Алгебры голономии лоренцевых многообразий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Галаев, Антон Сергеевич

• Галаев, Антон Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Галаев, Антон Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Основные сведения.

1 1 Группы и алгебры голономии: определения и факш

1.2. Связные неприводимые группы голономии римановых и псевдоримановых многообразий

1 3 Результат Л Берарда-Бержери и А. Икемакхена

ГЛАВА II. Группы движений пространств Лобачевского, группы преобразования подобия евклидовых пространств и группы юло-номии лоренцевых многообразий.

2 1. Транзитивные группы преобразований подобия евклидовых пространств

2 2 Движения пространств Лобачевского.

2 3 Классификация 1ранзитивных групп преобразований подобия евклидовых пространств и геомефическое доказа1ельс!во результата Л Берарда-Бержери и А. Икемакхена

2 4 Транзитивные группы движений пространства Лобачевсксм о Ln+

ГЛАВА III Пространства тензоров кривизны и алгебры Берже

3 1 Предварительные сведения.

3 2 Структура пространсIB тензоров кривизны

3 3 Слабые алгебры Берже

3 4 Примеры

ГЛАВА IV Конструкции метрик и классификационная теорема

4 1 Координаты Валкера и примеры метрик Л Берарда-Бержери и

А Икемакхена

4 2 Конструкции метрик, реализующих все алгебры Берже

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебры голономии лоренцевых многообразий»

Актуальность темы. Понятие группы голопомии впервые было введено в работах Э Картана [22] и [24], в [23] он использовал группы голопомии для классификации римановых симметрических пространсхв

Группа голопомии может быть определена для произвольного главного или векторного расслоения со связнос1ью, для этого необходимо только по-ня!ие параллельного переноса. Рассмотрим произвольное n-мерное многообразие М с линейной связностью V Зафиксируем точку х G М Группа голопомии Holx для связности V в точке х е М есть под1 руппа Ли группы Ли GL(TXM) ~ GL(n) (все группы и алгебры Ли будем рассматривать над полем М), состоящей из параллельных переносов вдоль всех кусочно-гладких петель в точке х Соо1ветс1вующая алгебра Ли fjol^ С gl(TxM) ~ gf(n) называется алгеброй голопомии в точке х Для связного многообразия группы голономии и алгебры голопомии в различных точках изоморфны, и можно I оворить о группе и алгебре голономии многообразия

Важность группы голономии состоит в том, что группа голономии содержит информацию обо всех параллельных объектах на многообразии А именно, имеек'я взаимно-однозначное соответствие между параллельными тензорными полями типа (г, 5) на многообразии и тензорами типа (г, s), заданными на касательном пространстве в произвольной точке многообразия и сохраняемыми 1ензорным продолжением группы голономии А чакже существует взаимно-однозначное соответствие между параллельным распределениями ранга г на многообразии и подпространсптми касахельного пространства размерности г в некоторой точке многообразия, сохраняемыми 1руппой голономии Таким образом, если мы знаем группу голономии многообразия, то геоме1рическую задачу нахождения параллельных тензорных полей или параллельных распределений на многообразии можно свести к более простой алгебраической задаче нахождения инвариантных элементов или инвариашных подпространств для соответствующих представлений группы голономии Аналогично, алгебра i олономии содержит информацию обо всех параллельных объектах на многообразии, заданных локально

Поэтому возникает задача классификации групп голономии Прежде всего отметим, что для неодносвязного прос1ранства группа голономии может быть несвязной, и в зтом случае какие-либо результаты отсукчвукн По эюй причине будем рассматривать связную компонешу единицы группы голономии Это равносильно изучению алгебры iолономии В дальнейшем будем рассматривать только связные группы голономии

В 1965 году Дж Хано и X. Одзеки показали, что всякая связная линейная группа Jin G С GL(n) может быть реализована как группа голономии пространства линейной связности [37]. Эта связность, как правило, имеет ненулевое кручение. Значит для произвольных пространств линейной связности классификации групп голономии быть не можег и нужно вводить дополнительные условия. Таким условием является обращение тензора кручения в ноль, Тог = 0. В этом случае первое тождество Бьянки имеем вид

R{X, Y)Z + R{Y, Z)X + R{Z, X)Y = 0, для всех X,Y,Z G где R - тензор кривизны многообразия Для произвольной линейной алгебры g с g((n) рассмофим пространство тензоров кривизны типа д,

7г(д) = {R € Нош(Е" А Г\ д)|R{u A v)w + R(v A w)u + R(w A u)v = 0 для всех u,v,w G и векюрное иодпросчранство

L{1Z{q)) = span{R{u A v)\R G и, v G IT} с g.

