Алгоритм, программное обеспечение и расчет пространственного напряженно-деформированного состояния пластического материала модели мизеса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Купцов, Андрей Валериевич

• Купцов, Андрей Валериевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Купцов, Андрей Валериевич

Введение.

Глава I. Построениие характеристик и соотношений на них для пространственного напряженное сотояния при условии пластичности Мизеса

1.1. Моделирование напряжённого состояния пластического материала.

1.2. Гипотеза пространственного пропорционального нагружения.

1.3.1. Характеристики уравнений пространственного напряженного состояния в общем случае.

1.3.2. Характеристики уравнений пространственного напряженного состояния при условии полной пластичности Хаара-Кармана.

1.3.3. Характеристики уравнений плоского напряженного состояния.

1.4.1. Соотношения вдоль характеристических плоскостей общей пространственной задачи.

1.4.2. Соотношения вдоль характеристических плоскостей пространственной задачи при условии полной пластичности Хаара-Кармана.

1.4.3. Соотношения вдоль характеристических линий в плоском напряженном состоянии задачи.

1.5. Условия совместности на поверхностях разрыва напряжений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритм, программное обеспечение и расчет пространственного напряженно-деформированного состояния пластического материала модели мизеса»

Актуальность работы определяется тем, что в современных условиях развития науки и техники, в условиях широкого применения новых материалов с заранее заданными свойствами, встала необходимость проводить расчёты напряжённо-деформированного состояния более широкого класса пространственных задач теории идеальной пластичности, которые не обладают осевой симметрией и требуют разработки новых математических моделей. Построение таких моделей, рассмотренных в данной диссертации, связано со сложностью решения пространственных задач в случае использования условия пластичности Треска, а также с проблемой незамкнутости модельных уравнений идеальной пластичности при условии Мизеса, которая не была решена полностью до настоящего времени, несмотря на довольно длительную историю исследований в этой области.

Одними из первых работ по математическому моделированию течения пластического материала были выполнены Б. Сен-Венаном и М. Леви в 1870 году. Б. Сен-Венан получил соотношения для плоской деформации, а М. Леви, используя такую же методику, получил уравнения в трёхмерном случае. А. Хаар и Т. Карман в 1909 году предложили использовать условие полной пластичности, которое соответствует напряжённому состоянию на ребре призмы Треска. Соотношения пространственной задачи в этом случае приводят к статической определимости.

В 1944 году А.Ю. Ишлинский исследовал осесимметричную задачу при условии полной пластичности Хаара-Кармана и получил статическую определимость и гиперболичность пространственной задачи.

В исследованиях Д.Д. Ивлева было установлено фундаментальное значение условия полной пластичности, а также гиперболичность, статическая определимость математической модели пластичности при условии Треска, получены уравнения характеристик и соотношений на них. В его исследованиях было показано, что полученные характеристики пространственной задачи при условии полной пластичности Хаара-Кармана образуют конус вокруг третьего главного направления с углом раствора я/4, который касается площадок максимальных касательных напряжений. Было также показано совпадение характеристических плоскостей с площадками максимальных касательных напряжений.

Г.И. Быковцевым совместно с Ю.М. Мяснянкиным были получены соотношения на поверхностях разрыва напряжений в трёхмерных идеальных жёсткопластических телах.

Значительный вклад в построение и исследование математической модели пластического материала внёс Ю.Н. Радаев. В его работах развита общая теория математической пластичности с условием пластичности Треска и обобщённым ассоциированным законом. Им был получен ряд новых результатов в случае плоского деформированного и осесимметричного состояния, дополняющих известные теоремы о геометрии поля скольжения.

Большое влияние на исследования в данной области оказали работы Б.Д. Аннина, А.А. Буренина, Г.И. Быковцева, Н.Д. Вервейко, В.Г. Зубчани-нова, А.А. Ильюшина, А.Ю. Ишлинского, Д.Д. Ивлева, JI.M. Качанова, В.А. Кукуджанова, JI.A. Максимовой, В.П. Мясникова, Ю.М. Мяснянкина, JI.B. Никитина, Ю.Н. Радаева, Т.Д. Семыкиной, В.В. Соколовского, JT.A. Толо-конникова, Е.И. Шемякина, С.А. Христиановича и др.

В основополагающих трудах А.А. Самарского в области компьютерного математического моделирования в естествознании, разработаны конечно-разностные методы и подходы, позволяющие решать многие проблемные задачи науки и техники, в том числе, по нахождению напряжённо-деформированного состояния плоских и осесимметричных задач.

Значительное влияние на развитие в России теории математического моделирования, методов нелинейной динамики оказали также научные труды и большая организационная работа Б.Н.Четверухина, С.П. Курдюмова, С.А. Редкозубова, Г.Г. Малинецкого и др.

Заслуживают внимания и представляют определенный интерес работы С.А. Редкозубова, А.В. Крутова, А.В. Воробьева, А.И. Шашкина, связанные с кинематико-геометрическим моделированием. В частности, работы по моделированию задач нелинейной динамики на основе соотношений самоподобия, по прогнозированию поведения в сложных условиях, по геометрическому моделированию в задачах полной пластичности на основе так называемой песчаной аналогии, в которых получены оригинальные соотношения и установлен ряд новых фактов и закономерностей, в том числе, геометрического характера, представляющих общетеоретический интерес и позволяющих получать решения и интерпретировать результаты в широком круге прикладных задач.

