Алгоритмическое и программное обеспечение проблемы глобальной идентифицируемости и дискриминируемости динамических моделей в пространстве состояний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Каргин, Сергей Алексеевич

• Каргин, Сергей Алексеевич
• кандидат технических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат технических наук Каргин, Сергей Алексеевич

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТИ.

1.1. Обзор литературы по проблеме идентифицируемости.

1.2. Основные определения.

1.3. Два метода анализа структурной идентифицируемости.

1.3.1. Метод преобразования подобия.

1.3.2. Метод модальных матриц.

1.4. Основные задачи диссертационной работы.

2. УСЛОВИЯ РАНГА ДЛЯ ГЛОБАЛЬНОЙ ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТИ И МЕТОДЫ ИХ ПРОВЕРКИ.

2.1. Исследование глобальной идентифицируемости структур общего вида.

2.1.1. Условие ранга для глобальной идентифицируемости.

2.1.2. Алгоритм формирования систем уравнений для нахождения решений задачи идентифицируемости на основе условия ранга.

2.2. Проверка глобальной идентифицируемости структур с линейными ограничениями на параметры.

2.2.1. Необходимое и достаточное условие глобальной идентифицируемости, требующее только проверки совместности системы уравнений.

2.2.2. Алгоритм нахождения ограничений, при которых матрица глобальной идентифицируемости имеет неполный столбцовый ранг.

2.3. Алгоритм приведения прямоугольной матрицы к верхнему блочно-треугольному виду.

2.4. Выводы по главе.

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СЕПАРАТОРОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА.

3.1. Определение сепараторов.

3.2. Критерий истинности сепаратора.

3.3. Примеры анализа глобальной идентифицируемости модельных структур с помощью сепараторов.

3.4. Элиминирование неидентифицируемости с помощью истинных сепараторов.

3.4.1. Использование истинных сепараторов как ограничений структуры модели.

3.4.2. Нахождение оценок параметров внутри областей, ограниченных истинными сепараторами.

3.5. Выводы по главе.

4. АНАЛИЗ ДИСКРИМИНИРУЕМОСТИ КОНКУРИРУЮЩИХ МОДЕЛЬНЫХ СТРУКТУР.

4.1. Условие ранга для проверки структурной различимости.

4.1.1. Условие ранга для структур общего вида.

4.1.2. Условие ранга для структур с числовыми матрицами управления и наблюдения.

4.1.3. Алгоритм проверки условия ранга.

4.1.4. Примеры анализа дискриминируемости структур с помощью условия ранга.

4.2. Модификация метода преобразования подобия для дискриминируемости

4.3. Выводы по главе.

5. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕДЛОЖЕННЫХ АЛГОРИТМОВ АНАЛИЗА ГЛОБАЛЬНОЙ ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТИ НА ПРИМЕРАХ. 108 РЕАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

5.1. Модели технических систем.

5.1.1. Система чтения информации с диска.

5.1.2. Система управления электроприводом.

5.1.3. Модель B-метаболизма аполипопротеина человека.

5.1.4. 8-камерная модель.

5.2. Описание программного обеспечения для анализа глобальной идентифицируемости.

5.3. Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмическое и программное обеспечение проблемы глобальной идентифицируемости и дискриминируемости динамических моделей в пространстве состояний»

Наиболее распространенным способом построения математических моделей является параметрическая идентификация, которая обычно состоит из двух этапов. На первом этапе производится выбор структуры модели исходя из имеющейся априорной информации: физических, химических, биологических и т.п. законов. Структура содержит неизвестные параметры и фактически описывает множество моделей - каждому конкретному значению параметров соответствует некоторая модель из множества. На втором этапе осуществляется нахождение оптимальной модели из множества моделей, функция отклика которой наиболее близка к реально измеренной. Существенной проблемой на этом этапе может стать неидентифицируемость параметров структуры, означающая по сути неединственность выбора оптимальной модели из множества моделей. Неидентифицируемость параметров может быть вызвана различными причинами. Во-первых, причинами, относящимися непосредственно к процедуре оценивания параметров модели, например, недостаточной точностью экспериментальных данных, неудачно выбранным планом эксперимента, неэффективностью метода нахождения оценок. Во-вторых, отсутствием согласия между сложностью структуры и количеством информации, которую можно извлечь из эксперимента. В этом случае имеет место так называемая структурная (априорная) неидентифицируемость. Исследованию проблемы структурной идентифицируемости и посвящена настоящая работа.

