Алгоритмы и комплексы программ для решения класса задач об оптимальном маршруте корабля на основе теории рисков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Заячковский, Антон Олегович

• Заячковский, Антон Олегович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Заячковский, Антон Олегович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Управление рисками как инструмент теории принятия решений

1.1 Элементы теории рисков

1.2 Класс задач управления рисками

1.3 Анализ состояния исследуемой проблемы

1.4 Методы оценки величины риска

Глава 2. Математические модели для решения класса задач об оптимальном маршруте корабля

2.1 Математическая постановка класса задач об оптимальном маршруте корабля в условиях риска

2.2 Решение класса задач оптимального управления на отыскание минимума функционала

2.3 Разрешимость исследуемого класса задач

Глава 3. Численные методы решения класса задач об оптимальном маршруте корабля

3.1 Итерационные методы решения и аппроксимация класса вариационных задач оптимального управления

3.2 Решение конечно-разностной аппроксимационной задачи

3.3 Сходимость итерационных методов

Глава 4. Разработка программного комплекса и проведение численных экспериментов

4.1 Программный комплекс по расчету оптимального маршрута корабля

4.2 Тестирование и оценка эффективности работы программ

4.3 Численные расчеты на океанографических данных

Глава 5. Предложения по использованию полученных результатов

5.1 Государственная регистрация программы

5.2 Сотрудничество с Малым инновационным предприятием «Общество с ограниченной ответственностью „Аквалог"»

5.3 Доступ к системе расчетов через интернет

5.4 Интеграция в систему принятия решений проекта MIMIC

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы и комплексы программ для решения класса задач об оптимальном маршруте корабля на основе теории рисков»

Введение

Настоящая работа посвящена разработке алгоритмов и программ для решения класса задач об оптимальном маршруте корабля на основе теории рисков.

Такой класс задач обусловлен следующими факторами: развитие новых технологий, увеличение объемов промышленного и сельскохозяйственного производства, расширение сети транспортных систем, в том числе морских транспортных систем, и систем передачи энергии и энергоносителей — и сопровождаются ростом техногенной нагрузки на биосферу. Следствием этого являются все чаще возникающие чрезвычайные ситуации, аварии и катастрофы, характеризующиеся значительными материальными, социальными и экологическими последствиями [1, 2]. При этом, как показали события последних десятилетий, реализуются считавшиеся ранее весьма маловероятными крупные аварии и катастрофы на различных объектах высокой технологии (примерами могут служить нефте- и газопроводы, атомные электростанции, химические комбинаты и т. д. [3, 4]). Стала очевидной необходимость в разработке новых подходов к обеспечению безопасности природной среды, в т. ч. на основе теории рисков. Именно поэтому в странах с развитой экономикой актуальной стала задача исследования рисков. Основная цель таких исследований — вырабатывать для лиц, ответственных за принятие решений, рекомендации по эффективным мерам управления рисками [5, 6]. В связи с этим появляется потребность в руководстве по принятию решений, которые упрощали бы этот процесс и придавали решениям большую надежность. Система оценки экологического риска призвана в первую очередь предоставить для лица, ответственного за принятие решений, критерии, руководящие им при выборе решения.

Актуальность темы исследования. Современное судовождение представляет собой сложный процесс управления судном, основной целью которого является обеспечение безопасного и экономичного движения. Он настолько тесно связан с гидрометеорологичским состоянием морской среды, что сегодня капитаны судов не могут обходиться без соответствующих рекомендаций береговых служб - «служб сопровождения», а своевременное предупреждение об опасных природных явлениях

на этих маршрутах стали насущной социальной потребностью. Оптимизация маршрута и условий плавания заключается в одновременном учете многих факторов, влияющих на скорость и сохранность судна, а также на обеспечение экологической безопасности окружающей среды. Прохождение заданного маршрута можно осуществить многими путями и отнюдь не самый короткий путь может оказаться оптимальным. Реализация курса движения должна предусматривать формирование пути следования, ведущего в пункт назначения за кратчайшее время и с учетом навигационных опасностей. Чтобы найти оптимальный из возможных маршрутов движения, необходимо решить задачи поиска наименьших значений специальных функционалов [7, 8, 9, 10], включающих функционалы стоимости отклонения корабля от предписанного маршрута, и составляющих, представляющих собой различного рода риски. Исследование и алгоритмы решения таких задач должны базироваться с одной стороны на методах оптимального управления, а с другой - на теории случайных функций и теории рисков [11].

На возможное изменение курса корабля влияет ряд факторов. Так в настоящее время актуальной стала проблема появления «зон возможных опасностей» для корабля, зон нападения на суда морских пиратов, появления фиксированного объекта по курсу, представляющего опасность для корабля и т. д. При следовании кораблем «предварительным оптимальным курсом» возможно также появления информации о циклоне с заданной его траекторией, информации о пересечении с курсом другого корабля и др. В связи с этим возникает проблема корректировки курса корабля, т. е. поиск нового оптимального маршрута, с целью уменьшения риска его пересечения с траекторией циклона или другого объекта, но одновременно минимизируя издержки, вызванные изменением курса корабля. Также актуальной является проблема уменьшения риска экологического загрязнения заданной акватории при следовании корабля выбранным курсом в силу возникновения опасности [3, 12].

Перечисленные выше задачи составляют класс задач о нахождении оптимального маршрута корабля в условиях различного рода рисков и решаются в настоящей работе.

Программный комплекс и алгоритмы, разработанные в настоящей работе, предназначены для количественной оценки и сравнения показателя риска для различных областей на основе математических моделей и методов, предназначенных для решения задач природоохранного направления на основе оптимизации маршрутов судов. Они могут быть использованы природоохранными органами в целях осуществления государственного экологического контроля и мониторинга, а также аудиторскими и страховыми компаниями.

Комплекс программ входит в состав Информационно-вычислительной системы (ИВС) вариационной ассимиляции данных наблюдений, разработанной в ИВМ РАН. Потребность в таких ИВС имеется во многих секторах экономики России, она обусловлена как рядом стратегических задач государства (вопросы национальной безопасности и т. д.), так и необходимостью развития национального научно-технического потенциала.

Основной целью диссертационной работы является разработка новых подходов, методов и технологий для минимизации рисков морских катастроф и оптимизации маршрутов морского транспорта в условиях различного рода рисков.

Научная новизна. Введен новый класс нелинейных задач - класс задач об оптимальном маршруте корабля в условиях риска: (а) стационарной угрозы при прохождении кораблем фиксированных зон, пересечение которых характеризуется определенной вероятной опасностью и возможным ущербом; (б) динамической угрозы при возможном пересечении маршрута корабля с траекторией другого объекта; (в) угрозы экологического загрязнения заданной акватории Мирового океана при движении корабля, как в природоохранной, так и в другой части бассейна.

Класс задач исследован на разрешимость (доказаны теоремы о разрешимости), найдены условия существования и единственности решения.

Разработаны итерационные методы численного решения с учетом особенностей поставленных задач, которые реализованы в виде программного комплекса, и доказана теорема о сходимости итерационного метода.

Теоретическая ценность работы заключается в построении новых математических моделей, описывающих маршрут корабля через функционал «стоимости», учитывающий как отклонение от предварительной оптимальной траектории, так и различного рода риски, а также в разработанных численных алгоритмах решения задач такого класса.

Практическая ценность состоит в реализации программного комплекса оперативного решения задач природоохранного направления. Программный комплекс доступен через интернет и может быть интересен различным организациям как в России, так и за рубежом (Центры морских прогнозов, структурные подразделения МЧС РФ и Минприроды РФ, топливно-энергетических комплексов, научно-исследовательские организации и учреждения).

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

1. Предложены новые математические модели для оптимизации маршрутов кораблей и оценки «стоимости» маршрутов в условиях различного рода рисков.

2. Исследован и численно решен класс задач об оптимальном маршруте корабля в условиях различного рода рисков.

3. Разработаны алгоритмы и комплекс программ с целью оперативного решения класса задач об оптимальном маршруте корабля в условиях различного рода рисков.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научных семинарах Института вычислительной математики РАН и на конференциях и семинарах: XVII международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2010» (Москва, 2010); Выездной семинар-школа «Состояние и перспективы мониторинга Мирового океана и морей России по данным дистанционного зондирования и результатам математического моделирования» (Таруса, 2010); Всероссийская конференция с элементами научной школы для молодежи «Проведение научных исследований в области информационно-телекоммуникаионных технологий» (Москва,

2010); Ежегодная научная конференция «Тихоновские чтения» (Москва, 2011, 2013); Международная научная конференция «Гидродинамическое моделирование Черного моря» (Севастополь, 2011); Двадцать вторая ежегодная выставка информационных технологий Softool (Москва, 2011); Научная конференция «Ломоносовские чтения» (Москва, 2011-2013); Российско-Украинская конференция «Южные моря как имитационная модель океана» (Севастополь, 2012); Международный семинар «Oil shipping safety and security: from risk assessment to smart response» (Таллин, 2012).

Публикации. Основные материалы диссертационной работы опубликованы в 11 печатных работах, среди которых 3 статьи (1 из них входит в перечень ВАК) и 8 в сборниках тезисов конференций. Также автор имеет «Свидетельство о регистрации на программу для электронных вычислительных машин (ЭВМ)», зарегистрированное в установленном порядке и приравниваемое к опубликованным работам из перечня ВАК.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают личный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами в работах [13, 14, 15]. Вклад соавторов равновелик. В совместных работах [16, 17, 18, 19, 20] автором были предложены численные методы решения поставленных задач, написаны программные комплексы и проведены численные эксперименты. Диссертационное исследование является самостоятельным законченным трудом автора.

Структура и объем диссертации. Работа содержит введение, пять глав, заключение, список литературы и список публикаций автора. Общий объем диссертации 108 страниц, включая 18 рисунков, 11 таблиц и список литературы из 72 наименований.

Содержание работы. В первой главе представлены элементы теории рисков, даны определения и понятия, описана ситуация риска и факторы (параметры), на нее влияющие. Особое внимание уделено статистически определенным переменным и искусственно рандомизованным нестахостическим переменным, описан подход,

используемый для измерения рисков; введен класс морских катастроф и описан класс задач управления рисками как основное направление в теории принятия решений- сфере приложения разработанных алгоритмов и комплексов программ; проведен анализ состояния исследуемой проблемы, представлены результаты поиска российских и зарубежных аналогов настоящей работы; описаны методы оценки величины риска: детерминистический, вероятностный и экспертный, изложена суть детерминистического «метода деревьев» для оценки величины риска при последовательном развитии негативных событий в ходе аварии, изложен вероятностный метод, даны оценки на объем данных, необходимых для задания параметров и характеристик распределений, и методы снижения объемов входных данных путем привлечения дополнительных данных.

Во второй главе описаны математические модели на основе класса вариационных задач об оптимальном маршруте корабля, введен функционал, показывающий величину затрат за отклонение от предварительного маршрута судна, введен функционал риска при стационарной угрозе с известными параметрами распределения, сформулирована задача на минимизацию функционала об оптимальном маршруте корабля в условиях риска прохождения фиксированных зон, пересечение которых характеризуется определенной вероятной опасностью и возможным ущербом. Аналогичные функционалы введены для остальных типов задач из рассматриваемого класса задач и сформулированы соответствующие задачи об оптимальном маршруте в условиях различного рода рисков. Также для каждой рассматриваемой задачи оптимального управления представлено необходимое условие экстремума, исследованы свойства каждого функционала и доказаны теоремы о разрешимости, установлены условия, при которых решение задачи существует и единственно.

В третьей главе представлены численные методы решения класса задач об оптимальном маршруте судна в условиях различного рода рисков. Для нелинейного уравнения предложены итерационные методы решения и аппроксимация класса вариационных задач оптимального управления: метод малых возмущений и метод на основе метода Ньютона решения нелинейных уравнений с учетом особенностей по-

ставленной задачи. Для решения уравнений на каждой итерации вводится сеточное пространство, строится решение конечно-разностной аппроксимационной задачи, для нахождения приближенного решения задачи решается соответствующая система линейных алгебраических уравнений, материал базируется на общей теории итерационных методов решения сеточных уравнений; сформулированы критерии устойчивости.

