Алгоритмы и программы оценивания параметров гармонических составляющих временных рядов пуассоновского характера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Водинчар, Глеб Михайлович

• Водинчар, Глеб Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Водинчар, Глеб Михайлович

Введение.

Глава 1. Алгоритм оценивания параметров гармонических составляющих на фоне стационарного пуассоновского шума.

1.1. Точечные оценки параметров на основе модели со стационарным шумом.

1.2. Интервальные оценки параметров на основе модели со стационарным шумом.

1.3. Алгоритм оценивания параметров на основе модели со стационарным шумом.

Глава 2. Алгоритм оценивания параметров гармонических составляющих на фоне нестационарного шума.

2.1. Точечные оценки параметров на основе модели с нестационарным шумом.

2.2. Интервальные оценки параметров на основе модели с нестационарным шумом.

2.3. Алгоритм оценивания параметров на основе модели с нестационарным шумом.

Глава 3. Программное обеспечение алгоритмов оценивания параметров гармонических компонент.

3.1. Программа оценивания параметров на основе модели со стационарным шумом.

3.2. Тестирование программы оценивания параметров на основе модели со стационарным шумом.

3.3. Программа оценивания параметров на основе модели с нестационарным шумом.

3.4. Тестирование программы оценивания параметров на основе модели с нестационарным шумом.

3.5. Апробация алгоритмов и программ на реальных данных.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы и программы оценивания параметров гармонических составляющих временных рядов пуассоновского характера»

В последние два десятилетия оформилось направление работ по прогнозированию землетрясений выделением из различных геофизических полей сигналов, в спектре которых проявляются компоненты, связанные с волнами приливного потенциала, обусловленными лунно-солнечным гравитационным воздействием. К таким сигналам относятся, например, высокочастотный сейсмический шум [12,29,30], интенсивность слабой сейсмичности [21,29] и импульсное электромагнитное излучение (ИЭМИ) Земли [19,20].

При анализе коротких (порядка месяца) промежутков выделение из сигналов некоторых волн происходит нестабильно. Это проявляется в хаотичном, в основном, изменении амплитуд и начальных фаз при обработке данных в скользящем временном окне. Но, как отмечают авторы вышеуказанных работ, непосредственно перед землетрясением наблюдаются стабилизации уровней фаз приливных волн 0\ (суточная главная лунная волна) и/или М2 (полусуточная главная лунная волна) [26].

Поэтому важной задачей является надежное определение временных промежутков, когда на фоне шумов появляются (с определенными уровнями фаз) компоненты с частотами волн 0\ и/или М2 и их высших гармоник. Для решения этой задачи необходимы алгоритмы и соответствующее программное обеспечение оценки параметров периодических составляющих в таких сигналах. При этом речь идет о построении не только точечных, но и интервальных оценок, что позволяет определять допускаемые погрешности.

В течение ряда последних лет в Камчатском государственном педагогическом университете (КГПУ) в лаборатории краткосрочного прогноза землетрясений Института геофизики, геологии и экологии Камчатки (ИГГЭК) ведутся работы по изучению приливного отклика в ИЭМИ Земли и его связи с сейсмичностью. Регистрируемым и анализируемым является временной ряд интенсивности ИЭМИ - числа импульсов в минуту, превышающих установленный порог, позволяющий отсекать техногенные помехи [20].

Такое происхождение элементов временного ряда позволяет рассматривать характер их распределения как пуассоновский. Приливной отклик проявляется в периодически изменяющемся во времени единственном параметре, характеризующем распределение Пуассона.

Имеется достаточно много алгоритмов точечного и интервального оценивания параметров случайных процессов и, в частности, временных рядов. Общая теория статистического оценивания описана в [3,23]. Алгоритмам точечных оценок для стационарных процессов посвящена работа [25].

Для нестационарных процессов точечные и интервальные оценки параметров трендов в виде задач регрессии рассмотрены в [3,5,18,22,27,31,32]. В монографии [31] детально рассмотрено построение точеных и интервальных оценок в задачах линейной регрессии. При этом предполагается, что ковариационная матрица шума не зависит от параметров регрессии. Теория точечного оценивания параметров полигармонических трендов временных рядов рассмотрена в [1]. В этой работе оценивание проводится по временному интервалу, кратному периодам гармоник, в предположении, что ковариационная матрица шума известна с точностью до постоянного множителя. В [32] рассмотрено построение точечных и интервальных оценок амплитуд четных и нечетных составляющих для набора гармоник с произвольными известными частотами, причем оценивание проводится на фоне гауссовского шума.

