Алгоритмы предварительной обработки сигналов в задаче пассивной моноимпульсной пеленгации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Семенова, Марина Юрьевна

• Семенова, Марина Юрьевна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Семенова, Марина Юрьевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ МОНОИМПУЛЬСНОЙ ПРЕЛЕНГАЦИИ ИСТОЧНИКОВ РАДИОИЗЛУЧЕНИЯ (ОБЗОР)

1.1. Традиционные подходы в моноимпульсной пеленгации

1.2. Определение амплитуд

1.3. Определение нахождения ИРИ в рабочей зоне

1.4. Работа моноимпульсной системы в помеховых условиях

1.5. Выводы по первой главе

ГЛАВА 2. АНАЛИЗ КОНФИГУРАЦИИ МОНОИМПУЛЬСНОЙ АНТЕННОЙ СИСТЕМЫ

2.1. Анализ конфигурации АС с идентичными гауссовыми ДН

2.2. Анализ конфигурации АС с предварительной аппроксимацией ДН

2.3. Выводы по второй главе

ГЛАВА 3. МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ ПАССИВНОЙ ПЕЛЕНГАЦИИ ОДНОГО ИРИ

3.1. Двухэтапный алгоритм пеленгации

3.2. Исследование модификации корреляционного моноимпульсного метода

3.3. Алгоритм оценки амплитуд на основе предварительной оценки энергии шума

3.4. Выводы по третьей главе

ГЛАВА 4. МОНОИМПУЛЬСНАЯ ПЕЛЕНГАЦИЯ В УСЛОВИЯХ НАЛИЧИЯ НЕСКОЛЬКИХ ИРИ

4.1. Определение числа ИРИ методом оптимизации для системы уравнений пеленгации

4.2. Определение числа ИРИ с применением нейросетевой обработки

4.3. Сравнение метода оптимизации для системы уравнений пеленгации с алгоритмом нейросетевой обработки

4.4. Выводы по четвертой главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Решение системы линейных уравнений на основе

разложения матрицы по сингулярным числам

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Взаимная корреляция сигналов с выходов различных

каналов приемной системы

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Выбор оптимальной частоты дискретизации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы предварительной обработки сигналов в задаче пассивной моноимпульсной пеленгации»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы

Задача точного определения координат источника радиоизлучения (ИРИ) малой мощности при наличии сильных аддитивных помех актуальна во многих областях науки и техники (радиолокации, радиоастрономии, радионавигации и связи) и представляет собой одно из важных направлений исследований современной радиофизики. Для развития этой области науки фундаментальными являются работы М.И. Сколника, Я.Д. Ширмана, В.И. Тихонова, Ч. Кука, М. Бернфельда, Ю.С. Лезина, Ю.Г. Сосулина, Ю.М. Казаринова, П.А. Бакулева, М.И. Финкелыитейна, А.И. Леонова, К.И. Фомичева, С.М. Шермана и многих других ученых.

При определении положения источника излучения традиционно используют методы (дальномерный, разностно-дальномерный, триангуляцию), которые требуют наличия как минимум двух антенных систем. В частности, для применения разностно-дальномерного метода необходимо знание временной задержки принятого сигнала при многоканальном распространении и наличие набора приемных устройств, разнесенных в пространстве и синхронизованных по времени. Для достижения высокой точности определения координат требуются значительные расстояния между приемными устройствами, например, несколько летательных аппаратов, что не всегда возможно. В условиях работы только одной приемной станции для решения данной задачи традиционно применяют методы пеленгации.

Современные методы определения угловых координат (пеленгации) можно разделить по количеству приемных каналов на одноканальные и моноимпульсные (многоканальные). Одноканальные методы пеленгации, отличаясь сравнительной простотой, не всегда обеспечивают достаточную точность измерения, так как данные в одноканальном методе принимаются последовательно, и наличие флуктуаций излучения сказывается в виде искажения огибающей принимаемого сигнала. В моноимпульсных методах, получивших широкое распространение, сигналы принимаются одновременно несколькими независимыми каналами, что позволяет измерить угловые координаты источника излучения по одному принятому импульсу. Это обеспечивает одно из главных преимуществ моноимпульсного метода пеленгации - малую чувствительность к мультипликативным флуктуациям амплитуды принятого сигнала, что позволяет уменьшить ошибку определения угловых координат.

Особенно остро стоит вопрос уменьшения ошибок определения амплитуд принимаемых сигналов в задаче пассивной пеленгации. В большинстве практических случаев для определения координат объекта используют активную локацию, обработка данных в которой заключается в приеме сигнала и последующем его сравнении с излученным сигналом. В

активных методах радиолокации оптимальная оценка координат источника излучения обычно производится корреляционным поиском, что обусловлено наличием точной информации о принимаемом сигнале. Априорная неопределенность структуры и свойств принимаемого сигнала в задаче пассивной пеленгации существенно снижает точность расчетов.

Большинство методов амплитудной моноимпульсной пеленгации разработаны для антенных систем, обычно формирующих четыре парциальных канала приема, вместе обеспечивающих прямоугольную конфигурацию. Основная причина выбора такой структуры приемной системы (или других похожих структур, например из пяти каналов) состоит в том, что при этом существенно упрощается задача пеленгации. Определение двух угловых координат источника излучения сводится к двум независимым подзадачам методом разделения переменных. В настоящее время возникает практическая возможность создания многоканальных многолепестковых амплитудных моноимпульсных антенн, конфигурации каналов которых существенно отличаются от традиционных. Наличие большего количества приемных каналов позволяет, например, увеличить рабочую область угловых координат, в которой может располагаться источник излучения для точного определения его местоположения. Однако переход к таким антеннам с многолепестковыми диаграммами направленности (ДН) сопряжен с трудностями адаптации (переноса) алгоритма обработки сигналов с целью получения информации о пеленге на случай произвольной конфигурации. Для ряда конфигураций разделение переменных (угловых координат) может быть выполнено, однако для каждой антенны необходимо отдельно формировать методику получения «сигнала ошибки» для каждой угловой координаты. Для произвольной конфигурации невозможно применить такой подход к решению задачи пеленгации.

Задача увеличения количества каналов приема и, соответственно, задача адаптации к таким системам алгоритма пеленгации особенно актуальны для работы антенных систем, устанавливаемых на летательных аппаратах, например искусственных спутниках Земли, поскольку из-за больших расстояний до пеленгуемых объектов на земной поверхности характерный размер зоны покрытия может составлять сотни километров, а значит, существует ненулевая вероятность того, что в этой области функционируют несколько излучающих объектов. Наличие двух и более источников со сравнимыми мощностями приводит к значительному повышению погрешностей измеряемых угловых координат. Существующие критерии позволяют определить факт наличия других источников излучения рядом с пеленгуемым объектом, однако не дают возможность определить количество излучающих целей и пеленг.

Исходя из анализа ограничений традиционных схем пеленгации, можно выделить ряд трудностей, связанных с практическим применением традиционных схем. Основная часть теоретических исследований по амплитудной моноимпульсной радиолокации основывается на ряде упрощений, которые редко выполняются на практике. В частности, при

4

рассмотрении этих методов на ДН антенны часто накладываются следующие ограничения: идентичность ДН приемных каналов антенны (т.к. при этом достигается оптимальная эффективность определения угловых координат источника излучения), специальная (прямоугольная) конфигурация приемных каналов антенной системы, идеальность ДН (в частности, отсутствие боковых лепестков ДН), ограниченность рабочей области угловыми координатами, соответствующими главному лепестку ДН. В случае пассивной радиолокации усложняется возможность обнаружения сигнала и последующей его обработки. Существенным ограничением моноимпульсных методов также является требование присутствия только одного источника излучения в области работы антенной системы. На практике указанные допущения не всегда выполняются. Для учета этих и других проблем практической применимости методов моноимпульсной пеленгации необходима адаптация существующих или разработка новых алгоритмов цифровой обработки сигналов, поскольку многие задачи радиолокации, радионавигации, связи требуют повышенной точности оценки амплитуд, которая не может быть достигнута традиционными методами.

Цель работы

Целью диссертационной работы является разработка и исследование эффективности алгоритмов, позволяющих повысить по сравнению с традиционными методами точность определения угловых координат источника излучения амплитудным моноимпульсным методом пассивной пеленгации. Особое значение имеет задача обеспечения устойчивости разрабатываемых алгоритмов к присутствию в канале распространения аддитивных шумов высокого уровня в общей спектральной полосе и диапазоне углов антенной системы, наличию неидеальности и неидентичности ДН приемных каналов, а также сигналов нескольких источников излучения.

Научная новизна

• Предложен подход к анализу конфигурации приемных каналов антенной системы, позволяющий определить рабочую область и степень доверия к результатам пеленгации источника излучения амплитудным моноимпульсным методом. Преимуществом данного подхода является возможность применения для произвольных конфигураций многоканальных многолучевых систем.

• Предложены методы обработки сигналов с повышенной точностью определения угловых координат одного источника излучения по сравнению с традиционными алгоритмами в условиях наличия аддитивных шумов в принимаемых данных.

• Для многолучевой моноимпульсной антенной системы с парциальными каналами приема предложены алгоритмы, позволяющие в рамках общего порогового подхода определить число источников излучения и одновременно оценить их угловые координаты.

Научная и практическая значимость

Полученные в диссертационном исследовании теоретические результаты и алгоритмы обработки сигналов могут быть использованы при проектировании эффективных систем связи, навигации и мониторинга, использующих принципы моноимпульсной пеленгации. Проведенные исследования устойчивости работы алгоритмов по отношению к аддитивным шумам, а также неидеальности и неидентичности каналов приема, дают основания для их применения на практике в задаче амплитудной моноимпульсной пеленгации в условиях присутствия шумов высокого уровня и нескольких источников излучения. Разработанные алгоритмы могут быть использованы при обработке данных моноимпульсной антенной системы с многолепестковыми ДН приемных каналов.

