Алгебра эйконалов метрического графа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат наук Каплун Александр Владимирович

• Каплун Александр Владимирович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Каплун Александр Владимирович

Введение

Глава 1. Волны на графе

1.1 Метрический граф

1.2 Операторы и пространства на графе

1.3 Динамическая система с граничным управлением

1.4 Фундаментальное решение

1.4.1 Первое ребро

1.4.2 Прохождение через внутреннюю вершину

1.4.3 Отражение от граничной вершины

1.4.4 Формальное описание фундаментального решения

1.5 Гидра

1.6 Разбиение П

1.6.1 Транзитивное замыкание

1.6.2 Отношения на гидре и графе

1.6.3 Критические точки

1.6.4 Семейства

1.7 Амплитудные векторы

1.7.1 а-представление волн

1.7.2 ^-представление волн

1.8 Гидра

Глава 2. Алгебра эйконалов

2.1 Достижимые множества и проекторы

2.2 Эйконал

2.3 Параметризация

2.3.1 Параметризация семейства Ф

2.3.2 Параметризация разбиения П^

2.4 Смещенные эйконалы

2.5 Общие факты об алгебрах

2.5.1 Определения

2.5.2 Стандартные алгебры и их спектр

2.5.3 Алгебра эйконалов и парциальные алгебры

Глава 3. Алгебры, образованные одномерными проекторами

3.1 Приводимость

3.2 Связи между блоками

3.3 Результаты о связи двух блоков

3.3.1 Теорема о возможности связи двух блоков

3.3.2 Изометричность двух блоков

3.4 Связи в наборе блоков

Глава 4. Приведение к канонической форме

4.1 Параметрическое представление

4.1.1 Исходное представление

4.1.2 Об элементах алгебры иЕ^и-1

4.1.3 Приводимость

4.2 Граничная алгебра

4.2.1 Определение и связи наборов

4.2.2 Лемма о граничной алгебре

4.3 Соединение блоков

4.4 Построение канонического представления

Глава 5. Спектр алгебры эйконалов

5.1 Структура спектра

5.2 Характеристики точек спектра

5.2.1 Определения

5.2.2 Внутренние точки

5.2.3 Точки кластеров

5.3 Функциональная модель алгебры эйконалов

5.3.1 Значения а во внутренних точках

5.3.2 Значения а в точках кластеров

5.4 Координаты на спектре

5.5 Восстановление канонического представления

5.6 Факторизация спектра

5.6.1 Отношение эквивалентности

5.6.2 Координаты на факторе

Глава 6. Геометрическая интерпретация спектра

6.1 Минимальные множества

6.2 Отношение на в—наборе

6.3 Оптимальное разбиение графа

6.4 Параметрическое представление

6.5 Остов

6.6 Координаты на остове

6.7 Связь остова и спектра

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебра эйконалов метрического графа»

Введение

Данную работу можно позиционировать следующим образом. Существует подход к обратным задачам математической физики - метод граничного управления (ВС-метод) [1]. Подход имеет выражено междисциплинарный характер: он основан на связях обратных задач с теорией систем и теорией управления, использует асимптотические методы, функциональный анализ, теорию операторов и др. Разработана алгебраическая версия ВС-метода, основанная на связях с банаховыми алгебрами, давшая новое решение задачи реконструкции рима-нова многообразия по граничным данным [1-3]. Планируется применение этой версии к обратным задачам на графах. Диссертация - шаг в этом направлении.

Алгебраическая версия основана на фундаментальном факте: топологическое пространство характеризуется адекватной алгеброй. Как пример, компактное хаусдорфово пространство О с точностью до гомеоморфизма определяется алгеброй непрерывных функций А = С (О) [4]. При этом, спектр алгебры, - множество А ее неприводимых представлений, снабженное адекватной топологией, - гомеоморфен пространству: А = О. Как следствие, располагая любым представлением А' алгебры А, и находя его спектр А' = А = О, мы получаем гомеоморфную копию пространства О. По этой схеме решается задача реконструкции: из данных обратной задачи извлекается представление А' и находится его спектр А1, который и доставляет решение задачи - гомеоморфную копию подлежащего восстановлению многообразия О. Содержательная часть подхода заключается в нахождении алгебры А' по известным данным. В качестве последней используется алгебра эйконалов Е, определяемая динамической системой, которая описывает распространение волн в О.