В четвертой главе описан программный комплекс расчета оптимального маршрута судна, алгоритмы, используемые в программе, модульная структура и проведены результаты тестирования и оценка эффективности работы программ для различных сценариев: стационарной угрозы, динамической угрозы с заданной траекторией и риска загрязнения заданной подобласти акватории загрязняющим веществом; представлена рабочая версия программного комплекса для применения в практических реалиях, когда за стационарную угрозу принимается риск нападения на судно морских пиратов с вероятным местом нападения, за динамическую угрозу принимается риск пересечения корабля с траекторией тропического циклона, при риске загрязнения заданной подобласти акватории исследованы прибрежные зоны акватории Балтийского моря.

В пятой главе описаны предложения по практическому использованию полученных результатов и внедрению разработок в научно-образовательный процесс и реальный сектор экономики: получено Свидетельство о государственной регистрации «Программы расчета задачи о минимизации риска загрязнения охраняемой акватории Балтийского моря»; предоставлен доступ к системе расчетов через интернет по средством удаленного веб-сервиса. Через удаленный доступ система нахождения оптимального маршрута корабля в условиях различного рода рисков планируется к внедрению в Систему принятия решений Международного проекта «Минимизация рисков транспортировки нефти на основе требований общей безопасности и безопасности стратегий» (проект MIMIC), а также в различные заинтересованные учреждения и организации (Центры морских прогнозов, структурные подразделения

МЧС РФ и Минприроды РФ, топливно-энергетических комплексов, научно-исследовательские организации и учреждения).

Заключение содержит основные результаты и выводы диссертации.

Глава 1. Управление рисками как инструмент теории принятия решений

В настоящей главе представлены элементы теории рисков, даны определения и понятия, описана ситуация риска и факторы (параметры), на нее влияющие. Особое внимание уделено статистически определенным переменным и искусственно рандомизованным нестахостическим переменным, описан подход, используемый для измерения рисков; введен класс морских катастроф и описан класс задач управления рисками как основное направление в теории принятия решений - сфере приложения разработанных алгоритмов и комплексов программ; проведен анализ состояния исследуемой проблемы, представлены результаты поиска российских и зарубежных аналогов настоящей работы; описаны методы оценки величины риска: детерминистический, вероятностный и экспертный, изложена суть детерминистического «метода деревьев» для оценки величины риска при последовательном развитии негативных событий в ходе аварии, изложен вероятностный метод, даны оценки на объем данных, необходимых для задания параметров и характеристик распределений, и методы снижения объемов входных данных путем привлечения дополнительных данных.

1.1 Элементы теории рисков

В разделе приведены общепринятые определения и классификация по теории рисков, используемые в работе в дальнейшем. Изложение этого раздела в целом следует [21].

Ситуация риска - это разновидность неопределенности, когда наступление событий вероятно и объективно существует возможность оценить их вероятность. Разница между риском и неопределенностью относится к способу задания информации и определяется наличием (в случае риска) или отсутствием (при неопределенности) вероятностных характеристик неконтролируемых переменных. Необходимо пояснить, что среди факторов (переменных), влияющих на результат деятельности рассматриваемого объекта, большая доля факторов не контролируется лица-

ми, принимающими решения, например, объективные законы природы и общественного развития, которые необходимо учитывать в любом случае, а при их знании - использовать для достижения поставленных целей и учитывать их возможное негативное влияние. Все эти факторы принято называть неконтролируемыми. Неконтролируемыми являются и другие факторы, например, погодные условия, действия сторонних лиц, относящиеся к условиям функционирования объекта.

С точки зрения информированности исследователя, неконтролируемые факторы часто рассматриваются еще и как неопределенные факторы. К неопределенным факторам относят переменные, о значениях которых в реальном процессе исследователь осведомлен не полностью. Причина неопределенности этих переменных (факторов) может быть различной. Обычно неопределенные переменные подразделяют на две группы: случайные переменные и неопределенные переменные нестохастической природы.

Если распределение случайной переменной (например, в виде функции распределения) известно, то в этом случае говорят, что переменная статистически определена. Случайные переменные с неизвестным распределением подразделяют на два вида: с известными параметрами (характеристиками) распределения и с неизвестными параметрами. При исследовании систем со случайными факторами широко используют вероятностно-статистические методы. Например, методами параметрического статистического оценивания можно определить параметры распределения случайных переменных на основе статистических испытаний (если таковые возможны). Непараметрическое оценивание позволяет установить распределения случайных переменных.

Неопределенные факторы нестохастической природы можно условно разделить на две группы: с известными и неизвестными функциями принадлежности (диапазонами изменения переменных). Функция принадлежности задает некоторое подмножество (подобласть) общей допустимой области изменения фактора, определяемой, например, физическим происхождением соответствующего фактора.

Очевидно, что подобласть, определяемая функцией принадлежности, в некотором смысле отражает степень неопределенности фактора: чем меньше эта подобласть, тем меньше степень неопределенности фактора. В пределе функция принадлежности, выделяющая всего одно значение фактора, переводит его в разряд определенных факторов. Наибольшей степенью неопределенности обладают факторы с неизвестными функциями принадлежности. Обычно к ним применяют процедуру экспертного оценивания диапазонов изменений их значений.

Для описания неопределенных факторов нестохастической природы используют аппарат теории нечетких множеств, субъективные вероятности. В последнем случае при анализе рисков применяют теорию вероятностей. Однако при введении субъективных вероятностей закон больших чисел может перестать действовать. Субъективные вероятности вводят обычно с помощью экспертного оценивания.

Некоторые неопределенности нестохастической природы иногда удается перевести в разряд случайных факторов с помощью рандомизации. Под рандомизацией понимают искусственное введение случайности в ситуацию, где она отсутствует. Например, при анализе угрозы оказаться в завалах разрушенного здания в результате землетрясения нахождение человека в здании в определенное время суток неслучайно. Однако исследователь может предположить, что момент начала землетрясения в пределах суток распределен с постоянной плотностью вероятности. Этим он рандомизировал положение объекта, т. е. ввел искусственно вероятностное распределение. Далее вероятность оказаться в завале можно оценить методами теории вероятностей и математической статистики.

Далее в диссертации все неопределенные факторы будут рассматриваться только либо как статистически определенные переменные, либо как искусственно рандомизованные нестахостические переменные.

Существующие риски разнообразны, их можно подразделить на множество групп, т. е. классифицировать по различным признакам: объекту и источнику воздействия, местоположению относительно объекта воздействия, механизму возникновения, степени влияния и др.

Более того, существуют различные определения риска, которые используются в различных теориях, дисциплинах и областях деятельности. В книге [22, с. 24-38] приводится сорок шесть определений и соответствующих им толкований риска, которые являются обобщающими или специальными: риск (в популярном толковании), риск (в человеческой деятельности), риск возникновения чрезвычайной ситуации и т. д.

Исторически для измерения риска использовался подход, основанный на измерении убытков в неблагоприятной ситуации. Простейшей мерой риска при таком подходе является пара: вероятность неблагоприятного события и последствия при его наступлении (ущерба). Оба показателя могут быть мультипликативным образом объединены в один:

Показатель риска

Ущерб = Частота События X

Время Время

х Средний ущерб

Ущерб События

(1)

что позволяет сравнивать ситуации с различными последствиями и вероятностями их наступления. Использовать вероятность потерь как количественную оценку риска впервые предложил французский математик А. Муавр в начале XVIII в.

В настоящей работе под рисками будет пониматься совокупность рисков, угрожающих безопасности (характеризуются малыми вероятностями, но тяжелыми последствиями) и рисков, угрожающих состоянию среды обитания (характеризуются большим количеством эффектов и наличием существенных неопределенностей как в самих эффектах, так и в их причинах). Под факторами риска далее следует понимать вероятность проявления экологически неблагоприятного события (процесса) и магнитуду экологического ущерба, связанного с этим событием (процессом), и выраженного в стоимостном измерении.

Итак, в настоящем разделе были даны некоторые определения и понятия теории рисков, описана ситуация риска и факторы (параметры), на нее влияющие, особое внимание уделено статистически определенным переменным и искусственно

рандомизованным нестахостическим переменным, описан подход, используемый для измерения рисков. В следующем разделе перейдем к постановке класса задач управления рисками и к рассмотрению проблемы принятия решений на основе рисков, потому что основное направление, где используется теория рисков, - это сфера принятия решений.

1.2 Класс задач управления рисками

Необходимость принимать решения, для которых не удается полностью учесть предопределяющие их условия, а также последующее их влияние (оба этих обстоятельства называются эффектом неопределенности), встречается во всех областях техники, экономики и социальных наук. Планирование - в самом широком смысле этого слова - всегда более или менее связано подобными факторами неопределенности. Тем не менее отказаться в такой ситуации от принятия решений большей частью бывает невозможно. Поэтому необходимо стремиться к оптимальному использованию имеющейся информации относительно поставленной задачи, чтобы, взвесив все возможные варианты решения, постараться найти среди них наилучший [23, 24].

Принимать решения приходится во всех областях человеческой деятельности. В интересующей нас области инженерной практики все чаще возникает потребность в принятии сложных решений, последствия которых бывают очень весомы. В связи с этим появляется потребность в руководстве по принятию решений, которые упрощали бы этот процесс и придавали решениям большую надежность.

Общий подход к решению практических задач, использующий теорию принятия решений, должен включать некоторые нововведения в самом процессе обработки информации. В то время как до сих пор ход принятия технического или экономического решения был у лица, ответственного за принятие этого самого решений, во многом произвольным, предлагаемая теория дает практику в руки критерии, руководящие им при выборе решения.

Прежде всего необходимо выделить класс «морских катастроф», для которых будут задаваться «риски». Опишем три типа «нежелательных событий» («морских катастроф»), возникающих при моделировании морских систем.

Первый тип описывает следующая ситуация - известной и актуальной стала проблема появления «зон возможных опасностей» для корабля, зон нападения на корабли морских пиратов, появления фиксированного объекта по маршруту корабля, представляющего опасность для корабля, и т. д. В таком типе задач рассматривается технический риск - т. к. возможно повреждение судна или его груза - и экономический (хозяйственный) - в связи с происшествием вероятна потеря ожидаемой выгоды для судоходной компании.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Заячковский, Антон Олегович, 2013 год

Список литературы

1. Абросимов Н.В. Агеев А.И., Будадин О.Н. и др. Безопасность России. Правовые, социально-экономические и научно-технические аспекты. Анализ риска и проблем безопасности. В 4-х частях. — М. : МГФ «Знание», 2006.

2. II Glenn W. Suter Ecological risk assessment / 2nd ed. — Taylor & Francis Group, LLC, 2006.

3. Григорьев А. А. Кондратьев К. Я. Природные и антропогенные экологические катастрофы: проблема риска // Известия Русского географического об-ва. — 1998. —Т. 130, 4, —С. 1-9.

4. Житевин В.Б. Биосферные риски. — М. : ИПР, 2008.

5. Мушик Э. Мюллер П. Методы принятия технических решений. — М. : Мир,

1990.

6. Dankel D.J. Aps R., Padda G., Röckmann С., van der Sluijs J.P., Wilson D.C., Degnbol P. Advice under uncertainty in the marine system // ICES Journal of Marine Science. — 2012. — Т. 1, 69. — C. 3-7.

7. Агошков В. И. Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений в задаче об оптимальных траекториях // Вычислительна математика и математическое моделирование: труды международной конференции / под ред. В. П. Дымникова.. — 2000. —Т. I. —С. 36-53.

8. Агошков В. И. Дубовский П. Б., Шутяев В. П. Методы решения задач математической физики. — М. : ИВМ РАН, 2001.

9. Агошков В. И. Методы оптимального управления и сопряженных уравнений в задачах математической физики. — М. : ИВМ РАН, 2003.

