Алгоритмы решения задач проектирования тонкостенных слоистых конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.03, кандидат технических наук Першин, Евгений Александрович

• Першин, Евгений Александрович
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Першин, Евгений Александрович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТОНКОСТЕННОЙ

КОНСТРУКЦИИ

1.1. Вариационное уравнение равновесия составной конструкции

1.2. Алгоритм формирования матрицы жёсткости отдельного элемента

21

тонкостенной конструкции

панелей

1.3. Определение геометрии координатных поверхностей

1.4. Матрица жёсткости тонкостенного элемента

1.5. Тестирование упругой модели

ГЛАВА 2. РАСЧЁТНЫЙ БЛОК ТРЁХСЛОЙНЫХ И МНОГОСЛОЙНЫХ

ПАНЕЛЕЙ

2.1. Алгоритм формирования расчётного блока трёхслойных и многослойных

панелей

2.2. Верификация методики проектировочного расчёта трёхслойных и

54

многослойных панелей

2.3. Алгоритм формирования расчётного блока устойчивости тонкостенных

слоистых структур

2.4. Методика проектирования многослойных конструкций

2.4. Особенности программного комплекса проектировочного расчёта

84

тонкостенных конструкции

ГЛАВА 3. Расчётно-экспериментальное исследование прочности упругих элементов бесшарнирных винтов вертолёта

3.1. Математическое моделирование поведения упругого элемента торсиона

(

вертолёта

3.2. Оценка прочности упругого элемента торсиона вертолёта

3.3. Математическое моделирование торсиона вертолёта с помощью МКЭ-комплекса ANS YS

3.4. Экспериментальное исследование прочности торсиона винта вертолёта99

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы решения задач проектирования тонкостенных слоистых конструкций»

ВВЕДЕНИЕ.

В настоящее время в ряде областей машиностроения, в том числе, и в авиастроение широкое применение нашли конструкции, имеющие слоистую структуру. Такие структуры позволяют обеспечить элементам конструкции требуемую прочность, жёсткость и устойчивость при минимальном их весе. В одних случаях слоистые материалы состоят из слоёв, обладающих равными или почти равными жесткостными характеристиками (например, полимерные композиционные материалы), а в других случаях — материал может включать в себя существенно разнородные по жёсткости слои (например, «сэндвич»-панели). В последнем случае классические гипотезы Кирхгофа — прямолинейность, не деформируемость и ортогональность нормальных к срединной поверхности волокон при деформировании, позволяющие сводить трёхмерную задачу теории упругости или пластичности, — не дают возможности учесть поперечные сдвиги и нормальные к срединной поверхности деформации, которые будут существенны при деформировании слоистых структур, состоящих из материалов с резко различными

механическими свойствами.

Для упрощений при расчёте оболочек трёхмерную задачу желательно сводить к двумерной. Однако в случае со слоистыми структурами проблема сведения трёхмерной задачи к двумерной проявляется сложнейшим образом. Дело в том, что отдельные слои, входящие в пакет, могут обладать свойствами не только изотропных материалов, но также могут обладать и свойствами как однородной общей анизотропии, так и могут быть реализованы из материала с трудно определяемыми характеристиками конструктивной анизотропии. При этом совместность деформаций между отдельными слоями можно устанавливать только вдоль дискретно расположенных линий.

Первые отечественные публикации по теории слоистых структур относятся к концу 40-х годов прошлого столетия [4, 6, 74, 110]. В этих и многих других

последующих работах в основу построения расчётных соотношений была принята система кинематических гипотез Кирхгофа-Лява для целого пакета. В первое время главное внимание уделялось трёхслойным пластинам, особенно вопросам общей и местной потери устойчивости несущих слоев. Проблемы, методика и результаты расчётов слоистых оболочек весьма подробно освещены в ряде монографий и обзорах С.А. Амбарцумяна [6], Болотина В.В. [17, 18], Фролова В.М. [112] и др. Достаточно полный для этого времени справочный материал по формулам расчёта и результатам экспериментов можно найти в книге А.Я. Александрова, Л.Э. Брюккера, Л.М. Куршина и А.П. Прусакова [7].

В процессе создании теории слоистых (трёхслойных) конструкций появляется необходимость ухода от привычных гипотез Кирхгофа-Лява, не позволяющих учитывать влияние поперечного сдвига, а также обжатия заполнителя.

При построении простых, но в то же время универсальных уравнений для решения трёхслойных конструкций с лёгким заполнителем пришлось прибегнуть к другим кинематическим гипотезам в отношении заполнителя. Одним из основоположников в этом направлении можно считать

А.П. Прусакова [74, 95, 96].