Особенно актуальна проблема структурной идентифицируемости для динамических моделей в пространстве состояний. Именно в этом классе моделей наиболее велика доля неидентифицируемых структур. В то же время известные методы анализа идентифицируемости для динамических структур пригодны лишь в случае небольшой размерности (не более 6) вектора состояния. Причиной этого является необходимость применения для анализа идентифицируемости структур вычислений в символьном виде, поскольку на данном этапе конкретные значения параметров (оценки) неизвестны, и анализ должен проводится для всех точек параметрического пространства одновременно.

Различают два вида идентифицируемости модельных структур. Наиболее благоприятным для исследователя является случай глобально идентифицируемой структуры, когда взаимно однозначное соответствие между вектором параметров и функцией отклика модели существует на всем параметрическом пространстве. Если же взаимно однозначное соответствие между вектором параметров и функцией отклика имеет место только в некоторой подобласти параметрического пространства, то структуру называют локально идентифицируемой. В случае неидентифицируемой {локально неидентифицируемой) структуры каждому значению функции отклика соответствует континуальное множество точек параметрического пространства.

Анализ локальной и глобальной идентифицируемости - это различные по уровню сложности задачи. Обычно для анализа идентифицируемости строятся уравнения неразличимости, отражающие условие неразличимости откликов двух различных точек параметрического пространства. Для проверки локальной идентифицируемости достаточно вычислить ранг матрицы Якоби уравнений неразличимости, в то время как для проверки глобальной идентифицируемости данные уравнения необходимо решить. В зависимости от используемого подхода меняется степень нелинейности уравнений неразличимости и количество неизвестных, но, как правило, для структур, размерность которых больше 6-7, эти уравнения не удается решить даже с помощью современных систем символьных вычислений, таких как Maple, Mathematica, Reduce. Здесь сказывается присущий символьным преобразованиям эффект «комбинаторного взрыва», когда с каждым шагом преобразований размер символьного выражения увеличивается экспоненциально. Таким образом, анализ глобальной идентифицируемости модельных структур размерности больше 6 с помощью известных методов зачастую невыполнимая задача.

С учетом вышесказанного, решение проблемы анализа глобальной идентифицируемости для структур большой размерности возможно только лишь путем упрощения уравнений неразличимости или же разработкой подхода, не требующего решения уравнений. С этой точки зрения чрезвычайно удобны уравнения, полученные с помощью метода преобразования подобия, они имеют строго определенную билинейную структуру, не зависящую от размерности модели. В то же время данные уравнения (уравнения подобия) содержат слишком большое число неизвестных, которое растет экспоненциально с ростом размерности модели. Устранение этого недостатка позволило бы расширить границы применимости метода преобразования подобия.

Оригинальный подход для анализа глобальной идентифицируемости был предложен в 1985 году Ж. Делфоржем и коллегами. Этот подход не требует решения системы уравнений и основывается на идее нахождения истинных сепараторов - гиперповерхностей параметрического пространства, разделяющих различные решения задачи идентифицируемости. Ж. Делфорж выдвинул ряд до сих пор не доказанных гипотез об определении истинных сепараторов для частного случая камерных моделей. Данные гипотезы были получены на основе метода модальных матриц, который во многом схож с методом преобразования подобия. Определение истинных сепараторов с помощью метода преобразования подобия, который применим для более широкого класса моделей, по сравнению с методом модальных матриц, позволило бы решить проблему анализа глобальной идентифицируемости моделей больших размерностей.

Очень тесно с проблемой идентифицируемости связана проблема проверки дискриминируемости (различимости) конкурирующих модельных структур. Дискриминируемость двух различных модельных структур должна быть установлена до этапа дискриминации моделей и по сути означает принципиальную различимость модельных структур по отклику. Только в случае дискриминируемости двух структур процедура дискриминации моделей имеет смысл. Если модельные структуры неразличимы друг от друга по входу-выходу, то любая попытка дискриминации между ними будет бессмысленной. Методы проверки идентифицируемости и дискриминируемости основаны на общих принципах и потому очень схожи, а значит, имеют схожие недостатки. Поэтому разработка методов проверки дискриминируемости для моделей больших размерностей также весьма актуальна.

