Алгоритм поиска композиционной модели Липшиц-ограниченного отображения одной переменной тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.11, кандидат наук Калинников, Иван Сергеевич

• Калинников, Иван Сергеевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Калинников, Иван Сергеевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Существующие методы и сложности поиска композиционных моделей

§1.1 Практика применения и классификация композиционных моделей

1.1.1 Классификация композиционных моделей

1.1.2 Применение и методы поиска композиционных моделей

§ 1.2 Методы построения оптимальных и точных композиционных моделей

1.2.1 Построение композиционных моделей полиномов

1.2.2 Вычислительная сложность построения композиционных моделей

§1.3 Методы поиска приближенных композиционных моделей

1.3.1 Методы на основе приближения специальными функциями

1.3.2 Параметрические методы

1.3.3 Метаэвристические методы

1.3.4 Метод планируемого поиска с ограниченными ресурсами

1.3.5 Методы поиска в метрических и векторных пространствах

Глава 2. Алгоритм поиска приближенной композиционной модели

§2.1 Алгоритм построения приближенной композиционной модели методами метрического поиска

2.1.1 Поиск объекта в метрическом пространстве

2.1.2 Алгоритм поиска приближенной композиционной модели

2.1.3 Распределение расстояний между объектами пространства поиска

2.1.4 Эвристика раннего завершения алгоритма

§2.2 Реализация и анализ эффективности алгоритма построения приближенной композиционной модели

2.2.1 Реализация алгоритма

2.2.2 Экспериментальный анализ эффективности

Глава 3. Применение алгоритма поиска композиционной модели к исследованию топологий одноранговых КРС с ДА

§3.1 Применение и проблемы проектирования КРС с ДА

3.1.1 Возникновение и перспективы применения КРС с ДА

3.1.2 Актуальные проблемы проектирования и внедрения КРС с ДА

§3.2 Модели топологий КРС с ДА и алгоритм построения композиционных моделей

3.2.1 Методы моделирования топологий КРС с ДА

3.2.2 Исследование модели топологии КРС с ДА на основе движения автономных агентов

3.2.3 Влияние модели топологии на характеристики КРС с ДА

Заключение

Список литературы

Приложение 1. Справка об использовании результатов диссертационной работы

Приложение 2. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритм поиска композиционной модели Липшиц-ограниченного отображения одной переменной»

Введение

Получение математического описания закономерностей поведения объектов окружающего мира - математических моделей - является одной из важнейших исследовательских задач. Математические модели явлений имеют мировоззренческую и теоретическую ценность, активно применяются практически, ложась в основу прогнозирования явлений природы, создания новых технологий и т. д.

С появлением вычислительных машин, предназначенных для обработки большого объема информации, разрабатываются способы применения этих мощностей для автоматизации анализа закономерностей поведения как существующих, так и создаваемых объектов. Основной целью данных исследований является поиск способа переложить на вычислительные машины рутинные этапы анализа закономерностей: сбор данных, оценку достоверности, первичную обработку и перебор вариантов. Результаты таких исследований дают возможность использовать наглядное представление результатов предварительного анализа, позволяющее осознать суть полученной информации, не работая непосредственно с огромным объемом собранных данных. Разработка данного направления сделала вычислительные машины важным инструментом исследований для ученых всех специальностей, позволив им решить проблемы, которые представлялись неразрешимыми.

Одним из способов автоматизированного анализа и представления экспериментальных данных или данных имитационного моделирования являются функциональные аппроксимации. Композиционные модели - аппроксимации целевого отображения, полученные с помощью композиций функций из заданного множества. Композиционные модели, как класс функциональных аппроксимаций, используются при решении следующих задач:

приближение и представление зависимостей, полученных в ходе экспериментального или имитационного исследования, посредством аналитического выражения;

получение вычислительно эффективных приближений с известной погрешностью для аналитических выражений;

- преобразование аналитических выражений к более удобной форме

представления;

- синтез аналитических выражений, имеющих заданные свойства.

Композиционные модели имеют следующие свойства, которые определяют их эффективность в названных приложениях:

- широкие возможности выбора системы базовых функций, композицией подмножества которых будет получаемое приближение;

- устойчивость к погрешностям и малому количеству исходных данных для построения аппроксимации;

- возможность построения как интерполяций, так и экстраполяций при корректном выборе системы базовых функций;

- удобство формы получаемого аналитического выражения, зачастую более компактного, чем получаемое другими методами аппроксимации.

Несмотря на широкие возможности применения и существенные достоинства композиционных моделей, особенно в области обработки зависимостей, полученных экспериментально, их использование до последнего времени оставалось ограниченным в связи с высокой вычислительной сложностью построения. Таким образом, исследование, направленное на оценку вычислительной сложности и поиск эффективных алгоритмов построения композиционных моделей, даже в частном случае Липшиц-ограниченных функций одного аргумента является актуальным.

В зарубежной [1-3] и отечественной [4], [5] литературе композиционные модели [6], построенные для зависимостей нескольких аргументов, иногда называются символьными регрессиями. Термин символьные регресии ввел Дж. Р. Коза (Д.Я. Кога) в работе [1]. Там подробно рассматривается вопрос построения композиционных моделей с использованием генетических алгоритмов. Описанный в [1] подход к поиску композиционных моделей при применении к практическим задачам оказывается недостаточно эффективным. Повышение эффективности построения композиционных моделей генетическими алгоритмами за счет изменения представления данных разрабатывалось А. И. Дивеевым и Е. А. Софроновой [4], [5], предложившими метод сетевого оператора. Другие методы повышения производительности рассматривались

И. Зелинкой (I. Zelinka) [2], предложившим метод аналитического программирования; М. О'Нилом и С. Райном (М. O'Neill, С. Ryan) [3], предложившими методы на основе формальных грамматик. Недостатком решения задач построения композиционных моделей с использованием генетических алгоритмов, по мнению автора, является, во-первых, отсутствие обоснования выбора операторов скрещивания с учетом утверждений теоремы Дж. Р. Прайса (G. R. Price) [7], во-вторых, отсутствие доказательства снижения времени работы алгоритма по сравнению с алгоритмом случайного поиска. Иной подход к решению задачи построения композиционной модели для функций одного аргумента развит в работе С. А. Лабутина и М. В. Пугина [8], которыми предложен переборный алгоритм решения данной проблемы при смешении этапов выбора структуры модели и параметрической оптимизации полученной композиционной модели.