В [2] параметры нестационарных процессов оцениваются по ансамблю реализаций. Разработаны также алгоритмы выделения трендов в интенсивности пуассоновских потоков событий [24,36,37]. Эти алгоритмы используют информацию о моментах наступления событий. Интервальное оценивание фазы приливного отклика в высокочастотном сейсмическом шуме проведено в работе [29].

В ряде интенсивности ИЭМИ среднее значение и дисперсия меняются во времени и существенно зависят от оцениваемых параметров, причем оценки надо вести по одной реализации. Приближение распределения Пуассона нормальным возможно при больших средних значениях, а среднее число импульсов в минуту 8-10 [20]. Информация о моментах появления импульсов (событий) в ряде интенсивности ИЭМИ отсутствует. Все это не позволяет непосредственно использовать алгоритмы из вышеперечисленных работ для оценивания параметров ИЭМИ и требует разработки специальных алгоритмов, использующих специфику анализируемого временного ряда.

Итак, предметом настоящего исследования являются временные ряды пу-ассоновского характера, частотный состав переменного во времени математического ожидания которых известен.

Цель исследования заключается в создании алгоритмов точечного и интервального оценивания параметров гармонических компонент и соответствующего программного обеспечения. Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач:

- уточнение характера распределения элементов временного ряда;

- разработка алгоритмов точечного оценивания параметров;

- изучение свойств и распределений точечных оценок;

- разработка алгоритмов интервального оценивания параметров;

- разработка программ, реализующих алгоритмы оценивания;

- тестирование алгоритмов и программ на рядах с известными спектральными свойствами;

- апробация алгоритмов и программ на реальном ряде данных интенсивности ИЭМИ.

Основные методы исследования базируются на математическом аппарате теории вероятностей, математической статистики, линейной алгебры, математического анализа. При разработке программ используются методы структурного программирования, а для тестирования алгоритмов и программ метод компьютерного моделирования.

Основная часть диссертационной работы состоит из трех глав. Первые две главы носят теоретический характер и посвящены алгоритмам оценивания параметров для двух типов временных рядов, каждый из которых может быть принят в качестве модели ряда интенсивности ИЭМИ.

В первой главе предлагается алгоритм интервального оценивания параметров гармоник ряда, являющегося суммой полигармонической последовательности с известными частотами и последовательности независимых одинаково распределенных пуассоновских величин. Доверительные интервалы строятся на основе точечных оценок метода наименьших квадратов (МНК-оценок). В работе установлено, что основная матрица нормальной системы метода наименьших квадратов является хорошо обусловленной. С использованием общей теории МНК показано, что оценки являются несмещенными, состоятельными и асимптотически нормальными. Кроме этого, доказана среднеквадратическая сходимость МНК-оценок к истинным значениям, что усиливает свойство состоятельности. Получены аналитические верхние оценки скорости среднеквад-ратической сходимости и расчетные оценки этой скорости для числа гармоник и объемов выборок, типичных для оценивания параметров приливного отклика в ИЭМИ. Найдены несмещенные и сходящиеся в среднеквадратическом смысле оценки дисперсий МНК-оценок. С использованием этих оценок и асимптотической нормальности МНК-оценок найдены интервальные оценки амплитуд четных и нечетных составляющих гармоник. На основе этих доверительных интервалов предложен быстрый способ нахождения приближенных интервальных оценок амплитуд и начальных фаз гармоник. Полученные в главе результаты опубликованы в [6,9].

Вторая глава посвящена алгоритму точечного и интервального оценивания параметров гармоник ряда независимых пуассоновских величин, математическое ожидание которых меняется по полигармоническому закону с известными частотами, причем в качестве точечных оценок также используются МНК-оценки. Изучение свойств этих оценок по сравнению с первой моделью существенно осложняется тем, что дисперсия шума зависит от неизвестных параметров регрессии, что не позволяет применить общую теорию метода наименьших квадратов для изучения свойств МНК-оценок. Доказано, что и для этой модели точечные оценки являются несмещенными, сходящимися в сред-неквадратическом смысле и асимптотически нормальными. Оценена скорость сходимости оценок. Найдены несмещенные и сходящиеся в среднеквадратиче-ском смысле оценки дисперсий МНК-оценок. Построены доверительные интервалы для амплитуд четных и нечетных составляющих гармоник. Основные результаты главы изложены в работах [8,10].

