Алгоритмы и программные средства расчета гидроакустических полей для специализированных вычислителей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Алексеева, Елена Германовна

• Алексеева, Елена Германовна
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Алексеева, Елена Германовна

Содержание

Введение

Глава 1. Алгоритмы расчета полей для слоисто - неоднородной среды 10 1.1 Вывод универсального интегрального представления для поля точечного

тонального источника звука в слоисто-неоднородной среде. 15 1.2. Преобразование контура интегрирования в комплексной плоскости к виду,

удобному для вычисления звукового поля

1.2.1 Вычисление звукового поля для случая однородного волновода

1.2.2. Расчет поля для п слоев

1.3 Примеры расчетов звуковых полей

1.3.1 Расчеты полей для однородного моря

1.3.2 Вычисление поля в зоне геометрической тени 61 1.4. Приближенная оценка звукового поля 70 Глава 2. Алгоритмы расчетов полей для изменяющейся по трассе среды 73 2.1 Реализация алгоритмов лучевой теории на спецвычислителе

2.1.1. Общая характеристика лучевых методов в системе моделирования

2.1.2. Описание основных алгоритмов пакета лучевых программ

2.1.3. Тестовый пример расчета поля для канонического профиля

2.1.4. Тестирование программ для лучевого метода

2.2. Приближение параболического уравнения

2.2.1. Основные характеристики метода

2.2.2. Алгоритмы реализации метода параболического уравнения

2.2.3. Программная реализация метода параболического уравнения

2.3. Анализ реализуемости сеточных ЗБ алгоритмов на спецвычислителе

2.3.1 Общие положения Ю0

2.3.2 Краткий анализ конечно-разностных методов ЮЗ

2.3.3 Описание геометрии области моделирования

Глава 3. Структура вычислительных средств и методы программирования

3.1. Базовые вычислительные средства

3.2. Архитектура вычислительной платформы

3.3. Компоненты вычислительной платформы

3.4. Оценка производительности вычислительной системы и необходимых ресурсов памяти

3.5. Способы программной реализации пакета программ

3.6. Некоторые методы оптимизации работы спецвычислителя. 131 Глава 4. Использование графических процессоров для расчетов полей и статистической обработки сигналов

4.1 Вычисление поперечной функции Грина для модели океанского волновода с использованием графических процессоров

4.2 Реализация вычислений для нескольких графических процессоров

4.3 Анализ алгоритмов статистической обработки данных для моделирования локализации источников звука 148 Заключение 163 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы и программные средства расчета гидроакустических полей для специализированных вычислителей»

Введение

Современные оптимальные методы обработки сигналов при обнаружении и локализации подводных целей, как в мелкой, так и глубокой воде, используют информацию, относящуюся к структуре океанских волноводов, чтобы достигнуть лучшей эффективности по сравнению со стандартными методами обработки сигналов от фазированных решеток [1-9]. Методы, использующие модели среды, типа метода согласованного поля обеспечивают такую возможность. Обработка методом согласованного поля является оптимальным методом обработки поля сигнала, при котором измеренные акустические поля от звукового источника сравниваются с моделированными полями, рассчитанными для специальной геометрии источник - приемник и среды океанского волновода. Сравнение на соответствие выполняется для ансамбля возможных расположений цели внутри специфической области поиска (по дальности и глубине) чтобы сформировать поверхность, значения которой указывают вероятность того, что источник присутствует в данной точке. Наибольшая эффективность (т.е. уверенная локализация) достигается при условии, что смоделированная океанская среда и геометрия эксперимента соответствует реальным условиям. Поэтому, чем ближе модель соответствует реальности, тем надежнее работают алгоритмы локализации.

При оптимальной обработке гидроакустических сигналов используются сложные акустические модели в комбинации с методами обработки сигналов, для того чтобы локализовать акустический источник в океане. Ключевой проблемой здесь является необходимость разработать алгоритмы, которые работают не только при идеальном моделировании, но и в реальной среде. Вопросы тестирования алгоритмов статистической обработки, пригодных для пакета моделирования решения обратных задач акустики рассмотрены автором данной работы в [10].