Основные положения, выносимые на защиту

• Метод анализа конфигурации многоканальной многолепестковой амплитудной моноимпульсной антенной системы на основе оценки обусловленности матрицы линеаризованной системы уравнений пеленгации.

• Двухэтапный алгоритм амплитудной моноимпульсной пеленгации, включающий предварительную аппроксимацию ДН приемных каналов.

• Метод оценивания амплитуд сигналов, принятых многоканальной моноимпульсной антенной системой, на основе предварительной оценки энергии шума.

• Алгоритмы оценивания числа источников излучения и их угловых координат многоканальной многолепестковой амплитудной моноимпульсной антенной системой на основе:

- оптимизации функционала рассогласования для системы уравнений пеленгации;

- предварительной нейросетевой обработки данных.

• Результаты моделирования и исследования устойчивости работы предложенных алгоритмов моноимпульсной пеленгации по отношению к уровню аддитивных шумов.

Апробация работы

Основное содержание диссертационной работы отражено в 19 опубликованных работах, в числе которых 5 статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ [74, 76, 80, 82, 111], 14 тезисов докладов и статей в сборниках трудов отечественных [61, 65, 77, 112, 115, 119] и международных [62, 72, 73, 75, 81, 114, 116, 118] конференций. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

• научных конференциях по радиофизике, Нижний Новгород, ННГУ, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013 гг.;

• международных научно-технических конференциях «Информационные системы и технологии», Нижний Новгород, НГТУ, 2009, 2010, 2011, 2012,

2013 гг.;

• международных конференциях «Цифровая обработка сигналов и ее применение», Москва, ИПУ РАН, 2010, 2011 гг.;

• всероссийской научно-технической конференции «Радиолокация и радиосвязь», Москва, 2011 г.;

• научно-технической конференции «Радиолокация. Теория и практика», Нижний Новгород, 2012 г.;

• международной конференции «Signal Processing, Pattern Recognition, and Applications», Австрия, 2013 г.

Личный вклад автора

Автору принадлежит метод анализа произвольных конфигураций амплитудных моноимпульсных антенных систем, двухэтапный метод пеленгации, метод оценивания амплитуд сигналов, принятых многоканальной антенной системой, на основе предварительной оценки уровня шума в каналах, методы определения числа источников излучения. Выбор направления исследования, постановка целей и задач и обсуждение полученных результатов проводилось совместно с научных руководителем доцентом кафедры ИТФИ физического факультета ННГУ, к.ф.-м.н. Логиновым A.A., профессором кафедры ИТФИ, д.ф.-м.н. Морозовым O.A., заведующим кафедрой ИТФИ, профессором, д.т.н. Фидельманом В.Р. и с.н.с. НИФТИ ННГУ, к.ф.-м.н. Овчинниковым П.Е. Аналитические и численные расчеты, программная реализация предложенных алгоритмов выполнены лично автором.

Достоверность

Достоверность результатов исследования обеспечена использованием математически обоснованных современных методов цифровой обработки информации, корректным использованием теоретических и численных подходов. Работоспособность и эффективность предложенных алгоритмов подтверждается результатами компьютерных экспериментов, сравнением результатов обработки предложенных методов с результатами традиционных методов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений. Общий объем диссертации составляет 135 страниц, включая 65 рисунков, 5 таблиц и список литературы из 121 наименования.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность работы, формулируются ее цели, кратко излагается содержание диссертационной работы, отражается научная новизна и практическая значимость полученных результатов, приводятся основные положения, выносимые на защиту, а также сведения об апробации результатов.

Первая глава содержит краткий обзор современных методов моноимпульсной обработки сигналов и сформулированы проблемы, связанные с влиянием различных факторов на точность пеленгации.

В п. 1.1 изложены существующие подходы к определению угловых координат одного источника излучения в рамках одномерной задачи пеленгации, описан традиционный подход к расширению методики одномерной пеленгации на двумерную задачу (определения двух угловых координат). Рассмотрены традиционно применяемые конфигурации приемных каналов, отмечено их общее свойство - возможность выполнения разделения переменных.

В п. 1.2 описаны традиционные оптимальные методы определения амплитуды сигнала в случае активной и пассивной локации. Отмечено, что для пассивной локации присутствие шумов в сигнале оказывает значительно большее влияние в связи с априорной неопределенностью принимаемого сигнала.

В п. 1.3 представлен обзор работ по вопросу определения нахождения источника излучения в рабочей области пространства моноимпульсной антенной системы для традиционной четырехканальной конфигурации. Проведен анализ аналогичных методик для произвольной конфигурации.

В п. 1.4 приведено описание методик работы с сигналами от нескольких источников излучения. Рассмотрены два типа моноимпульсных антенных систем - с фазированной антенной решеткой и с парциальными каналами приема. Основное внимание уделено работе антенной системы с парциальными каналами приема. Отмечено, что для таких систем существуют критерии наличия в принимаемых данных сигналов более одного ИРИ, однако существенные трудности вызывает определение числа ИРИ и их совместная (одновременная) пеленгация.

В п. 1.5 сделаны выводы о необходимости адаптации традиционного алгоритма пеленгации для случая произвольной конфигурации приемных каналов амплитудной моноимпульсной системы, разработки методов, позволяющих повысить точность пеленгации для случая пассивной локации, создания методики определения рабочей области и вхождения ИРИ в нее, разработки алгоритма оценки числа ИРИ и определения их угловых координат.

Вторая глава посвящена вопросу анализа конфигурации многоканальной многолепестковой амплитудной моноимпульсной антенной системы (АС). В последнее время появились возможности создания многоканальных многолучевых АС нетрадиционной конфигурации с числом каналов более 4-х. Обсуждаются возможные варианты конфигураций многоканальных антенных систем и особенности работы с ними.

В п. 2.1 для антенных систем с идентичными ДН приемных каналов, описываемых двумерными функциями Гаусса (с одинаковыми дисперсиями), показано, что система уравнений пеленгации сводится к переопределенной системе линейных уравнений, которая традиционно решается сведением к системе нормальных уравнений Гаусса.

В работе предложено применение метода решения системы линейных уравнений пеленгации на основе разложения матрицы системы уравнений по сингулярным числам и отмечено, что такой подход позволяет для некоторых конфигураций уменьшить ошибки пеленгации по сравнению с традиционными методами решения. Предложен алгоритм анализа конфигурации антенной системы, в основе которого лежит сравнение величины обусловленности (отношения максимального сингулярного числа к минимальному) матрицы системы линейных уравнений пеленгации с пороговым значением. Показано, что для некоторых конфигураций приемных каналов применение критерия «ограниченности» обусловленности позволяет уменьшить ошибку пеленгации.

В п. 2.2 для АС с неидентичными ДН приемных каналов (в частности, ДН, описывающимися двумерными функциями Гаусса с разными дисперсиями или другими функциями) введен предварительный этап линеаризации системы уравнений пеленгации путем аппроксимации ДН приемных каналов идентичными функциями Гаусса. Аппроксимирующие функции используются при анализе конфигурации антенной системы, который выполняется аналогично случаю идентичных ДН приемных каналов. Проведено сравнение точности пеленгации с применением критерия и без него. В результате сравнения определено, что предложенный анализ конфигурации антенной системы позволяет определить рабочую область угловых координат, в которой задача определения пеленга путем решения системы линейных уравнений без дополнительной обработки является устойчивой, и показано, что для некоторых конфигураций антенной системы применение предложенного критерия позволяет улучшить статистические характеристики пеленгации (уменьшить ошибки пеленгации).

В п. 2.3сформулированы выводы по второй главе.

В третьей главе рассматриваются алгоритмы, позволяющие повысить устойчивость пеленгации одного ИРИ к аддитивным шумам.

В п. 3.1 предложен двухэтапный алгоритм пеленгации. Вследствие неидеальности ДН приемных антенн, в т.ч. наличия боковых лепестков, задача решения системы уравнений пеленгации путем оптимизации функционала среднеквадратичного рассогласования является многоэкстремальной. На первом этапе производится переход от реальных ДН приемных антенн к идеальной модели путем аппроксимации главных лепестков ДН функциями Гаусса с одинаковыми дисперсиями, при этом функционал рассогласования для системы уравнений пеленгации становится одноэкстремальным, положение минимума этого функционала принимается за начальное приближение пеленга. На втором этапе вблизи найденного начального приближения определяется решение с использованием реальных ДН путем локальной оптимизации многоэкстремального функционала. Приведены результаты компьютерного моделирования.