Задача построения композиционной модели с параметрами включает как минимум два этапа (или два подэтапа на каждом шаге):

- синтез структуры композиционной модели с учетом резервирования мест под адаптируемые параметры;

- поиск оптимальных значений парахМетров, таких что композиционная модель наилучшим образом аппроксимирует исходные данные.

Если второй этап на текущий момент в значительной степени изучен в рамках численных методов параметрической оптимизации (например [9]), то первый этап составляет значительную сложность при разработке эффективных алгоритмов построения композиционных моделей. В рамках диссертационного исследования рассматриваются композиционные модели одной переменной без параметров, при этом целевая функция предполагается Липшиц-ограниченной. Принятые в диссертационном исследовании ограничения исключают второй этап из рассмотрения, что позволяет оценить вычислительную сложность решения задач именно первого этапа. Несмотря на принятые ограничения, решение рассматриваемой задачи остается ценным для практического применения. Полученные результаты могут также стать основой для анализа вычислительной сложности построения композиционных моделей (символьных регрессий) в общем случае.

Диссертационное исследование посвящено разработке, реализации и применению

алгоритма построения композиционных моделей Липшиц-ограниченных отображений одной переменной. В качестве примера применения разработанного алгоритма построения композиционных моделей рассматривается задача обработки данных имитационного моделирования в области моделирования топологий одноранговых компьютерных радиосетей с динамической архитектурой (шеБЬ-сети [10]). Компьютерные радиосети с динамической архитектурой являются активно развивающейся областью знания на стыке телекоммуникационных технологий и вычислительной техники, подразумевающей создание сетей ЭВМ, предназначенных для обеспечения услуг передачи пользовательских данных в условиях изменения состояния и перечня доступных каналов связи, а также состава участников сети. Применение принципов и технологий компьютерных радиосетей с динамической архитектурой [11] (далее КРС с ДА) происходит на текущий момент в рамках следующих направлений: сенсорные сети, современные ведомственные и бизнес-ориентированные телекоммуникационные системы, системы связи специального назначения. Специфика КРС с ДА, в том числе применение исключительно радиоканалов обмена в данных сетях, приводит к необходимости повышения эффективности работы и гибкости применяемых телекоммуникационных протоколов. Каждая область применения КРС с ДА является весьма специфичной и определяется, как минимум, моделью топологий сетей [12] и моделью пользовательской активности. Формализация данных моделей и их учет при разработке протоколов являются ключевыми моментами для обеспечения выполнения пользовательских требований и предсказуемости поведения протоколов КРС с ДА.

Основными целями диссертационного исследования являются:

- Классификация задач построения композиционных моделей и исследование вычислительной сложности алгоритмов решения данных классов задач.

- Разработка, реализация и экспериментальное исследование оптимизированного алгоритма случайного поиска кохмпозиционной модели, достаточно эффективного и устойчивого для применения на практике.

Анализ применения разработанного алгоритма для аппроксимации зависимостей, полученных экспериментальным/имитационным путем. В качестве примера рассматривается задача построения аппроксимации распределения расстояний

между узлами КРС с ДА [11] при заданной модели движения узлов сети.

В соответствии с поставленными целями в ходе диссертационного исследования решались следующие задачи:

- Классификация задач нахождения композиционных моделей как задач нахождения точных, оптимальных и приближенных композиционных моделей и их формализация.

- Доказательство того, что в рамках установленных ограничений (Липшиц-ограниченные зависимости одного аргумента) нахождение точных композиционных моделей является ОТ-полной задачей, а нахождение оптимальных композиционных моделей - ЫР-трудной задачей.

- Классификация существующих методов поиска приближенных композиционных моделей, в том числе по вычислительной сложности.

- Анализ методологии теории поиска в метрических пространствах и ее применения к построению алгоритма нахождения приближенных композиционных моделей.

V

- Определение системы ограничений, при которых достигается повышение эффективности работы разрабатываемого алгоритма поиска приближенных композиционных моделей по сравнению со случайным поиском, при ограниченном объеме предвычислений.

- Разработка алгоритма поиска, использующего установленные ограничения, и оценка его эффективности по сравнению со случайным поиском по выбранной функции качества на тестовых примерах.

- Разработка критерия завершения и способов реализации алгоритма поиска, позволяющих повысить его эффективность.

- Разработка модели топологий одноранговых КРС с ДА и ее имитационное исследование на выбранном наборе параметров.

- Нахождение приближенной композиционной модели функции распределения расстояний между узлами в модели топологий одноранговых КРС с ДА.

- Сравнение результата аппроксимации функции распределения расстояний с использованием приближенной композиционной модели с другими методами функциональной аппроксимации: аппроксимацией кубическими сплайнами и методом МНК.

Научная новизна диссертационного исследования заключается, во-первых, в определении ограничений на вычислительную сложность решения задач построения композиционных моделей. Несмотря на то, что задачи построения точных и оптимальных композиционных моделей являются задачами дискретной оптимизации и логично предположить ОТ-полноту данных задач, доказательство данного факта в рамках выбранных ограничений впервые приводится в диссертационном исследовании.

Во-вторых, в диссертационном исследовании развита методология поиска в метрических пространствах [13], [14] в направлении работы с метриками, которые оцениваются с погрешностями, а также найдены варианты оптимизации процесса поиска в отсутствие линейных (от объема пространства поиска) предвычислений, при условии наличия определенного вида связей значений метрик между элементами пространства. В диссертационном исследовании данные результаты применяются к ускорению поиска приближенной композиционной модели в пространстве композиций по сравнению с алгоритмом случайного поиска. Связи значений метрик устанавливаются за счет свойств метрики Чебышева н Липшиц-ограниченности отображений. Полученный в результате алгоритм обладает научной новизной.

В-третьих, разработанный автором алгоритм ускоренного поиска приближенной композиционной модели может применяться для включения результатов имитационного исследования в аналитическую модель, что становится удобным благодаря разработке методов построения композиционных моделей, которые могут давать аппроксимации данных эксперимента в компактной «закрытой» форме. Научная новизна заключается с одной стороны в том, что получается аппроксимация в закрытой форме для функции распределения расстояний между узлами КРС с ДА с нетривиальной моделью топологии, а с другой стороны в том, что с применением данного подхода становится проще строить аналитические модели на основе обобщения экспериментальных данных.

