Алгоритмизация и численная реализация аналитических методов представления решений в задачах механики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Иванова, Ольга Александровна

• Иванова, Ольга Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Иванова, Ольга Александровна

Введение.

Глава 1. Метод Миттаг-Леффлера.

§1. Теорема Коши о разложимости аналитической функции в ряд, понятия элемента Вейерштрасса и аналитического продолжения.

§2. Теорема Рунге.

§3. Определение прямолинейной звезды.

§4. Me год Миттаг-Леффлера.

§5. Мегод П. Пенлеве.

§6. Приближение голоморфного решения задачи Коши в звезде

Миттаг-Леффлера и оценка погрешности приближения.

§7. Вычисление множителей сходимости.

§8. Комиькнерная реализация вычисления множителей сходимости.

Глава 2. Аппроксимации Паде.

§1. Аппроксимации Паде: основные определения и принципы построения.

§2. Сходимость аппроксимаций Паде.

Глава 3. Эллиптические функции.

§1. Мероморфныс функции.

§2. Эллиптические функции.

§3. р(г)-функция Вейерштрасса.

§4. Новый подход к вычислению значений р(-г)-функции.

Глава 4. Применение аналитических методов к решению задач механики.

§1. Задача о сферическом маятнике.

§2. Уравнение Дуффинга

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмизация и численная реализация аналитических методов представления решений в задачах механики»

Данная работа основана на двух взаимосвязанных методах построения частных решений голоморфных систем дифференциальных уравнений: методе Миттаг-Леффлера и методе построения аппроксимаций Паде.

В основу исследований положены классические результаты основателей комплексного анализа: Вейерштрасса, Миттаг-Леффлера, Рунге, Паде, полученные в середине 19-го и начале 20-го веков, касающиеся приближения однозначных аналитических функций полиномами и рациональными функциями. Применением их результатов к меюдам построения решений дифференциальных уравнений в задачах механики занималось не одно поколение математиков, образованы целые школы. Однако, до сих пор, многие вопросы остались без ответа. Более того, привлекательные на первый взгляд, теоретические результаты, на практике при численной их реализации для исследования конкретных механических систем, столкнулись с такими компьютерными трудностями, что у многих вычислителей был потерян всякий интерес от безнадежности.

В области небесной механики в 60-х годах 20-го века в институте теоретической астрономии В.А. Брумберг пытался применить метод Миттаг-Леффлера приближения полиномами к задаче трех тел, но на практике рассчитывая множители сходимости на вычислительной технике того времени столкнулся с большими трудностями, отказался от этой идеи, и вообще от этого метода [16j.

В наше время метод приближения полиномами функций в своих звездах Миттаг-Леффлера встречается довольно редко в теоретических разработках как российских [47, 65, 71, 70], так и зарубежных [92, 93] ученых.

На метод построения аппроксимаций Паде первыми, обратившими внимание среди русских ученых, были московские математики А.А. Гончар и С.П. Суетин [32, 33, 34] из института математики им. В.А. Стеклова. При их содействии и непосредственно под их руководством в 1986 году была переведена с английского языка и издана монография Дж. Бейкера, П. Грейвс-Морриса "Аппроксимации Паде"[9], которая вызвала интерес не только математиков, но и механиков, и физиков. Она до сих пор остается наиболее полной и содержательной монографией по методу рациональных аппроксимаций - аппроксимаций Паде.

С развитием вычислительной техники и выходом монографии [9] метод аппроксимаций Паде находит все большее применение в теоретических и практических работах [1, 19, 20, 22, 23, 44, 51].

Диапазон применения этих методов очень широк. Они могут быть использованы и в таких теоретических областях науки как теории функций комплексного переменного, математическом анализе, механике, так и при решении практических задач небесной механики, например, при решении одних из самых актуальных задач - сборки космического мусора и при расчете орбит искусственных спутников Земли. В физике могут быть использованы при исследовании механических систем, осуществляющих колебательные движения.

В данной работе предлагается обоснование и компьютерная реализация метода равномерной аппроксимации полиномами голоморфных функций (или их ветвей в случае многозначности) в своих звездах Миттаг-Леффлера, при этом, в случае мероморфиых функций, а именно такими являются эллиптические функции, дополнительно строятся аппроксимации Паде для вычислений значений функций в точках, попадающих в тень звезды.