Все вышесказанное позволяет сформулировать цель данной диссертационной работы. Целью работы является разработка методов и алгоритмов для анализа глобальной идентифицируемости и дискриминируемости линейных моделей в пространстве состояний, эффективных также и в случае моделей больших размерностей. В рамках поставленной цели выделим три основные задачи. Во-первых, это разработка алгоритмов для упрощения системы уравнений подобия: уменьшения количества уравнений и неизвестных. Во-вторых, разработка на базе метода преобразования подобия способа нахождения истинных сепараторов параметрического пространства. В-третьих, разработка эффективных условий проверки дискриминируемости конкурирующих модельных структур.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории систем, теории идентификации, линейной и компьютерной алгебры.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Предложено условие ранга для проверки глобальной идентифицируемости структур общего вида, а также эффективный алгоритм для нахождения параметрических ограничений, удовлетворяющих условию ранга. Предложен алгоритм нахождения параметрических ограничений, при которых матрица глобальной идентифицируемости имеет неполный столбцовый ранг.

2. Предложен алгоритм для приведения прямоугольной матрицы к верхнему блочно-треугольному виду с минимальными размерами диагональных блоков. Такое преобразование прямоугольной матрицы чрезвычайно важно для повышения эффективности предложенных методов проверки глобальной иден-^ тифицируемости в случае структур больших размерностей.

3. Введено понятие истинного сепаратора параметрического пространства и доказаны его основные свойства. Доказана теорема об определении максимального количества решений задачи идентифицируемости на основе истинных сепараторов. Доказан критерий истинности сепараторов, требующий только лишь вычисления ранга матрицы Якоби системы уравнений подобия.

4. Предложено условие ранга для проверки дискриминируемости конкурирующих модельных структур общего вида. Для структур с числовыми матрицами управления и наблюдения уменьшена размерность матрицы, фигурирующей в условии ранга. Разработан алгоритм нахождения параметрических ограничений, удовлетворяющих условию ранга для дискриминируемости. Алгоритм основан на факторизации различных ненулевых определителей подматриц матрицы, фигурирующей в условии ранга.

5. Разработано программное обеспечение в среде пакета символьных вычислений Maple для анализа глобальной идентифицируемости и дискриминируемости динамических моделей.

На защиту выносятся:

1. Условие ранга для проверки глобальной идентифицируемости структур общего вида и алгоритм, основанный на данном условии, для формирования систем уравнений, содержащих решения задачи идентифицируемости.

2. Алгоритм приведения прямоугольной матрицы, имеющей полный столбцовый ранг, к верхнему блочно-треугольному виду с минимальными размерами диагональных блоков.

3. Алгоритм нахождения сепараторов для структур с линейными ограни-^ чениями на параметры.

4. Условие глобальной идентифицируемости, основанное на истинных сепараторах, и критерий истинности сепараторов.

5. Условие ранга для анализа дискриминируемости структур общего вида и структур с линейными ограничениями на параметры, а также алгоритм проверки данного условия.

6. Программное обеспечение для анализа глобальной идентифицируемости и дискриминируемости динамических моделей.

Практическая ценность и реализация результатов исследования. Разработанные в диссертации методы и алгоритмы могут найти применение при анализе глобальной идентифицируемости и дискриминируемости линейных динамических моделей в пространстве состояний. Такими моделями могут быть описаны, в частности, системы автоматического управления, различные физические, химические, биологические и т.п. явления.

С использованием разработанных методов и алгоритмов была исследована глобальная идентифицируемость моделей системы чтения информации с жесткого диска компьютера, системы управления электроприводом и биомедицинских камерных систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались:

- на V Международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Новосибирск, 2000 г.);

- на V Российско-Корейском международном симпозиуме «Научные основы высоких технологий» К01Ш8-2001 (Томск, 2001 г.);

- на XIV, XV Международных научных конференциях «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-14, ММТТ-15 (Смоленск, 2001 г.; Тамбов, 2002 г.);

- на II Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» ЗЮРЯО'ОЗ (Москва, 2003 г.).

