Алгоритмы построения сейсмических изображений на основе численных и асимптотических решений по многокомпонентным данным для изотропных и анизотропных упругих сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, доктор наук Протасов Максим Игоревич

• Протасов Максим Игоревич
• доктор наук
• 2019

Оглавление диссертации доктор наук Протасов Максим Игоревич

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Алгоритмы построения изображений изотропных упругих сред с

использованием продольных и поперечных Гауссовых пучков

1.1 Аналитический обзор известных решений

1.2 Двумерные изображения упругих сред по данным ВСП и 2Э сейсморазведки

1.3 Трёхмерная глубинная миграция до суммирования данных сейсморазведки

Глава 2. Алгоритмы построения изображений анизотропных сред на основе квазипродольных Гауссовых пучков

2.1 Аналитический обзор известных решений

2.2 Миграция данных 2Э сейсморазведки

2.3 Трёхмерные изображения по данным 3Э ВСП и 3Э сейсморазведки

Глава 3. Алгоритмы построения дифракционных изображений мелкомасштабных неоднородностей в упругих моделях сред

3.1 Аналитический обзор известных решений

3.2 Построение двумерных дифракционных изображений путём асимметричного суммирования сейсмических данных

3.3 Локализация трёхмерных рассеивающих неоднородностей

Глава 4. Алгоритмы построения сейсмических изображений среды с высокоскоростными аномалиями сложной формы

4.1 Аналитический обзор известных решений

4.2 Построение «точных» частотно-зависимых лучей по решению уравнения Гельмгольца

4.3 Частотно-зависимое кинематическое и динамическое трассирование через неплоские границы для подсолевых изображений

4.4 Построение подсолевых изображений конечно-разностным моделированием Гауссовых пучков

4.5 Подсолевые изображения при неточно заданной скоростной модели

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

252

ВВЕДЕНИЕ

Объект исследования - методы и алгоритмы решения прямых и обратных задач сейсмики на предмет их развития и использования для построения изображений по многокомпонентным сейсмическим данным в изотропных и анизотропных упругих средах, в средах с высокоскоростными аномалиями сложной формы.

Актуальность. В настоящее время в сейсморазведке существует острая необходимость в привлечении новых способов регистрации и обработки сейсмических данных, позволяющих извлекать как можно более полную и достоверную информацию о строении среды. В решении задач скважинной сейсморазведки все более широкое применение находят методы непродольного вертикального сейсмического профилирования (ВСП) и 3D ВСП. Общепризнано, что данные 3D ВСП являются источником уникальной информации о строении околоскважинного пространства, которая оказывается чрезвычайно полезной для решения многих производственных задач. Из широкого спектра геофизических задач, решаемых по данным метода ВСП, одной из самых актуальных является задача построения сейсмических изображений в истинных амплитудах с учетом анизотропных свойств среды. Однако производственников качество обработки данных ВСП известными алгоритмами не устраивает. Особенно остро сложности построения изображений проявляются в связи с нерегулярностью данных, сильной изменчивостью рельефа, неудовлетворительным соотношением сигнал/помеха.

Эти трудности в ещё большей степени проявляются при использовании данных наземных систем наблюдения, особенно 3D сейсморазведки, когда добавляются вычислительные сложности, которые выходят на первый план и связаны с их огромными объёмами. Львиная доля вычислительного времени и ресурсов во всём графе обработки уходит на глубинную миграцию. На сегодня наиболее быстрой и, как следствие, наиболее используемой является миграция

Кирхгофа. Однако часто качество изображения невысокое в связи с ограничениями на использование миграционных моделей и обозначенными выше трудностями. Поэтому для существенного повышения качества изображений и снижения вычислительных затрат актуально создание, с одной стороны, быстрых алгоритмов, эффективно оперирующих большими объёмами данных, а с другой стороны, способных наиболее точно выделить и преобразовать полезный сейсмический сигнал в изображение среды.

Всё больше сейсмических работ проводится на шельфах морей, например, на шельфе Каспийского моря, на шельфе морей Северного ледовитого океана. Такие среды, как правило, содержат соляные купола, для которых стандартные способы обработки данных не подходят. Одна из основных причин связана с тем, что стандартный лучевой метод лежит в основе наиболее быстрых и наиболее используемых на практике алгоритмов миграции и томографии. А лучевая теория применима только для малых длин волн (для высоких частот), когда параметры среды и волновые поля являются гладкими в пределах объема Френеля. Поэтому трудности со стандартным трассированием остро проявляются при построении изображений геологических объектов, в частности, под такими сложными границами, как соляные купола или базальтовые интрузии.

Карбонатные трещиноватые коллекторы, по подсчетам разных специалистов, содержат от 35 до 48 % мировых запасов нефти и от 23 до 28 % газа. В России такие коллекторы наиболее распространены в Волго-Уральской зоне, Прикаспийской впадине и Восточной Сибири. Как известно, рассеянная компонента сейсмического волнового поля - источник важной информации о мелкомасштабных неоднородностях изучаемой среды, к которым и относятся зоны трещиноватости. Ее обработка позволяет выделять (картировать) зоны разуплотнения горных пород, разломы кристаллических массивов и содержащиеся в них трещиновато-кавернозные зоны и другие объекты. В силу этого возможность точно локализовать расположение скоплений микронеоднородностей (каверны+трещины) и охарактеризовать их свойства

имеет определяющее значение для повышения разрешающей способности сейсморазведки и оптимальной эксплуатации месторождения. Поэтому специалисты из ведущих академических и производственных научно -исследовательских центров уделяют значительное внимание построению изображений по рассеянным/дифрагированным волнам.

Цель исследования - повысить информативность и качество результатов обработки данных 2Э, сейсморазведки, 3Э ВСП за счёт развития теоретической и алгоритмической составляющих методов построения изображений и асимптотических методов решения прямых задач сейсмики.

Научная проблема - развить теоретическую и программно-алгоритмическую составляющую методов построения изображений изотропных и анизотропных упругих сред по многокомпонентным данным 2Б, 3Б сейсморазведки, 3Б ВСП.

Научные задачи:

1. Разработать и программно реализовать алгоритмы построения сейсмических изображений изотропных упругих сред по многокомпонентным нерегулярным данным с учётом рельефа.

2. Разработать и программно реализовать алгоритмы построения изображений анизотропных упругих сред по многокомпонентным сейсмическим данным.

3. Разработать и программно реализовать алгоритмы построения дифракционных сейсмических изображений для выделения мелкомасштабных неоднородностей.

4. Разработать и программно реализовать алгоритмы построения подсолевых сейсмических изображений, а также алгоритмы трассирования частотно-зависимых лучей в средах с высокоскоростными аномалиями сложной формы.

Методы исследования и фактический материал. Критерии достоверности и апробация результатов

Теоретической основой решения поставленной научной проблемы являются:

- теория распространения сейсмических волн в изотропных и анизотропных средах;

- асимптотические методы оценок интегралов;

- асимптотические методы решения системы уравнений динамической теории упругости;

- численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений;

- конечно-разностные методы решения задач распространения сейсмических волн;

- численные методы решения интегральных уравнений;

- алгоритмы вычислительной линейной алгебры.

Разработанные алгоритмы и их программное обеспечение тестировались представительной серией численных экспериментов на различных синтетических моделях сред, построенных производственными компаниями, таких как Sigsbee2a с соляным телом сложной формы, изотропные и анизотропные модели Северного моря Gullfaks, модели нефтегазовых месторождений из Восточной и Западной Сибири, в том числе и с зонами трещиноватости, построенные специалистами производственных компаний «Роснефть», «Total». Алгоритмы построения изображений для всех моделей протестированы расчётами на синтетических данных, полученных с использованием конечно-разностных методов. На заключительном этапе алгоритмы верифицировались сериями численных экспериментов на реальных данных из различных нефтегазовых провинций, прежде всего Восточно- и Западно-Сибирской, Карского моря, с последующей экспертной оценкой качества специалистами нефтяных и сервисных компаний, таких как

«Шлюмберже», «Ингеосервис», «Роснефть». Результаты обработки синтетических и реальных сейсмических данных с использованием разработанных алгоритмов подтверждаются сравнением с результатами, полученными коммерческими пакетами программ «Omega», «GeoDepth» и «ProMax», превосходят их по качеству, в частности, обладают более высокими разрешающей способностью и соотношением сигнал/помеха.

Разработанное программное обеспечение для построения изображений по данным ВСП и 3D ВСП успешно внедрено в обрабатывающий пакет «Omega». Программное обеспечение для построения дифракционных изображений во временной области по данным 2D и 3D сейсморазведки, разработанное автором, внедрено в обрабатывающий комплекс компании «Роснефть» и активно используется на практике.

Защищаемые научные результаты:

1. Теоретически обоснованные и апробированные на практике алгоритмы построения двумерных и трёхмерных сейсмических изображений изотропных упругих сред по многокомпонентным нерегулярным данным для скважинных, морских и наземных систем наблюдения с учётом рельефа, разработанные с использованием продольных и поперечных Гауссовых пучков.

2. Теоретически обоснованные и апробированные на практике алгоритмы построения изображений анизотропных упругих сред и последующего обращения их амплитуд по многокомпонентным сейсмическим данным трассированием квазипродольных Гауссовых пучков как с поверхности наблюдения, так и из точек изображения.

3. Обоснованные численными экспериментами и апробированные на практике алгоритмы построения дифракционных сейсмических изображений для выделения мелкомасштабных неоднородностей, таких как трещины, каверны, разломы, путём асимметричного суммирования данных и спектрального усечения изображений.

4. Обоснованные численными экспериментами алгоритмы построения подсолевых изображений: частотно-зависимым кинематическим и динамическим трассированием на основе сглаживания границ локальными операторами; конечно-разностным моделированием Гауссовых пучков; в неточно заданной модели на основе суммирования по Фейнману наиболее сфокусированных изображений.

Научная новизна

1. Разработаны оригинальные алгоритмы построения сейсмических изображений двумерных и трёхмерных изотропных упругих сред по многокомпонентным нерегулярным данным скважинных, морских и наземных систем наблюдения с учётом рельефа:

- С использованием трассирования продольных и поперечных Гауссовых пучков как с поверхности наблюдений, так и из точек изображения, асимптотического представления матрицы Грина, методом перевала получены операторы обращения сейсмических данных в Борновском приближении и выведены условия визуализации.

2. Найдены новые подходы в алгоритмах построения изображений двумерных и трёхмерных анизотропных упругих сред по многокомпонентным сейсмическим данным:

- Применением асимптотического анализа и квазипродольных Гауссовых пучков получены условия визуализации.