Теоретическая значимость работы заключается, во-первых, в исследовании

вычислительной сложности решения различных задач построения композиционных моделей, во-вторых, в разработке нового алгоритма поиска приближенной композиционной модели с использованием методов теории поиска в метрических пространствах.

Практическая значимость заключается, во-первых, в описании приемов реализации разработанного алгоритма построения приближенных композиционных моделей, повышающих его производительность, что подтверждается сравнением на тестовых задачах разработанного алгоритма с методом случайного поиска, во-вторых, в применении алгоритма для аппроксимации распределения расстояний между узлами в модели одноранговой КРС с ДА. Следует заметить, что для оценки параметров КРС с ДА построение модели топологии и получение аналитического описания такой характеристики, как распределение расстояния между узлами, является крайне необходимым [12].

Практической значимостью также обладает проведенный анализ различных моделей топологий КРС с ДА. Описанные модели топологий КРС с ДА и полученная для модели группового движения аппроксимация распределения расстояний между узлами сети были использованы в рамках ОКР «Ангстрем-Р» в ОАО «НПО Ангстрем», что подтверждается справкой об использовании результатов диссертационного исследования (см. приложение 1).

На защиту выносятся следующие положения:

- задача построения точной композиционной модели является NP-полной, а задача построения оптимальной композиционной модели - NP-трудной; данные результаты верны в случае построения композиционной модели на основе Липшиц-ограниченных отображений одной переменной;

- задача построения приближенной композиционной модели может решаться полиномиальными или показательными от длины модели (в худшем случае) алгоритмами; применяемые алгоритмы с полиномиальной вычислительной сложностью неустойчивы; прочие алгоритмы не гарантируют преимущества по сравнению со случайным поиском, имеющим показательную вычислительную сложность;

- разработанный в диссертационном исследовании алгоритм построения приближенной композиционной модели имеет преимущество по быстродействию перед алгоритмом случайного поиска (на примерах в 5-10 раз); в совокупности с разработанной эвристикой раннего завершения данный алгоритм может успешно использоваться для решения практических задач;

- на этапе эскизного и технического проектирования для оценки эффективности внедрения КРС с ДА и принятия верных технических решений целесообразно моделирование одноранговых КРС с ДА;

- применение предлагаемого в диссертации алгоритма к аппроксимации зависимостей, полученных экспериментальным или имитационным путем, позволяет использовать аналитический аппарат при построении моделей на основе экспериментальных данных, что демонстрируется в диссертационном исследовании построением формульной аппроксимации для распределения расстояний между узлами КРС с ДА.

Основные результаты диссертационного исследования докладывались автором на 4 научно-технических конференциях: '

- IX международной научной конференции «Инновации в науке и образовании» -г. Калининград - 2011 г.

- X международной научной конференции «Инновации в науке и образовании» -г. Калининград - 2012 г.

- XXXII Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы эффективности и безопасности функционирования сложных технических и информационных систем» - г. Серпухов - 2013 г.

- V Всеукраинской научно-практической конференции «Информатика и системные науки-2014» - г. Полтава - 2014 г.

Соответствующие публикации тезисов и текстов докладов представлены в списке публикаций автора по теме диссертации [15-19].

По результатам диссертационного исследования автором были написаны три статьи [6], [11], [20], опубликованные в журналах, входящих в перечень

рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертационных исследований.

В диссертационном исследовании применялись методы математического анализа, теории функций и функционального анализа, теории вычислительной сложности, теории вероятностей, теории метрического поиска. Достоверность результатов диссертационного исследования обеспечивается применением в нем математических утверждений, доказываемых в рамках соответствующих дисциплин, и корректным манипулированием ими в тексте диссертации.

В ходе диссертационного исследования было разработано программное обеспечение, реализующее предлагаемый в диссертации алгоритм поиска, которое зарегистрировано свидетельством №2014618295 от 14.08.14 (см. приложение 2), а также программное обеспечение имитационной модели топологии КРС с ДА на основе группового движения автономных агентов. Корректность работы разрабатываемого и исследуемого программного обеспечения проверялась его тестовым применением на задачах с известным решением.

Результаты диссертационной работы получены автором лично и составляют вклад автора. Из материалов совместных публикаций [15], [17] в диссертационной работе использованы только принадлежащие автору.

Текст диссертации состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка и двух приложений, содержащих копии свидетельства о регистрации программы для ЭВМ и справки об использовании результатов диссертационного исследования. Работа изложена на 152 страницах, из них 138 страниц основного текста (10 таблиц, 8 рисунков). Библиография работы содержит 107 наименований.

Глава 1. Существующие методы и сложности поиска композиционных

моделей

§1.1 Практика применения и классификация композиционных моделей

1.1.1 Классификация композиционных моделей

Точной композиционной моделью длины п на множестве О для отображения g назовем любой вектор индексов /=(/,,. отображений из заданного их множества р = , такой что

\fxeD g{x)=fi¡{...fL{x)) . Для удобства обозначим далее композицию отображений из Г по заданном набору индексов I как: С/ир(/=(/,,...,/„),/г)=/,-((.../,„(•)) . Точные композиционные модели в основном используются при решении задач аналитического преобразования выражений. Не для всех метрик, множеств функций и исходных отображений композиционная модель длины п будет существовать.

Определим оптимальную композиционную модель длины п как вектор индексов /=('р...,г'л)е{1,...,т}л , такой что на I достигается минимум \х^,Стр{1 ,Р)) , то есть 1 = ,Г)))) . В данном определении

Iя - метрика на множестве функций, определенная на множестве ¡V , таком что {{§}и{Стр{{\,...,т}п, р)}}<=-Цг . Оптимальная композиционная модель существует, если 0 . Оптимальные композиционные модели используются в задачах

аппроксимации зависимостей или их синтезе по заданным условиям. Если существует точная композиционная модель, то она будет оптимальной вне зависимости от выбора метрики Iя .

Псевдооптимальной или приближенной композиционной моделью длины п с точностью е будет называться вектор индексов /=(/,,...,/„)е{ 1,...,/и}" , такой что ,Стр{1 ,Г))<£ . Например, приближенная композиционная модель может

получаться в ходе решения задачи оптимизации ц{g ,Cmp[l ,F))-*min алгоритмом, не гарантирующим строгую оптимальность решения.