Согласно теореме Амброза-Зингера (теорема F) алгебра голономии порождается значениями тензора кривизны в различных точках многообразия Значит для алгебры голономии t)olx С gl(ТХМ) многообразия с линейной связностью без кручения мы имеем L(7l(t)olx)) = t)olx Подалгебры g С g((n), удовлетворяющие условию L(1Z(q)) = g, можно считать кандидатами в алгебры голономии Отметим, что это условие является достаточно жесчким. В 1955 году М. Верже привел (без подробного доказательства) список неприводимых подалгебр g С g((ft) (для произвольного п > 1), удовлетворяющих условию L(1Z(q)) — g Поэтому алгебры, удовлетворяющие '-ному условию, принято называть алгебрами Верже. Подробное доказательство (вмесче с исправлениями ошибок в списке) дали недавно С Меркулов и Л.Шваххофер, [51] и [54]. Этот довольно технический результат основан па классификации неприводимых представлений редуктивных ajn ебр Ли (зная неприводимое представление g gl(n), можно проверить равенство L(R(g)) = g в терминах старшего веса представления) Заметим, что для пространств линейной связности переход от общего случая к случаю неприводимой алгебры голономии невозможен, и говорить о классификации в общем случае, видимо, нельзя.

Рассмотрим теперь римановы многообразия Классификация связных групп голономии римановых многообразий является хорошо известным классическим результатом. На всяком римановом многообразии (М, д) имеем связность Леви-Чивита, однозначно определенную условиями Vg = 0 и Тог = О В этом случае Holx С 0(ТхМ,дх) ~ 0(п) и t)olx С so(TxM,gx) ~ so(n). В 1952 году А. Ворель и А Лихиерович доказали, что всякое римапово многообразие локально является произведением римановыт многообразий с неприводимыми группами голономии, более того, ограниченная группа голономии риманова многообразия представима в виде прямого произведения неприводимых групп Ли, алгебры Ли которых удовлетворяют условию L(7£(g)) = g [12] Основная причина заключается в следующем: если подгруппа G С 0(п) сохраняет некоторое векторное иоднрос I ранство U С R™, то G сохраняет также его ортогональное дополнение U1, и мы имеем М" = U ф U1, те группа G вполне приводима В 1955 году М Верже классифицировал связные неприводимые подгруппы Ли G С SO(n), алгебры Ли g С so(n) которых удовлетворяют условию L(7Z(q)) — g. Результат состоит в следующем- либо G является группой голономии симметрического риманова пространства (эги пространства классифицированы в [23], их группа голономии совпадает с представлением изотропии), либо G является одной из следующих групп: SO(n), £/(§), S£/(§), Sp(*) - Sp( 1), Spm{7) (n = 8), G2 (n = 7). Последние 6 групп этого списка называются специальными группами голономии Список Верже представлял собой долгое время список кандидатов в группы голономии, лишь в 1987 году Р. Брайнт привел конструкции, показывающие существование римановых многообразий с каждой из специальных групп из этого списка ([16]) Эю завершает классификацию Римановы многообразия с группами голономии U(n), SU(n), Sp(n), Sp(n) • Sp( 1) являются кэлеровыми, специальными кэлеровыми (или многообразиями Калаби-Яу), кватернионно-кэлеровыми и гиперкэлеровыми cooiBeicrBeinio Многообразия с группами голономии SU(|), Sp^), Spin{l) и G2 допускают параллельные спинорные поля ([56]), а потому интересны для физиков Каждое из многообразий с особой группой голономии являе!ся многообразием Эйнштейна или Риччи-плоским Все эти римановы многообразия представляли большой интерес геометров последние 50 лет, подробный обзор можно найти в [7] и [46]. Важным результатом являются конструкции полных и компактных римановых многообразий со специальными группами голономии, полученные Р Брайнтом, С.Саламоном и Дж. Джойсом

Как показывает случай римановых многообразий, классификация связных групп голономии дает примеры различных важных классов многообразий. Поэтому важно иметь также классификацию связных групп ю-лономии для псевдоримановых многообразий, и в первую очередь - для ло-ренцевых многообразий, поскольку последние важны в физике Например, в последнее время в связи с теорией 11-мерной супергравитции имеются физические работы, в которых изучаются 11-мерные лоренцевы мпогообразия, допускающие параллельные спинорные поля. При этом используются группы голономии ([6, 35, 36, 39, 44]). В настоящее время полная классификация получена только для лорепцевых многообразий (об этом речь пойдет далее) Имеются частичные результаты для многообразий сигнатуры (2,п), [32, 33, 41] и сигнатуры (п,п), [9].

