberger observers [Текст] / L. Marconi, L. Praly, A. Isidori // SIAM Journal on Control and Optimization. — 2007. — Vol. 45, no. 1. — P. 2277—2298.

40. Marconi, L. Output stabilization via nonlinear Luenberger observers [Текст] / L. Marconi, L. Praly, A. Isidori // SIAM Journal on Control and Optimization. — 2007. — Vol. 45, no. 1. — P. 2277—2298.

41. Bin, M. Output regulation by postprocessing internal models for a class [Текст] / M. Bin, L. Marconi // International Journal of Robust and Nonlinear Control. — 2018. — Vol. 73, no. 8. — P. 1327—1336.

42. Marconi, L. Uniform practical nonlinear output regulation [Текст] / L. Marconi, L. Praly // IEEE Trans. Autom. Control. — 2008. — Vol. 53, no. 5. — P. 1184—1202.

43. Approximate regulation for nonlinear systems in presence of periodic disturbances [Текст]. — Proceedings 54th IEEE Conference on Decision, Control. Astolfi, D., Praly, L., Marconi, L., 2015.

44. Isidori, A. Robust design of nonlinear internal models without adaptation [Текст] / A. Isidori, L. Marconi, L. Praly // Automatica. — 2012. — Vol. 48, no. 1. — P. 2409—2419.

45. Freidovich, L. B. Preformance recovery of feedbacklinearization-based designs [Текст] / L. B. Freidovich, H. K. Khalil // IEEE Transactions on Automation and Control. — 2008. — Vol. 53, no. 10. — P. 2324—2334.

46. Serrani, A. Semiglobal nonlinear output regulation with adaptive internal model [Текст] / A. Serrani, A. Isidori, L. Marconi // IEEE Transactions on Automation and Control. — 2001. — Vol. 46, no. 8. — P. 1178—1194.

47. Priscoli, F. D. A new approach to adaptive nonlinear regulation [Текст] / F. D. Priscoli, L. Marconi, A. Isidori // SIAM J. Control Optim., — 2006. — Vol. 45, no. 3. — P. 829—855.

48. Bin, M. Adaptive output regulation for linear systems via discrete-time identifiers [Текст] / M. Bin, L. Marconi, A. R. Teel // Automatica. — 2019. — Vol. 105. — P. 422—432.

49. Forte, F. Robust nonlinear regulation: Continuous-time internal models and hybrid identifiers [Текст] / F. Forte, L. Marconi, A. R. Teel // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2017. — Vol. 62, no. 7. — P. 3136—3151.

50. Bin, M. "Class-Type" Identification-Based Internal Models in Multivariable Nonlinear Output Regulation [Текст] / M. Bin, L. Marconi // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2020. — Vol. 65, no. 10. — P. 4169—4376.

51. Robust output regulation for invertible nonlinear MIMO systems [Текст] / L. Wang [et al.] // Automatica. — 2017. — Vol. 82. — P. 278—286.

Тексты публикаций

782 A. Isidori, A. A. Pyrkin, I. A. Bzhikhatlov, V. S. Gromov

UDC 681.5

DOI: 10.17586/0021-3454-2021-64-9-782-788

NONLINEAR EXOGENEOUS SYSTEM AND INTERNAL MODELS DESIGN

A. Isidori1, A. A. Pyrkin2, I. A. Bzhikhatlov2, V. S. Gromov2

1 University of Rome „La Sapienza ", 00185, Rome, Italy 1lTMO University, 197101, St. Petersburg, Russia Email: [e-mail]

The problem of output regulation of plants affected by nonlinear exogenous systems is addressed. The new approach of designing the controller having an internal model, which repeats the dynamics of the disturbance is presented. Two realizable controllers which using measurements of the output and guarantees the achievement of a control goal are proposed: the one for known parameters and the adaptive one.

Keywords: control systems, nonlinear systems, adaptive systems, internal model

Introduction. In this paper we present the new approaches of internal model design for output regulation problems with nonlinear exogenous systems. The problem of output regulation for nonlinear systems has been studied in several works; the monograph [1] shows a background. The main idea is to design the controller having an internal model which repeats the dynamics of the disturbance [2, 3] or tends to repeat with adaptive tuning of critical parameters of exogeneous system [4]. While for such systems the theory of linear regulation is well established [3], a fully satisfactory nonlinear version does not seem to have been proposed yet [5—8]. In the recent paper [9], we have shown how a result of this kind can be achieved in the case of linear systems. In the paper [10] an extension of such results to the case of nonlinear systems affine in the control input is presented.

Problem formulation. Consider the simple plant

y = u + 8(w) (1)

driven by the control u and the disturbance 8, which is the output of nonlinear exogeneous system

w = s (w,e) (2)

with the state w e!2, nonzero initial conditions w(0) and some constant, possibly unknown, parameter e< 0, and the following view of the functions s and 8 :

si (w)= W2, s2(w) = ew3, 8(w)= w

or

8 = e83. (3)

The goal is to design the control u in order to provide asymptotic convergence of the output y to 0:

lim y(t) = 0. (4)

Internal model design. The motivation of this study is to find new approaches of internal models design for output regulation problems with nonlinear exogenous systems.

