Алгоритмы кодирования и декодирования двоичных информационных последовательностей с использованием дискретных хаотических отображений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Митин, Сергей Владимирович

• Митин, Сергей Владимирович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Митин, Сергей Владимирович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ГЕНЕРАТОРЫ ХАОТИЧЕСКИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И КОММУНИКАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ С ХАОТИЧЕСКОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ

1.1. Хаотические генераторы с непрерывным временем

1.1.1. Генератор Лоренца

1.1.2. Генератор Дуффинга

1.1.3. Генератор Чуа

1.1.4. Хаотический генератор на основе системы фазовой автоподстройки частоты

1.1.5. Прецизионные генераторы хаоса

1.2. Генераторы с дискретным временем

1.3. Системы передачи информации, использующие разделение хаотических последовательностей начальными условиями

1.4. Системы передачи информации, использующие явление синхронизации хаотических генераторов

1.5. Система передачи информации с нелинейным подмешиванием

сигнала

1.6. Системы передачи информации с хаотическим кодированием

1.7. Выводы по главе 1

ГЛАВА 2. КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОДИРОВАНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДИСКРЕТНЫХ ХАОТИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ

2.1. Кодирование двоичных данных с использованием дискретных хаотических отображений

2.2. Синтез кодирующего отображения

Стр.

2.3. Декодирование при наличии аддитивного гауссовского белого шума

2.3.1. Вероятность ошибок при декодировании

2.3.2. Алгоритмы декодирования

2.3.2.1. Эвристическое декодирование

2.3.2.2. Рекурсивное эвристическое декодирование

2.3.2.3. Декодирование по методу максимального правдоподобия

Витерби

2.3.3. Результаты моделирования

2.4. Выводы по главе 2

ГЛАВА 3. КОММУНИКАЦИОННАЯ СИСТЕМА С ХАОТИЧЕСКОЙ КОДОВОЙ МАНИПУЛЯЦИЕЙ

3.1. Алгоритм MAP

3.2. Модель кодера

3.3. Модель декодера

3.4. Хаотическое кодирование в каналах с межсимвольной интерференцией

3.5. Выводы по главе 3

ГЛАВА 4. ХАОТИЧЕСКИЕ КОММУНИКАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ: ПОМЕХИ И СИНХРОНИЗАЦИЯ

4.1. Моделирование коммуникационной системы при наличии гармонической помехи

4.2. Схема Костаса в условиях внешних помех

4.3. Синхронизация хаотических систем передачи данных с использованием расширенного фильтра Калмана

4.4. Выводы по главе 4

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы кодирования и декодирования двоичных информационных последовательностей с использованием дискретных хаотических отображений»

ВВЕДЕНИЕ

Изучение фундаментальных свойств динамического хаоса породило интерес к прикладной стороне этого явления, связанной с возможностью построения технических систем, в основе функционирования которых использовались бы свойства динамического хаоса. Одним из таких перспективных направлений использования динамического хаоса явилось его применение в системах связи. Динамический хаос обладает многими привлекательными свойствами, которые могут быть полезны при передаче информации:

• возможность получения сложных колебаний с помощью простых по структуре устройств;

• способность в одном устройстве реализовать большое количество различных хаотических мод;

• возможность управления хаотическими режимами путем малых изменений параметров систем;

• нетрадиционные методы мультиплексирования;

• конфиденциальность при передаче сообщений и др.

Интерес к системам с хаотическими несущими в значительной степени связан с возможностью организации скрытной (конфиденциальной) связи. При соответствующем выборе способа внесения информации восстановление полезной составляющей сигнала может быть произведено даже в случаях, когда хаотическая несущая находится ниже уровня шумов, что означает возможность сокрытия не только самой информации, но и самого факта ее передачи, что в ряде задач имеет первостепенное значение. В случаях же, когда хаотическая несущая может быть обнаружена при несанкционированном доступе, для восстановления информации из нее требуется точное знание структуры источника хаотических колебаний и способа, которым информация была внесена в хаотическую несущую. Кодирование информации с использованием

хаотических колебаний может быть использовано как на физическом уровне (кодирование в канале), так и для кодирования самой информации.

Помимо скрытности хаотические колебания могут быть использованы в телекоммуникационных системах различного рода: для передачи данных, голоса, в системах многостанционного доступа, где общая среда распространения используется многими абонентами, для борьбы с замираниями сигналов в условиях многолучевого их распространения и т.д.

В системах, где в среде распространения могут сосуществовать несколько сигналов, важным свойством сигналов является их малая взаимная корреляция. Хаотические колебания, помимо широкополосности, обладают экспоненциально убывающей взаимно-корреляционной и автокорреляционной функциями и могут быть использованы в системах, где один и тот же частотный ресурс должен быть использован для передачи нескольких сигналов.

Широкополосные свойства хаотических колебаний позволяют передавать информационные сообщения с меньшими требованиями к минимальному отношению сигнал/шум, достаточному для достоверного восстановления информационного сообщения. Опыт известных широкополосных систем с регулярными сигналами показывает, что для сохранения достоверности принятой информации при заданном отношении сигнал/шум, мощность излученного в среду широкополосного сигнала значительно меньше таковой для узкополосных сигналов за счет значительного, по сравнению с периодом несущего колебания, времени накопления принимаемой несущей. Уменьшение общей излучаемой в среду мощности снижает мощность передающего устройства и упрощает его конструкцию. Помимо этого, малая излучаемая мощность снижает взаимное влияние нескольких источников излучения радиосигналов.

В системах беспроводной связи сигналы с быстроспадающей автокорреляционной функцией представляются предпочтительными, поскольку позволяют избежать нежелательных эффектов, связанных с многолучевым

распространением сигналов, когда в приемные тракты устройств попадает не только сам сигнал, но и его задержанные копии.

В связи с вышеизложенным, тема диссертации, посвященной исследованию хаотического кодирования цифровых сигналов является достаточно актуальной.