Варианты ВС-метода для обратных задач на графах предложены в [5-7]. Версия, использующая алгебру эйконалов, инициирована в [8] и дополнена в [9-11]. Общее направление данного подхода - изучение связей между свойствами алгебры Е (блочной структурой, алгебраическими инвариантами, представлениями) и геометрией графа. Перспективная цель - реконструкция графа по его граничным данным. Обратные задачи на графах - вполне актуальная тема. Различные постановки и подходы содержатся в работах С.А. Авдонина, П.Б. Курасова, А.С. и В.С. Михайловых, П.Кучмента, В.А. Юрко. В [12-16] ВС-метод используется для решения динамических и спектральных об-

ратных задач для различных классов графов. Работы В.А. Юрко и его учеников используют спектральный подход к обратным задачам для дифференциальных операторов на графах [17-19]. Имеется содержательный обзор П.А. Кучмента и Г.М. Берколайко по всей тематике квантовых графов, в том числе и обратным задачам для них [20].

Без потери общности метрический граф О можно представлять как связный компактный граф в К3, состоящий и гладких кривых (ребер) {е1,... ,е1} = Е, скрепленных во внутренних вершинах {у1,... ,ут} = V. Имеются граничные вершины {у1,... ,уп} = Г, из которых выходит по одному ребру. Метрика (внутреннее расстояние) в О индуцирована евклидовой метрикой из К3. Тем не менее, в самой работе дается строгое определение графа и всех связанных с ним понятий на основе локальной гомеоморфности малых окрестностей каждой точки графа некоторым стандартным структурам (интервалам и звездам).

Ребра графа "материальны": вдоль них распространяются колебания (волны), инициированные точечными источниками (управлениями), которые помещены в граничных вершинах. Волны движутся от границы с единичной скоростью, постепенно заполняя граф. Процесс описывается динамической системой

ии - Аи = 0 в Ж, 0 <г<т,

и\г=о = щ\г={) = 0 в О,

и = / в Г х [0,Т],

где Ж = Ь2(О), А - Лапласиан, определенный на гладких функциях, удовлетворяющих условиям сшивания (Кирхгофа) во внутренних вершинах; / = /(У^) - граничное управление класса Ь2(Г х [0,Т]) =: ; и = и?(х$) - решение (волна), и?(•,£) Е Ж при 0 ^ t ^ Т.

Имеется возможность управлять волнами не со всей границы, а с ее части 2 С Г: в этом случае используются управления класса := {/ Е \ вирр/ С 2 х [0,Т]} = 0 £ ^.

Каждой граничной вершине сопоставлено семейство достижимых множеств Ц := {и?(/,£) \ / Е Жу}, 0 ^ I ^ Т и соответствующих проекторов Ру в Ж на Цг. Оператор Е^ := ^ называется эйконалом, отвечающим

вершине у. Эйконалы суть самосопряженные операторы - элементы алгебры ограниченных операторов В (Ж).

Для С*-алгебры А и множества Б С А, через У Б обозначим С*-алгебру, порожденную этим множеством, т.е. минимальную С*-подалгебру в А, содержащую Б. Алгебра эйконалов, отвечающая выделенному семейству граничных вершин 2 С Г, есть операторная С*-алгебра

:= | у е С В(Н). (1)

Алгебра эйконалов относится к классу С*-алгебр с конечномерными представлениями разных размерностей (субоднородные С*-алгебры). Однородные алгебры (алгебры с представлениями одной конечной размерности) изучались, начиная с 1960-х годов, в работах Фелла [21], Томиямы и Такесаки [22]. В них для однородных алгебр построены функциональные модели в виде операторных полей над топологическими пространствами. Позже такие алгебры исследовались в работах Капланского [23], Фелла [21; 24; 25], Эффроса [26], Бун-са и Дедденса [27].

В диссертации строится функциональная модель алгебры эйконалов, близкая по характеру к моделям Васильева [28] и Немеца [29].

Целью данной работы является исследование алгебры эйконалов: получение канонического представления, описание ее спектра, связи спектра с геометрией графа.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Найти каноническое представление алгебры эйконалов, позволяющее дать эффективное описание ее спектра.

2. Построить функциональную модель, основанную на каноническом представлении.

3. Изучить связь функциональной модели с геометрией графа.

Краткое содержание работы.