Аналогично рассмотренным определениям можно ввести композиционные модели длины не более п , считая, что /£ и"=1 {1,..., w}' , однако это можно сделать и другим способом. Построение композиционной модели длины не более п над множеством F достигается при решении задачи построения модели длины ровно п над расширенным множеством Fext={Fu{g0{x)=id{x)=x}} . Если множество F изначально включает , то понятие композиционной модели длины п и не

более п совпадают.

Понятие композиционной модели и их классификация обобщается на отображения многих переменных, становясь эквивалентным функциональному дереву [2], [3], однако в настоящем исследовании подобные обобщения не рассматриваются. Также предполагается, что целевая функция д и функции из F (иногда далее именуемые базовыми) Липшиц-ограниченны. Под Липшиц-ограниченностью функции Ф понимается существование L , такого что для любых х1}х2 из области определения функции выполняется, что |ф(х,)-ф(х2)|<1|х1-х2| . Следует заметить, что для строго монотонной Липшиц-ограниченной функции ф может существовать обратная константа А>0 , такая что |ф(х1)-ф(х2)|>А|х1-х2| .

1.1.2 Применение и методы поиска композиционных моделей

Часто применяемым классом функций являются полиномы, для которых естественным образом определяются понятия композиционных моделей. При этом композиционная модель полинома может состоять исключительно из полиномов или включать не полиномиальные функции, композиция которых полиномиальна.

Целью построения композиционных моделей для полинома может являться: - Ускорение вычислений, так как если степень полинома deg{P)=n , deg{Q)=m , то степень deg{P[Q)) = deg{Q{P))=mn . Таким образом, если удается разложить полином в виде композиции полиномов, его вычисление во многих случаях может быть ускорено. Предполагается, что вычислительная сложность вычисления значений полинома в общем случае 0{deg{P)) .

- Понижение степени полинома построением оптимальных и приближенных композиционных моделей. Если окажется, что полином Р{х) представим как F{Q{X)) » гДе F «ли Q - полином, близкий к id{x) , например по метрике Чебышева, то степень полинома может быть понижена с ограниченной погрешностью.

Композиционные модели для полиномов носят в основном вспомогательный характер и применяются для оптимизации имеющегося полиномиального представления функций. Если построение точной композиционной модели полинома возможно, то оно осуществляется за полиномиальное время с использованием алгоритмов, описываемых в статье [21] и подпараграфе 1.2.1 данной главы. Аналогичная ситуация имеет место и для дробно-рациональных функций, то есть функций, являющихся отношением полиномов; соответствующие алгоритмы построения композиционных моделей описаны в статье [22].

Применимость композиционных моделей для полиномиальных или дробно-рациональных функций существенно ограничена, однако в более широком классе функций композиционные модели могут быть полезны. Композиционные модели могут заменять другие функциональные аппроксимации для представления результатов экспериментов или использоваться как аппроксимация для более сложной, с точки зрения вычислений, зависимости. Примеры успешного применения оптимальных композиционных моделей небольшой длины для представления результатов экспериментальных данных и получения упрощенных вычислительных моделей отображений приводятся, например, в работе [8, стр. 113-123].

Задача, решаемая авторами [8], может быть описана следующим образом: пусть g(t) монотонно возрастает/убывает при ^e[0,+oo]c|R , ищется оптимальная или приближенная композиционная модель длины 3 в виде ц(/,ф1(ф2(ф3)))-+ ^/л , ц -либо поточечный аналог расстояния Чебышева, либо расстояние в /f по значениям функции и композиционной модели в N точках. Особенностью подхода авторов [8] является ограничение числа возможных композиций путем определения, что tp1€F1,cp2€F2,93eF3 , в отличие от принятого нами определения, по которому нужно положить F=F1UF2UF3 . В работе [8] множества Fj , F2 конечны, а множество

Fз бесконечно, что требует расширения данных в подпараграфе 1.1.1 определений.

Для решения проблемы нахождения минимума, необходимого для определения оптимальной или приближенной композиционной модели, авторами [8] предлагается приближенный алгоритм, включающий перебор и параметрическую оптимизацию. Подобные двухстадийные методы, включающие отбор множества композиционных моделей и параметрическую оптимизацию каждой из них с целью выбора наилучшей, далее называются параметрическими методами построения композиционных моделей. Получаемые параметрическими методами кохмпозиционные модели зачастую являются приближенными. Нахождение оптимальной модели допускает разбиение на стадии в крайне ограниченном наборе случаев. Параметрические методы построения композиционных моделей применяются для обработки отображений, представляющих зависимости, полученные в экспериментах или при имитационном моделировании. Параметрические методы построения композиционных моделей рассматриваются в подпараграфе 1.3.2.

Задача построения композиционной модели в общем случае является проблемой поиска оптимального решения или оптимизации в конечном дискретном или смешанном1 множестве. Структура такой поисковой задачи в общем случае не имеет свойств, позволяющих применить классические методы оптимизации. Практическая необходимость решать задачи подобного вида привела к возникновению таких подходов, как случайный поиск [23], генетический поиск [1], а также различных метаэвристических подходов к оптимизации. Данные методы позволяют находить близкие к оптимальным (приближенные) решения поисковых задач, которые с точки зрения теории не должны оптимально решаться в общем случае за время, полиномиальное от объема исходных данных (ЫР-полные задачи).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Калинников, Иван Сергеевич, 2015 год

Список литературы

1. Koza, J. R. Genetic programming: a paradigm for genetically breeding populations of computer programs to solve problems / J. R. Koza; Stanford university technical report CS- TR-90-1314 1990 131 p. - Mode of access: http://www.genetic-programming.com/jkpdf/trl314.pdf.

2. Zelinka, I. Analytic programming - symbolic regression by means of arbitrary evolutionary algorithms / I. Zelinka, Z. Oplatkova, L. Nolle // International Journal of Simulation, Systems, Science and Technology .- 2005 №6 (9).- p. 44 - 56.

3. O'Neill, M. Grammatical evolution: evolutionary automatic programming in an arbitrary language // M. O'Neill, C. Ryan .- Kluwer Academic Publishers, 2003 .- 144 p.

4. Дивеев, А. И. Метод сетевого оператора и его применение в задачах управления: монография / А. И. Дивеев, Е. А. Софронова.- М: РУДН, 2012 - 182 с.