Обработка методом согласованного поля использовалась в акустике, в частности, для решения обратной задачи нахождения точечного источника в волноводе [11, 12, 13] (позднее она также применялась к решению обратных задач для нахождения других характеристик типа параметров океанского дна). Общий подход к таким обратным задачам заключается в неоднократном выполнении прямой модели и корректировке неизвестных параметров, пока модель не обеспечит результаты, которые соответствуют заданным. Разработанный в рамках диссертационной работы пакет программ опирается на прямые модели распространения звука в океане [14-17], и предназначен для использования при моделировании работы алгоритмов согласованного поля, в главным образом, низкочастотных. Низкочастотная гидроакустика (частота 1000 гц и ниже) является одним из основных средств дистанционной диагностики и мониторинга динамических процессов в толще океана на акваториях размерами в сотни километров и выше. Низкочастотная акустика океана является важнейшим разделом физической океанологии, в рамках которого исследуется широкий круг процессов, от микроциркуляции вод и турбулентности в океане до глобальных изменений полей температуры, связанных с климатическими трендами. Основная прикладная направленность исследований в этой области - разработка физических основ и научное сопровождение построения систем дальнего противолодочного наблюдения и защиты подводных лодок от обнаружения. Возможные варианты постановки обратных задач при обработке излучаемого судами шума, как звукового источника, могут включать оценку глубины воды, верхнее значение скорости волн сжатия и толщину первого слоя в дне.

Для решения всех описанных выше задач должны быть собраны в одном программно-аппаратном комплексе соответствующее программное обеспечение для моделирования распространения звука и данные об океанологических характеристиках. Если требования к скорости расчета

соответствующих моделей распространения и обработки сигналов высоки, то параметры аппаратной и программной частей комплекса должны быть высокими, что приводит к необходимости создания масштабируемых специализированных вычислителей.

Данная работа состоит из введения, четырех глав и заключения. В первой главе приведено описание постановки задачи, предложены алгоритмы расчета первичных моделей. Моделируемые поля вычисляются, используя различные модели, входящие в состав пакета программ. При моделировании параметры среды предполагаются известными, полученными из сейсмических и гидрологических данных. Для алгоритма расчета поля в слоисто-неоднородной среде автором получено универсальное интегральное представление для поля точечного тонального источника звука. Производится преобразование контура интегрирования в комплексной плоскости к виду, удобному для вычисления звукового поля. Разработаны мультипроцессорные алгоритмы вычисления звукового поля для случая однородного волновода, алгоритмы вычисления спектра звукового давления и звукового поля с помощью интегрирования одномерных дифференциальных уравнении для спектра Фурье-Бесселя звукового давления, алгоритмы вычисления спектра звукового давления и звукового поля с использованием специальных функций. Приводятся примеры расчетов полей в зоне геометрической тени и оценки влияния неоднородности гидрологических данных при вычислении поля для низких звуковых частот.

Далее рассматривается способ приближенной реализации разработанного автором алгоритма, которую, как показано в главе, можно получить из интегрального представления, используя специального вида деформацию контура интегрирования в комплексной плоскости и выражая приближенное решение в виде конечной суммы собственных функций. Эти функции удовлетворяют локальным граничным условиям, их относительно легко вычислить и можно адаптировать для описания как продольных, так и

поперечных волн. Этот алгоритм, разработанный для сред с параметрами, независимыми от дальности, может быть расширен, чтобы включить зависимую от дальности среду, учитывая или полное взаимодействие волн (когда волны могут обмениваться энергией) или более простой адиабатический подход. Основное преимущество такого приближения - возможность обеспечить быстрые вычисления полей низкой частоты. Показано, что применимость этого приближения сильно зависит от конкретных параметров задачи.

Во второй главе предложены алгоритмы на базе методов для переменной по трассе среды таких, как метод бихарактеристик (лучевая теория), приближение параболического уравнения, конечно-разностные методы (метод сеток и конечных элементов). В главе производится анализ преимуществ и недостатков лучевого метода. Это необходимо, поскольку, например, метод согласованного поля рекомендуется для низкочастотных приложений, подход лучевой теории используется в специальных режимах работы специализированного вычислителя (глава 3), когда другие алгоритмы, основанные на других методах не применимы. Описывается предлагаемая методика тестирования разработанных автором программ, использующих лучевой метод. .......