Однако, даже при таком интенсивном и длительном исследовании методами математического моделирования процессов пластического течения и деформирования, оставался открытым вопрос построения замкнутой математической модели задачи пластического течения материала Мизеса, сформулированной для пространственного напряжённого состояния. На устранение этого и других пробелов и были направлены усилия при постановке задач и выполнении работы.

Диссертация посвящена построению математической модели пластического материала Мизеса, представленной в виде замкнутой системы уравнений в частных производных, а также разработке методов решения пространственных задач, построению численных алгоритмов с реализацией их на ЭВМ с помощью разработанного комплекса программ.

В общем пространственном случае исследуется напряжённое состояние на ребре, которое получено пересечением двух касательных к поверхности Мизеса плоскостей, зависящих от произвольного параметра tgcp напряжённого состояния. При определённом значении данного параметра, характеризующегося отношением второго главного касательного напряжения к первому, исследуемые плоскости совпадают с гранями призмы Треска. Путем привлечения гипотезы пропорционального нагружения, когда все три главных напряжения зависят от одного параметра, в работе достигнута статическая определимость пространственной задачи.

Дели и задачи исследования. Целью проведённой работы является разработка модифицированной математической модели пластического материала Мизеса, методов, вычислительных алгоритмов и комплекса программ для расчёта пространственного пластического напряжённого и деформированного состояния. Поставленная цель достигается посредством: -линеаризации нелинейного условия пластичности Мизеса; -введением и обоснованием гипотезы пропорционального нагружения, являющейся модифицированным условием полной пластичности;

-получением из общей математической модели (с использованием условия полной пластичности Хаара-Кармана) уравнений для плоского и пространственного напряжённых состояний;

-нахождением характеристик, соотношений на них для различных задач (Коши, Гурса, смешанной) в случае пространственного напряжённо-деформированного состояния при условии полной пластичности Хаара-Кармана и гипотезе пропорционального нагружения в общем случае, а также для плоского напряженно-деформированного состояния;

-получением конечно-разностных схем для решения задач Коши, Гурса, смешанной и численным расчётом поля напряжений, поля скоростей перемещений для различных напряжённых состояний;

-применением данных конечно-разностных схем для расчёта полей напряжений, скоростей перемещений различных пространственных задач теории пластичности.

Методы исследования. Методами исследования в диссертационной работе являются аналитические точные и численные приближенные итерационные методы, а также численные методы конечных разностей, методы решения и анализа краевых задач для систем уравнений в частных производных, представляющих математическую модель, а также методы программирования на языках Object Pascal, С++.

Положения, выносимые на защиту:

1. Обоснование статической определимости математической модели идеальной пластичности путём линеаризации условия пластичности Мизеса;

2. Гипотеза пропорционального нагружения, являющаяся модифицированным аналогом условия полной пластичности Хаара-Кармана;

3. Метод характеристик решения пространственных задач идеальной пластичности в напряжениях (Коши, Гурса, смешанная) для линеаризированных условий пластичности Мизеса при гипотезе пропорционального нагружения;

4. Разработка программ расчёта напряжённого и деформированного состояний для плоских и пространственных задач теории идеальной пластичности и, соответствующие им, конечно-разностные схемы расчёта напряжённого и деформированного состояний;

5. Апробация предложенных программ для численных расчётов конкретных практических задач.

Научная новизна результатов исследования состоит в том, что:

-построена математическая модель пластического материала Мизеса, установлена статическая определимость и гиперболичность пространственной задачи теории пластичности в напряжениях при выполнении гипотезы пропорционального нагружения;

-найдены уравнения характеристических плоскостей и соотношения вдоль них для напряжённого и деформированного состояния в плоском и пространственном случаях при гипотезе пропорционального нагружения и выполнении условия полной пластичности для линеаризированных условий пластичности Мизеса;

-для направляющих косинусов нормалей полученных характеристик построены их конкретные выражения через ориентацию главных напряжений и параметр напряжённого состояния, что позволяет записать соотношения вдоль характеристических плоскостей;

-представлены конечно-разностные схемы для плоского и пространственного напряженного и деформированного состояний при условии полной пластичности и гипотезе пропорционального нагружения для линеаризированных условий пластичности Мизеса;

-разработан численный алгоритм решения плоских и пространственных задач, а также комплекс программ на языках Object Pascal, С++, позволяющий рассчитывать напряженное и деформированное состояние для конкретных задач идеальной пластичности.

Достоверность исследований, проведенных в диссертационной работе, основывается на правильно сформулированной математической модели, правильности применения математического аппарата теории уравнений в частных производных, теории конечно-разностных схем и использовании современных языков программирования. Достоверность проведенных исследований подтверждается также тем, что полученные результаты совпадают с имеющимися в частных случаях классическими, если в использованной гипотезе пропорционального нагружения задать параметры, входящие в условия пластичности конкретным образом.

