Алгоритмы неаналогового моделирования Монте-Карло в расчетах ядерных реакторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Богданова Екатерина Владимировна

• Богданова Екатерина Владимировна
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Богданова Екатерина Владимировна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ И ИНСТРУМЕНТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ

1.1 Математическое моделирование

1.2 Метод Монте-Карло

1.3 Методы понижения дисперсии

1.3.1 Метод управления переменными

1.3.2 Коррелированная выборка

1.3.3 Стратифицированная выборка

1.3.4 Выборка по важности

1.4 Неаналоговое моделирование в методе Монте-Карло

1.4.1 Методы контроля численности частиц

1.4.2 Модифицированная выборка

1.4.3 Методы усечения

1.4.4 Частично детерминированные методы

1.5 Выводы к первой главе

ГЛАВА 2. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАЧИ НЕЙТРОННО-ФИЗИЧЕСКОГО РАСЧЕТА

2.1 Классификация тестовых задач нейтронно-физического расчета

2.2 Система тестовых задач, предназначенная для верификации методов понижения дисперсии

2.3 Задача на глубокое прохождение излучения

2.4 Задача расчета функционалов в малых для регистрации объемах

2.5 Комбинированные проблемы

2.6 Глубоко подкритическая система

2.7 Выводы ко второй главе

ГЛАВА 3. МЕТОДИКА ПО ВЫБОРУ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ

НЕАНАЛОГОВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

3.1 Метод расщепления/русская рулетка

3.2 Метод неявного захвата

3.3 Метод весового окна

3.4 Выводы к третей главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ПЕРЕЧЕНЬ СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

В настоящей работе применяют следующие сокращения и обозначения

АЗ - активная зона

БН-1200 - реактор быстрый натриевый мощностью 1200 МВт

БНАБ - Бондаренко И.И., Николаев М.Н., Абагян Л.П., Базазянц НО.

БРЕСТ - быстрый реактор со свинцовым теплоносителем

БФС - большой физический стенд

НИЦ - Национальный исследовательский центр

ОИАЭ - объект использования атомной энергии

ПК - персональный компьютер

ПС - программное средство

CAD - computer aided design

ENDF - evaluated nuclear data file

FOM - figure of merit

MCNP - Monte Carlo N-Particle Transport Code

MCU - Monte-Carlo Universal

NEA - Nuclear Energy Agency

OECD - Organization for Economic Cooperation and Development

s - среднеквадратичное отклонение

ф - плотность потока нейтронов

S - макроскопическое сечение взаимодействия

н.з. - неявный захват

analog - аналоговое моделирование

C8 - скорость реакции захвата на 238U

F5 - скорость реакции деления на 235U

Keff - эффективный коэффициент размножения нейтронов

S/RR - обозначение для метода расщепления/русская рулетка

ww - обозначение для метода весового окна

ww1 - обозначение для генератора весовых окон, определяющего

параметры весового окна эмпирическим путем

ww2 - обозначение для разработанного в программе OpenMC

генератора весовых окон

ww3 - обозначение для генератора весовых окон, реализуемого через

функцию ценности

wc - значение веса частицы, ниже которого разыгрывается русская

рулетка

wl - нижняя граница весового окна

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы неаналогового моделирования Монте-Карло в расчетах ядерных реакторов»

ВВЕДЕНИЕ

Эволюционное развитие ядерной энергетики идёт по пути повышения безопасности и эффективности эксплуатации действующих ядерных реакторов и проектируемых реакторов нового поколения. Специалисты отрасли постоянно находятся в поиске новых решений, направленных на повышение безопасности ядерных энергетических установок.

Существующие в настоящее время современные многопроцессорные вычислительные системы позволяют достигать высокой точности в нейтронно-физических расчетах ядерных энергетических установок. Однако существует ряд задач, для достижения требуемой точности расчета в которых даже на современной технике необходимы значительные вычислительные затраты. К данным задачам относятся задачи на глубокое прохождение излучения, задачи расчета защиты ядерных энергетических установок, задачи оценки эффективности детекторов и др. Из-за моделирования сложной геометрии на пути нейтрона от активной зоны к защите реактора и больших неопределённостей, вызванных малой посещаемостью нейтронами соответствующих областей, в подобных задачах наблюдается высокая статистическая неопределенность расчета.

В настоящее время наиболее распространены детерминистические и стохастические расчетные методы оценки функционалов. Но наиболее точное моделирование переноса излучения достигается за счет использования прецизионных программ, реализующих метод Монте-Карло с непрерывной зависимостью сечений от энергии. Однако при рассмотрении полномасштабных активных зон ядерных реакторов или полномасштабных ядерных установок существует проблема нехватки мощностей даже самых современных суперкомпьютеров для оперативного моделирования всех процессов.

Для повышения точности оценки рассчитываемых функционалов и увеличения скорости счета существуют различные методы понижения дисперсии (неаналоговое моделирование Монте-Карло) [1]. Методы понижения дисперсии представляют собой альтернативные и более эффективные способы оценки рассматриваемых функционалов, при которых происходит достижение желаемой точности с меньшими затратами на моделирование. Для многих задач нейтронной физики методы понижения дисперсии являются не только способом ускорения вычислений и повышения эффективности расчета, а абсолютно необходимым инструментом, без которого было бы невозможно получить достоверный результат.

Применение неаналоговых методов моделирования переноса излучения значительно сокращает время вычислений, однако, при неправильном подборе параметров моделирования, существует вероятность понизить эффективность того или иного метода.

Отсутствие в настоящее время единых представлений об использовании методов понижения дисперсии диктует необходимость разработки системы тестовых задач для апробации, верификации и демонстрации эффективности неаналоговых подходов в методе Монте-Карло, а также рекомендаций по их использованию в задачах нейтронно-физического расчета. Разработка тестовых задач является фундаментальной частью математического моделирования, которое является основой процесса проектирования и расчетной поддержки эксплуатации объектов использования атомной энергии.

Целями диссертационного исследования являются разработка системы тестовых задач, предназначенной для апробации, верификации и демонстрации эффективности неаналоговых подходов в методе Монте-Карло, и разработка методики по выбору оптимальных параметров моделирования, направленная на повышение эффективности расчетных средств для обоснования безопасности объектов использования атомной энергии.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

- проанализированы и обобщены существующие алгоритмы, методы и инструменты моделирования ядерных реакторов;

- разработана классификация тестовых задач нейтронно-физического расчета;

- проведена систематизация существующих методов понижения дисперсии в соответствии с типом задач нейтронно-физического расчета;

- разработана система тестовых задач, предназначенная для верификации методов понижения дисперсии;

- разработана методика и сформулированы рекомендации по выбору оптимальных параметров неаналогового моделирования;

- проведена верификация разработанной методики на примере расчета защиты реактора на быстрых нейтронах со свинцовым теплоносителем по программам МСи [2] и ОрепМС [3].

Тема научного исследования напрямую связана с глобальными целями развития ядерной отрасли, в числе которых разработка и совершенствование методов расчета инновационных ядерных реакторов, включая реакторы на быстрых нейтронах.

Актуальность работы определяется необходимостью пополнения расчетной базы данных в виде новых методик и систем тестовых задач по совершенствованию технологий обеспечения ядерной и радиационной безопасности инновационных ядерных реакторов. Разрабатываемая система тестовых задач позволит провести верификацию и валидацию существующих и разрабатываемых программных средств в части неаналогового

моделирования на этапе подготовки к государственной аттестации, определить способность или неспособность программного кода к расчетам определенного типа, оценить точности моделирования нейтронно-физических процессов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- предложена новая классификация тестовых задач нейтронно-физического расчета, основанная на разделении масштаба моделируемых систем и ориентированная на конечную цель применения тестовых задач;

- разработана система тестовых задач, предназначенная для апробации, верификации и демонстрации эффективности программных средств, реализующих неаналоговые подходы в методе Монте-Карло;

- впервые для программы OpenMC разработан модуль генерации весовых окон, предназначенный для получения оптимальных параметров неаналогового моделирования в задачах на глубокое прохождение излучения;

- предложена новая методика и численные рекомендации по выбору оптимальных параметров моделирования, направленные на повышение эффективности расчетных средств для обоснования безопасности ОИАЭ.