В третьей главе описаны разработанные в среде Borland С++ [4,28,35] программы, реализующие алгоритмы оценивания параметров на основе двух предложенных моделей. Проведено тестирование алгоритмов и программ на тест-последовательностях, в условиях, схожих с реальными. Проведена апробация алгоритмов и программ на реальных данных. Для этого использован временной ряд интенсивности ИЭМИ в период с 17.04.1997 по 24.11.2000, регистрировавшийся в лаборатории краткосрочного прогноза землетрясений ИГГЭК. Оценки параметров, полученные с помощью разработанных алгоритмов и программ, сравниваются с оценками того же ряда данных в [19,20] методом синхронного накопления. Сопоставление оценок показывает их хорошее совпадение.

Реализующие алгоритмы программы объединены в библиотеку программ, зарегистрированную в Отраслевом фонде алгоритмов и программ Государственного координационного центра информационных технологий Минобразования России и Центральном информационно-библиотечном фонде Российской Федерации [7].

Результаты исследования докладывались и обсуждались на:

- научно-практической конференции «Проблемы краткосрочного прогноза землетрясений», Петропавловск-Камчатский, 2000;

- региональной научно-практической конференции «Новые информационные технологии на Камчатке. Настоящее и будущее», Петропавловск-Камчатский, 2000;

- международной научно-практической конференции «Социоэкономические и экологические проблемы устойчивого развития территорий с уникальны9 ми и экстремальными природными условиями», Петропавловск-Камчатский, 2001;

- конференции молодых исследователей и специалистов «Вулканизм, сейсмичность и окружающая среда», Петропавловск-Камчатский, 2001; а также на научных семинарах в Камчатском государственном педагогическом университете, Камчатском государственном техническом университете, НИИ геофизики, геологии и экологии Камчатки, Камчатской опытно-методической сейсмологической партии Геофизической службы РАН.

Работа включает 7 приложений, в которые вынесены некоторые расчетные данные и исходные коды программных модулей.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Водинчар, Глеб Михайлович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертации разработаны алгоритмы точечного и интервального оценивания параметров гармонических составляющих двух типов временных рядов пуассоновского характера и соответствующее программное обеспечение.

Первый ряд представляет собой сумму детерминированной полигармонической последовательности с известными частотами и последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин. Второй ряд - это последовательность независимых пуассоновских величин, характеризующий которые единственный параметр меняется по полигармоническому закону с известными частотами. Оба этих ряда могут быть использованы в качестве моделей интенсивности ИЭМИ Земли.

Разработанные алгоритмы позволяют оценивать амплитуды и начальные фазы гармоник.

В работе изучены статистические свойства и асимптотические распределения точечных оценок, исследована вычислительная устойчивость алгоритмов, найдены оценки скорости среднеквадратической сходимости точечных оценок, найдены приближенные границы доверительных интервалов. Оба алгоритма программно реализованы в среде Borland С++ 4.5 в виде программных модулей.

Алгоритмы и программы успешно протестированы на искусственно сгенерированных тест-последовательностях с известными спектральными свойствами.

Проведена апробация алгоритмов и программ на 2,5-летнем временном ряде интенсивности ИЭМИ Земли. Точечные оценки фаз полученные с помощью разработанных алгоритмов и программ сопоставлены с результатами оценивания того же ряда методом синхронного накопления, который не зависит от распределения элементов ряда. В результате этого сопоставления установлено, что оценки практически не отличаются. Это подтверждает, что обе модели хо

62 рошо аппроксимируют реальное распределение интенсивности ИЭМИ. При этом, если метод синхронного накопления реализуется отдельно, для каждой приливной волны, то полученные в работе алгоритмы позволяют одновременно оценивать параметры разных приливных волн, а доверительные интервалы позволяют судить о величине допускаемой при оценивании погрешности.

Таким образом, можно утверждать, что цель работы достигнута, и разработанные алгоритмы и программное обеспечение можно использовать для оценивания приливного отклика в ИЭМИ Земли. На защиту выносятся:

1. алгоритмы точечного и интервального оценивания параметров гармонических составляющих на основе двух моделей временного ряда;

2. изученные свойства и распределения точечных оценок;

3. программное обеспечение алгоритмов оценивания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Водинчар, Глеб Михайлович, 2003 год

1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов - М.: Мир, 1976.

2. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. М.:Мир, 1989.

3. Боровков А.А. Математическая статистика. Новосибирск: Наука, Изд-во Института математики, 1997.

4. Браунси К. Основные концепции структур данных и реализация в С++.-М.: Издательский дом «Вильяме», 2002.

5. Брилинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория.- М.: Мир, 1980.

6. Водинчар Г.М. Доверительные интервалы для параметров периодических составляющих в сигналах пуассоновского характера. Библиотека программ- Per. № ОФАП 2129, номер госрегистрации - 50200200514.