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 8 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованных источников из 110 наименований. Объем работы составляет 139 страниц машинописного текста, включая 4 рисунка.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Каргин, Сергей Алексеевич

5.3. Выводы по главе

В данной главе были проведены следующие исследования:

1. Проведен анализ глобальной идентифицируемости двух реальных систем автоматического управления с использованием сепараторов параметрического пространства. На примере данных систем рассмотрена процедура перехода от физических параметров системы к системным параметрам.

2. Исследована глобальная идентифицируемость реальной биомедицинской модели большой размерности. Произведена оценка эффективности метода, основанного на сепараторах, в сравнении с методом преобразования подобия.

3. Также была описано программное обеспечение для анализа глобальной идентифицируемости линейных динамических структур, разработанное в среде программной системы символьных вычислений Maple.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Суммируем основные полученные в работе результаты.

1. Предложено условие ранга для проверю! глобальной идентифицируемости структур общего вида. Данное условие разработано на базе уравнений подобия и позволяет избавиться от части неизвестных, сформировав дополнительные системы нелинейных уравнений, содержащие меньшее количество неизвестных. Для формирования на основе условия ранга дополнительных систем уравнений разработан алгоритм, использующий метод исключения Гаусса.

2. Для структур с линейными ограничениями на параметры доказано необходимое и достаточное условие глобальной идентифицируемости, требующее только проверки совместности системы уравнений.

3. Разработан алгоритм для приведения прямоугольной матрицы, имеющей полный столбцовый ранг, к верхнему блочно-треугольному виду с минимальными размерами диагональных блоков. Данное преобразование матрицы очень важно для повышения эффективности предложенных методов анализа глобальной идентифицируемости в случае моделей больших размерностей.

4. Разработан алгоритм нахождения сепараторов параметрического пространства.

5. Доказаны основные свойства истинных сепараторов. Доказана теорема об определении с помощью истинных сепараторов максимального количества решений задачи идентифицируемости. Доказан критерий истинности сепараторов. Обоснованы два способа элиминирования глобальной неидентифицируемости с помощью истинных сепараторов.

6. Предложено условие ранга для проверки дискриминируемости структур общего вида и структур с линейными ограничениями на параметры. Данное условие разработано на основе уравнений подобия для дискриминируемости и позволяет сформировать более простые уравнения с меньшим количеством неизвестных для нахождения решений исходной системы уравнений. Разработан алгоритм для формирования систем уравнений с использованием условия ранга для дискриминируемости. Алгоритм основан на факторизации различных определителей подматриц матрицы ранга.

7. Исследована глобальная идентифицируемость реальных технических систем, имеющих практическое значение.

8. Разработано программное обеспечение для анализа идентифицируемости и дискриминируемости модельных структур. Программа разработана в среде программной системы символьных вычислений Maple и выполнена в виде внешнего подключаемого модуля.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Каргин, Сергей Алексеевич, 2003 год

1. Koopmans Т.С. Identification problems in economic model construction. // Studies in econometric method / Ed. By W.C. Hood and T.C. Koopmans. -New-York: Wiley. 1953.

2. Fisher F.M. Generalization of the rank and order conditions for identiflability // Econometrica. 1959. - V. 27. - P. 431-447.

3. Fisher F.M. Identiflability criteria in nonlinear systems // Econometrica. — 1961.-V.29.-P. 574-590.

4. Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. М.: Статистика,1978.-224 с.

5. Wald A. Note on the identification of economic relations // Statistical inference in dynamic economic models. New-York: Mc Graw-Hill, 1950.

6. Bellman R., Astrom K.J. On structural identiflability // Math. Biosci. 1970. -V.7.-P. 329-339.

7. Cobelli C., Lepschy A., Romanin Jacur G. Identiflability of compartmental systems and related structural properties // Math. Biosci. 1979. - V.44. — P. 1-18.

8. Bossi A., Cobelli C., Colussi L., Romanin Jacur G. A method of writing symbolically the transfer matrix of a compartmental model // Math. Biosci. —1979.-V.43.-P. 187-198.

9. Audoly S., D'Angio L. On the identiflability of linear compartmental systems; a revisited transfer function approach based on topological properties // Math. Biosci. 1983. - V.66. - P. 201-228.

10. Delforge J., D'Angio L., Audoly S. A relation between certain transfer functions and their application to the identiflability of linear models // Int. J. Control. 1983.-V.38.-N.6.-P. 1181-1188.