Практическая значимость исследования состоит в возможности применения метода характеристик и разработанного комплекса программ для большего спектра пространственных задач теории пластичности, в том числе задач, не обладающих осевой симметрией. Разработанный метод и программное обеспечение позволяют рассчитывать предельные напряжённое и деформированное состояния тел различной формы при заданной нагрузке.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета 20042007 г.г.; научных сессиях факультета ПММ Воронежского государственного университета 2004-2007 г.г.; на Воронежской школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» 2004 г., 2005 г., посвященной 75-летию профессора Д.Д. Ивлева, и 2007 г., посвященной 70-летию профессора Г.И. Быковцева; на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения -XVI» - «Современные методы теории краевых задач», посвященной 100-летию академика С.М. Никольского; в VI, VII и VIII Международных научно-технических конференциях «Авиакосмические технологии», 2005-2007 г.г.; на Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики», посвященной 70-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова ИАПУ ДВО РАН, 2006 г. Материалы по диссертации размещены также в сети Интернет на сайте Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина по адресу: http://www.elsu.ru/science/avtoref-k01.html

Публикации. По теме диссертации в рамках исследуемой темы опубликовано 16 научных работ, перечень которых приведён в конце диссертации, в том числе — 2 в изданиях, рекомендуемых ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и библиографического списка из 161 наименования. Работа изложена на 161 странице, а также содержит 3 таблицы и 19 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Купцов, Андрей Валериевич

Основные выводы по четвёртой главе

В данной главе получены конечно-разностные схемы решения задач Коши, Гурса и смешанной по расчёту поля скоростей для плоского и пространственного случая. Построенные для этих задач конечно-разностные схемы состоят из двух уравнений для определения двух компонент скоростей (третья компонента исключена путём её выражения и подстановкой в основные уравнения из условия несжимаемости). Меньшее количество уравнений по сравнению с конечно-разностными схемами для определения напряжённого состояния объясняется тем, что в деформированном состоянии не требуется находить косинусы, ориентирующие главные напряжения. Это объясняется тем, что можно использовать их массивы для определения деформированного состояния, полученные при исследовании напряженного состояния аналогичных задач Коши, Гурса и смешанной. Откуда следует, что шесть уравнений ортонормированности и ортогональности для этих направляющих косинусов не являются необходимыми для расчёта и не будут включены в конечно-разностные схемы определения деформированного состояния. В данной главе был также произведён численный расчёт поля скоростей перемещений, который показал, что решение линеаризированной задачи отличается от решения нелинейной на величину s, характеризующую погрешность линеаризации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Построена замкнутая математическая модель пространственного напряжённо-деформированного состояния пластического материала Мизеса, доказана гиперболичность уравнений и статическая определимость пространственной задачи идеальной пластичности для линеаризированных условий пластичности Мизеса при гипотезе пропорционального нагружения и условии полной пластичности Хаара-Кармана;

2. Проведено обоснование гипотезы пропорционального нагружения, которая является модифицированным вариантом условия полной пластичности и приводит к статической определимости и гиперболичности в пространственном случае;

3. На основе разработанной замкнутой математической модели пластического материала Мизеса построены конечно-разностные схемы для численного решения пространственных задач в напряжениях и скоростях перемещений (Коши, Гурса, смешанная);

4. Рассмотрены конкретные примеры компьютерного моделирования пространственного напряжённого состояния на основе предложенных конечно-разностных схем;

5. Показано, что математические модели пластического материала для плоского и осесимметричного случаев следуют из общей модели, предложенной в данной работе, как частные случаи при s -> 0.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Купцов, Андрей Валериевич, 2007 год

1. Аннин Б. Д., Черепанов Г. П. Упругопластическая задача. Новосибирск: Наука, 1983.-240 С.

2. Аннин Б.Д. Подмодели уравнений идеальной пластичности Треска/ Б.Д. Аннин // Материалы всеросс. конф. «Проблемы механики» к 90-летию А.Ю. Ишлинского. М.: Физматлит, 2003. - С. 94-99.

3. Артёмов М. А., Ивлев Д. Д. О статических и кинематических соотношениях теории идеальной пластичности при кусочно-линейных условиях текучести/ М. А. Артемов, Д. Д. Ивлев // Изв. РАН. Механика тверд, тела, 1995.-№3,-С. 104-110.

4. Арутюнян Н.Х., Радаев Ю.Н. Упругопластическое кручение призматических стержней / Н.Х.Арутюнян, Ю.Н. Радаев // Изв АН СССР. Механика твёрдого тела, 1987. № 5- С. 117-125.

5. Арутюнян Н.Х., Радаев Ю.Н. Упругопластическое кручение цилиндрического стержня при конечных деформациях/ Н.Х.Арутюнян, Ю.Н. Радаев // Прикл. матем. и механика, 1989. Т. 53. Вып. 6. С. 1014-1022.

6. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов М.: Наука, 1973. -631 С.

7. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы/ Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков М.: Наука, 1987. - 600 С.

8. Бережной И. А., Ивлев Д. Д. Об интегральных неравенствах теории упругопластического тела/ Д.Д. Ивлев, И.А. Бережной // Прикл. матем. и механика, 1980. Т. 44. Вып. 3. - С. 540-549.

9. Буренин А.А., Быковцев Г.И., Ковтанюк JI.B. Об одной простой модели для упругопластической среды при конечных деформациях / А.А. Буренин, Г.И. Быковцев, JI.B. Ковтанюк // ДАН, 1996. Т. 347. № 2. - С. 199-201.