Практическая значимость работы:

1. Разработанная система тестовых задач и результаты ее расчета могут быть использованы для проведения верификации и экспертизы программных средств на этапе их аттестации.

2. Использование модуля генерации весовых окон в программе OpenMC способствует наиболее эффективной оценке функционалов в объектах, в которых наблюдается сильное ослабление нейтронного потока. Разработанный модуль генерации весовых окон расширяет возможности программы OpenMC и увеличивает область ее применимости.

3. С помощью предложенной методики по выбору оптимальных параметров неаналогового моделирования получены результаты расчета защиты реактора на быстрых нейтронах со свинцовым теплоносителем.

4. Предложенная методика по выбору параметров неаналогового моделирования используется при подготовке поверхностей отклика на радиусе расположения боковых ионизационных камер для каждой периферийной ТВС в активной зоне реактора ВВЭР-1200, что подтверждается актом о внедрении результатов работы.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, выводов и библиографии. Работа изложена на 123 страницах, содержит 31 рисунок, 35 таблиц, список цитируемой литературы из 208 наименований.

ГЛАВА 1. ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ И ИНСТРУМЕНТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ

1.1 Математическое моделирование

Математическое моделирование - это процесс разработки и исследования объекта, при котором описание реальных процессов и явлений происходит с помощью математических методов и инструментов. Основной задачей математического моделирования является получение качественных и количественных характеристик изучаемого объекта или, другими словами, математической модели [4, 5]. Под моделью понимается эквивалент объекта, отражающий в математической форме важнейшие его параметры, характеристики и свойства [6].

Непосредственно математическое моделирование получило широкое применение в 40-50 годах XX века, чему способствовал прогресс вычислительной техники и разработка космических и ядерных программ [7]. Постепенное развитие и все больший охват различных областей науки привели к тому, что в настоящее время невозможно представить себе современный мир без применения математического моделирования.

Важной составляющей необходимости использования математического моделирования является сложность, а иногда и невозможность воспроизведения реального эксперимента. Взаимодействие с математической моделью, а не настоящим объектом или явлением, позволяет относительно быстро, эффективно и многократно получать новые знания. Помимо изучения и приобретения данных об исследуемой системе, математическое моделирование дает возможность предсказывать и прогнозировать ее будущие, а также обнаруживать раннее никогда не наблюдавшиеся явления и эффекты [8]. Стремительный рост и развитие средств вычислительной техники влечет за собой появление большого количества численных методов для решения все более увеличивающегося круга задач. И на сегодняшний день нет сомнения в том, что математическое моделирование является универсальным способом познания реального мира.

В физике ядерных реакторов математическое моделирование занимает особое место, поскольку работа реактора - это многосторонний и сложный процесс, в котором большое количество явлений и эффектов несут в себе случайный характер. Данные, получаемые от различных датчиков и приборов, являются неполными, так как передают информацию об ограниченном наборе преимущественно интегральных характеристик активной зоны реактора (температура, давление теплоносителя на входе и выходе из активной зоны, расход теплоносителя через активную зону и т.п.). Из-за небольших вариаций в пределах технологических допусков информация о конструкции реактора также является неточной.

Наличие неполных данных может впоследствии оказать заметное влияние на безопасность и эффективность работы реактора.

Получение информации в виде сечений, скоростей реакции, потоков и ценностей нейтронов, коэффициентов диффузии и т.д. представляется возможным при математическом моделировании нейтронно-физических процессов, происходящих в активной зоне реактора. В связи с большим количеством случайных факторов, таких как, например, вибрация тепловыделяющих сборок, перемещение органов регулирования и др., реактор рассматривается как объект со случайными параметрами.

Теория ядерных реакторов оформилась в самостоятельную науку в 40-хх годах прошлого столетия. Открытие деления урана датируется 1938 годом, после того как 21 декабря 1938 года был опубликован отчет, в котором немецкие ученые О. Ганн и Ф. Штрассман описали результаты эксперимента по облучению урана нейтронами, в ходе которого образовался изотоп бария [9]. Возможности практического использования цепной реакции деления и особой роли запаздывающих нейтронов развили в 1940 году Я. Б. Зельдович и Ю. Б. Харитон в статьях "Журнала экспериментальной и теоретической физики" [10, 11]. Деление урана, а также теоретическая возможность создания ядерного реактора открыли перспективы для создания и дальнейшего развития ядерной энергетики.

Непосредственно теория расчетов ядерных установок получила свое развитие благодаря таким ученым, как Э. Ферми [12], Р. Пайерлс [13], Г. Плачек [14, 15], А. Вайнберг [16], Е. Вигнер [17] и многие другие, кто сформулировал наиболее общую точку зрения на процессы взаимодействия нейтронов с веществом. Одним из первых, кто совместно с коллективом, систематизировал численные методы расчетов реакторов является Марчук Г.И. [18]. В своей работе автор подчеркнул важность предшествующих открытий и попытался наиболее емко описать численные методы расчета. Первым учебником в Советском Союзе по физике реакторов стал сборник трудов Фейнберга С.М., Шихова С.Б. и Троянского В.Б. [19], включающий в себя лекции Московского инженерно-физического института, читаемые с 1952 года.

На первых порах вся теория строилась на количественном и приближенном описание физических процессов. Аналитические методы позволяли получать данные об интересующих параметров, однако требовались и численные решения. С развитием вычислительной техники появилась возможность проводить численные расчеты хоть и с использованием различных приближений.

До некоторых пор процессы, протекающие в ядерных реакторах, не рассматривались с точки зрения теории вероятности. Вся классическая теория строилась на решении уравнения переноса или, так называемого, уравнения Больцмана, схожего с выражением

Больцмана для кинетической теории газов [20]. Работы, в которых предприняты первоначальные попытки статистического описания простейших систем, относятся к 19551956 годам [21, 22, 23]. Однако, первой работой, представляющей в наиболее общем виде фундаментальные уравнения как вероятностные функции, описывающие случайные процессы в реакторе, является работа Л. Пала [24]. Автор работы вывел обобщенные уравнения для средней плотности потока нейтронов, ценности нейтронов и флуктуации плотности потока нейтронов.

Современные методы и программные средства моделирования переноса нейтронов в зависимости от подходов условно можно разделить на инженерные и прецизионные (детерминистические и стохастические) [25, 26].

Инженерные программы используются для расчета пространственно-энергетического распределения нейтронов в среде в основном с помощью малогруппового диффузионного приближения, а также для создания библиотек малогрупповых констант, включающих в себя макроскопические сечения [27]. Теория диффузии была заложена в 40-х годах прошлого столетия и заключается в представлении решения уравнения переноса в виде двух первых членов разложения по сферическим функциям, зависящим от угловой переменной [28]. Диффузионные программы нашли широкое применение благодаря своему быстродействию и минимальному объему затрачиваемых вычислительных ресурсов. Однако существование границ областей с различными свойствами, сильно поглощающей среды и источников нейтронов, накладывают ограничения на использования данных кодов. Многочисленные приближения не позволяют получать результаты с необходимой точностью, за исключением узкоспециализированного класса задач. К программам, реализующим диффузионное приближение, относятся такие коды, как ГЕФЕСТ [29], TRIGEX [30], DIF3D [31], SNAP [32], JAR [33] и многие другие.

Детерминистические методы основаны на решении интегро-дифференциального уравнения переноса нейтронов путем дискретизации пространственно-углового-энергетического фазового пространства с целью преобразования исходного непрерывного уравнения в набор численно решаемых алгебраических уравнений [34, 35]. В рамках использования детерминистических подходов предполагается, что анализируемые данные описываются некоторой детерминистической функцией, определенной на исследуемой области. Задача заключается в том, чтобы, базируясь на известных данных, таких как ячеечные константы, построить функцию для всей исследуемой области и после чего вычислить необходимые значения в любой анализируемой точке.