При построении физических моделей многослойных изотропных или анизотропных оболочек, применяются два основных подхода, основанные как на различных кинематических гипотезах для каждого слоя пакета (дискретно-структурные теории), так и на единых гипотезах для всех слоёв, входящих в пакет (непрерывно-структурные теории) [25, 49, 88]. В первом случае порядок разрешающей системы зависит от количества слоёв, что существенно при расчёте многослойных конструкций. Во втором случае порядок системы не зависит от числа слоёв, что открывает в частности возможности, для эффективного применения МКЭ в расчётах многослойных оболочек.

К непрерывно-структурному направлению следует отнести соотношения вариантов теории, основанные на привлечении к пакету слоёв сдвиговой модели СЛ. Тимошенко [107] без учёта поперечного обжатия, а также более

5

сложных законов изменения компонентов перемещений, деформаций и напряжений по толщине пакета.

В становлении дискретно-структурного подхода особую роль сыграли работы Э.И. Григолюка [45, 58]. При построении геометрически нелинейной теории трёхслойных конструкций симметричного строения он предполагал, что для среднего слоя применимы гипотезы Тимошенко, а для внешних слоев справедливы гипотезы Кирхгофа-Лява. При этом прогиб всех слоёв принимался равным. В результате этого получалась нелинейная система 12-ого порядка. Для несимметричных трёхслойных конструкций обобщение методик было дано Х.М. Муштари [69, 79]. Слабым местом этого варианта теории является предположение о том, что вектор поворота нормали у крайних слоёв одинаков и

равен градиенту прогиба.

Для уточнения классической теории слоистых оболочек С.А. Амбарцумяном [И] было предложено задать распределение поперечного сдвига по параболе. Это предположение заменяет гипотезу Кирхгофа-Лява о сохранении нормали к срединной поверхности после деформации, при этом остальные положения гипотезы Кирхгофа-Лява сохраняются. Построение теории на основе на этой кинематической гипотезы несколько сложнее, чем по методике, описанной выше. Однако в существенной мере это проявляется

только в нелинейных задачах.

В одной из своих работ по трёхслойным оболочкам Э.И. Григолюк совместно с П.П. Чулковым [48] предложил новую кинематическую гипотезу, в которой формально учли также обжатие заполнителя через введение соответствующей координаты. Деформация внешних слоёв определялась согласно гипотезам Кирхгофа-Лява, что привело к системе 16-ого порядка. В дальнейшем отказались от учёта обжатия, что позволило в итоге получить систему 12-ого порядка, которую в некоторых случаях считается возможным свести к системе 10-ого порядка, пренебрегая одним краевым эффектом типа Сен-Венана. Однако упрощенные соотношения всё равно описывают один краевой эффект типа Сен-Венана уравнением такой же структуры, что и

б

отброшенное уравнение. При этом недостаточно ясно, какой из этих краевых эффектов имеет большую физическую значимость.

Большую роль в становлении направления имели основополагающие труды Е. Рейснера, А.Я. Александрова, Э.И. Григолюка, JI.M. Куршина, А.П. Прусакова, П.П. Чулкова и других отечественных и зарубежных авторов. Основные направления огромного количества исследований отражены в работах А.Я. Александрова, С.А. Амбарцумяна [6], Г.А. Ван Фо Фы [23],Э.И. Григолюка, ЯМ. Григоренко [53], А.Н. Гузя [54], В.Н. Кобелева [66], Ф.А. Когана, JIM. Куршина, Ю.Н. Новичкова [80], В.Н. Паймушина [83], А.П. Прусакова [95], A.B. Саченкова [103] и многих других авторов [4, 18, 58, 76, 77].

В настоящее время интерес к многослойным конструкциям также не теряется [2, 10, 14, 19, 23, 33, 60, 61, 66, 71, 79, 87, 117, 118, 128]. Без особых затруднений можно построить теорию на основе гипотез Кирхгофа-Лява, и во многих случаях можно получить приемлемые результаты при помощи теорий, предложенных С.А. Амбарцумян. Однако при существенно различных жесткостных характеристиках отдельных слоев всё же требуются исследования по созданию адекватной расчётной модели.

Настоящая работа является попыткой создания численных методик и алгоритмов и комплекса прикладных программ для расчёта и проектирования слоистых конструкций, учитывающих специфические особенности материалов.