В п. 3.2 исследована модификация корреляционного моноимпульсного метода. Традиционный метод оценки амплитуд основан на расчете энергии принятого сигнала, при этом значительное влияние на точность оценки

9

амплитуды оказывают аддитивные шумы. Для увеличения отношения сигнал-шум (ОСШ) в сигналах в корреляционном методе используется переход от обработки непосредственно сигналов, принятых различными каналами антенной системы, к обработке их взаимных корреляционных функций (ВКФ). В рамках этой модели осуществляется переход к системе «мнимых» антенн, в которой угловые координаты источника излучения не изменяются, сигнал, принимаемый этой системой, определяется автокорреляционной функцией исходного сигнала, а ДН мнимых антенн задаются взаимными произведениями ДН реальных антенн. Для уменьшения влияния аддитивных внешних шумов предложено в алгоритме оценки амплитуды производить дополнительную фильтрацию ВКФ сигнала. Проведено исследование точности определения амплитуд традиционным и корреляционным алгоритмом. Показано, что учет специфики моноимпульсной пеленгации (синфазности приема сигнала различными каналами) в корреляционном методе позволяет повысить точность определения амплитуд. Исследована точность пеленгации в условиях присутствии в сигнале аддитивного внутреннего шума аппаратуры и внешних шумов. Показаны результаты исследований точности пеленгации двухэтапным методом и корреляционным для трех различных случаев расположения ИРИ. Исследована устойчивость корреляционного моноимпульсного метода к неточности знания ДН и коэффициентов усиления приемных трактов. Отмечена меньшая устойчивость корреляционного метода к влиянию указанных факторов, что объясняется двойным вкладом ошибок в данных в алгоритм пеленгации - при расчете ДН мнимых антенн и при решении системы уравнений пеленгации.

В п. 3.3 предложен алгоритм оценки амплитуд сигналов на основе предварительной оценки энергии шума. Для сигналов с низким ОСШ влияние аддитивного шума на точность определения амплитуд может быть уменьшено путем исключения некоррелированной шумовой составляющей Еп из энергии принятого сигнала. Для этого применяется эталонный сигнал (?), содержащий только полезную составляющую, принятый синфазно с сигналами в каждой из приемных антенн.

Выбор антенны с эталонным сигналом осуществляется на основе критерия максимума энергии. Угловые координаты ИРИ определялись путем решения системы уравнений пеленгации по полученным оценкам амплитуд. Исследована точность определения амплитуд и точность пеленгации для сигналов на фоне шумов различного рода.

По результатам компьютерного модулирования сделаны следующие выводы об областях применимости предложенных алгоритмов. Применение двухэтапного алгоритма пеленгации с традиционным методом оценки амплитуд обосновано в случае, если выполняется традиционная оценка амплитуд сигналов, основанная на расчете мощности, или если АС работает в режиме с обратной связью (ось антенны «следит» за целью). Применение корреляционного метода и метода на основе предварительной оценки

энергии шума целесообразно в случае, если АС работает в режиме без обратной связи и возможны значительные отклонения цели от равносигнального направления. Эффективность метода на основе предварительной оценки энергии шума сравнима с эффективностью корреляционной обработки и превосходит ее при приближении к границе рабочей области.

В п. 3.4 сформулированы выводы по третьей главе.

Четвертая глава посвящена проблеме обработки сигналов, принятых многоканальной амплитудной моноимпульсной системой пеленгации, когда в рабочей области антенной системы находится более одного источника излучения. Предложены два алгоритма, позволяющие оценить число источников излучения в рабочей области пространства.

В п. 4.1 предложен алгоритм оценки числа ИРИ методом оптимизации функционала среднеквадратичного рассогласования, составленного для системы уравнений пеленгации.

Операция поиска минимума функционала выполняется для всех возможных значений числа ИРИ N. Решение о числе источников принимается путем анализа минимума функционала оптимизации на основе порогового метода. Значение порога определяется по критерию минимума суммы условных вероятностей ошибки, соответствующему минимуму вероятности принятия неверного решения рм/.

В п. 4.2 предложен алгоритм оценки числа ИРИ с применением нейросетевой обработки данных, полученных моноимпульсной антенной системой. Суммарно-разностные отношения амплитуд (или мощностей) сигналов, принятых различными приемными каналами, подаются на вход нейронной сети, на выходе которой формируется функция распределения излучения по пространству угловых координат. При обучении сети в качестве модели распределения излучения от одного ИРИ использовалась двумерная функция Гаусса. Положения источников излучения определяются по функции распределения излучения на выходе нейронной сети путем «вписывания» указанной модели в выходные данные нейронной сети, на основе оптимизации соответствующего функционала рассогласования. Данная операция проводится для всех возможных значений числа ИРИ. Решение о числе источников производится аналогично первому алгоритму -пороговым методом; значения порога определяется по критерию минимума суммы условных вероятностей ошибки.

Оба предложенных метода позволяют одновременно с оценкой числа ИРИ определять их угловые координаты. В п. 4.3 на примере антенной системы с 19 приемными каналами проведено сравнение предложенных методов. Выбор оптимального уровня принятия решения в алгоритме оптимизации для системы уравнений пеленгации позволяет достичь меньшей вероятности принятия неверного решения. Проведено исследование влияния условий приема на вероятность принятия неверного решения о числе ИРИ: наличие в сигналах аддитивных шумов и различий мощностей ИРИ.

Определены разрешающие способности и точности пеленгации обоих методов. Показано, что в условиях наличия аддитивных шумов оптимальное значение порогового уровня зависит от шумовой обстановки (уровня шума). Поэтому на практике для обоих методов необходим дополнительный канал обработки, который позволяет оценить уровень шума в обрабатываемых данных, и выбрать соответствующий оптимальный уровень. Выявлено, что обучение нейронной сети по данным, содержащим шумы того же уровня, что и в обрабатываемых данных, позволяет получить значительное преимущество - меньшую вероятность принятия неверного решения по сравнению с оптимизационным методом. Однако во всех исследованиях выявлено, что метод оптимизации для системы уравнений пеленгации обладает более стабильными характеристиками относительно выбора уровня принятия решения. Также в случае, когда возможна работа с несколькими источниками, различающимися по мощности в 2-3 раза, или необходимо высокое разрешение двух источников излучения, применение алгоритма оптимизации для системы уравнений пеленгации предпочтительней.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Семенова, Марина Юрьевна, 2013 год

ЛИТЕРАТУРА

[1] Роде Д.Р. Введение в моноимпульсную радиолокацию. - М.: «Советское радио», 1960.

[2] Леонов А.И., Фомичев К.И. Моноимпульсная радиолокация. - М.: Радио и связь, 1984. - 312 с.

[3] М. Z. Song, Т. Hong Sum and difference multiple beam modulation transmitted by multimode horn antenna for inverse monopulse direction-finding. // Progress In Electromagnetics Research, PIER 82, 367-380, 2008.

[4] Sherman, S. M., Barton D.K. Monopulse Principles and Techniques. (2nd ed.). - Boston: Artech House. 2011. 419 p.

[5] Nickel U. Overview of generalized monopulse estimation. // IEEE Aerospace and Electronic Systems Magazine, 2006. - Vol. 21, No. 6. - p. 27-56.

[6] Seliktar Y. Space-time adaptive monopulse processing. / A Proposal for a Doctoral Dissertation, Georgia Institute of Technology, 1998. - 39 p.

[7] Y. Seliktar Space-time adaptive monopulse processing. / A Thesis presented to the academic faculty, Georgia Institute of Technology, 1998. - 161 p.

[8] Сазонов Д.М. Антенны и устройства СВЧ. - М.: Высш. шк., 1988. -432 с.

[9] Радиотехнические системы. / Под ред. Ю.М. Казаринова. - М.: Высш. шк., 1990.-496 с.

[10] G. F. Hatke, Superresolution source location with planar arrays. // Lin-coln Lab. J., 1997. - Vol. 10, No. 2. - p. 127-146.

[11] Hannan P.W. Optimum feeds for all three modes of a monopulse antenna: I-Theory; II-Practice. // IRE Trans. Antennas ans Propagation. Vol. Ap-9.pp. 444-461. 1961.

[12] Howard D.D. Tracking radar // in Radar handbook, 3rd edition / Ed. M. Skolnik, McGraw-Hill Companies, 2008. 1352 p.

[13] Soumekh M. Moving target detection in foliage using along track monopulse synthetic aperture radar imaging. // IEEE Transactions on Image Processing, 1997.-Vol. 6, No. 8.-p. 1148-1163.

[14] Willett P., Blair W.D., Zhang X. The multitarget monopulse CRLB for matched filter samples. // IEEE Transactions on Signal Processing, 2007. -Vol. 55,No. 8.-p. 4183-4197.

[15] Бакулев П.А. Радиолокационные системы. - M.: Радиотехника. 2004. 320 с.

[16] Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. - М.: Сов. радио. 1966. 680 с.

[17] Богословская М.А. Повышение достоверности и точности измерения угловых координат целей моноимпульсным

пеленгатором: Дне. ... канд. техн. наук / Московский авиационный институт. - М., 2008. - 113 с.

[18] Защита от радиопомех. Под ред. Максимова М.В. - М.: Сов. радио, 1976. 496 с.

[19] Чкунин В.Н., Щур Ю.И. О перекрестных связях в двухкоординатных импульсных пеленгаторах. - Вопросы радиоэлектроники, серия общетехническая. Вып. 7, 1981.

[20] Щур Ю.И., Ратнер В.Д., Филимошин Р.В. Дополнительные возможности моноимпульсных радиолокаторов при внеосевой пеленгации. - Вопросы радиоэлектроники, серия Общие вопросы радиоэлектроники, вып. 4. 1992.

[21] Starchencko S.I. Analysis of the effect of the shape of the radiation pattern on the accuracy of azimuth measurements by the monopulse method. // Measurement techniques. Vol. 41. No. 4. 1998. p. 375-377.

[22] Nasrollahnejad M.B., Nowdeh S.A., mokhtari Y. moharlooei P. LEO satellite tracking using monopulse. // Middle-East ournal of Scientific Research. Vol. 11(6). 2012. pp. 723-726.

[23] Кашин B.A., Тумаская A.E., Шумилов В.Ф. Особенности формирования диаграмм направлнности моноимпульсной активной фазированной антенной решетки с купольной линзой. // Радиотехника и электроника. 2012. Т.57. №9. с. 957-967.