10. Агошков В.И. Владимиров B.C., Волович И.В., Дымников В.П., Шутяев В.П. Метод сопряженных уравнений и анализ сложных систем // Вычислительная математика. — 2005. — Т. I. — С. 253-342.

11. Fowler A.C. Mathematical Models in the Applied Sciences. — USA : Cambridge University Press, 1997.

12. Балацкий О. Ф. Экономика и качество окружающей природной среды. — Л. : Гидрометеоиздат, 1984. — 190 с.

13. Агошков В. И. Гиниатуллин С. В., Гусев А. В., Залесный В. Б., Захарова Н. Б., Заячковский А. О., Лебедев С. А., Пармузин Е. И., Шутяев В. П. // Теоретические основы разработки Специализированных информационно-вычислительных систем вариационной ассимиляции данных наблюдений. — М. : Сборник тезисов Всероссийской конференции с элементами научной школы для молодежи «Проведение научных исследований в области информационно-телекоммуникаионных технологий», 2010. — С. 121-122.

14. Заячковский А. О. Агошков В. И., Гиниатуллин С. В., Захарова Н. Б., Пармузин Е. И., Семененко А. Ю. Специализированная информационно-вычислительная система вариационной ассимиляции данных наблюдений в моделях гидротермодинамики океанов и море. — М. : Сборник тезисов Всероссийской конференции с элементами научной школы для молодежи «Проведение научных исследований в области информационно-телекоммуникаионных технологий», 2010. —С. 123-124.

15. Агошков В. И. Ассовский М. В., Гиниатулин С. В., Гусев А. В., Захарова Н. Б., Заячковский А. О., Лебедев С. А., Пармузин Е. И. Специализированная Информационно-вычислительная система вариационной ассимиляции данных наблюдений в моделях гидротермодинамики океанов и морей. — М. : Сборник тезисов Всероссийской конференции с элементами научной школы для молодежи «Проведение научных исследований в области информационно-телекоммуникаионных технологий», 2011. — С. 16-17.

16. Заячковский А. О. Агошков В. И. Исследование и алгоритмы решения класса задач об оптимальном курсе корабля на основе теории рисков // Тезисы докладов научной конференции «Ломоносовские чтения-2011». — М. : Издательский отдел факультета ВМиК МГУ имени М. В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2011. —С. 45-46.

17. Агошков В. И. Заячковский А. О. Исследование и алгоритм решения одной нелинейной задачи теории рисков // Экологическая безопасность прибрежной и

шельфовой зон и комплексное использование ресурсов шельфа. — Севастополь: МГИ НАНУ, 2012. — Т. 2, 26. — С. 339-351.

18. Агошков В. И. Заячковский А. О. Исследование и алгоритмы решения задачи об оптимальном курсе корабля на основе теории рисков при дистанционном зондировании опасностей // Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из космоса. — 2012. — Т. 9, №3. — С. 9-17.

19. Агошков В. И. Заячковский А. О. Расчет оптимального маршрута судна, минимизирующего риск пересечения с траекторией другого объекта // Тезисы докладов научной конференции «Ломоносовские чтения-2013». — М. : Издательский отдел Факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2013. — С. 4243.

20. Агошков В. И. Заячковский А. О. Расчет оптимального маршрута судна в условиях риска экологического загрязнения // Тезисы докладов научной конференции «Тихоновские чтения-2013». — М. : Издательский отдел Факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2013. — С. 66-67.

21. Вишняков Я. Д. Радаев Н. Н. Общая теория рисков. — М. : Издательский центр «Академия», 2008.

22. Хохлов Н. В. Управление риском. — М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2001. — 239 с.

23. Menzie С.A. Freshman J.S. An assessment of the risk assessment paradigm for ecological risk assessment // Hum. Ecol. Risk Assess. — 1997. — 3. — C. 853-892.

24. Leveson N.G. Engineering a Safer World. Systems thinking applied to safety. Engineering Systems. — USA : The MIT Press, 2011. — 555 c.

25. Hall C.A.S. Day J.W. Jr. Ecosystem Modeling in Theory and Practice. — New York : John Wiley, 1977.

26. Ott W.R. Environmental Indices—Theory and Practice. — Ann Arbor Science Publishers, 1978.—Т. I.

27. Абузяров 3. К. Сиротов К. М. Рекомендуемые курсы плавания судов в океана. — Л. : Гидрометиздат, 1970. — 92 с.

28. Руководство по расчету наивыгоднейщих путей плавания судов на морях и океанах / под ред. Васильева К. П.. — J1. : Гидрометеоиздат, 1976.

29. Моделирование морских систем. — JI. : Гидрометеоиздат, 1978.

30. Боголюбов С. А. Сенчени И. С., Соловьева С. В. Возмещение экологического ущерба. — М. : Наука, 2001.

31. Голуб A.A. Струкова Е.Б. Экономика природопользования. — М. : Аспект-пресс, 1995. — 188 с.

32. Ильичева М. В. Методы оценки экономического ущерба от негативного влияния загрязненной среды // Известия Челябинского научного центра. — 2005. — Т. 29, 3.

33. Дымников В.П. Филатов А.Н. Основы математической теории климата. — М. : ВИНИТИ, 1994.

34. Абузяров 3. К. Шамраев Ю. И. Морские гидрологические информации и прогнозы. — JI. : Гидрометиздат, 1974.

35. Ваганов П. А. Им М.-С. Экологические риски. — СПб. : СПбГУ, 2001.

36. Письменный Т. Д. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. — M : Айрис-пресс, 2010. — 288 с.

37. Лебедев С. А. Модельные расчеты фоновых значений антропогенного загрязнения нефтепродуктами и ассимиляционной емкости Черного моря (с исользованием данных дистанционного зондирования). — М. : Инженерная экология, 2008.

38. Вайнберг M. М. Функциональный анализ. — М. : Просвещение, 1979. —

128 с.

39. Вайнберг M. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. — М. : Наука, 1972. — 417 с.

40. Марчук Г. И. Дымников В. П., Залесный В. Б. Математические модели в геофизической гидродинамике и численные методы их реализации. — СПб : Гидрометеоиздат, 1987.

41. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. — М. : Наука, 1989. —

143 с.

42. Марчук Г. И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. — М. : Наука, 1992.

43. Марчук Г. И. Шайдуров В. В. Повышение точности решения разностных схем. — М. : Наука, 1979. — 320 с.

44. Бахвалов Н. С. Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М. : БИНОМ. Лаб. знаний, 2003. — 632 с.

45. Самарский А. А. Вабищев П. Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. — М. : Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.

46. Заячковский А. О. Математическое моделирование экологических рисков загрязнения вод океанов и морей // Сборник тезисов лучших дипломных работ 2010 года. — М. : Издательский отдел Факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2010. — С. 22-23.

47. Заячковский А. О. Моделирование экологических рисков загрязнения поверхностных вод океанов и морей на основе теории сопряженных уравнений // Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ. — М. : Издательский отдел Факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2010. — 7. — С. 91-98.

48. Заячковский А. О. Экологические риски и выбор оптимального маршрута судна // Тезисы докладов научной конференции «Тихоновские чтения-2011». — М. : Издательский отдел факультета ВМиК МГУ имени М. В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2011. —С. 39-40.

49. Алексеев В.В. Крышев И.И., Сазыкина Т.Р. Физическое и математическое моделирование экосистем. — СПб : Гидрометеоиздат, 1972.

50. Герман М. А. Спутниковая метеорология. — СПб. : Гидрометеоиздат,

1975.

51. Костяной А. Г. Лебедев С. А., Соловьев Д. М., Пучужкина О. О. Спутниковый мониторинг юго-восточной части Балтийского моря / Отчет Лукойла. — М., 2004.

52. Гусев А. В. Дианский Н. А., Залесный В. Б. Описание и руководство по использованию сигма-модели общей циркуляции океана ИВМ РАН. — 2008.

53. Хубларян М.Г. Зырянов В.Н. О моделировании взаимосвязи водных потоков // Водные ресурсы. — М., 2006. — Т. 33, № 5. — С. 543-554.

54. Лукин A.A. Нестеров Е.С. Траектории циклонов и опасное ветровое волнение в Северной Атлантике // Труды Государственного океанографического института. — 2011. — 213. — С. 224-233.

55. Лепихин А. М. Москвичев В. В., Нечипорчук В. В., Симонов К. В. Концепция оценки экологического риска на примере Красноярского края // Проблемы безопасности и чрезвычайных ситуаций. — М. : Всероссийский институт научной и технической информации РАН, 2010. — № 1. — С. 31-42.

56. Дмитриев Е. В. Экстраполяция и интерполяция процессов на основе использования их естественных спектров // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. — 2009. — № 2. — С. 38-42.

57. Перов В. Л. Расчет коэффициентов турбулентного перемешивания на основе спектрального алгоритма и его использование в модели COSMO-RU // Труды Гидрометеорологического научно-исследовательского центра Российской Федерации. — 2012. — 347. — С. 81-94.

58. Васильев К. П. Сиротов К. М. Руководство по расчету наивыгоднейших путей плавания судов на морях и океанах. — Л. : Гидрометеоиздат, 1976. — 159 с.

59. Временная методика определения предотвращенного экологического ущерба. Утверждена Председателем Гсокомэкологии В.И. Даниловым-Дальяном 09.03.99.

60. Марчук Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. —М. : Наука, 1982.

61. Самарский А. А. Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. — М. : Едито-риал УРСС, 2005.

62. Пененко В. В. Алоян А. Е. Модели и методы для задач охраны окружающей среды. —Новосибирск : Наука. Сиб. Отд-ние, 1985.

63. Пененко В. В. Цветова Е. А. Математические модели для изучения рисков загрязнения природной среды // ПМТФ. — 2004. — Т. 45, 2. — С. 136-146.

64. Практическое кораблевождение для командиров кораблей, штурманов и вахтенных офицеров / под ред. адм. А. П. Михаловского. — J1. : Минобороны СССР, 1989.

65. Коротаев Г.К. Еремеев В.Н. Введение в оперативную океанографию Черного моря. — Севастополь : НПЦ ЭКОСИ-Гидрофизика, 2006. — 382 с.

66. Доценко С.Ф. Иванов В.А. Природные катастрофы Азово-Черноморского региона. — Севастополь : НПЦ «ЭКОСИ-ГИДРОФИЗИКА», 2010.

67. Nirmalakhandan N. Modeling Tools for Environmental Engineers and Scientists. — Boca Raton, FL : CRC Press, 2002.

68. Montewka J., Goerlandt F., Kujala P. Determination of collision criteria and causatio factors appropriate to a model for estimating the probability of maritime accidents // Ocean Eng. 2012. 40, pp. 50-61.

69. Lepparanta M., Rytkonen J., Knuuttila S. Maritime risk and safety // Rintala, Janne-Markus, Myrberg, Kai (eds.). The Gulf of Finland : Finnish-Russian-Estonian cooperation to protect the marine environment. History and prospects for the future. Helsinki, Ministry of the Environment of Finland, pp. 31-32.

70. Leveson, N.G. A New Accident Model for Engineering Safer Systems. Safety Science (2004), 42, No.4, 237-270.

ll.Sonninen, S., Nuutinen, M., Rosqvist, T. Development process of the Gulf of Finland Mandatory Ship Reporting System. Reflections on the Methods. VTT Publications (2006), 614, 120 p.

72. MONALISA. Dynamic & proactive routes or "green-routes". EU TEN-TProject No: 2010-EU-21109-S, Motorways & electronic navigation by intelligence at sea (2012), http://www.sj ofartsverket.se/en/MonaLisa/.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный

университет имени М.В.Ломоносова»

На правах рукописи

04201 451 991

УДК 519.6

Заячковский Антон Олегович

Алгоритмы и комплексы программ для решения класса задач об оптимальном маршруте корабля на основе теории рисков

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: Д. ф.-м. н., профессор Агошков В. И.