Цель работы. Целью настоящего исследования является разработка математических моделей, алгоритмов и программного комплекса для проектировочных расчётов пространственных тонкостенных слоистых конструкций, слои которых обладают существенно разнородными физико-механическими характеристиками: расчёта напряжённо-деформированного состояния при действии статической и динамической нагрузки, расчёт форм и частот собственных колебаний, решение задач устойчивости. Создание пользовательского программного комплекса, в котором будут реализованы предложенные математические модели и алгоритмы.

Достижение поставленной цели требует решения следующих задач:

1. Разработка алгоритма формирования дискретной расчётной модели сложной составной тонкостенной слоистой конструкции, который позволил бы проводить расчёты проектных параметров как всей конструкции в целом, так и её отдельных элементов в составе всей конструкции.

2. Разработка математической модели и алгоритма проектировочного расчёта тонкостенных слоистых конструкций с существенно разнородными слоями под действием статической и динамической нагрузки, и расчёта на

потерю устойчивости.

3. Разработка математической модели и алгоритма поиска собственных форм и частот колебаний тонкостенных слоистых структур, состоящих из материалов с резко различными жесткостными характеристиками.

4. Оптимизировать численные алгоритмы решения задач проектирования большой размерности, разработать дискретные расчётные модели и алгоритмы блочного формирования матрицы жёсткости и решения матричных уравнений статики и динамики тонкостенных слоистых структур.

5. Создание на основе разработанных моделей и алгоритмов комплекса прикладных программ для проектировочных расчётов тонкостенных слоистых конструкций, в том числе с существенно разнородными слоями, автоматизировать подготовку исходных данных и организацию процессов оптимизации проектных параметров. Апробация созданного программного комплекса.

Методы исследования: аналитические методы теории оболочек, численные методы конечных элементов для решения задач прочности, устойчивости, а также задач поиска частот и форм собственных колебаний.

Научная новизна состоит в том, что:

• разработаны эвристические алгоритмы решения задач прочности слоистых оболочечных структур с существенно разнородными слоями, в том числе с учётом потери устойчивости;

• разработан алгоритм расчёта форм и частот собственных колебаний слоистых конструкций со слоями, выполненными из материалов с существенно различными жесткостными характеристиками.

Достоверность основных научных положений обеспечивается строгим математическим обоснованием математических подходов, результаты расчётов проанализированы с точки зрения их физической достоверности, сравнены в некоторых случаях с решениями на основе других методов.

Практическая значимость диссертации состоит в разработке и реализации на ПВЭМ

• алгоритмов, позволяющих проводить прочностные и жесткостные расчёты тонкостенных оболочечных конструкций с существенно разнородными слоями;

• алгоритмов определения форм и частот собственных колебаний.

Проведено внедрение разработанного программного комплекса в

конструкторском бюро.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на Всероссийской научной конференции «Информационные технологии в науке, образовании и производстве» (Казань, КГТУ им. А.Н. Туполева, 2007), на Международной научно-практической конференции «Современные технологии и материалы — ключевое звено в возрождении отечественного авиастроения» (Казань, КГТУ им. А.Н. Туполева, 2010), на VI Международной научно-технической конференции «Проблемы и перспективы развития авиации, наземного транспорта и энергетики» (Казань, КГТУ им. А.Н. Туполева, 2011).

Заключение диссертации по теме «Прочность и тепловые режимы летательных аппаратов», Першин, Евгений Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложены алгоритмы формирования матричных уравнений равновесия сложных составных конструкций, учитывающих конечность перемещений.

2. Разработаны алгоритмы проектировочного расчёта составных тонкостенных слоистых конструкций при действии статической и динамической нагрузки. Предложенные алгоритмы адекватно отражают механику деформирования многослойных панелей с существенно разнородными слоями, и при этом не приводят к значительному увеличению размерности решаемых уравнений.

3. Проведено математическое моделирование поведения тонкостенных слоистых структур в зависимости от соотношения жесткостных характеристик отдельных слоёв. Осуществлены численные исследования статической прочности, устойчивости, частот и форм собственных колебаний элементов таких конструкций. Моделирование показало, что применение гипотезы линейного изменения перемещений по толщине пакета при определении напряжённо-деформированного состояния справедливо только при соотношении жесткостей слоёв до Е{ Ю"2, при большей разности такая гипотеза даёт завышенное значение жесткости конструкции, поэтому в случае Ех » Ег необходимо использовать соотношения теории упругости для каждого слоя ламината в отдельности.

4. На основе разработанных моделей и алгоритмов создан модуль программного комплекса для проектировочных расчётов составных тонкостенных слоистых конструкций с автоматизацией процедуры подготовки исходных данных и анализа результатов проектировочных расчётов.