The main idea is to design the controller having an internal model, which repeats the dynamics ofthe disturbance without trying to find functions o( w) and y(o), which satisfies

—y-!-s (w) = iWw) + GWw), (5)

dw

w) = Y(°(w)), (6)

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2021. Т. 64, № 9

where a pair (F,G) is in canonical controllable form with Hurwitz F, the function w) is a steady state of the control input ensuring the identity

0 = y(w) + 8(w). (7)

However, it is quite difficult to find analytically appropriate functions S(w) and y(a). Let the dynamics of the system be augmented by a chain of two integrators

u = 1^ ill = ' ' 2 = v, in which v is a new input, to be designed. Define

%1 = y , %2 = ' + 5, %3 ='2 + 5 ,

so that

=^2, S2 =^3, S3 = v + 5 = v + 05

i.e.

£ = F ^ + G

v+es3

in which F, G are in "prime form", i.e.

F =

( 0 10 ^ 0 0 1

v0 0 0z

G =

( 0 ^

v1,

v = -e sat

The nominal feedback-linearizing control

Vnom ="953 + K %

yields a system

% = ( F + GK)%, in which K can be chosen so that (F + GK) is Hurwitz.

Such control is not implementable. Instead, observing that 5 = %2 we pick

(%2-'1 )3 + K %,

in which sat (•) is a saturation function and % is generated by the observer

%l =%2 + Ka2 (y-%1) ,

%2 =%3 + K2«1 (y-%1), (8)

% 3 =k30) (y -%1)

with some positive design parameters a0,a1,a2. This control is implementable, because ' is available for feedback.

As result, we get

% = ( F + GK )% + GA1,

in which

Ai = K (%-%) + 0 Define the errors as usual:

53 - sat

((-r|1 )3

ei = k

and compute its derivatives

= -K«3ej + Ke2, e?2 = "Ki^ei + Ke3 Rewrite (10) in matrix form

e = KAe + B [ K ^ + A1 ]

where

e2 = k(^2 - ^2) , e3 = ^3-43

<?3 = -Ka,e, + K£ + A,.

(9) (10)

-a2 1 0 > ( 01

A = -ai 0 1 , b = 0

v-a0 0 0 y V 1 y

Let us pick numbers a0, a1, a2 such that the matrix A is Hurwitz. Note that £2 - r^ = - — + £ 2 - r^ = -— + 5. Hence,

A, =-K

V2 0 0 ^ ( e1 ' -

0 k-1 0 e2 +0 ô3 -sat

0 0 1 V e3 y -

that we rewrite as

A, (e, ô)= M (k) e + 0 r (e, ô) .

If k>1, then M (k) = K.

If initial conditions for the exogenous variable w lie in a compact (invariant) set (which is a reasonable assumption), we have |ô (t )| < ô0 for some ô0. Thus, if the threshold of the saturation is

larger than ô0, we have r (0, ô) =0. Finally, since ô is bounded and the saturation function is bounded, we have that also r (e, ô) is bounded. In other words, r (e, ô) is a bounded function that vanishes at e = 0. We can take advantage of such properties in the subsequent analysis.

(0

The full dynamics of the closed-loop system may be described with the state vector x =

which satisfies the following equation:

(£ 1 ((F + GK )£ + GM (k) e + G0r(e, ô)1

v e y

V e y

KAe + B [ K £ + M (K)e + 0r (e, 5)] where both (F + GK) and A are Hurwitz.

From this point on the analysis can proceed using the small-gain theorem. In fact, in the lower equation, the term r (e, 5), which is bounded function vanishing at e = 0, can be bounded as

|r (e,5)| < Ne, for some N. Hence, by increasing k one can arbitrarily lower the "gain" between the "input" £ and the state e. The upper equation, in turn, viewed as a system with state £ and input e , is an input-to-state stable system, with a fixed gain. From this, by standard arguments it is deduced that if k is large enough, the equilibrium point (£, e) = (0,0) is globally stable.

Remark. The problem could have been addressed also with the approach of [8], but we are now proposing a different approach, because we think that this is more convenient to address the case of uncertain 0 (the approach of the paper [8] presumed accurate knowledge of the exogenous system).

