Алгоритмы приближенного интегрирования, связанные с формулами С.Л. Соболева тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Половинкина, Лилия Владимировна

• Половинкина, Лилия Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Половинкина, Лилия Владимировна

Введение

1 Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем открытого типа

§ 1. Постановка задачи, определения.

§ 2. Асимптотические выражения для' главного члена норм функционалов ошибок формул из последовательностей с пограничным слоем

§ 3. Асимптотическая оптимальность.

2 Последовательности типа Грегори с положительными коэффициентами

§1. Существование формул с положительными коэффициентами

§ 2. Формулы с заданным сопутствующим числом

3 Декартовы произведения формул интегрирования

§ 1. Случай не нулевой суммы коэффициентов

§ 2. Случай нулевой суммы коэффициентов.

4 Анизотропные аналоги теорем С.Л. Соболева о сверточ-ных интегро-дифференциальных операторах

§ 1. Основные результаты ч

§ 2. Доказательства результатов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы приближенного интегрирования, связанные с формулами С.Л. Соболева»

Теория квадратурных формул ьг N f(x)dx&YsCbf(xk)> (!) а К-1 и их многомерных аналогов - кубатурных формул f N f(x)dx&J2ckf(xk), (2) I где x = (xi,., xn), (x\,.xfy, к = 1,. ,.n = 1, n является развернутым разделом вычислительной математики и математического анализа. Изучение формул вида (1) и (2) и оценок их погрешностей продолжается длительное время. О важности данного научного направления может, в частности, свидетельствовать то, что в нем работали знаменитые математики: И. Ньютон, J1. Эйлер, Ш. Эрмит, К. Гаусс, П. JI. Чебышев, С. Н. Бернштейн, С. JI. Соболев, С. Н. Никольский и другие. Интерес к задачам теории квадратурных и кубатурных формул не спадает до настоящего времени и это доказывает большое число научных публикаций по данным вопросам, регулярное проведение научных конференций (семинаров-совещаний), посвященных этой теории. Данная научная тематика является актуальной. Методы исследований формул вида (1) и (2) разнообразны и связаны со следующими характеристиками формул. а) Точностью формул. Например, со степенями многочленов (алгебраических или тригонометрических), на которых рассматриваемые формулы точны. б) Теоретико-вероятностными оценками погрешностей интегрирования. в) Погрешностями на классах функций и в порожденных этими классами линейных нормированных пространствах.

Данная диссертация связана, прежде всего, с работами С. J1. Соболева, которые были посвящены оценкам погрешностей формул интегрирования в классах функций.

Идея исследований подобного рода состоит в следующем. Если на интегрируемых функциях задана норма линейного нормированного пространства В, а функционалы ошибок погрешностей формул (1) и (2) lN порождают функционалы из сопряженного к В пространства В*, кото

Если известны верхние оценки сомножителей из правой части неравенства (5), то оно дает гарантированную верхнюю оценку погрешностей интегрирования формул (1) и (2).

Неравенства типа (5) позволяют поставить и решить ряд задач, связанных с минимизацией верхних оценок погрешностей формул прибли

3) N

5) женного интегирования, в том числе и таких, в формулировках которых учавствуют последовательности квадратурных и кубатурных формул.

В теории приближенного интегрирования почетное место занимают работы С. JI. Соболева. Их основные результаты изложены в книгах [19, 21, 20]. Монография [21] содержит обширную автобиографию.

Приведем некоторые характерные черты работ Соболева по приближенному интегрированию. а) Погрешность интегрируемых функций оценивается через их нормы в пространствах Соболева типа L™. б) Введены новые классы кубатурных решетчатых, формул с регулярным пограничным слоем, предложены алгоритмы конструирования и оценок погрешностей таких формул. в) Поставлены и рассмотрены асимптотические задачи, связанные с оценками погрешностей решетчатых кубатурных формул при неограниченном убывании шагов решеток (сеток). г) Для решения поставленных задач Соболеву пришлось применить ряд результатов из других разделов математики, не относящихся непосредственно к теории приближенного интегрирования: геометрии чисел, теорий конечных разностей, аналитических функций, обощенных функкций и др. Многие из этих результатов являлись новыми и, как и некоторые их обобщения, полученные Соболевым, сами представляют научный интерес.

Квадратурными и кубатурными формулами в функциональных пространствах занимались при жизни Соболева и после его смерти многие математики, среди которых: В. Н. Белых, О. В. Бесов, И. В. Бойков,

Я. М. Жилейкин, М. В. Носков, Н. Н. Осипов, И. М. Соболь; ученики и сотрудники Соболева: Н. С. Бахвалов, В. JI. Васкевич, В. И. Половинкин, М. Д. Рамазанов, Г. Н. Салихов, Ц. Б. Шойнжуров.

С результатами Соболева и его учеников по теории приближенного интегрирования можно ознакомиться в книгах [8] - [20], [17]. Монография [21] содержит обширную библиографию.

Ради удобства изложения, чаще будем вести речь в данной работе не в терминологии, связанной непосредственно с квадратурными формулами, а с их функционалами ошибок lN вида (3) и (4). Изложим кратко содержание диссертации.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Половинкина, Лилия Владимировна

Основные результаты диссертации таковы:

Рассмотрены квадратурные формулы с пограничным слоем и с регулярным пограничным слоем с сетками узлов, не содержащих концов промежутков интегрирования. Получены асимптотические выражения для функционалов ошибок таких квадратурных формул в пространствах, сопряженных к L™(a,b),p 6 (1,оо]. Показано, что при данных р существуют асимптотически оптимальные и асимптотически наилучшие последовательности квадратурных формул с пограничным слоем в Lpl{a,b).