10. Быковцев Г. И. К теории осесимметричного состояния идеально-пластического материала/ Г. И. Быковцев, Д. Д. Ивлев, Т. Н. Мартынова // Прикл. механика и техн. физика, 1963. №5. - С. 102-108.

11. Быковцев Г.И. Плоская деформация идеальных жёсткопластических тел с учётом изменения границы/ Г. И. Быковцев, А. И. Хромов // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела, 1979. №2. - С. 71-78.

12. Быковцев Г.И. Плоская задача о вдавливании жёсткого штампа в идеальное жёсткопластическое полупространство/ Г. И. Быковцев, А. И. Хромов // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела, 1981. №2. - С. 47-52.

13. Быковцев Г.И. Теория пластичности/ Г. И. Быковцев, Д. Д. Ивлев -Владивосток: Дальнаука, 1998. 528 С.

14. Быковцев Г.И. Избранные вопросы механики деформируемых сред/ Г. И. Быковцев- Владивосток: Дальнаука, 2002. 566 С.

15. Валюхов С.Г., Костин В.А., Сапронов Ю.И., Семёнов С.М. Оптимизация шестеренчатых зацеплений винтовых поверхностей/ С.Г. Валюхов, В.А. Костин, Ю.И. Сапронов, С.М. Семёнов Воронеж: ВГУ, 2005. - 177 С.

16. Вервейко Н.Д., Купцов А.В. Однородные конечно-разностные схемы решения задач теории пластичности / Н.Д. Вервейко, А.В. Купцов // Труды 6-й междунар. конф. «Авиакосмические технологии». Воронеж: ВГТУ, 2005. -Ч. 1. - С. 221-226.

17. Вервейко Н.Д., Купцов А.В. Итерационный метод решения задач теории идеальной пластичности / Н.Д. Вервейко, А.В. Купцов // Вестник ВГУ. Серия Физика, Математика, 2005. -№1. С. 149-153.

18. Вервейко Н.Д., Купцов А.В. Поле скоростей пространственной статически определимой задачи идеальной пластичности / Н.Д. Вервейко, А.В. Купцов // Тр. 7-й междунар. конф. «Авиакосмические технологии». Воронеж: ВГТУ, 2006. - С. 513-524.

19. Вервейко Н.Д., Купцов А.В. К статической определимости пространственной задачи теории идеальной пластичности / Н.Д. Вервейко, А.В. Купцов // Вестник ЕГУ им. И.А. Бунина, 2006. №1. - С. 143-152 .

20. Вервейко Н.Д., Купцов А.В. Поле скоростей пространственной статически определимой задачи идеальной пластичности / Н.Д. Вервейко, А.В. Купцов // Вестник ВГУ. Серия Физ., Матем., 2006. №2. - С. 174179.

21. Вервейко Н.Д., Купцов А.В. К сходимости итерационного метода решения пространственных задач теории идеальной пластичности с условием пластичности Мизеса / Н.Д. Вервейко, А.В. Купцов //

22. Материалы всеросс. коиф. «Фундаментальные и прикладные вопросы механики» к 70-летию академика В.П. Мясникова. Владивосток: Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, 2006. - С. 35-37.

23. Вервейко Н.Д., Купцов А.В. Допустимые варианты полной пластичности пространственных задач идеальной пластичности при условии Мизеса / Н.Д. Вервейко, А.В. Купцов // Вестник ПММ. Воронеж: ВГУ, 2006. Вып. 6.-С. 28-31.

24. Галин JI.A. Плоская упругопластическая задача/ JI.A. Галин // Прикл. матем. и механика, 1946. Т. 10. Вып. 3.

25. Гейрингер Г. Некоторые результаты в теории идеально пластического тела/ Г. Гейрингер // Сб. переводов «Проблемы механики», М.: 1955.

26. Гейрингер Г. Математические теории неупругой сплошной среды/ Г. Гейрингер, А. Фрейденталь М.: Физматлит, 1962. - 432 С.

27. Генки Г. Пространственная задача упругого и пластического равновесия/ Г. Генки //Изв. АН СССР. ОТН, 1937.-№2.-С. 187-196.

28. Годунов С.К. Уравнения математической физики/ С.К. Годунов М.: Наука, 1971.-416 С.

29. Гудьер Дж.Н., Ходж Ф.Г. Упругость и пластичность// Дж.Н. Гудьер, Ф.Г. Ходж Пер. с англ. М.: Изд-во иностранной литературы, 1960. - 192 С.

30. Зб.Задоян М.А. Пространственные задачи теории пластичности / М.А. Задоян -М.: Наука, 1992.-384 С.

31. Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности/ В.Г. Зубчанинов М.: Высшая школа, 1990. - 368 С.

32. Ивлев Д.Д. Об определении перемещений в задаче JI. А. Галина/ Д.Д. Ивлев // Прикл. матем. и механика, 1957. Т. 21. Вып. 5. - С. 716-717.

33. Ивлев Д.Д. Приближенное решение упругопластических задач теории идеальной пластичности методом малого параметра/ Д.Д. Ивлев // Докл. АН СССР, 1957. Т. 113.-№2.-С. 294-296.

34. Ивлев Д.Д. О диссипативной функции упрочняющихся пластических сред/Д.Д. Ивлев//Докл. АН СССР, 1957. Т. 116.-№5.-С. 1037-1039.