Москва 2013 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение...............................................................................................................................4

Глава 1. Управление рисками как инструмент теории принятия решений.......12

1.1 Элементы теории рисков......................................................................................12

1.2 Класс задач управления рисками.........................................................................16

1.3 Анализ состояния исследуемой проблемы.........................................................19

1.4 Методы оценки величины риска..........................................................................23

Глава 2. Математические модели для решения класса задач об оптимальном маршруте корабля...........................................................................................................37

2.1 Математическая постановка класса задач об оптимальном маршруте корабля в условиях риска.............................................................................................................38

2.2 Решение класса задач оптимального управления на отыскание минимума функционала....................................................................................................................48

2.3 Разрешимость исследуемого класса задач..........................................................50

Глава 3. Численные методы решения класса задач об оптимальном маршруте корабля .............................................................................................................................61

3.1 Итерационные методы решения и аппроксимация класса вариационных задач оптимального управления.............................................................................................62

3.2 Решение конечно-разностной аппроксимационной задачи..............................65

3.3 Сходимость итерационных методов....................................................................69

Глава 4. Разработка программного комплекса и проведение численных экспериментов..................................................................................................................72

4.1 Программный комплекс по расчету оптимального маршрута корабля...........72

4.2 Тестирование и оценка эффективности работы программ...............................73

4.3 Численные расчеты на океанографических данных..........................................81

Глава 5. Предложения по использованию полученных результатов...................93

5.1 Государственная регистрация программы..........................................................93

5.2 Сотрудничество с Малым инновационным предприятием «Общество с ограниченной ответственностью „Аквалог"».............................................................95

5.3 Доступ к системе расчетов через интернет.........................................................97

5.4 Интеграция в систему принятия решений проекта MIMIC..............................99

Заключение.....................................................................................................................101

Список литературы.......................................................................................................102

Введение

Настоящая работа посвящена разработке алгоритмов и программ для решения класса задач об оптимальном маршруте корабля на основе теории рисков.

Такой класс задач обусловлен следующими факторами: развитие новых технологий, увеличение объемов промышленного и сельскохозяйственного производства, расширение сети транспортных систем, в том числе морских транспортных систем, и систем передачи энергии и энергоносителей — и сопровождаются ростом техногенной нагрузки на биосферу. Следствием этого являются все чаще возникающие чрезвычайные ситуации, аварии и катастрофы, характеризующиеся значительными материальными, социальными и экологическими последствиями [1, 2]. При этом, как показали события последних десятилетий, реализуются считавшиеся ранее весьма маловероятными крупные аварии и катастрофы на различных объектах высокой технологии (примерами могут служить нефте- и газопроводы, атомные электростанции, химические комбинаты и т. д. [3, 4]). Стала очевидной необходимость в разработке новых подходов к обеспечению безопасности природной среды, в т. ч. на основе теории рисков. Именно поэтому в странах с развитой экономикой актуальной стала задача исследования рисков. Основная цель таких исследований — вырабатывать для лиц, ответственных за принятие решений, рекомендации по эффективным мерам управления рисками [5, 6]. В связи с этим появляется потребность в руководстве по принятию решений, которые упрощали бы этот процесс и придавали решениям большую надежность. Система оценки экологического риска призвана в первую очередь предоставить для лица, ответственного за принятие решений, критерии, руководящие им при выборе решения.

Актуальность темы исследования. Современное судовождение представляет собой сложный процесс управления судном, основной целью которого является обеспечение безопасного и экономичного движения. Он настолько тесно связан с гидрометеорологичским состоянием морской среды, что сегодня капитаны судов не могут обходиться без соответствующих рекомендаций береговых служб - «служб сопровождения», а своевременное предупреждение об опасных природных явлениях

на этих маршрутах стали насущной социальной потребностью. Оптимизация маршрута и условий плавания заключается в одновременном учете многих факторов, влияющих на скорость и сохранность судна, а также на обеспечение экологической безопасности окружающей среды. Прохождение заданного маршрута можно осуществить многими путями и отнюдь не самый короткий путь может оказаться оптимальным. Реализация курса движения должна предусматривать формирование пути следования, ведущего в пункт назначения за кратчайшее время и с учетом навигационных опасностей. Чтобы найти оптимальный из возможных маршрутов движения, необходимо решить задачи поиска наименьших значений специальных функционалов [7, 8, 9, 10], включающих функционалы стоимости отклонения корабля от предписанного маршрута, и составляющих, представляющих собой различного рода риски. Исследование и алгоритмы решения таких задач должны базироваться с одной стороны на методах оптимального управления, а с другой - на теории случайных функций и теории рисков [11].

На возможное изменение курса корабля влияет ряд факторов. Так в настоящее время актуальной стала проблема появления «зон возможных опасностей» для корабля, зон нападения на суда морских пиратов, появления фиксированного объекта по курсу, представляющего опасность для корабля и т. д. При следовании кораблем «предварительным оптимальным курсом» возможно также появления информации о циклоне с заданной его траекторией, информации о пересечении с курсом другого корабля и др. В связи с этим возникает проблема корректировки курса корабля, т. е. поиск нового оптимального маршрута, с целью уменьшения риска его пересечения с траекторией циклона или другого объекта, но одновременно минимизируя издержки, вызванные изменением курса корабля. Также актуальной является проблема уменьшения риска экологического загрязнения заданной акватории при следовании корабля выбранным курсом в силу возникновения опасности [3, 12].

Перечисленные выше задачи составляют класс задач о нахождении оптимального маршрута корабля в условиях различного рода рисков и решаются в настоящей работе.

Программный комплекс и алгоритмы, разработанные в настоящей работе, предназначены для количественной оценки и сравнения показателя риска для различных областей на основе математических моделей и методов, предназначенных для решения задач природоохранного направления на основе оптимизации маршрутов судов. Они могут быть использованы природоохранными органами в целях осуществления государственного экологического контроля и мониторинга, а также аудиторскими и страховыми компаниями.

Комплекс программ входит в состав Информационно-вычислительной системы (ИВС) вариационной ассимиляции данных наблюдений, разработанной в ИВМ РАН. Потребность в таких ИВС имеется во многих секторах экономики России, она обусловлена как рядом стратегических задач государства (вопросы национальной безопасности и т. д.), так и необходимостью развития национального научно-технического потенциала.

Основной целью диссертационной работы является разработка новых подходов, методов и технологий для минимизации рисков морских катастроф и оптимизации маршрутов морского транспорта в условиях различного рода рисков.

Научная новизна. Введен новый класс нелинейных задач - класс задач об оптимальном маршруте корабля в условиях риска: (а) стационарной угрозы при прохождении кораблем фиксированных зон, пересечение которых характеризуется определенной вероятной опасностью и возможным ущербом; (б) динамической угрозы при возможном пересечении маршрута корабля с траекторией другого объекта; (в) угрозы экологического загрязнения заданной акватории Мирового океана при движении корабля, как в природоохранной, так и в другой части бассейна.

Класс задач исследован на разрешимость (доказаны теоремы о разрешимости), найдены условия существования и единственности решения.

Разработаны итерационные методы численного решения с учетом особенностей поставленных задач, которые реализованы в виде программного комплекса, и доказана теорема о сходимости итерационного метода.

Теоретическая ценность работы заключается в построении новых математических моделей, описывающих маршрут корабля через функционал «стоимости», учитывающий как отклонение от предварительной оптимальной траектории, так и различного рода риски, а также в разработанных численных алгоритмах решения задач такого класса.

Практическая ценность состоит в реализации программного комплекса оперативного решения задач природоохранного направления. Программный комплекс доступен через интернет и может быть интересен различным организациям как в России, так и за рубежом (Центры морских прогнозов, структурные подразделения МЧС РФ и Минприроды РФ, топливно-энергетических комплексов, научно-исследовательские организации и учреждения).

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

1. Предложены новые математические модели для оптимизации маршрутов кораблей и оценки «стоимости» маршрутов в условиях различного рода рисков.

2. Исследован и численно решен класс задач об оптимальном маршруте корабля в условиях различного рода рисков.

3. Разработаны алгоритмы и комплекс программ с целью оперативного решения класса задач об оптимальном маршруте корабля в условиях различного рода рисков.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научных семинарах Института вычислительной математики РАН и на конференциях и семинарах: XVII международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2010» (Москва, 2010); Выездной семинар-школа «Состояние и перспективы мониторинга Мирового океана и морей России по данным дистанционного зондирования и результатам математического моделирования» (Таруса, 2010); Всероссийская конференция с элементами научной школы для молодежи «Проведение научных исследований в области информационно-телекоммуникаионных технологий» (Москва,

2010); Ежегодная научная конференция «Тихоновские чтения» (Москва, 2011, 2013); Международная научная конференция «Гидродинамическое моделирование Черного моря» (Севастополь, 2011); Двадцать вторая ежегодная выставка информационных технологий Softool (Москва, 2011); Научная конференция «Ломоносовские чтения» (Москва, 2011-2013); Российско-Украинская конференция «Южные моря как имитационная модель океана» (Севастополь, 2012); Международный семинар «Oil shipping safety and security: from risk assessment to smart response» (Таллин, 2012).

Публикации. Основные материалы диссертационной работы опубликованы в 11 печатных работах, среди которых 3 статьи (1 из них входит в перечень ВАК) и 8 в сборниках тезисов конференций. Также автор имеет «Свидетельство о регистрации на программу для электронных вычислительных машин (ЭВМ)», зарегистрированное в установленном порядке и приравниваемое к опубликованным работам из перечня ВАК.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают личный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами в работах [13, 14, 15]. Вклад соавторов равновелик. В совместных работах [16, 17, 18, 19, 20] автором были предложены численные методы решения поставленных задач, написаны программные комплексы и проведены численные эксперименты. Диссертационное исследование является самостоятельным законченным трудом автора.

Структура и объем диссертации. Работа содержит введение, пять глав, заключение, список литературы и список публикаций автора. Общий объем диссертации 108 страниц, включая 18 рисунков, 11 таблиц и список литературы из 72 наименований.

Содержание работы. В первой главе представлены элементы теории рисков, даны определения и понятия, описана ситуация риска и факторы (параметры), на нее влияющие. Особое внимание уделено статистически определенным переменным и искусственно рандомизованным нестахостическим переменным, описан подход,

используемый для измерения рисков; введен класс морских катастроф и описан класс задач управления рисками как основное направление в теории принятия решений- сфере приложения разработанных алгоритмов и комплексов программ; проведен анализ состояния исследуемой проблемы, представлены результаты поиска российских и зарубежных аналогов настоящей работы; описаны методы оценки величины риска: детерминистический, вероятностный и экспертный, изложена суть детерминистического «метода деревьев» для оценки величины риска при последовательном развитии негативных событий в ходе аварии, изложен вероятностный метод, даны оценки на объем данных, необходимых для задания параметров и характеристик распределений, и методы снижения объемов входных данных путем привлечения дополнительных данных.

Во второй главе описаны математические модели на основе класса вариационных задач об оптимальном маршруте корабля, введен функционал, показывающий величину затрат за отклонение от предварительного маршрута судна, введен функционал риска при стационарной угрозе с известными параметрами распределения, сформулирована задача на минимизацию функционала об оптимальном маршруте корабля в условиях риска прохождения фиксированных зон, пересечение которых характеризуется определенной вероятной опасностью и возможным ущербом. Аналогичные функционалы введены для остальных типов задач из рассматриваемого класса задач и сформулированы соответствующие задачи об оптимальном маршруте в условиях различного рода рисков. Также для каждой рассматриваемой задачи оптимального управления представлено необходимое условие экстремума, исследованы свойства каждого функционала и доказаны теоремы о разрешимости, установлены условия, при которых решение задачи существует и единственно.