В настоящее время над проблемой использования хаоса для кодирования и передачи информации активно работает ряд научных коллективов как у нас в стране, так и за рубежом. Среди отечественных организаций следует выделить Институт радиотехники и электроники РАН (A.C. Дмитриев, А.И. Панас, С.О. Старков, Ю.В. Андреев и др.), Нижегородский госуниверситет (В.Д. Шалфеев, В.В. Матросов, Г.В. Осипов, A.B. Волковский и др.), Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана (Б.И. Шахтарин), Московский энергетический институт (М.В. Капранов, В.Н. Кулешов, H.H. Удалов), Институт космических исследований РАН (Ю.А. Кравцов), и др. Среди зарубежных - Калифорнийский университет, Сан Диего, США (H.D.I. Abarbanel, N. Rulkov), Технический университет, Дублин, Ирландия (М.Р. Kennedy), Технический университет, Будапешт, Венгрия (G. Kolumban), Калифорнийский университет, Беркли (L. Chua), Военно-морская лаборатория, Вашингтон, США (L. Pécora, Т. Carroll), Технический университет, Лозанна (М. Hasler), Технический университет, Дрезден, Германия (W. Schwarz), Университет, Мериленд, США (S. Hayes, С. Grebogi, Е. Ott, Е. Rosa, Jr.), Университет, Канзас, США (Y.-Ch. Lai), Военно-морская академия США, Аннаполис, США (Е. Bollt).

Существует ряд подходов к передаче данных с использование хаотических сигналов в качестве носителей. В большинстве из них через канал передается комбинация хаотического и полезного сигналов. Как известно само информационное содержание хаотических сигналов отлично от нуля. Это означает, что кроме пропускной способности канала, необходимой для передачи полезного сигнала, требуется дополнительная пропускная

способность, определяемая количеством информации, содержащимся в хаотическом сигнале. Поэтому эффективность применения пропускной способности канала в случае использования хаотических сигналов в качестве носителей оказывается ниже, чем для регулярных сигналов. В этой связи было бы желательно научиться формировать информационный сигнал таким образом, чтобы он по своей структуре был близок сигналу, генерируемому хаотической системой. Переформулируем задачу несколько иначе: научиться управлять динамикой хаотической системы таким образом, чтобы производимый системой сигнал содержал в себе требуемую полезную информацию, и объем этой информации был равен объему самого хаотического сигнала. Решение этого вопроса позволит уменьшить количество передаваемых в единицу времени данных и, следовательно, повысить эффективность использования канала.

Информационные сообщения могут быть внесены в дискретные хаотические колебания различными способами.

1. Вариация управляющего параметра на передающей стороне. В этом случае для восстановления информации, как правило, используется измерение дисперсии разности принятого процесса и его синхронной реплики на приемной стороне. Подразумевается, что в случае абсолютного совпадения параметров обеих схем приемная сторона находится в режиме хаотической синхронизации и является источником колебаний, абсолютно идентичных колебаниям, полученным от передающей стороны. Тогда дисперсия процесса, представляющего разность принимаемого и генерируемого в приемнике колебаний, будет стремиться к нулю при отсутствии шумов в линии связи. Поскольку большинство из известных систем позволяют восстанавливать только двоичные вариации управляющего параметра, такие системы получили название CSK систем (Chaotic Shift Keying).

2. Внесение информации путем изменения начальных условий дискретных хаотических последовательностей. Восстановление информации в

данном случае происходит путем когерентного корреляционного накопления полученной последовательности. Данный метод подразумевает точное знание свойств передающей системы на приемной стороне, а также точное знание моментов переключения системы от передачи одного символа к другому.

3. Линейная или нелинейная добавка информационного сообщения к хаотической последовательности (нелинейное подмешивание, хаотическая маскировка и т.д.). Восстановление информации в таком случае также производится путем синхронизации системы на приемной стороне с передающей системой.

Основной проблемой в реализации систем, использующих хаотические колебаний в качестве переносчика информации, является демодуляция информационного сообщения в условиях неточного знания всех параметров источника хаотических колебаний на приемной стороне, а также наличия шумовых помех в среде распространения. Цель и задачи исследования

Целью диссертационной работы является исследование алгоритмов кодирования и декодирования двоичных информационных последовательностей с использованием дискретных хаотических отображений и изучение эффективности систем передачи информации с хаотической несущей в различных условиях.

В соответствии с целью работы были поставлены следующие задачи:

1. Исследование свойств ряда известных источников хаотических последовательностей в дискретном времени с целью их дальнейшего использования в качестве носителей информационных сообщений.

2. Разработка хаотического отображения с заданной функцией плотности вероятности и исследование алгоритма кодирования двоичных последовательностей с использованием полученного отображения.

3. Исследование и сравнение различных алгоритмов декодирования для нескольких хаотических отображений и моделирование для указанных

алгоритмов зависимости частоты ошибочных бит (ВЕЯ) от отношения сигнал-

Еъ

шум ——.

4. Исследование влияния наличия помех и шумов в канале на работу хаотической системы связи. Научная новизна результатов

1. Предложен и исследован метод синтеза хаотического отображения с заданной функцией плотности вероятности.

2. Рассмотрен метод кодирования двоичной последовательности с использованием дискретных хаотических отображений.

3. Разработаны и исследованы алгоритмы декодирования хаотической последовательности, полученной с помощью хаотических отображений, сопряженных отображению сдвига Бернулли.

4. Исследована хаотическая модуляция в каналах с шумом, предложены модели хаотических кодеров и декодеров.

5. Использован системный подход к исследованию отображений -источников хаотических последовательностей.

Теоретическая и практическая значимость исследования

Ценность диссертационного исследования состоит в том, что оно вносит вклад в развитие теории динамических систем, методов анализа хаотической модуляции, вопросов формирования хаотических радиосигналов, что имеет большое значение для повышения эффективности разработки и испытания радиотехнических систем различного назначения.