[24] Wang Z.X., Dou W.B. Full-wave analysis of monopulse dielectric lens antennas at W-band. // Journal of Infrared Millimeter and Terahertz Waves. Vol. 31. No. 2. pp. 151-161. 2010.

[25] Гаврик Ю.А. Построение радиоизображений космических объектов по данным узкополосной радиолокации: Дис. ... канд. физ.-мат. наук / Московский физико-технический институт. - М., 2005. - 148 с.

[26] Selictar Y., Williams D.B., Holder E.J. A space/fast-time adaptive monopulse technique. // EURASIP Journal on Applied Signal Processing, vol. 2006. 2006. p. 1-11.

[27] Seliktar Y., Holder E.J., Williams D.B. An adaptive monopulse processor for angle estimation in a mainbeam jamming and coherent interference scenario. // Proceedings of the 1998 IEEE International Conference "Acoustics, Speech and Signal Processing". 1998. pp. 2037-2040 vol.4.

[28] Pal. S., Das. S., Basak A. Synthesis of difference patterns for monopulse antennas with optimal combination of array-size and number of subarrays

a multi-objective optimization approach. // progress In Electromagnetics Research B. vol. 21. 2010. p. 257-280.

[29] Manuilov B.D., Bashly P.N, Klimukhin D.V. Formation of nulls in vector beam patterns of monopulse arrays of ectangular waveguides by correcting currents in some array elements. // Radiophysics and Quantum Electronics. Vol. 46. No. 12. 2003. p. 948-956.

[30] Амиантов И.Н. Избранные вопросы статистической теории связи. -М.: Советское радио. 1971. 416 с.

Павлов В.И., Шульгин А.А. Организация обработки информации в угломерной подсистеме многопозиционной PJIC при действии мерцающих помех. // Радиотехника. №5. 2011. с. 17-22 Баринов С.П., Ельцов О.Н. Точностные характеристики моноимпульсного пеленгатора PJIC в условиях когерентных и некогерентных помех. // Радиотехника. 2009. №6. С. 48-51. Zhang Y., Zhang Z., Wang J. Study on the technology of tracking noise jamming with monopulse radar ad analysis on the tracking errors. // WSEAS transactions on communications. 2009. Vol. 8.1.7. pp. 648-657. Greco M., Gini F., Farina A. Joint use of sum and delta channels for multiple target DOA estimation. // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. Viol. 43. 2007. pp. 1146-1154. Sherman S. Complex indicated angles applied to unresolved radar targets and multipath. // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. V. AES-7. 1971. No 1. P. 160-170.

Asseo S.J. Effect of monopulse signal thresholding on tracking multiple targets. // IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems. Vol. AES-7. 1974. p. 504-509.

Blair W.D., Brandt-Pearce M. Unresolved Rayleigh target detection using monopulse measurements. // IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems. Vol. 34 1998. p. 543-552.

Макаров E.C. Анализ углового сверхразрешения источников электромагнитного поля в многоканальных системах с малой апертурой: Дис. ... канд. физ.-мат. наук / Воронежский государственный университет. - Воронеж, 2009. - 153 с. Варфоломеев Г.А., Монаков А.А. К вопросу о физическом смысле комплексного моноимпульсного отношения. // Успехи современной радиоэлектроники. №5. 2011. с. 52-55.

Бакитько Р.В., Полыциков В.П., Шилов А.И., Хацкелевич Я.Д., Болденков Е.Н. Метод формирования "нулей" в диаграмме направленности антенной решетки. // Радиотехника. 2007. №12. с. 37-40.

Гусевский В.И., Гедак П.В., Довбня И.С., Белов JI.A. Формирование нулей в диаграмме направлнности зеркальный антенн с помощью пассивныхрассеивателей. //Радиотехника. 2009. №1.С. 9-13. Карпухин В.И., Козлов С.В., Сергеев В.И. Особенности и характеристики моноимпульсных радиолокационных измерителей угловых координат с пространственной корреляцией помех. // Радиотехника. 2009. №6. С. 69-74.

Попов А.С., Кузнецов А.С., Баранов В.М. Особенности формирования нулей в диаграмме направленности моноимпульсной антенной решетки. // Зарубежная радиоэлектроника. 1994. №11/12. Манулов Б.Д., Башлы П.Н. Оптимизации векторных диаграмм направленности моноимпульсных антенных решеток с совместным формированием лучей // Антенны. 2004. № 2 (81). с. 51-58.

[45] Хзмалян А.Д. Фазовый синтез провалов в диаграмме направленности моноимпульсной антенной решетки. // Радиотехника и электроника. 2002. Т.47. №7. с. 837-840.

[46] Sherman S. Complex indicated angles in monopulse radar. // Ph.D. dissertation. University of Pennsylvania. 1965.

[47] Peebles P.Z., Berkowitz R.S. Multiple-target monopulse radar processing techniques. // IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems. Vol. AES-4. 1968. p. 845-854.

[48] Pollon G.E., Lank G.W. Angular tracking of two closely spaced radar targets. // IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems. Vol. AES-4. 1968. p. 541-550.

[49] Blair W.D., Watson G.A., Brandt-Pearce M. Monopulse tracking of two unresolved Rayleigh targets. // Proc. SPIE 3163, Signal and Data Processing of Small Targets 1997. p. 452-463.

[50] Giunta G., Lucci L., Nesti R., Pelosi G., Selleri S., Serrano F. A comparison between standart and crossfeed monopulse radars in presence of rough sea scattering and ship movements. // International jounal of antennas and propagation. 2010. Vol. 2010. p. 1-9.

[51] Peebles P.Z. Multipath angle error reduction using multiple target methods. // IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems. Vol. AES-7. 1971. p. 1123-1130.

[52] McGarty T.P. Stochastic systems and state estimation. - New York: Wiley. 1974. 416 p.

[53] McAulay R. J., McGarty T. P. Maximum-likelihood detection of unresolved radar targets and multipath. // IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems, AES-7. 1974. p. 821-829.

[54] Asseo S. J. Detection of target multiplicity using quadrature monopulse angle. // IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems. Vol. AES-17. 1981. p. 271-280.

[55] Bogler P. L. Detecting the presence of target multiplicity. // IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems. Vol. AES-22. 1986. p. 197-203.

[56] Ogle, T.L., Blair, W.D., Brown, G.C. Tracking separation target with a monopulse radar: idealized resolution. // Proc. of 16th Int. Conf. Information Fusion. 2003. p. 1149-1155.

[57] Самарский A.A. Введение в численные методы. - М.: Наука, 1982. -269 с.

[58] Марпл-мл. C.JI. Цифровой спектральный анализ и его приложения. -М.: Мир, 1990.-584 с.

[59] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. - М.: Наука. 1974. - 296 с.

[60] Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. -М.: Мир, 1969. - 167 с.

[61] Логинов А.А., Морозов О.А., Семенова М.Ю. Анализ конфигурации антенной системы для оценки погрешности измерений в задаче

амплитудной моноимпульсной пеленгации // Труды 15й Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2011. С. 129-131. Логинов A.A., Морозов O.A., Семенова М.Ю. Оценка погрешности пеленгации амплитудным моноимпульсным методом на основе анализа конфигурации антенной системы // Материалы XVII международной научно-технической конференции

«Информационные системы и технологии» (ИСТ-2011), НГТУ, 2011. С. 62.

Фельд Я.Н., Бененсон Л.С. Основы теории антенн. - М.: Дрофа, 2007.-491 с.

Теоретические основы радиолокации. Под ред. Ширмана Я.Д. // М.: Советское радио, 1970.

Логинов A.A., Морозов O.A., Семенова М.Ю. Алгоритм амплитудной моноимпульсной пеленгации с учетом влияния боковых лепестков ДН // Труды 13й Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2009. С.97-98.

Pardalos P.M., Romeijn Н.Е. Handbook of Global Optimization, volume 2. Nonconvex Optimization and Its Applications. - Kluwer Academic Publishers. 2002. 572 p.

Устройство пеленгации малозаметных радиолокационных станций: пат. 2343500 Рос. Федерация. № 2007129450/09; заявл. 01.08.07; опубл. 10.01.09.

Моноимпульсный пеленгатор: пат. 2297645 Рос. Федерация. № 2005133887/09; заявл. 02.11.05; опубл. 20.04.07. Моноимпульсный пеленгатор: пат. 2326397 Рос. Федерация. № 2007100066/09; заявл. 09.01.07; опубл. 10.06.08. Двухканальный пеленгатор: пат. 2078348 Рос. Федерация. № 93014675/09; заявл. 22.03.93; опубл. 27.04.97.

Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов. - М.: Радио и связь, 1982.-624 с.

Логинов A.A., Морозов O.A., Семенова М.Ю. Исследование влияния различных видов шумов на эффективность корреляционной схемы пеленгации моно импульсным методом // Труды 11 й междунар. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (DSPA'09). Москва. 2009. С.349-352.

Логинов A.A., Морозов O.A., Семенова М.Ю. Корреляционная схема пеленгации амплитудным моноимпульсным методом // Материалы XV международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии» (ИСТ-2009), НГТУ, 2009. С. 41-42.

Логинов A.A., Морозов O.A., Семенова М.Ю. Влияние погрешностей настройки каналов приема на устойчивость алгоритмов моноимпульсной пеленгации // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2012. №4(1). СЛ14-117.

[75] Логинов A.A., Морозов O.A., Семенова М.Ю. Алгоритм предварительной обработки сигналов в задаче пассивной амплитудной моноимпульсной пеленгации // Труды 12й междунар. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (DSPA'10). Москва. 2010., Вып. XII-2, С.26-29.