Adaptive output regulation. In this section we will show the realizable adaptive controller which using measurements of the output y only allows to achieve the goal (4) without knowledge of 0. Consider the control law with an adaptive internal model

u =

l = 1 T = ^

»2- ii )3 + KL

v = -0sat

(12)

0 = pysat

((-Tl )3

where 0 is a positive number, |2,are the states of the observer of the form (8). The simulation results of such adaptive feedback are given in the next section. Simulations. In this section we show the results of simulation for plant (1)—(3) to achieve the goal (4). The control law with an adaptive internal model (12) was used to stabilize the plant with an external disturbance. Fig. 1 shows transients for the output controller with known 0 and different as well as disturbance signal. Fig. 2 shows transients for the output controller with known and

K

different 0; this parameter affects exogenous signal as shown. Fig. 3 and 4 show the output controller and estimation of 0 under different values of parameters. The robustness of proposed control law shown under different conditions.

y(t) 3

2,5 2

1,5 1

0,5 0 -0,5 -1

v(0

15

10

K= 10

K= 12

K= 20

S(t)

0,5

-0,5

II

10 20

30 40 t, s

0 100 200 300 400 t, s

0 = -1

— 0 = -2

0 = -5

Fig. 1 S(t)

1

0,5

-0,5

0 = -1

0 = -2

0 = -5

10 20 30 40

t, s

Fig. 2

10

20 30

40

t, s

0

0

0

5

0

0

0

y(t) 0,05

U = 104

U = 105

U = 106

-0,05

100 200 300 400 t, s

Fig. 3

0(t) 10

5

0

-10 -15 -20

U = 105 = 10 U = 10

T

100 200 300 400 t, s

y(t) 0,05

0 = -1

0 = -2

0= -5

0(t) 4

M

-0,05

0 = -1

0 = -2

0 = -5

100 200 300

400 t, s

Fig. 4

100 200 300 400 t, s

Conclusion. In this paper the new approach of internal model design for output regulation problem with nonlinear exogenous systems is studied. The main idea is to design the controller having an internal model, which repeats the dynamics of the disturbance. The realizable controller which using measurements of the output and guarantees the achievement of a control goal is proposed. Also, the realizable adaptive controller which using measurements of the output without knowledge of disturbance parameters provided as well. The work is in progress to show how some issues left open in the current presentation can be addressed.

references

1. Huang J. Nonlinear Output Regulation: Theory and Applications. SIAM, Philadelphia, 2004.

2. Francis B., Sebakhy O.A., Wonham W.M. Appl. Math. Optimiz., 1974, no. 1, pp. 64-86.

3. Isidori A. Lectures in feedback design for multivariable systems, Basel, Switzerland, Springer International Publishing, 2017.

4. Bobtsov A.A., Kolyubin S.A., Kremlev A.S., Pyrkin A.A. Automation and Remote Control, 2012, no. 8(73), pp. 1327-1336.

5. Singh S.N. IEEE Trans. on Autom. Control, 1981, no. 26, pp. 595-598.

6. Marconi L., Praly L., Isidori A. SIAM Journal on Control and Optimization, 2007, no. 6(45), pp. 2277-2298.

7. Bin M., Bernard P., Marconi L. IEEE Trans. on Autom. Control, 2020. DOI: 10.1109/TAC.2020.3020563.

8. Byrnes C.I., Isidori A. IEEE Trans. on Autom. Control, 2004, no. 12(49), pp. 2244-2247.

0

0

0

0

0

0

9. Pyrkin A., Isidori A. Proc. 20th IFAC World Congress, Toulouse, IFAC-PapersOnLine, 2017, no. 1(50), pp. 5498-5503.

10. Pyrkin A., Isidori A. 2017IEEE 56th Annual Conference on Decision and Control (CDC), 2017, pp. 873-878.

Department of Computer,

Alberto Isidori

Anton A. Pyrkin Islam A. Bzhikhatlov Vladislav S. Gromov

Data on authors

Honorary Professor; University of Rome „La Sapienza" Control and Management Engineering „A. Ruberti"; E-mail: [e-mail]

Dr. Sci., Professor; ITMO University, Faculty of Control Systems and Robotics; Dean of the Faculty; E-mail: [e-mail]

Post-Graduate Student; ITMO University, Faculty of Control Systems and Robotics; E-mail: [e-mail]

PhD; ITMO University, Faculty of Control Systems and Robotics; Associate Professor; E-mail: [e-mail]

Received 30.06.2021 r.

For citation: Isidori A., Pyrkin A. A., Bzhikhatlov I. A., Gromov V. S. Nonlinear exogeneous system and internal model design. Journal of Instrument Engineering. 2021. Vol. 64, N 9. P. 782—788.

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭКЗОГЕННЫЕ СИСТЕМЫ И ПОСТРОЕНИЕ ВНУТРЕННЕЙ МОДЕЛИ

А. Исидори1, А. А. Пыркин2, И. А. Бжихатлов2, В. С. Громов2

1 Римский университет "Сапиенца", 00185, Рим, Италия 2Университет ИТМО, 197101, Санкт-Петербург, Россия E-mail: [e-mail]

Рассматривается задача управления по выходу объектами, подверженных воздействиям нелинейных экзогенных систем. Представлен новый подход построения регулятора, содержащего внутреннюю модель, который повторяет динамику внешних воздействий. Предложено два реалии-зуемых регулятора, использующих измерения выхода объекта и гарантирующих достижимость цели управления: один для известных параметров и один адаптивный регулятор.

Ключевые слова: системы управления, нелинейные системы, адаптивные системы, внутренняя модель

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Huang J. Nonlinear Output Regulation: Theory and Applications. Philadephia: SIAM, 2004.