Достоверность полученных результатов определяется корректностью используемого математического аппарата, основанного на методах теории нелинейных колебаний. Правильность функционирования разработанных в диссертации алгоритмов и программ проверялась на классических нелинейных динамических системах Лоренца, Ресслера, Чуа. Согласованность опубликованных для этих систем характеристик с результатами, полученными

с помощью разработанных алгоритмов, позволяет сделать вывод о правильности разработанных алгоритмов и полученных с их помощью результатов.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Метод кодирования двоичной последовательности с использованием дискретных хаотических отображений, основанный на усечении исходной информационной последовательности.

2. Алгоритм синтеза кодирующего хаотического отображения на основе требуемой формы ПРВ.

2. Алгоритмы декодирования хаотической последовательности, полученной с помощью хаотических отображений, сопряженных отображению сдвига Бернулли.

3. Алгоритм оценки эффективности декодирования хаотической последовательности при наличии шума в канале.

Апробация результатов исследования

Результаты работы докладывались и обсуждались на 63-й, 64-й, 65-й научных сессиях Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи имени A.C. Попова, посвященных Дню радио; на 4-й Международной конференции «Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки информации» (ARMIMP-2011); на 69-ой Международной конференции «Радиоэлектронные устройства и системы для инфокоммуникационных технологий».

Автором опубликовано 11 научных работ по теме диссертации, из них 5 работ в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для опубликования. Внедрение результатов работы

Результаты исследования внедрены в учебный процесс МГТУ им. Н.Э. Баумана, Академии ФСО России, а также являются составной частью НИР, проводимых в Академии ФСО России.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и изложена на 173 страницах, включает 66 рисунков. Список литературы содержит 116 наименований и занимает 12 страниц.

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цель и задачи исследований, изложены положения, выносимые на защиту, и краткое содержание работы. Дан обзор свойств хаотических сигналов, делающих их потенциально привлекательными для использования в системах передачи данных.

В первой главе приводится краткий обзор методов формирования хаотических сигналов для передачи информации, рассмотрены различные методы кодирования цифровых последовательностей.

Показано, что хаотические колебания возникают в системах как с непрерывным, так и с дискретным временем. Источниками хаотических колебаний в радиотехнических системах с непрерывным временем являются различные нелинейные колебательные системы с порядком не ниже третьего: генератор на туннельном диоде с колебательным контуром и дополнительной инерционностью, нелинейный неавтономный колебательный контур, кольцевые системы ФАП соответствующими фильтрами в цепи обратной связи и т.д. Основу таких систем составляют типовые звенья, обеспечивающие порядок системы и нелинейный активный элемент, необходимый для возникновения автоколебаний.

Вторая глава посвящена исследованию методов кодирования и декодирования цифровых последовательностей с использованием хаотических отображений, а также синтезу хаотических отображений с требуемыми характеристиками. Была описана коммуникационная система, включающая хаотический кодер и декодер. Показан метод синтеза, с учетом некоторых ограничений, кодирующего хаотического отображения на основе требуемой плотности распределения вероятности хаотических данных. Проведено

исследование трех возможных алгоритмов декодирования хаотической последовательности.

Несмотря на то, что все рассмотренные дискретные отображения не показывают достаточной эффективности при декодировании, по крайней мере по сравнению с ДФМ, тем не менее даже отображение с наихудшими результатами (перевернутое логистическое отображение) имеет лучшую эффективность по сравнению со стандартными хаотическими системами.

Третья глава содержит исследование систем с хаотической кодовой манипуляцией и применение к ним алгоритма декодирования с максимальной апостериорной вероятностью двоичных данных. Рассмотрена коммуникационная система с каналом с межсимвольной интерференцией, проведена оценка вероятности битовых ошибок при различной степени межсимвольной интерференции.

В четвертой главе исследуется влияние помех в канале на хаотическую систему связи. Наличие в канале распространения хаотического сигнала помех, отличающихся от аддитивного гауссовского белого шума, приводит к существенному ухудшению передачи информации при помощи хаотических коммуникационных систем, вплоть до полной невозможности восстановления исходного информационного сообщения. Наличие помех оказывает влияние как на параметры хаотической несущей, так и на информационную составляющую сигнала. Кроме этого, существует проблема синхронизации хаотических передатчика и приемника, которая может быть решена несколькими способами. В частности, введением дополнительного канала посимвольной синхронизации или использованием расширенного фильтра Калмана для синхронизации хаотических систем.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору технических наук, профессору Шахтарину Борису Ильичу за постоянную поддержку на всем протяжении работы.

ГЛАВА 1. ГЕНЕРАТОРЫ ХАОТИЧЕСКИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И КОММУНИКАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ С ХАОТИЧЕСКОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ

1.1. Хаотические генераторы с непрерывным временем

1.1.1. Генератор Лоренца

Хаотические колебания могут возникать в системах с непрерывным и дискретным временем.

Рассмотрим источники хаотических колебаний с непрерывным временем. Первым из них является генератор, описанный американским физиком Лоренцем, который исследовал систему нелинейных дифференциальных уравнений вида (1.1), описывающую поведение конвенционных потоков жидкости или газа, помещенных между двумя поверхностями, имеющими различные температуры [1-3]:

= о(х2 - )

< =Р*1 ~х2-*1*3> С1-1)

¿3 = Х\Х2 - (3*3

где X] - безразмерная переменная, пропорциональная амплитуде скорости, с которой жидкость циркулирует по замкнутому контуру; х2, *з - безразмерные переменные, которые отражают распределение температуры по каналу; р, ст -параметры, связанные с числами Рэлея и Прандтля соответственно; Р -геометрический параметр системы. Обычно принимают следующие значения

этих параметров: ст = 10; (3 = ^; р>1. На динамику описываемых процессов

существенное влияние оказывает именно последний параметр. При р = рс = 24,7368, где рс - критическое значение р, возникают структурно и

динамически неустойчивые периодические орбиты - циклы. При р > рс имеет место неустойчивый фокус и появление устойчивых периодических движений - предельных циклов, так называемая бифуркация Хопфа. В этом состоянии сложная хаотическая траектория системы блуждает между тремя неустойчивыми равновесными точками, движение системы приобретает нерегулярный непериодический характер, в системе возникает хаос.