- С использованием параметризации относительно импедансов разработан алгоритм обращения амплитуд сейсмических изображений в зависимости от угла открытия.

3. Разработаны оригинальные алгоритмы построения двумерных и трёхмерных дифракционных сейсмических изображений во временной и глубинной области:

- На основе асимметричного суммирования многокомпонентных сейсмических данных и спектрального усечения селективных изображений.

4. Разработаны новые алгоритмы для построения подсолевых изображений:

- Алгоритм частотно-зависимого трассирования лучей с локальными операторами сглаживания границ.

- Алгоритм построения точных частотно-зависимых лучей на основе решения уравнения Гельмгольца.

- Алгоритм частотно-зависимого трассирования Гауссовых пучков на основе локальных решений сглаживания.

- Алгоритм построения изображений изотропных упругих сред конечно-разностным моделированием Гауссовых пучков.

- Алгоритм построения подсолевых изображений в неточно заданной априорной модели на основе суммирования по Фейнману наиболее сфокусированных изображений.

Личный вклад

Поставлены и решены задачи разработки и программной реализации алгоритмов построения изображений отражающих и дифрагирующих объектов изотропных и анизотропных упругих сред, и сред с высокоскоростными аномалиями сложной формы по многокомпонентным данным 2Б, 3Б сейсморазведки, 3Б ВСП.

С использованием продольных, поперечных и квазипродольных Гауссовых пучков разработаны алгоритмы построения двумерных и

трёхмерных сейсмических изображений изотропных и анизотропных упругих сред по многокомпонентным нерегулярным данным для скважинных, морских и наземных систем наблюдения с учётом рельефа. На основе асимметричного суммирования многокомпонентных сейсмических данных и спектрального усечения селективных изображений разработаны алгоритмы построения дифракционных изображений. Разработаны алгоритмы построения подсолевых изображений с использованием частотно-зависимого трассирования, конечно-разностного моделирования Гауссовых пучков, суммирования по Фейнману наиболее сфокусированных изображений.

Разработанные алгоритмы программно реализованы и протестированы представительной серией численных экспериментов на синтетических данных и реальных данных из разных нефтегазовых провинций, прежде всего из Восточной и Западной Сибири. Тестированием программного обеспечения на большом количестве синтетических данных и апробированием на реальных данных обоснована его практическая применимость. При верифицировании программного обеспечения на реальных данных сейсморазведки в Восточной Сибири и в Карском море получены изображения разломных зон и зон трещиноватости.

Теоретическая и практическая значимость результатов

Разработанные алгоритмы построения сейсмических изображений в истинных амплитудах позволяют получать сейсмограммы общей точки изображения в зависимости от угла падения, которые пропорциональны линеаризованному коэффициенту отражения, характеризующего отражательную способность границ, в частности акустические импедансы. Так устанавливается взаимосвязь между сейсмическими данными и физическими параметрами геологической среды, обеспечивающая прогнозирование физических характеристик упругих изотропных и

анизотропных слоёв. Это имеет важное значение при дальнейшей геологической интерпретации при поиске и оценке запасов углеводородов.

Достоинством разработанного алгоритма построения изображений является возможность обработки нерегулярных данных 3D сейсморазведки с произвольной топографией, при более высоком качестве изображений по сравнению с результатами промышленных реализаций миграции Кирхгофа: сейсмограммы общей точки изображения, суммарные разрезы менее шумные и более когерентные при приблизительно одинаковых: времени счёта и вычислительных ресурсах. Всё это значимо для решения объёмных производственных задач обработки данных 3D сейсморазведки и существенно повышает достоверность.

Как известно, рассеянная компонента сейсмического волнового поля содержит важную информацию о строении изучаемой среды. Её использование в разработанном алгоритме построения дифракционных изображений позволяет выделять (картировать) зоны трещиноватости, разломы и содержащиеся в них объемные трещиновато-кавернозные зоны и другие. Использование дифракционных изображений позволяет решать задачу обнаружения и разработки месторождений углеводородов в карбонатном окружении - локализовать мелкомасштабные неоднородности и определить их структуру, в частности, преимущественное направление распространения трещиноватости. Это способствует прогнозированию основных флюидопотоков. Таким образом, возможность с высокой точностью локализовать расположение скоплений микронеоднородностей (каверны+трещины) имеет определяющее значение для обеспечения разведки и оптимальной эксплуатации месторождения.

Разработанные частотно-зависимые асимптотические решения направлены на преодоление ограничений высокочастотных лучевых приближений в средах с высококонтрастными границами сложной формы. С одной стороны, это даёт возможность снять часть ограничений лучевой теории и за счёт частотно-зависимых и конечно-разностных решений разработать

эффективные модификации миграции Кирхгофа, а также эффективные миграции на Гауссовых пучках. Достоинством разработанных алгоритмов является возможность построить изображения подсолевых отложений с высокой степенью достоверности, что актуально на сегодня при проектировании работ по разработке месторождений на шельфе в условиях соляно-купольной тектоники. Отсутствие достоверной информации о подсолевых структурах часто приводит к бурению скважин «вслепую», что экономически затратно. Высококачественные изображения подсолевой части среды, построенные с помощью разработанных алгоритмов, способствуют существенному снижению затрат.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы построения сейсмических изображений на основе численных и асимптотических решений по многокомпонентным данным для изотропных и анизотропных упругих сред»

Апробация работы

Результаты исследования хорошо известны научной общественности, они докладывались и получили одобрение специалистов на ведущих российских и зарубежных международных конференциях, в том числе наиболее представительных:

- серии ежегодных международных конференций SEG (2010, 2011, 2012,

2013, 2015, 2016, 2017);

- серии ежегодных международных конференций EAGE (2012, 2013,

2014, 2016, 2017, 2018);

- серии международных конференций «Waves», «Математические и численные аспекты распространения волн» (2009,2013,2015);

- серии ежегодных международных конференций EAGE, проводимых в России (2012, 2014, 2016, 2018);

- серии ежегодных международных конференций «Гео-Сибирь» (2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018);

- специализированной международной конференции ESF «Highly oscillatory problems» (Великобритания, г. Кембридж, сентябрь 2010);

- специализированной международной конференции EAGE по скважинной геофизике «Borehole geophysics: emphasis on 3D VSP» (Турция, г. Стамбул, январь 2011);

- 8-й международной нефтяной технологической конференции «IPTC-2014» (Малайзия, г. Куалу-Лумпур, ноябрь 2014);

- международной геофизической конференции «ICE-2015» (Австралия, г. Мельбурн, сентябрь 2015);

- 10-й международной нефтяной технологической конференции «IPTC-2016» (Тайланд, г. Бангкок, ноябрь 2016);

- специализированном международном симпозиуме по изображениям «Houston imaging science symposium» (г. Хьюстон, сентябрь 2017);

- международной конференции «ГеоЕвразия-2018» (г. Москва, февраль

2018).

Результаты исследования докладывались на научных семинарах Института нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН, Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, кафедры физики Земли Санкт-Петербургского государственного университета, кафедры разведочной геофизики Российского государственного университета нефти и газа, отделения геофизики Московского государственного университета им. Ломоносова, кроме того, были представлены в научно-производственных центрах нефтегазовых и сервисных компаний, а именно, в отделениях российской нефтяной компании «РосНефть» (г. Москва, г. Красноярск), в Московском научно-исследовательском центре компании «Шлюмберже», Научно-исследовательском центре компании «Тоталь» (Франция, г. По), в Технологическом центре компании «ВестернДжико» (США, г. Хюьстон), в Научном центре компании «Шлюмберже» в

Великобритании (г. Кембридж), в Технологическом центре компании «Шлюмберже» в Японии (г. Сагамихара), в сервисной компании «Ингеосервис» (г. Тюмень).

Публикации

Результаты исследования по теме диссертации изложены в 67 опубликованных работах в ведущих российских и зарубежных геофизических изданиях. Из них статей в журналах по списку ВАК - 27; 40 - рецензируемых материалов конференций и тезисов докладов, представленных на российских и зарубежных международных конференциях; публикаций, индексируемых в изданиях РИНЦ - 57, SCOPUS - 39, Web of Science - 11.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, заключения, 4 глав, списка литературы из 186 наименований и 146 рисунков. Общий объём - 269 страниц.

Благодарности

Диссертация выполнена в лаборатории многоволновых сейсмических исследований Института нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН. Автор выражает искреннюю признательность коллегам, д.ф.-м.н. В.А. Чеверде, Самойловой В.И., к.ф.-м.н. Неклюдову Д.А., к.ф.-м.н. Гадыльшину К.Г., к.ф.-м.н. Дмитриеву М.Н., к.ф.-м.н. Колюхину Д.Р., д.ф.-м.н. Решетовой Г.В., к.ф.-м.н. Осипову К.С., к.ф.-м.н. Ланде, Е.И., Бородину И.В., Исакову Н.Г., Правдухину А.П. за многолетнее плодотворное сотрудничество

Глава 1

Алгоритмы построения изображений изотропных упругих сред с использованием продольных и поперечных Гауссовых пучков

1.1 Аналитический обзор известных решений

Общепринятым подходом в обработке сейсмических данных является разбиение исследуемой среды на две составляющие [Mora, 1989]: плавную модель скоростного строения среды, не изменяющую направление распространения падающей волны, и быстроосциллирующую компоненту с малым влиянием на время её распространения, но с существенным изменением ее направления (отражающие/рассеивающие локальные объекты). Определение таких компонент составляет предмет скоростного анализа и построения волновых сейсмических изображений среды.

Под сейсмическим изображением понимается изображение отражающих/рассеивающих объектов геологической среды, полученное в результате специального преобразования зарегистрированного сейсмического волнового поля. Принцип построения изображений представлен Claerbout в классической работе [Claerbout, 1971], когда отражающие/рассеивающие объекты располагаются там, где время пробега волны, продолженной от приёмников, совпадает со временем пробега волны, распространяющейся от источника. Следовательно, с использованием этого принципа получают кинематически корректное положение отражающих/рассеивающих объектов, но не динамические характеристики, т.е. коэффициенты отражения/рассеяния с важной информацией об упругих параметрах среды.

Наиболее известная реализация принципа визуализации - это акустическая сейсмическая миграция. При её использовании для реальных многокомпонентных сейсмических данных полное волновое поле предварительно разделяется на продольные и поперечные волны с последующим применением к каждым модифицированного принципа

визуализации [Yan and Sava, 2008; Schleicher et al., 2007; Zhang et al., 2007]. При этом для построения изображений среды часто используется миграция Кирхгофа, основанная на лучевом приближении. Эта миграция имеет ясное физическое толкование и проста в реализации, однако, к сожалению, в областях, где поле лучей нерегулярное (сложное геологическое строение), не может использоваться.