Для детерминистических программ характерно использование многогрупповых сеточных методов решения уравнения переноса - метод дискретных ординат, или Sn-метод

[36, 37], метод сферических гармоник [38], метод характеристик [39] и др. Дискретизация интегро-дифференциального уравнения осуществляется по всем переменным. Например, угловую переменную можно представить в виде ряда по сферическим гармоникам, либо она может быть оценена в узлах дискретной пространственной сетки [20]. Задачи, в которых важна зависимость потока нейтронов от угловой переменной, решаются с использованием [40] метода дискретных ординат, метода характеристик или метода вероятностей первых столкновений. Дискретизация энергии происходит с использованием группового приближения. Одно уравнение переноса заменяется на систему уравнений, в которых неизвестные не зависят от энергии. Общее число энергетических групп может достигать нескольких тысяч, но, наиболее часто, число групп составляет от двух до нескольких десятков. В свою очередь, область пространства разбивается на регулярную сеть. Для всех ячеек сети пространства описываются уравнения баланса нейтронов, включая уравнения средних потоков и потоков на границах. Решить систему уравнений, в которой число неизвестных превышает число самих уравнений, не представляется возможным. Для этого используют граничные условия и дополнительные уравнения, связывающие неизвестные потоки на границах и средние потоки в ячейках. Решение таких систем уравнений осуществляется итерационно.

Детерминистические методы содержат только ошибки округления, которые зависят от численной схемы решения системы алгебраических уравнений и сеток в пространственной, угловой и энергетической переменных. Уменьшение ошибки детерминистических расчетов возможно при уточнении сетки, однако, размер сетки часто ограничивается вычислительными ресурсами. Тем самым применение сеточных методов накладывает необходимость использования упрощений в геометрии рассчитываемых систем. При использование многогрупповых констант непрерывная функция сечения от энергии усредняется, что влияет на методическую погрешность программ. Несмотря на некоторые трудности в дискретизации уравнения переноса и расчете многогрупповых сечений, детерминистические методы имеют определенные вычислительные преимущества. Детерминистические подходы получают довольно точную информацию по всей системе при небольшом количестве затрачиваемого машинного времени. Из-за отсутствия необходимости накопления статистики расчеты по детерминистическим программам в десятки и даже сотни раз быстрее, чем расчеты по стохастическим программам. Среди детерминистических программ можно выделить такие коды, как ODETTA [41], CORNER [42], Attila [43], OpenMOC [44], PENTRAN [45] и другие.

Стохастический метод или метод Монте-Карло основан на получении большого числа реализаций стохастического (случайного) процесса, который формируется таким

образом, что его вероятностные характеристики совпадают с аналогичными величинами решаемой задачи. По своей сути происходит статистический расчет интегральных функционалов исследуемой системы. В отличие от детерминистических и инженерных подходов при использовании метода Монте-Карло не решается конкретное уравнение, а моделируются определенные процессы, происходящие в заданном объеме. При этом не требуется применять какие-либо приближения, касаемые угловой, энергетической и пространственной аппроксимации, соответственно, применение метода Монте-Карло позволяет моделировать системы практически любой сложности. Точность расчета определяется количеством подсчитанных событий, а значит числом смоделированных историй, что в свою очередь приводит к необходимости использовать большой объем машинного времени. Однако непрекращающийся рост мощностей вычислительной техники и возможность использовать параллельные вычисления, делает метод Монте-Карло все более универсальным и широко используемым [46]. На сегодняшний день среди программ, реализующих метод Монте-Карло, наиболее известны MCNP [47], KENO [48], SERPENT [49], MCU [50], MVP [51], OpenMC [52], FLUKA [53], GEANT4 [54], PENELOPE [55], TRIPOLI [56], TART [57], MONK [58]. Лидерскую позицию по количеству пользователей по всему миру и затраченных человеко-лет (более 450 человеко-лет) занимает программа MCNP, разработанная в Лос-Аламосской национальной лаборатории в США в 70-х годах прошлого столетия [59, 60].

Одним из перспективных направлений решения стационарного и нестационарного уравнения переноса нейтронов является применение так называемых гибридных методов, при которых объединяются достоинства детерминистических и стохастических подходов. Они находят свое место при оценке радиационной обстановки за корпусом реактора, расчете защиты реакторной установки и т.д. Также в настоящее время активно реализуется решение задач кинетики [61] и динамики [62] с помощью прецизионного метода Монте-Карло, что связано с существующими возможностями суперкомпьютерных технологий.

1.2 Метод Монте-Карло

Метод Монте-Карло является универсальным численным методом решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.

Идея моделирования случайных процессов интересует ученых уже многие столетия. Явления, исход которых, как кажется, невозможно предсказать, довольно часто встречаются в повседневной жизни. Однако моделирование случайного события искусственным путем довольно сложная задача. Еще в 1890 году английский исследователь Фрэнсис Гальтон в своем письме в журнал Nature писал, что для получения действительно

случайного числа не нашел ничего более подходящего, чем обычная игральная кость [63]. Фрэнсис Гальтон обосновывает это тем, что после встряхивания и выбрасывание костей в корзину, они непредсказуемым образом ударяются друг о друга и о стенки корзины, и становится совершенно невозможным предопределить результат.

Одним из первых, кто сформулировал и продемонстрировал практическое применение случайных величин, является французский математик Жорж Бюффон. В 1777 году Ж. Бюффон показал [64], что при бросании иглы длиной I на расчерченную параллельными прямыми плоскость, расстояние между которыми d, вероятность того, что игла пересечет прямую, составляет 21/7^. Впоследствии французский математик Лаплас [65] предложил данный способ в качестве вероятностного способа определения числа п. Данный эксперимент был не раз повторен и опубликован в работах многих ученых, включая работу американского астронома А. Холла [66]. Подобные выборки случайных величин были использованы и для определения других физических параметров. Так, британский физик Лорд Кельвин путем извлечения случайных пронумерованных листов бумаги из чаши пытался оценить интегралы кинетической энергии по времени, которые имеют место в кинетической теории газов [67]. Другим примером служит работа Р. Куранта [68], в которой было показано, что решением некоторых уравнений в частных производных является процесс, описывающий поведение случайных величин [69]. Эти и другие работы, а также развивающаяся в то время теория вероятности, заложили основы метода Монте-Карло.

Основоположниками метода Монте-Карло считают Дж. Неймана, С. Улама, Н. Метрополиса, Г. Кана и Э. Ферми, всех тех, кто в 1940-х годах работали в Лос-Аламосской лаборатории в США [70]. В 1949 году была опубликована статья С. Улама и Н. Метрополиса под названием «Метод Монте-Карло» [71]. С тех пор этот год считается официальной датой рождения статистического метода Монте-Карло. Однако, стоит заметить, что теоретические основы метода были известны задолго до этого. Происхождение названия метода Монте-Карло связано с одноименным городом в княжестве Монако, в котором расположены одни из самых известных казино в мире. Рулетка казино является самым простым прибором для генерации случайных чисел. Как писал Стэнли Улам в своей автобиографии [72], метод был назван в честь его дяди, который был заядлым игроком в казино.

На сегодняшний день задачи о численном моделировании не кажутся больше чем-то невозможным, а наоборот, приобретают все большую популярность, особенно с увеличением мощностей вычислительной техники. Намеренное использование случайных величин для описания процессов, имеющих случайный характер, используются во многих

областях науки, а именно в физике, химии, аэродинамике, машинном обучении, в задачах теории игр, экономики (оптимизация, управление, планирование и т.д.), теории надежности и др.

Задача метода Монте-Карло заключается в получении сведений распределения случайной величины. В большинстве случаев составляется программа для осуществления одного случайного события. Далее это событие повторяется N раз, причем каждое последующее событие не зависит от предыдущих. Результатом является усреднение всех разыгранных испытаний.

В общем случае применение метода Монте-Карло можно продемонстрировать на примере вычисления интеграла некой функции Дх) в пространстве О [73] с использованием набора случайных чисел:

/=/д ;(*№ (1.1)

Данный интеграл во всех случаях можно представить в виде [74]:

/ =/д /(х)р(хЖ (1.2)

где р (х) - плотность вероятности случайной величины, / (х) - значение функции от случайной величины, равное отношению ](х) на р(х), которое также является случайным.