11. Audoly S., D'Angio L., Pia Saccomani M., Cobelli C. Global identifiability of linear compartmental models a computer algebra algorithm // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. - 1998. - V.45. - N.l. - P. 36-47.

12. Godfrey K., Compartmental models and their application. London, U.K.: Academic, 1983.

13. Jacquez J.A. Compartmental analysis in biology and medicine. — Ann Arbor: BioMedware, 1996.

14. Pohjanpalo H. System identifiability based on the power series expansion of the solution // Math. Biosci. 1978. - V.41. - P. 21-33.

15. Pohjanpalo H. Identifiability of deterministic differential models in state space: Research Report No. 56 / Technical Research Centre of Finland. — Espoo, 1982.

16. Thowsen A. Identifiability of dynamic systems // Int. J. Syst. Sci. 1978. -V.9.-N.7.-P. 813-825.

17. Grewal M.S., Glover K. Identifiability of linear and nonlinear dynamical systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1976. - V. AC-21. - P. 833-837.

18. Lecourtier Y., Lamnabhi-Lagarrigue F., Walter E. Volterra and generating power series approaches to identifiability testing // Identifiability of parametric models / Ed. E. Walter. Oxford: Pergamon Press, 1987. - P. 50-66.

19. Walter E., Lecourtier Y. Global approaches to identifiability testing for linear and nonlinear state space models // Math. Comput. Simulation. — 1982. — V.24.-P. 472—482.

20. Norton J.P. Normal-mode identifiability analysis of compartmental systems in linear stages // Math. Biosci. 1980. - V.50. - P. 95-115.

21. Delforge J. New results to the problem of identifiability of a linear system // Math. Biosci. 1980. - V.52. - P. 73-96.

22. Delforge J. On local identifiability of linear systems // Math. Biosci. 1984. -V.70.-P. 1-37.

23. Delforge J., D'Angio L., Audoly S. On the use of the norm-coerciveness theorem in the identifiability problem of linear compartmental models // IEEE Trans. Automat. Control. 1986. - V. AC-31. - P. 573-575.

24. Delforge J., D'Angio L., Audoly S. Results and conjectures on the identifiability of linear systems // Identifiability of parametric models / Ed. E. Walter. Oxford: Pergamon Press, 1987. - P. 21-31.

25. Berman M., Schoenfeld R. Invariants in experimental data on linear kinetics and the formulation of models // J. Appl. Phys. 1956. - V.27. - P. 1361— 1370.

26. Rubinow S.I., Winzer A. Compartment analysis: an inverse problem // Math. Biosci. 1971. - V.11. - P. 203-247.

27. Walter E., Lecourtier Y. Unidentifiable compartmental models: What to do? // Math. Biosci. -1981.- V.56. P. 1-25.

28. Travis C.C., Haddock C. On structural identification // Math. Biosci. 1981. -V.56.-P. 157-173.

29. Горский В.Г., Авдеенко T.B. В кн.: Оптимальное проектирование, планирование экспериментов и моделирование многофакторных объектов. - Новосибирск: НЭТИ, 1989.-е. 18-23.

30. Авдеенко Т.В. Разработка методов и алгоритмов анализа идентифицируемости и планирования экспериментов для динамических объектов управления: Автореф. канд. дисс. Новосибирск: НЭТИ, 1990. — 18 с.

31. Vajda S., Godfrey K.R., Rabitz H. Similarity transformation approach to identifiability analysis of nonlinear compartmental models // Math. Biosci. -1989.-V.93.-P. 217-248.

32. Ljung L., Glad T. On global identifiability for arbitrary model parametriza-tions // Automatica. 1994. - V.30. - No.2 - P. 265-276.

33. Асадуллин P.M. Исключение неизмеряемых концентраций веществ и обратные задачи нестационарной химической кинетики: Автореф. докт. дисс. Уфа: Баш. ГУ, 1998. - 35 с.

34. D'Angio L., Audoly S., Bellu G., Saccomany M.P., Cobelli C. Structural identifiability of nonlinear systems: algorithms based on differential ideals // IF AC System Identification Simp. Copengagen, Denmark, 1994. — P. 977982.