Каждая из точек равновесия системы не является притягивающей, однако траектория не уходит далеко от трех точек равновесия и занимает ограниченную область. Множество точек, которому принадлежат точки равновесия, определяемые уравнениями

х® = (0;0;0);

43) = (- Жр^ЫЙР^Р " 1)

является аттрактором системы. Внутри аттрактора Лоренца невозможно точно предсказать поведение траектории в течение времени, большего некоторого определенного, называемого интервалом предсказания (траектория чувствительна к начальным условиям), движения ее блуждающие. Такие аттракторы называются странными. Аттрактор Лоренца не является двумерной поверхностью, а представляет собой объект с дробной фрактальной размерностью с1 = 2,06.

На примере аттрактора Лоренца демонстрируется необходимость трехмерности фазового пространства - для перехода (бифуркации) фазовой траектории от вращения вокруг одного положения равновесия к вращению вокруг другого положения равновесия без пересечения фазовых траекторий (запрещено теоремой о единственности решения) необходимо третье измерение. При увеличении параметра р странный аттрактор превращается в

периодический предельный цикл. По мере дальнейшего возрастания р этот предельный цикл некоторое время сохраняется, а затем вновь переходит в странный аттрактор. При переходе от регулярного движения к хаотическому наблюдается эффект, называемый перемежаемостью и состоящий в появлении всплесков хаотического движения на фоне периодических колебаний.

Реализации процессов системы (1.1) приведены на Рисунке 1.1.

_200 10 20 30 40 50 60 70 Хг

а) б)

Рисунок 1.1.

Реализация процесса в модели Лоренца (1.1) (а) и проекция фазового портрета на плоскость х - г (б). Значения параметров ст = 10, Р = 8/3, р = 28

1.1.2. Генератор Дуффинга

В задачах механики твердого тела, в частности в задаче вынужденных колебаний консольного стального бруса в поле двух постоянных магнитов, при описании колебаний различных упругих систем (балок, панелей) используется модель осциллятора Дуффинга, дифференциальное уравнение которой имеет вид

d x „ dx n з —— + o— + px + ocx = ycoscoí

dt¿ dt

Известны также попытки использования модели осциллятора Дуффинга в некоторых радиотехнических системах для генерации хаотических колебаний [3, 27]. Примером могут служить вынужденные колебания колебательного контура с нелинейным индуктивным элементом. Для систем со слабым внешним воздействием можно записать дифференциальное уравнение

генератора Дуффинга, сделав предварительно замены Р = сод, ос—>вос, у -> су, 8-»е5,

d х ? ( о dx з —г-ч-соо^"38 - о--осх + у eos со/

dt1 V dt

(1.2)

Введем преобразования Ван-дер-Поля в виде

х .

и = XCOSCOÍ--sin со/,

со

X

v = -xsmeor--coscoí.

со

(1.3)

Продифференцировав уравнения (1.3), после подстановки уравнения (1.2) 2 2

и замены со - со о = » получим

и- —

(О 8

V = — (О

- Q(w cosco/ - vsin co/)- coS(«sin cú / + veos cú/) + a(«cos c0/ - vsin co/)3 - y cosco/ Q(u cosco/ - vsin co/) - coS(wsin co / + v cosco/) + a(u cosco/ - vsin co/)3 - y cosco/

sin со/,

cosco/.

(1.4)

Усредняя уравнения (1.4) по времени за период получим

и =

V ■

2со 8

2со

3/2 2 -собм + Qv—ам + v

4

Qw -co5v + — а(м2 + v2^ -

У

I 2 2

В полярных координатах г = V и + v , (р = arc/g

'И

\UJ

, следовательно

г = —(- со5г - vsin(p), 2(0v J

f

Гф =

2co

-Qr + — ar — ycoscp

4

(1.5)

Полученные уравнения (1.5) позволяют проанализировать отклик системы на слабое периодическое воздействие. Как видно на Рисунке 1.2, при а = 0 возникает резонансный пик на частоте ю = соо, а при а Ф 0 этот пик искривляется. Пунктирные участки кривой соответствую неустойчивому состоянию системы.

Для исследования неустойчивых состояний запишем систему дифференциальных уравнений, описывающих вынужденное движение осциллятора Дуффинга с гармонической вынуждающей силой, в виде

d_ dt

fх^

X

vVy

X

- 5х - (Зх - ах3 + у cosy со

(1.6)

J

Параметры 5, со, у определяются конкретным физическим содержанием задачи, i|/(0) = 0. Построив кривую на плоскости (х,х) каждая точка которой соответствует пересечению системой сечения Пуанкаре \\) = у q = const, получим хаотический аттрактор, вид которого определяется набором параметров (Рисунок 1.3). Вид аттрактора изменяется периодически при изменении vj/q от 0 до 2п.

ф -л/2

0 0.5 1 1.5 2

ОУОО0

^ ^__

0 5

15

0УС00

Рисунок 1.2.

Резонансные кривые для осциллятора Дуффинга (сод = 1, в5 = 0,2, ву = 2,5). Сплошные участки соответствуют устойчивому состоянию системы,

пунктирные - неустойчивому

63-

о--3-6-

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Л" -3-2-10123 .V

а) б)

Рисунок 1.3.

Вид хаотического аттрактора для осциллятора Дуффинга при ц/о = 0:

а) а = 1, (3 = -1, 5 = 0,2, у = 0,3, со = 1;

б) а = 1, (3 = 0, 5 = 0,05, у = 7,5, со = 1

а) б)

Рисунок 1.4.

Реализации процесса (а) и проекции фазового портрета системы на плоскость (х,х) (б) для хаотического режима генератора Дуффинга (8 = 0,1,

о = 0,8, у = 0,1)

а) б)

Рисунок 1.5.