Исходным пунктом рассматриваемых алгоритмов является задание исследуемой функции элементом Вейерштрасса: со ео: f(z) = ^2an(z-z0)n, для Mz: \z - z0\ < р, (1)

71=0 где

- коэффициенты Тейлора, р - радиус сходимости ряда (1).

Используя метод Миттаг-Леффлера, можно функцию /(г), голоморфную

А Л в некоторой области Qz С Е (Е - расширенная комплексная плоскость), в своей звезде разложить в ряд по полиномам

00

М = £/мМ. (3) ri-0 где f{n)(z) = ц{о]ао + n^a^z -zq) + .+ ц^^г - г0Г". (4) п)

Здесь п - номер полинома, п = 0,1,2,.; величины frm'n - так называемые множители сходимости, определяемые номером полинома и тп -f 1 - количеством слагаемых в n-ом полиноме, тп = (и + 1)" — 1, и = 1,2,.; числа &тп ~ коэффициенты ряда Тейлора.

При э'юм ряд полиномов (3) равномерно сходится внутри звезды Миттаг-Леффлера элемента ео, задающего значения функции f(z).

Как только функция (1) выходит за пределы звезды Мипаг-Леффлера, т.е. функция (1) попадает в тень звезды, для вычисления ее значений предла-гаегся использовать метод аппроксимации Паде. Аппроксимация Паде - это рациональная дробь вида:

L/M] = do + d\z + d2Z2 + . + dizL

5) b0 + blz + Vlz2 + . + bMzMt где коэффициенты числителя dt, i = 0,1,2, .,L, и знаменателя Ъь, к = 0,1,2,.,М, определяются через коэффициенты разложения (2) в ряд исходной функции (1), заданной элементом Вейерштрасса. С помощью определителей знаменателя

Q^M\z) = аь-м+l QL-M+2 0-L-M+2 O'L-M+Z аь-1 dL аь аь+1

М-1 аь+1 аь+2 аь+м-1 аь+м 1 и числителя p[L/M]{z) строится дробь Паде аь-м+i аь-м+2 аь-1 аь ь-м аь-м+2 аь-м+з аь аь+i

L-M+1 atzM+l £ <4* г=0 г=0 р[Ь/М]

WW = Wщ.

M+i-1 аь+1

OL+2 fli+M-l аь+м ь z=0

Путем оптимального подбора числителя и знаменателя, аппроксимации Паде позволяют обходить встречающиеся особые точки функции f(z), окружая их малыми ^-окрестностями.

Вышеназванные методы предлагается применять для вычисления эллиптических функций, используя тог факт, что любую эллиптическую функцию можно преде 1авить через р(г)-функцию Вейерштрасса, которая в свою очередь удовлетворяет нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка

И*)]2 = 4[р(г)]3 - q2p{z) - «73, где (ft) <7з инварианты, удовлетворяющие условию gf ~ ф 0.

Для решения этого дифференциального уравнения построен аналитический алгоритм, в основе которого лежат методы Миттаг-Леффлера и аппроксимации Паде.

На модельном примере - задаче о сферическом маятнике показано, как можно уйти от традиционных методов вычисления р(.г)-функции Вейерштрасса через ряды и, воспользовавшись Meiодами Миттаг-Леффлера и Паде, получить решение.

На другом модельном примере - уравнении Дуффинга строится общий алгоритм решения с помощью метода Миттаг-Леффлера и аппроксимаций Паде, который реализуется аналитически и численно, а затем проводится анализ полученных численных результатов.

В результате проделанной работы получены следующие результаты:

• На основе построенного аналитического алгоритма получена новая оценка погрешности метода Миттаг-Леффлера.

• Построен алгоритм нахождения множителей сходимости, впервые получены численные значения множителей сходимости для конечного числа слагаемых в аппроксимирующих полиномах.

• Разработан новый алгоритм вычисления р(г)-функции Вейерштрасса.

• Предложен новый алгоритм решения задачи о сферическом маятнике, основанный на методах Миттаг-Леффлера и аппроксимаций Паде, в аналитическом виде.