35. Saccomany M.P., Audoly S., Bellu G., D'Angio L., Cobelli C. Global identifiability of nonlinear model parameters // IF AC System Identification Simp. Kitakyushu, Fukuoka, 1997. - P. 233-238. .

36. Писаренко B.H., Погорелов А.Г., Кононов Н.Ф. Доклады АН СССР, 1966. - Т. 167. - №4. — с. 859-862.

37. Писаренко В.Н., Погорелов А.Г. Планирование кинетических исследований. М.: Наука, 1969. - 176 с.

38. Клибанов М.В., Спивак С.И., Тимошенко В.И., Слинько М.Г. Доклады АН СССР, 1973. - Т.208. - №5. - с. 1387-1390.

39. Спивак С.И. Информативность эксперимента и проблема неединственности решения обратных задач химической кинетики: Автореф. докт. дисс. Черноголовка: ИХФ АН СССР, 1998. - 35 с.

40. Спивак С.И. Методы построения кинетических моделей каталитических стационарных реакций: Автореф. канд. дисс. Новосибирск: ИК СО АН СССР, 1998.-35 с.

41. Коковин Г.А., Титов В.А., Буждан Я.М., Дехтярь Р.В. // Изв. СО АН СССР, сер. хим. наук. 1975. - №7. - вып.З. - С. 25-35.

42. Спивак С.И., Ахмадишин З.Ш. // React. Kinet. Catal. Zett. 1979. - V.10. -No.3. - P. 271-274.

43. Avdeenko T.V. Rank and order conditions for local identiflability of linearthdynamical models // 4 Intern. Conf. on Actual Problems of Electronic Instrument Engineering APEIE-98.-Novosibirsk, 1998.-V.l.-P. 14-19.

44. Авдеенко T.B. Условия ранга и порядка для локальной идентифицируемости линейных динамических моделей с исключающими и балансовыми ограничениями на матрицу состояния // Сб. науч; тр. НГТУ. Новосибирск: НГТУ, 1998. - № 3(12). - С. 25-34.

45. Авдеенко Т.В. Классификация исключающих ограничений на матрицу состояния по их вкладу в локальную идентифицируемость линейных динамических моделей // Научный вестник НГТУ. Новосибирск: НГТУ, 1999. -№ 1(6). - С. 3-15.

46. Авдеенко Т.В., Горский В.Г. Новый подход к анализу идентифицируемости систем линейных дифференциальных уравнений // Сб. тр. XIII Межд. науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-13. Санкт-Петербург, 2000. - Т.1. - С. 29-32.

47. Авдеенко Т.В. О планировании идентифицируемой модельной структуры в пространстве состояний // Тез. докл. Межд. конгр. ИНПРИМ-2000. Новосибирск, 2000. - С. 3-4.

48. Авдеенко Т.В. О планировании модельной структуры в пространстве состояний: анализ структурной идентифицируемости // Сибирский журнал индустриальной математики. 2001. - Т. IV. - № 2(8). - С. 59-72.

49. Avdeenko T.V. On structural identiflability of system parameters of linear models // Proc. of 15 IF AC World Congress. Barselona, Spain, 2002. - 6 p.

50. Авдеенко Т.В. Анализ априорной идентифицируемости динамических моделей с использованием условий ранга и порядка // Тр. II Межд. конф. «Идентификация систем и задачи управления» SICPRCT03. — М., 2003.-13 с.

51. Avdeenko T.V. Sufficient condition for global identifiability of linear dynamical models // Proc. of the Third Russian-Korean Intern. Symposium on Science and Technology (KORUS-99). Novosibirsk: NSTU, 1999. - P. 505-509.

52. Avdeenko T.V., Kargin S.A. The problem of distinguishability of state spacethmodels // Proc. 5 Int. Conf. on Actual Problems of Electronic Instrument Engineering APEIE-2000. Novosibirsk, 2000. - V.l. - P. 77-82.

53. Avdeenko T.V., Hai Gon Je. On the study of solution uniqueness to the task of determining unknown parameters of mathematical models // East Asian Math. J. 2000. - No.2. - P. 251-266.

54. Авдеенко T.B., Горский В.Г. Нахождение оцениваемых параметричеIских функций для неидентифицируемых моделей // Сб. тр. 14 Межд. науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-14. Смоленск, 2001. - Т.2. - С. 117-118.