5. Разработанные модели и алгоритмы были использованы при проектировочных расчётах упругого рабочего элемента торсиона лёгкого вертолёта КАИ-82. Сравнение результатов расчёта и эксперимента при приложении тестовых базовых нагрузок показывает, что предложенная кинематическая гипотеза, и созданное на её основе программное обеспечение, позволяет рассчитать напряжённо-деформированное состояние многослойных несущих систем с достаточной для инженерных расчётов точностью.

6. Приведена оптимизация численных алгоритмов для решения задач проектирования большой размерности.

7. Полученные результаты используются для проведения опытно-конструкторских работ, направленных проектирование и расчёт образцов тонкостенных слоистых конструкций, в том числе с существенно разнородными слоями.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Першин, Евгений Александрович, 2012 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алексеев А.Е. Изгиб трёхслойной ортотропной балки // Прикл. механика и техн. физика. 1995. Т. 36, №3. Стр. 158 — 166.

2. Алексеев А.Е., Алёхин В.В., АннинБ.Д. Плоская задача теории упругости для неоднородного слоистого тела // Прикл. механика и техн. физика. 2001. Т. 42, №46. Стр. 136—141.

3. Алексеев С.А. Основы теории мягких осесимметричных оболочек // Расчёт пространственных конструкций. - Вып. 10. - М.: Строиздат, 1965. Стр.5 — 37

4. Алумяэ H.A. Теория упругих оболочек и пластинок. - Механика в СССР за 50 лет. №3, Механика деформируемого твёрдого тела. - М.: Наука, 1972. Стр. 227 — 266

5. Алфутов H.A. Основы расчёта на устойчивость упругих систем. - М.: машиностроение, 1978. 312 стр.

6. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. - М.: Наука, 1974. 448 стр.

7. Александров А.Я., Брюккер Л.Э., Куршин Л.М., Прусаков А.П. Расчет трехслойных панелей. М.: Оборонгиз, 1960, - 271 с.

8. Амельченко В.В., Неверов И.В., Петров В.В. Решение нелинейных задач теории пологих оболочек путём вариационных итераций // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. - 1969. - №3. Стр. 62 — 68

9. Андреев Л.В., ОбоданН.И., Лебедев А.Г. Анализ поведения геометрически нелинейных оболочек при неосесимметричном нагружении // Изв.вузов. - М.: Машиностроение, 1976. Стр. 5 — 8

10. АннинБ.Д., Каламкаров А.Л., Колпаков А.Г., Партон В.З. Расчёт и проектирование композиционных материалов и элементов конструкций. Новосибирск: ВО Наука, 1993.

11. Амбарцумян С.А. Теория анизатропных пластин. М.: Наука, 1967. -266 стр.

12. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц / Пер. с ант. - М.: Стройиздат.

13. Бабаков И.М. Теория колебаний. - М.: Наука, 1965. 560 стр.

14. Бабич И.Ю., Гузь А.Н. Устойчивость стержней, пластин и оболочек из композиционных материалов (трёхмерная постановка) обзор // Прикладная механика. - 1983. Т.19. №10. Стр. 3 — 19

15. Баязитов Ф.Ф., Бурман З.И. Конечно-элементный метод расчёта тонкостенных подкреплённых оболочек на собственные колебания и расчётно-экспериментальные исследования // Труды КАИ. - Вып. 1. - Казань: КАИ, 1978. Стр. 8 — 13

16. БенсонА., МейерсД. Общая неустойчивость и колебания несущих слоев трёхслойных пластин — унифицированная теория и приложение // Ракетная техника и космонавтика. - 1967. - Т. 5, №4. Стр. 150 — 163

17. Болотин В.В. К теории слоистых плит. Изв.АН СССР. Механика и машиностроение, 1963. №3, Стр. 65 — 72

18. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. - М.: Физматгиз, 1961. 339 стр.

19. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. 375 стр.

20. Бублик Б.Н. Численное решение динамических задач теории пластин и оболочек. - Киев: Наукова думка, 1976. 224 стр.

21. Бурман З.И, Лукашенко В.И, Тимофеев М.Т. Расчёт подкреплённых оболочек методом конечных элементов с применением ЭЦВМ. - Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1973. 569 стр.