2. Francis B, Sebakhy O. A., Wonham W. M., Synthesis of multivariable regulators: the internal model principle // Appl. Math. Optimiz. 1974. N 1, P. 64—86.

3. Isidori A. Lectures in feedback design for multivariable systems. Basel, Switzerland : Springer Intern. Publ. 2017.

4. Бобцов А. А., Колюбин С. А., Кремлев А. С., Пыркин А. А., Итеративный алгоритм адаптивного управления по выходу с полной компенсацией неизвестного синусоидального возмущения // Автоматика и телемеханика. 2012. № 8. С. 64-75.

5. Singh S. N. A modified algorithm for invertibility in nonlinear systems // IEEE Trans. on Autom. Control. 1981. N 26. P. 595—598.

6. Marconi L., Praly L., Isidori A. Output stabilization via nonlinear Luenberger observers // SIAM Journal on Control and Optimization. 2007. N 45(6). P. 2277—2298.

7. Bin M., Bernard P., Marconi L. Approximate nonlinear regulation via identification-based adaptive internal models // IEEE Trans. on Automatic Control, 2020. DOI: 10.1109/TAC.2020.3020563.

8. Byrnes C. I., Isidori A. Nonlinear internal models for output regulation // IEEE Trans. on Automatic Control. 2004. N 49(12). P. 2244—2247.

9. Pyrkin A., Isidori A. Adaptive output regulation of invertible MIMO systems // Proc. of the 20th IFAC World Congress, Toulouse, France; IFAC-PapersOnLine. 2017. N 50(1). P. 5498-5503.

10. Pyrkin A., Isidori A. Output regulation for robustly minimum-phase multivariable nonlinear systems // IEEE 56th Annual Conf. on Decision and Control (CDC). 2017. P. 873—878,

Сведения об авторах

Альберто Исидори — почетный профессор; Римский университет "Сапиенца",

факультет информационной инженерии, информатики и статистики; E-mail: [e-mail]

Антон Александрович Пыркин — д-р техн. наук, профессор; Университет ИТМО, факультет систем управления и робототехники; декан факультета; E-mail: [e-mail] Ислам Асланович Бжихатлов — аспирант; Университет ИТМО, факультет систем управления и робототехники; ассистент; E-mail: [e-mail] Владислав Сергеевич Громов — канд. техн. наук; Университет ИТМО, факультет систем

управления и робототехники; доцент; E-mail: [e-mail]

For citation: Исидори А., Пыркин А. А., Бжихатлов И. А., Громов В. С. Нелинейные экзогенные системы и построение внутренней модели // Изв. вузов. Приборостроение. 2021. Т. 64, № 9. С. 782—788.

DOI: 10.17586/0021-3454-2021-64-9-782-788

УДК 681.51

DOI: 10.17586/0021-3454-2020-63-3-278-285

ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ПЛАТФОРМЫ ДВУНОГОГО ШАГАЮЩЕГО РОБОТА

И. А. Бжихатлов, B. C. Громов

Университет ИТМО, 197101, Санкт-Петербург, Россия E-mail: [e-mail]

Представлен анализ существующих подходов к планированию траектории движения двуногого шагающего робота, разработана модель робота с платформой, повторяющая кинематическую структуру нижних конечностей человека с аналогичными массогабаритными характеристиками. Создана имитационная модель в программе MatLab, реализующая алгоритм устойчивого движения двуногого шагающего робота. В ходе исследования реализовано решение обратной задачи кинематики численным методом. С использованием алгоритма управления и имитационной модели исследованы колебания платформы шагающего робота по вертикальной оси как наиболее критичной в силу действия гравитации.

Ключевые слова: роботы, двуногие шагающие роботы, симуляционное моделирование, алгоритмы управления

Введение. На протяжении многих десятилетий учеными предпринимаются попытки создания механизмов, имитирующих походку человека. При этом явно прослеживаются два направления исследований. Первое связано с созданием двуногих шагающих роботов (ДШР), где упор делается на более сложную механику, простую систему управления и электронную схему, второе направление предполагает наличие более сложной системы управления и электроники.

Несмотря на большое количество трудов, можно отметить наиболее значимые результаты в создании ДШР. В 2003 г. был разработан регулятор для ДШР [1], использующий опережающее управление и точку нулевого момента (ТНМ). Принцип ТНМ, предложенный Вукаб-ратовичем и его коллегами [2] еще в 1970 г., используется во многих ДШР благодаря своей простоте, однако данный принцип эффективен только при движении робота по ровной поверхности. В последующем японскими учеными был разработан критерий сохранения равновесия, который имеет преимущество перед принципом ТНМ и может использоваться при движении робота по неровной поверхности — этот принцип получил название „конус контактных моментов" [3].