[76] Логинов A.A., Морозов O.A., Семенова М.Ю. Алгоритмы повышения точности оценки пеленга в задаче амплитудной моноимпульсной пассивной локации // Вестник Нижегородского университета им. H.H. Лобачевского. 2010. №5(2). С.358-362.

[77] Логинов A.A., Морозов O.A., Семенова М.Ю. Повышение точности пассивной пеленгации источника излучения на фоне аддитивных шумов амплитудным моноимпульсным методом // Труды 14й Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2010. С.167-168.

[78] Howard D.D. Tracking radar // in Radar handbook, 3rd edition / Ed. M. Skolnik, McGraw-Hill Companies, 2008. 1352 p.

[79] Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Радио и связь, 1989. 656 с.

[80] Логинов A.A., Морозов O.A., Семенова М.Ю. , Фидельман В.Р. Метод оценки числа источников излучения в задаче амплитудной моноимпульсной пеленгации // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2013. Т. LVI. №7. С. 513-520.

[81] Логинов A.A., Морозов O.A., Семенова М.Ю. Определение числа источников излучения при амплитудной моноимпульсной локации // Материалы XIX международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии» (ИСТ-2013), НГТУ, 2013. С. 29.

[82] Логинов A.A., Морозов O.A., Семенова М.Ю. Алгоритмы предварительной обработки сигналов в задаче моноимпульсной пассивной пеленгации // Проектирование и технология электронных средств. 2012. №3. С. 15-19.

[83] Ашметков А. Пороговый шумоподавитель // Радио. 1978. №8. с. 55..

[84] Джейнс Э.Т. О логическом обосновании методов максимальной энтропии. // ТИИЭР, 1982. Т.70. №9. С.33-51.

[85] Василенко Г.И., Тараторин A.M. Восстановление изображений. М. :Радио и связь, 1986. 302с.

[86] Татузов А.Л. Нейронные сети в задачах радиолокации. М.: Радиотехника, 2009. 432 с.

[87] Нейрокомпьютеры в системах обработки сигналов / Под ред. Ю.В. Гуляева и А.И. Галушкина. М: Радиотехника, 2003. 344 с.

[88] Овчинников П.Е., Семенова М.Ю. Нейросетевое детектирование сигналов с частотной манипуляцией. // Научная сессия МИФИ -2008. X Всероссийская научно-техническая конференция «Нейроинформатика-2008» Сборник научных трудов. В 2-ч частях. 4.1. М.: МИФИ, 2008. С. 18-25.

[89] Адаптивное пороговое устройство: авторское свидетельство СССР № 617851. заявл. 31.03.77; опубл. 30.07.78.

[90] Оссовский С. Нейронные сети для обработки информации / Пер. с польского И.Д. Рудинского. М.: Финансы и статистика, 2002. 311 с.

[91] Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. - М.: Мир, 1975, 536 с.

[92] Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. - М.: Мир, 1982, 583 с.

[93] Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. -М.: Мир, 1980. 280 с.

[94] Худяков Г.И. Теорема отсчетов теории сигналов и ее создатели. // Радиотехника и электроника. 2008. Т. 53. №9. С. 1157-1168.

[95] Джерри А.Дж. Теорема отсчетов Шеннона, ее различные обобщения и приложения. Обзор. // ТИИЭР. 1977. Т. 65. №11. С. 53-89.

[96] Шеннон К. Упрощенный вывод теории сглаживания и предсказания по методу наименьших квадратов. - М.: ИИЛ, 1963. - С. 687.

[97] Голд Б., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов. - М.: Сов. Радио, 1973, 368 с.

[98] Котельников В. А. О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи. // Успехи физических наук : Журнал. — 2006. — № 7. —С. 762-770

[99] Кузнецов Н.А., Козякин B.C. Теорема Котельникова - основа цифрового оценивания и моделирования непрерывных процессов. // Радиотехника. 2008. №8. С. 8-14.

[100] Рождественский ДБ. Восстановление дискретных наблюдений по конечному числу отсчетов. // Успехи современной радиоэлектроники. 2010. №4. С. 49-63.

[101] Jaw F.S. Optimal sampling of electrophysiological signals. // Neuroscience Research Communications. Vol. 28. 2001. p. 75-84.

[102] Santina M., Stubberud A.R. Sample-rate selection, in The Control Handbook, ed. by W.S. Levine (CRC Press, 2011).

[103] Крутский A.B., Хмара B.B. Оптимизация структуры, состава технических средств и алгоритмов функционирования АСУТП. // Труды молодых ученых. №2. 2011.

[104] Kirkegaard Р.Н., Optimal selection of the sampling interval for estimation of modal parameters by an ARMA- model. // Proc. 11th Int. modal Analysis Conf. Vol. 1. 1993. p. 240-246.

[105] Ибряева О.Л., Семенов A.C., Шестаков А.Л. Оптимизация частоты дискретизации сигнала при использовании метода Прони. // Труды 13-й Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение», Москва, 2011. С. 108-110.

[106] Bushuev O.Y., Ibryaeva O.L. Choosing an optimal sampling rate to improve the performance of signal analysis by Prony's method. // Proc. 35th Int. Conf. on Telecommunications and Signal Processing. 2012. p. 634-638.

[107] Морозов O.A., Солдатов Е.А., Фидельман В.Р. Определение взаимной временной задержки сигналов методом адаптивной цифровой фильтрации. // Автометрия. 1995. №2. С. 108-113.

[108] Розов Ю.Л., Тихонов О.Н., Челпанов И.Б. О выборе оптимального способа интерполяции и оптимального интервала дискретности. // Автометрия. 1968. №5. С. 7-11.

[109] Логинов A.A., Морозов O.A., Солдатов Е.А., Фидельман В.Р., Бережной И.О. Выбор информационно-оптимального шага дискретизации непрерывных сигналов. // Вестник ИНГУ. Серия «Радиофизика». 2007. №2. С. 91-94.

[110] Логинов A.A., Морозов O.A., Солдатов Е.А., Хмелев С.Л. Комбинированная цифровая фильтрация гармонического заполнения фазоманипулированных сигналов в задаче определения временной задержки. // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2007. Т. LI. № 7. С. 255-264.

[111] Логинов A.A., Морозов O.A., Семенова М.Ю. Оптимальная дискретизация фазоманипулированных сигналов в задаче определения взаимной временной задержки // Автометрия. 2012. Т. 48. №4. С. 120-125.

[112] Логинов A.A., Морозов O.A., Семенова М.Ю. Влияние выбора оптимальной частоты дискретизации на эффективность алгоритма определения временной задержки // Доклады 5й Всероссийской научно-технической конференции «Радиолокация и радиосвязь». Москва. 2011. С.338-340.

[113] Козякин B.C., Кузнецов H.A. Достоверность компьютерного моделирования с точки зрения теории информации. // Информационные процессы. 2007. Т. 7. №3. С. 323-368.

[114] Loginov A.A., Semenova M.Yu. Optimal sampling of PSK signals in mutual time delay estimation problem // Proc. of the 10th IASTED International Conference on Signal Processing, Pattern Recognition, and Applications (SPPRA 2013), Innsbruck, Austria, 2013. P. 547-550

[115] Семенова М.Ю. Зависимость эффективности алгоритмов цифровой обработки сигналов от шага эквидистантной дискретизации // Труды 16й Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2012. С. 141-142.

[116] Логинов A.A., Морозов O.A., Семенова М.Ю. Влияние частоты дискретизации на устойчивость алгоритма определения взаимной временной задержки // Материалы XVIII международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии» (ИСТ-2012), НГТУ, 2012. С. 28.

[117] А. А. Логинов, О. А. Морозов, Е. А. Солдатов, В. Р. Фидельман Алгоритм нелинейной цифровой фильтрации гармонического заполнения фазоманипулированных сигналов. // Известия ВУЗов. Радиофизика. Том XLIX. № 8. 2006

[118] Loginov A.A., Morozov O.A., Semenova M.Yu. FSK signals detection by digital filtration based on Capon approach // Proc. of IV International

116

Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems, St. Petersburg, Russia, 2012. P. 258-261.

[119] Логинов A.A., Морозов O.A., Семенова М.Ю. Применение метода минимальной дисперсии Кейпона в задаче декодирования 4M сигналов // Труды 12й Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2008. С.112-113.

[120] Способ подавления шума путем спектрального вычитания: пат. 2145737. Рос. Федерация. № 97116274/09; заявл. 12.01.96; опубл. 20.02.00.

[121] Основные принципы моноимпульсной пеленгации: Учебно-методическое пособие / сост. A.A. Логинов, М.Ю. Семенова. -Н. Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2013. - 36 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Решение системы линейных уравнений на основе

разложения матрицы по сингулярным числам

При решении системы нормальных уравнений

Ах = Ь, (П.2Л)

где А - квадратная матрица размером пхп, коэффициенты матрицы А и правой части b редко бывают известны точно. Ошибки в правой части системы уравнений могут повлечь за собой существенные ошибки в решении при больших значениях числа обусловленности cond{А) матрицы А [93].

На практике у системы нормальных уравнений часто число обусловленности принимает большие значения, поэтому ошибки во входной информации и ошибки округления, внесенные в процессе решения, чрезмерно преумножаются в решении системы х. Наиболее надежный метод вычисления основан на матричной факторизации, называемой сингулярным разложением (SVD - singular value decomposition). Существуют другие методы решения, требующие по сравнению с сингулярным разложением меньшего машинного времени и памяти, однако они менее эффективны в том, что касается учета ошибок заданной информации и ошибок округления.