В последующем принцип визуализации используется в известной миграции в обратном времени [McMechan, 1983; Baysal et al., 1983]. В современных вариантах обрабатываются как однокомпонентные данные (акустика), так и многокомпонентные данные (упругость). Для такой миграции регулярности поля лучей не требуется, как для миграции по Кирхгофу, но она даёт только пространственное расположение отражающих/рассеивающих объектов среды и не позволяет восстанавливать динамические параметры, а именно распределение вдоль соответствующих границ некоего потенциала рассеяния, тесно связанного с коэффициентом отражения. Построение динамически корректных сейсмических изображений среды, где интенсивность границ пропорциональна коэффициенту отражения, - весьма насущная задача. Ещё в середине 80-х годов в известных публикациях [Beylkin, 1985; Гольдин, 1978, 1992; Miller et al., 1987; Bleistein, 1987; Schleicher et al., 1993] и позднее [Bleistein et al., 2005] предлагаются способы расчёта весов суммирования, обеспечивающие реализацию миграции по Кирхгофу в истинных амплитудах. При этом компенсируется геометрическое расхождение, гарантирующее не только восстановление геометрии границ раздела, но и связанного с ними потенциала рассеяния. Однако использование лучевого метода для вычисления функции Грина ограничивает применимость таких алгоритмов только в средах, где поле лучей регулярно.

При представлении функции Грина разложением по Гауссовым пучкам [Бабич, Булдырев, 1972; Cerveny et al., 1982; Babich, Popov, 1989; Popov, 2002] удаётся значительно расширить область применимости миграционных алгоритмов в истинных амплитудах. Гауссов пучок представляет собой

волновое поле, сосредоточенное в окрестности луча, амплитуда которого в поперечном сечении есть функция Гаусса. Сначала Гауссовы пучки используются для асимптотического представления функции Грина в миграции Кирхгофа [Hill, 1990; Gray, 2005], что позволяет применять её для сложных сред с нерегулярным полем лучей. Позднее способ расчёта весов суммирования для построения динамически корректных изображений, модифицирован за счёт представления функции Грина в виде разложения по Гауссовым пучкам [Albertin et al., 2004; Gray and Bleistein, 2009; Novak, 2012].

1.2 Двумерные изображения упругих сред по данным ВСП и 2D сейсморазведки

Интересы промысловой геофизики требуют развития и совершенствования методов обработки многокомпонентных сейсмических данных, в том числе и одного из ключевых - построения глубинных сейсмических изображений. Здесь предлагается новый подход к миграции сейсмических данных в истинных амплитудах как для продольных PP-волн, так и для других составляющих волнового поля, в частности, для обменных PS-волн [Protasov, Tcheverda, 2012; Протасов, Чеверда, 2012]. При этом, как и в других способах глубинной миграции, среда представляется в виде суперпозиции известной макроскоростной (миграционной) модели (пропагатора) и ее резко меняющегося локального возмущения (рефлектора), подлежащего определению, а полное волновое поле представляется суммой отражённых/рассеянных и падающих волн. В Борновском приближении (или приближении однократного рассеяния) регистрируемые данные (отражённые/рассеянные волны) и локальные возмущения макроскоростной модели связаны линейным интегральным преобразованием, псевдообращение которого и является задачей выполнения глубинной миграции в истинных амплитудах.

С использованием Гауссовых пучков выполняется псевдообращение такого оператора в изотропных средах [Protasov, Tcheverda, 2012]. Трассирование из текущей точки целевой области даёт возможность получать изображение в истинных амплитудах - линеаризованный коэффициент отражения в зависимости от угла открытия. Поскольку коэффициент отражения линейно связан с упругим импедансом [Connolly, 1999], то его можно использовать для обращения относительно P- и S-импеданса. Причём продольные и поперечные Гауссовы пучки можно комбинировать для расширения набора параметров, участвующих в построении миграционных изображений в истинных амплитудах, и, как следствие, получать более широкие представления о свойствах горных пород.

1.2.1 Постановка задачи

Рассматривается плоскость R2, заполненная неоднородной изотропной упругой средой с параметрами Ламе и плотностью: Л = Л + \,ц = у0 +ц1, p = p0 +p1. Параметрами Л^, z), ju0(x, z), p0(x, z) описывается заданная макромодель, тогда как параметрами

Л (x, z), ju1 (x, z), p1 (x, z) описывается быстроосциллирующая компонента. Предполагается, что вдоль оси x=0 зарегистрировано отраженное волновое поле для набора источников:

иobs(zr ;х5;с) = Jr(0,zr ;<f,j;c) • L < щ^г;xs,0;с) >dçdj;

R+ (1.1)

zrl ^ zr ^ zr 2 , xrl ^ xr ^ xr 2 , C1

Здесь (0, xr ) - координата приёмника, (xs ,0) - координата источника, со -

круговая частота, и0 - падающее волновое поле [Вайнберг, 1966; Владимиров, 1972], распространяющееся в макроскоростной модели среды от источника типа сосредоточенной силы с импульсом F(c) :

Ц < и0 >= ^(®)У(£(Х -Х5 )б(2 - 0)). (1.2)

Оператор Ц

о определяется выражением:

Ц0 < и0 >х (Л0 • ^Ч + 2^0 ^) + ^ (^о • (^ + )) + Ро® ЧX; 0Х 0Х 02 02 ОХ

й 0 , й 0 , 2 (1.3) Цо < "о >2 = т- (Ло • + 2Мо^-) + — (Мо •+ + Ро® ио2■

02 02 0Х 02 0Х

При этом оператор Ц зависит от Л (х, 2), /л1 (х, 2), р1 (х, 2):

ц < що >х=-0 (Л • +2^1)+-0 (М1 •(+))+Р1®2"ох ; 0Х 0Х 02 02 0Х

й 0 ,. й диПг^ 0 , дш диПг^ 2 (1.4) Ц < ио >2 (V + 2^1 )+ —(^ • (—0- + —+ Р1® "02,

02 02 0Х 02 0Х

Г( zr - матрица Грина, рассчитанная в макромодели

L <Г>= Iд(£-xs)д(Л-0), (1.5)

где I - единичная матрица 2 х 2.

Задача - по дополнительной информации (1.1) восстановить быстро-осциллирующую компоненту (описываемую параметрами

\(x,z),jur(x,z), pr(x,z)), которая порождает отражённое/рассеянное волновое поле.

1.2.2 Гауссовы пучки в изотропной упругой среде

Гауссовы пучки в изотропной упругой среде используются для построения сейсмических изображений по многокомпонентным данным, поэтому основные уравнения излагаются здесь кратко, подробное их описание выполнено Поповым М.М. [Popov, 2002].

Гауссов пучок - это асимптотическое решение системы уравнений динамической теории упругости в изотропной среде:

L < иgb >= 0

(1.6)

сосредоточенное в окрестности соответствующего P- или S-луча, представляется

1) продольный Гауссов пучок - выражением

Kb = к (s)-vt(s,q;c); çgb =

P0 (s0,0)^p0 (s0,0)Qp (s0 ) f. , 2,.

exp{mrp}exp{—Грq } ; (1.7)

P0 (s,0)Vp0 (s,0)Qp (s)

2) поперечный Гауссов пучок - выражением

Ugb =tsL (s)- çgb (s, q;a); çgb =

,gb

gb _

p0 (s0,0)vs 0 (s0,0)Qqs (s0) , ja

P0<

(s,0)vs 0 (s,0)Qqs (s)

exp{iaTs}exP{—rsq } . (1.8)

Здесь (s,q ) - лучевые координаты, s0 - начальная точка на луче, Tps - время

пробега вдоль P-, S-луча, tp (ïs± ) - касательный (перпендикулярный) к лучу

вектор поляризации продольного (поперечного) Гауссова пучка, çgb -скалярная часть Гауссова пучка, функция r(s) = P(s) -Q~\s). Функции P(s), Q(s) являются решением задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

d^ dP

V0(s,0)- P;

1 av

dT

Q(0) = Q0;

dT v0 (s,0)2 dq2 P(0) = P0;

=0 -Q;

q=0

(1.9)

где V0 - это скорость продольной волны V 0 или скорость поперечной волны для соответствующего Гауссова пучка. Функции р, 0 удовлетворяют условию:

Q * P - P * Q = i -a

(1.10)

Оно гарантирует глобальную регулярность Гауссова пучка и экспоненциальное затухание его амплитуды при увеличении д, т.е. при

удалении от луча [Cerveny et al., 1982; Popov, 2002]. Безразмерный параметр d контролирует ширину пучка [Чеверда и др., 2003; Protasov and Tcheverda, 2011].

Для нахождения условия визуализации выполняется асимптотическая оценка интеграла от произведения функции Грина и Гауссова пучка. Для упрощения изложения подробно рассматривается скалярный случай в однородной среде, где необходимо получить асимптотическую оценку интеграла следующего вида:

Здесь - это функция Грина для двумерного уравнения

Гельмгольца:

1.2.3 Формирование Гауссовых пучков

(111)

z , r1

(1.12)

где г = у!(х-£)2 + , с - скорость распространения волн. Т%ь (гг;«) нормальная производная Гауссова пучка:

c

(1.13)

ияЬ - Гауссов пучок, который в лучевых координатах имеет вид:

Ь - параметр, который определяет ширину пучка в точке (б0 ,0). Без ограничения общности считается, что луч, в окрестности которого сосредоточен Гауссов пучок, проходит через начало координат (0,0):

и ф (х, г;®) =-Ь-х

\ х • соБ(у) + г • б1п( у) - - гЬ

Л® / / ч ч (х-ьгп(у) - г-cos(у))2 х ехр{— (х - СОБ(у) + г - Б1п( у) + —-■ , ^ "-—)},

с 2(х - соБ(у) + г - Б1п( у) - - гЬ)

(1.15)

где у - угол подхода луча. Тогда производную (1.13) можно представить в виде формулы:

Т *Ь (г ;®) = СОБ(уМ--¡Ь- х

с \гг- б1п( у) - - гЬ

х ехр{®(г„-я* у) +-^-)}. (116)

с 2(- бю( у) - - гЬ)

После чего интеграл (1.11) преобразуется в выражение:

К^Ъ®) = |А<ЛЛ,л;®)-ехР{®- Д^Л,л)}^, (1.17)