Разыгрывая функцию р(х), то есть получая набор из N случайных чисел, распределенных с плотностью р (х):

р(х) ~ X" х2, Xз, ... , х%, (13)

и принимая во внимание, что выражение (1.2) есть не что иное, как определение математического ожидания случайной величины [75], можно оценить значение интеграла J как выборочное среднее случайной величины, имеющей математическое ожидание:

N

/%=14/(Х&). (14)

¿=1

А согласно закону больших чисел [76], выборочное среднее стремится к математическому ожиданию случайной величины:

/¿ш/% = /. (1.5)

В задачах нейтронной физики происходит моделирование физического процесса распространения частиц. Моделируется путь каждой частицы, покинувшей источник, от рождения до исчезновения с учетом всех промежуточных процессов. Основанием для

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Богданова Екатерина Владимировна, 2024 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кольчужкин А.М., Учайкин В.В. Введение в теорию похождения частиц через вещество. - М.: Атом-издат, 1978, - 256 с.

2. Проект MCU [Электронный ресурс]. - URL: https://mcuproject.ru/rabout.html (дата обращения: 22.09.2023 г.).

3. Romano P.K., Forget B. The OpenMC Monte Carlo Particle Transport Code // Ann. Nucl. Energy. 2013. Vol. 51. P. 274-281.

4. Умнов А.Е. Методы математического моделирования: Учебное пособие. - М.: МФТИ, 2012. - 295 с.

5. Пермяков П.С., Репин О.И. Математическое моделирование физических процессов // Международный студенческий научный вестник. 2018. № 6.

6. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. - 2-е изд., испр. - М.: Физматлит, 2001. - 320 c.

7. Корешкова И.А. История математического моделирования и технологии вычислительного эксперимента. Научные сообщения // Профессиональное образование. Столица. 2009. № 4.

8. Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). - М.: Наука, 1975. - 632 с.

9. Васильев А. Деление урана: от Клапрота до Гана // Квант. 2001. № 4. С. 20-21.

10. Зельдович Я.Б., Харитон Ю.Б. Кинетика цепного распада урана // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1940. Т. 10. № 5. С. 477-482.

11. Ю. Б. Харитон: путь длиною в век / Ин-т хим. физики им. Н.Н. Семенова. - 2-е изд., доп. - М.: Наука, 2005. - 557 с.

12. Amaldi E., Fermi E. On the Absorption and the Diffusion of Slow Neutrons // Phys. Rev. 1956. Vol. 50. P. 899-928.

13. Пайерлс Р. Квантовая теория твердых тел. - М.: Издательство иностранной литературы, 1956. - 260 с.

14. Placzek G. On the Theory of the Slowing Down of Neutrons in Heavy Substances // Phys. Rev. 1946. Vol. 69. No. 9 and 10. P. 423-438.

15. Placzek G., Seidel W. Milne's Problem in Transport Theory // Phys. Rev. 1947. Vol. 72. No. 7. P. 550-555.

16. Weinberg A., Aivin M. Current Status of Nuclear Reactor Theory // Am. J. Phys. 1952. Vol. 20. No. 7. P. 401-412.

17. Wigner E. P. Theoretical Physics in the Metallurgical Laboratory of Chicago // J. Appl. Phys. 1946. Vol. 17. No. 11. P. 857-863.

18. Марчук Г. И. Численные методы расчета ядерных реакторов. - М.: Атомиздат, 1958. -381 с. - Прил. № 3/4 к журн. «Атомная энергия» за 1958 г.

19. Фейнберг С.М., Шихов С.Б., Троянский В.Б. Теория ядерных реакторов. Т. 1. Элементарная теория реакторов: Учебник для вузов. - М.: Атомиздат, 1978. - 400 с.

20. Белл Д., Глесстон С. Теория ядерных реакторов. - М.: Атомиздат, 1974. - 494 с.

21. Pendlebury E.D. General perturbation theory in neutronics // Proc. Phys. Soc. 1955. A 68. P. 474-481.

22. Pal L. Some problems concerning the slowing down of neutrons // Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci. 1956. No. 1. P. 41-54.

23. Takacs L. On some probabilistic problems in the theory of nuclear reactors // Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci. 1956. No. 1. P. 55-66.

24. Pal, L. On the theory of stochastic processes in nuclear reactors // Nuovo Cim. 1958. Vol. 7. P. 25-42.

25. Гуревич М. И., Шкаровский Д. А. Расчет переноса нейтронов методом Монте-Карло по программе MCU: Учебное пособие. - М.: НИЯУ МИФИ, 2012. - 156 с.

26. Березнев В.П. Разработка нейтронно-физического кода CORNER для анализа стационарных и нестационарных процессов в реакторах на быстрых нейтронах: дис. канд. техн. наук: 05.14.03 / Березнев Валерий Павлович - М., 2017. - 97 с.

27. Калугин М.А. Развитие прецизионных и инженерных методов и программ расчета ядерных реакторов с использованием алгоритмов Монте-Карло: дис. д-ра техн. наук: 05.13.18 / Калугин Михаил Александрович - М., 2009. - 295 с.

28. Математическая энциклопедия, Т.2 / гл. ред. И. М. Виноградов. - М.: Советская энциклопедия, 1979. - 1104 с.

29. Альперович М.Н. и др. Аннотация программы ГЕФЕСТ // Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Физика и техника ядерных реакторов. 1994. Вып. 4. С. 36-43.

30. Серегин А.С., Кислицына Т.С., Цибуля А.М. Аннотация комплекса программ TRIGEX.04: Препринт ФЭИ-2846. Обнинск, 2000.

31. K. L. Derstine. DIF3D: A Code to Solve One-, Two-, and Three-Dimensional Finite Difference Diffusion Theory Problems: report ANL-82-64. - Argonne, IL: Argonne National Laboratory, 1984. - 291 p.

32. McCallien, C.W.J. SNAP - a three-dimensional neutron diffusion code: report AEA-RS--1214. - United Kingdom, 1993.

33. Ярославцева Л.Н. Комплекс программ JAR для расчета нейтронно-физических характеристик ядерных реакторов // Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Физика и техника ядерных реакторов. 1983. Вып. 8 (37). С. 41.

34. Zheng Q. et al. A deterministic-stochastic energy-hybrid method for neutron-transport calculation // Annals for Nuclear Energy. 2019. Vol. 128. P. 292-299.

35. Emily R. Wolters. Hybrid Monte Carlo - Deterministic Neutron Transport Methods Using Nonlinear Functionals: Doct. Diss. The University of Michigan - Michigan, 2011. - 233 p.

36. Carlson, B.G. Solution of the Transport Equation by Sn Approximations. Los Alamos Scientific Laboratory Report LA-1599, 1953.

37. Карлсон Б., Белл Дж. Решение транспортного уравнения Sn-методом // Физика ядерных реакторов. - М.: Атомиздат, 1959. - С. 408-432.

38. Kofink W. Studies of the spherical harmonics method in neutron transport theory. Oak Ridge National Laboratory, ORNL-2334, Physics and Mathematics, 13th ed., 1957.

39. J. Askew. A characteristics formulation of the neutron transport equation in complicated geometries. Technical Report AAEW-M 1108, UK Atomic Energy Establishment, 1972.

40. Тихомиров Г. В. Комплексное математическое моделирование нейтронно-физических процессов на основе системного подхода: дис. д-ра физ.-мат. наук: 05.13.18 / Тихомиров Георгий Валентинович. - М., 2013. - 330 с.

41. Расчётный код для решения задач переноса нейтронов и гамма-квантов в многогрупповом SnPm-приближении методом конечных элементов на неструктурированных тетраэдральных сетках, включая работу с сеточными данными. Учебная версия 1.0. 0DETTA/E1.0: учебное пособие / Селезнёв Е.Ф., Белоусов В.И., Березнев В.П. - М.: Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, 2018. - 100 с.