5. Софронова, Е. А. Метод сетевого оператора для решения задачи многокритериального структурно-параметрического синтеза системы управления: автореф. дис. на соиск. учен. степ. к. т. н. (05.13.01) / Е. А. Софронова - М.:2008 - 18 с.

6. Калинников, И. С. Вычислительная сложность построения Липшиц-ограниченных отображений композиционных моделей / И. С. Калинников // «Прикладная дискретная математика» -2014.-№3(25).-с.ЮЗ - 110.

7. Price, G. R. Selection and covariance / G. R. Price // Nature .- 1970 .- №227 .p. 520-521.

8. Лабутин, С. А. Анализ сигналов и зависимостей: Учеб. Пособие / С.А. Лабутин, М.В. Пугин .- Н. Новогород : Нижегород. гос. тех. Ун-т., 2001 158 с.

9. Аттетков, А. В. Методы оптимизации / А. В. Аттетков, С. В. Галкин, В. С. Зарубин. - М : МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003 .- 440 с.

10. Gungor, V. С. Challenges and issues in designing architectures and protocols for

wireless mesh networks / V. C. Gungor, E. Natalizio, P. Pace, S. Avallone .- Mode of access: http://www.academia.edu/894954/Challenges_and_Issues_in_Designing_Architectures_and_P rotocols_for_Wireless_Mesh_Networks.

11. Калинников, И. С. Декомпозиционное представление в моделировании компьютерных радиосетей с динамической архитектурой / И. С. Калинников // «В мире научных открытий».- 2013 - №7(43).- с. 297-320.

12. A primer in spatial modeling and analysis in wireless networks / J. G. Andrews, R. Ganti, M. Haenggi, N. Jindal, S. Weber // IEEE comm. magazine.- 2010.- №11(48).- p. 156-163.

13. Similarity search: The metric space approach / P. Zezula, G. Amato, V. Dohnal, M. Batko .- Springer, 2006 220 p.

14. Searching in metric spaces / E. Chavez, G. Navarro, R. Baeza-Yates, J. L. Marroquin // ACM Comput. Surv. -2001 .-№ 3(33).-p. 273-321.

15. Калинников, И. С. Разработка алгоритмов построения декомпозиционных моделей непрерывных отображений / И. С. Калинников, С. С. Нестерова // Труды IX международной научной конференции «Инновации в науке и образовании» в 2 ч.Калининград: КГТУ, 2011.- ч.2.- с.76-78.

16. Калинников, И. С. Алгоритм построения декомпозиции непрерывной функции одного аргумента по заданному множеству функций / И. С. Калинников // Труды X международной научной конференции «Инновации в науке, образовании и бизнесе» в 2 ч.- Калининград: КГТУ, 2012,- ч.2.- с. 160-163.

17. Калинников, И. С. Алгоритм маршрутизации для беспроводных сетей с динамической архитектурой / И. С. Калинников, А. В. Сахариленко // Труды X международной научной конференции «Инновации в науке, образовании и бизнесе» в 2 ч-Калининград: КГТУ, 2012.-ч.2.-с. 173- 175.

18. Калинников, И. С. Декомпозиция отображений как способ автоматизированного построения моделей сложных систем / И. С. Калинников // Труды XXXII Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы эффективности и безопасности функционирования сложных технических и информационных систем».-

Серпухов: фил. Военной ак. им. Петра Великого, 2013.- том 5.- с. 213-217.

19. Калинников, И. С. Сложность поиска оптимальной композиционной модели Липшиц-ограниченной функции [Текст] / И. С. Калинников // Сборник трудов V Всеукраинской научно-практической конференции «Информатика и системные науки- 2014».- Полтава: ПУЭТ, 2014.- с. 133-135.

20. Калинников, И. С. Алгоритм поиска приближенной композиционной модели Липшиц-ограниченной сюръективной функции / И. С. Калинников // «Прикладная информатика» .- 2014 .- №4(52).- с. 49-57.

21. Seong, J.-К. Polynomial decomposition and its applications / J.-K. Seong, G. Elber, M.-S. Kim .- 2003 .- 12 p.- Mode of access: http://www.cs.technion.ac.il/ ~gershon/papers/func_decomp.pdf.gz.

22. Alonso, C. A rational function decomposition algorithm by near-separated polynomials / C. Alonso, J. Gutierrez, T. Recio // J. Symbolic computation .- 1995 .- №19 .p. 527 - 544.

23. Проблемы случайного поиска : Вопросы кибернетики. / Под. редакцией Л. А. Растригина .- М.:Пр.-изд. комбинат ВИНИТИ, 1987 .- №33 .- 136 с.

24. Noviskey, М. J. Application of genetic algorithms to function decomposition in pattern theory / M. J. Noviskey, T. D. Ross, D. A. Gadd .- Wright Laboratory technical report WL-TR-94-1015, 1994 .- 84 p .- Mode of access: http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/ u2/a327931.pdf

25. Горбань, A. H. Обобщенная аппроксимационная теорема и вычислительные возможности нейронных сетей / А. Н. Горбань // Сибирский журнал вычислительной математики, т.1 .-1998 .- №1 .-с. 12 - 24.

26. Колмогоров, А. Н. Избранные труды. Математика и механика / А. Н. Колмагоров .- М.: Наука, 1985 .- 470 с.

27. Keijzer, М. Scaled symbolic regression / М. Keijzer // Journal of Genetic programming and evolvable machines 2004 .- №5 .- p. 259 - 269.

28. Zippel, R. Radional function decomposition / R. Zippel // Proceeding ISSAC '91 .-

Bonn, 1991 .-p. 1 -6.

29. Karp, R. M. Reducibility among combinatorial problems / R. M. Karp // Complexity of Computer Computations / Ed. R. E. Miller, J. W. Thatcher - Plenum Press, 1972 - Mode of access: cs.stanford.edu/people/trevisan/cs 172-07/karp.pdf.

30. Пападимитриу, X. X. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. / X. X. Пападимитриу, К. Стайглиц .- М.: Мир, 1984 .-512 с.

31. Even, S. The minimum-length generator sequence problem is NP-hard / S. Even, O. Goldreich//Journal of algorithms .- 1981 .-№2 .-p. 311 -313.

32. Mathai, A. M. Random points associated with rectangles / A. M. Mathai, P. Moschopoulos, G. Pederzoli // Rendiconti del circolo mathematico di Palermo .- 1999 .II (XLVIII) .-p. 163- 190.