Реализации процесса *(/) (а) и проекции фазового портрета системы на плоскость (б) для периодического режима генератора Дуффинга (5 = 0,1,

со = 0,8, у = 0,3)

Как показало численное исследование, в области значений параметров 5 = 0,1, со = 0,8, 0,1 < у < 0,3, наблюдается переход от хаотического режима к

периодическому. На Рисунке 1.4 приведены вид реализации и проекции фазового портрета системы на плоскость (я,*) для хаотического режима, а на

Рисунке 1.5 те же графики при переходе к периодическому режиму. Фазовая траектория в этих случаях представляет собой аттрактор с двумя потенциальными ямами, называемый аттрактором Холмса.

Источниками хаотических колебаний в радиотехнических системах с непрерывным временем служат различные нелинейные колебательные системы с порядком не ниже третьего: генератор на туннельном диоде с колебательным контуром и дополнительной инерционностью, нелинейный неавтономный колебательный контур, кольцевые системы ФАП соответствующими фильтрами в цепи обратной связи и т.д. Основу таких систем составляют типовые звенья, обеспечивающие порядок системы и нелинейный активный элемент, необходимый для возникновения автоколебаний.

1.1.3. Генератор Чу а

а

п

Колебательное ( Инерционное звено ( звено

Нелинейный активный элемент

Рисунок 1.6. Схема генератора Чуа

Классическим образцом хаотического автогенератора в радиоэлектронных непрерывных системах является схема Чуа (Рисунок 1.6), представляющая собой обычную автоколебательную систему с 1,5 степенями

свободы. Она содержит линейный колебательный ЯЬС-контур, дополнительное инерционное звено и активный нелинейный элемент с отрицательной проводимостью [4-6], который представлен на схеме в виде нелинейной проводимости.

Данная система может быть описана системой уравнений (1.7), связывающей мгновенные напряжения и токи в системе:

С1^ = 1(«-у)-/(У) Л Д ' ^ '

(1.7)

I

Ж

Вид кусочно-линейной функции /(V), представляющей собой характеристику нелинейного элемента, приведен на Рисунке 1.7.

п

« «/(V)

\ г =/(у)

-->

\ V

у

а)

б)

Рисунок 1.7. Два варианта кусочно-линейной характеристики активного элемента

Объяснение хаотического поведения схемы Чуа основывается на теории цепей. Параллельное соединение С^ и Ь (колебательный контур) образует один основной осциллирующий механизм, тогда как сопротивление Я

обеспечивает взаимодействие между осциллирующим элементом и активным нелинейным резистором, объединенным с конденсатором С\. Наличие нелинейного резистора и объясняет хаотическое поведение системы. Если бы этот резистор был линейным, то все решения асимптотически стремились бы к состоянию устойчивого равновесия. Так как для нелинейной функции, описывающей резистор, верно соотношение V% <0 для всех точек, кроме начала координат, то во внешнюю цепь постоянно подается энергия. Аттрактивный характер хаотических траекторий обусловлен рассеянием энергии в пассивном элементе Я, что сдерживает ее нарастание. Однако баланс энергии оказывается довольно «тонким», и он непрерывно изменяется во времени, никогда не повторяясь как периодическое явление.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Митин, Сергей Владимирович, 2014 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Магницкий H.A., Сидоров C.B. Новые методы хаотической динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2004. 320 с.

2. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 560 с.

3. Шахтарин Б.И., Сидоркина Ю.А., Аливер В.Ю., Кобылкина П.И. Исследование режимов генераторов хаоса // Радиотехника и электроника. 2003. Т. 48, №12. С. 1471-1483.

4. Чуа Л.О. Хаотические системы // ТИИЭР (тематический выпуск). 1987. №8. С. 4-5.

5. Мацумото Т. Хаос в электронных системах // ТИИЭР (тематический выпуск). 1987. №8. С. 66-88.

6. Matsumoto Т. A Chaotic attractor from Chua's circuit // IEEE Trans. 1984. Vol. CAS-31, №12. P. 1055-1067.

7. MatsumotoT., Chua L.O., Komuro M. The double scroll family // IEEE Trans. 1986. Vol. CAS-33. P. 1072-1118.

8. Вельский Ю.Л., Дмитриев А.С Передача информации с помощью детерминированного хаоса // Радиотехника и электроника. 1993. Т.38, №7. С.1310-1315.

9. Дмитриев A.C. Хаос и обработка информации в нелинейных динамических системах // Радиотехника и электроника. 1993. Т.38, №1. С.1-24.

10. Капранов М.В., Родионов М.Н. Формирование регулярных и хаотических колебаний с помощью системы частотной автоподстройки частоты //Радиотехнические тетради. 1998. №16. С.49-53.

11. Шахтарин Б.И. Статистическая динамика систем синхронизации. М.: Радио и связь, 1998. 488 с.

12. Шахтарин Б.И. Анализ систем синхронизации методом усреднения. М.: Радио и связь, 1999. 496 с.

13. Капранов М.В., Чернобаев В.Г. Управляемые генераторы хаотических колебаний на базе систем фазовой синхронизации // Радиотехнические тетради. 1998. №15. С. 86-89.

14. Матросов В.В. Нелинейная динамика систем фазовой автоподстройки частоты с фильтром второго порядка // Известия вузов. Радиофизика. 2006. Т. XLIX, №3. С. 267-278.

15. Матросов В.В. Регулярные и хаотические автоколебаний фазовой системы // Письма в ЖТФ, 1996. Т. 22, вып. 23. С. 4-8.

16. Матросов В.В. Нелинейная динамика генераторов с фазовым и частотным управлением - процессы возбуждения и синхронизации сложных автомодуляционных колебаний. Диссертация... д. ф.-мат. наук. Н. Новгород: Нижегородский государственный университет им. H.H. Лобачевского, 2006. 483 с.

17. Чернобаев В.Г. Генераторы хаотических колебаний на основе систем фазовой синхронизации. Диссертация... канд. техн. наук. М.: Московский энергетический институт, 2001. 183 с.