42. В. П. Березнев, Е. Ф. Селезнев, Д. С. Асатрян. Нейтронно-физический расчетный код CORNER // Ядерная физика и инжиниринг. 2015. Том 6. № 5-6. С. 266-273.

43. McGhee J.M., Wareing T.A., Barnett D.A. Attila User's Manual. Transpire Inc., 15 January 2007.

44. Boyd W., Shaner S., Li L., Forget B., Smith K. The OpenMOC method of characteristics neutral particle transport code // Annals of Nuclear Energ. 2014. Vol. 68. P. 43-52.

45. Sjoden E., Haghighat A. PENTRAN, a Parallel Environment Neutral Particle TRANsport Code in 3-D Cartesian Geometry: Code User's Guide/Manual, Version 9.4.X.5. HSW Technologies LLC, 2008.

46. Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. - СПб.: БХВ-Петербург,

2002. - 608 с.

47. Rising M.E., Brown F.B., Salazar J.R., Sweezy J.E. Overview of the MCNP6 SQA Plan & Requirements. LA-UR-20-26666, 2020.

48. Petrie L.M. et al. Keno: A Monte Carlo Criticality Program. 0RNL/TM-2005/39, Version 6 (1), 2016.

49. Leppänen, J. et al. The Serpent Monte Carlo code: Status, development and applications in 2013 // Ann. Nucl. Energy. 2015. 82. P. 142-150.

50. Алексеев Н. И., Большагин С. Н., Гомин Е. А., Городков С. С., Гуревич М. И., Калугин М. А., Кулаков А. С., Марин С. В., Новосельцев, А. П., Олейник Д. С., Пряничников А. В., Сухино-Хоменко Е. А., Шкаровский Д. А., Юдкевич М. С. Статус MCU-5 // Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Физика ядерных реакторов. 2011. Вып. 4. С. 4 - 23.

51. MVP/GMVP version 3: General purpose Monte Carlo codes for neutron and photon transport calculations based on continuous energy and multigroup methods. JAEA. 2017. - 446 p.

52. The OpenMC User's Guide. [Электронный ресурс]. - URL: https://docs.openmc.org/en/stable/usersguide/index.html (дата обращения: 22.09.2023 г.).

53. Böhlen T.T. et al. The FLUKA Code: Developments and Challenges for High Energy and Medical Applications // Nuclear Data Sheets. 2014. Vol. 120. P. 211-214.

54. Agostinelli S. et al. Geant4 - a simulation toolkit // Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. A.

2003. Vol. 506. P. 250-303.

55. PENELOPE 2018: A code system for Monte Carlo simulation of electron and photon transport: Workshop Proceedings, Barcelona, Spain, 28 January - 1 February 2019, OECD Publishing, Paris, https://doi.org/10.1787/32da5043-en.

56. Brun E. et al. TRIPOLI-4®, CEA, EDF and AREVA reference Monte Carlo code // Annals of Nuclear Energy. 2015. Vol. 82. P.151-160. https://doi.org/10.1016/j.anucene.2014.07.053.

57. Cullen D.E. TART 2002: A Coupled Neutron-Photon 3-D, Combinational Geometry Time Dependent Monte-Carlo Transport Code, Lawrence Livermore National Laboratory. UCRL-ID-126455. Rev. 4. November, 2002.

58. MONK 5W-9A User Guide. AEA Technology, 1994.

59. Цзиньхун Л. Использование метода Монте-Карло для анализа физических характеристик размножающих систем со сложным спектром нейтронов: дис. канд. техн. наук: 05.14.03 / Ли Цзиньхун. - М., 2004. - 119 с.

60. Carter L.L., et al. Monte Carlo Development in Los Alamos. LA-5903-MS, 1975.

61. Zinchenko A.S., Gomin E.A., Davidenko V.D., Harchenko I.K. Application of the Monte-Carlo method for modeling the kinetics of a nuclear reactor // Probl. At. Sci. Technol. Ser. Nucl. React. constants. 2017. No 1.

62. Sjenitzer B. L., Hoogenboom J. E., Jiménez E. J., Sanchez E. V. Coupling of dynamic Monte Carlo with thermal-hydraulic feedback // Ann. Nucl. Energy. 2014. Т. 76. P. 27-39.

63. Galton F. Dice for Statistical Experiments // Nature. 1890. Vol. 42. P. 13-14.

64. Beckmann P. A History of Pi // St. Martin's Press,19th ed. 1976.

65. Pierre-Simon de Laplace M. Theorie analytique des probabilites, livre 2 // Oeuvres Completes de Laplace. 1886. Vol. 7. Part 2. P. 365-366.

66. Hall А. On an experiment determination of n // Messeng. Math. 1873. No. 2. P. 113.

67. Kelvin, L. Nineteenth century clouds over the dynamical theory of heat and light // Philosophical Magazine. 1901. Series 6. Vol. 2.

68. Courant, R., Friedrichs, K.O., Lewy, H. On the partial difference equations of mathematical physics // Mathematische Annalen. 1928. Vol. 100. P. 32.

69. Malvin H. Kalos, Paula A. Whitlock. Monte Carlo Methods. Second Edition. WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim, 2008.

70. Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973. - 305 с.

71. Metropolis N., Ulam S. M. The Monte-Carlo method // J. Amer. Statist. Assoc. 1949. Vol. 44. No. 247. P. 335 - 341.

72. Улам С. Приключения математика. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 272 с.

73. Adrian Barbu, Song-Chun Zhu. Monte Carlo Methods // Springer Nature Singapore Pte Ltd. 2020.

74. Панин М.П. Моделирование переноса излучения: Учебное пособие. - М.: МИФИ, 2008. - 212 с.

75. Королюк В. С., Портенко Н. И., Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / Королюк В. С., Портенко Н. И., Скороход

А. В., Турбин А. Ф. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 640 с.

76. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1982.

77. Kalos M.H., Nakache F.R., Celnik J. Monte Carlo Methods in Reactor Computations. Computing Methods in Reactor Physics, edited by H. Greenspan, C.N. Kelber, and D. Okrent, Gordon and Breach, New York, 1968.

78. Spanier J., Gelbard E.M. Monte Carlo Principles and Neutron Transport. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1969.

79. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. Изд. 2-е, доп. - М.: Наука, 1975.

80. Lux I., Koblinger L. Monte Carlo Particle Transport Methods: Neutron and Photon Calculations. CRC Press, Boca Raton, Florida, 1991.

81. Михайлов Г.А. Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло. - Новосибирск: Наука, 1974.

82. L'Ecuyer, Pierre. Random Number Generation // Springer Handbooks of Computational Statistics. 2007. P. 93 - 137.

83. Meiser, L.C., Koch, J., Antkowiak, P.L. et al. DNA synthesis for true random number generation // Nat. Commun, 2020. Vol. 11. 5869.

84. Edward W. Larsen An Overview of Neutron Transport Problems and Simulation Techniques. In: Graziani F. (eds) Computational Methods in Transport. Lecture Notes in Computational Science and Engineering. 2006. Vol 48.

85. Kleijnen, J.P.C. Statistical Techniques in Simulation, Part 1. Marcel Dekker, New York, 1974.

86. Кольчужкин А. М., Учайкин В. В. Введение в теорию прохождения частиц через вещество - М.: Атомиздат, 1978, - 256 с.

87. Figure of merit. Merriam-Webster.com Dictionary, Merriam-Webster [Электронный ресурс]. - URL: https://www.merriam-webster.com/dictionary/figure%20of%20merit (дата обращения: 26.02.2021).

88. MCNPTM—A General Purpose Monte Carlo N-Particle Transport Code, Version 4C. LA-13709-M, J. F. BRIESMEISTER, 2000.

89. Pederson S. P., Forster R. A., Booth T. E. Confidence Interval Procedures for Monte Carlo Transport Simulations // Nucl. Sci. Eng. 1997. Vol. 127. P. 54

90. Shultis J.K., Faw R.E. An MCNP Primer. Dept. of Mechanical and Nuclear Engineering, Kansas State University. December, 2011.