Для поддержки режимов работы специализированных вычислителей в тех случаях, когда это позволяют условия среды и расположение источников и приёмников в данной главе описывается реализация вычисления звуковых полей на базе известного метода параболического уравнения. Данный метод является приближенным и использует параболическое уравнение, которое аппроксимирует уравнение Гельмгольца. В алгоритмах предполагается, что принимаемое поле формируется только узким конусом углов излучения источника. Такое предположение часто справедливо для распространения на длинные дистанции, когда волны с большими углами, первоначально представленные в поле источника ослабляются в результате повторного

взаимодействия с дном, затухая или поглощаясь. Описываются особенности разработанной программной реализации. Эти программы можно использовать для поддержки режимов работы спецвычислителя, когда не применимы лучевые программы (например, в низкочастотном звуковом диапазоне) или параметры среды изменяются по трассе (например, глубина, профиль скорости звука).

Для сред со сложной геометрией, когда существенно обратное рассеяние от поверхностей, указанные программы использовать нельзя. В связи с этим в этой же главе предложена одна из возможных постановок задачи расчета поля на базе конечно-разностных алгоритмов. Приводится краткий обзор известных конечно-разностных методов и анализируется возможность и целесообразность их использования для расчетов распространения звука в море. Автором разработан способ описания геометрии области моделирования. Приведен анализ пробных расчетов. В главе показано, например, что число вершин совокупной объемной трехмерной задачи для получения достаточно подробной сетки приводит к ужесточению требований к вычислительным средствам реального времени. Поэтому в конкретном специализированном вычислителе (глава 3) для задач больших волновых размеров эти программы могут быть использованы лишь при уменьшении волновых размеров задач, например, для решения задач дифракции на подводных объектах сложной формы.

В третьей главе рассматривается структура многопроцессорных вычислительных средств и методы их программирования, использованные при создании пакета программ. Решение описанных выше задач моделирования требует использования всего потенциала вычислительной техники. Время счета этих задач может измеряться часами, а иногда и сутками. В таком случае параллельные вычисления могут существенно ускорить получение результата численного моделирования. Наиболее простым методом распараллеливания является применение частотного группирования данных при разработке общего

алгоритма работы спецвычислителя. Разработанные на базе алгоритмов, описанных выше, параллельные версии программ предназначены для использования в спецвычислителях с распределенной оперативной памятью, что позволяет использовать в одном расчете всю оперативную память. Благодаря этому удается достичь сразу двух целей: существенно увеличить общий объем доступной оперативной памяти на одну задачу и ускорить процесс счета задачи. В главе производится оценка производительности вычислительной системы и необходимых ресурсов памяти для реализации базовых оптимальных алгоритмов обработки задачи. Описываются программная реализация и использованные автором способы оптимизации программ, компиляция пакета, форматы входных данных для программ расчета полей и методы балансировки загрузки процессоров.

В четвертой главе на основании разработанных в главах 1 и 2 алгоритмов моделирования звуковых полей и предложенных автором в главе 3 вариантов их распараллеливания и оптимизации, описана структура программных средств, которые обеспечивают возможность использования графических процессоров для расчетов полей и статистической обработки сигналов. Рассматривается реализация вычисления поперечной функции Грина для модели океанского волновода с использованием графических процессоров. Проводится анализ алгоритмов статистической обработки данных для моделирования локализации источников звука.

В заключении изложены основные научные результаты диссертации, а также сформулированы теоретические и прикладные результаты, полученные в диссертационной работе.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Алексеева, Елена Германовна

Заключение

Цель данной работы состояла в разработке алгоритмов и создании пакета программ для моделирования звукового поля в море, в том числе с учетом переменного по трассе распределения скорости звука и профиля дна и реализации режимов работы специализированных вычислительных систем нового поколения. Разработанные алгоритмы и средства синтеза могут быть использованы для создания проблемно ориентированного программного обеспечения масштабируемых вычислительных платформ, при построении специализированных вычислителей и моделировании реконфигурируемых вычислительных комплексов различных типов, в прикладных программах для оптимальной обработки сигналов многоэлементных антенных решеток, а также позволяют сократить время обработки приложений при заданной удельной производительности системы.