с амплитудой и фазой:

А( ^ Л,л;®) = -16

л

-г— 4

4

1

2с г® - СОБ(у)

лд/Л+С^)1® с V

гЬ

2Г - б1п( у) - ¿0 - гЬ'

(1.18)

г (^ Л,л) = 1 (V Л2 + (^ -I)2 + 2Г - Б1П( у) + (;°:(у)) .,.)■ " 2(V Б1п( у) - ^ - гЬ)

Рассматривается случай, когда луч, в окрестности которого сосредоточен Гауссов пучок, ортогонален оси z = 0, т.е. у = 0. Поскольку оценка интеграла

(1.17) по переменным (£^) необходима только в окрестности луча, т.е. при ^-V

£> 0,

£

<< 1, то амплитуда и фаза аппроксимируются:

A( ;£,^() --

гв

4 М

2с ¡ю

л£(В с у

¡Ь

^ + ¡Ь'

/(V) « -(£ + ^^ + 2Г • 81п( г) —)• с 2£ 2(^0 + ¡Ь)

При этом для оценки интеграла (1.17) используется метод перевала:

2г2

1(ю) = | Л^ю) • ехр{( / (

(119)

г1

к

2л

(• / "( ^ о)

Л(2го;() • ехр{(/ (^ о)}, (1.20)

где zr 0 - точка перевала:

-ги - \ г (2у 0 v

/ (2г0) = ~ ("

0 ч л **о + ¡Ь

-) = о ^ ^о 0

(1.21)

с £ + ¡У 'о ' £0 + ¡Ь - £

Затем вычисляются фазовая функция и вторая производная фазовой функции в точке перевала:

/ "(о) =

¡Оо + ¡Ь -£)

/ (о) — (£ +

V

-тт).

с£(^0 + ¡Ь) с 2(£ - ^ - ¡Ь)'

Полученные значения (1.22) подставляются в выражение (1.20):

(1.22)

2с ю ¡Ь

\л£юс ] 50 + ¡Ь\

- 2лс£(зо + ¡Ь) ¡¡ю^ V ехр{—(£ +

1

¡Ь Аю , „ т7ехР{—(£ +

£-^ -¡Ь

ю • ¡(я0 + ¡Ь - £)

7/2 —)} =1 (£^;(

2(£- - ¡Ь)

тгт)} =

(1.23)

2(£- 50 - ¡Ь) 2

Отсюда следует, что если проинтегрировать функцию Грина на линии наблюдения с весом, который является нормальной производной Гауссова пучка, то результатом станет его половина в окрестности соответствующего луча. Вне окрестности луча конкретный вид решения неинтересен, поскольку

л

-I

4

л

2

4

в

с

с

ясно, что оно значительно меньше по амплитуде в связи с наличием экспоненциального затухания.

Для более общего случая, когда уф 0, таким способом в окрестности луча получается следующая оценка (1.17):

^ 1

1Л,л;®) = \0(0^гЛ,л;®)-ТёЬ(?г;®)фг «,д,;®). (1.24)

м

Здесь - лучевые координаты точки (Л,л). Однако в этом случае на

оценку накладывается дополнительное ограничение, а именно необходимо выполнить условие:

®-7-72—72 > 5 (1.25)

с (** -*0)2 + Ь2 ( )

В частности, оно означает невозможность сформировать Гауссов пучок в окрестности луча, который подходит к линии наблюдения под углом 900, т.е. параллельно линии источников или приёмников. Понятно, что это накладывает ограничение на использование такого подхода, в частности, при миграции данных ВСП.

Для неоднородной среды оценка интеграла методом перевала выполняется при условии, что функция Грина находится разложением по Гауссовым пучкам. Такое решение налагает соответствующие ограничения на модели, в которых возможно их использование [Веп-МепаИет, Веуёоип, 1986]. При этом формула (1.24) для неоднородной среды остаётся без изменения.

В случае изотропной упругой среды анализ аналогичен скалярному случаю, в результате которого получается следующая оценка:

г2

|г(0,^Л,л;®);®)&г «и^(ss,д*;®), (1.26)

где Г(0^г;£,^ю) - матрица Грина, удовлетворяющая системе уравнений (1.5), тр?( ^ ;ю) - векторный вес, который является нормированной производной от продольного/поперечного Гауссова пучка:

- , 9 дирь(х,г;ю)

Г%(^;ю) = 2а,V2 Р,Д , ; )

'о у ро

дх

(0,2)•

(1.27)

1.2.4 Условия визуализации

Вывод условия визуализации для построения PP-изображений на продольных монотипных волнах излагается детально в работе [Protasov, Tcheverda, 2012], а для построения PS-изображений по обменным поперечным волнам оно выводится аналогично, поэтому представлено кратко.

На первом шаге построения изображения изотропных сред сейсмические данные интегрируются с некоторым весом, чтобы сформировать продольный Гауссов пучок. При этом источник типа центра давления возбуждает только продольные волны. Для этого из фиксированной точки изображения у = (х1 )

в известной макроскоростной модели со скоростью V 0 выпускается продольный луч в направлении к источникам (Рисунок 1.1). Пусть точка пересечения луча с линией источников обозначается (х о) . Для этого луча

строится продольный Гауссов пучок мргЬ1(х, 2; х1,; х08;ю), определяемый

формулой (1.7), и вычисляется нормальная к линии источников производная от его скалярной части:

гтфк л ар, д<Ь1(х, х-, ; хо*;()

¡ю дг

(1.28)

Далее этот вес умножается на падающее волновое поле и0(х,¿;х8,0;о) для уравнения Гельмгольца и интегрируется по координате источника, а асимптотическая оценка этого интеграла методом перевала, аналогичная формуле (1.27), выражается в следующем виде:

о

г

х§2

100(х,г; х8,0; с) • ТрЬ(;« ^(ш)иёрЬ1 (х,г;хг,г;;с). (1.29)

Рисунок 1.1 - Геометрия алгоритма построения РР-изображений по многокомпонентным данным ВСП: продольные лучи (сплошная черная) и соответствующие им Гауссовы пучки (их ширина - чёрным пунктиром). Р -половина угла между направлением лучей в точке изображения (угол открытия), а - угол между вертикальной линией и биссектрисой угла между начальными направлениями лучей в точке изображения (угол наклона)

РР-изображения по данным ВСП со многими выносными источниками

Чтобы построить изображения упругой среды по РР-волнам, трассируется ещё один продольный луч из точки изображения у = (хг, ^) в

направлении приёмников (Рисунок 1.1). Пусть точка пересечения луча с линией приёмников, расположенных в вертикальной скважине, обозначается (0,г0г). Для этого луча строится продольный Гауссов пучок

йрЪ2(x, z; x1, z1 ;z0r ;с). Затем в координатах приемников вычисляется вес,

который является нормальной производной продольного Гауссова пучка:

т£Ъ2( \ ~ 2 дйРЪ2(х^;х,г;^;с). Л

тРр (гг;с)=2РоV —-^-Iх = 0. (1.30)

Теперь обе части интеграла однократного рассеяния (1.1) умножаются на производные (1.28), (1.30) и интегрируются по координатам источников и приемников:

х 2 гг 2

/ /Т*рЪ1 X;со)Тр*Ъ2(гг;с);х5;=

ха 2 гг 2

= / \ ТрЪ1(х5;СГ;Ъ2(?г /Г(0,• (131)

• Ц < й0(£,т; х5,0;с) > dgdт; Использование соотношений (1.27) и (1.29) приводит к тождеству:

хэ2 гг2

] /Тр8Ъ1 (хя;со)ТрЪ2(гг;с)й°Ъ*(гг;х;со^^ =

^ ^ (1.32)

= Г(с) | йрЪ2 (д, т; хг., г; ^;с) • А < й8рЪ1 т; х,г; х0д;с) > ^

Для дальнейшего преобразования правой части (1.32) используется

представление продольных Гауссовых пучков в форме (1.7): йgЪ1'2 = ¿р'2фрЬЪ"2.

Так как Гауссовы пучки сосредоточены в узкой окрестности центрального луча, поэтому интегрирование в правой части тождества (1.32) производится в малой (порядка ширины Гауссова пучка) окрестности точки (х1,г1). Так как миграционная модель, в которой выполняется трассировка

Гауссова пучка, считается плавной, то среда с приемлемой точностью представляется локально-однородной в пределах этой окрестности. В таком

случае Гауссовы пучки можно представить явными формулами, в частности, для их поляризаций:

г1р = а + /),- ^(а + /3)); V = (sin( а - /),- со^а - /));

(1.33)

для лучевых координат:

^ = -(х - х) sin( а + /) + (7 - ) cos(а + /); ^ = -(х - х) sin( а- /) + (7 - ) cos(а - /);

(1.34)

для производных времён пробега:

т,

, дт: 1

V

р0

дх V 0 дх

дт] 1 дл ] д7 Vp0 д7 '

j = 1,2. (1.35)

После вычисления действия оператора Ь1 (производных от Гауссовых пучков) с учётом производных вплоть до первого порядка, правая часть тождества (1.32) примет вид интегрального соотношения:

2 Т 2

/ / тръ1 (х,; ш)ТрЬ2 {7Г; ш) йоЬ*(7г; х,; ш)<7г<хя

ш2 Р (ш)//^ь>

рЬ2 Л + 2М С0s2 2/ + V2р0Р1 С^2/

К2 Vp 0

(1.36)

2

Для упрощения последующего анализа принимается, что Р(ш) = 1 в заданном диапазоне частот [ш15ш2]. Поэтому подынтегральное выражение в правой части (1.36) представляется в следующем виде:

<р? •< =

ехр(-ш • /рь).

(1.37)

Ввиду малости области интегрирования фаза и амплитуда (1.37) могут быть представлены рядом Тейлора в окрестности точки (х, ):

Арь = 1 + 0(£-хг 7г);

ФрЬ = ((хг - ш а - (7- - Л) cosа) + 0((£ - хг )2, {Л - 7г )2).