35. Ивлев Д.Д. Вдавливание тонкого лезвия в пластическую среду/ Д.Д. Ивлев // Изв. АН СССР, ОТН, 1957. №10. - С. 89-93.

36. Ивлев Д.Д. Об общих уравнениях теории идеальной пластичности и статики сыпучих сред/ Д.Д. Ивлев // Прикл. матем. и механика, 1958. Т. 22.-Вып. 1.-С. 90-96.

37. Ивлев Д.Д. Об одном классе решений общих уравнений теории идеальной пластичности/ Д.Д. Ивлев // Изв. АН СССР, ОТН, 1958. -№11. -С. 107-109.

38. Ивлев Д.Д. О разрывных решениях пространственных задач теории идеальной пластичности/ Д.Д. Ивлев // Прикл. матем. и механика, 1958. Т. 22.-Вып. 4.-С. 480-486.

39. Ивлев Д.Д. О соотношениях, определяющих пластическое течение при условии пластичности Треска, и его обобщениях/ Д.Д. Ивлев // Докл. АН СССР, 1959. Т. 124. №3. - С. 546-549.

40. Ивлев Д.Д. К теории идеальной пластической анизотропии/ Д.Д. Ивлев // Прикл. матем. и механика, 1959. Т. 23. -Вып. 6. С. 1107-1114.

41. Ивлев Д.Д. Об экстремальных свойствах условий пластичности/ Д.Д. Ивлев // Прикл. матем. и механика, 1960. Т. 24. Вып. 5. - С. 951-955.

42. Ивлев Д.Д. Об идеально-пластическом течении материала с учетом остаточных микронапряжений/ Д.Д. Ивлев // Прикл. матем. и механика, 1962. Т. 26. Вып. 4. - С. 709-714.

43. Ивлев Д.Д. К теории сплошных сред/ Д.Д. Ивлев // Докл. АН СССР, 1963. Т. 148.-№1.-С. 64-66.

44. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности/ Д.Д. Ивлев М.: Наука, 1966. -232 С.

45. Ивлев Д.Д. О теории трещин квазихрупкого разрушения/ Д.Д. Ивлев // Прикл. механика и техн. физика, 1967. №6. - С. 88-128.

46. Ивлев Д.Д. Об одном построении теории трещин/ Д.Д. Ивлев // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела, 1967. №6. - С. 91-94.

47. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела/ Д.Д. Ивлев, Г. И. Быковцев М.: Наука, 1971.-232 С.

48. Ивлев Д.Д., Внедрение гладкого сферического штампа в жесткоплас-тическое полупространство/ Д.Д. Ивлев, Р.Н. Непершин // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела, 1973. №4. - С. 159-166.

49. Ивлев Д.Д., Ершов JI.B. Метод возмущений в теории упругопластического тела/ Д.Д. Ивлев, Л.В. Ершов М.: Наука, 1978. - 208 С.

50. Ивлев Д.Д. Об обобщении решения Прандтля в сферических координатах/ Д. Д. Ивлев, А. В. Романов // Прикл. матем. и механика, 1982. Т. 46. -Вып. 5.-С. 869-871.

51. Ивлев Д. Д. К теории предельного состояния пластических пористых тел/ Д.Д. Ивлев // Изв. РАН. Механика тверд, тела, 1992. №3. - С. 163-166.

52. Ивлев Д. Д. Об общих уравнениях теории идеальной пластичности/ Д.Д. Ивлев // Сб. трудов «Проблемы механики сплошной среды» к 60-летию акад. В. П. Мясникова. Владивосток, 1996. С. 112-115.

53. Ивлев Д. Д. О соотношениях ассоциированного закона пластического течения в обобщенных переменных/ Д.Д. Ивлев // Докл. АН, 1998. Т. 363. -№6. С. 775-776.

54. Ивлев Д. Д. Полная пластичность в теории идеально-пластического тела/ Д.Д. Ивлев, А. Ю. Ишлинский // Докл. АН, 1999. Т. 368. №3. - С. 333334.

55. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред / Д.Д. Ивлев М.: Физмат, 2001. Т.1.-448 С.

56. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред / Д.Д. Ивлев М.: Физмат, 2002. Т.2.-448 С.

57. Ивлев Д.Д. Теория предельного состояния и идеальной пластичности / Д.Д. Ивлев Воронеж: ВГУ, 2005. - 357 С.

58. Ивлев Д.Д. О переходе статически неопределимого состояния в статически определимое / Д.Д. Ивлев // Вестник ЧГРУ им. И.Я. Яковлева. Серия Механика предельного равновесия, 2007. -№1. С. 5-10.

59. Ильюшин А.А. Пластичность/ Ильюшин А.А. М.: Гостехиздат, 1948. -376 С.

60. Ильюшин А.А. Замечания о некоторых статьях, посвященных критике теории пластичности / Ильюшин А.А. // Изв. АН СССР, ОТН, 1950. № 6. -С. 940-951.

61. Ильюшин А.А. Полная пластичность в процессах течения между жесткими поверхностями / А.А. Ильюшин // Прикл. математ. и механика, 1955.Т. 19.-С. 693-713.

62. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории// А.А. Ильюшин М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 271 С.

63. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды/ А.А. Ильюшин М.: Изд-во московского университета, 1990. - 310 С.

64. Ильюшин А.А. Труды (1935-1945) / Е.А. Ильюшина, М.Р. Короткина-М.: Физматлит, 2003. Т. 1. 352 С.

65. Ильюшин А.А. Труды (1946-1966). Пластичность/ Е.А. Ильюшина, М.Р. Короткина М.: Физматлит, 2004. Т. 2. - 480 С.

66. Ишлинский А.Ю. Математическая теория пластичности / А.Ю. Ишлинский, Д.Д. Ивлев М.: Физматлит, 2001. - 701 С.

67. Ишлинский А.Ю. Осесимметричная задача теории пластичности и проба Бринелля/ А.Ю. Ишлинский // Прикл. матем. и механика, 1944 Т.8.-Вып.З. - С. 201-224.

68. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики / А.Ю. Ишлинский // М.: Наука, 1986.-Т.1. -С. 62-83.

69. Ишлинский А.Ю. Учёные записки МГУ / А.Ю. Ишлинский // Механика, 1996. Вып. 117.-С. 90-108.

70. Качанов JI.M. Вариационные принципы для упругопластических сред // Прикл. матем. и механики, 1942. Т.6. Вып. 2-3. - С. 187-196.

71. Качанов Л.М. Основы теории пластичности/ Л.М. Качанов М.: Гостехиздат, 1956. - 324 С.

72. Качанов Л.М. Основы теории пластичности/ Л.М. Качанов М.: Наука, 1969.-420 С.

73. Качанов Л.М. Основы механики разрушения/ Л.М. Качанов М.: Наука, 1974.-312 С.

74. Койтер В.Т. Общие теоремы теории упруго-пластических сред / В.Т. Койтер — пер. с англ. М.: 1961. 80 С.

75. Криштал М.М. Неустойчивость и мезоскопическая неоднородность пластической деформации / М.М. Криштал //Физическая мезомеханика, 2004. Т.7. -№ 5. С. 31-45.

76. Крутов А.В. Некоторые прикладные задачи: геометрико-кинематические модели / А.В. Крутов. М.: Изд-во РУДН, 2001. - 252 С.

77. Кукуджанов В.А., Никитин JI.B. Распространение волн в стержнях из неоднородного упруговязкопластического материала/ Кукуджанов В.А., Никитин JI.B.// Изв АН СССР. Механика и машиностроение, 1960. -№4. -С. 53-59.

78. Кукуджанов В.А., Никитин JI.B. Удар о жёсткую преграду стержня с кусочно-постоянным пределом текучести / В.А. Кукуджанов, JI.B. Никитин // Инж. Механика твёрдого тела, 1961. № 1. - С. 177-183.

79. Купцов А.В. Построение устойчивых конечно-разностных схем пространственных задач идеальной пластичности при условии Мизеса. / А.В. Купцов // Вестник ПММ. Воронеж: ВГУ, 2007. Вып. 6. - С. 83-89.

80. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред / Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. М.: Гостехиздат, 1953. - 788 С.

81. Леви М. К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости/ М. Леви // Теория пластичности. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. -С. 20-23.

82. Лоде В. Влияние среднего главного напряжения на текучесть металлов/ В. Лоде //Теория пластичности. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. -С. 168-205.

83. Максимова Л.А. О линеаризированных уравнениях пространственных течений идеально-пластических тел / Л.А. Максимова // ДАН РАН, 1998. Т. 385.-№6. -С. 772-773.

84. Максимова Л.А. О разрывных решениях при условии полной пластичности / Л.А. Максимова // Изв. НАНИ ЧР, 2000. № 4. - С. 34-38.

85. Максимова Л.А. О статически определимых состояниях при условии пластичности Мизеса/ Л.А. Максимова // Вестник ЧГРУ им. И .Я. Яковлева. Сер. Механика предельного равновесия, 2007. -№1. С. 56-59.

86. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики/ Г.И. Марчук // М.: Наука, 1980.-534 С.

87. Мосолов П. П., Мясников В. П. Механика жесткопластических сред/ П. П. Мосолов, В. П. Мясников М.: Наука, 1981. - 208 С. .:<:■.

88. Мураками С., Радаев Ю.Н. Математическая модель трёхмерного анизотропного состояния повреждённости/ С. Мураками, Ю.Н. Радаев//Изв. РАН. Механика твёрдого тела, 1996. № 4 - С. 94-110.

89. Мясников В.П., Гузев М.А. Неевклидова модель упругопластического материала с дефектами структуры/ В.П. Мясников, М.А. Гузев // Сб. тр.

90. Проблемы механики сплошных сред и элементов конструкций» к 60-летию Г.И. Быковцева. Владивосток: Дальнаука, 1998. С. 209-224.

91. Мяснянкин Ю.М. О поверхностях скольжения в трёхмерных жёсткопластических телах / Ю.М. Мяснянкин, Г.И. Быковцев // Докл. АН СССР, 1966. Т.167-№ 5.-С. 1260-1262.

92. Мяснянкин Ю.М. О соотношениях на поверхностях разрыва в твёрдых идеальных жёсткопластических телах/ Ю.М. Мяснянкин, Д.Д. Ивлев, Г.И. Быковцев//Докл. АН СССР, 1967.Т.177-№5.-С. 1039-1042.