В ходе выполнения работы решались следующие задачи исследования. Проведен анализ математических методов, необходимых для разработки прикладных программ для вычислительных систем ОГС с учетом среды функционирования. Проведен анализ принципов построения, масштабируемых гетерогенных архитектур и методов организации вычислений в системах ОГС с мультипроцессорной архитектурой. Разработан способ синтеза программ расчета звуковых полей, позволяющих реализовывать различные варианты распараллеливания и конвейеризации вычислений, а также различные степени параллелизма. Разработаны и исследованы алгоритмы для расчета звуковых полей в прикладных программах для систем ОГС. Разработаны библиотеки типовых программ расчета звуковых полей для систем ОГС. Созданные алгоритмы и средства позволяют сократить время создания прикладных программ для систем ОГС, а также сократить время переноса приложения на системы ОГС других архитектур и конфигураций. Разработанная библиотека программ расчета звуковых полей позволяет унифицировать процесс разработки прикладных программ и обеспечить снижение экономических затрат на сопровождение и модернизацию приложений для систем ОГС.

Теоретическое значение данной работы состоит в том, что она позволяет использовать средства специализированной вычислительной техники для количественного изучения вопросов о применимости в тех или иных случаях, например, геометрического или параболического и других приближенных методов в целях получения картины звуковых полей в морях, о действительной реализации таких явлений, как наличие каустических поверхностей, предсказываемых геометрической теорией, о применимости методики оценки полей с помощью конечного числа распространяющихся нормальных волн, об оценке проникновения поля в зону геометрической тени и т.д.

С практической точки зрения разработка подобной методики позволяет воспроизводить прямые модели полей в море с различными сложными гидрологическими условиями; причем, что весьма важно, разработанная методика позволяет, например, подходить единообразно к различным случаям и вопросам распространения звука в слоисто-неоднородной модели моря, не меняя каждый раз в зависимости от конкретных условий способы построения решения задач и методы вычислений. Кроме того, алгоритмы, разработанные в настоящей диссертации, позволяют производить вычисления полей в тех случаях, когда не применимы другие методы вычислений (геометрическое приближение, метод нормальных волн и др.).

Разработанный пакет моделирующих программ является частью специализированного программно-аппаратного комплекса. Разработка такого программно-аппаратного комплекса необходима для решения ряда принципиальных задач гидроакустики. Сюда относятся следующие задачи:

- расчет трехмерного звукового поля в океане с учетом переменного по трассе распределения скорости звука и профиля дна;

- эффективный расчет статистических характеристик звуковых полей в случайном океане;

- моделирование адаптивных алгоритмов пространственно-временной обработки для антенн различной конфигурации при различных помехо-сигнальных ситуациях;

- моделирование функционирования пассивных и пассивно-активных многопозиционных гидроакустических систем;

- обработка больших массивов экспериментальных данных для апробации различных вариантов алгоритмов обработки сигналов в пассивных и активно-пассивных гидроакустических системах.

В [91] эти исследования разделяются на следующие взаимосвязанные направления, совокупность которых можно рассматривать в качестве сценария проведения исследований:

- фундаментальные исследования закономерностей формирования и дальнего распространения низкочастотных акустических полей в реальном океане, прежде всего, в акваториях окраинных морей РФ. Исследования региональных особенностей и сезонной изменчивости гидрофизической структуры этих акваторий;

- исследования, направленные на создание современных средств гидроакустической метрологии и приемных информационно комплексов на их основе;

- разработка согласованных со средой методов и алгоритмов обработки сигналов, адаптивных к изменению сигнально - помеховой обстановки в условиях реального океана;

- исследования, направленные на создание эффективных методов акустического проектирования, необходимых для создания подводных лодок с низким уровнем шумоизлучения;

- поисковые исследования, направленные на разработку методов управления гидроакустическими полями рассеяния и создание акустического аналога «стелс» технологий для подводных аппаратов, включая подводные лодки следующих поколений.