33. Philip, J. The probability distribution of the distance between two random points in a box / J. Philip // TRITA MAT 07 MA 10.- 2007 .- 13 p.- Mode of access: http://www.math.kth.se/~johanph/habc.pdf

34. Introduction to Information Retrieval / C. D. Manning, P. Raghavan, H. Schiitze .-Cambrige UP, 2009 .- Mode of access : http://www-nlp.stanford.edu/IR-book/.

35. Вентцель, E. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология / Е. С. Вентцель .- 2-е изд., стер М.:Наука Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988 .- 208 с.

36. Sean, L. Essentials of Metaheuristics / L. Sean .- Lulu, 2013 .- Mode of access : http://cs.gmu.edu/'-sean/book/metaheuristics/.

37. Растригин, JI. А. Адапатация случайного поиска / Л. А. Растригин, К. К. Рипа, Г. С. Тарасенко .- Рига: «Зинатне», 1978 .- 243 с.

38. Цетлин, М. Л. Исследования по теории автоматов и моделированию биологических систем / М. Л. Цетлин .- М: «Наука», 1969 .-316 с.

39. Altenberg, L. The schemata theorem and Price's theorem / L. Altenberg // Foundations of genetic algorithms 3 / Ed. D. Whiteley, M. Vose .- San Francisco: Morgan Kaufmann, 1995 .-p. 23 - 49.

40. Koza, J. R. Genetic programming: On the programming computers by means of natural selection / J. R. Koza .- MIT Press, 1992 .- 814 p.

41. Solving symbolic regression problems using incremental evaluation in genetic programming / H.Tuan - Hao, R. I. McKay, D. Essam, N. X. Hoai // Proceeding IEEE Congress on Evolutionary Computation .- 2006 .- p. 7487 - 7494.

42. Pre-, In- and Postfix grammars for symbolic regression in grammatical evolution / E. Hemberg, N. McPhee, M. O'Neill, A. Brabazon .- 2008 .- Mode of access: http://ncra.ucd.ie/papers/HembergMcPhee_etal.pdf.

43. Hedar, A.-R. Tabu programming: a new problem solver through adaptive memory programming over tree data structures / A.-R. Hedar, E. Mabrouk, M. Fukushima // Journal of Information Technology & Decision Making .- Dec. 2010 .- Mode of access: http://www.researchgate.net/publication/220385161_Tabu_Programming_a_New_Problem_So lver_through_Adaptive_Memory_Programming_over_Tree_Data_Structures.

44. Stinstra, E. Metamodeling by symbolic regression and Pareto simulated annealing / E. Stinstra, G. Rennen, G. Teeuwen // Struct Multidisc Optim..- 2008 .- №35 .- p. 315 - 326.

45. Green, J. Automatic programming with ant colony optimization / J. Green, J. L. Whalley, C.G.Johnson .- Mode of access : http://kar.kent.ac.Uk/14081/l/ Automatic_Programming_with_Ant_Colony_Optimization.pdf.

46. Альсведе, P. Задачи поиска: Перев. с нем. / Р. Альсведе, И. Вегенер .- М.: Мир, 1982 .-368 с.

47. Алгоритмы: построение и анализ / Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн // Под ред. И. В. Красикова .- 2-е изд.- М.: Вильяме, 2005 .- 1296 с.

48. Amato, G. Approximate similarity search in metric spaces : Dissertation / G. Ammato .- 2002 .- Mode of access : http://www.nmis.isti.cnr.it/amato/thesis/.

49. Shamos, M. I. Closest-point problems / M. I. Shamos, D. Hoey // Proc. 16th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science .- 1975 .-p. 161 - 162.

50. Bentley, J. L. Optimal expected-time algorithm for closest-point problems / J. L. Bentley, B. W. Weide, A. C.-c. Yao // Computer science department .- 1979 Mode of

access : http://repository.cmu.edu/compsci/2451

51. Kekre, H. B. Retrieval of images using DCT and DCT wavelet over image blocks / H. B. Kekre, K. Sonawane // Journal of advanced computer science and applications .- 2011.-vol. 2 №10 .- p. 98- 106.

52. Levy, A. Sequantial Karunen-Loeve basis extraction and its application to images / A. Levy, M. Lindenbaum // IEEE Transactions om image processing .- 2000 .- vol.9, №8.-p. 1371 - 1374.

53. Алефельд, Г. Введение в интервальные вычисления: Пер. с англ. / Г. Алефельд, Ю. Херцбергер .- М.: Мир, 1987 .- 360 с.

54. Сигал, И. X. Введение в прикладное дискретное программирование: модели и вычислительные алгоритмы: Учеб. пособие / И. X. Сигал, А. П. Иванова .-М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003 .- 240 с.

55. Defays, D. An efficient algorithm for a complete link method / D. Defays // The computer journal.- 1976 .- №20(4).- p. 364 - 366.

56. Sibson, R. An optimally efficient algorithm for the single link clustering method / R. Sibson // The computer journal.- 1973 .- №16 .- p. 30 - 45.

57. Магницкий, H. А. Новые методы хаотической динамики / Н. А. Магницкий, С. В. Сидоров .- М.:Едиториал УРСС, 2004 .- 320 с.

58. Cochran, W. G. The chi-square test of goodness of fit / W. G. Cochran // Ann. Math. Stat..- 1952 .-№23(3).- p. 315-345.

59. Glodstein, R. B. Chi-square quantiles, Algorithm 451 / R. B. Glodstein // Commun. Assoc. Сотр.- 1973 .- №16 p. 483 - 485.

60. Panneton, F. On the XorShift random number generators / F. Panneton, P. L'Ecuyer .- 2004 .- 16 p. .- Mode of access : http://www.iro.umontreal.ca/~panneton/ Xorshift.html.

61. The dynamic bloom filters / D. Guo, J. Wu, H. Chen, X. Luo // IEEE Transactions on knowledge and data engineering .- 2006 .- 15 p.- Mode of access : http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.151.8477

62. Milic, В. NPART - Node Placement Algorithm for Realistic Topologies in Wireless Muiltihop Network Simulation / B. Milic, M. Malek // Proceedings of the Second International Conference on Simulation Tools and Techniques .- 2009 19 p. - Mode of access: http://edoc.hu-berlin.de/series/informatik-berichte/224/PDF/224.pdf.