• Построено приближение решения уравнения Дуффинга меюдами Миттаг-Леффлера и аппроксимаций Паде как аналитическое, так и численное.

Работа состоит из четырех глав. Каждая глава предваряется кратким введением и разделена на параграфы. Формулы нумеруются в пределах главы: первая цифра означает номер главы, вторая - параграфа и далее непосредственно сам порядковый номер.

В главе 1 рассматривался метод Миттаг-Леффлера - аналитический метод построения приближений решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений, искомая функция которых задана элементом Вейерштрасса в своей звезде Миттаг-Леффлера. В начале главы напоминаются основные понятия и определения теории функций комплексного переменного, теорема Коши о разложимости аналитической функции в степенной ряд, понятия аналитического продолжения и элемента Вейерштрасса, теоремы об аналитическом продолжении и монодромии. Далее приводится теорема Рун-ге, на основании которой возможно построение последовательности полиномов, равномерно сходящейся к значению функции внутри некоторой области. Вводится понятие звезды и тени звезды функции. Подробно рассмотрен метод (алгоритм) Миттаг-Леффлера, в основе которого лежит теорема Рун-ге, приближения функции, заданной своим элементом Вейерштрасса в своей звезде, рядом полиномов. Приводится один из методов построения последовательности полиномов - метод Пенлеве. Далее рассказывается как можно применить метод Миттаг-Леффлера к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений, используя метод Коши-Липшица в модификации Пиконе. Выводится оценка погрешности приближения, представляющая один из основных результатов работы. Главная трудность, связанная с применением алгоритма Миттаг-Леффлера, заключается в вычислении так называемых множителей сходимости. Предлагается способ вычисления множителей сходимости как аналитический, так и численный, представляющий основной результат работы. В заключении первой главы проводится анализ проведенных вычислений множителей сходимости на компьютере, указаны трудности вычислений, связанные с компьютерной реализацией разработанного алгоритма.

Глава 2 описывает метод построения аппроксимаций Паде. В начале главы дается определение аппроксимации Паде, рассказывается об основных принципах построения аппроксимации Паде, напоминаются понятия определителя Ганкеля, таблицы Паде, С-таблицы. Приводится теорема Паде о существовании аппроксимаций Паде, модернизированная Бейкером. Из теории сходимости аппроксимаций Паде приводятся основные теоремы: Монтессу, Поммеренке и теорема Зинна-Юстина для диагональных аппроксимаций.

Глава 3 посвящена эллиптическим функциям. В начале главы напоминаются определение мероморфных функций и их свойства, приводятся примеры мероморфных функций и теорема Миттаг-Леффлера. Рассказывав гея о периодических мероморфных функциях: однопериодической и двоякопериодиче-ской (эллиптической) и их свойствах, причем большое внимание уделяется эллиптическим функциям. Подробно разъясняются понятия параллелограмма периодов и решетки параллелограммов. Рассматривается р(г)-функция Вей-ерштрасса, ее свойства и традиционные методы определения р(г)-функции. Следуя одному из основных свойств эллиптических функций: любую эллиптическую функцию можно представить в конечном виде через £?(г)-функцию Вейерштрасса, в данной работе предлагаем алгоритм для вычисления p{z)-функции Вейерштрасса, основанный на методах Миттаг-Леффлера и аппроксимации Паде.

Глава 4 представляет собой приложение описанных выше методов в задачах механики. Рассматриваются модельные примеры: задача о сферическом маятнике и уравнение Дуффинга. В задаче о сферическом маятнике строится р(г)-функция Вейерштрасса и решение с помощью алгоритма, основанного на методах Миттаг-Леффлера и аппроксимации Паде в аналитическом виде. При решении уравнение Дуффинга, в первую очередь, уделено внимание важной и сложной задаче численного анализа - построению ряда Тейлора. Используя метод Миттаг-Леффлера, строится ряд полиномов, равномерно сходящийся к решению уравнения Дуффинга. Проводится анализ численных расчетов применения метода Миттаг-Леффлера к построению приближения решения уравнения Дуффинга. Далее для решения уравнения Дуффинга строятся аппроксимации Паде, проводится численный анализ полученных результатов. В заключении проводится анализ компьютерной реализации построения аппроксимации Паде на модельном примере - уравнении Дуффинга и сравнение численных результатов с методом Миттаг-Леффлера.