Дальнейшее моделирование и исследование закономерностей дальнего распространения низкочастотного звука в океане и влияния на формирование акустического поля нестационарных и пространственно гидрофизических характеристик реального океана позволит говорить о возможности существенного развития прикладных работ в целях освоения конкретных акваторий, представляющих наибольшую важность. Способы создания программно аппаратной среды, предложенные в данной работе, можно использовать для синтеза и анализа специальных алгоритмов обработки сигналов со сложной пространственной структурой, обусловленной спецификой распространения низкочастотного звука в подводных звуковых каналах со случайными неоднородностями. Разработанные выше программы могут быть востребованы при проведении комплексных работ по освещению подводной обстановки с использованием многоэлементных излучающих и приемных антенных систем. Такие исследования могут найти применение и в гражданских отраслях, например, при решении задач геофизики, охраны морских сооружений, подводных трубопроводов и хранилищ и т.д. Применение разработанных алгоритмов и программ при выполнении вышеперечисленных работ позволит облегчить создание гидроакустических систем наблюдения нового поколения, как стационарных, так и расположенных на подвижных носителях, увеличить дальности обнаружения и точность локализации обнаруженных источников звука, сократить время разработки рабочих и тестовых программ изготавливаемых специализированных вычислителей для таких систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Алексеева, Елена Германовна, 2012 год

Список литературы.

1. Гладилин A.B., Баронкин В.М. Эффективность алгоритмов обнаружения, согласованных с передаточной функцией среды, в пассивном режиме. Труды ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова, 2008 г., вып.41, с. 171-183.

2. Гладилин A.B., Баронкин В.М. Эффективность алгоритмов обнаружения, согласованных с ковариационной матрицей помех, в пассивном режиме. Труды ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова, 2008 г., вып.41, с. 184-197.

3. Баронкин В.М., Гладилин A.B. Оценка параметров ковариационной матрицы структурной помехи. Труды ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова, 2008 г., вып.41, с. 198-204.

4. Баронкин В.М., Гладилин A.B. Оценка порогового отношения сигнал/помеха для алгоритмов трассового накопления. Труды ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова, 2008 г., вып.41, с. 205-218.

5. Баронкин В. М., Тютекин Ю. В. Обнаружитель акустического сигнала, обеспечивающий заданную ложную тревогу при наличии локальных помех. Сборник трудов XI сессии Российского акустического общества. Том.2.- М. ГЕОС, 2001, с.42-45.

6. Баронкин В. М., Тютекин Ю. В. Обнаружитель случайного акустического сигнала, обеспечивающий заданный уровень вероятности ложной тревоги при неизвестных параметрах акустической помехи. Сборник трудов X сессии Российского акустического общества. Том.2.- М.: ГЕОС, 2000, с.29-32.

7. Авилов К.В. Баронкин В.М. Вычислительная модель функционирования горизонтальной и вертикальной антенн в морской среде, неоднородной по глубине и трассе распространения. Доклады X научной школы-семинара академика Л. М. Бреховских "Акустика океана", совмещенной с XIV сессией Российского акустического общества. М.:ГЕОС.- 2004, с.23-27.

8. Баронкин В.М., Гладилин A.B. Анализ эффективности функционирования антенны в пассивном режиме при слабых сигналах. Сборник трудов XX сессии Российского акустического общества. Т.2.- М.: ГЕОС, 2008. с. 325-328.

9. Коротков H.A., Савицкий В.В., Тютекин Ю.В. Обнаружение и оценка параметров целей при обработке шумоподобных сигналов в низком звуковом диапазоне частот в ЦВК. Сборник трудов XX сессии Российского акустического общества. Т.2.- М.: ГЕОС, 2008, с. 42-46.

10. Алексеева Е.Г. Анализ алгоритмов статистической обработки данных для моделирования локализации источников звука. «Вопросы радиоэлектроники», сер. ЭВТ, 2010, вып. 2, с. 44-49.

11. Гончаров В.В.. Томография течений в океане с использованием линеаризованного метода согласованной невзаимности, Акустический ж., 2001, 47, 1, сс.37-43.

12. H. P. Bucker. Use of calculated sound fields and matched-field detection to locate sound sources in shallow water. J. Acoust. Soc. Am., 59, (1976) 368-373.

13. Fallat, M.R., Nielsen P.L., Siderius, M. Geoacoustic characterization of a range dependent ocean environment using towed array data. IEEE J.Ocean.Engineering, 30, pp. 198-206, 2005.

14. Алексеева Е.Г. К вопросу об использовании сигнальных процессоров для решения задач дифракции. «Вопросы радиоэлектроники», сер. ЭВТ, 2006, вып. 2, с. 35-43.