63. Holzmann, G. J. The early history of data networks / G. J. Holzmann, B. Pehrson .IEEE computer society press, 1994 .- 304 p.

64. Быхковский, M. А. Развитие телекоммуникаций: на пути к информационному обществу. История телеграфа, телефона и радио до начала XX века: Учебное пособие. / М: А. Быхковский .- Изд:2-е М.: Книжный дом «Либроком», 2012 г.- 344 с.

65. Джамалипур, А. Беспроводной мобильный интернет: архитектура протоколы и сервисы / А. Джамалипур .- М.¡Техносфера, 2009 .- 496 с.

66. Roberts, L. G. The evolution of packet switching / L. G. Roberts .- 1978 .- Mode of access : http://www.packet.cc/files/ev-packet-sw.html.

67. The SAGE/BOMARC Air Defense Weapons System / IBM Military Products Division .- 1958 .- 32 p. .- Mode of access : http://bitsavers.informatik.uni-stuttgart.de/pdf/ibm/sage/SAGE_BOMARC_Defense_System_1958.pdf

68. Theory of programming for AN/FSQ-7 combat direction central and AN/FSQ-8 combat control central / International business machines corporation .- Mode of access: http://bitsavers.informatik.uni-stuttgart.de/pdf/ibm/sage/3-112-0_Theory_Of_Programming_ Apr59.pdf.

69. Малашевич, Б. M. Очерки истории Российской электроники. Выпуск 5. 50 лет отечественной микроэлектронике: Краткие основы и истории развития / Б. М. Малашевич .- М.:Техносфера, 2013 .- 800 с.

70. Ревич, Ю. В. Информационные технологии в СССР. Создатели советской вычислительной техники / 10. В. Ревич, Б. Н. Малиновский .- Спб.:БХВ-Петербург, 2014.- 336 с.

71. Baran, P. On distributed communications (RM-3420-PR) / P. Baran RAND corporation, 1964 .- Mode of access: http://www.rand.org/content/dam/rand/pubs/ research_memoranda/2006/RM3420.pdf.

72. Baran, P. On distributed communications (RM-3767-PR) / P. Baran RAND corporation, 1964 .- Mode of access : http://www.rand.org/content/dam/rand/pubs/ research_memoranda/2006/RM3767.pdf.

73. Penrose, M. Random Geometric Graphs / M. Penrose .- Oxford University Press, 2007 .- 330 p.

74. Алон, H. Вероятностный метод: учебное пособие / Н. Алон, Дж. Спенсер .пер. 2-го англ. изд.- М.:Бином. Лаборатория знаний, 2007 .- 320 с.

75. Райгородский, А. М. Модели случайных графов и их применения / А. М. Райгородский // Труды МФТИ (том 2).- 2010 .- №4 .- с. 130 - 140.

76. ARPHANET information brochure / Defense Communications Agency .- 1978 .- 25 p.- Mode of access: http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a482154.pdf.

77. Pouzim, L. Presentation and major design aspects of the CYCLADES computer network / L. Pouzim : NATO Advanced Study Institute on Computer Communication Networks, University of Sussex .- 1973 .- Mode of access : http://www.rogerdmoore.ca/ PS/CYCLB.html.

78. Abramson, N. The ALOHA system - Another alternative for computer communcations / N. Abramson // Proc. of Fall Joint Computer Conference .- 1970 .p. 281 -285.

79. Kleinrock, L. Computer network research. Th. Report DAHC15-73-C-0368 №2496 / L. Kleinrock .- June 1973 .- 64 p. .- Mode of access : www.dtic.mil/cgi-bin/GetTRDoc?AD=AD0769706.pdf.

80. Kleinrock, L. On stability of packet switching in a random multi-access broadcast channel / L. Kleinrock, S. S. Lam // Computer Nets, A Supplement to the Proceedings of the Seventh Hawaii International Conference on System Sciences .- 1974 .- p.74 - 77.

81. Kleinrock, L. Packet switching in radio channels: Part I - Carrier sense multiple-access models and their throughput-delay characteristics / L. Kleinrock, F. A. Tobagi // IEEE Transactions on communications, vol. Com-23 .- 1975 .- №12 .- p. 1400 - 1416.

82. Tobagi, F. A. - Packet switching in radio channels: Part III - Polling and (Dynamic)

Split-Channel Reservation Multiple Access / F. A. Tobagi, L. Kleinrock // IEEE Transactions on communcations, vol. Com-24 .- 1976 №8 .- p. 832 - 845.

83. Marcus, J. N. Throughput of packet radio networks with dynamic power levels: dissertation on master of science degree / J. N. Marcus MIT, 1984 .- Ill p. - Mode of access: http://dspace.mit.edu/handle/1721.1/15406.

84. Baker, D. J. The design and simulation of a mobile radio network with distributed control / D. J. Baker, A. Ephremides, J. A. Flynn // IEEE Journal on selected areas in communications, vol. Sac-2 .- 1984 .- №1 .- p. 226 - 237.

85. An operational and performance overview of the IRIDIUM low earth orbit satellite system / S. R. Pratt, R. A. Raines, С. E. Fossa, M. A. Temple // IEEE communications surveys .- 1999 .- Vol. 2, Issue 2 .- p. 2 - 10.

86. Iridium NEXT : The Next-generation Satellite Constellation of Iridium Communications Inc. .- Mode of access : http://www.orbital.com/SatelliteSpaceSystems/ Publications/IridiumNEXT_factsheet.pdf.

87. Таненбаум, Э Компьютерные сети. / Э. Таненбаум .-4-е изд.- Спб: Питер, 2003 .- 992 с.

88. IEEE 802.11s Wireless LAN mesh network technology / H. Aoki, S. Takeda, K. Yagyu, A. Yamada //NTT DoCoMo Technical journal.- 2006 .- Vol. 8 №2 p. 13 - 21.

89. Forgues, P. Command in a network-centric war / P. Forgues // Canadian Military Journal.- 2001 .- Issue 2, №2 .- p. 23 - 30.

90. Савин, JI. В. Сетецентричная и сетевая война. Введение в концепцию. / Л. В. Савин М.: Евразийское движение, 2011.- 130 с.