93. Мяснянкин Ю.М. О соотношениях на поверхностях разрыва скоростей перемещений в идеальных жёсткопластических телах/ Ю.М. Мяснянкин // Тр. конф. «Математическое моделирование систем» - Воронеж, 1998. -С. 121-125.

94. Надаи А. Пластичность/ А. Надаи М.; Л.: ОНТИ, 1936. - 280 С.

95. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел/ А. Надаи Т.1. М.: Изд-во иностр. литературы, 1954. - 648 С.; Т. 2. М.: Мир, 1969. - 864 С.

96. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во московского университета, 1995. 366 С.

97. Прагер В. Теория идеально-пластических тел / В. Прагер, Ф. Ходж -М.: Изд-во иностранной литературы, 1956. 398 С.

98. Прагер В. Введение в механику сплошных сред / В. Прагер- М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. 312 С.

99. Радаев Ю.Н. Дополнительные теоремы теории плоской и осесимметричной задачи математической теории пластичности/ Ю.Н. Радаев // Вестник СамГУ, 2004. -№2 (32). С. 41- 61.

100. Радаев Ю.Н. Группы симметрий дифференциальных уравнений осесимметричной задачи математической теории пластичности / Ю.Н. Радаев // Вестник СамГУ, 2004. -№4 (34). С. 99-111.

101. Радаев Ю.Н. О t-гиперболичности пространственных задач теории плас-тичности / Ю.Н. Радаев, В.А. Гудков // Вестник СамГУ, 2005. №3 (37).-С. 57-70.

102. Радаев Ю.Н. Группы симметрий дифференциальных уравнений плоской задачи математической теории пластичности / Ю.Н. Радаев, В.А. Гудков // Вестник СамГУ, 2006. №4 (44). - С. 66-84.

103. Радаев Ю.Н. Трёхмерные уравнения связанной задачи математической теории пластичности/ Ю.Н. Радаев // Вестник ЧГРУ им. И .Я. Яковлева. Серия Механика предельного равновесия, 2007. -№1. С. 90-121.

104. ИЗ. Ратнер С.И. К вопросу о задачах теории пластичности/С.И. Ратнер// Изв. АН СССР, ОТН, 1950. №3. - С. 435-450.

105. Редкозубов С.А. О связи обобщенной гармонической пропорции с представлением функций / С.А. Редкозубов, А.В. Крутов // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз. сб. науч. тр. -Воронеж: ВГТУ, 2003. С. 248-253.

106. Редкозубов С.А. Интегрирование на основе кинематико-геометрической модели / С.А. Редкозубов, А.В. Кругов, В.И. Тасенко, С.А. Силкин // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки, 2007. Т. 12. Вып. 2. - С. 230-234.

107. Самарский А.А. Численные методы математической физики/ А.А. Самарский, А.В. Гулин М.: Научный мир, 2000. - 316 С.

108. Самарский А.А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд. / А.А. Самарский, А.П. Михайлов. - М.: Физматлит, 2002. - 320 С.

109. Седов А.И. Механика сплошной среды/ А.И. Седов М.: Наука, 1973. 2 Т.-536,584 С.

110. Сен-Венан Б. Об установлении уравнений внутренних движений, возникающих в твёрдых пластических телах за пределами упругости / Б. Сен-Венан // Сб. «Теория пластичности» М.: Изд-во иностранной литературы, 1948.-С. 11-19.

111. Сен-Венан Б. Дифференциальные уравнения внутренних движений, возникающих в твёрдых пластических телах и граничные условия для этих тел / Б. Сен-Венан // Сб. «Теория пластичности» М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. С. 24-33.

112. Соколовский В.В. О некоторых работах по теории пластичности / В.В. Соколовский // Прикл. матем. и механика, 1945. Т. 9. Вып. 6.

113. Соколовский В.В. Пластическое равновесие при плоском напряжённом состоянии по Сен-Венану / В.В. Соколовский // Прикл. матем. и механика, 1946. Т. 10.-Вып. 2.

114. Соколовский В.В. Об одной форме представления компонент напряжения в теории пластичности/ В.В. Соколовский // АН СССР, 1948. Т. 61.-Вып. 2.

115. Соколовский В.В. Теория пластичности/ В.В. Соколовский М.: Высшая школа, 1969. - 608 С.

116. Станюкович К.П. Неустановившееся движение сплошной среды / К.П. Станюкович М.: Наука, 1971. - 856 С.

117. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твёрдых телах/ Т. Томас М.: Мир, 1964. - 308 С.

118. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред/ К. Трусделл М.: Мир, 1972. - 592 С.

119. Уилкинс M.JI. Расчет упругопластических течений/ M.J1. Уилкинс // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1964. С. 212-263.

120. Хаар А., Карман Т. К теории напряжённых состояний в пластических и сыпучих средах / А. Хаар, Т. Карман // Теория пластичности. Сб. статей. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948.

121. Хаар А., Карман Т. Теория пластичности / А. Хаар, Т. Карман // Сб. статей. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. С. 41-56.

122. Хилл Р. Математическая теория пластичности/ Р. Хилл- Сб. переводов. М.: Гостехиздат, 1956.-407 С.