Произвольную комплексную матрицу А ранга к размером тхп можно представить в виде:

А = иЕУя, (П.2.2)

где U - унитарная матрица размером тхт, V - унитарная матрица размером п х п, а матрица Е размером тхп имеет структуру:

Е =

D

О

(Л о

где Р - диагональная матрица размером кх к [58]. Диагональные элементы ст1, ..., ак матрицы Б - положительные действительные числа, называемые сингулярными числами матрицы А.

±1

Псевдообратная матрица Мура-Пенроуза А однозначно определяется через компоненты разложения (П.2.2) по сингулярным числам, как матрица вида:

А# = УИ#ия.

(

где

D~

О

Если все <Ji отличны от нуля, то элементы обратной

матрицы D 1 определяются сингулярными числами:

(И

С>л

D

-1

О

О

1/сг2

О О

О

о

о

О 0 Мег,

к J

Однако на практике, если ст1 малы, такое определение значений матрицы

D1 не приемлемо, поскольку приводит к неустойчивости результатов, полученных с помощью такой матрицы. Для увеличения устойчивости к ошибкам в исходных данных необходимо определить границу г, отражающую точность исходных данных и точность используемой плавающей арифметики. Сингулярные числа <т,, большие чем т, приемлемы

для использования при расчете соответствующих элементов матрицы ГГ1. Любое суj, меньшее, чем т, должно рассматриваться как пренебрежимо

малое, и соответствующий элемент в матрице D-1 следует заменить на нулевое значение.

При этом псевдообратная матрица А# позволяет получить решение по методу наименьших квадратов х = A b с минимальнои нормой для задачи отыскания п х 1 -вектора х, который одновременно минимизирует ошибку, определяемую квадратным уравнением (П.2.1) для некоторого заданного mxl-вектора Ь, и длину искомого вектора х. Ограничение минимальной длины х необходимо для того, чтобы гарантировать единственность решения в тех случаях, когда более одного вектора х будут минимизировать норму вектора разности левой и правой частей системы (П.2.1) ||Ах-Ь||2. Если m = п и ранг матрицы А равен п (т. е. она невырожденная), тогде

и

псевдообратная матрица А превращается в обычную квадратную матрицу, обратную А, т. е. А# = А-1. Если m> п и rank А = п, то А# = (аяа) Ая ,

а х = (аяа) АЯЬ соответствует обычному решению системы переопределенных уравнений по методу наименьших квадратов. Если п> m

и rank A = т, то А# = АЯ(ААЯ) 1 и х = Ая(ААя) lb. Это решение часто

называют решением с минимальной нормой для системы недоопределенных уравнений, поскольку решение с псевдообратной матрицей будет давать вектор х минимальной длины.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Взаимная корреляция сигналов с выходов различных каналов приемной системы

Пусть сигнал s^t), принятый первой антенной представляет собой сумму, образованную из исходного сигнала sucx(t), пришедшего с направления (х,^), внутреннего шума (шума аппаратуры) па] (t), шумоподобного сигнала nM(t), пришедшего с направления (х',У), и естественного шума ne(t), приходящего со всех направлений. Тогда сигнал Si(t) можно представить в виде:

(0 = Sucx (O/l (x, у) + (O/l О', У') + { ne (t, xx, )fx (xx, )dxxdyx + naX(t)

*l> У1

Сигнал s2(t), принятый второй антенной, представляется аналогично. Будем исследовать взаимную корреляционную функцию s(t) сигналов Sj (t) и s2 (t):

s(t) = sx(t) <8> s2(t) = jsx(t)s2(t + r)dt =

= rucx(T)f\(x,y)f2(x,y) + Гш(т)/х(х',у')/2(х',у') + + J ne (t, xx, yx )ne 0t + r,x2,y2 )fx (Xj, yx )/2 (x2, )dxxdx2dyxdy2dt + raX a2 (r ) +

+ r«cx iu(j)f\(x,y)f2(x\y) + гш ucx(T)fx(x',y')f2(x,y) +

rucx

+ f\ (x, У) J rucx e (t, x2 , y2 )/2 (x2, y2 )dx2dy2 + f2 (x, y) J re ucx (r, xx, yx)/, {xx, ^ )dxxdyx

x2 >У2

+ f\ (x\ У) Je(r, x2, _y2 )/2 (x2, _y2)й?х2ф2 + f2 (x',y') J re ш (г, X], yx )fx (Xj, yx )dxxdyx x21У2 ХЬУ1

+ гш агШ\(х\у') + raX ш(т)/2(х',У) +

+ ¡raie(T>x2,y2)fx(x2,y2)dx2dy2 + Jre a2(r,xx,yx)/,(xx,)dxxdyx

Учтем, что внутренние шумы аппаратуры в различных приемных антеннах не коррелированы между собой

с исходным сигналом

Га\ исх(Т) - О' rucx а2 (r) = О

и внешними шумами

га\е(т>х2,у2) = 0,

Геа2(Т,Хх,ух) = 0.

Учтем, что естественный внешний шум во всех направлениях не коррелирован с исходным сигналом

гисхе(т>х2,у2) = 0,

Геисх(Т>Хх,ух) = 0

и шумоподобным внешним сигналом

ГШе(Т>Х2,у2) = 0,

гею(т,хх,ух) = 0.

Учтем, что автокорреляция естественного шума представляет собой дельта-функцию в момент времени т = 0:

/ пе (А х,, ^ )пе (7 + т,х2, у2)/, , ^ )/2 (х2, у2 =

»^»^.УгЖ^г -^чЖлЪ ~У\)Мхх,Ух)/2{х2,у2)(Ь^х^ухау2 = = ^(т) |£е(X!, ^ (хх, ^ )/2(X!, ух X{с1х2

Если уровень естественного шума во всех направлениях одинаков Ее, то

3(т) | Ее(хх, ух )/х , у1 )/2 , ^ )скхс1х2 =<2Ее8(т),

хъУ\

где

Q= \Мхх,Ух)/2(хг,ух)йххдх2 .

Тогда взаимная корреляционная функция ¿■(г) примет вид: ■КО = гисх(т)/{(х,у) + гш(г)//(х',У) + + Гисх ш Шх (*, у)/2 (х', У) + /х (х', У)/2 (х, у)) + £ Ее5{т)

Из полученного выражения видно, что шум аппаратуры не влияет на величину взаимной корреляционной функции 5(т) принятых сигналов, а естественный внешний шум дает вклад только в момент времени т = О.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Выбор оптимальной частоты дискретизации

Одним из основных этапов предварительной обработки сигналов является процедура дискретизации. Ее значение особенно возросло в последние десятилетия в связи с все общей компьютеризацией и с переходом радиоэлектроники на цифровые технологии [94]. Возможность замены непрерывного сигнала дискретной последовательностью его отсчетов, позволяющей восстановить исходный сигнал без потери информации [95], обоснована теоремой отсчетов. В таком виде в теории информации теорема известна как теорема Котельникова-Шеннона и широко используется при цифровой обработке сигналов в радиотехнике, радиофизике, оптике и других научно-технических областях [58, 95-97].

Возможность представления полной информации о непрерывном сигнале с финитным частотным спектром дискретной последовательностью его отсчетов показана В.А. Котельниковым еще в 1933 г [98]. Теорема отсчетов Котельникова гласит, что непрерывный сигнал х(7), имеющий спектр, ограниченный максимальной частотой , может быть однозначно и без потерь восстановлен по своим дискретным отсчетам с частотой

/дискр - 2/т или интервалом (шагом) дискретизации At < ——. В теореме

отсчетов определяется минимальная частота дискретизации (частота

121

Найквиста) функции с ограниченным спектром, и формулируется алгоритм интерполяции этой функции по дискретным отсчетам с интервалом А? [99]:

к=-сЛ 2 яРтЦ-Шт)

Теорема Котельникова решает задачу интерполяции только для функций с ограниченным спектром, т.е. заданных на бесконечном интервале времени 1\ - со < ? < +оо . Существует целый ряд вариантов теоремы отсчетов для различных классов сигналов [95]. В них выясняют математические условия, при которых сигналы данного класса могут быть однозначно восстановлены по своим мгновенным значениям так же в бесконечным множестве эквидистантных или неэквидистантных моментов времени [94]. Однако в практических задачах всегда имеют дело с конечным интервалом наблюдения, а значит необходимо работать с сигналами с бесконечным спектром [99]. При восстановлении (интерполяции) в окрестностях граничных точек возникают паразитные колебания вне зависимости от способа восстановления, которые искажают реальный процесс [100]. А значит, восстановление сигнала происходит с потерей информации.

Теорема отсчетов в традиционной формулировке и различные ее обобщения [95] устанавливают минимальную допустимую частоту дискретизации (частоту Найквиста), для которой возможно полное восстановление информации об исходном непрерывном сигнале [98]. Т.е., теорема отсчетов указывает возможность сжатия информации о сигнале бесконечным количеством способов (с разными частотами эквидистантной дискретизации). Однако нет указания предпочтительных значений частот дискретизации. Наличие только нижнего предела наряду с отсутствием дополнительных ограничений на величину шага эквидистантной дискретизации приводит к возможности применения дополнительных критериев для выбора оптимального в конкретной практической задаче периода дискретизации.

Теорема отсчетов формулирует правило восстановления для ограниченного по спектру сигнала следующим образом: для восстановления синусоидального сигнала необходимо не менее двух отсчетов на период синусоиды. Однако при решении практических задач разработчики аппаратуры всегда используют большее число отсчетов на период гармоники, руководствуясь правилом: чем больше число отсчетов, тем точнее будет конечный результат [100]. Поэтому на практике часто применяют частоту дискретизации в несколько раз больше частоты Найквиста для получения достаточно точной формы сигнала по его отсчетам [101].