15. Алексеева Е.Г. К вопросу о расчете лучевой картины при распространении сигнала в сильно неоднородной среде. «Вопросы радиоэлектроники», сер. ЭВТ, 2007, вып. 3, с. 18-23.

16. Алексеева Е.Г. Решение задач минимизации отражений от защитных покрытий с использованием кластеров сигнальных процессоров. «Вопросы радиоэлектроники», сер. ЭВТ, 2008, вып. 4, с. 46-55.

17. Алексеева Е.Г. Моделирование распространения звукового сигнала в слоисто-неоднородной среде. «Вопросы радиоэлектроники», сер. ЭВТ, 2009, вып. 1, с. 74-86.

18. Бреховских JI. М. Излучение источника звука в воде, расположенного на небольшой глубине. Докл. АН СССР. Н. С. 1945. т. 47, № 6. с. 412-416.

19. Pekeris С. L. "Theory of propagation of explosive sound in shallow water," Geological Society of America, 1948, Memoir 27, Oct 15.

20. Газарян Ю.Л. О поле точечного излучателя в слое, лежащем на полупространстве, Акуст. ж., 1958, т. 1У, вып.З., с. 233-238.

21. Iwing W.M., JardetsKy W.S., and Press F.T. Elastic Waves in Layered Media. McGraw-Hill B.C. New-York, 1957.

22. Lesli C.B., Sorensen N.R. Integral Solution of the Shallow Water Sound Field JASA, 1961, v.33, issue 3, pp. 323-329.

23. Ф.Р. Ди Наполи, P.Л. Давенпорт. Численные модели подводного распространения звука. В сб. Акустика Океана, М., Мир, 1982.

24. Фукс Б.А., Шабат Б.В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. Москва, "Наука", 1964 г., 388 с.

25. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М., Наука, 1973.

26. М. В. Porter and Е. L. Reiss, "A Numerical Method for Ocean Acoustic Normal Modes," J. Acoust. Soc. of Am., 76(1): (1984) 244-252.

27. Hang A., Graves R.D., Uberall H. Normal mode theory of underwater sound propagation from stationary multipole source. J. Acoust. Soc. Amer., 1974, v.57, p.1052-1061.

28. McDaniel S.M. Coupled power equations for cylindrically spreading waves. J. Acoust. Soc. Amer., 1976, v.60, p. 1285-1289.

29. McDaniel S.M. Mode conversation in shallow water sound propagation. J. Acoust. Soc. Amer., 1977, v.62, p.320-325.

30. V. Cerveny, M.M. Popov and I. Psencik, "Computation of wave fields in inhomogeneous media Gaussian beam approach," Geophys. J. R. Astr. Soc. 70, 109128 (1982).

31. M.B. Porter and H.P. Bucker, "Gaussian beam tracing for computing ocean acoustic fields," J. Acoust. Soc. Am. 82, 1349-1359 (1987).

32. Кириаков B.X., Мальцев H.E. О вычислении звукового поля в слоистом океане методом суммирования гауссовых пучков. В кн.: X Всесоюзн. акуст. конференция. Доклады. Секция А. М., 1983, Апу-8, с.33-36.

33. Fredebeul, С., Kornmaier, D., Muller, М. W. Multiple order double output Runge-Kutta Fehlberg formulae: strategies for efficient application. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2002, vol. 144, no. 1-2, pp. 187-196.

34. Kinsler, Lawrence, Fry, Austin, Coppens, Alan, Sanders, James, Fundamentals of Acoustics, Third Edition, John Wiley and Sons, New York, NY, 1982.

35. V. Cerveny, "Ray tracing algorithms in three-dimensional laterally varying layered structures," in Seismic Tomography, edited by G. Nolet (Rei-del, Boston, MA, 1987).

36. W. H. Munk, "Sound channel in an exponentially stratified ocean with applications to SOFAR," J. Acoust. Soc. Am. 55, 220-226 (1974).

37. Модуль ADP101PCI v2.1, Руководство по эксплуатации. ЗАО «Инструментальные Системы» 2003.

38. Леонтович М.А., Фок В.А. "Решение задачи о дифракции электромагнитных волн вокруг Земли по методу параболического уравнения". ЖЭТФ, 1946, т. 16, N 7, сс. 557-573

39. Tappert, F. D., "The Parabolic Equation Approximation Method," Wave Propagation and Underwater Acoustics, edited by J. B. Keller and J. S. Papadakis, Vol. 70 of Lecture Notes in Physics, Springer-Verlag, Heildelburg, 1977.