В приложениях приводятся численные значения множителей сходимости и листинги программ с описанием.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Иванова, Ольга Александровна

Заключение

В данной работе получены следующие новые результаты:

• На основе построенного аналитического алгоритма получена новая оценка погрешности меюда Миттаг-Леффлера.

• Построен численный алгоритм нахождения множителей сходимости, впервые получены численные значения множителей сходимости для конечного их числа в аппроксимирующих нолиномах.

• Разработан новый алгоритм вычисления значений р(г)-функции Вейерштрасса.

• Предложен новый алгоритм решения задачи о сферическом маятнике, основанный на методах Миттаг-Леффлера и аппроксимаций Паде, в аналитическом виде.

• Построено приближение решения уравнения Дуффинга методами Миттаг-Леффлера и аппроксимаций Паде как аналитическое, так и численное.

• Создан пакет программных процедур, реализующий сформированные в pa6oie алгоритмы на ЭВМ. Работоспособность и эффективность принятого подхода и разработанных программных процедур подтверждена решением конкретных задач.

В первой главе, применяя метод Миттаг-Леффлера, построен алгоритм приближения решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений, искомая функция которых задана элементом Вейерипрасса в своей звезде Миттаг-Леффлера. Здесь же на основе построенного алгоритма получена новая оценка погрешности метода Миттаг-Леффлера, представляющая основной результат работы.

Сложность применения метода Mhi таг-Леффлера заключается в вычислении множителей сходимости. Одной из главных задач, решенных в этой работе, было построение численного алгоритма и разработка программных процедур на ЭВМ нахождения значений множителей сходимости. При вычислении последних основной трудностью, с которой пришлось сюлкнуться, было время счета программы, которое резко возрастает в зависимости от количества множителей сходимости. При вычислении данных величин постоянно вставал вопрос о количествах полиномов и количествах множителей сходи мое i и в них. В данной рабою в качестве критерия выбора количества множиюлей сходимости в полиномах было взято время счет компыоюра, т.е. строились те полиномы, у которых число множителей сходимосш не превосходит примерно 1300 членов в полиноме. Все эти величины, рассчитанные с помощью программы, сохранены на компьютере в виде отдельных файлов, пригодных для дальнейшего использования. Численные значения их приведены в приложениях (см. приложение 2-23). Из анализа проделанных расчетов видно, что если задать минимальную точность е, ко юрой мы хотим достичь, строя полиномы, можно сначала провесi и вычисления при тг = 1 и различных v > 1, выбрать и, соотве1С1вующее нашей заданной минимальной точности е. А далее можно уже при полученном v веем и расчеты при различных п, пока не будет достигнута максимальная точность, которую мы хоюли бы получить. Порядок выбора количества полиномов п и множиюлей сходимости тп в них будет определяться мощностью компьютера и точностью вычислений, которую мы хоюли бы получить. Следует отметить, чю разработанные процедуры вычисления множителей сходимости были написаны с учеюм того, чтобы достаточно легко могли быть импортированы в другие программные модули.

При решении конкретых задач выполненные вычисления показали, что меюд Мит таг-Леффлера хорошо рабошет, т.е. дает хорошие оценки погрешности, когда исходные точки находятся вблизи £о, но чем дальше они отстоят от ^0) тем больше возрастает погрешность приближения.

Одним из основных результатов рабош является построение новых аналитических алгоритмов, основанных на меюдах Миттаг-Леффлера и Паде, для вычисления значений р(г)-функции Вейерштрасса, которая играет огромную роль в теории эллиптических функций, т.к. любую эллишическую функцию можно представить через р(г)-функцию Вейерштрасса. Используя тот факт, что р(2:)-функция Вейерштрасса удовлетворяет нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка p'(z)]2 = A[p(z)f - q2p(z) - <73, где q2, <?з ~ инварианты, удовлетворяющие условию qj — 27q% ф 0, строится алгоритм решения данного дифференциального уравнения, удобный для численной реализации на компьютере. Предлагавюя использовать для численной реализации построенного алгоритма разработанные в процессе работы программные процедуры. Следует отметить, что сложная задача нахождения множителей сходимости уже решена и нет необходимости их пересчитывать.