18. Капранов М.В., Морозов А.Г. Управляемый генератор для линии связи с хаотической модуляцией // Радиотехнические тетради. 1997. №11. С. 60-63.

19. А. П. Кузнецов, С. П. Кузнецов, Н. М. Рыскин. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2002. 286 с.

20. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П. Критическая динамика одномерных отображений. Часть 1. Сценарий Фейгенбаума // Изв. Вузов — ПНД. 1993. Т.1. №1-2. С.15-33.

21. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П. Критическая динамика одномерных отображений. Часть 2. Двухпараметрический переход к хаосу // Изв. вузов-ПНД. 1993. Т. 1. №3,4. С. 17-34.

22. Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой в себя // Укр. матем. журн. 1964. Т. 14. № 1. С. 61-71.

23. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев.: Наукова Думка, 1986. 280 с.

24. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М: Наука, 1972. 472 с.

25. Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука. 1988. 368 с.

26. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение: пер. с англ. М.: Мир, 1988. 240 с.

27. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров: пер. с англ. М.: Мир, 1990. 312 с.

28. Кулешов В.Н., Ларионова М.В., Удалов Н.Н. Система передачи информации с хаотической несущей // Вестник МЭИ. 1997. №5. С. 54-61.

29. Kuleshov V.N., Udalov N.N. Nonlinear filtering of modulated chaotic oscillation // Proc. NDES'97, Moscow. 1997. P. 537-542.

30. Dinan E., Jabbari B. Spreading codes for direct sequence CDMA and wideband CDMA cellular networks // IEEE Communications magazine. 1998. Vol.36, №9. P. 48-54.

31. Yang Т., Chua L. Error performance of chaotic digital code-division multiply access (CDMA) systems // International Journal on Bifurcation and Chaos. 1998. Vol.8, №10. P. 2047-2059.

32. Yang Т., Chua L. Chaotic digital multiply access (CDMA) communication systems // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1997. Vol.7, №12. P. 2789-2805.

33. Yang Т., Chua L. Application of chaotic digital code-division multiply access (CDMA) to cable communication systems // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1998. Vol.8, №8. P. 1657-1669.

34. Hasler M. Synchronization of chaotic systems and transmission of information // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1998. Vol.8, №4. P. 647-659.

35. Дмитриев A.C., Панас А.И., Старков С.О. Динамический хаос как парадигма современных систем связи // Зарубежная Радиоэлектроника. 1997. №10. С. 4-26.

36. Андреев Ю.В., Дмитриев А.С., Емец С.В., Панас А.И., Старков С.О., Балабин A.M., Дмитриев А.А., Кишик В.В., Кузьмин Л.В., Борисенко А.Г. Стратегии использования динамического хаоса в коммуникационных системах и компьютерных сетях Разделение хаотического кодера и кодера канала // Зарубежная Радиоэлектроника, Успехи современной радиоэлектроники. 2000. №11. С. 4-26.

37. Hasler М., Maistrenko Yu.L. An introduction to the synchronization of chaotic systems: Coupled skew tent maps // IEEE Trans. CAS-1.1997. Vol. 44, №10. P. 856-866.

38. Морозов А.Г., Капранов M.B., Кравцов Ю.А., Бутковский О.Я. Модифицированная система с хаотическим кодированием (CSK-система) для восстановления информационных сообщений // Журнал Радиоэлектроники. 2000. №10. Режим доступа: http://jre.cplire.rU/win/octOO/l/text.html.

39. Didieu Н., Kennedy М., Hasler М. Chaos shift keying: Modulation and Demodulation of a chaotic carrier using self-synchronizing Chua's circuit // IEEE Trans. CAS-II. 1994. Vol.40, № 10. P. 634-642.

40. Kolumban G., Vizvari В., Abel A. Differential Chaos Shift Keying: a Robust Coding for Chaos Communication. // Proc. NDES'96, Seville. 1996. P. 87-92.

41. Kennedy M.P., Kolumban G., Kis G. Chaotic Modulation for Robust Digital Communications over Multipath Channels // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2000. Vol. 10, №4. P. 695-718.

42. Kapranov M.V., Morozov A.G. Application of chaotic modulation for hidden data transmission. // Proc. NDES'97, Moscow. 1997. P. 223-228.

43. Капранов М.В., Морозов А.Г. Использование хаотической модуляции для передачи информации // Радиотехнические тетради. 1998. №14. С. 66-71.

44. Дмитриев А.С. Динамический хаос как носитель информации. Новое в синергетике: Взгляд в третье тысячелетие. М.: Наука, 2002. 82 с.

45. Волковский А. Р., Рульков Н. В. Синхронный хаотический отклик нелинейной системы передачи информации с хаотической несущей. // Письма в ЖТФ. 1993. №3. С. 71-75.

46. Дмитриев А.С., Кузьмин Л.В., Панас А.И., Старков С.О. Эксперименты по передаче информации с использованием хаоса через радиоканал. // Радиотехника и Электроника. 1998. Т.43, №9. С. 1115-1128.

47. Дмитриев А.С., Кузьмин Л.В., Панас А.И. Схема связи с суммированием по модулю хаотического и информационного сигналов. // Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44, № 8. С. 988-996.

48. Хаслер М. Передача информации с использованием хаотических сигналов. // Зарубежная радиоэлектроника. 1998. № 11. С. 33-43.

49. Baranovsky A., Daems, D. Design of One-Dimensional Chaotic Maps with Prescribed Statistical Properties. // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1995. Vol. 5. P. 1585-1598.

50. Schimming Т., Hasler, M. Potential of Chaos Communication over Noisy Channels - Channel Coding Using Chaotic Piecewise Linear Maps. // Proceedings of the IEEE International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS). 2002. Vol. 4. P. 568-571.

51. Kozic S., Schimming T. Coded Modulation Based on Higher Dimensional Chaotic Maps. // ISCAS2005, IEEE International Symposium, Cobe, Japan. 2005. P. 888-892.