40. M. D, Collins, "A split-step Pade solution for parabolic equation method," J, Acoust, Soc. Am. 93, 1736-1742 (1993).

41. М, В, Porter, F. В, Jensen, and С. M. Ferla, "'The problem of energy conservation in one-way models," J, Acoust. Soc, Am. 89, 1058—1067 (1991).

42. M. D. Collins, "A self-starter for the parabolic equation method," J. Acoust. Soc. Am. 92, 2069-2074 (1992),

43. Полянский Э.П. О связи между решениями уравнения Гельмгольца и типа Шредингера. Журн. выч. мат. и мат. физ., 1972, т. 12, №1, с.241-249.

44. Авилов К.В., Мальцев Н.Е. К вычислению звуковых полей в океане методом параболического уравнения. Акуст. журн., 1981, т.27, №3, с.335-340.

45. J. S Perkins and R. N. Baer, "An approximation to the three dimensional parabolic equation method for acoustic propagation," J. Acoust. Soc, Am. 72, 515-522 (1982).

46. Lee D., Botseas G., and Siegmann W. L., "Examination of Three-Dimensional Effects Using a Propagation Model with Azimuth-Coupling Capability (FOR3D)," J. Acoust. Soc. Am., 91, No. 6, 1992, pp. 3192-3202.

47. M.D. Collins, «An energy-conserving parabolic equation for elastic media», J. Acoust. Soc. Am. 94, 975-982 (1993).

48. Yao Zhang, Jonathan Cohen, John D. Owens, «Fast Tridiagonal Solvers on the GPU» in Proceedings of the 15th ACM SIGPLAN Symposium on Principles and Practice of Parallel Programming, January 9-14, 2010, pp 127—136

49. M.D. Collins, «Applications and time-domain solution of higher-order parabolic equation in underwater acoustics» J. Acoust. Soc. Am. 86, 1097-1102 (1989).

50. F.B. Jensen and C.M. Ferla, «Numerical solutions of range-dependent benchmark problems» J. Acoust. Soc. Am. 87, 1499-1510 (1990).

51. Съярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1981.

52. K.F. Graff. Wave Motion in Elastic Solids. Dover Publications, 1991.

53. Y.Y. Botros, J.L. Volakis, P. VanBaren, and E.S. Ebbini. A hybrid computational model for ultrasound phased-array heating in the presence of strongly scattering obstacles. IEEE Transactions on Biomedical Engineering, 44(11): 10391050, 1997.

54. I. Babuska and J.M. Melenk. The partition of unity method. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 40:727-758, 1997.

55. P. Ortiz and E. Sanchez. An improved partition of the unity finite element model for diffraction problems. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 50:2727-2740, 2001.

56. A. Bourdonnaye. High frequency approximations of integral equations modeling of scattering phenomena. Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 28:223-241, 1994.

57. E. Perrey-Debain, J. Trevelyan, and P. Bettess. Plane wave basis in integral equation for 3D scattering. Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation - Waves 2003, pages 292-297. Springer, 2003.

58. P. Monk and D. Wang. A least squares method for the Helmholtz equation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 175:121- 136, 1999.

59. C. Farhat, I. Harari, and U. Hetmaniuk. A discontinuous Galerkin method with Lagrange multipliers for the solution of Helmholtz problems in the midfrequency regime. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 192:1389-1419, 2003.

60. J.B. Keller. Progress and prospects in the theory of linear wave propagation. SIAM Review, 21(2):229-245, 1979.

61. K. Gerdes and F. Ihlenburg. On the pollution effect in FE solutions of the 3D-Helmholtz equation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 170:155-172, 1999.

62. 176. R.S. Schechter, H.H. Chaskelis, R.B Mignogna, and P.P. Delsanto. Realtime parallel computation and visualization of ultrasonic pulses in solids. Science, 265:1188-1192,1994.

63. G. Wojcik, B. Fornberg, R. Waag, L. Carcione, J. Mould, L. Nikodym, and T. Driscoll. Pseudospectral methods for large-scale bioacoustic models. IEEE Ultrasonics Symposium Proceeding, 2:1501-1506, 1997.