Рассмотрим псевдориманово многообразие (М, д) произвольной сигнатуры (г, 5). Как и в римаиовом случае, на (М,д) имеем связноеп> Леви-Чивита, теперь Holx С 0(ТхМ,дх) ~ 0(r,s) и f)olx С so(TxM,gx) ~ so(r,s). У1верждение теоремы Бореля-Лихнеровича неверно для псевдоримановых многообразий. Действительно, предположим, что подгруппа G С 0(r,s) сохраняет собственное вырожденное подпространство U С Mr's, тогда UCiU1 ф {0}, и мы не получаем ортогонального разложения Rr's в прямую сумму С-инвариантных подпространств. Подгруппа G С 0(r, s) называется слабо неприводимой, если она не сохраняет никакие невырожденные собственные подпространства в Mr's Теорема By утверждает, чю всякое псевдориманово многообразие локально является произведением псевдоримановых многообразий со слабо неприводимыми группами голономии, более того, ограниченная группа голономии пеевдориманова многообразия предста-вима в виде прямого произведения слабо неприводимых групп Ли, алгебры Ли которых удовлетворяют условию L(K(q)) = g [57] Если группа голономии ненриводима, то она слабо неприводима В [10] М Берже дал классификацию возможных связных неприводимых групп голономии для псевдоримановых многообразий. В частности, единственной связной неприводимой группой голономии лоренцевых многообразий является В [20] и [15] даны прямые доказательсчва эюго факта Итак, в случае псевдоримановых многообразий основная сложнос1ь связана с тем, что слабо неприводимые, не являющихся неприводимыми, подгруппы в 0(r, s) не являются редуктивными (или вполне приводимыми), и эти группы неизвестны

Цель работы. Целью работы является получение классификации ал-I ебр голономии лоренцевых многообразий. Постановка задачи.

С учетом вышесказанного, проблема классификации алгебр голономии лоренцевых многообразий сводится к проблеме классификации слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, алгебр голономии лоренцевых мноюобразий Последняя проблема может быгь разделена на следующие 3 проблемы

1) Получи I ь список слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подалгебр g С so(l, п + 1).

2) Для подалгебр g С so(l,n + 1) пункта (1) проверить равенс1во L(R,(q)) = g, то есть получить список связных слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подалгебр Берже в so(l,n + 1)

3) Для каждой подалгебры g С so(l,n + 1) пункта (2) найти пример ло-ренцева многообразия с алгеброй голономии д.

Основные задачи, решенные в диссертации:

1) Получено геометрическое доказа1ельс1во результата JI Берарда

Бержери и А Икемакхена о слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подалгебр g С so(l,п + 1). Попупю получена классификация связных групп преобразований подобия евклидовых пространств и классификация связных транзитивных групп движений пространств Лобачевского.

2) Для слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подал!ебр g С so(l, 7i + 1) описаны пространства тензоров кривизны Проблема классификации слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подал1ебр Берже g С so(l,n + 1) сведена к проблеме классификации неприводимых слабых подалгебр Берже f) С so (п). Для п < 9 получена классификация слабых подалгебр Берже f) С 50(п)

3) Посi роены метрики, реализующие все кандидаты в ал1ебры голономии лоренцевых mhoi ообразий.

Теоретическое и практическое значение работы. Резулыаш данной рабо i ы могут быть применены для дальнейшего исследования геометрии лоренцевых многообразий с каждой из возможных алгебр голономии, для нахождения локальных параллельных геометрических объекюв на лоренцевых многообразиях Результаты работы могут быть применены также в физике, например, в связи с общей теорией относительности и в теории супергравитации.

Содержание работы.

В главе I излатются некоторые известные результаты о группах голономии псевдоримановых многообразий. В пункте 1 1 приводятся определения и основные факты, связанные с группами голономии псевдоримановых многообразий. Даны примеры и идеи доказательств некоторых теорем, показывающие технику применения групп голономии В пункте 1.2 приводится классификация М.Берже связных неприводимых групп голономии римановых и псевдоримановых многообразий и ее следствия.

В пункте 1 3 излагается решение проблемы (1), полученное в 1993 юду Л. Берардом-Бержери и А. Икемакхеным ([8]) Они разделили слабо неприводимые, не являющиеся неприводимыми, подалгебры g С so(l,n + 1) на 4 типа и ассоциировали с каждой такой подалгеброй подалгебру I) С so(n), называемую ортогональной частью алгебры Ли g Более подробно, обозначим через M1,n+1 (п + 2)-мерное пространство Минковского, то есть векторное пространство Мп+2 с мефикой т] сигиатуры (1 ,п + 1). Зафиксируем базис р, е\,., еп, q пространства R1'"*1, относительно которого метрика г] имеет матрицу Грама формы 0

0 Еп 0

V1 0 °/ Обозначим через Е евклидово пространство, порожденное векторами е\, .,еп Иногда вместо Е будем писагь

R" Обозначим через so(l, п + 1)кр подалгебру в во(1, п + 1), сохраняющую изотропную прямую Шр. В базисе р, е\,., еп, q алгебра Ли $о(\,п + 1)rp имеет следующий мафичный вид 1 а -X1 0Х