В третьей главе представлены численные методы решения класса задач об оптимальном маршруте судна в условиях различного рода рисков. Для нелинейного уравнения предложены итерационные методы решения и аппроксимация класса вариационных задач оптимального управления: метод малых возмущений и метод на основе метода Ньютона решения нелинейных уравнений с учетом особенностей по-

ставленной задачи. Для решения уравнений на каждой итерации вводится сеточное пространство, строится решение конечно-разностной аппроксимационной задачи, для нахождения приближенного решения задачи решается соответствующая система линейных алгебраических уравнений, материал базируется на общей теории итерационных методов решения сеточных уравнений; сформулированы критерии устойчивости.

В четвертой главе описан программный комплекс расчета оптимального маршрута судна, алгоритмы, используемые в программе, модульная структура и проведены результаты тестирования и оценка эффективности работы программ для различных сценариев: стационарной угрозы, динамической угрозы с заданной траекторией и риска загрязнения заданной подобласти акватории загрязняющим веществом; представлена рабочая версия программного комплекса для применения в практических реалиях, когда за стационарную угрозу принимается риск нападения на судно морских пиратов с вероятным местом нападения, за динамическую угрозу принимается риск пересечения корабля с траекторией тропического циклона, при риске загрязнения заданной подобласти акватории исследованы прибрежные зоны акватории Балтийского моря.

В пятой главе описаны предложения по практическому использованию полученных результатов и внедрению разработок в научно-образовательный процесс и реальный сектор экономики: получено Свидетельство о государственной регистрации «Программы расчета задачи о минимизации риска загрязнения охраняемой акватории Балтийского моря»; предоставлен доступ к системе расчетов через интернет по средством удаленного веб-сервиса. Через удаленный доступ система нахождения оптимального маршрута корабля в условиях различного рода рисков планируется к внедрению в Систему принятия решений Международного проекта «Минимизация рисков транспортировки нефти на основе требований общей безопасности и безопасности стратегий» (проект MIMIC), а также в различные заинтересованные учреждения и организации (Центры морских прогнозов, структурные подразделения

МЧС РФ и Минприроды РФ, топливно-энергетических комплексов, научно-исследовательские организации и учреждения).

Заключение содержит основные результаты и выводы диссертации.

Глава 1. Управление рисками как инструмент теории принятия решений

В настоящей главе представлены элементы теории рисков, даны определения и понятия, описана ситуация риска и факторы (параметры), на нее влияющие. Особое внимание уделено статистически определенным переменным и искусственно рандомизованным нестахостическим переменным, описан подход, используемый для измерения рисков; введен класс морских катастроф и описан класс задач управления рисками как основное направление в теории принятия решений - сфере приложения разработанных алгоритмов и комплексов программ; проведен анализ состояния исследуемой проблемы, представлены результаты поиска российских и зарубежных аналогов настоящей работы; описаны методы оценки величины риска: детерминистический, вероятностный и экспертный, изложена суть детерминистического «метода деревьев» для оценки величины риска при последовательном развитии негативных событий в ходе аварии, изложен вероятностный метод, даны оценки на объем данных, необходимых для задания параметров и характеристик распределений, и методы снижения объемов входных данных путем привлечения дополнительных данных.

1.1 Элементы теории рисков

В разделе приведены общепринятые определения и классификация по теории рисков, используемые в работе в дальнейшем. Изложение этого раздела в целом следует [21].

Ситуация риска - это разновидность неопределенности, когда наступление событий вероятно и объективно существует возможность оценить их вероятность. Разница между риском и неопределенностью относится к способу задания информации и определяется наличием (в случае риска) или отсутствием (при неопределенности) вероятностных характеристик неконтролируемых переменных. Необходимо пояснить, что среди факторов (переменных), влияющих на результат деятельности рассматриваемого объекта, большая доля факторов не контролируется лица-

ми, принимающими решения, например, объективные законы природы и общественного развития, которые необходимо учитывать в любом случае, а при их знании - использовать для достижения поставленных целей и учитывать их возможное негативное влияние. Все эти факторы принято называть неконтролируемыми. Неконтролируемыми являются и другие факторы, например, погодные условия, действия сторонних лиц, относящиеся к условиям функционирования объекта.

С точки зрения информированности исследователя, неконтролируемые факторы часто рассматриваются еще и как неопределенные факторы. К неопределенным факторам относят переменные, о значениях которых в реальном процессе исследователь осведомлен не полностью. Причина неопределенности этих переменных (факторов) может быть различной. Обычно неопределенные переменные подразделяют на две группы: случайные переменные и неопределенные переменные нестохастической природы.

Если распределение случайной переменной (например, в виде функции распределения) известно, то в этом случае говорят, что переменная статистически определена. Случайные переменные с неизвестным распределением подразделяют на два вида: с известными параметрами (характеристиками) распределения и с неизвестными параметрами. При исследовании систем со случайными факторами широко используют вероятностно-статистические методы. Например, методами параметрического статистического оценивания можно определить параметры распределения случайных переменных на основе статистических испытаний (если таковые возможны). Непараметрическое оценивание позволяет установить распределения случайных переменных.

Неопределенные факторы нестохастической природы можно условно разделить на две группы: с известными и неизвестными функциями принадлежности (диапазонами изменения переменных). Функция принадлежности задает некоторое подмножество (подобласть) общей допустимой области изменения фактора, определяемой, например, физическим происхождением соответствующего фактора.

Очевидно, что подобласть, определяемая функцией принадлежности, в некотором смысле отражает степень неопределенности фактора: чем меньше эта подобласть, тем меньше степень неопределенности фактора. В пределе функция принадлежности, выделяющая всего одно значение фактора, переводит его в разряд определенных факторов. Наибольшей степенью неопределенности обладают факторы с неизвестными функциями принадлежности. Обычно к ним применяют процедуру экспертного оценивания диапазонов изменений их значений.

Для описания неопределенных факторов нестохастической природы используют аппарат теории нечетких множеств, субъективные вероятности. В последнем случае при анализе рисков применяют теорию вероятностей. Однако при введении субъективных вероятностей закон больших чисел может перестать действовать. Субъективные вероятности вводят обычно с помощью экспертного оценивания.

Некоторые неопределенности нестохастической природы иногда удается перевести в разряд случайных факторов с помощью рандомизации. Под рандомизацией понимают искусственное введение случайности в ситуацию, где она отсутствует. Например, при анализе угрозы оказаться в завалах разрушенного здания в результате землетрясения нахождение человека в здании в определенное время суток неслучайно. Однако исследователь может предположить, что момент начала землетрясения в пределах суток распределен с постоянной плотностью вероятности. Этим он рандомизировал положение объекта, т. е. ввел искусственно вероятностное распределение. Далее вероятность оказаться в завале можно оценить методами теории вероятностей и математической статистики.

Далее в диссертации все неопределенные факторы будут рассматриваться только либо как статистически определенные переменные, либо как искусственно рандомизованные нестахостические переменные.

Существующие риски разнообразны, их можно подразделить на множество групп, т. е. классифицировать по различным признакам: объекту и источнику воздействия, местоположению относительно объекта воздействия, механизму возникновения, степени влияния и др.

Более того, существуют различные определения риска, которые используются в различных теориях, дисциплинах и областях деятельности. В книге [22, с. 24-38] приводится сорок шесть определений и соответствующих им толкований риска, которые являются обобщающими или специальными: риск (в популярном толковании), риск (в человеческой деятельности), риск возникновения чрезвычайной ситуации и т. д.

Исторически для измерения риска использовался подход, основанный на измерении убытков в неблагоприятной ситуации. Простейшей мерой риска при таком подходе является пара: вероятность неблагоприятного события и последствия при его наступлении (ущерба). Оба показателя могут быть мультипликативным образом объединены в один:

Показатель риска

Ущерб = Частота События X

Время Время

х Средний ущерб

Ущерб События

(1)

что позволяет сравнивать ситуации с различными последствиями и вероятностями их наступления. Использовать вероятность потерь как количественную оценку риска впервые предложил французский математик А. Муавр в начале XVIII в.

В настоящей работе под рисками будет пониматься совокупность рисков, угрожающих безопасности (характеризуются малыми вероятностями, но тяжелыми последствиями) и рисков, угрожающих состоянию среды обитания (характеризуются большим количеством эффектов и наличием существенных неопределенностей как в самих эффектах, так и в их причинах). Под факторами риска далее следует понимать вероятность проявления экологически неблагоприятного события (процесса) и магнитуду экологического ущерба, связанного с этим событием (процессом), и выраженного в стоимостном измерении.

Итак, в настоящем разделе были даны некоторые определения и понятия теории рисков, описана ситуация риска и факторы (параметры), на нее влияющие, особое внимание уделено статистически определенным переменным и искусственно

рандомизованным нестахостическим переменным, описан подход, используемый для измерения рисков. В следующем разделе перейдем к постановке класса задач управления рисками и к рассмотрению проблемы принятия решений на основе рисков, потому что основное направление, где используется теория рисков, - это сфера принятия решений.

1.2 Класс задач управления рисками

Необходимость принимать решения, для которых не удается полностью учесть предопределяющие их условия, а также последующее их влияние (оба этих обстоятельства называются эффектом неопределенности), встречается во всех областях техники, экономики и социальных наук. Планирование - в самом широком смысле этого слова - всегда более или менее связано подобными факторами неопределенности. Тем не менее отказаться в такой ситуации от принятия решений большей частью бывает невозможно. Поэтому необходимо стремиться к оптимальному использованию имеющейся информации относительно поставленной задачи, чтобы, взвесив все возможные варианты решения, постараться найти среди них наилучший [23, 24].

Принимать решения приходится во всех областях человеческой деятельности. В интересующей нас области инженерной практики все чаще возникает потребность в принятии сложных решений, последствия которых бывают очень весомы. В связи с этим появляется потребность в руководстве по принятию решений, которые упрощали бы этот процесс и придавали решениям большую надежность.

Общий подход к решению практических задач, использующий теорию принятия решений, должен включать некоторые нововведения в самом процессе обработки информации. В то время как до сих пор ход принятия технического или экономического решения был у лица, ответственного за принятие этого самого решений, во многом произвольным, предлагаемая теория дает практику в руки критерии, руководящие им при выборе решения.

Прежде всего необходимо выделить класс «морских катастроф», для которых будут задаваться «риски». Опишем три типа «нежелательных событий» («морских катастроф»), возникающих при моделировании морских систем.

Первый тип описывает следующая ситуация - известной и актуальной стала проблема появления «зон возможных опасностей» для корабля, зон нападения на корабли морских пиратов, появления фиксированного объекта по маршруту корабля, представляющего опасность для корабля, и т. д. В таком типе задач рассматривается технический риск - т. к. возможно повреждение судна или его груза - и экономический (хозяйственный) - в связи с происшествием вероятна потеря ожидаемой выгоды для судоходной компании.

Следующий тип задач по факторам риска схож с первым. Часто возникает ситуация, когда при следовании кораблем «предварительному оптимальному маршруту» появляется информация о циклоне с заданной его траекторией, информация о пересечении с маршрутом другого корабля и др. Тогда также возможно повреждение судна или его груза и потеря ожидаемой выгоды для судоходной компании.

Третий тип задач направлен на уменьшение риска экологического загрязнения заданной акватории при следовании кораблем выбранного маршрута в силу возникновения той или иной опасности. В этом случае на первый план выходят экологический риск - потому что загрязнение наносит вред окружающей природной среде - и стратегический - как нарушающий интересы государства и ведущий к его нестабильному развитию.

Итак, настоящая работа посвящена описанному классу морских катастроф в акватории Мирового океана:

• при прохождении кораблем фиксированных зон, пересечение которых характеризуется определенной вероятной опасностью и возможным ущербом;

• при возможном пересечении маршрута корабля с траекторией другого объекта;

• при возможном загрязнении заданной части акватории моря.

На основе рассмотренного класса морских катастроф в следующем разделе будет представлен класс задач, посвященный морским катастрофам.

Перечисленные морские катастрофы образуют класс задач:

о прохождении кораблем фиксированных зон, пересечение которых характеризуется определенной вероятной опасностью и возможным ущербом;

• о возможном пересечении маршрута корабля с траекторией другого объекта (корабля, циклона и др.);

• о возможном загрязнении заданной части акватории моря, при осуществлении проводки корабля в этой или других частях бассейна.