22. Валишвили Н.В. О выборе параметра при численном решении краевых задач статики гибких оболочек // Прикладная механика. - 1984. - Т. 20,

№11. Стр. 115—118

23. Ван Фо Фы Г.А., Семенюк Н.П. Устойчивость моментного докритического состояния трёхслойной ортотропной цилиндрической оболочки при равномерном и неравномерном внешнем давлении // Механика полимеров. -1972. №5. Стр. 874 — 879

24. Варвак П.М. Расчёт прямоугольных консольных пластинок методом конечных разностей // Труды ВВИА. - Вып. 918. - М., 1962

25. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988 — 269 стр.

26. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы — аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики // Изв. Вузов, Авиационная техника. - 1966. - №3. Стр. 50 — 61

27. ВекуаИ.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. - М.: Наука, 1978. 296 стр.

28. Вибрации в технике: Справочник в 6 томах. - Т. 3. Колебания машин, конструкций и их элементов. - М.: Машиностроение, 1980. 544 стр.

29. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. -М.: Наука, 1972. 432 стр.

30. Гайдачук В.В., Гуляев В.И. Обратные задачи нелинейной устойчивости оболочек // Сопротивление материалов и теория сооружений: Сб. статей. - Вып. 24. - Киев, 1974. Стр. 156 — 163

31. Гайнутдинов В.Г. Кинематическая схема деформирования многослойных тонкостенных конструкций // Проблемы и перспективы развития авиации, наземного транспорта и энергетики «АНТЭ-2009»: Материалы V Всероссийской научно-технической конференции. Т 1. 12 — 13 октября 2009 года. Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2009. с. 36 — 40.

32. Гайнутдинов В.Г. Метод «минимального множителя» в расчётах устойчивости, предельных циклов колебаний и предельных состояний

нелинейно деформируемых конструкций // Авиационная техника. №4. Стр. 3 — 7

33. Гайнутдинов В.Г. Нуретдинов И.Н. К расчёту устойчивости тонкостенных подкреплённых конструкций // Изв. Вузов. Авиационная техника. - 1993. - №4. Стр. 51—54

34. Гайнутдинов В.Г, Гайнутдинова Т.Ю. О расчёте авиационных конструкций на устойчивость вариационно-матричным методом. Межвуз. сб.: Вопросы прочности тонкостенных авиационных конструкций, Казань, КАИ, 1987.

35. Гайнутдинов В.Г, Гайнутдинова Т.Ю. О численном анализе нелинейного деформирования гибких конструкций // Авиационная техника. 1991. №3. Стр. 8 — 13

36. Гайнутдинов В.Г, Гайнутдинова Т.Ю, Цой A.C. Программный комплекс автоматизированного проектирования пассажирских самолётов // Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Авиакосмические технологии и оборудование» - Казань: Изд-во Казан, гос. техн. Ун-та, 2004. Стр. 100—102

37. Гайнутдинов В.Г, Лебедев И.М, Сыздыков Е.К, Гайнутдинова Т.Ю. Расчёт собственных и предельных режимов колебаний нелинейно деформируемых элементов конструкции ЛА. Тезисы Всес. НТК Современные проблемы строительной механики ЛА, 1991, Харьков, ХАИ

38. Гайнутдинов В.Г, Рамазанов Р.В, Гайнутдинова Т.Ю, Цой A.C. Проектирование пространственных тонкостенных конструкций с учётом потери устойчивости отдельных силовых элементов // Труды III международной научно-практической конференции «Автомобиль и техносфера». - Казань: Изд-во Казан, гос. техн. Ун-та, 2003. Стр. 124—129

39. Гайнутдинов В.Г, Сыздыков Е.К, Нуретдинов И.Н. Расчёт устойчивости конструкций методом минимального множителя без определения

предварительного напряжённого состояния // Авиационная техника. 1993. №3. Стр. 8 — 11

40. Гайнутдинова Т.Ю. Программный комплекс автоматизированного проектирования силовых тонкостенных конструкций. Материалы Международной научно-практической конференции «Информационные технологии глобального информационного общества», Казань, 2005, КГУ. Стр. 48 — 50

41. Гайнутдинова Т.Ю., Трусов C.B. О расчёте рациональных форм безмоментных поверхностей — элементов тонкостенных конструкций. Изв. Вузов, Авиационная техника, Казань, КГТУ им. А.Н. Туполева, 1996, №3. Стр. 110—113

42. Галимов Н.К. К вариационным методам решения задач нелинейной теории трёхслойных пологих оболочек // Исследование по теории пластин и оболочек. - Вып. 3. - Казань: Изд-во Казанск. гос. ун-та, 1965. Стр. 91 — 122

43. Галкин М.С. Методы расчёта собственных колебаний в случае близких собственных частот // Труды ЦАГИ. - Вып. 730. - М.: БНИ ЦАГИ, 1959. 80 стр.