55. Авдеенко Т.В., Горский В.Г. Нахождение оцениваемых параметрических функций для локально неидентифицируемых модлей в пространстве состояний // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. -2002. Т.68. -№.11.- С.52-59.

56. Авдеенко Т.В. Два способа элиминирования неидентифицируемости динамических моделей в пространстве состояний // Сб. тр. XV Межд. науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-15. Тамбов, 2002. - Т.5. - С. 84-89.

57. Walter Е. Identifiability of state space models. — Berlin, Germany: SpringerVerlag, 1982.-197 p.

58. Gunn R.N., Chappel M.J., Cunningham V.J. Reparameterisation of unidentifiable systems using the Taylor series approach // Proc. of the IFAC Symposium. Warwick, 1997. - P. 247-250.

59. DiStefano III J.J. Complete parameter bounds and quasiidentifiability conditions for a class of unidentifiable linear systems // Math. Biosci. — 1983. — V.65.-P.51-68.

60. Landaw E.M., Chen B.C., DiStefano III J.J. An algorithm for the identifiable parameter combinations of the general mammilary compartmental model // Math. Biosci. 1984.- V.72.- P. 199-212.

61. Chen B.C., Landaw E.M., DiStefano III J.J. Algorithms for the identifiable parameter combinations and parameter bounds of unidentifiable catenary compartmental models // Math. Biosci. 1985. - V.76. - P. 59-68.

62. Cobelli C., Toffolo G. Identifiability from parameter bounds: structural and numerical aspects // Math. Biosci. 1984. - V.71. - P. 237-243.

63. DiStefano III J.J. Letter to the editor // Math. Biosci. 1984. - V.71. - P. 245-246.

64. Vajda S., DiStefano III J.J., Godfrey K.R., Fagarasan J. Parameter space boundaries for unidentifiable compartmental models // Math. Biosci. 1989. -V.97.-P. 27-60.

65. Delforge J. On the similarity between two approaches to the identifiability problem//Math. Biosci. 1986. - V.81. -P. 127-144.

66. Delforge J. Relations between the main approaches to linear system identifiability: application to calculation of jacobian matrices determinants // Int. J. Systems Sci.- 1989.-V.2.-N.6.-P. 1079-1097.

67. Walter E., Pronzato L. Qualitative and quantitative experiment design for phenomenological models a survey // Automatica. - 1990. - V.26. - No.2. -P. 195-213.

68. Walter E., Pronzato L. On the identifiability and distinguishability of nonlinear parametric models // Mathematics and Computers in Simulation. — 1996. -V.42.-P. 125-134.

69. Горский В.Г., Круглов B.B., Храименков М.И. Идентифицируемость динамических моделей (обзор). 1985. - 36 с. - Деп. в ВИНИТИ, 555285.

70. Gorsky V.G. A prior parameter identifiability analysis of fixed structure models // Design of experiments and data analysis: new trends and results / Edited by E.K. Letzky. Moscow: Antal, 1993. - P. 92-131.

71. Feng D., DiStefano III J.J. Decomposition-based qualitative experiment design algorithms for a class of compartmental models // math. Biosci. 1992. -V.110.-P. 27-43.

72. Milanese M., Sorrentino N. Decomposition methods for the identifiability analysis of large systems // Int. J. Control. 1978. - V.28. - P. 71-79.

73. Eisenfeld J. New techniques for structural identifiability for large linear and nonlinear compartmental systems // Math. Comput. Simulation. 1982. -V.24.-P. 494-501.

74. Eisenfeld J., Grundy S.M. Structural identification of large systems by reduction to subsystems: VLDL triglycerides // Math. Biosci. 1983. - V.66. - P. 129-149.

75. Raksanyi A., Lecourtier Y., Walter E., Venot A. Identifiability and distin-guishability testing via computer algebra // Math. Biosci. 1985. - V.77. - P. 245-266.

76. Lecourtier Y., Raksanyi A. The testing of structural properties through symbolic computation // Identifiability of parametric models / Ed. E. Walter. -Oxford: Pergamon Press, 1987. P. 75-84.

77. Бухбергер Б. Базисы Гребнера. Алгоритмический метод в теории полиномиальных идеалов // Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления / Под ред. Б. Бухбергера, Дж. Коллинза, P. Jlooca. -М.: Мир, 1986. С. 331-372.