Во всех перечисленных задачах возникает необходимость корректировки маршрута корабля с целью минимизации риска возникающей опасной ситуации. Однако одновременно с задачей минимизации того или иного риска (а возможно и всех одновременно, но с различными предписанными «весами») приходится решать задачу минимизации затрат, связанных с возможными отклонениями от заранее предписанного маршрута.

Третий тип «морских катастроф» связан с вероятностью загрязнения какой-либо части прибрежной зоны и затратами на ликвидацию последствий этих загрязнений. Данное нежелательное событие может быть обусловлено возможной аварией конкретного корабля, перевозившего тот или иной тип веществ, которое затем выступает в качестве загрязнения. В этом случае возникает задача минимизации риска, которая может быть тесно связана с задачей об «оптимальном маршруте корабля» и с решением задачи распространения загрязняющих веществ на базе использования математических моделей гидротермодинамики вод в бассейне и модели распространения веществ [25, 26].

Однако нередко появление источников загрязнений не может быть идентифицировано с конкретным кораблем, а оно только лишь фиксируется соответственно службами наблюдений. В качестве вероятности возникновения источников загрязнения в данном случае могут быть приняты статистические вероятности появления

этих источников (пленки загрязняющих веществ и др.). Это делает данный класс задач принципиально отличным от задач первого класса. Однако, здесь также, применяя модели распространения примесей необходимо рассчитать уровень возможных загрязнений, ущерб от них в заданной части прибрежной зоны и минимизировать риск загрязнения прибрежных зон и дать предложения о выработке рекомендаций по принятию решений при возникновении опасных ситуаций и вероятных морских катастроф.

Итак, на основе элементов теории рисков, представленных в предыдущем разделе, описан класс задач о минимизации рисков морских катастроф, возникающий в сфере принятия решений.

1.3 Анализ состояния исследуемой проблемы

В данном разделе будет представлен обзор исследований по проблеме минимизации рисков морских катастроф. Будет обозначен технический уровень и тенденции развития объекта исследований.

В России автоматизированный метод расчета оптимального маршрута плавания судов через океаны впервые был разработан в 1965 г. в Вычислительном центре АН СССР Н. Н. Моисеевым и Н. К. Буровой. Этот метод был реализован в виде программно-технологического комплекса в ГУ «Гидрометцентр России» К. А. Семендяевым и 3. К. Абузяровым [27].

Для решения задач выбора оптимального пути был применен метод динамического программирования, разработанный группой математиков под руководством академика Понтрягина. По сравнению с классическими задачами вариационного исчисления, данная задача обладала той особенностью, что она позволяла обходить так называемые «запретные» зоны (острова, зоны айсбергов и др.).

Позже в Санкт-Петербуреге Л. С. Шифриным и О. Н. Землиным по заданию Балтийского морского пароходства расчет рекомендуемых маршрутов для судов, пересекающих Северную Атлантику, выполнялся с помощью ЭВМ [28]. Метод расчета был апробирован в Северо-Западном УГМС Росгидромета.

В 1982-1985 гг. на кафедре прикладной математики Дальневосточного политехнического института Б. Н. Ивановым была разработана автоматизированная система расчета оптимальных маршрутов и в 1986 г. была внедрена в Приморским УГМС [29]. Уже в течение первого года с помощью этой системы было осуществлено 16 оперативных проводок судов Дальневосточного морского пароходства через Тихий океан.

Экономическая эффективность и безопасность работы морского флота настолько тесно связана с гидрометеорологичским состоянием морской природной среды, что сегодня капитаны судов не могут обходиться без соответствующих рекомендаций береговых прогностических служб - «служб сопровождения», а своевременное предупреждение об опасных природных явлениях погоды на этих маршрутах стали прямой социальной потребностью. Проводка судов рекомендуемыми маршрутами плавания на основании фактической и прогностической информации о погоде и волнении осуществляется уже более 50 лет во многих странах мира и показала свою эффективность [28]. В России обслуживание судов рекомендуемыми маршрутами осуществляется с 1964 г. И уже многие годы является важной составляющей деятельности морских прогностических подразделений Росгидромета.

Кроме того, в настоящее время известной и актуальной проблемой стала проблема нападения на корабли морских пиратов, если маршрут корабля проходит акваторию возможного их нападения. При следовании кораблем «предварительному оптимальному маршруту» возможно появления тропического циклона (ураганы в Атлантике, тайфуны в Тихом океане) с заданной его траекторией. В связи с этим возникает проблема корректировки маршрута корабля, т. е. нового оптимального маршрута, с целью уменьшения риска его пересечения с траекторией циклона, но одновременно минимизирую издержки, вызванные изменением маршрута корабля.

Вопросам охраны окружающей среды посвящен большой цикл исследований, выполненных в нашей стране, особенно в Главной геофизической обсерватории Росгидромета (Госкомгидромета СССР), и за рубежом [12, 30, 31, 32]. Анализ риска, связанный с загрязнением окружающей среды токсичными химическими вещества-

ми, опирается на использование различных математических моделей. Среди них определяющую роль играют модели распространения и трансформации примесей (поллютантов). Специфика данного класса задач состоит в том, что необходимо рассматривать широкий спектр взаимодействующих процессов на длительных интервалах времени в областях различных масштабов при неопределенностях во внешних и внутренних источниках возмущений. Это требует, чтобы модели процессов и данные наблюдений, необходимые для их решения, использовались совместно в режиме прямых и обратных связей. Современные модели климатической системы, модели переноса и трансформации загрязняющих примесей, составляющие теоретическую основу методов экологического прогнозирования, довольно сложны, поскольку в них должны быть учтены как естественные, так и антропогенные факторы, влияющие на изучаемые процессы.

Известной проблемой, также привлекающей внимание исследователей, является проблема уменьшения риска экологического загрязнения заданной акватории при следовании кораблем выбранного маршрута в силу возникновения той или иной опасности. В последние годы все большее внимание исследователей привлекает метод теории рисков, которые в настоящей работе будут применены к исследованиям и решению этой актуальной проблемы.

Поэтому комплекс программ и алгоритмов для математического моделирования перечисленных ранее задач и проблем, на разработку которого в целом направлен настоящая работа, предназначен в значительной степени для количественного подсчета и сравнения показателя риска для различных областей на основе математических моделей и методов, предназначенных для решения задач природоохранного направления.

Проблема загрязнения окружающей среды приобрела во всем мире и в нашей стране первостепенное значение [21]. Фундаментальное значение в экологических исследованиях имеют понятия рисков и уязвимости территорий к естественным и антропогенным воздействиям. С их помощью можно выявить потенциально опасные ситуации и объекты, количественно оценить степень тяжести возможных по-

следствий катастрофических событий. Развитие теории рисков начиналось с концепции риска как неопределенности, а позже распространение получает подход к определению риска неблагоприятного события, который учитывает не только вероятность этого события, но также все его возможные последствия. Вероятность события или процесса здесь выступает одним из компонентов риска, а мера последствий (ущерба) — другим. Такое двумерное определение риска используется при количественном оценивании риска. Современный подход к определению риска — многомерный. Он основан на многочисленных факторах, ответственных за восприятие риска и влияющих на принятие связанных с риском решений. Данные выводы отражены в главе выбора оптимального направления исследований.

В настоящее время прогностические органы Росгидромета располагают соответствующими моделями прогноза погоды, волнения и течений, на основе которых получается прогностическая информация о ветре и волнении глобального и регионального масштаба на сроки от 120 до 240 ч вперед [33, 34]. Она служит основой оперативного обслуживания судов рекомендуемыми маршрутами плавания. Обслуживание судов рекомендуемыми маршрутами плавания сначала начиналось с использования ручных (графических) методов расчета, однако с появлением ЭВМ стали разрабатываться автоматизированные технологии расчета рекомендуемых маршрутов.

В Германии (TU Berlin) для расчета оптимального маршрута судна используется алгоритм, определяющий оптимальный маршрут через минимизацию функций издержек. Этот показатель является взвешенной суммой времени рейса и комфорта плавания (т. е. учитывается и безопасность). Исследования проходят совместно с CMS Hanover Express, но основное внимание уделяется расходу топлива, потере времени и ускорению судна, а также особо учитываются скорости течений, волны и прочие погодные условия.

В США (MIT) поведение корабля моделируется с помощью системы SWAN1 при сотрудничестве с European Center for Medium Range Weather Forecast (ECMWF). Опять же внимание уделяется минимизации ускорения судна и минимизации расхо-

да топлива. Используются методы динамического программирования как наиболее подходящего для компьютерной реализации.

Исследование и решение задачи о корректировке рассчитанного ранее маршрута корабля на основе теории рисков в России не проводилось. Однако этому вопросу уделяется значительное внимание при изучении различных вопросов безопасности в экономике и оборонном комплексе России. Исследованиям и разработкам в этом направлении посвящена настоящая работа.

1.4 Методы оценки величины риска

Ранее в разделе 1.2 был описан класс задач о минимизации рисков морских катастроф. В настоящем разделе обратимся к методам решения задач теории рисков для выбора оптимального направления исследований и решения поставленных задач. Из раздела 1.1 вспомним подход, основанный на измерении убытков в неблагоприятной ситуации. Простейшей мерой риска Я при таком подходе (1) является пара: вероятность Р неблагоприятного события и последствия Q при его наступлении (ущерба). Оба показателя могут быть мультипликативным образом объединены в один:

я = рд, (2)

что позволяет сравнивать ситуации с различными последствиями и вероятностями их наступления.

Если может иметь место несколько (скажем, А/") неблагоприятных событий с различными вероятностями Р1 и соответствующими им ущербами Q¡, то

<=1

В такой формулировке риск фактически определяется, как математическое ожидание ущерба, рассматриваемого в виде случайной величины (£) — ее возможные значения, Р1 — соответствующие им вероятности). Таким образом, один и тот же риск может быть вызван или высокой вероятностью отказа с незначительными

последствиями (отказ какой-либо системы навигации судна), или ограниченной вероятностью отказа с высоким уровнем ущерба (отказ системы управления).

Согласно [35], в рамках технократической концепции анализ риска выполняют с помощью различных методов, которые в общем случае подразделяют на феноменологические, детерминистские, вероятностные и экспертные. Рассмотрим области их применения. Феноменологический метод базируется на определении возможности протекания негативных процессов исходя из результатов анализа необходимых и достаточных условий, связанных с реализацией тех или иных законов природы. Этот метод наиболее прост в применении, но дает надежные результаты, если рабочие состояния и процессы имеют достаточные запасы по отношению к предельным уровням, и ненадежен вблизи границ резкого изменения состояния веществ и систем. Феноменологический метод предпочтителен при сравнении запасов безопасности различных типов потенциально опасных объектов, но малопригоден для анализа разветвленных аварийных процессов, развитие которых зависит от надежности тех или иных частей объекта или (и) его средств защиты. Феноменологический метод реализуется на базе фундаментальных закономерностей, которые в последние годы объединяют в рамках новой научной дисциплины — физики, химии и механики катастроф.

Детерминистский (или детерминистический) метод предусматривает анализ последовательности этапов развития аварий, начиная от исходного события через последовательность предполагаемых стадий отказов, деформаций и разрушения компонентов до установившегося конечного состояния системы. Ход аварийного процесса изучают и предсказывают с помощью математического моделирования, построения имитационных моделей и проведения сложных расчетов. Детерминистский подход обеспечивает наглядность и психологическую приемлемость, так как позволяет выявить основные факторы, определяющие ход процесса. В ядерной энергетике этот подход долгое время являлся основным при определении степени безопасности реакторов.

Недостатки метода заключаются в следующем: существует потенциальная возможность упустить из вида какие-либо редко реализующиеся, но важные после-

довательности событий при развитии аварии; построение достаточно адекватных математических моделей является трудной задачей и требует большого числа исходных данных; для тестирования расчетных программ необходимо проводить сложные и дорогостоящие экспериментальные исследования.