Созданные в процессе работы алгоритмы использую! ся при решении задач механики на модельных примерах: задача о сферическом мая!нике и уравнение Дуффинга.

В задаче о сферическом маятнике строится решение системы уравнений, описывающих движение сферического маятника, через р(,г)-функцию Вей-ерштрасса, которая вычисляется с помощью алгоритмов, основанных на методах Миттаг-Леффлера и Паде, в аналитическом виде.

При решении уравнение Дуффинга, в первую очередь, уделено внимание важной и сложной задаче численного анализа - iiociроению ряда Тейлора. Используя разработанные в первой главе алгоритмы: алгоритм применения меюда Мит таг-Леффлера к решению дифференциальных уравнений и алгоритм вычисления множителей сходимости, строи 1ся приближение решения уравнения Дуффинга с помощью компьютера. Проводится анализ численных расчеюв. Затем для решения уравнения Дуффинга строятся аппроксимации Паде. В аналитическом виде построена аппроксимация Паде [3/3]. Разра-ботнный алгоритм вычисления аппроксимаций Паде реализован на ЭВМ для диагональных аппроксимаций Паде L = М > 3. Из полученных расчетов видно, что применение меюда Миттаг-Леффлера вблизи начальной точки to дает приемлемые результаты, что и подтверждав 1ся теоретическими выводами первой главы. Но как только начинаем удаляться от точки to метод Митчаг-Леффлера работет, но дает не достаточные оценки погрешности приближения в отличии от построенных аппроксимаций Паде, о чем свидетельствуют приведенные расчеты.

Полученные в диссертации результаты являююя развитием теории приближений функций. Теоретическая значимость работы определяется тем, что в ней предложены математические меюды и вычислительные алгоритмы, с иомощыо которых можно существенно повысить эффективность решения достаточно сложных задач нахождения решения голоморфных дифференциальных уравнений. При эюм очевидна и практическая направленность работы, состоящая в применении полученных теоретических и численных результатов для дальнейших проведений исследований в этой области. Основная трудность применения меюда Миттаг-Леффлера к задачам механики заключав 1ся в численных затратах (имееюя в виду время работы компьютера) при расчетах множителей сходимости. В связи с развитием компьютерной техники, можно вести расчеты на более мощных компьютерах, и попытаться распараллелить вычисления. Еще одна очень важная проблема, которая возникла в ходе работы - это вычисление коэффициешов Тейлора в силу ираиой части дифференциального уравнении. Здесь 'юже можно попытаться подобрать меюд вычисления производных высших порядков в начальной точке, чем самым сокращая время работы расчетных программ. Следует подчеркнуть, что практическая ценность работы состоит в ее изначальной ориентации на решение проблемы реализуемости, как разрабатываемых методов, так и получаемых с их помощью алгоритмов в реальных условиях применения. Практические результаты работы подтверждаются теоретическими данными. Разработанные в диссертации меюды и алгоритмы ориентированы на решение задач на базе широко доступных вычислительных средств типа ЭВМ.

Публикации но теме

1. Вишневский В.Э., Иванова О.Л. Конформная эквивалентность и аппроксимация Паде в аналитической теории дифференциальных уравнений// Труды Международной математической конференции <Еругинские чтения - 6>, Гомель, 1999, с. 7.

2. Иванова О.А. Лучевая аппроксимация Паде-Шепкса преобразований Ли// Процессы управления и устойчивость: Труды XXXIII научной конференции аспирантов и студешов / Под ред. В.Н. Старкова.- СПб.: Изд-во НИИ Химии СПбГУ, 2002. С. 67-69. СПб: Изд-во СПбГУ, 2003. 112 с.

3. Вишневский В.Э., Иванова О.А. Аналитическое продолжение преобразований Ли обыкновенных дифференциальных уравнений// Сборник < Вопросы механики и процессов управления> Вып. 22. Динамика, оптимизация, управление. СПб: Изд-во СПбГУ, 2004. С. 45-53.

4. Вишневский В.Э., Иванова О.А. Применение преобразований Ли в задачах быстродействия// Труды 12-ой Саратовской зимней школы <Современные проблемы теории функций и их применение>, Сараюв, 2004, с. 46.