Были разработаны и другие более сложные и специфические методы обеспечения устойчивости ДШР, но они либо являются дополнением к ТНМ, либо их применение ограничивается высокими вычислительными затратами, что не позволяет рассчитывать траекторию движения в реальном времени. Следует отметить еще один способ расчета траекторий движения ДШР, при котором используются данные, полученные при захвате движения человека при ходьбе [4]. Однако алгоритмы на основе захвата движения человека эффективны только в случае концентрации основной массы робота в верхней части, что бывает крайне редко. Тем не менее путем параметризации данные захвата движения человека могут быть адаптированы для структуры робота.

Создание физических моделей для проверки методов обеспечения устойчивости, кроме всего прочего, требует больших финансовых затрат. А вследствие того что локомоционные роботы так и не нашли практического применения в промышленности, финансовые вложения в развитие ДШР существенно ограничены. Вышеуказанными фактами также объясняется то,

что в научной среде получило большое распространение использование имитационных моделей, точность которых позволяет проводить оценку различных алгоритмов управления.

Поскольку шагающий робот имеет несколько степеней свободы, таким роботом крайне сложно управлять, так как траекторий движения может быть огромное количество и потерять равновесие очень легко.

Постановка задачи. Цель настоящей статьи — исследование колебаний платформы ДШР, на которую может монтироваться дополнительное оборудование. Таким образом, плавность движения платформы является важной характеристикой для практического применения ДШР с установленным дополнительным оборудованием. Для достижения указанной цели поставлены задачи разработки модели ДШР с платформой и реализация алгоритма, обеспечивающего устойчивое движение ДШР. Кроме того, для определения экспериментальных траекторий движения ДШР необходимо разработать его имитационную модель и провести сравнительный анализ колебаний центра масс тела (ЦМТ), в частности таза, человека при ходьбе и колебаний платформы ДШР по вертикальной оси. Колебания по вертикальной оси представляют наибольший интерес из-за действия гравитации на динамику движения шагающего робота.

Кинематика двуногого шагающего робота. Для построения ДШР были использованы массогабаритные характеристики тела человека [5, 6], на основе которых разработана кинематическая модель, состоящая из 12 звеньев и имеющая 10 степеней свободы (рис. 1).

В отличие от классического подхода к составлению модели ДШР [7], в данной модели полностью исключена верхняя часть, таким образом, распределение массы робота существенно отличается от распределения массы тела человека. Выбор такой кинематической структуры и массогабаритных параметров обусловлен тем, что для создания современных ДШР, как правило, используется большое количество электроприводов, имеющих существенные массогабаритные показатели. Наряду с этим, необходимо отметить крайне низкую энергоэффективность подобных ДШР по сравнению с пассивными динамически устойчивыми шагающими механизмами [8].

Для описания кинематики механизма ДШР применен математический аппарат линейной алгебры [9]. Был реализован алгоритм решения обратной задачи кинематики каждой ноги, так как устойчивость и способность движения ДШР зависят от расположения стоп и сил, приложенных к опорной поверхности. Таким образом, при выборе расположения стоп необходимо провести расчет углов поворота шарниров для достижения желаемого движения звеньев всего механизма, что соответствует обратной задаче кинематики.

Основной характеристикой движения ДШР является траектория центра масс (ЦМ). Задача управления формулируется следующим образом: для заданной траектории движения центра масс необходимо определить траекторию движения стоп и моменты для приводов на звеньях педипулятора, из чего следует, что требуется решить три основные подзадачи:

Рис. 1

планирование траектории движения стопы, решение обратной задачи кинематики и определение необходимых моментов для обеспечения расчетных траекторий.

Планирование траектории движения стопы. Планирование траектории движения стоп позволит обеспечивать устойчивое движение ДШР. Для движения робота вперед достаточно выполнения нескольких простых операций: движение стоп вперед и назад с отставанием одной стопы на половину периода шага, при этом стопы попеременно должны отрываться от поверхности, по которой движется робот. Но чтобы движение робота оставалось устойчивым, необходимо обеспечить выполнение ряда условий:

— переносимая нога перпендикулярна земле во фронтальной плоскости;

— переносимая стопа параллельна поверхности, по которой движется ДШР;

— высота центра масс постоянна;

— траектория центра масс переносимой стопы в сагиттальной плоскости описывается формулами

где х, г — координаты центра переносимой стопы, T — период шага, 5" — длина шага, h — высота подъема переносимой стопы.

Для обеспечения устойчивого движения робота применяются различные методики, самыми распространенными являются проекция центра масс и точка нулевого момента.

Первый принцип заключается в том, чтобы обеспечивать такое движение робота, при котором проекция ЦМ лежит в площади опоры ступней робота [10]. Следует отметить, что этот метод накладывает ограничение на скорость ходьбы: при увеличении скорости устойчивость не обеспечивается.

Методы планирования движения на основе принципа ТНМ являются более универсальными и именно этот критерий наиболее часто используется.

В данном случае фигурируют два основных параметра — центр масс и точка нулевого момента. Управляя положением этих параметров, можно реализовать управление роботом таким образом, чтобы его движение было устойчивым. Первый параметр при этом является задаваемым и выражает желаемое направление движения робота, а второй следует рассчитать.