7. Водинчар Г.М. Методика оценивания некоторых параметров импульсного электромагнитного излучения Земли// Вычислительные технологии.-2002.- Т. 7, №5.-С. 29-35.

8. Водинчар Г.М. Погрешности оценивания параметров приливного отклика в импульсном электромагнитном излучении Земли// Вычислительные технологии.- 2001.- Т. 6, № 3.- С. 3-6.

9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц М., 1953.

10. Гордеев Е.И., Салтыков В.А., Синицин В.И., Чебров В.Н. К вопросу о связи высокочастотного сейсмического шума с лунно-солнечными приливами// Докл. РАН. Т. 340.- 1995.- № 3.- С. 386-388.

11. Керниган Б., Ритчи Ф. Язык программирования Си.- М.: Финансы и статистика, 1992.

12. Кнут Д. Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы.- М.: Издательский дом «Вильяме», 2000.

13. Кнут Д. Искусство программирования, том 2. Получисленные алгоритмы.-М.: Издательский дом «Вильяме», 2000.

14. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа-М.: Наука, 1981.

15. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.- М.: Наука, 1968.

16. Крамер Г. Математические методы статистики.- М.: Мир, 1975.

17. Кролевец А.Н., Павлюков В.К. Инициирование приливного отклика импульсного электромагнитного излучения из литосферы процессами в очагах землетрясений// Препринт № 1(01).- Петропавловск-Камчатский: Изд-во Камчатского пединститута, 1999.

18. Кролевец А.Н., Павлюков В.К. Приливной отклик импульсного электромагнитного излучения и краткосрочный прогноз сильных землетрясений// Проблемы сейсмичности Дальнего Востока/ Под ред. А.В. Викулина Петропавловск-Камчатский, 2000.- С. 171-181.

19. Кузьмин Ю.Д., Широков В.А. О механизме солнечно обусловленной, 27-дневной и годовой цикличности Камчатских землетрясений/ Данные геофизических наблюдений обсерватории Тикси. Январь-ибнь 1978 г.Якутск, 1986.

20. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений.- М.: Физматгиз, 1962.

21. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов.- М.: Наука, 1974.

22. Марголис М.Ю. Оценка интенсивности флуктуирующего пуассоновского потока методом полиномиальной аппроксимации.// Управляемые системы массового обслуживания. Вып. 3 Томск: Изд-во ТГУ, 1984.- С. 73-81.

23. Марпл-мл. С. Цифровой спектральный анализ и его приложения.- М.: Мир, 1990.

24. Мельхиор П. Земные приливы М.: Мир, 1968.

25. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы М.: Мир, 1982.

26. Паппас К., Мюррей У. Отладка в С++ М.: Бином, 2001.

27. Салтыков В.А. О воздействии земных приливов на сейсмические процессы// Проблемы сейсмичности Дальнего Востока / Под ред. А.В. Викулина-Петропавловск-Камчатский, 2000.- С. 12-21.

28. Салтыков В.А., Синицин В.И., Чебров В.Н. Вариации приливной компоненты высокочастотного сейсмического шума в результате изменения напряженного состояния среды// Вулканология и сейсмология 1997.- № 4.-С. 73-83.

29. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. М.: Мир, 1980.

30. Серебренников М.Г., Первозванский А.А. Выявление скрытых периодич-ностей.-М., 1965.

31. Справочник по прикладной статистике. Том 2./ Под ред. Э. Ллойда, У. Ле-дермана.- М.: Финансы и статистика, 1989.

32. Справочник по теории вероятностей и математической статистике/ B.C. Королюк, Н.И. Портенко, А.В. Скороход, А.Ф. Турбин.- М.: Наука, 1985.

33. Страуструп Б. Язык программирования С++.- СПб.: Невский Диалект, 2000.

34. Тривоженко Б.Е. Выделение трендов временных рядов и потоков событий.- Томск: Изд-во ТГУ, 1989.

35. Тривоженко Б.Е. Реккурентная оценка интенсивности нестационарного пу-ассоновского потока. // Управляемые системы массового обслуживания. Вып. 4.- Томск: Изд-во ТГУ, 1986.- С. 56-63.

36. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Численные методы линейной алгебры.- М.: Физматгиз, 1960.

37. Ширяев А.Н. Вероятность М.:Наука, 1980.

38. Архив каталогов землетрясений Центральной опытно-методической экспедиции Геофизической службы РАН на Web-сайте http://www.ceme.gras.ru.