5. Иванова О.А. Решение задачи Коши в звезде Миттаг-Леффлера для аналитических дифференциальных уравнений// Процессы управления и устойчивость: Труды XXXVI межвузовской научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н.В. Смирнова, В.Н. Старкова.- СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005. С. 53-59.

6. Иванова О.А. Приближение решения уравнения Дуффиша в звезде// Процессы управления и устойчивость: Труды XXXVII международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А.В. Платонова, Н.В. Смирнова.- СПб.: Изд-во СПбГУ, 2006. С. 39-42.

7. Иванова О.А. Равномерные приближения решения задачи Коши в теории дифференциальных уравнений// Вестник СПбГУ. СПб.: Изд-во СПб-ГУ, Сер. 10, выи. 4, 2006. С. 48-60.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Иванова, Ольга Александровна, 2007 год

1. Адуков В.М. Об асимптотическом поведении знаменателей аппроксимации Паде для предпоследней промежуточной строки// Вестн. Ю. Ур. ГУ. Сер. Мат. физ., химия. 2005, X* 2, с. 3-4.

2. Айзенберг JI.A., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. М.: Наука, 1979.

3. Александров И.А., Соболев В.В. Аналитические функции комплексного переменного. М.: Паука, 1984.

4. Алферов Г.В., Бабаджаняпц J1.K., Ковригин Д.А., Сенатова С.В. Лабораторный практикум по механике управляемого движения с использованием мини-ЭВМ. (Учебное пособие). СПб.: Изд-во ЛГУ, 1989. 84 с.

5. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с.

6. G. Арнольд В.И. Математические меюды классической механики. М.: Наука, 1979. 431 с.

7. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: 1970. 304 с.

8. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 19G5. 407 с.

9. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимация Паде. М.: Мир 198G. 502 с.

10. Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М.: Паука. 19G7. 240 с.

11. Борисович Ю.Г., Близняков II.М., Израилевич 51.А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию. М.: Наука, 1995. 41G с.

12. Боголюбов Н.Н., Митроиольский Ю.А., Самойленко A.M. Меюд ускоренной сходимости в нелинейной механике. К.: Наукова Думка, 19G9. 247 с.

13. Болтянский В.Г. Математические меюды оптимального управления. М.: Наука, 1969. 408 с.

14. Брумберг В. А. Ряды полиномов в задаче трех тел// Б юл л. ИТА, 9, 4 (107). 1963. С. 234-256.

15. Вайнберг М.М., Треногин В.Л. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М., 1969.

16. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных спсчем. М.: Наука, 1984. 320 с.

17. Вишневский В.Э., Иванова О.А. Конформная эквивалентность и аппроксимация Паде в аналитической теории дифференциальных уравнений// Труды Международной математической конференции <Еругинские чтения 6>, Гомель, 1999. С. 7.

18. Вишневский В.Э., Мартыненко Г.А., Иванова О.А., Цылева И.А. Рациональная аппроксимация и интерполяция в дифференциальных уравнениях. (Учебное пособие) СПб: Изд-во ООП ПИИ Химии СПбГУ, 1999. 50 с.

19. Вишневский В.Э., Иванова О.А. Топологические свойства в проблеме построения корней алтебраических уравнений. (Учебно-методическое пособие) СПб: Изд-во ООП НИИ Химии СПбГУ, 2001. 19 с.

20. Вишневский В.Э., Иванова О.А. Функционально-аналитические представления решений в нелинейных задачах теории управления. (Учебное пособие) СПб: Изд-во СПбГУ, 2003. 112 с.

21. Вишневский В.Э., Иванова О.А. Аналитическое продолжение преобразований ЛИ обыкновенных дифференциальных уравнений// Сборник <Вонросы механики и процессов управления> Вып. 22 Динамика, оптимизация, управление. СПб: Изд-во СПбГУ, 2004. С. 45-53.

22. Вишневский В.Э., Иванова О.А. Применение преобразований Ли в задачах быстродействия// Труды 12-ой Саратовской зимней школы <Со-времениые проблемы теории функций и их применение>, Саратов, 2004. С. 46.

23. Ганнипг Р., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1969. 390 с.27 28 [2930 3132