При любом натуральном числе т доказано существование последовательностей типа Грегори с положительными коэффициентами, точных на многочленах степени ниже т.

Для весовых кубатурных формул выведены условия их представимости в виде декартовых произведений других формул.

Обобщена теорема C.JI. Соболева о представлении финитных обобщенных функций, равных 0 на многочленах степени ниже т.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Половинкина, Лилия Владимировна, 2006 год

1. Владимиров, B.C. Обобщенные функции в математической физике / B.C. Владимиров. М.: Наука, 1976. - С. 1-280.

2. Женсыкбаев, А.А. Моноснлайны минимальной нормы и квадратурной формулы / А.А. Женсыкбаев // Успехи мат.наук. 1981. - Т.36. - Вып.4. - С. 171-196.

3. Крылов, В.И. Приближенное вычисление интегралов / В.И. Крылов- М.: Наука, 1967 50 с.

4. Математическая энциклопедия: Т.2 Д-Коо / Гл.ред.: И.М. Виноградов, М.: Советская энциклопедия. - 1979. -1104 стб., ил.

5. Мысовских, И.П. Лекции по методам вычислений: учеб. пособие / И.П. Мысовских. СПб.: С.Петербургски университет, 1988.472 с.

6. Никольский, С.М. Квадратурные формулы / С.М. Никольский М.: Наука, 1974,- 224 с.

7. Носков, М.В. О декартовых произведениях кубатурных формул / М.В. Носков // Теория кубатурных формул и вычислительная математика, Новосибирск: Наука, 1980. С. 114-116.

8. Носков, М.В. Приближенное интегрирование функций периодических по некоторым переменным / М.В. Носков // Теоремы вложения и их применения. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1982. № 1. С. 83-101.

9. Половинкин, В.И. Асимптотические свойства декартовых произведений кубатурных формул / В.И. Половинкин, М.В. Носков // Функциональный анализ и математическая физика. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1987. С. 39-56.

10. Половинкин, В.И. Кубатурные формулы в L^^l) / В.И. Половинкин // Докл. АН СССР. 1970. - Т.190. - №1. - С. 42-44.

11. И. Половинкин, В.И. Последовательности функционалов с пограничным слоем / В.И. Половинкин // Сиб. мат. журн. 1974. - Т.15.- №2. С. 413-429.

12. Половинкин, В.И. Асимпототическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетных т / В.И. Половинкин // Сиб. мат. журн. 1975. - Т.16-т. - С. 328-335.

13. Половинкин, В.И. Асимптотически наилучшие, последовательности кубатурных формул / В.И. Половинкин // Сиб. мат. журн. 1975.- Т.16. №6. - С.1255-1262.

14. Половинкин, В.И. Декартовы произведения формул прямоугольников и формул с регулярным пограничным слоем /

15. B.И. Половинкин // Пятое советско-чехословацкое совещание по применению методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики : Материалы совещания. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1978. С. 248250.

16. Половинкин, В.И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем: дис. . докт. физ.-мат. наук: 010101 / В.И. Половинкин. Защищена 17.06.1978. - Л.: 1978. 241 с. - Библиогр.: с.229-238.

17. Половинкин, В.И. Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори / В.И. Половинкин // Квадратурные и кубатурные формулы.

18. Решение функциональных уравнений. Методы вычислений. Л.: ЛГУ. - 1981- Вып. 12. - С. 7-25.

19. Соболев, С. Л. Введение в теорию кубатурных формул / С.Л. Соболев. М.: Наука, 1974. - 808 с.

20. Соболев, С.Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций / С.Л.'Соболев. М.: Наука, 1989. С. 1 254.

21. Соболев, С.Л. Кубатурные формулы / С.Л. Соболев, В.Л. Васкевич.- Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1996. 484 с.

22. Федорепко (Половинкина), Л.В. Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем открытого типа / Л.В. Федоренко // Информатика и информационные технологии. Красноярск: КГТУ, 1998. - С. 34-36.

23. Половинкина, Л.В. О декартовых произведениях квадратурных формул / Л.В. Половинкина // III Всесибирский конгресс женщин математиков: Тезисы докладов конгресса. — Красноярск: ПФК "Торра", 2004. С. 18 19.

24. Половинкина, Л.В. Декартовы произведения формул интегрирования / Л. В. Половинкина // Вопросы математического анализа.- Красноярск: КГТУ, 2004. Вып. 8. - С. 158-167.

25. Половинкина, Л.В. Последовательности типа Грегори с положительными коэффициентами / В.И. Половинкин, Л.В. Половинкина // Кубатурные формулы и их приложения:

26. Материалы VIII международного семинара-совещания. Улан-Удэ: ВСГТУ, 2005. - С. 101-103.

27. Половинкина, JI.B. Последовательности типа Грегори с неотрицательными коэффициентами / В.И. Половинкин, Л.В. Половинкина // Вычислительные технологии: Специальный выпуск, 2005 № 10. - С. 84-89.

28. Половинкина, Л.В. Анизотропные аналоги теорем С.Л. Соболева о сверточных интегро-дифференциальных операторах / Л.В. Половинкина // Вопросы математического анализа. — Красноярск: КГТУ, 2006. Вып. 9. - С. 80-90,