44. ГаллагерР. Метод конечных элементов. Основы / Пер. с англ. -М.: Мир, 1984. - 428 стр.

45. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М.: Машиностроение, 1973.- 171 стр.

46. Гандмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1988. 552 стр.

47. Голованов А.И., Митряйкин В.И., Михайлов С.А., Конюхов A.B., Фетисов Л.В., Шувалов В.А. Расчётно-экспериментальное исследование прочности упругих элементов бесшарнирных винтов вертолётов. Ч. 1 // Изв. Вузов. Авиационная техника, Казань, КГТУ им. А.Н. Туполева, 2001. №4. с. 7

— И.

48. Григолюк Э.И., Чулков П.П. К расчету трехслойных пластин с жестким заполнителем. Изв.АН СССР, Механика и машиностроение, 1964, №1,

Стр.67-74.

49. Голованов А.И, Мнтряйкин В.И, Шувалов В.А. Расчёт напряжённо-деформированного состояния торсиона несущего винта вертолёта // Изв. Вузов. Авиационная техника, Казань, КГТУ им. А.Н. Туполева, 2009. №1. с. 66 — 69.

50. Гольденблад И.И, Копнов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1968. 192 стр.

51. Гольденштейн A.M., Муштари Х.М. Уравнения равновесия трёхслойных оболочек со слоями переменной толщины с учётом различия в метрике слоёв // Некоторые вопросы теории пластин и оболочек: Материалы конф. Казан, физ.-техн. Ин-та АН СССР. - Казань, 1967. Стр. 3 — 9

52. Горынин Г.Л, Немировский Ю.В. Пространственные задачи изгиба и кручения слоистых конструкций. Метод асимптотического расширения. Новосибирск: Наука, 2004.

53. Григоренко Я.М, Мукоед А.П. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ. - Вып. 286. - Киев: Вища школа, 1983. 137 стр.

54. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. -Киев: Наукова думка, 1973. 270 стр.

55. Гуляев В.И, Баженов В.А, ГоцулякЕ.А. Устойчивость нелинейных механических систем. - Львов: Вища школа, 1982. 254 стр.

56. Гуляев В.И, Баженов В.А, Попов С.Л. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем. - М.: Высшая школа, 1979.

432 стр.

57. Демидов С.П. Теория упругости. - М.: Высш. школа, 1979. - 432 с.

58. Григолюк Э.И, Корнев В.М. Обоснование уравнений трехслойных пластин несимметричной структуры с жестким заполнителем. Инженерный журнал. Механика твердого тела, 1966, №6. Стр. 89 - 94.

59. Демидович Б.П, Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1966. 660 стр.

60. Дудченко А.А., Лурье С.А., Образцов И.Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки // Механика деформируемого твёрдого тела (Итоги науки и техники). - М.: ВИНИТИ, 1983. - №15. Стр. 3 — 68

61. Ершов Н.Ф., Попов А.Н., Дербасов А.П. К расчёту общей прочности и устойчивости подкреплённой оболочки с учётом физической и геометрической нелинейности // Труды Горьк. политехи, ин-та. - 1975. - Т.31, №14. Стр. 49 — 57

62. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975. 541 стр.

63. Иванов Г.В. Теория пластин и оболочек. Новосибирск: Изд-во Новосибирского ун-та, 1980.

64. Иванов Ю.И., Мазур В.В. Специализированная система программирования расчётов на прочность методом конечных элементов // Труды ЦАГИ. - Вып. 1731. - М.: ЦАГИ, 1976. Стр. 75 — 79

65. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. 512 стр.

66. Кобелев В.Н., Коварский Л.М., Тимофеев С.И. Расчёт трёхслойных конструкций. Справочник. - М.: Машиностроение, 1984. 303 стр.

67. Комаров В.А. О рациональных силовых конструкциях крыльев малого удлинения // Труды КуАИ. - Вып. 32. - Куйбышев: КуАИ, 1968. Стр. 6 — 26

68. Комаров В.А. Оценка эффективности по массе тонкостенных конструкций // Труды XX международной конференции «Механика оболочек и пластин». - Нижний Новгород: НГУ, 2002. Стр. 41 — 57

69. Муштари Х.М. Об одном уточнении теории трехслойных пластин с заполнителем. В кн.: Теория пластин и оболочек. Киев, АН УССР, 1962. Стр. 128 — 331

70. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и оболочек и методы их решения. - М.: Наука, 1964. 192 стр.