50(1,П+ 1)Мр = <

I \

О АХ 0 0 -а аеШ,Хе Rn, А е зо(п)

Всякая слабо неприводимая, не являющаяся неприводимой, подалгебра g С so(l,n + l) сохраняет некоторую изотропную прямую, поэюму g сопряжена некоторой слабо неприводимой подалгебре в 5о(1, n-f- 1)rp Напомним, что для всякой подал1ебры f) С so(n) имеем (j = fj' ф 3(f)), где f)' - коммутант I) и 3(f)) - центр f). Л Берард-Бержери и А. Икемакхен показали, что подалгебра g С5о(1,гс+1)кр является слабо неприводимой тогда и только тогда, когда g является алгеброй одного из следующих типов:

U а -X1 0Х

Тип 1. д1^ = <

I \

- подалгебра;

0 АХ 0 0 -а а е R, X G Шп, А Е f) где f) С so(n)

Г / \ Q -X1 0 х

Тип 2. д2'^ = <

0 А X 0 0 0

Г /

I V

X ешп, А е\)

Тип 3. g3,f}^ = <

I V ip{A) -X1 0 0 А X 0 0 -ip{A)

X G Mn, A £t) где f) с so(ri)

- подалгебра с условием 3(f)) ф {0} и ip : f) отображение со свойством <р\у = 0; ненулевое лииеииое /О -X1 -ф{АУ о ^

Тип 4. 0

4 ,*),т,ф

I V

О А О О О О о о о ф(А) О

X <= IRm, А е ь где

О < т < п - некоторое целое число, f) С so(m) - подалгебра с условием dim^f)) > п — т, а ф : —> Mnm - сюрзективное линейное отображение со свойством ф\у = О

Подалгебра I) С so (/г), ассоциированная выше со слабо неприводимой подалгеброй g с so(l,n + называется ортогональной частью алгебры Ли д.

Доказательство этого результата было алгебраическим В главе II мы приводим геометрическое доказательство эюго результата. Мы рассматриваем векторную модель (п + 1)-мерного пространства Лобачевского

Ln+1 с Ri,n+i и его абсолют dLn+l, который диффеоморфен п-мерной единичной сфере. Имеем естественные изоморфизмы

0'( 1, п + 1) ~ I&om Ln+1 ~ Conf 8Ln+1 и 50(1, п + 1)Нр -г Sim Е, где 0'(1, n +1) есть подгруппа Ли в 0(1, n +1), сохраняющая пространство Ln+1, IsomL"+1 - группа всех движений пространства Ln+1, Conf<9L"+1 -группа коггформггых преобразований dLn+1, 50(1, п + 1)rp - подгруппа Ли в 0'(l,n + 1), сохраняющая изотропную прямую Шр, и Sim Е - группа преобразований подобия Е Мы отождествляем множество dLn+1\{Rp} с евклидовым пространством Е. Тогда всякая подгруппа G С 50(1, n + 1)rp действует па Е, более того, G С Sim Е Мы доказываем, чю связная подгруппа G С 50(1, п + 1)кр является слабо неприводимой тогда и только тогда, когда соответствующая подгруппа G С SlmE при изоморфизме 50(1, п+ 1)кр ~ Sim Е действует транзитивно в Е. Это дает взаимно однозначное соответствие между связными слабо неприводимыми подгруппами в 50(1, п + 1)кр и связными транзитивными подгруппами в SтЕ

Используя описание связных транзитивных подгрупп в SimЕ, данные в [2] и [3], мы доказываем следующую теорему.

Теорема 2. Связная подгруппа G С Sim Е транзитивна тогда и только тогда, когда G сопряжена группе одного из следующих типов

Тип 1. G = (А х Я) X Е, где А = - компонента единицы группы гомотетий Е с центром О, Я С SO(n) - святая подгруппа Ли и Е

- группа сдвигов;

Тип 2. G = Я X Е;

Тип 3. G = (Аф х Я) X Е, где Ф : А —» SO(n) есть гомоморфизм и {Ф(а) • а\а е А} С SO{n) х А

- группа винтовых гомотетий Е;

Тип 4. G = (Я х UX W, где имеем ортогональное разложение E = U®W, Н С SO(W), Ф : U SO(W) - гомоморфизм (U рассматриваем как группу переносов в Е на векторы из U), и

U* = {Ф(ад) • и\и eU] С SO(W) х U

- группа винтовых движений Е.

Соответствующие подгруппы в 50(1, п + 1)кр при изоморфизме SO(l,n + 1)кр ~ SimЕ исчерпывают все связные слабо неприводимые подгруппы в S0( 1, п + 1)ир и их алгебры Ли имеют тот же тип, определенный Л. Берардом-Бержери и А Икемакхеным.