Для расчета необходимой траектории движения используются различные модели. Наиболее широкое распространение получили простые модели, основанные, как правило, на принципе перевернутого маятника. Простые модели имеют крайне важное преимущество: благодаря вычислительной эффективности они могут использоваться для расчета траектории в режиме реального времени. Однако все упрощенные модели имеют один недостаток — погрешности в рассчитанных значениях координат точек нулевого момента, для уменьшения влияния этих погрешностей используются как математические методы [11], так и классический метод с управлением по обратной связи.

Самой широко применяемой является модель линейного перевернутого маятника с виртуальной высотой [9], позволяющая рассчитать такие траектории, при которых движение робота остается устойчивым.

В настоящей работе был использован метод построения траектории движения ДШР с помощью простой модели, не учитывающей его особенности, и с использованием модели, приведенной в [10].

На вход разрабатываемой модели подаются параметры робота и координаты положения ЦМ, а на выходе рассчитываются координаты рх, ру ТНМ, куда и необходимо переставить стопу робота во время следующего шага. Выражения, связывающие ускорение ЦМ робота и координаты ТНМ относительно центра масс, имеют следующий вид:

X = М- (х - рх ), у = М (у - ру ).

Данные формулы выражают еще более простую модель, чем приведенная в работе [9].

Следует также отметить, что в подобных простых моделях имеются и некоторые допущения: движение робота осуществляется с постоянной высотой ЦМ; угловой момент вокруг ЦМ принимается настолько малым, что им можно пренебречь; в результате получается, что центр масс и точка установки ноги образуют некий перевернутый маятник, модель которого показана на рис. 2.

Важная особенность использования данной модели — необходимость существования ТНМ, так как вследствие ограничений, накладываемых кинематикой робота, расчетная ТНМ может быть не достижима.

Структура системы управления. Для реализации управления ДШР необходимо разработать контроллер, который будет выполнять все функции системы управления (СУ). Обобщенная структурная схема СУ ДШР представлена на рис. 3.

Рис. 3

Контроллер в данном случае состоит из следующих компонентов: планировщик шага, планировщик изменения углов поворота шарниров, контроллер устойчивости и контроллер положения шарниров.

Планировщик шага решает задачу определения желаемого положения стоп во время ходьбы при заданной длине шага и высоте центра масс.

Планировщик изменения углов поворота шарниров решает задачу расчета координат ТНМ и положения ЦМ, а также решает обратную задачу кинематики рассчитанных положений стоп.

Контроллер устойчивости решает задачу компенсации малых возмущений с использованием сигналов, поступающих с сенсоров.

Контроллер положения решает задачу удержания угла поворота шарниров для каждого момента времени.

На вход контроллера поступает информация о желаемой траектории движения ЦМ робота как линейной функции от времени. Для расчета траектории движения стоп используется упрощенная версия линейной модели перевернутого маятника (см. рис. 2), так как разрабатываемый контроллер отвечает за движение робота в одном направлении.

Поскольку реализуется движение робота по ровной поверхности, было принято решение отказаться от контроллера устойчивости.

Движение ног робота рассматривалось в трех плоскостях, что приводит к усложнению обратной задачи кинематики, которую необходимо решать для каждого момента времени. Во избежание множественности решения обратной задачи кинематики в работе использовался численный метод Ньютона — Рафсона [9].

Имитационная модель. Для разработки имитационной модели был выбран программный пакет MatLab. При создании модели ДШР моделирование контакта является одной из ключевых задач, для решения которой в программе MatLab имеется специальная библиотека Simscape Multibody Contact Forces Library [12]. В данной библиотеке для различных типов поверхностей доступны несколько режимов моделирования контакта: на основе импульса, действующих сил или ограничений на движение (без учета динамики); кроме того, моделирование контакта зависит также от типа поверхностей. В библиотеке доступны такие модели контакта, как „плоскость—поверхность" и „сфера—плоскость". Для контакта стопы с поверхностью выбрана модель контакта „сфера—плоскость". Моделирование контакта выполнялось для 4 точек, расположенных на максимальном расстоянии друг от друга на контактной поверхности стопы.

Имитационная модель ДШР (рис. 4) является трехмерной и разработана с использованием элементов пакета „Simscape Multibody" как несколько абсолютно жестких тел, связанных посредством шарниров, накладывающих кинематические ограничения на твердые тела.

Рис. 4

Анализ экспериментальных данных. С использованием разработанной модели была проведена серия экспериментов с имитацией движения ДШР по прямой линии; в результате получены траектории движения ЦМ, усредненное значение приведено на рис. 5, где по ординате отложена координата ЦМ по вертикальной оси.

Для сравнительного анализа полученных значений были использованы данные захвата движения человека [13], которые характеризуются двумя особенностями: 1) допускается движение человека в различных направлениях; 2) движение тела описывается в относительных

системах координат, связанных с движением одних частей тела относительно других [14]. В этой связи был разработан алгоритм пересчета данных захвата движения таким образом, чтобы для каждого момента времени направление движения человека совпадало с одной заданной осью, а начало координат совпадало с ЦМТ человека. Далее, с помощью алгоритма данные переводились в глобальную ортогональную систему координат, связанную с ЦМТ человека.