78. Ван Хюльзен Я., Калме Ж. Системы компьютерной алгебры // Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления / Под ред. Б. Бухбергера, Дж. Коллинза, P. Jlooca. М.: Мир, 1986. - С. 277-307.

79. Saccomani М.Р., Audoly S., D'Angio L., Sattier R., Cobelli C. PRIDE: a program to test a prior global identifiability of linear compartmental models // IFAC System Identification Simp. Copengagen, Denmark, 1994. - P. 989-994.

80. Vajda S. Structural equivalence of linear systems and compartmental models // Math. Biosci. 1981. - V.55. - P. 39-64.

81. Zadeh L.A. The concepts in system, aggregate and state in system theory // System theory / Ed. by Zadeh L.A., Polak E. New York: McGraw-Hill, 1969.

82. Walter E., Lecourtier Y., Happel J. On the structural output distinguishability of parametric models, and its relations with structural identifiability // IEEE Trans, on Autom. Control. 1984. - V.AC-29. - No. 1. - P. 56-57.

83. Walter E., Lecourtier Y., Raksanyi A., Happel J. On the distinguishability of parametric models with different structures // Mathematics and Computers in Biomedical Applications / Ed. by Eisenfeld J., Delisi C. Amsterdam: Elsevier, 1985.-P. 145-159.

84. Vajda S. Structural equivalence and exhaustive compartmental modeling // Math. Biosci. 1984. - V.69. - P. 57-75.

85. Walter E., Lecourtier Y., Happel J., Kao J.Y. Identifiability and distinguishability of fundamental parameters in catalytic methanation // AIChE J. 1986. -V.32.-P. 1360-1366.

86. Chapman* M.J., Godfrey K.R. On structural equivalence and identifiability constraint ordering // Identifiability of parametric models / Ed. E. Walter. -Oxford: Pergamon Press, 1987. P. 32-41.

87. Chapman M.J., Godfrey K.R. A methodology for compartmental model in-distinguishability // Math. Biosci. 1989. - V.96. - P. 141-164.

88. Godfrey K.R., Chapman M.J. The problem of model indistinguishability in pharmacokinetics // J. Pharmacokin. Biopharm. 1989. - V. 17. - P. 229267.

89. Zhang L.Q., Collins J.C., King P.H. Indistinguishability and identifiability analysis of linear compartmental models // Math. Biosci. 1991. - V.103. -P. 77-95.

90. Kalman R.E., Falb P.L., Arbib M.A. Mathematical system theory. New York: McGraw-Hill, 1969.

91. Тьюарсон Т. Разреженные матрицы. М.: Мир, 1977. - 189 с.

92. Оре О. Теория графов. М.: Наука, - 1980.

93. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1974. - 832 с.

94. Авдеенко Т.В., Каргин С.А. О глобальной идентифицируемости линейных динамических моделей // Тр. II Межд. конф. «Идентификация систем и задачи управления» (SICPRCT03). М., 2003. - 13 с.

95. Авдеенко Т.В., Каргин С.А. Приложение методов компьютерной алгебры к анализу глобальной идентифицируемости линейных динамических моделей // Научный вестник НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. -№2(9).-С. 27-36.

96. Авдеенко Т.В., Каргин С.А. Анализ глобальной идентифицируемости линейных моделей с использованием матрицы Якоби // Сборник научных трудов НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. - № 2 (32). - С. 3-12.

97. Авдеенко Т.В., Каргин С.А. О дискриминируемости модельных структур в пространстве состояний // Сб. тр. XIV Межд. науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-14. Смоленск, 2001. -Т.2. - С. 114-116.

98. Дьяконов В.П. Maple 7: учебный курс. Санкт-Петербург: Питер, 2002. - 672 с.

99. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. — 558 с.

100. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. — М.: Лаборатория базовых знаний, Юнимедиастрой, 2002.

101. Башарин A.B., Постников Ю.В. Примеры расчета автоматизированного электропривода на ЭВМ. Ленинград: Энергоатомиздат, 1990.

102. Авдеенко Т.В. Разработка методов исследования структурной идентифицируемости моделей в пространстве состояний. Автореф. доктор, дисс. Новосибирск: НГТУ, 2003, 34 с.