Одним из применений теоремы 2 является классификация транзитных группы движений пространства Лобачевскою Ln+1

Теорема 3. Пусть G С 50°(l,n + 1) - связная подгруппа, действующая тпранзитивно в пространстве Лобачевского Ln+1. Тогда, либо G = 50°(l,n + 1), либо G сохраняет изотропную прямую I С IR1,rl+1, и существует базис р,е\, .,en,q пространства Е1'""1"1, как и выше, такой, что I = Шр и G является одной из следующих групп

1) (Ах Н) X Е, где Н С SO(n) - подгруппа;

2) (Аф х Я) X Е, где Ф : А —> SO(п) - нетривиальный гомоморфизм и

Аф = (Ф(а) • а\а Е А) С SO{n) х А.

Более того, группы вида АЛЕ и Аф X Е исчерпывают все связные подгруппы в SO°(l,n + 1), которые действуют просто транзитивно в Ln+1.

Геометрическое доказательство результата JI Берарда-Бержери и А. Икемакхена дает также идею для классификации слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подгрупп в U(l,n+1) С SO(2,2n + 2), для этого нужно использован) комплексное пространство Лобачевского [26, 32) Перейдем теперь к рассмотрению проблемы (2). В главе III мы описываем пространства 7£(д) для слабо неприводимых подшиебр g С 5о(1, n + 1)rp в терминах их ортогональной части f) С so(n). Мы сводим классификацию слабо неприводимых подалгебр Верже g С во(1,п + 1)мр к классификации неприводимых подалгебр f) С во(п), обладающих некоторым алгебраическим свойством (слабые алгебры Верже)

Более точно, для всякой подалгебры f) С so(n) определим пространство

Щ) = {Ре Hom(En, f))| ri(P(u)v, w) + T]{P(v)w, и) + r]{P(w)u, v) = 0 для всех u,v,w G E"} и векторное подпространство

L{V(f))) = span{P(«)|P G P(f)), и G Ert} С J), порожденное тензорами P G V(l)) Мы называем V(§) пространством слабых тензоров кривизны типа fj Подалгебра I) С so(n) называется слабой алгеброй Берже, если L(V(t))) = f).

В следующей 1еореме мы даем описание пространсш шгеоров кривизны 7£(д) для алгебр каждою типа с произвольной ортогональной частью f) С 5о(п) в терминах пространства V{\})

Теорема 4. Для всякой подалгебры f) С so(n) имеемi) щ^) = я(д2>") е ще, Ж) © щш, щ,

II) тг(д2'") = П(Ъ) 0 ЩЕ, f)) ф Щр А Е), где

ЩЕ,Щ ~ Нот(.Е,Е), изоморфизм имеет следующий вид: всякое линейное отображение L : Е —> Е соответствует тензору кривизны, определяемому следующими условиями RL Е ЩЕ,Ш), RL(qAu) = L(u)pAq, RL(apAq) = pAL*(a), RL(pAu) = 0, RL(uAv) = О для всех а Е Е, и, v Е Е;

ЩЖ, Е) ^ Е, всякое А Е Е соответствует тензору кривизны Rx Е ЩЖ,Ш), определяемому следующими условиями R*(p a q) = \р A q, Rx{p А и) = 0, Rx{q А и) = О, ДА(и Л v) = 0 для всех и, v Е Е;

ЩЕ, I}) ~ 'P(f)); всякий элемент Р Е "Р(()) соответствует тензору кривизны Rp Е ЩЕ,1}), определяемому следующими условиями Rp(q Л и) = Р{и), Rp(u A v) = -Цр А Р*{и A v)), Rp{p A q) = 0, Rp(p Л и) = 0 для всех u,v Е Е;

Щр А Е) ~ S2(E), всякое линейное отображение Т : Е —> Е, такое что Т* = Т, соответствует тензору кривиз71ы R1 Е ЩрАЕ), определяемому следующими условиями RT(qAu)=pAT{u), Rr(uAv) = 0, RT(p A q) = 0; RT(p А и) = 0 для всех u,v Е Е.