V р 0( х-, )

(1.38)

х.л 7

Чтобы получить условие визуализации в структурных углах, обе части

4 сое2 В

соотношения (1.36) умножаются на -—, интегрируются по о и а и

а

делается замена переменных (о, а)->(рХ, ру) по формуле:

2юсо$>6 2юсо$>6

Рх =—:--• эт а; рг =-----• со8а, (1.39)

X, ) Х- > )

что приводит к интегральному соотношению:

м{/рр)(X,) = ЦЛрЛгЦ!рр(ЯГГ';Р) • ехр(/рх(X -£) + 1рг(г, -г^&Г «

Храг(Х1 ) Ц

а„ а„ „ -у 7 (1.40)

2 2 Л С П\ Х2 ^2

«II ^ СоСа \ \ ТрёЪ1 X; о)ТрёЪ2 (гг; со) •и°ъ'(гг; ^; о)С2гсХз •

Правая часть выражения (1.40) определяет условие визуализации для построения PP-изображений изотропной упругой модели среды. При этом левая часть, а именно оператор М, является суперпозицией двух операторов -преобразования Фурье по пространственным переменным от искомой резкоменяющейся компоненты модели:

fpp =4 + 2А cos2 2p + v2poPl cos2p = Ярр(РУроРо cos2 p (1.41)

и "неполного" обратного преобразования Фурье по множеству частичного восстановления х , которое определяется доступными значениями углов

открытия p и наклона а , а также регистрируемым диапазоном частот:

Xpar(X,zt) = [px,pz < rpоЛ/+Pz <02^1 < arctan^) ^j. (1.42) P 2cos(p) pz

Таким образом условие визуализации (правая часть (1.40)) получено в истинных амплитудах, т.е. изображение пропорционально линейной комбинации упругих параметров среды (1.41), которая пропорциональна линеаризованному коэффициенту отражения Крр (В). Как видно из формул (1.28), (1.30), (1.40), истинность амплитуд достигается за счёт корректного

si Г 1

а 0

учёта поляризации, изменения амплитуды и корректно построенного асимптотического обращения. В частности, амплитуды весов суммирования (1.28) и (1.30) содержат в себе множители, которые отвечают за компенсацию геометрического расхождения и неоднородности упругой среды. Необходимо подчеркнуть, что, например, миграция Кирхгофа также реализована в истинных амплитудах, поэтому в разработанной миграции на Гауссовых пучках такая функциональность является аналогом.

В условии визуализации (1.40) векторный вес (нормальная производная продольного Гауссова пучка) скалярно умножается на вектор смещения сейсмических данных (многокомпонентность данных). Фактически происходит скалярное умножение вектора поляризации продольного пучка и вектора поляризации данных. При таком умножении продольные волны, зарегистрированные в данных, дают максимальный вклад в изображение, поскольку поляризации продольного пучка и продольных волн параллельны. А поляризации поперечных волн и продольного пучка ортогональны, поэтому вклад поперечных волн в изображение почти нулевой. Таким образом полученное условие визуализации можно применять к многокомпонентным данным без предварительного разделения волн на РР и РБ компоненты, при этом помехи от Б-волн на сейсмическом изображении должны отсутствовать.

Далее амплитуды весов суммирования (1.28) и (1.30) являются экпоненциально-затухающими функциями при удалении от точек пересечения лучей с линией источников/приёмников. Коэффициент затухания (или ширина Гауссовых пучков на поверхности наблюдения) определяется по ширине Гауссовых пучков, которая задаётся в глубине (в точках изображения). Более узкая ширина пучка в глубине даёт более узкое ядро оператора изображения (1.37), и, следовательно, более высокую пространственную разрешающую способность алгоритма. Если представить предельный случай, когда ширина Гауссовых пучков на линии наблюдения блика к нулю, тогда условие визуализации (правая часть (1.40)) сводится к интегрированию по углу наклона а, где для каждого угла мигрируется только одна сейсмическая

трасса, т.е. получается вариант миграции Кирхгофа в структурных углах. При этом ширина пучка в точках изображения становится очень большой, ядро оператора изображения (1.37) очень широким, что приводит к «размазыванию» сигнала (по эллипсу в однородной среде). Этот эффект в миграции Кирхгофа проявляется в виде так называемых «улыбок» -артефактов миграции, которые зашумляют изображение. Как уже было отмечено, ядро оператора миграции на Гауссовых пучках (1.37) задаётся узким, поэтому сигнал сфокусирован и «улыбки» отсутствуют.

В предельном случае, описанном выше, мигрируется одна трасса (миграция Кирхгофа), тогда как при ненулевой ширине пучков на поверхности наблюдения суммируется и мигрируется пучок трасс. Фазы весов суммирования (1.28) и (1.30) пропорциональны частоте и временам пробега Гауссовых пучков, поэтому суммирование этих трасс происходит вдоль годографов Гауссовых пучков. Тогда, если сигнал суммируется когерентно (а именно на такое суммирование и направлено действие оператора миграции на Гауссовых пучках), тогда повышается соотношение сигнал/помеха. Однако некогерентное суммирование может возникать из-за неточности миграционной скоростной модели или, при условии, если годографы мигрируемых волн не могут быть локально описаны годографами Гауссовых пучков. При этом алгоритм когерентно суммирует как волны с кинематикой отражённых волн, так и дифрагированных. Более того, его можно настроить так, чтобы он выбирал дифрагированные волны как раз за счёт кинематики, которая идёт от геометрии среды, что представлено ниже.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Протасов Максим Игоревич, 2019 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Бабич В.М. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн / В.М. Бабич, В.С. Булдырев. - М.: Наука, 1972. - 456 с.

2. Вайнберг Б.Р. 1966. Принципы излучения, предельного поглощения и предельной амплитуды в общей теории уравнений с частными производными / Б.Р. Вайнберг // Успехи математических наук. - 1966. - Т.21, Вып. 3 (129). -С.115 - 194.

3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров. - М.: Наука, 1972. - 395 с.

4. Выявление трещиновато-кавернозных коллекторов на основе интерпретации сейсмических рассеянных волн методом Гауссовых пучков / Д.А. Петров ..., М.И. Протасов [и др.] // Нефтяное хозяйство. - 2019. - № 1. -С.6-10.

5. Гадыльшин К.Г., Протасов М.И. Построение точных частотно-зависимых лучей при известном решении уравнения Гельмгольца / К.Г. Гадыльшин, М.И. Протасов // Вычислительные методы и программирование. - 2015. - Т.16. - С.586-594.

6. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах / С.К. Годунов [и др.]. - Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние,1990. - 352 с.

7. Годунов С.К. Разностный метод численного расчёта разрывных решений гидродинамики / С.К. Годунов // Математический сборник. - 1959. -Т.47. - №3. - С.271-306.

8. Гольдин С.В. Динамический анализ изображений в сейсмике / С.В. Гольдин // Геология и геофизика. - 1978. - №2. - С.90-98.

9. Гольдин С.В. К теории лучевой сейсмической томографии: 1. Преобразование Радона в полосе и его обращение / С.В. Гольдин // Геология и геофизика. - 1996. - №5. - С.3-18.

10. Гольдин С.В. Оценка коэффициента отражения при миграции обменных и монотипных волн / С.В. Гольдин // Геология и геофизика. - 1992. - №4. - С.90-105.

11. Конечно-разностный метод численного моделирования распространения сейсмических волн в трёхмерно-неоднородных разномасштабных средах / В.И. Костин [и др.] // Вычислительные методы и программирование. - 2011. - Т.12. - С.321 - 329.

12. Костин В.И. г-решения уравнения первого рода с компактным оператором в гильбертовых пространствах: существование и устойчивость /

B.И. Костин, В.Г. Хайдуков, В.А. Чеверда // Докл. РАН. - 1997. - Т. 355 (3). -

C. 308 - 312.

13. Кравцов Ю.А. Геометрическая оптика неоднородных сред / Ю.А. Кравцов, Ю.И. Орлов. — М.: Наука, 1980. - 306 с.

14. Кутовенко М.П. Построение сейсмических изображений в истинных амплитудах по многокомпонентным данным с использованием гауссовых пучков / М.П. Кутовенко. // Новосибирск: Дисертация. - 2011. - 92 с.

15. Миграция исходных сейсмозаписей на основе фокусирующих преобразований как средство повышения информативности сейсморазведки / С.И. Шлёнкин и [др.]. // Фундаментальные проблемы нефтегазогеологической науки. Кн. 2. Ред. Э.Д.Бакиров. - М.: ВНИИОНГ. - 1990. - С.145-154.

16. Неклюдов Д.А. «Волновое» трассирование лучей для трёхмерной межскважинной томографии / Д.А. Неклюдов, М.И. Протасов. // Технологии сейсморазведки. - 2016. - № 2. - С.32-38.

17. Номофилов В.Е. Асимптотические решения системы дифференциальных уравнений второго порядка, сосредоточенные в окрестности луча / В.Е. Номофилов // Зап. паучн. семин. ЛОМИ. - 1981. - Т.104. - С.170-179.

18. Оценка возможности выделения тонких кавернозных прослоев по рассеянным волнам в трещиноватом разрезе Юрубчено-Тохомского месторождения / К.Г. Гадыльшин..., М.И. Протасов [и др.] // Технологии сейсморазведки. - 2017. - № 1. - С. 56-63.

19. Поздняков В.А. Объектно - ориентированные миграционные преобразования сейсмограмм / В.А. Поздняков, В.А. Чеверда // Технологии сейсморазведки. - 2005. - №3. - С.35 - 37.

20. Поздняков В.А. Фокусирующие преобразования сейсмических данных для площадных стационарных систем / В.А. Поздняков, В.А. Чеверда // Геология и геофизика. - 2005. - Т.46, №.3. - С.328 - 337.

21. Поляризационный анализ отраженных PS-волн в средах с переменным направлением трещиноватости / С.Б. Горшкалев [и др.] // Технологии сейсморазведки. - 2016. - № 1. - С. 52-60.

22. Попов М.М. Метод суммирования гауссовых пучков в изотропной теории упругости / М.М. Попов // Изв. АН СССР. - 1983. - №9. - С.39-50.

23. Протасов М.И. Построение трёхмерных дифракционных сейсмических изображений по данным 3D-сейсморавзедки на основе асимметричного суммирования и спектральной фильтрации / М.И. Протасов, Г.В. Решетова, В.А. Чеверда // Геофизика. - 2017. - № 2. - С.14-21.

24. Протасов М.И. Построением трёхмерных сейсмических изображений в анизотропных средах по данным 3Д ВСП на основе Гауссовых пучков / М.И. Протасов // Геофизика. - 2016. - №3. - С.28-33.

25. Протасов М.И. Распространение Гауссовых пучков через неплоские границы / М.И. Протасов // Технологии сейсморазведки. - 2015. - №4. - С.44-50.

26. Протасов М.И. Построение сейсмических изображений данных 3Д ВСП на основе Гауссовых пучков / М.И. Протасов // Интерэкспо Гео-Сибирь. - 2015. - Т.2, №2. - С.206-210.