64. T.D. Mast, L.P. Souriau, D.L.D. Liu, M. Tabei, A.I. Nachman, and R.C. Waag. A k-space method for large-scale models of wave propagation in tissue. IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, 48(2):341-354, 2001.

65. I. Harari and T.J.R. Hughes. Galerkin least-squares finite element methods for the reduced wave equation with non-reflecting boundary conditions in unbounded domains. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 98:411-454, 1992.

66. A.D. Pierce. Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications. The Acoustical Society of America, 1981.

67. J. Berenger. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves. Journal of Computational Physics, 114:185-200, 1994.

68. I. Harari and E Turkel. Accurate finite difference methods for time-harmonic wave propagation. Journal of Computational Physics, 119:252-270, 1995.

69. K.R. Kelly, RW. Ward, S. Treitel and R.M. Alford. Synthetic seismograms: A finite-difference approach. Geophysics, 41:2-27, 1976.

70. G.C. Cohen. Higher-Order Numerical Methods for Transient Wave Equations. Springer-Verlag, 2002.

71. C.I. Goldstein. Numerical methods for Helmholtz type equations in unbounded region. Mathematical Methods and Applications of Scattering Theory, v. 130 of Lecture Notes in Physics, pp 26-33. Springer, 1980.

72. F. Ihlenburg. Finite Element Analysis of Acoustic Scattering. Springer, 1998.

73. D. Colton and R. Kress. Integral Equation Methods in Scattering Theory. Springer-Verlag, 1983.

74. D. Colton and R. Kress. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory. Springer-Verlag, 1992.

75. R. Kress. Linear Integral Equations. Springer-Verlag, 1989.

76. P.K. Kythe. An Introduction to Boundary Element Methods. CRC Press, 1995.

77. I. Harari and T.J.R. Hughes. A cost comparison of boundary element and finite element methods for problems of time-harmonic acoustics. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 97:77-102, 1992.

78. R. Coifman, V. Rokhlin and S. Wandzura. The fast multiple method for the wave equation: a pedestrian prescription. IEEE Antennas and Propagation Magazine, 35(3):7-12, 1993.

79. O.Z. Mehdizadeh and M. Paraschivoiu. Investigation of a two-dimensional spectral element method for Helmholtz's equation. Journal of Computational Physics, 189:111-129, 2003.

80. A.A. Oberai and P.M. Pinsky. A numerical comparison of finite element methods for the Helmholtz equation. Journal of the Computational Acoustics, 8(1):211-221, 2000.

81. I. Harari and S. Haham. Improved finite element methods for elastic waves. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 166:143-164, 1998.

82. C. Farhat, I. Harari and L. Franca. The discontinuous enrichment method. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 190:6455-6479, 2001.

83. O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, S. J. Sherwin and J. Peiro. On discontinuous Galerkin methods. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 58(8):1119-1148, 2003.

84. D. Komatitsch, J. Ritsema and J. Tromp. The spectral-element method, Beowulf computing, and global seismology. Science, 298:1737-1742, 2002.

85. E. Heikkola, Т. Rossi and J. Toivanen. A parallel fictitious domain method for the three-dimensional Helmholtz equation. SIAM Journal on Scientific Computing, 24(5):1567-1588, 2003.

86. Urick R.J., Principles of Underwater Sound, Second Edition, McGraw-Hill, New York, NY, 1975

87. Ziomek L.J, Fundamentals of Acoustic Field Theory and Space-Time Signal Processing, First Edition, CRC Press, Boca Raton, FL, 1995.

88. Контейнерная вычислительная платформа MK503. Технические предложения. ЗАО "НПФ Доломант", Ред. 1.0, Москва 2010

89. Е.Г.Алексеева Вычисление поперечной функции Грина для модели океанского волновода с использованием графических процессоров. «Вопросы радиоэлектроники», сер. ЭВТ, 2011, вып. 4, с. 82-88.

90. The OpenCL Specification. Version: 1.0. Document Revision: 48. Khronos OpenCL Working Group. Editor: Aaftab Munshi, 2009.

91. РАН. Прогноз научно-технологического развития Российской Федерации на долгосрочную перспективу (до 2030 г.). Приложение 1. 2008г.