III) Если з(()) ф {0}, то для любого линейного отображения ip : f) —> Е с условием ip\y = 0 имеем Щкег ip) ф ЩЕ, I), у) ф Щр А Е), где

ЩЕ, t),(p) ~ V{\}), произвольный элемент Р Е V(l)) соответствует тензору кривизны Rp Е И(Е, f), ip), такому что Rp{q Ли) = Р{и) + 4>{P{u))p Л q, Rp{u Л v) = -\{р Л Р*(и Л и)), Rp(apAq) = -\рЛ Р*((р*(а)), Rp(pAu) = 0 для всех а ЕШ, u,v е Е,

IV) Если существует ортогональное разложение Е = Е\ $ Е2, такое что 1){Е2) = {О} (те f) С so{E\)), dim^lj) >п — т, гдет = dim2?i, то для любого линейного сюръективного отобраэюения ф Е2 с условием ф |t)' = О имеем

4,W) = ^(ker ф) ф ЩЕи Ь,Ф)@ЩрА Ег), где

ЩЕ\,\),ф) ~ ^ib), произвольный элемент Р Е соответствует тензору кривизны Rp Е 7i(Ei, Ь,ф), такому что Rp{q Л щ) = Р{щ) +рЛ ф{Р{щ)), Rp{u 1 Л ы) = -\{р Л Р*{щ Л Vi)), RP(p А и2) = -\р Л Р*(ф*{и2)), Rp{p Л q) = О, Rp(p Л и) = О, Rp(u2 Л и) = О для всех щ, v\ Е Е\, и2 Е .Е^, и Е Е

Следствие 1. Всякая слабо неприводимая подалгебра 0 С во(1, п+1)кр является алгеброй Берже тогда и только тогда, когда ее ортогональная часть С so(rc) является слабой алгеброй Берже.

Следствие 2. Всякая слабо неприводимая подалгебра 0 С 5о(1, п + l)ip, такая что ее ортогональная часть f) С 5о(п) является алгеброй голономии риманова многообразия, является алгеброй Берже

Следствие 1 сводит проблему (2) к проблеме классификации слабых алгебр Берже f) С 5о(п). Далее мы изучаем их свойсхва

Теорема 5. (I) Для всякой слабой алгебры Берже f) с 5о{п) существует ортогональное разложение Rn = Жп° 0 МП1 ф • • • ф МПг пространства Мп и разложение алгебры Ли {) в прямую сумму идеалов

Ь = {0} Ф f)i ® •" Ф f)r; щи этом = 0 при г ф j, \)г с 5о{пг) и представление f)z неприводимо в Еп'

II) Предположим что дана подалгебра f) С so(n), для которой существует ортогональное разложение М™ = ф К"1 ф • • • ф Wlr пространства Rn и разложение алгебры Ли \) в прямую сумму идеалов f) = {0} Ф f)i ф • • • Ф i)r, при этом f)j(Rnj) = 0 при г ф j, I), С $о(пг) и представление \)г неприводимо в М"1. Тогда имеет место равенство

Следствие 3. При тех же предположениях, что и в пункте (II) теоремы 5, f) является слабой алгеброй Берже тогда и только тогда, когда алгебра \)г является слабой алгеброй Берже при всех г — 1, .,г.

Используя теорию представлений компактных алгебр Ли, мы получаем список неприводимых подалгебр I) С so(n) для п <9. С помощью программы Mathematica 4 0 мы находим пространства V{\)) как решение системы линейных уравнений Доказываем следующую теорему

Теорема 6. Для п < 9 неприводимая подалгебра fy С so(n) является слабой алгеброй Берже тогда и только тогда, когда она является алгеброй голономии риманова многообразия.

Следующая теорема, доказанная Т Лейстнером, обобщает этот результат для произвольных п.

Теорема О. Всякая неприводимая подалгебра f) С so(n) является слабой алгеброй Берэюе тогда и только тогда, когда она является алгеброй голономии риманова многообразия.

Доказахельство этой теоремы изложено на более чем 100 страницах, оно использует классификацию неприводимых представлений компактных алгебр Ли В [47] эта теорема была доказана для f) С и(|) С so(n) Теорема б была получена независимо и помещена в математический архив (arXiv math DG/0304407,[30]) После эюго появились работы [48] и [49], где теорема О была доказана для простых () С во(n), f) <£. u(^), а поюм для произвольных f) С 50(п). Требуется получить более прямое доказательство этого результата Такого доказательства пока нет, но в замечании в конце главы IV говорится об одной из возможностей

Теперь решение проблемы (2) можно сформулировать следующим образом:

Теорема 7. Подалгебра g С so(l,п + 1) является слабо неприводимой, не являющейся неприводимой, алгеброй Берже тогда и только тогда, когда g сопряжена одной из следующих подалгебр gi.fj^g4,f),m,t/> с 50(1)П4- fj q so(n) - алгебра голономии риманова многообразия

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Галаев, Антон Сергеевич, 2007 год

1. Алексеевский Д В Римановы пространства с необычными группами голономии / Д В Алексеевский // Функциональный анализ и его приложения - 1968. - Т. 2., Выи 2-С. 1-10

2. Алексеевский Д В. Однородные римановы многообразия отрицательной криви-шы / Д В Алексеевский // Мат. сборн 1975. - N° 1 - С. 93-117