91. Bucklew J. Introduction to Rare Event Simulation. Springer Series in Statistics, Springer, New York, NY, 2004.

92. Fishman G.S. Monte Carlo: concepts, algorithms and applications. Springer series in operations research. Springer-Verlag, New York, 1996.

93. Biondini G. Chapter 2 - An Introduction to Rare Event Simulation and Importance Sampling. Handbook of Statistics. 2015. Vol. 22. P. 29 - 68.

94. Goodman J. Lecture Notes on Monte Carlo Methods. Courant Institute of Mathematical Sciences, NYU, 2005.

95. Dufek J. Monte Carlo Methods and Simulations in Nuclear Technology, SH2704, Introduction Outline of today's lecture Origin of the Monte Carlo method. KTH Royal Institute of Technology, 2017.

96. Johannes Edmund Handschin. Monte Carlo techniques for filtering and prediction of nonlinear stochastic processes. A thesis submitted for the degree of Doctor of Philosophy, London, 1968.

97. McGrath E. J., Irving D. C. Techniques for efficient Monte Carlo simulation. Variance reduction. ORNL-RSIC-38 (Vol. III), Oak Ridge National Laboratory, 1975.

98. Glynn P.W., Szechtman R. Some New Perspectives on the Method of Control Variates. In: Fang KT., Niederreiter H., Hickernell F.J. (eds) Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods 2000. Springer, Berlin, Heidelberg.

99. Geraci, G., Eldred, M., Iaccarino, G. A multifidelity control variate approach for the multilevel Monte Carlo technique // CTR Annu Res Briefs. 2015. P. 169-181.

100. Boyle P. Options: A Monte Carlo approach // Journal of Financial Economics. 1977. Vol. 4. P. 323 - 338.

101. Frankel A., Iaccarino G. Efficient control variates for uncertainty quantification of radiation transport // Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer. 2017. Vol. 189, P. 398 - 406.

102. Hammersley, J. M., D. C. Handscomb. Monte Carlo Methods. Methuen & Co. Ltd., London, 1964.

103. Buckley L. A., Kawrakow I., Rogers D. W. O. Implementation of correlated sampling in EGSnrc // Medical Physics. 2004. Vol. 31. No. 12.

104. Goldstein, M., Shvarts, D. A correlated sampling technique for generating importance function for Monte Carlo shielding calculations // Transactions of the Nuclear Societies of Israe. 1977. Vol.5.

105.

106.

107.

108

109.

110.

111.

112.

113.

114.

115.

116.

117.

118.

119.

Nakagawa M., Asaoka T. Improvement of Correlated Sampling Monte Carlo Methods for Reactivity Calculations // Journal of Nuclear Science and Technology. 1978. Vol. 15, No. 6. P. 400-410.

Gallmeier F.X. A New MCNP Option: KCORR - the use of the correlated sampling method to study reactivity effects due to changes of a reactor arrangement // Nucl. Sci. Eng. 1995. Vol. 120. P. 102.

Laureau A., Buiron L., Fontaine B. Local correlated sampling Monte Carlo calculations in the TFM neutronics approach for spatial and point kinetics applications // EPJ N - Nuclear Sciences & Technologies, EDP Sciences. 2017. Vol. 3. P.16.

Rubinstein R. Y. Simulation and the Monte Carlo Method. John Wiley & Sons, Inc., 1981. Eric Veach. Robust Monte Carlo Methods for Light Transport Simulation. PhD Thesis. Stanford University. Retrieved 2017-04-25.

Cochran W. G. Sampling Techniques, 3rd ed. New York: John Wiley, 1977. Yokozawa M., Oka Y., Kondo Sh., Togo Y. Development of vectorized Monte Carlo calculation and application of stratified sampling // Journal of Nuclear Science and technology. 1987. Vol. 24. No. 7. P. 507-515.

Blomquist R. N., Gelbard E. M. Monte Carlo Stratified Source-Sampling. Workshop proceedings. Nuclear Criticality Technology Safety Project, Annual Workshop, Gaithersburg, Maryland, 1997.

Thomas E. B. Insights into Stratified Splitting Techniques for Monte Carlo Neutron Transport

// Nuclear Science and Engineering. 2005. Vol. 151. No.2. P. 224-236.

Clark C.E. Importance Sampling in Monte Carlo Analyses // Operations Research. 1961. P.

603-620.

Goertzel., G., Kalos M. H. Monte Carlo Methods in Transport Problems // Progress in Nuclear Science, Series I. 1958. Vol. II. P. 315-369.

Ehrenfeld, S., Ben-Tuvia S. The Efficiency of Statistical Simulation Procedure // Technometrics. 1962. Vol. 4. No. 2. P. 257-275.

George L. Ang, Alfredo H.-S. Ang, Wilson H. Tang. Optimal Importance-Sampling Density Estimator // Journal of Engineering Mechanics. 1992. Vol. 118. No. 6. Cristian G. B. Adaptive sampling — an iterative fast Monte Carlo procedure // Structural Safety. 1998. Vol. 5. P. 119-126.

Dai H., Zhang H., Rasmussen K.J.R., Wang W. Wavelet density-based adaptive importance sampling method // Structural Safety. 2015. Vol. 52. P. 161 - 169.

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

Balesdent M., Morio J., Marzat J. Kriging-based adaptive Importance Sampling algorithms for rare event estimation. Structural Safety. 2013. Vol. 4. P. 1 - 10.

Dunn W.J, Shultis K. Exploring Monte Carlo Methods, 1st Edition. Elsevier Science, 2012. Forster R. A., Little R. C., Briesmeister J. F., Hendricks J. S. MCNP Capabilities For Nuclear Well Logging Calculations // IEEE Transactions on Nuclear Science. 1990. Vol. 37 (3). P. 1378.

MCNP — A General Monte Carlo N-Particle Transport Code, Version 5. April 24, 2003. Munk M., Slaybaugh R. Review of Hybrid Methods for Deep-Penetration Neutron Transport // Nuclear Science and Engineering. 2019. Vol. 193. No. 10. P. 1055 - 1089. Herschel P. S., John C. W. A Case Study in Manual and Automated Monte Carlo Variance Reduction with a Deep Penetration Reactor Shielding Problem // Nuclear Science and Engineering. 2005. Vol. 149. No. 1. P.23-37.

Serikov A., Fischer U., Mercatali L., Baeten P., Vittiglio G. Radiation Shielding Analyses for the GUINEVERE Project // Nuclear Technology. 2009. Vol. 168. No. 3. P. 877-887. Nie X.C., Li J., Zhao P.H., Zhu Q.J., Xu K. Application and comparison of MCNP variance reduction techniques for deep penetration shielding calculation // Nuclear Electronics and Detection Technology. 2016. Vol. 36. Issue 7. P. 729-733 and 741.

Murata I., Shindo R., Shiozawa Sh. Importance Determination Method for Geometry Splitting with Russian Roulette in Monte Carlo Calculations of Thick and Complicated Core Shielding Structure // Journal of Nuclear Science and Technology. 1995. Vol. 32. No. 10. P. 971-980. Zhong Z., Gohar Y., Talamo A., Cao Y., Bolshinsky I., Pepelyshev Yu N., Vinogradov A. Kinetics calculation of fast periodic pulsed reactors using MCNP6 // Nuclear Engineering and Technology. 2018. Vol. 50. Issue 7. P. 1051-1059.

Srivastava A., Singh K. P., Degweker S. B. Monte Carlo Methods for Reactor Kinetic Simulations // Nuclear Science and Engineering. 2018. Vol. 189. No. 2. P. 152-170. Legrady D., Halasz M., Kophazi J., Molnar B., Tolnai G. Population-based variance reduction for dynamic Monte Carlo // Annals of Nuclear Energy. 2020. Vol. 149. Andrianova O.N. et al. Application of MCNP nonanalog techniques for calculations of reaction rate measurements at the BFS facilities // Nuclear Energy and Technology. 2016. No. 2. P. 71-80.

Ghassoun J., Jehouani A. Russian roulette efficiency in Monte Carlo resonant absorption

calculations // Applied Radiation and Isotopes 2000. Vol. 53. Issues 4-5.