123. Хромов А.И. Деформация и разрушение жёсткопластических тел / А.И. Хромов Владивосток: Дальнаука, 1996. - 181 С.

124. Хромов А.И. Локализация пластических деформаций и разрушение жёсткопластических тел / А.И. Хромов // Докл. РАН, 1998. Т. 362 № 21. C. 202-205.

125. Хромов А.И. Деформация и разрушение жёсткопластической полосы при растяжении / А.И. Хромов // Механика твёрдого тела, 2000 № 1 - С. 136-142.

126. Христианович С.А. Плоская задача математической теории пластичнос-ти при внешних силах, заданных на замкнутом контуре/ С. А. Христианович // Мат. сб. Новая серия, 1936. Т. 1. Вып. 4. - С. 511-534.

127. Христианович С.А. К теории идеальной пластичности/ С.А. Христианович, Е.И. Шемякин // Механика твёрдого тела, 1967. №. 5.

128. Шилд Р.Т. О пластическом течении металлов в условиях осевой симметрии / Р.Т. Шилд // Сб. переводов. «Механика». М.: Изд-во иностранной литературы, 1957. - №. 2. - С. 102-122.

129. Drucker D.C. Some implications of work hardening and ideal plasticity/

130. D.C. Drucker// Quart. Appl. Math, 1950. V.7.-P. 411 418.

131. Drucker D.C. A more fundamental approach to plastic stress-strain relations/ D.C. Drucker // Proc. First. U. S. Nat. C. Appl. Mech. ASME, 1951 -P. 487491.

132. Haar A., Karman Th. von. Zur Theorie der Spaunungszustnaqe in plastischen und sandartigen Hedien / A. Haar, Th. Karman // Nachr. Kg. Ges. Wiss. Gott. Math.-phys. Kl., 1969. H.2. S. 204.

133. Henky H. Zur Theory plastischer Deformationen und der hierdurch im Material hervorqerufenen Nachspaunungen / H. Henky // ZAMM, 1924 Bd. 4., H. 4.-S. 323.

134. Hill R. The theory of wedge indentation of ductile materials/ R. Hill, Lee E. H., Tupper S. J. //Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1947. V. 188. № 1013. -P. 273-289.

135. Hill R. Some special problems of indentation and compression in plasticity/ R. Hill // Proc. 7th Intern. Congr. Appl. Mech. L., 1948. V. 1. P. 365-377.

136. Hill R. Mathematical theory of plasticity/ R. Hill Oxford. Clrendon Press, 1950.-407 P.

137. Kuhlmann-Wilsdorf D. Theory of plastic deformation: properties of low energy dislocation structures // Mater. Sci. and Eng. A, 1989. V.l 13. P. 1-41.

138. Lee Т.Н. Plastic Flow in a V-Notched Bar Pulled in Tension/ Т.Н. Lee // J. Appl. Mech., 1952. V. 19. -P. 331-336.

139. Mohr 0. Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik / O. Mohr-Berlin, 1914.

140. Nadai A. Uber die Gleit und Verzweigungsflachen einiger Gleichgewichtszustande bildsamer Massen und die Nachspannugen bleibend verzerter Korper/A. Nadai //Z. phys, 1924. B.30, H. 2. ZS. - P. 106-138.

141. Prager W., Hodge F. Theory of perfectly plastic solids / W. Prager, F. Hodge New York - London, 1951.

142. Prager W. On the use of singulazyield conditions and associated flow rules / W. Prager // J. Appl. Mech., 1953. V. 20.

143. Prager W. The necking of tension specimen in plane plastic flow / W. Prager, E. Onat // J. Appl. Mech., 1954. -V. 24. -P. 491-493.

144. Prager W. On ideal locking materials / W. Prager // Trans. Soc. Reology, 1957.-V. 1.

145. Prager W. Elastic Solids of Limited Compressibity / W. Prager // Actes IX. C. Int. de Mec. Appl. Bruxelles, 1957. -T. 5.

146. Prandtl L. Spunnungsverteilung in platischen Korpern // Proceedings of 1-st Int. Congr. Appl. Mech. Delft, 1924. S. 43-54.

147. Prandtl L. Uber die Eindringung -festigkeit (Harte) plastischer Baustiffe und die Festigkeit im Schneiden / L. Prandtl // ZAMM, 1928 Bd. I. - H. I.

148. Radayev Y. N. Mathematical Description of Anisotropic Damage State in Continuum Damage Mechanics/ Y. N. Radayev, S. Murakami, K. Hayakawa //Trans. Japan Soc. Mech. Engn., 1994. V. 60 A., №. 580- P. 68-76.

149. Richmond O. Plane strain necking of V-notched and un-notched tensile bars/

150. Richmond // J. Mech. And Phys. Solids, 1969. V. 17. № 2. - P. 83-90.

151. Taylor G.J., Quinney H. The plastic distortion of metals // Philosophical Transactions of the Royal Society, 1931. Ser. A., № 230. - P. 323-362.

152. Tomas T. The General Theory of compatibility conditions/ T. Tomas // Jnt.

153. Eng. Sc., 1966. V. 4, № 3.- P. 207-233.

154. Shield R.T. On the plastic flow of metals under conditions axial symmetry/ R.T. Shield// Proc. Roy. Soc. London. Ser. A., 1955. V. 233, № 1193. - P. 267-287.