27. Протасов М.И. Анализ амплитуд глубинных сейсмических изображений, полученных по многокомпонентным данным ВСП / М.И. Протасов // Технологии сейсморазведки. - 2014. - №4. - С.68-73.

28. Протасов М.И. Выявление зон трещиноватости на основе взвешенного суммирования многокомпонентных данных и спектрального анализа

изображений / М.И. Протасов, Г.В. Решетова, В.А. Чеверда // Технологии сейсморазведки. - 2014. - № 1. - С.59-66.

29. Протасов М.И. Построение сейсмических изображений в анизотропных средах по многокомпонентным данным вертикального сейсмического профилирования / М.И. Протасов, И.В. Бородин // Геофизика. - 2014. - №2. - С.20-25.

30. Протасов М.И. Частотно-зависимое лучевое трассирование для неплоских границ / М.И. Протасов, К.С. Осипов // Технологии сейсморазведки. - 2014. - №3. - С.41-53.

31. Протасов М.И. AVA-анализ глубинных сейсмических изображений, полученных по многокомпонентным данным ВСП / М.И. Протасов // Интерэкспо Гео-Сибирь. - 2014. - Т.2, №3. - С.27-32.

32. Протасов М.И. Двухточечное трассирование лучей на основе решения уравнения эйконала / М.И. Протасов, А.С. Сердюков // Геофизика. - 2012. -№3. - С.13-18.

33. Протасов М.И. Построение изображений в истинных амплитудах по многокомпонентным данным вертикального сейсмического профилирования со многими выносными источниками / М.И. Протасов, В.А. Чеверда // Технологии сейсморазведки. - 2012. - № 3. - С.31-41.

34. Протасов М.И. Построение сейсмических изображений в анизотропных средах по многокомпонентным данным ВСП / М.И. Протасов, И.В. Бородин // Интерэкспо Гео-Сибирь. - 2012. - Т.1, №2. - С.78-82.

35. Протасов М.И. Построение сейсмических изображений в истинных амплитудах / М.И. Протасов, В.А. Чеверда // Докл. РАН. - 2006. - Т. 407 (4). -С. 441 - 446.

36. Протасов М.И. Использование Гауссовых пучков для построения сейсмических изображений в истинных амплитудах / М.И. Протасов, В.А. Чеверда // Технологии сейсморазведки. - 2006. - №4. - С.3 - 10.

37. Рассеянные волны: Численное моделирование и построение изображений. Часть 1: Двумерные среды / В.В. Лисица [и др.] // Технологии сейсморазведки. - 2013. - №1. - С.46 - 58.

38. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику / С.М. Рытов. — М.: Наука, 1966. - 404 с.

39. Статистический анализ сейсмических изображений фациальной модели разломной зоны / Д.М. Вишневский, ..., М.И. Протасов [и др.] // Технологии сейсморазведки. - 2014. - № 4. - С.25-34.

40. Трехмерная анизотропная миграция данных 3D сейсморазведки на основе Гауссовых пучков / М.И. Протасов [и др.] // Технологии сейсморазведки. - 2017. - № 1. - С.35-48

41. Трёхмерная анизотропная миграция данных 3D-сейсморазведки на основе Гауссовых пучков / М.И. Протасов [и др.] // Интерэкспо Гео-Сибирь. -2016. - Т.2, № 1. - С.205-209.

42. Федорюк М.В. Метод перевала / М.В. Федорюк. - М.: Наука, 1977. -368 с.

43. Численное решение многомерных задач газовой динамики / С.К. Годунов [и др.]. - М.: Наука, 1976. - 352 с.

44. 3D Anisotopic Gaussian Beam True-amplitude Depth Imaging of Seismic Data / M. Protasov [et al.]. // 78th EAGE Expanded Abstracts. - 2016. - WeSRS305.

45. 3D diffraction imaging of fault and fracture zones via image spectral decomposition of partial images / M.I. Protasov, K.G. Gadylshin, V.A. Tcheverda, A.P. Pravduhin. - Geophysical prospecting. - 2019. - doi: 10.1111/13652478.12772. - P.1-15.

46. 3D-VSP from interpreter's perspective / M.C. Schinelli [et al.]. // Expanded abstracts of 12th International Congress of the Brazilian Geophysical Society. -2011.

47. A decade of tomography / M.J. Woodward [et al.]. // Geophysics. - 2008. - V.73(5). - P.VE5-VE11.

48. Aki K. Quantitative Seismology / K. Aki, P.G. Richards. - University Science Books, CA, 1980. - Р.656.

49. Albertin U. Comparing common-offset Maslov, Gaussian beam, and coherent state migrations / U. Albertin, D. Yingst, and H. Jaramillo. // SEG Technical Program Expanded Abstracts. - 2001. - P.913 - 916.

50. Alkhalifah T. An acoustic wave equation for anisotropic media / T. Alkhalifah. // Geophysics. - 2000. - V.65. - P.1239-1250.

51. Alkhalifah T. Gaussian beam depth migration for anisotropic media / T. Alkhalifah. // Geophysics. - 1995. - V.60. - P.1474-1484.

52. Alkhalifah T. Migration error in transversely isotropic media / T. Alkhalifah, K. Larner. // Geophysics. - 1994. - V.59(9). - P.1190-1200.

53. Babich V.M. Ray solutions with a complex эйконал concentrated in the vicinity of the geodesic / V.M. Babich, V.E. Nomofilov. // Uspekhi Mat.Nauk. -1981. - V.36. - P.198-212.

54. Babich V.M. Gaussian beam summation (review) / V.M. Babich, M.M. Popov. // Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii Radiofizika. - 1989. - V.32. -P.1447-1466.

55. Ball G. Estimation of anisotropy and anisotropic 3-D prestack depth migration, offshore Zaire / G. Ball. // Geophysics. - 1995. - V.60. - P. 1495-1513.

56. Band-limited ray tracing / E.Yarman ..., M. Protasov. // Geophysical Prospecting. - 2013. - V.61(6). - P.1194-1205.

57. Bansal R. Diffraction enhancement in prestack seismic data / R. Bansal, M. Imhof. // Geophysics. - 2005. - V.70. - P.73-79.

58. Baysal E. Reverse time migration / E. Baysal, D. Kosloff, J. Sherwood // Geophysics. - 1983. - V.48. - P.1514 - 1524.

59. Becache E. Stability of Perfectly Matched Layers, group velocities and anisotropic waves / E. Becache, S. Fauqueux, P. Joly // Journal of Computational Physics. - 2003. - V.188. - P.399-433.

60. Ben-Menahem A. Range of validity of seismic ray and beam methods in general inhomogeneous media-I. General theory / A. Ben-Menahem, W. Beydoun. // Geophys. J. R. astr. Soc. - 1985. - V.82. - P.207-234.

61. Beylkin G. Imaging of discontinuities in the inverse scattering problem of a casual generalized Radon transform / G. Beylkin. // J. Math. Phys. - 1985. - V.26(l).

- P.99 - 108.

62. Biondi B. Solving the Frequency-Dependent Eikonal Equation / B. Biondi. // SEG Technical Program Expanded Abstracts. - 1992. - P. 1315-1319.

63. Bleistein N. On the imaging of reflectors in the earth / N. Bleistein. // Geophysics. - 1987. - V.52. - P.931 - 942.

64. Bleistein N., Zhang Yu, Sheng Xu, Guanquan Zhang, Gray H.S. 2005 . Migration/inversion: think image point coordinates, process in acquisition surface coordinates / N. Bleistein [et al.]. // Inverse Problems. - 2005. - V.21(5). - P.1715

- 1744.

65. Bube K.P. Wave tracing: Ray tracing for the propagation of band-limited signals: Part 1 theory / K.P. Bube, J. Washbourne. // Geophysics. - 2008. - V.73. -P. 377-384.

66. Centre for integrated petroleum research: reseach activities with emphasis on fluid flow in fault zones / J. Tveranger [et al.]. // Norwegian J. Geol. - 2005. -V.85. - P.63-71.

67. Cerveny V. Seismic Ray Theory / V. Cerveny. // Cambridge university press. - 2001. - P.713.

68. Cerveny V. Computation of wave fields in inhomogeneous media. Gaussian beam approach / V. Cerveny, M.M. Popov, I. Psencik. // Geoph. J. R. Astr. Soc. -1982. - V.70. - P.109-128.

69. Cerveny V. Gaussian beams in inhomogeneous anisotropic layered structures / V. Cerveny, I. Psencik. // Geophysical Journal International. -2010.

- V.180. - P.798-812.

70. Cerveny V. Fresnel volume ray tracing / V. Cerveny, J.E.P. Soares. // Geophysics. - 1992. - V.57(7) . - P.902-915.

71. Chapman C. Fundamentals of Seismic Wave Propagation / C. Chapman. // Cambridge university press. - 2004. - P.608.

72. Claerbout J. Toward a unified theory of reflector mapping / J. Claerbout. // Geophysics. - 1971. - V.36. - P.467 - 481.

73. Collonny P. Elastic impedance / P. Collonny. // The Leading Edge. - 1999. - №3. - P.438-452.

74. Corner reflectors - a new concept of imaging vertical boundaries/ E. Kozlov [et al.]. // 71st EAGE Conference and Exhibition. - 2009. - Z039.

75. Correlation analysis of statistical facies fault models / D.R. Kolyukhin ..., M.I. Protasov [et al.]. // Doklady Earth Sciencies. - 2017. - V.473(2) . - P.477-481.

76. Cross-borehole tomography in anisotropic media / P. Carrion [et al.]. // Geophysics. - 1992. - V.57( 9) . - P.1194-1198.

77. Dehghan K. Approximate ray tracing for qP-waves in inhomogeneous layered media with weak structural anisotropy / K. Dehghan, V. Farm, L. Nicoletis. // Geophysics. - 2007. - V.72. - P.SM47-SM60.

78. Devaney A.J. Geophysical diffraction tomography / A.J. Devaney. // IEEE Trans. Geoscience Remote Sensing. - 1984. - V.22. - P.3 - 13.

79. Diffraction imaging of fault facies models / M. Protasov [et al.]. // Extended Abstracts, 7th EAGE Saint Petersburg International Conference and Exhibition. -2016. - P.479-483.

80. Docherty P. A brief comparison of some Kirchhoff integral formulas for migration / P. Docherty. // Geophysics. - 1991. - V.56. - P. 1164-1169.

81. Etgen J. The pseudo-analytical method: application of pseudo-Laplacians to acoustic and acoustic anisotropic wave propagation / J. Etgen, S. Brandsberg-Dahl. // SEG Technical Program Expanded Abstracts. - 2009. - P.2552-2555.