Booth, T.E., J.S. Hendricks. Importance Estimation in Forward Monte Carlo Calculations //

Nucl. Techno U Fusion. 1984. Vol. 5. P. 90.

135. Haghighat A., Wagner J. C. Monte Carlo variance reduction with deterministic importance function // Progress in Nuclear Energy. 2003. Vol. 42. No. 1. P. 25-53.

136. Zheng Zh., Mei Q., Deng L. Study on variance reduction technique based on adjoint Discrete Ordinate method // Annals of Nuclear Energy. 2018. Vol. 112. P. 374-382.

137. Hoogenboom J.E., Legrady D. A critical review of the weight window generator in MCNP. The Monte Carlo Method: Versatility Unbounded In A Dynamic Computing World, Chattanooga, Tennessee, April 17-21, 2005, on CD-ROM, American Nuclear Society, LaGrange Park, IL (2005).

138. Thompson W. L., Deutsch O. L., Booth T.E. Deep-Penetration Calculations. A Review of the Theory and Application of Monte Carlo Methods, Proceedings of a Seminar-Workshop, Oak Ridge Tennessee April 21-23, 1980, ORNL/RSIC-44, 12.

139. Booth T.E. Genesis of the Weight Window and the Weight Window Generator in MCNP - A Personal History. Los Alamos Report LA-UR-06-5807, Los Alamos National Laboratory, 2006.

140. Hendricks J.S., Booth T.E. MCNP variance reduction overview. In: Alcouffe R., Dautray R., Forster A., Ledanois G., Mercier B. (eds) Monte-Carlo Methods and Applications in Neutronics, Photonics and Statistical Physics. Lecture Notes in Physics. 1985. Vol. 240.

141. Clark F H. The exponential transform as an importance-sampling device. A Review United States: N. p., 1966.

142. Cheikh M'Backé Diop. Exponential Transform Acceleration Technique Using a Toroidal Importance Function for Monte Carlo Simulation of Neutral Particle Propagation // Nuclear Science and Engineering. 2010. Vol. 166. No. 1. P. 82-88.

143. Booth T.E. MCNP Variance Reduction Examples. Technical Report, LANL, LA-UR-12-25907, 2012.

144. Cramer S. N. Discrete Angle Biasing in Monte Carlo Radiation Transport // Nuclear Science and Engineering. 1988. Vol. 98. No.4. P.279-298.

145. Alizadeh A. et al. Neutron and gamma-ray deep penetration calculation through biological concrete shield of VVER-1000 reactor by a new technique based on variance reduction // Annals of Nuclear Energy. 2013. Vol. 60. P. 86-92.

146. Louvin H. Development of an adaptive variance reduction technique for Monte Carlo particle transport. Computational Physics. Université Paris-Saclay, 2017. English. NNT: 2017SACLS351.

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

Booth. T.E. A sample problem for variance reduction in MCNP. Technical Report, Los Alamos National Laboratory, LA-10363-MS, 1985.

Abe Sh., Watanabe Yu., Niita K., Sakamoto Yu. Implementation of a Forced Collision Method in the Estimation of Deposit Energy Distribution with the PHITS Code // Progress in Nuclear science and technology. 2011. Vol. 2. P. 477-480.

Pittarello R, Vasiliev A, Ferroukhi H et al. Refined Monte Carlo analysis of the H.B. Robinson-2 reactor pressure vessel dosimetry benchmark // Annals of Nuclear Energy. 2011. Vol. 38. No. 9. P. 1842-1851.

Fiarman S., Sher R. Monte Carlo Calculations of Cadmium Cutoff Energies and an Ansatz Formula // Nuclear Science and Engineering. 1977. Vol. 63. No. 2. P.208-212. Hickman G.D., Leng W.B. The Calculation of Effective Cutoff Energies in Cadmium, Samarium, and Gadolinium // Nuclear Science and Engineering. 1962. Vol. 12. No. 4. P. 523531.

Marisa van der Walt De Kock. Variance reduction techniques for MCNP applied to PBMR. Master thesis, North-West University, 2009.

Tsetseg E.S., Wallenius J. An assessment of prompt neutron reproduction time in a reflector dominated fast critical system: ELECTRA // Annals of Nuclear Energy. 2014. Vol. 71. P. 159165.

Seo B.K., Kim J.K., Shin Ch.H., Kwon T.J. A Modification of the Inner and Outer Core for Reactor Pressure Vessel Lifetime Extension // Nuclear Technology. 2001. Vol. 133. No. 3. P.325-337.

Booth T. E., Kelley K. C., McCready S. S. Monte Carlo Variance Reduction Using Nested Dxtran Spheres // Nuclear Technology.2009. Vol. 168. No. 3. P.765-767. Booth T.E. Automatic Importance Estimation in Forward Monte Carlo Calculations // Trans. Am. Nucl. Soc. 1982. Vol. 41. P. 308.

Hendricks J.S. A Code-Generated Monte Carlo Importance Function // Trans. Am. Nucl. Soc. 1982. Vol. 41. P. 307.

Van Riper K.A., Urbatsch T.J., Soran P.D. AVATAR - Automatic variance reduction in Monte Carlo calculations. United States: N. p., 1997.

DOORS 3.2: One, Two- and Three-Dimensional Discrete Ordinates Neutron/Photon Code System, Available from Radiation Safety Information Computational Center at Oak Ridge National Laboratory as CCC-650.

John C. W, Haghighat A. Automated Variance Reduction of Monte Carlo Shielding

Calculations Using the Discrete Ordinates Adjoint Function // Nuclear Science and Engineering. 1998. Vol. 128. No. 2. P. 186-208.

161. Lai P.-Ch., Huang Yu.-Sh., Sheu R.-J. Comparing the performance of two hybrid deterministic/Monte Carlo transport codes in shielding calculations of a spent fuel storage cask // Nuclear Engineering and Technology. 2019. Vol. 51, Issue 8. P. 2018-2025.

162. Суслов И.Р., Лямцев И.А. Гибридный метод расчета защиты ЯЭУ. Препринт ФЭИ -Обнинск, 2016. - 15 с.

163. Wagner J. C. et al. Forward-Weighted CADIS Method for Global Variance Reduction // Trans. Am. Nucl. Soc. 2007. Vol. 97. P. 630.

164. Wagner J. C. et al. 'Forward-Weighted CADIS Method for Variance Reduction of Monte Carlo Calculations of Distributions and Multiple Localized Quantities. Proc. Int. Conf. Mathematics, Computational Methods and Reactor Physics (M&C 2009), Saratoga Springs, New York, May 3-7, 2009, American Nuclear Society (2009).

165. Wagner J.C, Peplow D.E., Mosher S.W. FW-CADIS Method for Global and Semi-Global Variance Reduction of Monte Carlo Radiation Transport Calculations. United States: N. p., 2014.

166. Becker T.L., Larsen E.W. The Application of Weight Windows to 'Global' Monte Carlo Problems. Proc. Int. Conf. Mathematics, Computational Methods and Reactor Physics (M&C 2009), Saratoga Springs, New York, May 3-7, 2009, American Nuclear Society (2009).

167. Becker T.L. Hybrid Monte Carlo/Deterministic Methods for Deep-Penetration Problems. Doctoral Dissertation, University of Michigan, 2009.

168. Cooper M.A., Larsen E.W. Automated Weight Windows for Global Monte Carlo Particle Transport Calculations // Nuclear Science and Engineering. 2001. Vol.137. Issue 1. P.1-13.

169. Van Wijk A.J., Gert Van den Eynde, Hoogenboom J.E. An easy to implement global variance reduction procedure for MCNP // Annals of Nuclear Energy. 2011. Vol. 38. Issue 11. P.2496-2503.

170. Peplow D.E. Comparison of hybrid methods for global variance reduction in shielding calculations // Transactions of the American Nuclear Society. 2012. Vol.107. No. 512.