В первой главе описывается динамика волн на метрическом графе и строится разбиение графа на семейства интервалов, которые позволят описывать набор эйконалов одновременно в простой параметрической форме.

Во второй главе вводятся эйконалы и описывается их параметрическое представление. Определяется алгебра эйконалов и приводятся ее свойства общего характера.

В третьей главе рассматривается абстрактная алгебра, образованная набором одномерных проекторов, ее блочная структура и описываются связи между блоками.

В четвертой главе вводится каноническое представление алгебры эйконалов. Описывается процедура, которая приводит ее к каноническому представлению, отправляясь от параметрического.

В пятой главе описывается спектр алгебры эйконалов. Строится функциональная модель, носителем которой является спектр. Описывается переход к каноническому представлению от произвольной изометрической копии алгебры эйконалов. На спектре вводятся адекватные координаты. С их использованием проводится факторизация спектра, превращающая его в граф.

В шестой главе описывается разбиение исходного графа, связанное с каноническим представлением. Вводится понятие остова: это топологическое пространство, получаемое из исходного графа факторизацией по отошению, определяемому каноническим разбиением. Приводятся условия, при которых остов гомеоморфен факторизованному спектру.

Научная новизна: Все результаты диссертации являются новыми.

Практическая значимость Работа имеет теоретический характер.

Методология и методы исследования. Используются методы теории управления, результаты теории уравнений в частных производных на графах, теория самосопряженных операторов, теория С*—алгебр.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Каноническое представление алгебры эйконалов метрического графа.

2. Описание спектра алгебры эйконалов и его координатизация.

3. Реализация алгебры в виде функциональной модели на ее спектре.

4. Установление связи между структурой спектра алгебры эйконалов и геометрией графа.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью математических методов, используемых при исследовании.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научных семинарах и коференциях. В их числе:

— Международная конференция "Days on Diffraction 2019", 3-7 июня, 2019, Санкт-Петербург

— Международная конференция "Mathematical challenge of quantum transport in nanosystems - Pierre Duclos workshop", 19 - 20 сентября,

2019, Санкт-Петербург

— Analytical Modeling and Approximation Methods Workshop, March 4-8,

2020, Berlin

— Международная конференция "Mathematical challenge of quantum transport in nanosystems - Pierre Duclos workshop", 14 - 16 сентября, 2020, Санкт-Петербург

— Международная конференция "Days on Diffraction 2021", 31 мая - 4 июня, 2021, Санкт-Петербург

— Международная конференция "Days on Diffraction 2022", 30 мая - 3 июня, 2022, Санкт-Петербург

— доклады на Санкт-Петербургском семинаре по дифракции и распространению волн, ПОМИ РАН

Личный вклад. Результаты диссертации, относящиеся к каноническому представлению алгебры эйконалов изложены в совместных с М. И. Белише-вым статьях [9; 11]. В них вклад соавтора (научного руководителя) состоит в постановке задач и определении общего направления и подходов к их решению. Вклад соискателя заключается в реализации предложенных идей и составляет основную содержательную часть этих работ. Им же в [11] введено понятие граничной алгебры, сыгравшее важную роль в описании связей между блоками алгебры эйконалов, и доказана теорема, описывающая подобные связи на абстрактном уровне. Также соискателем установлена связь между факторизованным спектром и остовом графа. Результаты работы [10] получены соискателем лично.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 3 статьях, опубликованных в журналах, рекомендованных ВАК. Все эти журналы входят в реферативные базы данных Web of Science и Scopus.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из Введения, 6 глав и Заключения. Полный объём диссертации составляет 93 страницы, включая 4 рисунка. Список литературы содержит 35 наименований.

Глава 1. Волны на графе

1.1 Метрический граф

Пусть Ij := (0,^) = {sj е 0 < Sj < а^ < ж}^ = 1,... ,(1

конечные

интервалы. Множество Б^ := {0} и 11 и ..., и оснащенное метрикой

|ж — у1, при х,у е ^ х + у, при х е !,иу е ^, % = ^

:= <

X, 0,

будем называть звездой.