3. Алексеевский Д В Геометрия пространств постоянной кривизны / Д В Алексеевский, Э Б. Винберг, А. С. Солодовников // Итоги науки и техники / ВИНИТИ Т. 29. Совр. пробл. маг. Фунд напр - М., 1988 - С 5-146

4. Ambrose W A theorem on holonomy / W. Ambrose, I M Singer // Trans Amer. Math Soc 1953 - Vol. 79. - Pp. 428-443.

5. Астрахапцев В В О группах голономии чешрехмерных псевдоримановых пространств / ВВ. Астрахапцев / / Маг заметки. 1971 - Т 9 - № 1. - С 59-66

6. Batrachenko A Generalized holonomy of M-theory vacua Электронный ресурс] / A Batrachenko, M. J. Duff, J. T. Liu, W. Y Wen. Режим доступа. http://arXiv:hep-th/0312165, свободный

7. Becce А. Многообразия Эншгейна / A Becce Пер с англ. - Т. 2. - М Мир, 1990. - 384 с

8. Berard-Bergery L On the Holonomy of Lorentzian Manifolds / L. Berard-Bergery, A. Ikemakhen // Proceeding of symposia in pure math. 1993 -Vol 54. - Pp 27-40

9. Berard-Bergery L. Sur l'holonomic des varietes pseudo-riemannicnnes de signature (n,n) / L Berard-Bergery, A. Ikemakhen // Bull Soc Math France 1997 - Vol 125 - F.l. - Pp 93-114

10. Berger M. Sur les groupers d'holonomie des varietes acormexion affine et des varietes riemanniennes / Berger M. // Bull. Soc. Math. France - 1955 -Vol 83. - Pp 279-330.

11. Berger M. Les espace symetriques non compacts / Berger M // Ann Sci Ecole Norm. Sup 1957 - Vol. 74. - Pp. 85-177.

12. Borel A Groupes d'holonomie des varietes riemanniennes / A Borel, A. Lichnerowicz // C. R Acad. Sci. Paris. - 1952. - Vol. 234. - Pp. 279-300

13. Boubel Ch. Sur 1'holonomie des varietes pseudo-riemariniennes. / Ch Boubel PhD thesis Umversite Henri Poincare. - Nancy. - 2000. - 218 p

14. Boubel Ch On the holonomy of Lorentzian metrics / Ch. Boubel // Publication de TENS. Lyon. - 2004 - no 323. - 34 p.

15. Boubel Ch Dynamics of some Lie subgroups of 0(n, 1), applications / Ch Boubel, A Zeghib // Prepublication de TENS. Lyon. - 2003 - no 315

16. Bryant R Metrics with exceptional holonomy / R. Bryant // Ann. of Math. 1987 - Vol 126(2) Pp 525-576.

17. Bryant R Recent advances in the theory of holonomy / R. Bryant // Semmaire Bourbaki 51 eme annee. 1998 - 99. - no. 861 - 24 p

18. Винберг Э В Строение групп и алгебр Ли / Э. Б. Винберг, В. В. Гор-бацевич, А Л Онищик // Итоги науки и техники. / ВИНИТИ. Т. 41: Совр пробл мат Фунд напр - М., 1990. - С. 8-248

19. Винберг Э. Б. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам / Э Б Винберг, А Л Онищик М • УРСС, 1995 344 с

20. Di Scala A J. The geometry of homogeneous submamfolds of hyperbolic space / A J Di Scala, C. Olmos // Math. Z , 2001 Vol 237 - Pp 199209

21. Дьедонне Ж Линейная алгебра и элементарная геометрия / Ж. Дье-донне М Наука, 1972. - 336 с

22. Cartan Е Les groupes reels simples finis et contmus / E Cartan // Ann Scient Ecol Norm Sup 1914. - Vol. 31. - Pp 263-355, ou Oeuvres completes T III. - Pp 659-746 et Pp 799-824.

23. Cartan E. Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann / E Cartan // Bull Soc math France, 1926. - Vol. 54. - Pp. 214-264, 1927 - Vol 55 - Pp. 114 - 134, ou Oeuvres completes Т. I, Vol 2 - Pp 587-659

24. Cartan E. Les groupes d' holonomie des espaces generalises / E. Cartan // Acta. Math. 1926. - Vol. 48 - Pp. 1-42, ou Oeuvres completes T III, Vol 2 - Pp. 997-1038.

25. Галаев А. С. Слабо неприводимые подгруппы в SU(l,n +1) /АС Галаев // Матемахика Механика: Сб науч тр. Сараюв: Изд - во Сара г ун-та, 2004. - Выи.6. - С. 27-30.

26. Галаев А. С. Группы движений пространств Лобачевского, группы преобразования подобия евклидовых пространств и группы голономии лореицевых многообразий / А. С. Галаев // Известия Сарат ун-ia. Мате-машка. Механика Информатика 2005. - Т 5, Вып 1 - С. 3-12

27. Галаев А С Алгебры голономии лоренцевых многообразий /АС Галаев // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2006 - №3, Вып. 1. - С. 5-9.