171. Romano P.K. Parallel Algorithms for Monte Carlo Particle Transport Simulation on Exascale Computing Architectures. Massachusetts Institute of Technology, 2013

172. Brown F.B. Recent advances and future prospects for Monte Carlo. Supercomputing in Nuclear Applications & Monte Carlo 2010, 17-21 October 2010, Tokyo, Japan.

173. Frontier. [Электронный ресурс]. - URL: https://www.olcf.ornl.gov/frontier/ (дата

обращения: 18 июля 2023).

174. TOP500. June 2023. [Электронный ресурс]. - URL: https://www.top500.org/lists/top500/2023/06/ (дата обращения: 18 июля 2023).

175. Smith K. Reactor Core Methods. Invited lecture at the M&C 2003 International Conference, April 6-10, 2003, Gatlinburg, TN, USA, 2003.

176. Hoogenboom J.E., Martin W.R., Petrovic B. Monte Carlo performance benchmark for detailed power density calculation in a full size reactor core. Benchmark specifications revision 1.2, 2011.

177. Mickus I., Roberts J.A, Dufek J. Stochastic-deterministic response matrix method for reactor transients // Annals of Nuclear Energy. 2020. Vol. 140.

178. Legrady D., Claret A., Molnar B., Tolnai G. Verification of the interaction physics of GUARDYAN a novel GPU-based Monte Carlo code for short scale reactor transients, in Proceedings of the PHYSOR, Reactor Physics Paving the Way Towards More Efficient Systems (Cancun, Mexico, 2018). P. 2018.

179. Gross R., Tomatis D., Gilad E. High-accuracy neutron diffusion calculations based on integral transport theory // Eur. Phys. J. Plus. 2020. No. 135. P.235.

180. Martin W.R. Challenges and prospects for whole-core Monte Carlo analysis // Nuclear Engineering and Technology. 2012. Vol. 44. Issue 2. P. 151-160.

181. Савандер В.И., Увакин М.А. Физическая теория ядерных реакторов. Часть 1. Однородная размножающая среда и теория гетерогенных структур: Учебное пособие.

- М.: МИФИ, 2007. - 200 с.

182. Шоринова И.Д., Шафрыгин Б.Ф. Метод расчета изменения изотопного состава -Обнинск: ФЭИ, 1982. - 14 с.

183. Cramer S.N., Tang J.S. Variance reduction methods applied to deep-penetration Monte Carlo problems. Engineering Physics and Mathematics Division. ORNL/TM-9643, DE86 007080, 1986.

184. Суслов И.Р., Лямцев И.А. Гибридный метод расчета защиты ЯЭУ. Препринт ФЭИ-3267

- Обнинск, 2016. - 15 с.

185. Thomas E. B. A sample problem for variance reduction in MCNP. Technical Report, Los Alamos National Laboratory, LA-10363-MS, 1985.

186. Алексеев Н. И., Большагин С. Н., Гомин Е. А., Городков С. С., Гуревич М. И., Калугин М. А., Кулаков А. С., Марин С. В., Новосельцев, А. П., Олейник Д. С., Пряничников А. В., Сухино-Хоменко Е. А., Шкаровский Д. А., Юдкевич М. С. Статус MCU - 5 //

Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Физика ядерных реакторов. 2011. № 4. С. 423.

187. Culberts Ch.N., Hendricks J.S. An Assessment of the MCNP4C Weight Window. LA-13668, 1999.

188. Cooper M.A., Larsen E.W. Automated weight windows for global Monte Carlo particles transport calculations // Nuclear Science and Engineering. 2001. Vol. 137. P. 1-13.

189. Van Wijk A.J., Gert Van den Eynde, Hoogenboom J.E. An easy to implement global variance reduction procedure for MCNP // Annals of Nuclear Energy. 2011. Vol. 38. P. 2496-2503.

190. Hu Y., Yan Sh., Qiu Y., Zheng Yu. Implementation and benchmarking of an automatic global variance reduction method on OpenMC // Fusion Engineering and Design. 2021. Vol. 173. P. 112829.

191. Evans T.M., Hendricks J.S. An Enhanced Geometry-Independent Mesh Weight Window Generator for MCNP. LA-UR-97-5057.

192. BFS-97, -99, -101 Assemblies: critical experiments with heterogeneous compositions of plutonium, depleted-uranium dioxide, and polyethylene. NEA/NSC/D0C/(95)03/VI, 2006.

193. BFS-97, -99, -101 Assemblies: experimental program on critical assemblies with heterogeneous compositions of plutonium, depleted-uranium dioxide, and polyethylene. NEA/NSC/D0C(2006)1, 2007.

194. Zwermann W., Hill I. Assessment of nuclear data libraries for fast reactor systems with MCNP and NDaST // Annals of Nuclear Energy. 2022. Vol. 178. P. 109354.

195. Neutron and photon leakage spectra from CF-252 source at centers of three lead spheres of different diameters. NEA/NSC/D0C/(95)03/VIII, 2006.

196. Watt B.E. Energy Spectrum of Neutrons from Thermal Fission of 235U // Physical review. 1952. Vol. 87, No. 6.

197. Malyshkin Y., Pshenichnov I., Mishustin I., Greiner W. Monte Carlo modeling of spallation targets containing uranium and americium // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section B: Beam Interactions with Materials and Atom. 2014. Vol. 334. P. 8-17. https://doi.org/10.1016/j.nimb.2014.04.027.

198. Smirnov A., Bogdanova E., Pugachev P., Ternovykh M., Saldikov I., Tikhomirov G., Takezawa H., Nishiyama J., Obara T. Monte Carlo codes benchmarking on sub-critical fuel debris particles system for neutronic analysis // Journal of Nuclear Science and Technology. 2022. Vol.59. Issue 1. P. 34-43. DOI: 10.1080/00223131.2021.1950068.

199. Смирнов А.Д., Богданова Е.В., Пугачев П.А. и др. Нейтронно-физическое

моделирование подкритической системы с частицами кориума и водой из международного бенчмарка // Известия высших учебных заведений. Ядерная энергетика. 2020. № 2. С. 135-145. DOI: 10.26583/npe.2020.2.12.

200. Tuya D, Obara T. Supercritical transient analysis in hypothetical fuel-debris systems by multiregion approach based on integral kinetic model // Ann Nucl Energy. 2018. Vol. 120. P.169-177. D0I:10.1016/j.anucene. 2018.05.033.

201. Smirnov A.D., Bogdanova E.V., Pugachev P.A., et al. Neutronic modeling of a subcritical system with corium particles and water (from international benchmark) // Nucl Energy Technol. 2020. Vol. 6. No. 3. P.155-160. D0I:10.3897/nucet.6.57742.

202. Драгунов Ю.Г., Лемехов В.В., Смирнов В.С., Чернецов Н.Г. Технические решения и этапы разработки реакторной установки БРЕСТ-0Д-300 // Атомная энергия. 2012. Т. 113. Вып.1. С. 58-64.

203. Реакторная установка естественной безопасности БРЕСТ-0Д-300. [Электронный ресурс]. - URL: https://www.nikiet.ru/index.php/2018-05-15-08-28-04/innovatsionnye-proekty/brest-od-300 (дата обращения 19.01.2021).

204. Глазов А.Г., Леонов В.Н., Орлов В.В., Сила-Новицкий А.Г., Смирнов В.С., Филин А.И., Цикунов В.С. Реактор БРЕСТ и пристанционный ядерный топливный цикл // Атомная энергия. 2007. Т. 103. Вып. 1. С. 15-21.

205. Проект «Прорыв». [Электронный ресурс]. - URL: http://proryv2020.ru/ (дата обращения 19.01.2021).

206. Нейтронно-физический код ODETTA. Институт проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук. [Электронный ресурс]. - URL: http://www.ibrae.ac.ru/contents/394/ (дата обращения 07.06.2023).

207. SALOME. The open-source platform for numerical simulation. [Электронный ресурс]. -URL: https://www.salome-platform.org (дата обращения 07.06.2023).

208. Gmsh. A three-dimensional finite element mesh generator with built-in pre- and postprocessing facilities. [Электронный ресурс]. - URL: https://gmsh.info (дата обращения 23.10.2023).