0 4 8 12 16 Ь, с Рис. 5

Полученные значения относительного изменения координат ЦМТ человека при ходьбе приведены на рис. 6, где по оси ординат отложено количество захватов движения (Ы), по оси абсцисс — амплитуда колебаний ЦМТ (А).

17,5 15,0 12,5 10,0

I

0 4 5 6 7 Л, см

Рис. 6

Поскольку на изменение значений амплитуды А влияют такие параметры, как длина шага, период цикла ходьбы, длина ног и т.д., а результаты только одного эксперимента могут быть не репрезантивны, были выбраны 56 образцов захвата движения для 14 человек. График с распределением максимальной амплитуды колебаний для принятой выборки представлен на рис. 7, где п — номер кадра (в масштабе 120 кадров/с).

0 50 100 150 200 250 300 п Рис. 7

Как видно из полученных экспериментальных данных, амплитуда колебания платформы ДШР в два раза ниже, чем ЦМТ человека.

Заключение. Разработана и математически описана кинематика двуногого шагающего робота. Реализован алгоритм планирования и расчета траектории движения ДШР, включая решение обратной задачи кинематики. Построена имитационная модель ДШР в математической

программе MatLab. С использованием разработанной модели проведена серия имитаций движения ДШР с геометрическими параметрами человека и произведен сравнительный анализ амплитуды колебания платформы ДШР и ЦМТ человека. Полученные результаты свидетельствуют об устойчивости алгоритма управления и эффективности имитационной модели, что позволяет обеспечивать устойчивое движение ДШР с амплитудой колебания платформы, в 2 раза меньшей амплитуды колебания ЦМТ человека.

список литературы

1. Plagenhoef S., Evans F. G., Abdelnour T. Anatomical data for analyzing human motion // Research Quarterly for Exercise and Sport [Электронный ресурс]: <https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/ 02701367.1983.10605290>, 17.05.2019.

2. Vukobratovic M., Stepanenko J. On the stability of anthropomorphic systems // Mathematical Biosciences. 1972. Vol. 15(1-2). P. 1—37.

3. Hirukawa H., Hattori S., Harada K., Kajita S., Kaneko K., Kanehiro F., Fujiwara K., Morisawa M. A universal stability criterion of the foot contact of legged robots — Adios ZMP // Proc. IEEE Intern. Conf. on Robotics and Automation, Orlando, FL, USA; 15 May 2006.

4. Anirvan D., Yoshihiko N. Making feasible walking motion of humanoid robots from human motion capture data // Proc. IEEE Intern. Conf. on Robotics and Automation. 1999. Vol. 2. P. 1044—1049.

5. Массогабаритные характеристики частей тела человека [Электронный ресурс]: <https://www.semanticscholar.org/paper/Development-of-orthosis-design-for-Spastic-Cerebral-Kuswanto-Ni'amah/ c19f526aa14c658b64e10906ac704a42f6e3785a>, 07.06.2019.

6. Массогабаритные характеристики частей тела человека, полученные с использованием оптических систем измерения [Электронный ресурс]: <http://www.pupin.rs/RnDProfile/research-topic12.html>, 12.06.2019.

7. Kajita Sh., Kanehiro F., Kaneko K., Fujiwara K., Harada K., Yokoi K., Hirukawa H. Biped walking pattern generation by using preview control of zero-moment point // Proc. IEEE Intern. Conf. on Robotics and Automation, Taipei, Taiwan; 14—16 Sept., 2003.

8. McGeer T. Passive dynamic walking // Intern. Journal of Robotics Research. 1990. Vol. 9, N 3. P. 62—82.

9. Lynch K. M., ParkF. C. Modern Robotics — Mechanics, Planning, and Control. Cambridge Univ. Press, 2017.

10. Taesin Ha, Chong-Ho Choi. An effective trajectory generation method for bipedal walking // Robotics and Autonomous Systems. 2007. N 55. P. 795—810.

11. Khusainov R., Klimchik A., MagidE. Swing leg trajectory optimization for a humanoid robot locomotion // Proc. of the Intern. Conf. on Informatics in Control, Automation and Robotics (ICINCO), Lisbon, Portugal, 29—31 July, 2016.

12. Simscape Multibody Contact Forces Library [Электронный ресурс]: <https://www.mathworks.com/matlabcentral/ fileexchange/64001-matlab-and-simulink-robotics-arena-introduction-to-contact-modeling>, 27.05.2019.

13. Carnegie Mellon University Motion Capture Database, [Электронный ресурс]: <http://mocap.cs.cmu.edu>, 25.07.2019.

14. Acclaim ASF/AMC [Электронный ресурс]: <http://research.cs.wisc.edu/graphics/Courses/cs-838-1999/Jeff/ASF-AMC.html>, 10.07.2019.