Вероятностный метод анализа риска предполагает как оценку вероятности возникновения негативных событий, так и расчет относительных вероятностей того или иного канала развития процессов. При этом анализируют разветвленные цепи событий и отказов оборудования, выбирают подходящий математический аппарат и оценивают полную вероятность негативных событий. Расчетные математические модели в этом подходе, как правило, можно значительно упростить в сравнении с детерминистскими схемами расчета. Основные ограничения вероятностного анализа безопасности связаны с недостаточностью сведений по функциям распределения параметров, а также недостаточной статистикой по отказам оборудования. Кроме того, применение упрощенных расчетных схем снижает достоверность получаемых оценок риска для тяжелых аварий. Тем не менее вероятностный метод в настоящее время считается одним из наиболее перспективных. Вероятностный метод оценки риска обеспечивает приемлемую достоверность результатов анализа при условии сохранения в перспективе тенденций развития исследуемой системы и ее внешней среды. На практике для оценки тенденций развития широко используют методы экспертных оценок. Поэтому наиболее приемлемым вариантом в практической деятельности является комбинация вероятностного и экспертного методов.

Экспертный метод основан на получении количественных оценок риска путем обработки мнений экспертов (высококвалифицированных специалистов в исследуемой области).

Детерминистический метод оценки величины риска. Данный метод приводится Э. Мушиком [5]. Задачи, связанные с оцениванием экологического риска и разработкой мер по его снижению, требуют собственного математического подхода, для чего может быть использован аппарат теории принятия решений.

В настоящее время для анализа и решения проблем, вовлекаемых в процесс принятия связанных с риском решений, широко используется так называемый «метод деревьев». К числу его достоинств относятся удобство и наглядность, а также существенное облегчение расчетов на компьютерах. «Метод деревьев» особенно эффективен в тех случаях, когда сложная проблема может быть расчленена на то или иное количество сравнительно простых задач, каждая из которых решается отдельно, а затем производится своеобразный синтез сложного решения в единый организм. Поведением этого организма и отдельных его частей в случае дерева решений управляют законы теории вероятностей. Последние обеспечивают когерентность (согласованность) системы, которой является рассматриваемое дерево.

Суть детерминистического метода заключается в пошаговом выполнении следующих действий для «заполнения» дерева. Во-первых, определяются сценарии развития событий, связанные с аварийной ситуацией. Сценарии образуют ветви дерева.

• для каждого сценария оцениваются факторы, влияющие на ущерб объекту риска, при неблагоприятном развитии событий;

• далее по найденным оценкам рассчитывается ущерб по каждому сценарию;

• переходим к вероятности возникновения аварийной ситуации (ситуации риска);

• проводим окончательную оценку риска.

Получается дерево, составленное из нескольких ветвей, и каждая ветвь отображает собой или принятое решение или полученный результат. Особо отметим, что первыми рассматриваются те события, которые произошли последними.

Такой метод может быть применен, если в одной задаче присутствует сразу несколько типов катастроф из рассматриваемого класса задач и когда, например, одна катастрофа может спровоцировать другую (возможное столкновение танкера,

перевозящего нефть, с другим объектом может привести к экологическому загрязнению вследствие разлива нефти).

Вероятностный метод оценки величины риска. Вероятностно-статистический метод основан на привлечении дополнительной информации о распределении ущербов для объекта анализа от рассматриваемой опасности в случае ее реализации. Рассмотрим метод подробнее. Изложение в целом следует [21].

Часто понятие риска связывают с возможностью наступления сравнительно редких событий. Под редкими понимают такие события, математическое ожидание а числа которых за интервал времени А/^ мало, т. е. удовлетворяет неравенству а{А?)«:1 (практически а(Ы) <0.1). При этом риск часто отождествляют с вероятностью Р{АО наступления этих событий за интервал времени А/ (как правило, за год). Вероятность Р{А£) выступает в этом случае как мера (показатель) риска, удобная при сравнении рисков для одного объекта (субъекта) от различных событий или для разных объектов (субъектов) в типовых для них условиях функционирования (деятельности) и однородными последствиями проявления опасности.

Для редких событий, т. е. при а{А?) <§: 1, получим Р{А?) « а{А?). Если At равно 1 году, то Р(А/)~Я, Я — частота опасных явлений, год"1. Следовательно, показателем риска будет математическое ожидание (среднее значение) ущерба от опасного явления за 1 год:

Я = Р( А1)<2, (3)

где <2 — средний ущерб в случае реализации опасного явления.

Для редких событий формула (3) совпадает с выражением (2), т. е. риск оценивается произведением вероятности свершения неблагоприятного (для рассматриваемого объекта) события на его последствия для этого объекта.

Анализ схемы пуассоновского потока случайных событий показывает, что при малых (когда Р{А?)—>0^ д/^_>.оо) для числа событий в интервале времени ^

справедливо биномиальное распределение.

Для оценки вероятности негативного события для конкретного объекта рассмотрим совокупность однородных объектов объемом ^, подверженных в равной степени рассматриваемой опасности, т. е. принадлежащих одной и также генеральной совокупности.

Из [21] следует, что в предположении биномиального распределения числа негативных событий (объектов, в которых произошли негативные события) из общего числа подвергающихся рассматриваемому риску объектов статистическая неопределенность оценки максимального правдоподобия характеризуется относительной погрешностью, оцениваемой по аналитической зависимости:

Р 4рй , (4)

где и -!»•••> N — число негативных событий (например, смертей или аварий) в оцениваемом году по рассматриваемой причине, а N — объем наблюдений, т. е. число наблюдаемых объектов (например, численность популяции), подверженных рас-

а\Р] „ „

сматриваемому риску, 1 -1 — дисперсия случайной величины числа негативных

событий, — ее абсолютная статистическая погрешность, а гг —

квантиль нормального распределения уровня У.

Таким образом, чем меньше оцениваемый риск и имеющийся объем на-

блюдений N ? хем больше статистическая погрешность. Следовательно, для ее снижения следует увеличивать объем наблюдений.

Наложим на точность оценки показателя риска ограничение

5 = Зт (5)

о

где т — требуемая точность или допустимое значение относительной погрешности

оценки

Р( АО

Получим из (4) соотношение для объема наблюдений, необходимого для выполнения ограничения (5):

Р8

гот , (6)

зависящего от уровня оцениваемой вероятности Р. Из выражения (6) с учетом п = Р-И следует и ограничение на реализовавшееся число негативных событий:

П^П, = —^ 1 о 2

от

Допустим . Тогда при п\ -164 пОЛуЧИЛИ количество на-

блюдений, необходимых для требуемой точности. Рассмотрим далее, как можно снизить количество требуемых наблюдений.

Статистический метод количественной оценки риска требует значительного объема данных, которые не всегда есть (особенно при оценке вероятностей редких событий), а их сбор и обработка могут весьма дорого обойтись. Поэтому при недостаточности информации для использования статистического метода (обеспечения требуемой точности оценки показателя риска) необходимо использовать другие методы, основанные на привлечении дополнительных данных. На точность получаемых с их помощью оценок влияет точность этой информации. Чем меньше объем наблюдений, тем больше необходимо дополнительной информации для обеспечения требуемой точности оценки.

В случае оценки показателей риска от редких событий, когда имеет место значительная статистическая погрешность оценки, т. е. имеющейся статистики по рассматриваемому объекту недостаточно для оценки показателя риска с приемлемой точностью, ее можно понизить за счет привлечения дополнительной информации. По ее виду различают способы объединения информации о величине оцениваемого параметра, которые в свою очередь подразделяют на методы объединения данных, оценок и привлечения информации о вероятностных распределениях.

Для повышения точности используют объединение однородных и неоднородных данных. Объединение однородных (принадлежащих одной генеральной совокупности) данных проводят путем их суммирования. Для объединения неоднород-

ных данных необходимы процедуры пересчета, основанные на привлечении дополнительной информации о моделях переноса информации. К методам объединения оценок относятся линейное объединение независимых оценок, применение множественной регрессии для линейного объединения оценок и др.

Для негативных событий, классифицируемых как катастрофические, точность оценки существенно зависит от точности определения вида и параметров формы

распределения ДдЯ ее повышения также необходимо увеличить объем стати-

стических данных, что связано с расширением интервала наблюдения. Однако с течением времени условия проявления рассматриваемой опасности меняются и статистические данные уже не принадлежат исследуемой генеральной совокупности; при

этом изменяется не только число негативных событий, но и их распределение ^Х™) по ущербу. Это означает, что прямое объединение статистик невозможно. Для объединения данных по ущербу от негативных событий в некотором интервале времени наблюдения необходимо пересчитывать с учетом тенденций изменения их распределения по ущербу.

Допустим, имеются статистические данные негативных событий за Т лет,

включающие данные об ущербах в п\>гг2>--->пт негативных событиях. Будем считать

условия реализации негативных событий меняющимися по годам, а в течение одному цг

го года неизменными. Тогда случайные величины т, характеризующие по-

следствия негативных событий, различаются, т. е. в общем случае имеющиеся данные о негативных событиях принадлежат различным генеральным совокупностям,

описываемым своими функциями распределения ^ этом парамет-

ры (в первую очередь математические ожидания а возможно, и виды рас-

пределений, различаются. Указанные функции распределения отличаются и от

Р (мЛ = Р(\¥ < иЛ ~ ]У

функции распределения 74 ' у т ' возможных последствии т негативных

событий в оцениваемом году.

Объединим известные статистические данные о негативных событиях за Т

IV IV

лет. Предположим, что виды распределений случайных величин 1'""' т близки, а различаются лишь масштабы распределений, т. е. математические ожидания

ДрИведем известные статистические данные о последствиях негативных событий за указанные годы к оцениваемой генеральной совокупности негативных событий, описываемой функцией распределения - Р(УУТ < . ДлЯ этого воспользуемся теорией стохастического подобия. Инвариантом подобия различных выборок при одинаковых законах распределения является равенство математических ожиданий:

Отсюда следует соотношение для коэффициента пересчета данных о негативных событиях, полученных в ¿-м году, на оцениваемый год:

Данные по ущербу в ^ -м негативном событии пересчитываются по формуле

Объем объединенной выборки возрастает примерно в Т раз. Учитывая существенное увеличение объема статистических данных в объединенной выборке, более

точно можно оценить параметры распределения ^И™) на оцениваемый год, а после

классификации данных об ущербах— доли негативных событий различных классов.

В заключении стоит отметить, что общая концепция оценки риска (1) как произведения вероятности свершения неблагоприятного (для рассматриваемого объекта) события на его последствия для этого объекта сохраняется, но особое внимание уделяется расчету вероятностей. Также приведены оценки для объема исходных на-

блюдений и выборок, обеспечивающих корректное задание поля входных вероятностей.

Экспертный метод оценки величины риска. Экспертный метод основан на использовании знаний и опыта экспертов — высококвалифицированных специалистов в рассматриваемой предметной области. Экспертный метод оценки риска целесообразно применять в том случае, когда отсутствуют не только статистические данные по объекту (негативные события являются редкими), но и математические модели (задача является сложно формализуемой). Изложение в целом следует [21].

Сущность экспертного метода оценки показателей риска заключается в том, что экспертам предлагают ответить на вопросы о состоянии или будущем поведении объектов, характеризующихся неопределенными параметрами или неизученными свойствами. Экспертные оценки оформляют, в частности, в виде качественных характеристик или количественных значений вероятностей рассматриваемых событий, отнесенных к определенному отрезку времени. Важное значение при этом придают формированию оценочной шкалы, используемой экспертами. Оптимальная оценочная шкала должна иметь сравнительно небольшое число градаций (от 3 до 8, Таблица 2); каждой градации приписывают определенный вероятностный интервал. Кроме того, каждая градация должна сопровождаться краткой текстовой качественной характеристикой.

Для интерпретации и математической обработки экспертных данных можно привлекать модели, основанные на использовании нечетких множеств.