28. Galaev A.S. The spaces of curvature tensors for holonomy algebras of Lorentzian manifolds / A.S. Galaev // Differential Geometry and its Applications 2005 - Vol. 22 - Pp. 1-18.

29. Galaev A S. Metrics that realize all Lorentzian holonomy algebras / A S Galaev // International Journal of Geometric Methods in Modern Physics. 2006 - Vol 3. - Nos. 5-6 - Pp. 1025-1045.

30. Galaev A S. Classification of holonomy groups for pseudo-Kahlerian manifolds of index 2 Электронный ресурс] / A. S. Galaev Режим доступа: http://arXiv:math.DG/0405098, свободный

31. Galaev A S Remark on holonomy groups of pseudo-Riemannian manifolds of signature (2, n + 2) Электронный ресурс] /AS Galaev Режим доступа: http: //arXiv:math.DG/0406397, свободный

32. Goldman W. M. Complex hyperbolic geometry / W M Goldman -Clarendon Press, Oxford, 1999 316 p

33. Figueroa-O'Farull J Maximal supersymmetnc solutions of ten and eleven- dimensional supergravity Электронный ресурс. / J. Figueroa-O'Farrill,G Papadopoulos. Режим доступа, http: //arXiv:hep-th/0211089, свободный

34. Figueroa-O'Farrill J Supersymmetry and homogeneity of M-theory backgrounds Электронный ресурс] / J. Figueroa-O'Farrill, P. Meessen, S Philip Режим доступа http'//arXiv:hep-th/0409170, свободный.

35. Hano J. On the holonomy group of linear connections / J. Hano, H Ozeki // Nagoya Math. J. 1956. - Vol. 10. - Pp. 97-100.

36. Helgason S Differential geometry and symmetric spaces / S. Helgason. -Academic Press New York and London, 1978. 487 p.

37. Hull C. Holonomy and symmetry in M-theory Электронный ресурс] / С. Hull. Режим доступа: http: //arXiv:hep-th/0305039, свободный

38. Ikemakhen A Examples of indecomposable non-irreducible Lorentzian manifolds / A Ikemakhen // Ann. Sci Math. Quebec. 1996. - Vol. 20. -N 1 - Pp 53-66

39. Ikemakhen A Sur l'holonomie des varietes pseudo-riemanniennes de signature (2,2 + n) / A Ikemakhen // Publ Mat 1999 - Vol 43. -no. 1. - Pp 55-84

40. Кобаяси Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Т. 1,2. - М Наука, 1981. - Т. 1 - 334 е., Т. 2 -415 с.

41. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства / Б А. Розенфельд. М.: Наука, 1966. - 648 с

42. Sfetsos К Supersymmetry and Lorentzian holonomy in various dimensions / K. Sfetsos, D. Zoakos // J. of High Energy Physics 2004 - Issue 9 -Pp 10-27

43. Желобенко Д. P. Представления групп Ли / Д. Р. Желобенко, А И Штерн М : Наука, 1983. - 357 с.

44. Joyce D. Compact manifolds with special holonomy / D Joyce. Oxford University Press, 2000 - 480 p.

45. Leistner T Berger algebras, weak Berger algebras and Lorentzian holonomy / T Leistner // Berlin, 2002. - sfb - 288 - Preprint, - no 567

46. Leistner T Towards a classification of Lorentzian holonomy Groups Электронный ресурс] / T Leistner Режим доступа http. //arXiv math DG/0305139, свободный

47. Leistner T. Towards a classification of Lorentzian holonomy groups Part II: semisimple, non-simple weak Berger algebras Электронный ресурс] / T Leistner - Режим доступа: http. //arXiv.math DG/0309274, свободный

48. Leistner T Holonomy and parallel spmors in Lorentzian geometry / T Leistner PhD thesis, Humboldt - Universitat zu Berlin., 2003. - 173 p

49. Simons J On the transitivity of holonomy systems / J Simons // Annals of Math. September 1962 - Vol 76(2). - Pp 213-234

50. Schwachhofer L. On the classification of holonomy representations / L Schwachhofer // Habihtationsschrift, Mathematisches Institut der Universitat Leipzig, 1999

51. Walker A. G On parallel fields of partially null vector spaces /AG Walker // Quart J of Math September 1949 - Vol 20 - Pp. 135-145.

52. Wang M Y. Parallel spinors and parallel forms / M. Y Wang // Ann Global Anal Geom 1989 - Vol 7(1). - Pp 59-68

53. Wu H Holonomy groups of indefinite metrics / H Wu // Pacific J of Math. 1967. - Vol 20. - Pp 351-382.