при х = 0, у е ^ при ж е 1{, у = 0 при ж = у = 0

й1 й2

(1.1)

Я,

Рисунок 1.1

о

Звезды

• • •

Метрическим графом О назовем связное метрическое пространство, локально изометричное либо звезде, либо интервалу. Внутренние вершины -точки, малые окрестности которых изометричны звездам с (1 > 2, граничные -с ё, = 1. Ребрами будем называть максимальные части О, изометричные интервалам. Таким образом,

— О = Е и V и Г, где Е = - ребра; V = {vj}]=1, - внутренние вершины; Г = {ук }^=1, у к - граничные вершины

— каждое ребро е^ изометрично конечному интервалу {й е < в < }. Зафиксируем изометрии (параметризации) к : е^ ^ (^Д) и будем писать у (в) := (у о к-1)(й), й е (аг,Ъг) для функций у = у (х) на О.

— каждая вершина п) е V и Г имеет в О окрестность, изометричную число Ц-(ад) := d называется валентностью п). Вершины валентности > 2 относятся к множеству внутренних вершин V, валентности 1 - к границе Г.

— на графе ^ определена метрика т : ^ х ^ ^ К+, при этом для х,у Е е

т(х,у) = |к(х) — к(у)|, где к : е ^ (а,Ь) С К - параметризация. Отсутствие в рассмотрениях вершин с валентностью Ц-(ад) = 2 объясняется тем, что звезда с (1=2 изометрична интервалу.

Для подмножества А С ^ величина ШашА := вир{т(х,у)1 х,у Е А} называется диаметром А. Через иг[А] := {х Е т(х,А) < г} обозначим метрическую окрестность множества А радиуса г > 0.

1.2 Операторы и пространства на графе

Для ребра е Е Е, параметризованного к : е — (а,Ь), функции у на Q и точки х Е е определим функцию

dy, ч п. у(т) — у(х) dy. .

~Г~(х) := lim ) 7 ) = /1я=к(х), (1.2)

de т —у х т(т,х) ds v 7

к(т) > к(х)

производную относительно метрики т в направлении увеличения параметра.

Выберем вершину w Е V U Г и ее окрестность в П, изометричную звезде Sd. Будем говорить, что ребро е инцидентно w, если w Е е. Для каждого е, инцидентного w, определим исходящую производную

(w):= lim У(т] —y(w). (1.3)

de+ еэ m—w T(m,w)

Для каждой вершины w Е V U Г и функции у определим исходящий поток

п» ы = Е (w). (1.4)

еэ w +

Рассмотрим вещественное гильбертово пространство H := L2(Q) функций на П со скалярным произведением

(у,и)н = yudT = ^ / уи dT := ^ / y(s)u(s)ds. (1.5)

JQ еЕ^е еЕЕ к(е)

Через С(П) обозначим пространство непрерывных функций с нормой |у| = supQ |Будем говорить, что функция у принадлежит к классу Соболева H2(П) и будем писать у Е H2(П), если выполнены условия:

- У е С(П),

- у|к(е) е Я2(к(е)), а именно ^,^-f е L2(e) для каждого ребра е е Е, Отметим также, что значение производной не зависит от способа параметризации ребер.

Определим также класс Кирхгофа

K := {у е Я2(П) | П[у] =0,v е V} . (1.6)

Оператор Лапласа на графе вводится определением

А: H ^ H; Dom Д = K; (Ау) |е = 0 ,е е Е. (1.7)

Он плотно задан, замкнут и не зависит от способа параметризации ребер.

1.3 Динамическая система с граничным управлением

Начально-краевая задача, описывающая распространение волн в графе, имеет вид

щъ — Аи = 0 в Н, 0 <г<Т; (1.8)

и(^) е К при 0 < г < Т; (1.9)

и|ъ=о = о = 0 в О; (1.10)

и = / на Г х [0,Т]. (1.11)

Здесь Т > 0 - финальный момент времени; / = /(у,Ь) - граничное управление ; и = и?(х,Ь) - решение (волна). При С2-гладком (по {) управлении /, исчезающем вблизи I = 0, задача имеет единственное классическое решение и?. Отметим, что из определения класса Кирхгофа (1.6) и условия (1.9) следует, что выполняются правила Кирхгофа:

<,£) е С (О), П [<,*)] = 0 (1.12)

для всех I ^ 0 и V е V.