При увеличении частоты дискретизации обычно увеличивается эффективность блоков цифровой обработки, однако при этом также увеличивается вычислительная нагрузка. Уменьшение частоты дискретизации для уменьшения требований на быстродействие вычислительного устройства может привести к уменьшению эффективности

(деградации) алгоритмов обработки. Поэтому на практике стараются найти компромисс между этими двумя критериями. Общим правилом при выборе частоты дискретизации зачастую становится следующее: оптимальной является такая дискретность, которая обеспечивает представление необходимой информации в исходную функцию с заданной точностью (которая обеспечивает заданные требования на алгоритм обработки) с минимальным количеством отсчетов [102,103].

В ряде работ по цифровой обработке сигналов не только отмечается зависимость эффективности различных алгоритмов от частоты дискретизации [104-110], но и предлагаются различные критерии выбора оптимального шага дискретизации.

Интуитивно кажется, что увеличение частоты дискретизации позволяет лучше передать дискретное представление непрерывного сигнала. Однако в работе [104] показано, что в общем случае это не так. В работе отмечается, что величина частоты дискретизации влияет на качество (свойства) оценки модальных (modal) параметров в авторегрессионной модели скользящего среднего (АРСС) [58]. Оптимальный интервал дискретизации достигается при минимальном значении детерминанта ковариационной матрицы параметров и минимальном значении коэффициента вариации.

В работах [105, 106] рассматривается задача выбора частоты дискретизации сигнала, повышающей устойчивость алгоритма Прони при воздействии на сигнал аддитивного шума. Метод нахождения оптимальной частоты дискретизации обрабатываемого сигнала основан на алгоритме минимизации чисел обусловленности матриц, используемых для решения систем линейных уравнений.

В работе [107] критерием выбора оптимального шага дискретизации при вычислении автокорреляционной последовательности считается наибольшая скорость сходимости процедуры нахождения минимального собственного вектора автокорреляционной матрицы (АКМ) сигнала.

В работе [108] дается общая методика построения оптимального на некотором классе функций алгоритма интерполяции и нахождения оптимального интервала поступления данных. Критерием оптимума принимается минимум дисперсии погрешности интерполяции. Показано, что оптимальное значение At может существовать только при наличии ограничений на способ интерполяции (задана интерполяционная формула или ее порядок), при этом зависимость дисперсии погрешности от At может иметь минимум.

В работе [110] отмечено, что значение частоты дискретизации оказывает влияние на свойства частотной характеристики фильтра, восстанавливающего фазу. Оптимальный шаг дискретизации при этом определяется на основе критерия минимизации дисперсии выходного сигнала фильтра Кейпона.

П.3.1. Выбор информационно-оптимальной частоты дискретизации

Рассмотрим задачу выбора оптимальной частоты дискретизации с теоретико-информационной точки зрения, основываясь на принципе информационной оптимальности выборки дискретных отсчетов сигнала [111, 112]. Известно [113], что если от одной непрерывной модели к другой часто можно перейти без потери информации (гомеоморфные замены переменных и т.п.), то переход от одной дискретной модели непрерывного объекта к другой, как правило, невозможен без потери информации. Таким образом, критерием оптимальности процедуры дискретизации может являться минимум потери информации при переходе от непрерывного объекта к дискретному. Для обеспечения минимальной потери информации при переходе от непрерывного представления данных к дискретному потребуем, чтобы процедура дискретизации с информационно-оптимальным шагом приводила к временному ряду, энтропия которого максимальна.

В общем виде для временного ряда отсчетов х = (xq,^,...^) сигнала x(t), принадлежащего классу гауссовых процессов, плотность распределения вероятности р(х) определяется следующим образом [58]:

1 ( \ - - Л

p(x0ixl3..jcN) =-^7ГехР

[27z-deti?jT~

-—xTRv 'х

ч 2 у

где Rx - автокорреляционная матрица (АКМ) сигнала. Энтропия Шеннона непрерывного сигнала x(t), записанная в общем виде:

Н = -J.--Jр(х) logp(x)dx,

для гауссового случайного стационарного процесса совпадает с энтропией Берга для спектральной плотности мощности и для временного ряда отсчетов определяется величиной детерминанта АКМ [109]:

Я = 1п|(2tt)n+1 det Rx j+ N +1. Таким образом, реализация требования максимума энтропии временного ряда при определении информационно-оптимального шага дискретизации должна основываться на правиле максимума детерминанта АКМ обрабатываемого сигнала.

Схема предлагаемого алгоритма выбора информационно-оптимальной частоты дискретизации показана на рис. П.3.1. Для уменьшения влияния шума при вычислении детерминанта АКМ (det(AKM)) используется процедура, основанная на применении разложения матрицы по сингулярным числам [58]. На первом этапе для выбора размерности АКМ дискретизованного сигнала определяется порядок L авторегрессионной (АР) модели исследуемого процесса известными методами, например, с применением критерия Акаике [58]. На втором этапе производится

фильтрация в пространстве сингулярных чисел АКМ размера Ьх Ь для исключения влияния шумовой составляющей сигнала. Далее определяется детерминант АКМ размера (I -1) х (Ь -1). Частота дискретизации , для

которой детерминант АКМ имеет максимальное значение, является информационно-оптимальной.

Рис. П.3.1. Структурная схема алгоритма выбора информационно-оптимальной частоты

дискретизации сигнала

В работе [109] показано, что зависимость величины детерминанта АКМ от частоты дискретизации для полигармонических сигналов имеет одноэкстремальный характер (рис. П.3.2), поэтому для определения шага дискретизации может быть использована процедура одномерной оптимизации. После выполнения процедуры оптимизации выбирается ближайшая к оптимальной частота дискретизации из набора доступных в конкретной реализации аппаратуры. В случае небольшого количества доступных величин частоты дискретизации для ускорения алгоритма процедура оптимизации может быть заменена перебором.

1.0 -

0.5-

0.0

(М и

Ъкгц

100 200 300 400

Рис. П.3.2. Зависимость детерминанта АКМ от частоты дискретизации

В данной работе влияние выбора оптимальной частоты дискретизации сигналов исследовалось на примере решения задачи определения ВВЗ сигналов при многоканальном распространении с использованием предварительной нелинейной цифровой обработки сигналов для компенсации неизвестного частотного сдвига.

П.3.2. Применение в задаче определения ВВЗ на основе ГРП

Традиционные алгоритмы определения ВВЗ сводятся к вычислению взаимной корреляционной функции (ВКФ) обрабатываемых сигналов, положение глобального максимума которой соответствует искомой величине задержки. Однако произвольное изменение несущей частоты одного из сигналов, вызванное, например, эффектом Доплера, в рамках классического подхода приводит к необходимости компенсации неизвестного частотного сдвига на основе построения тела неопределённости и, соответственно, к существенному росту вычислительных затрат. Подходы к цифровой обработке сигналов, устойчивые к изменению несущей частоты, могут быть основаны на предварительной фильтрации гармонического заполнения сигналов с последующей корреляционной обработкой, что позволяет значительно сократить время вычислений [107, 110].

В [107] предложен метод нелинейной цифровой обработки фазоманипулированных (ФМн) сигналов, основанный на замене отсчетов исходного сигнала на отсчеты некоторой функции, зависящей от мгновенной частоты сигнала. По выборке сигнала в «скользящем окне» длиной М рассчитывается автокорреляционная последовательность, из отсчетов которой строится теплицева АКМ Кх размером 3x3. Для матрицы ^определяется минимальное собственное число и соответствующий

ему собственный вектор 5 = (1,а1,а2)- Анализ корней полинома,

сформированного на основе координат вектора а (метод гармонического разложения Писаренко [58]), позволяет определить значение функции текущей частоты V. Затем окно передвигается на один отсчет и процедура оценивания текущего значения частоты V повторяется. Схема алгоритма представлена на рис. П.3.3.

На рис. П.3.4 показан пример обрабатываемого ФМн сигнала (а), его модулирующая последовательность (б) и полученная с помощью данного алгоритма функция текущей частоты (в). Анализ данных графиков позволяет сделать вывод о том, что функция текущей частоты сохраняет характерные элементы в структуре исходного сигнала (скачки фазы), при этом устраняется зависимость обрабатываемых данных от несущей частоты.

л-(/

г

' *

1 = Л А/

► Дг л*„

V Д/ ► ■•■ ►

Л77-1 хп-2

г г г

Расчет АКП

-v.ro

А/

хп- М -1

г ▼ т

Определение собственного вектора и АКМ

Д/

а-,

► I',

Процедура факторизации Рис. П.3.3. Схема определения значения функции текущей частоты

В [107] отмечено, что устойчивость процедуры решения задачи на собственные вектора и собственные значения АКМ при построении функции текущей частоты зависит от величины шага дискретизации. Ниже представлены результаты исследования влияния выбора информационно-оптимального шага дискретизации на эффективность определения ВВЗ с применением предварительной обработки на основе выделения функции текущей частоты [114-116].

Задача определения ВВЗ сигналов при многоканальном распространении может быть сформулирована следующим образом: необходимо определить ВВЗ эталонного х(/) и исследуемого

= х(1 - /0) + п{Г) сигналов, где «(/) - аддитивный шум. Для определения ВВЗ с предварительной цифровой фильтрацией гармонического заполнения необходимо выполнить следующие действия: для эталонного х(7) и исследуемого £(/) сигналов определить функции текущей частоты и

у^) соответственно; рассчитать отсчеты их ВКФ определить искомую временную задержку по положению глобального максимума ВКФ /;,у. Характерный вид ВКФ функций текущей частоты эталонного и исследуемого сигналов показан на рис. П.3.4 г.