52. Baptista M., Lopez L. Information transfer in chaos-based communication. // Physical Review E - Statistical, Nonlinear and Soft Matter Physics. 2002. Vol. 65, № 5. 3. 0552011-0552014.

53. Kozic S., Oshima K., Schimming T. Nonlinear Dynamics of Electronic Systems // NDES2003, IEEE International Workshop, Scuol, Switzerland. 2003. P.141-144.

54. Kozic S., Oshima K., Schimming T. How to repair CSK using small perturbation control - Case study and performance analysis. // ECCTD-2003, European Conference, Krakow, Poland. 2003. P. 249-252.

55. Chen В., Wornell G. W. Analog Error-Correcting Codes Based on Chaotic Dynamical Systems // IEEE Trans. Commun. 1998. Vol. 46, №7. P. 881-890.

56. Matsumoto Т., Chua L. O., Komuro M. Birth and death of the double scroll // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1987. Vol. 24, Issue 1-3. P. 97-124.

57. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. 423с.

58. Генераторы хаотических колебаний: Учебное пособие. Издание 2-е, " стер. / Б.И. Шахтарин, П.И. Кобылкина, Ю.А. Сидоркина, А.В. Кондратьев,

С.В. Митин. М.: Горячая линия - Телеком, 2014. 248 с.

59. Казаков Л. Н. Формирование синхронного хаотического отклика для системы фазовой автоподстройки частоты / Л. Н. Казаков, А. В. Ходунин // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон, журн. 2012. № 7. Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/420444.html.

ч 60. Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители

информации для систем связи. М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2002. 252 с.

61. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении. М.: Сов. радио, 1978. 600 с.

62. Pecora L.M., Carroll T.L. Synchronization in chaotic systems // Physical Review Letters. 1990. Vol. 64, N.8. P.821-824.

63. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М.: Наука, 1990. 312 с.

64. Анищенко B.C., Астахов В.В. и др. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 544 с.

65. Xiaofeng G., Xingang W., Meng Z., Lai С. H. Chaotic Digital Communication by Encoding Initial Conditions // CHAOS. 2004. Vol. 14. P.358-363.

66. Setti G., Mazzini G., Rovatti R., Callegari S. Statistical Modeling of Discrete-Time Chaotic Processes - Basic Finite-Dimensional Tools and Applications // Proc. IEEE. 2002. Vol.90. P.662-690.

67. Kozic S., Oshima K., Schimming T. Minimum Distance Properties of Coded Modulations Based on Iterated Chaotic Maps // Proceedings of the Eleventh International Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES). 2003. P. 141-144.

68. Sprott J. C. Chaos and time-series analysis. Oxford University Press, Oxford, 2003. 530 p.

69. Kennedy M.P., Rovatti R., Setti G. Chaotic Electronics in Telecommunications. CRC Press, Boca Raton, 2000. 464 p.

70. Прокис Дж. Цифровая связь. Пер. с англ. М.: Радио и связь, 2000.

800 с.

71. Abramowitz М., Stegun I. A Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. Dover Publications, Inc., NewYork, 1965. 1046 p.

72. Haykin S. Communications Systems. John Wiley & Sons, Inc., New York, 2013. 802 p.

73. Schweizer J., Schimming T. Symbolic dynamics for processing chaotic signals - II: Communication and coding // IEEE Transactions of Circuits and Systems. 2001. Vol. 48, №.11. P. 1283-1295.

74. Schweizer J., Schimming T. Symbolic dynamics for processing chaotic signals - I: Noise reduction for chaotic sequences // IEEE Transactions of Circuits and Systems. 2001. Vol. 48, №.11. P. 1269-1282.

75. Hen I., Merhav N. On the Threshold Effect in the Estimation of Chaotic

Sequences // IEEE Trans. Inform. Theory. 2004. Vol. 50. P. 2894-2907.

76. Kisel A., Dedieu H., Schimming T. Maximum likelihood approaches for noncoherent communications with chaotic carriers // IEEE Transactions on Circuit and Systems. 2001. Vol. 48, №11. P. 533-542.

77. Escribano F.J., Lopez L., Sanjuan M.A.F. Exploiting Symbolic Dynamics in Chaos Coded Communications with Maximum a Posteriori Algorithm // Electron. Lett. 2006. Vol.42. P.984-985.

78. Viterbi A. Error Bounds for Convolutional Codes and an Asymptotically Optimum Decoding Algorithm // IEEE Transactions on Information Theory. 1967. Vol. IT-13.P. 260-269.

79. Papoulis A., Pillai S. U. Probability, Random Variables and Stochastic Processes. McGraw-Hill, Inc., Boston, 2002. 852 p.

80. Abel A., Schwarz W. Chaos Communications - Principles, Schemes and System Analysis // Proc. IEEE. 2002. Vol. 90. P. 691-709.

81. Lau F.C.M., Tse C.K. Chaos-Based Digital Communication Systems. Springer, Berlin, 2003. 228 p.

82. Шалфеев В.Д., Осипов Г.В., Козлов А.К., Волковский А.Р. Хаотические колебания - генерация, синхронизация, управление // Зарубежная радиоэлектроника. 1997. № 10. С. 27-49.

83. Дмитриев А.С., Кяргинский Б.Е., Панас А.И., Старков С.О. Прямохаотические схемы передачи информации в сверхвысокочастотном диапазоне // Радиотехника и электроника. 2001. Т. 46, № 2. С. 224-233.

84. Шахтарин Б.И., Митин С.В. Применение расширенного фильтра Калмана для синхронизации хаотических систем // Научный вестник МГТУ ГА. 2008. №133. С. 45-52.

85. Шахтарин Б.И., Митин С.В. Синтез дискретных хаотических отображений для кодирования двоичных последовательностей // Научный вестник МГТУ ГА. 2012. №186. С. 49-52.