71. Крашаков Ю.Ф., Рубина Л.Л. Устойчивость трёхслойных конических оболочек с несущими слоями разной жёсткости при осевом сжатии и внешнем

давлении // Учёные записки ЦАГИ. - 1982. - Т. 13, №14. Стр. 99 — 109

72. Крысин В.И. Слоистые клеевые конструкции в самолётостроении. - М.: Машиностроение, 1980. 228 стр.

73. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. - Саратов, 1976. 214 стр.

74. Куршин JIM. Обзор работ по расчёту трёхслойных пластин и оболочек // Расчёт пространственных конструкций. - Вып. 7. - М.: Стройиздат, 1962. Стр. 163 — 192

75. ЛукашП.А. Основы нелинейной механики. -М.: Стройиздат, 1978. 208 стр.

76. Лурье А.И. Теория упругости. - М.: Наука, 1970. 214 стр.

77. Ляв А. Математическая теория упругости. - М.: ОНТИ, 1935. 674 стр.

78. Моисеев H.H., Иванилов Ю.П, Столярова E.H. Методы оптимизации. -М.: Наука, 1978. 352 стр.

79. МуштариХ.М. О применимости различных теорий трехслойных пластин и оболочек. Изв.АН СССР, Отд. техн. наук, 1960. Стр. 163 — 165

80. Новичков Ю.Н. Нелинейная теория и устойчивость толстых многослойных оболочек // Прикладная математика и механика. - 1973. Т.37, №3. Стр. 532 — 543

81. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 стр.

82. Образцов И.Ф, Савельев Л.М, Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. -М.: Высшая школа, 1985. 392 стр.

83. Паймушин В.Н. К вариационным методам решения задач сопряжения деформируемых тел // Докл. АН СССР. - 1983. - Т. 273, №5. Стр. 1083 — 1086

84. Панин В.Ф. Конструкции с сотовым заполнителем. -М.: Машиностроение, 1982. 153 стр.

85. Петров B.B. Метод последовательных нагруженнй в нелинейной теории пластин и оболочек. - Саратов: Саратовский университет, 1975. 120 стр.

86. Петрушенко Ю.Я. Математическая модель собственных колебаний оболочек сложной геометрии предварительно нагруженных статической нагрузкой // Межвуз. сб. прикладные проблемы прочности и пластичности. Н. Новгород, НГУ. - М.: Изд. КМК ЛТД, 1997. Стр. 36 — 41

87. Пикуль В .В. Теория и расчёт слоистых конструкций. - М.: Наука, 1985. 182 стр.

88. Пискунов В.Г. Расчёт неоднородных пологих оболочек и пластин методом конечных элементов. К.: Изд-во при Киев, университете ИО «Вища школа», 1987 — 200 стр.

89. Постнов В.А., Слезина Н.Г. Решение нелинейных задач устойчивости оболочек с помощью метода конечных элементов // Прочность и надёжность судовых конструкций: Сб. Статей. - Л., 1982. Стр. 66 — 72

90. Преображенский И.Н. Обзор гипотез и допущений, принимаемых при исследовании устойчивости многослойных оболочек вращения // Гидромеханика и теория упругости. Вып. 12, 1970. Стр. 78 87

91. Прохоров Б.Ф., Кобел ев В.Н. Трёхслойные конструкции в судостроении. - Л.: Судостроение, 1972. 334 стр.

92. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трёх томах. Том 3. Под редакцией док. тех. наук И.А. Биргера и чл.-корр. АН Латвийской ССР Я.Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968 — 568 стр.

93. Прочность. Устойчивость. Колебания / Под ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. - Т.2 — М.: машиностроение, 1986. 463 стр.

94. Прочность. Устойчивость. Колебания / Под ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. - Т.З —М.: машиностроение, 1968. 300 стр.

95. Прусаков А.П. К теории расчёта ортотропных трёхслойных пластин с жёстким заполнителем // Расчёты элементов авиационных конструкций. - Вып.

3. - М.: Машиностроение, 1965. Стр. 189 — 196

96. Прусаков А.П. Основные уравнения изгиба и устойчивости трехслойных пластин с легким заполнителем. Прикл. математика и механика, 1951, Т.15, вып.1, с.27-36.

97. Пухлий В.А. Трёхслойные ортотропные оболочки переменной жёсткости (теория и приложение) // Прикладная механика. - 1980. Т. 16, №9. Стр. 48 — 56

98. Расчет трехслойных панелей. Александров А .Я, Брюккер Л.Э, Кур-шин Л.М. и др. - М.: Оборонгиз. - 1960. - 272 с.

99. Голованов А.И, Тюленева О.Н, Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. М.: Физ-матлит. 2006 г. -392 с.