91. DoD and commercial advanced waveform development and programs with multiple Nunn-McCurdy breaches. Vol 5. / M. V. Arena, I. Blickstein, D. Gonzales, S. Harting, J. L. Lewis, M. McGee, M. McKernan, C. Nemfakos, J. Osburg, R. Rudavsky, J. M. Sollinger.-2014 .- 112 p.- Mode of access: http://www.rand.org/content/dam/rand/pubs/monographs/ MG1100/MG1171 z5/RAND_MG 1171 z5 .pdf

92. Akyildiz, I. F. Wireless mesh networks: a survey / Ian F. Akyildiz, Xudong Wang,

Weilin Wang 11 Computer networks 2005 №47 p. 445 - 487.

93. Gupta, P. The Capacity of Wireless networks / P. Gupta, P. R. Kumar // IEEE Trans. Inf. Theor.- 2000 Vol. 46, №2 p. 388 - 404.

94. Калинникова, С. С. Исследование сложности проблемы обнаружения скрытых узлов подвижных радиосетей / С. С. Калинникова // Материалы V Всеукраинской научно-практической конференции ИСН-2014 (ПУЭТ) .- 2014 .- с. 135 -138.

95. RFC 793 Transmission Control Protocol [Electronic resource] .- Mode of access: https://tools.ietf.org/html/rfc793.

96. TCP performance issues over wireless links / G. Xylomenos, G. C. Polyzos, P. Mahonen, M. Saaranen // IEEE comm. Magazine .- 2001 №39(4).- 52 - 58.

97. Ивонин, M. В. Криптографические протоколы распределения ключей для групп с динамическим составом участников / М. В. Ивонин .- 1999 .- Режим доступа : http://www.itsecure.org.Ua/_ld/0/69_cryptopr.doc

98. Сидельников, В. М. Теория кодирования / В. М. Сидельников .-М.:ФИЗМАТЛИТ, 2008 324 стр.

99. Newman, М. Е. J. Random graphs as models of networks / M. E. J. Newman.-2002 .- 35 p..- Mode of access : http://www.santafe.edu/media/workingpapers/02-02-005.pdf

100. Reynolds, C. W. Flocks, Herds and Schools: A distributed behavioral model / C. W. Reynolds // SIGGRAPH Computer Graphics .- 1987 .- №21(4).- p. 25 - 34.

101. Khan, N. A. Formal and executable specification of random waypoint model using time coloured Petri nets for WMN / N. A. Khan, F. Ahmad, S. A. Kahn .- Mode of access : http://downloads.hindawi.com/journals/aaa/2014/798927.pdf.

102. Shiffman, D. The nature of code / D. Shiffman 2012 Mode of access: http://natureofcode.com/book.

103. Edelkamp, S. Heuristic search: theory and applications / S. Edelkamp, S. Schrodl.-Elsevier Science, 2011 .- 833 p.

104. Евдокимов, А. А. Военная топография. Пособие для групповых занятий. /

А. А. Евдокимов СПб: ГУАП, 2008 104 с.

105. CORINE land cover description .- 163 p.- Mode of access: http://www.eea.europa.eu/publications/CORO-landcover/at_download/file

106. Крянев, А. В. Математические методы обработки неопределенных данных / А. В. Крянев, Г. В. Лукин .- 2-е изд., испр.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006 .-216 с.

107. Watts D. J. Collective dynamics of 'small-world' networks / Duncan J. Watts, Steven H. Strogatz // Nature .- 1998 .- Vol. 393 .- p. 440 - 442.

Приложение 1. Справка об использовании результатов

диссертационной работы

¥

A>i

в » л

'''V:.-""' ангстрвгу!

ОТКРЫТОЕ АКЦИОНЕРНОЕ ОБЩЕСТВО

"НПО Ангстрем"

Проезд № 4806, дом 4, строение 3, Зеленоград, Москва, Россия, 124460

e-mail: [e-mail] телефон [phone] факс [phone] ОГРН 1027700140930

"-."--20_Г. №_

На исх. №_ от_

ВЕРНА

А /

eteibLtSM' ¿ytc.ojCiCL с ¿/г

• >' V Л LL, X

СЛУ

fy гАС0 Hi-

. й

СПРАВКА об использовании результатов кандидатской диссертационной работы Калинникова Ивана Сергеевича

Результаты диссертационного исследования Калинникова И.С. «Алгоритм поиска композиционной модели Липшиц-ограниченного отображения одной переменной», представляемого на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 05.13.11, использованы в рамках разработки сети пакетной радиосвязи в составе ОКР «Ангстрем-Р». В данном ОКР использованы следующие материалы:

1. Описания и классификация моделей топологий одноранговых компьютерных МеэЬ-сетей - для определения требований к моделям движения узлов сети в рамках имитационно-моделируюшего комплекса.

2. Модель генерации топологии МезИ-сети на основе группового движения множества автономных объектов - для оценки распределения расстояний между узлами проектируемой сети.

3. Модель оценки пропускной способности/емкости МезЬ-сети при заданном распределении расстояний между узлами сети - для оценки выполнимости технических требований к программному обеспечению стека протоколов МезЬ-сети.

Директор НТЦ ОАО «НПО Ангстрем», к.т.

А.В.Лапшин

oonnnnoS^SSSS 0000000000000000000000000000°00000000000000000

nnonono2So2^2 00000000000Q00000000000,00000°000°0°°0000000000

2°°°°°°°°0000000Я0°0°°ООаоООООООООООООООООООООООООООООООООООО

■2 2 о ZZZ cio'c,ooooqoooooo®do^oqooooooooooooooooooooooooooooooooooo ш OO 0000000 о, о op oooaoooooo OO О OO О О OOOO OO ao ООЙ.ООСГООО QO

8VS.V ° Щ 9я° SiP о .я о с$.о о о о о о о о op og о о oo.oooqoQo? аЬ&ъоодо'

) о to qto QP Э,,0 о o.o cio

9

Приложение 2. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ

мхошйссжаж ттщ'мрмщт

СВИДЕТЕЛЬСТВО

о государственной регистрации программы для ЭВМ

№ 2014618295

Поиск композиционной модели Липшиц-ограниченного сюръекгивного отображения

Правообладатель: федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «МИЭТ» (Яи)

Автор. Калинников Иван Сергеевич (КII)

Заявка № 2014616122

Дата поступления 26 ИЮНЯ 2014 Г.

Дата государственной регистрации

в Реестре программ для эвм 14 августа 2014 г.

И.о. руководителя Федеральной службы по интеплектуалъной собственности

Л.Л. Кирш,

й