82. Fletcher R. Reverse time migration in tilted transversely isotropic (TTI) media / R. Fletcher, X. Du, P.J. Fowler. / Geophysics. - 2009. - V.74(6). - P.179-187.

83. Fletcher R. Suppressing artifacts in prestack reverse time migration / R.P. Fletcher, P.J. Fowler, P. Kitchenside. // SEG Technical Program Expanded Abstracts. - 2005. - P.2049-2051.

84. Fletcher R. Pure P-wave propagators persus pseudo-acoustic propagators for RTM in VTI media / R. Fletcher, X. Du, P.J. Fowler // 72nd EAGE Annual Conference and Exhibition, Extended Abstracts. - 2010. - C013.

85. Fleury C. Investigating an imaging condition for nonlinear imaging-principles and application to reverse-time-migration artifacts removal / C. Fleury, I. Vasconcelos. // SEG Technical Program Expanded Abstracts. - 2010. - P.3338-3342.

86. Fomel S. Poststack velocity analysis by separation and imaging of seismic diffractions / S. Fomel, E. Landa, T. Taner. // Geophysics. - 2007. - V.72. - P.89-94.

87. Foreman T.L. A Frequency Dependent Ray Theory / Foreman T.L. // Austin: Univ. of Texas at Austin, PhD Thesis. - 1987. - P.89.

88. Fracture characterization by integrating seismic-derived attributes including anisotropy and diffraction imaging with borehole fracture data in an offshore carbonate field / E. Liu [et al.]. // UAE: International Petroleum Technology Conference. - 2015. - IPTC-18533.

89. Gibson R.L. Paraxial ray tracing in 3D inhomogeneous, anisotropic media / R.L. Gibson, A.G. Sena, M.N. Toksoz. // Geophysical prospecting. - 1991. - V.39. - P.473-504.

90. Gray S.H. Gaussian beam migration of common-shot records / S.H. Gray. // Geophysics. - 2005. - V.70(4). - P.S71-S77.

91. Gray S.H. True amplitude Gaussian beam migration / S.H. Gray, N. Bleistein. // Geophysics. - 2009. - V.74(2). - P.S11 - S23.

92. Gray S. Velocity smoothing for depth migration: How much is too much? / S. Gray. // SEG Technical Program Expanded Abstracts. - 2000. - P. 1055-1058.

93. Grechka V. Shear waves in acoustic anisotropic media / V. Grechka, L. Zhang, J.W. Rector. // Geophysics. - 2004. - V.69. - P.576-582.

94. Guitton A. Least-squares attenuation of reverse-time-migration artifacts / A. Guitton, B. Kaelin, B. Biondi. // Geophysics. - 2007. - V.72(1). - P.S19-S23.

95. Hanyga A. Gaussian beams in anisotopic elastic media / A. Hanyga // Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society. - 1986. - V.85. - P.473-563.

96. Helbig K. 75+ years of anisotropy in exploration and reservoir seismics: A historical review of concepts and methods / K. Helbig and L . Thomsen // Geophysics. - 2005. - 70. - P.9ND-23ND.

97. High resolution diffraction imaging for reliable interpretation of fracture systems / B. De Ribet [et al.]. // First Break. - 2017. - V.35(2). - P.43 - 47.

98. Hill N.R. Gaussian beam migration / N.R. Hill. // Geophysics. - 1990. -V.55. - P.1416-1428.

99. Hill N.R. Prestack Gaussian-beam depth migration / N.R. Hill. // Geophysics. - 2001. - V.66. - P.1240-1250.

100. Hobro J.W.D. Direct representation of complex, high-contrast velocity features in Kirchhoff PreSDM velocity models / J.W.D. Hobro, D. Nichols, R. Fletcher // 70th EAGE Conference & Exhibition, Extended Abstracts. - 2008. - P. F030.

101. Imaging scattering objects masked by specular reflections / E. Kozlov [et al.]. // SEG Technical Program Expanded Abstracts. - 2004. - P.1131-134.

102. Kaelin B. Eliminating imaging artifacts in RTM using pre-stack gathers / B. Kaelin, C. Carvajal. // SEG Technical Program Expanded Abstracts. - 2011. -P.3125-3129.

103. Khaidukov V.G. The r-solution and its applica-tion in linearized waveform inversion for a layered back-ground / V.G. Khaidukov, V.I. Kostin, V.A. Tcheverda. // IMA Volume "Inverse Problems of Wave Propagation" Eds. G.Chavent, W.W.Symes, Springer: New York. - 1997. - P.277 - 294.

104. Khaidukov V. Diffraction imaging by focusing-defocusing: an outlook on seismic super resolution / V. Khaidukov, E. Landa, T.J. Moser. // Geophysics. -2004. - V.69. - P.1478-1490.

105. Kim S. 3-D Eikonal solvers: First-arrival traveltimes / S. Kim. // Geophysics. - 2002. - V.67(4). - P.1225-1231.

106. Kim S. 3-D traveltime computation using second-order ENO scheme / S. Kim, R. Cook // Geophysics. - 1999. - V.64(6) . - P. 1867-1876.

107. Klokov A. Separation and imaging of seismic diffractions in dip angle domain / A. Klokov, E. Landa, T.J. Moser // 72th EAGE Ann. Mtg. Expanded Abstracts. -2010.

108. Klokov A. Separation and imaging of seismic diffractions using migrated dip-angle gathers / A. Klokov, S. Fomel // Geophysics. - 2012. - 77. - P.S131-S143.

109. Koren Z. Full-azimuth subsurface angle domain wave-field decomposition and imaging Part 1: Directional and reflection image gathers / Z. Koren, I. Rave // Geophysics. - 2010. - V.76. - P.1-13.

110. Kostin V. R-pseudoinverse for compact operator in Hilbert spaces: existence and stability / V. Kostin, V. Tcheverda // J. Inverse and Ill-Posed Problems. - 1995. - V.3(2) . - P.131-148.

111. Kurbanmuradov O.A. Weak convergence of randomized spectral models of Gaussian random vector fields / O.A. Kurbanmuradov. // Bull. Nov. Comp. Center, Num. Anal. - 1993. - P. 19-25.

112. Landa E. Quantum seismic imaging: is it possible? / E. Landa. // Journal of seismic exploration. - 2010. - V.22. - P.295-310.

113. Landa E. Path-integral seismic imaging / E. Landa, S. Fomel, T.J. Moser. // Geophysical prospecting. - 2006. - V.54(5). - P.491-503.

114. Landa E. Separation, imaging, and velocity analysis of seismic diffractions using migrated dip-angle gathers / E. Landa, S. Fomel, M. Reshef. // SEG Technical Program Expanded Abstracts. - 2008. - P.2176 - 2100.

115. Landa E. A method for detection of diffracted waves on common-offset sections / E. Landa, V. Stivelman, B. Gelchinsky. // Geophysical Prospecting. -1987. - V.35. - P.359 - 373.

116. Li X.S. SuperLU_DIST: A Scalable Distributed-Memory Sparse Direct Solver for Unsymmetric Linear Systems / X. S. Li, J. W. Demmel. // ACM Trans. Math. Softw. - 2003. - V.29(2). - P.110-140.

117. Li D. A moving window semivariance estimator / D. Li, L.W. Lake. // Water Resour. Res. - 1994. - V.30(5). - 1479-1489.

118. Lions P.L. Generalized solutions of Hamilton-Jacobi equations / P.L. Lions. // Research notes in mathematics. - 1982. - V.69. - 252-256.

119. Lisitsa V. On the interface error analysis for finite difference wave simulation / V. Lisitsa, V. Tcheverda, O. Podgornova. // Computational Geosciences. - 2013. - V.14(4). - P.769 - 778.

120. Lomax A. The Wavelength-Smoothing Method for Approximating BroadBand Wave Propagation through Complicated Velocity Structures / A. Lomax. // Geophys. J. Int. - 1994. - V.117(2). - P.313-334.

121. McMechan G. Migration by extrapolation of time-dependent boundary values / G. McMechan // Geophysical Prospecting. - 1983. - V.31. - P.413 - 420.

122. Kostin R.J. Singular value decomposition for cross-well tomography / R.J. Michelena. // Geophysics. - 1993. - V.58(11). - P.1655-1661.

123. Miller D. A new slant on seismic imaging: Migration and integral geometry / D. Miller, M. Oristaglio, G. Beylkin. // Geophysics. - 1987. - V.52(7) . - P.943 -964.

124. Monin A.S. Statistical Fluid Mechanics (Vol II): Mechanics of Turbulence / A.S. Monin, A.M. Yaglom. - MIT Press, 1975. - P.874.

125. Mora P. Inversion=migration+tomography / P. Mora. // Geophysics. -1989. - V.54, - P.1575-1586.

126. Moser T.J. Diffraction imaging in depth / T.J. Moser, C.B. Howard. // Geophysical Prospecting. - 2008. - V.56. - P.627-642.

127. Moser T.J. Ray bending revisited / T.J. Moser, G.Nolet, R. Snieder. // Bull. Seismol. Soc. Am. - 1992. - V.82. - P.259-288.

128. Multi- parameter inversion in anisotropic media / R. Burridge [et al.]. // Geophys. J. Int. - 1998. - V.134. - P.757-777.

129. Neal S. Anisotropic velocity modeling and prestack Gaussian beam depth migration with applications in the deepwater Gulf of Mexico / S. Neal, N.R. Hill, Y. Wang. // The Leading Edge. - 2009. - V.28(9). - P.1110-1119.

130. Novak R.L. A tale of two beams: an elementary overview of Gaussian beams and Bessel beams / R.L. Novak // Stud. Geophys. Geod. - 2012. - V.56. -P.355-361.

131. Numerical study of the interface errors of finite-difference simulation of seismic waves / D. Vishnevsky [et al.]. // Geophysics. - 2014. - V.79(4). - P.T219 - T232.

132. Pacheco C. Velocity smoothing before depth migration: Does it help or hurt? / C. Pacheco, K. Larner. // SEG Technical Program Expanded Abstracts. -2005. - P.1970 - 1974.

133. Paffenholz J. Sigsbee2a Synthetic Subsalt Dataset - Image Quality as Function of Migration Algorithm and Velocity Model Error / J. Paffenholz [et al.]. // 64th Mtg. Eur. Assn. Geosci. Eng., Expanded Abstracts. - 2002. - B019.