100. Рикардс Р.Б, Тетере Г.А. Устойчивость оболочек из композитных материалов. - Рига: Знание, 1974. 310 стр.

101. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. - М.: Наука, 1971. 288 стр.

102. РокарИ. Неустойчивость в механике. - М.: Иностранная литература, 1959. 288 стр.

103. Сайфуллин Э.Г., СаченковА.В. К теории пологих трёхслойных оболочек // Исследование по теории пластин и оболочек. - Вып. 10. - Казан, гос. ун-т, 1973. Стр. 366 —371

104. Сегерлинд Л.Д. Применение метода конечных элементов / Пер. с

англ. -М, 1979

105. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. - Изд. 2-е. - М.: Изд. иностр. лит, 1953. 256 стр.

106. Су хинин С.Н, Трошин В.П, ТрошинаЛ.А. Устойчивость трёхслойного цилиндра при осевом сжатии // Прикладные проблемы прочности и пластичности. - 1979. - №13. Стр. 133 — 139

107. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. -М.: Наука, 1971. 807 стр.

108. Трошин В.Г. О решении физически и геометрически нелинейных задач технической теории оболочек // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. - 1985.-№3. Стр. 129 — 135

109. Фадеев Д.К., Фадеева Д.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. - М.: Наука, 1960. 656 стр.

110. Филин А.П. Элементы теории оболочек. - JI -М.: Стройиздат, 1966. 438 стр.

111. ФоксА., ПраттМ. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве / Пер. с англ. - М: Мир, 1982. 304 стр.

112. Фролов В.М. Собственные колебания и деформация прямоугольной и стреловидной пластины // Труды ЦАГИ. - М.: ЦАГИ, 1952. 16 стр.

113. ХебипЛ.М. Обзор современного состояния исследований по трёхслойным конструкциям // Механика: Период, сборник переводов иностранных статей. - 1966. - Т.96, №2. Стр. 119 — 130

114. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. - М.: Мир, 1966. 230 стр.

115. Шклярчук Ф.Н., Гришанина Т.В. Нелинейные и параметрические колебания упругих систем. - М.: Изд-во МАИ, 1993. 68 стр.

116. Barton M.V. Vibration of rectangular and skew canteliver plates. - JAM,

1951. -N2. - P. 129-134.

117. Eringen A.C. Bending and buckling of rectanguler sandwich plates. Proc. First U.S. Congr. Appl. Mech, 1952. Fing Y.C., Jons D.J. A summary on the theories and experiments on flutter and survay on panel flutter . AGARD Manual on Aero-elasticity Bd. 3 Кар.7 (1969).

118. Folie G.M. The behaviour and analysis of orthotropic sandwich plates. -

vol.6. - Build. Sch., 1971. - P.57-67.

119. Foss J.J. For the space age, a bibliography of' sandwich plates and shells. Rept. SM-42883, Douglas Air cr. Co. - Santa Monica, Calif, 1962.

120. Habip L.M. A review of resent Russian work on sandwich structures // Jnter-nat. Jourhal of Mech. Science. - 1964. - v.6, N6. - P.483-487.

121. Habip L.M. A survey of modern development in the analysis of sandwich structures //Appl. mech.rev. - 1965. - v. 18, N2. - P.93-98.

122. Hunter-Tod J.H. The classic stability of sandwich plates. Aero. Res. Counc. Rep. Memo. - London, N2778, 1953.

123. Optimal Design. Theory and Applications to materials and Structures / Ed. By Valery V.Vasiliev and Zafer Gurdal. Technomic Publishing Co. Inc. 851 New Holland Avenue. Box 3535, Lancaster, Pensylvania 17604 USA, 1999.

124. Reissner E, Stein M. Torsion and transverse bending of cantilever plates.

- NACATN 1951, № 2369, p.112-127 Reissner E. Small bending and stretch-ing of sandwich-type shells. NACATR, N975, 1950.

125. Reissner E. Finite deflection of sandwich plates // Journ. Aeronaut. Sci. -15, N7. - 1948, Errata: 17, №2, 125, 1950.

126. Solvey J. Bibliography and summaries of sandwich construction Res.Lab.

- Melbume, Australia, 1955, ARL/SM2.

127. Stein M, Magers J. Compressive buckling of simply supported curved plates and cylinders of sandwich construction. - NACATN N2601, 1952.

128. Struk Roman Non-linear stability problem of an open conical sandwich shells under external pressure and compression // Jnt. J. Nonlinear Mech. - 1984. -19, N3. -P.217-233.