а)

б)

г)

д)

Рис. П.3.4. Функция текущей частоты (в) для ФМн сигнала (а) с модулирующей последовательностью (б), ВКФ функций текущей частоты эталонного и исследуемого сигналов (г) и ВКФ эталонного и исследуемого сигналов (д)

В качестве модели обрабатываемого сигнала использовался ФМ2 сигнал (несущая частота - 60 кГц, скорость передачи данных - 9600 бит/с, длина символьной последовательности - 50 бит в эталонном и 500 бит в исследуемом сигналах, взаимная временная задержка - 1 мс), на который накладывался аддитивный гауссов шум в спектральной полосе сигнала (ширина полосы 32 кГц). Значение оптимальной частоты дискретизации определено на основе изложенного выше подхода методом компьютерного моделирования для различных выборок обрабатываемых ФМ2 сигналов и

составило = 241,3 кГц (рис. П.3.2). Проведено сравнение результатов

работы алгоритма определения ВВЗ в диапазоне частот дискретизации от 200

до 480 кГц, включающем оптимальную . В качестве характеристики

эффективности определения ВВЗ исследовалась величина доверительной вероятности правильного определения ВВЗ р0 эталонного и исследуемого сигналов (допустимая погрешность определения ВВЗ - не более 20 мкс). На рис. П.3.5 а показаны зависимости р0 от отношения сигнал/шум (ОСШ) для

128

различных частот дискретизации (для определения каждого значения вероятности Р0 проводилось 1000 экспериментов). Можно отметить, что выбор частоты дискретизации, близкой к оптимальной, позволяет добиться наибольшей устойчивости к шумам алгоритма определения ВВЗ на основе предварительной фильтрации гармонического заполнения. На рис. П.3.6 показан график зависимости минимального значения ОСШ с/, при котором обеспечивается доверительная вероятность правильного определения не менее Р0 = 0.9, от частоты дискретизации. Глобальный минимум данной зависимости достигается при оптимальной частоте дискретизации. Анализ данных графиков показывает, что применение информационно-оптимальной частоты дискретизации позволяет повысить достоверность определения ВВЗ с применением алгоритма предварительной фильтрации гармонического заполнения при более низком значении отношения сигнал/шум.

1.0 Ро

0.5 -

0.0-

■ ■ ■ ■ » »»»?» » » »-»-»» у !.§-»■*

♦ * .А

у

/

2/Т6.

И/

4 * /5 ./ 1

Л*'

1 - 200 кГц

2 - 220 кГц

3 - 240 кГц

4 - 280 кГц

5 - 360 кГц

6 - 480 кГц

-10 1.0 Ч Ро

0.5-

0 а)

ОСШ. дБ

т

10

0.0-

/

1г

1 - 240 кГц

2 - 480 кГц

у ним '

-10

о 6)

ОСШ, дБ

"Г

10

Рис. П.3.5. Зависимость доверительной вероятности правильного определения ВВЗ от отношения сигнал/шум при точном знании несущей частоты (а) и при сдвиге несущей частоты 2 кГц (б) для различных частот дискретизации (гауссов широкополосный шум)

На рис. П.3.7 и П.3.8 показаны аналогичные графики, для случая, когда на сигнал накладывался гауссов шум в полосе сигнала (32 кГц). На данных графиках также наблюдается увеличение эффективности алгоритма при выборе оптимальной частоты дискретизации. Также присутствует близкая к оптимальной эффективность в случае работы на частоте дискретизации 420 кГц.

15 Я. ДБ 1050-

-5

150

200

250

300

350

400

450 500

С кГц

Рис. П.3.6. Зависимость минимального значения ОСШ, при котором обеспечивается доверительная вероятность правильного определения не менее /д = 0.9 , от частоты дискретизации (гауссов широкополосный шум)

1.0 Ч

Ро

0.5 -I

0.0

-10

/х и"*'*

/ / ♦ /

/ г

♦ А

4 / /1

1 - 200 кГц

2 - 220 кГц

3 - 240 кГц

4 - 280 кГц

5 - 360 кГц

6 - 480 кГц

I —Ф1 Т^Р

-5

I

10

ОСЖ дБ

г 15

Рис. П.3.7. Зависимость доверительной вероятности правильного определения ВВЗ от отношения сигнал/шум при точном знании несущей частоты для различных частот дискретизации (гауссов шум в полосе сигнала (32 кГц))

На рис. П.3.5 б показаны графики зависимости Р0 от ОСШ для двух частот дискретизации при неточном знании несущей частоты исследуемого сигнала (сдвиг частот порядка 2 кГц). При оптимальной частоте дискретизации устойчивость алгоритма сохраняется при существенном отклонении несущей частоты.

Проведенные исследования устойчивости корреляционного алгоритма определение взаимной временной задержки с предварительной фильтрацией гармонического заполнения при информационно-оптимальной частоте дискретизации дают основание применять описанный метод выбора шага дискретизации в условиях влияния аддитивных шумов и неточного знания несущих частот. В частности, выбор оптимальной частоты дискретизации может быть произведен заранее для сигналов с известными параметрами путем компьютерного моделирования или при обработке в режиме реального времени на участках настроечной последовательности сигнала.

зо ^ я. дБ 20100-

150

200

I

250

300

350

—I—

400

—I-,-г

450 500

Г. кГц

Рис. П.3.8. Зависимость минимального значения ОСШ, при котором обеспечивается доверительная вероятность правильного определения не менее _Р0 = 0.9, от частоты дискретизации (гауссов шум в полосе сигнала (32 кГц))

Применение оптимального шага дискретизации в задачах, связанных с использованием алгоритмов предварительной обработки сигналов, позволяет повысить устойчивость таких алгоритмов за счет улучшения обусловленности матриц, что сказывается на эффективности последующей обработки.

П.3.3. Применение в задаче декодирования ЧТ сигнала на основе подхода Кейпона

Метод Кейпона (метод минимума дисперсии) заключается в нахождении узкополосного фильтра, пропускающего комплексную экспоненту на частоте /0 без искажений, при этом сигнал на выходе фильтра должен иметь минимальную дисперсию. Требования, предъявляемые к фильтру, математически записываются следующим образом:

е"(/о)с = 1

где с - вектор из N коэффициентов фильтра, К - автокорреляционная матрица обрабатываемого сигнала, е(/0) - вектор комплексных экспонент.

Теоретические значения коэффициентов такого фильтра описываются формулой [58]:

с = . а-'еС/о)

ен (/0)К~]е(/0)

Ограничение данного алгоритма состоит в том, что он может быть использован только для сигналов с невырожденной автокорреляционной матрицей К.. Для вырожденной матрицы И существует бесконечное количество наборов возможных значений коэффициентов фильтра, удовлетворяющих указанным условиям (П.3.2). Класс решений необходимо сузить введением некоторого дополнительного критерия оптимальности:

Ф(с) -» opt

Функционал Ф(с) накладывает ограничения на коэффициенты фильтра. Выбор этого функционала основывается на доступной априорной информации о приемлемых характеристиках фильтра, например, степени подавления боковых лепестков в АЧХ фильтра. В качестве такого функционал-критерия может быть выбран критерий минимума нормы вектора коэффициентов:

Ф(с) = 1Ы2 (П.3.3)

к=\

Это соответствует максимальному в среднеквадратичном смысле подавлению белого гауссова шума.

Введение дополнительного функционала (П.3.3) было заменено использованием псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза для расчета коэффициентов фильтра, получаемой с помощью разложения матрицы по сингулярным числам, что соответствует решению минимальной нормы.

Численное решение данной задачи было найдено с помощью итерационной процедуры одномерной оптимизации. В основе этого метода лежит задача минимизации функционала дисперсии выхода фильтра Кейпона, зависящего от N переменных (коэффициентов фильтра), при линейном ограничении, налагаемом на частотную характеристику фильтра (П.3.2). Задача условной оптимизации функционала сводится к безусловной оптимизации функционала Ф(с) введением неопределенных множителей Лагранжа. Требование равенства нулю первой вариации функционала Ф(с) позволяет выразить коэффициенты фильтра через множитель Лагранжа. Дальнейшее решение должно быть найдено одним из численных методов одномерной оптимизации, например, методом Хука-Дживса [92].

Эффективность работы данного алгоритма построения фильтров была исследована в задаче декодирования сигнала, так называемого частотного телеграфа (ЧТ), в условиях аддитивных шумов. На рис. П.3.9 представлена схема декодирования. Формируются два фильтра, настроенные на несущие частоты сигнала /, и /2. АЧХ фильтров показаны на рис. П.3.10 (по оси абсцисс отложена частота, нормированная на частоту дискретизации). Далее определяется АКМ для обрабатываемого ЧТ сигнала и оценивается дисперсия на выходе каждого фильтра Кейпона по формуле:

p = c"Rc. (U3 А)

Рис. П.3.9. Схема декодирования ЧТ сигнала

На рис. П.3.11 представлен пример сигнала у[п] на выходе одного из фильтров Кейпона. Центральная частота фильтра соответствует одной из частот ЧТ сигнала, например, fx. Когда на вход фильтра подается часть сигнала, соответствующая символу, кодируемому гармонической составляющей на частоте j\, выходное значение фильтра близко к некоторому постоянному значению Ъу. Для другого символа, кодируемого гармонической составляющей на частоте /2, выходной сигнал фильтра близок к другому значению Ь2. Решение о текущем значении частоты принимается пороговым методом по разнице откликов на выходе фильтров.

C(dB)

-0.5 0.0 0.5