Сведения об авторах

Ислам Асланович Бжихатлов — Университет ИТМО, факультет систем управления и робототехники;

ассистент; E-mail: [e-mail] Владислав Сергеевич Громов — канд. техн. наук; Университет ИТМО, факультет систем управления

и робототехники; E-mail: [e-mail]

Поступила в редакцию 31.01.2020 г.

Ссылка для цитирования: Бжихатлов И. А., Громов B. C. Исследование колебаний платформы двуногого шагающего робота // Изв. вузов. Приборостроение. 2020. Т. 63, № 3. С. 278—285.

RESEARCH OF BIPED ROBOT PLATFORM OSCILLATION

I. A. Bzhikhatlov, V. S. Gromov

ITMO University, 197101, St. Petersburg, Russia E-mail: [e-mail]

The existing approaches to planning of biped robot motion are analyzes, the advantages and disadvantages of various approaches are considered. A model of biped platform is developed. The model repeats the kinematic structure of the lower human limbs with similar mass-dimensional characteristics and the platform with which the pedipulators are connected via hinges. A simulation model is created in the MATLAB program, which implements the algorithm for the sustainable control of biped robot. During the work, the inverse kinematics problem was solved by the numerical method. Using a control algorithm and a simulation model, the vibrations of the DSHR platform along the vertical axis, as the most critical due to the action of gravity, are studied.

Keywords: robots, two-legged walking robots, simulation of biped robot, control algorithms

1. Plagenhoef S., Evans F.G., Abdelnour T. Research Quarterly for Exercise and Sport, https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/02701367.1983.10605290.

2. Vukobratovic M., Stepanenko J. Mathematical Biosciences, 1972, no. 15(1-2), pp. 1-37.

3. Hirukawa H., Hattori S., Harada K., Kajita S., Kaneko K., Kanehiro F., Fujiwara K., Morisawa M. Proc. IEEE International Conference on Robotics and Automation, Orlando, FL, May 15, 2006.

4. Anirvan D., Yoshihiko N. Proc. IEEE International Conference on Robotics and Automation, 1999, vol. 2, May, pp. 1044-1049.

5. https://www.semanticscholar.org/paper/Development-of-orthosis-design-for-Spastic-Cerebral-Kuswanto-Ni'amah/c19f526aa14c658b64e10906ac704a42f6e3785a.

6. http://www.pupin.rs/RnDProfile/research-topic12.html.

7. Kajita Sh., Kanehiro F., Kaneko K., Fujiwara K., Harada K., Yokoi K., Hirukawa H. Proc. IEEE International Conference on Robotics and Automation, Taipei, Taiwan, September 14-16, 2003.

8. McGeer T. Int. J. Robot. Res., 1990, no. 3(9), pp. 62-82.

9. Lynch K.M., Park F.C. Modern Robotics - Mechanics, Planning, and Control, Cambridge University Press, May 2017, ISBN 9781107156302.

10. Taesin Ha, Chong-Ho Choi. Robotics and Autonomous Systems, 2007, no. 55, pp. 795-810.

11. Khusainov R., Klimchik A., Magid E. Proc. International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics (ICINCO), Lisbon, Portugal, 29—31 July, 2016.

12. Simscape Multibody Contact Forces Library, https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/ 64001-matlab-and-simulink-robotics-arena-introduction-to-contact-modeling.

13. Carnegie Mellon University Motion Capture Database, http://mocap.cs.cmu.edu.

14. Acclaim ASF/AMC, http://research.cs.wisc.edu/graphics/Courses/cs-838-1999/Jeff/ASF-AMC.html.

For citation: Bzhikhatlov I. A., Gromov V. S. Research of biped robot platform oscillation. Journal of Instrument Engineering. 2020. Vol. 63, N 3. P. 278—285 (in Russian).

DOI: 10.17586/0021-3454-2020-63-3-278-285

REFERENCES

Islam A. Bzhikhatlov

Vladislav S. Gromov

Data on authors

ITMO University, Faculty of Control Systems and Robotics; Assistant; E-mail: [e-mail]

PhD; ITMO University, Faculty of Control Systems and Robotics; E-mail: [e-mail]

2020 7th International Conference on Control, Decision and

Information Technologies (CoDIT'20) | Prague, Czech Republic / June 29 - July 2, 2020

Human Gait Model Identification Approach Based on Foot Trajectory

Islam Bzhikhatlov1, Vladislav S. Gromov1 and Anton A. Pyrkin1

Abstract— Identification of gait parameters is one of the most important tasks allowing to estimate stability of walking aid devices usage case and biped robots. The estimation approach has been proposed and used to estimate model parameters using the foot trajectory. This method uses only foot coordinates of captured data and shows fast estimation. Efficiency of proposed approach is demonstrated by simulation as well as experimental results in comparison with another well-known method. An approach of the data preprocessing is applied to make motion captured data suitable for estimation. Estimated parameters of the model could be applied to estimation of walking robots stability and human walking in case of aid devices usage.