86. Митин C.B. Кодирование двоичной последовательности с использованием дискретных хаотических отображений // Электронное научно-техническое издание «Наука и образование» (МГТУ им. Н.Э.Баумана). 2012. №6.

87. Шахтарин Б.И., Митин C.B. Гармонические помехи в хаотической системе связи // Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана. Серия Приборостроение. 2013. №3. С.90-98.

88. Митин C.B. Алгоритмы декодирования двоичной последовательности, закодированной с использованием дискретных хаотических отображений // Информационные системы и технологии, ГУ УНПК (Орел). 2013. №3(77). С. 91-101.

89. Митин C.B. Применение расширенного фильтра Калмана для синхронизации хаотических систем // Труды Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи имени A.C. Попова. Серия: Научная сессия, посвященная Дню радио. Выпуск LXIII. 2008.

90. Митин C.B., Рязанова М.А. Схема Костаса в условиях наличия активных помех и аддитивного шума. // Труды Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи имени A.C. Попова. Серия: Научная сессия, посвященная Дню радио. Выпуск LXIII. 2008.

91. Митин C.B. Моделирование и расчет показателей Ляпунова для некоторых хаотических систем // Труды Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи имени A.C. Попова. Серия: Научная сессия, посвященная Дню радио. Выпуск LXIV. 2009.

92. Митин C.B. Идентификация состояния и синхронизация для несимметричного тент-отображения // Труды Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи имени A.C. Попова. Серия: Научная сессия, посвященная Дню радио. Выпуск LXV. 2010.

93. Митин C.B. Моделирование помех в хаотической системе связи // Труды 4-й Международной конференции «Акустооптические и

радиолокационные методы измерений и обработки информации" (ARMIMP-2011), Суздаль. 2011.

94. Шахтарин Б.И., Митин С.В. Дискретные хаотические отображения и кодирование двоичных последовательностей // Сборник докладов 69-ой Международной конференции «Радиоэлектронные устройства и системы для инфокоммуникационных технологий». 2014.

95. Costas J. Synchoronous Communications // Proc. IEEE. 1956. Vol.44. P. 1713-1718.

96. Best R.E. Phase-Lock Loops: Design, Simulation and Application. McGraw-Hill, 2007. 500 p.

97. Yu G., Xie X., Zhao W. et al. Impact of phase noise on coherent BPSK homodyne systems in long-haul optical fiber communications // Photonics and Optoelectronics Meetings 2011 / International Society for Optics and Photonics. 2011. P. 83310R-83310R.

98. Tytgat M., Steyaert M., Reynaert P. Time Domain Model for Costas Loop Based QPSK Receiver // Ph. D. Research in Microelectronics and Electronics (PRIME), 2012 8th Conference on VDE. 2012. P. 1-4.

99. Gardner F.M. Phase lock Techniques. 3rd ed. New York: John Wiley & Sons, 2003.425 p.

100. Lindsey W.C., Simon M.K. Telecommunication Systems Engineering. N.J.: Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1973. 580 p.

101. Синхронизация в радиосвязи и радионавигации: Учебн. пособие / Шахтарин Б.И., Иванов А.А., Кобылкина П.И. и др. М.: Гелиос АРВ, 2007. 256 с.

102. Tang Y.S., Mees A.I., Chua L.O. Synchronization and Chaos // IEEE Transactions on Circuits and Systems. 1983. Vol. CAS-30, №9. P. 620-626.

103. Ефремова E.B. Передача информации с помощью динамического хаоса. Генерация и разделение сигналов. Автореферат дисс. к. ф.-м. н., М., 2003. 16 с.

104. Аливер В.Ю. Применение расширенного фильтра Калмана для демодуляции хаотических колебаний: дисс. к. т. н., М., 2005. 232 с.

105. Kozic S., Schimming Т., Hasler М. Controlled One- and Multidimensional Modulations Using Chaotic Maps // IEEE Trans. Circuits Systems. 2006. Vol.1, №53. P.2048-2059.

106. Kozic S. Channel Coding and Modulation Based on Chaotic Systems // PhD thesis, EPFL, Lausanne, Switzerland, 2006.

107. Anderson J. В., Svensson A. Coded Modulation Systems. Kluwer Academic / Plenum Publishers, New York, 2003. 472 p.

108. Pietrobon S. Implementation and performance of a Turbo/MAP decoder Hlnfl Journal of Satellite Commun. 1998. Vol. 16. P.23-46.

109. Robertson P., VillebrunE., Hoeher P. A comparison of optimal and suboptimal MAP decoding algorithms operating in the log domain // Proc. of ICC'95, Seattle, Washington. 1995. P. 1009-1013.

110. Скляр Б. Цифровая связь. Изд. 2-е, испр.: пер. с англ. М.: Издательский дом «Вильяме», 2003. 1104 с.

111. Ungerboeck G. Channel Coding With Multilevel/Phase Signals // IEEE Trans. Inform. Theory. 1982. Vol.28. P. 55-67.

112. Benedetto S., Marsan M. A., Albertengo G., Giachin E. Combined Coding and Modulation: Theory and Applications // IEEE Trans. Inform. Theory. 1988. Vol.34. P. 223-236.

113. Schimming Т., Oshima K., Hasler M. Coded Modulations Using Chaotic Systems Controlled by Small Perturbations // Proceedings of NOLTA, Xian, China. 2002. P. 49-52.

114. Benedetto S., Divsalar D., Montorsi G., Pollara F. A Soft-Input Soft-Output Maximum a Posteriori (MAP) Module to Decode Parallel and Serial Concatenated Codes // Technical Report 42-127, Jet Propulsion Laboratory, California Institute of Technology, 1996.

115. Оппенгейм А. В., Шафер Р. В. Цифровая обработка сигналов: Пер. с англ. / Под ред. С. Я. Шаца. М.: Связь, 1979. 416 с.

116. Prabhu V. Intersymbol Interference Performance of Systems with Correlated Digital Signals // IEEE Trans. Commun. 1973. Vol.21. P. 1147-1152.