В зависимости от величины рисков можно проводить их приоритезацию, т. е. расстановку по порядку. Это необходимо для установления последовательности реализации мер защиты и соответствующего распределения средств (инвестиций) на их выполнение.

К недостаткам экспертного метода относятся отсутствие гарантий достоверности полученных оценок, а также трудности в проведении опроса экспертов и обработке полученных данных. Второй недостаток может быть преодолен, а первый — имеет принципиальное значение. Повышение достоверности экспертных оценок

требует соответствующих процедур отбора экспертов по многим критериям и количественных методов обработки их мнений. При правильной организации процедуры экспертизы и проверки согласованности мнений экспертов обеспечивается достаточная достоверность оценок. Повысить точность экспертных оценок можно путем приглашения экспертов более высокой квалификации и увеличения числа независимых экспертов.

Таблица 1 — Качественная характеристика последствий происшествий (применительно к экологически опасным объектам) [21]

Уровень последствий (рейтинг), баллы Степень последствий Описание последствий Соответствующая количественная оценка ущерба (), долл./авария

1 Незначительные Отсутствие травм, незначительные повреждения, выбросы, сбросы <103

2 Малые Малые повреждения, незначительные травмы, быстрая ликвидация последствий собственными силами 103-104

3 Умеренные Повреждения средней тяжести, несущественные нарушения функции объекта, травмы с временной потерей трудоспособности, наличие аварийных сбросов, выбросов 104-105

4 Значительные Несчастные случаи с длительной потерей трудоспособности, небольшие разрушения, существенные нарушения функций объекта, значительные аварийные сбросы, выбросы 105-106

5 Катастрофические Смертельные случаи, значительные разрушения, полное наруше- >106

ние функций объекта, ликвидация последствий требует значительных ресурсов

Таблица 2 — Характеристика реализуемости рисков [21]

Уровень реализуемости (рейтинг) Степень реализуемости Описание реализуемости Соответствующая количественная оценка вероятности события Р,

1 Невероятно Событие может произойти только в исключительных обстоятельствах. Можно полагать, что оно не произойдет за все время существования системы <103

2 Маловероятно Событие может случиться, но весьма редко, т. е. вряд ли произойдет за время существования системы, но его нельзя исключать из рассмотрения 0.001-0.01

3 Вероятно Может произойти в некоторых случаях (происходит в среднем один раз на протяжении времени существования системы) 0.01-0.1

4 Весьма вероятно Вероятно будет происходить в большинстве обстоятельств (происходит несколько раз на протяжении времени существовании системы) 0.1-0.5

5 Почти наверняка Ожидаете я, что событие будет происходить при всех обстоятельствах. Для системы происходит достаточно часто на протяжении времени ее существования >0.5

Таблица 3 — Матрица качественно-количественных характеристик риска [21]

Реализуемость, баллы Последствия, баллы

1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5

2 2 4 6 8 10

3 3 6 9 12 15

4 4 8 12 16 20

5 5 10 15 20 25

Таблица 4 — Характеристика риска [21]

Категория Я Необходимое действие Приемлемость

Экстремальный >20 Необходимы немедленные действия Недопустимый (чрезмерный)

Высокий 15-20 Необходимо повышенное внимание высшего руководства и ответственных лиц

Средний 10-15 Необходимо определение ответственных лиц Ограниченно допустимый (Приемлемый)

Низкий 5-10 Применяются обычные процедуры управления

Пренебрежи-мый <5 — Безусловно допустимый

Подведем итог всему вышесказанному в разделе. Ситуация риска - это разновидность неопределенности, когда наступление событий вероятно и объективно существует возможность оценить их вероятность. Для измерения риска воспользуемся подходом (1), основанным на измерении убытков в неблагоприятной ситуации, для которого мерой (факторами, параметрами) риска является пара: вероятность неблагоприятного события и последствия при его наступлении (ущерба). Факторы будут рассматриваться только либо как статистически определенные переменные, либо как искусственно рандомизованные нестахостические переменные. Введен класса

задач об оптимальном маршруте корабля в условиях риска: (а) стационарной угрозы, при прохождении кораблем фиксированных зон, пересечение которых характеризуется определенной вероятной опасностью и возможным ущербом; (б) динамической угрозы, при возможном пересечении маршрута корабля с траекторией другого объекта; (в) экологического загрязнения заданной акватории Мирового океана, при осуществлении проводки корабля в этой или другой частях бассейна. Благодаря подходу (1) для каждой задачи из рассматриваемого класса задач может быть задан специальный функционал стоимости, минимизация которого будет соответствовать решению задач о минимизации риска. Разработке подобных функционалов, алгоритмов отыскания минимизации на основе теории оптимального управления, теории некорректных задач, сопряженных уравнений, современных методов вычислительной математики и математического моделирования, применительно к классу морских катастроф посвящена настоящая работа.

Глава 2. Математические модели для решения класса задач об оптимальном маршруте корабля

В настоящей главе введены математические модели на основе класса вариационных задач об оптимальном маршруте корабля, введен функционал, показывающий величину затрат за отклонение от предварительного маршрута судна, введен функционал риска при стационарной угрозе с известными параметрами распределения, сформулирована задача на минимизацию функционала об оптимальном маршруте корабля в условиях риска прохождения фиксированных зон, пересечение которых характеризуется определенной вероятной опасностью и возможным ущербом. Аналогичные функционалы введены для остальных типов задач из рассматриваемого класса задач и сформулированы соответствующие задачи об оптимальном маршруте в условиях различного рода рисков. Также для каждой рассматриваемой задачи оптимального управления представлено необходимое условие экстремума, исследованы свойства каждого функционала и доказаны теоремы о разрешимости, установлены условия, при которых решение задачи существует и единственно.

В настоящей работе рассматривается следующий класс задач об оптимальном маршруте корабля в условиях риска: (а) при стационарной угрозе и прохождении кораблем фиксированных зон, пересечение которых характеризуется определенной вероятной опасностью и возможным ущербом; (б) при динамической угрозе и возможном пересечении маршрута корабля с траекторией другого объекта; (в) при угрозе экологического загрязнения заданной акватории Мирового океана и осуществлении проводки корабля в этой или другой частях бассейна.

На основе рассмотренной общей теории, рассмотренной в первой главе, далее будут описаны подходы, которые являются оптимальными для решения поставленных задач. Ранее отмечалось, что для того, чтобы находить оптимальную из возможностей, приходится решать задачи на отыскание наименьших значений специальных функционалов, включающих функционалы стоимости отклонения корабля от предписанного маршрута, и представляющих собой различного рода «риски».

Далее будет выписан конкретный вид функционалов риска для математической постановки класса задач об оптимальном маршруте корабля.

Изложение этой главы в целом следует статьям автора [17, 18].

2.1 Математическая постановка класса задач об оптимальном

маршруте корабля в условиях риска

Будем составлять функционалы стоимости для класса задач об оптимальном маршруте корабля. В начале рассмотрим функционал стоимости отклонения корабля от предписанного ему маршрута.

Пусть в ограниченной области П из И2 с липшицевой кусочно-гладкой границей дО. осуществляется движение («проводка») корабля. Для упрощения изложения мы ограничиваемся далее рассмотрением прямоугольной системой координат л; = (х,, х2) е О. Обозначим траекторию плавания (следования) корабля через Х{0 - {Хх{0,Х2{1)) («маршрут корабля»), где t е[0,Т] - время при Т < оо. Предполагается, что йХ / Ж |= / Л)2 + (с1Х2 / Ж)2 )ш <оо V/ е [О, Т], т. е. что корабль

может плыть только с конечной скоростью. Через = (Х,(0)(О,^20)(О) обозна-

чается «предварительная оптимальная траектория» плавания корабля, которая заранее рассчитана и рекомендована службами сопровождения. Считаем выполненными условия:

Х(0) = Х(0) (0) = хт, Х(Т) = Х(0) (Г) = Х(Т),

т. е. как искомая траектория Х(0, так и предварительная Х(0)(?) при / = О выходят из одной и той же точки , и заканчиваются в одной точке Х(Т) при ? = Т.

Введем функционал вида:

У,(X) = Щ*,(01 I2 +*,(') IX - х(0) |2 у, (7)

где = (Х1 (0, Х2 (/)) - траектория корабля в условиях возникновения риска (об этом речь будет идти ниже), Х(0)(/) - оптимальная траектория, рассчитанная заранее без учета возможного риска. Функции XД?)> Х;(0)(/), г = 1,2 продолжаем на И постоянной Х{0)1 при ¿<0 и постоянной Х(Т)1 при г>Т. Коэффициент является положительной гладкой функцией V/, .

Функционал (7) можно интерпретировать как величину затрат («штраф») за отклонение траектории корабля от Х{0).

Замечание: Функционал (7) далее будем рассматривать в упрощенном виде при к0= 0. □

Далее будем рассматривать функционал, описывающий риск при прохождении кораблем фиксированных зон возможного ущерба.

Итак, описание функционала будет вестись в следующих исходных положениях. Предположим, что в течение заданного промежутка времени (¿,,/2)с(0,Т) возможна критическая ситуация с кораблем. Характеристическую функцию интервала (¿,,/2) обозначим т12. Вероятное положение точки возникновения критической

ситуации обозначаем X = (Х1 ,Хг), а ее какую-либо реализацию обозначим X = {Х\,Хг). Координаты точек Х,Х считаем независящими от ¿е(0,Г). Величины Х\,Хг считаем независимыми и равновозможными.

Распределение плотности вероятности возникновения критической ситуации в

О (т. е. появления вероятностной величины X ) зададим как произведение одномерных нормальных распределений:

{х\~Щ )2 (лг2-а2)2

с произвольными параметрами ах, а2, <т21, ст22 (сг21 >0, сг22 >0). Известно также [36], что а1 есть математическое ожидание случайной величины еИ, а <х2( -

среднее квадратичное отклонение /-го нормального распределения (/ = 1,2). Поэтому чтобы задать нормальные распределения /2,(х) достаточно знать (или задать) параметры а1, <т21, / = 1,2.

Пусть далее

а^Х1п),1 = 1,2

есть координаты некоторой точки в 0(л)с:0- точки Х{п) = (Х1"\Х2п)) наиболее частого возникновения критической ситуации или просто точки, в которой ожидается данная ситуация.

Параметры сг2,, сг22 будем задавать равными малой положительной величине

<т2:

а21 = с 2 2 = с 2 > 0,

что означает возрастание плотности вероятности при приближении к точке Х{п) -точке вероятного появления опасности возникновения критической ситуации.

Из раздела 1.4 известно, что для оценки риска справедлива формула: а при детерминистическом методе оценки величины риска

N

<=1

Будем рассматривать случай не дискретной, а непрерывной случайной величины 2, заданной на И плотностью распределения /?(0. Устремим N —> оо и принимая во внимание, что [36]:

< *+д*}« р( од*,

получаем

'=1 -ОО

Заметим также, что в такой форме функционал вида R является не чем иным, как математическим ожиданием функции ущерба Q{t).

Пусть ущерб от критической ситуации при прохождении кораблем фиксированных зон опасности есть Q2 = const > 0 - например, сумма издержек, характеризующая ущерб от критической ситуации или просто «ущерб». Обращаем внимание на то, что ниже мы всегда рассматриваем вектор-функцию X(t) как неслучайную функцию.

Введем следующий функционал:

СО

J2(X(t))^ \mX2{t)Q2fdn{X(t))dt =

—со

00

- J mX2{t) Q2 M(S(X-X{t)))dt= (9)

—00

oo

ее J mX2{t)-Q2Mx(8(X\-Xx{t))) M2{d(X2-X2{t)))dt,

—oo

где 8{t) - «дельта-функция Дирака», а также

со

М, (S(X, - X, (/))) = J fu (X, )5{Х, - X, (t))dx, = /2, (X, (0) - математическое ожида-

—00

ние функции 8{Xt - Xt{t)) случайного аргумента Х} с нормальным законом распределения вероятности (г = 1,2).