134. Peryra V. Solving two-point seismic-ray tracing problems in a heterogeneous medium / V. Peryra, W.H.K. Lee, H.B. Keller. // Bull. Seismol. Soc. Am. - 1980. - V.70. - P.79-99.

135. Popov M.M. Ray theory and Gaussian beam for geophysicists / M.M. Popov. - EDUFBA: SALVADOR-BAHIA, 2002. - P.156.

136. Protasov M. Computational method for exact frequency-dependent rays on the basis of the solution of the Helmholtz equation / M. Protasov, K. Gadylshin. // Geophys. J. Int. - 2017. - V.210(1). - P.525-533.

137. Protasov M.I. Fracture detection by Gaussian beam imaging of seismic data and image spectrum analysis / M.I. Protasov, G.V. Reshetova, V.A. Tcheverda. // Geophysical Prospecting. - 2016. - V.64(1). - P.68-82.

138. Protasov M. 3D Gaussian beam imaging of 3D3C VSP data / M. Protasov. // Extended Abstracts, 7th EAGE Saint Petersburg International Conference and Exhibition. - 2016. - P.469-473.

139. Protasov, M.I. 3D true-amplitude anisotropic elastic Gaussian beam depth migration of 3D irregular data / M.I. Protasov, V.A. Tcheverda, A.P. Pravduhin. -Journal of seismic exploration. - 2019. - V.28(2) . - P.121-146.

140. Protasov M. Subsalt imaging in the presence of salt body uncertainty based on focused summation / M. Protasov, D. Kolyukhin // SEG Technical Program Expanded Abstracts. - 2016. - P.5224-5228.

141. Protasov M.I. 2-D Gaussian beam imaging of multicomponent seismic data in anisotropic media / M.I. Protasov. // Geophys. J. Int. - 2015. - V.203. - P.2021-2031.

142. Protasov M. Exact Frequency Dependent Rays on the Basis of Helmholtz Solver / M. Protasov, K. Gadylshin. // SEG Technical Program Expanded Abstracts. - 2015. - P.3739-3743.

143. Protasov M. Computational method for exact frequency dependent ray tracing / M. Protasov, K. Gadylshin. // Waves-2015 Book of Abstracts. - 2015. -P.232-233.

144. Protasov M. Subsalt Imaging Based on the Beam Propagation through Irregular Interfaces / M.I. Protasov. // 76th EAGE Conference & Exhibition Extended Abstracts. - 2014. - WeP0204.

145. Protasov M. Fracture Detection via Beam Imaging and Image Spectrum Analisys / M. Protasov, V. Tcheverda, G. Reshstova. // 76th EAGE Conference & Exhibition Extended Abstracts. - 2014. - WS05.

146. Protasov M.I. Gaussian beam imaging of walkaway VSP data based on finite differences in time domain / M.I. Protasov, M.N. Dmitriev // Computational Geosciences. - 2013. - V.17(6). - P.951-957.

147. Protasov M.I. Gaussian beam imaging of walkaway VSP data based on finite differences in time domain / M.I. Protasov, M.N. Dmitriev // 75th EAGE Conference & Exhibition Extended Abstracts. - 2013. - TuP0615.

148. Protasov M. Imaging of fracture zones by weighted summation of multi-component data and image spectrum analysis / M. Protasov, V. Tcheverda, G. Reshetova. // SEG Technical Program Expanded Abstracts. - 2013. - P.4080-4084.

149. Protasov M.I. True Amplitude Imaging of Ocean Bottom Cable Data by Gaussian Beams Based Weighted Summation / M.I. Protasov, M.P. Kutovenko, V.A. Tcheverda // Expanded Abstracts of Waves 2013, Proceedings. - 2013. - P.51-52.

150. Protasov M.I. Gaussian Beam 2013 Propagation through Irregular Interfaces / M.I. Protasov. // Expanded Abstracts of Waves 2013, Proceedings. -2013. - P.317-318.

151. Protasov M. Anisotropic Gaussian beam imaging of walk-away VSP data / M. Protasov, I. Borodin. // 74th EAGE Conf. and Exhibition Extended Abstracts. -2012. - P098.

152. Protasov M.I. True-amplitude elastic Gaussian beam imaging of multi-component walk-away VSP data / M.I. Protasov, V.A. Tcheverda. // Geophysical Prospecting. - 2012. - V.60. - P.1030-1042.

153. Protasov M.I. True amplitude imaging by inverse generalized Radon transform based on Gaussian beam decomposition of the acoustic Green's function / M.I. Protasov, V.A. Tcheverda. // Geophysical Prospecting. - 2011. - V.59(2). -P.197-209.

154. Protasov M.I. Asymptotic Inversion of Multicomponent data of Offset Vertical Seismic Profile / M.I. Protasov, V.A. Tcheverda. // Proceedings of WAVES. - 2009. - P.436-437.

155. Qian J. Finite-difference quasi-P traveltimes for anisotropic media / J. Qian W. Symes. // Geophysics. - 2002. - V.67(1). - P. 147-155.

156. Qian J. An adaptive finite-difference method for traveltimes and amplitudes / J. Qian W. Symes. // Geophysics. - 2002. - V.67(1) . - P.167-176.

157. Reshef M. Poststack velocity analysis in the dip-angle domain using diffractions / M. Reshef, E. Landa // Geophysical Prospecting. - 2009. - V.57. -P.811-821.

158. Ryzhikov G. 3D nonlinear inversion by entropy of image contrast optimization / G. Ryzhikov, M. Biryulina, A. Hanyga. // Nonlinear Processes in Geophysics. - 1995. - V.2. - P.228-240.

159. Sabelfeld K.K. Monte Carlo Methods in Boundary Value Problems / K.K. Sabelfeld. - Berlin: Springer, 1991.

160. Schleicher J. 3-D true amplitude finite-offset migration / J. Schleicher, M. Tygel, P. Hubral. // Geophysics. - 1993. - V.58. - P.1112 - 1126.

161. Schleicher J. Seismic true-amplitude imaging / J. Schleicher, M. Tygel, P. Hubral. - Society of Exploration Geophysicists. - 2007. - P.353.

162. Seismic anisotropy in exploration and reservoir characterization: An overview / I. Tsvankin [et al.]. // Geophiscs. - 2010. - V.75(5). - P.75A15-75A29.

163. Seismic imaging and statistical analysis of fault facies models / D.R. Kolyukhin ..., M.I. Protasov [et al.]. // Interpellation. - 2017. - V.5(4) . - P.SP71-SP82.

164. Separation of scattering and diffraction from regular reflection in seismic data / V.A. Tcheverda [et al.]. // Russian Geology and Geophysics. - 2003.

- V.8. - P.784-792.

165. Sethian J.A. Fast marching methods / J.A. Sethian // SIAM Rev. - 1999. -V.41. - P.199-235.

166. Shlionkin S.I. Visualization of diffraction anomalies / S.I. Shlionkin, G.V. Kashirin, A.V. Masjukov. // SEG Technical Program Expanded Abstracts. - 1998.

167. Shtivelman V. Imaging shallow subsurface inhomogeneities by 3D multipath diffraction summation / V. Shtivelman, S. Keydar. // First Break. - 2005.

- V.23. - P.39 - 42.

168. Simulation of Seismic Waves Propagation in Multiscale Media: Impact of Cavernous/Fractured Reservoirs / V.I. Kostin [et al.]. // LNCS. - 2012. - V.7133. -P.54 - 64.

169. Stovas A. A sensitivity study based on 2D synthetic data from the Gullfaks Field, using PP and PS time-lapse stacks for fluid-pressure discrimination / A. Stovas, M. Landro, B. Arnsten. // Journal of Geophysics and Engineering. - 2006. -V.3. - P.314 - 328.

170. Subsalt imaging in the presence of salt-body uncertainty / M. Protasov [et al.]. // The Leading Edge. - 2017. - V.2. - P.146-150.

171. Sun Y. Ray tracing in 3-D media by parameterized shooting / Y. Sun. // Geophys. J.Int. - 1993. - V.114. - P.145-155.

172. Thomsen L. Weak elastic anisotropy / L. Thomsen. // Geophiscs. - 1986. - V.51. - P.1954-1966.

173. Thurber C.H. Advances in travel-time calculations for 3-D structures / C.H. Thurber, E. Kissling // "Advances in seismic event location". Kluwer Academic Publishers. - 2000. - P.71-99.

174. True-amplitude, angle-domain, common-image gathers from one-way wave-equation migration / Y. Zhang [et al.]. // Geophysics. - 2007. - V.72(1). -P.S49 - S58.

175. True-Amplitude anisotropic beam depth migration of 3D irregular data / M. Protasov [et al.]. // Proceeding of the International Petroleum Technology Conference. - 2016. - IPTC-18655-MS.

176. True-amplitude beam migration / U. Albertin [et al.]. // SEG Technical Program Expanded Abstracts. - 2004. - P.949-952.

177. Tsvankin I. Seismic signature and analysis of reflection data in anisotropic media / I. Tsvankin. - Society of Exploration Geophysicists. - 2012.

178. Tveranger J. Incorporation of fault zones as volumes in reservoir models / J. Tveranger, T. Skar, A. Braathen. // Bolletino di Geofisica Teorica e Applicata. -2004. - V.45(1). - P.316-318.

179. Um J. A fast algorithm for two-point seismic ray tracing / J. Um, C. Thurber. //Bull. Seismol. Soc. Am. - 1987. - V.77. - P.972-986.

180. Van Trier J. Upwind finite-difference calculation of traveltimes / J. Van Trier, W.W. Symes // Geophysics. - 1991. - V.56. - P.812-821.

181. Versteeg R.J. Sensitivity of prestack depth migration to the velocity model / R.J. Versteeg. // Geophysics. - 1993. - V.58. - P.873-882.

182. Virieux J. P-SV wave propagation in heterogeneous media: velocity stress finite difference method / J. Virieux. // Geophysics. - 1986. - V.49. - P.1933 - 1957.

183. Woodward M.J. Wave-Equation Tomography / M.J. Woodward // Geophysics. - 1992. - V.57(1). - P.15-26.

184. Yan J. Isotropic angle-domain elastic reverse-time migration / J. Yan, P. Sava. // Geophysics. - 2008. - V.73. - P.s229.

185. Zacek K. Smoothing the Marmousi model / K. Zacek. // Pure and Applied Geophysics. - 2002. - V.159. - P.1507-1526.

186. Zhu T. Prestack Gaussian-beam depth migration in anisotropic media / T. Zhu, S.H. Gray, D. Wang. // Geophysics. - 2007. - V.72(3). - S133-S13.