Как следует из определения (1.7), на каждом ребре е решение и? удовлетворяет уравнению однородной струны ии — итх = 0. Отсюда видно, что волны распространяются от границы внутрь О с единичной скоростью. Как

следствие, если управление действует с части границы 2 С Г, т.е. выполнено йирр/ С 2 х [0,Т], имеем соотношение

эирри7(•,£) С Щ2], г> 0. (1.13)

Пространство управлений т := Ь2(Г х [0,Т]) со скалярным произведением

т

(¡,9)?г := ^ [ Ду,1 )д(у,1 )сИ (1.14)

называется внешним пространством системы (1.8)-(1.11). Оно может быть представлено в виде прямой суммы подпространств ^Т := {/ Е т| эирр С {у х [0,Т]}}:

= 0 ^ ^т. (1.15)

тег

Для каждого / Е также справедливо представление /(у',£) = 5Т(у')ф(^), Ф Е Ь2([0,Т]), где

Ч

1 У = у, 0 У = у

5у(V) И Л , . (1.16)

- дельта Кронекера. Пространство Ж называется внутренним пространством, волны и?(•,£) - зависящие от времени элементы Ж

1.4 Фундаментальное решение

Рассмотрим систему (1.8)-(1.11) для Т = то. Через 6х мы обозначаем меру Дирака, т.е. функционал на С(П), принимающий значения по правилу (6х,у) = у(х). Пусть 6 = 6(£) есть дельта-функция Дирака.

Фиксируем граничную вершину у. Рассматривая обобщенное управление /(у',£) = 6-у(у')6(£), определим обобщенное решение иЬуЬ динамической системы. Рассмотрим некоторую гладкую регуляризацию 6£ — 6(£). Пусть и6у6

£—>-0

есть классическое решение, а

и6у6 = 11ш и6у6^ £—0+

(1.17)

в смысле распределений на О х [0,то). Для каждого фиксированного Т этот предел существует и представляет собой пространственно-временное распределение в О х [0,Т] из класса С((0,Т),Н—1(О)). Распределение иЬуЬ называется фундаментальным решением системы (1.8)-(1.11), отвечающим вершине у.

Фундаментальное решение сингулярно. Опишем более подробно его структуру и приведем удобный формализм, описывающий его эволюцию.

1.4.1 Первое ребро

Пусть е - ребро, инцидентное граничной вершине у и параметризованное длиной й = к(ж) := т(х,у) е (0,т(у,У)). Пусть V - ближайшая к у внутренняя вершина (второй конец ребра е). Тогда для времен 0 <Ь < т(у,у) справедливо

йа — й88 = 0 в (0,т(у,г>)) х (0,Т); (1.18)

у\ъ=о = о = 0 в [0,т(у,^)] (1.19)

й|8=0 = ад при 0 < г < т(у,^), (1.20)

что приводит к й(з^) = — й). Отсюда получаем, что справедливо представление

«^(•¿) = 6г(ъ)(^), 0 ^ г ^ т(у,у), (1.21)

где х(р) е е и т(х(р),у) = t. Тем самым оказывается, что при малых временах возмущение (сингулярность) в виде дельта-функции двигается по исходящему из у ребру е в сторону вершины V с единичной скоростью.

1.4.2 Прохождение через внутреннюю вершину

В момент времени £ = т(у,^) сингулярность достигает внутренней вершины V, а затем проходит через нее. С использованием правила Кирхгофа (1.12) можно показать, что для достаточно малых £ (0 < £ < т(у,(У и Г) \ |^})) справедливо равенство:

) = ^ Фе'(ФХе1 (*)(•), т(У,у) < I ^ т(у,у) + £. (1.22)

е':е'Эго

Здесь хе' (£) Ее 'и выполнены равенства т(хе' (Ь)^) = Ь — т(у ). Функция а,

которую мы будем называть амплитудой, определяется равенством

( -Ы —2

— ^ ч , при х е е

а(х) := 2 ^ , р е , ' , с - . (1.23)

[ ц^у, прих Ее : е = е, V Ее'

Таким образом, при прохождении через V сингулярность разделяется на —(г>) частей. Одна из них отражается обратно в ребро е, а оставшиеся —(г>) — 1 начинают двигаться внутрь ребер е', инцидентных вершине V. При этом соблюдается следующий закон сохранения

— 2 + (-М — 1) -2т = 1, (1.24)

который означает, что суммарная амплитуда до и после прохождения через внутреннюю вершину остается постоянной.

1.4.3 Отражение от граничной вершины

Пусть, как выше, v есть ближайшая к у внутренняя вершина, а у' - ближайшая к v граничная вершина такая, что выполнено

t{V,v ) = min т(у" ,v), (1-25)

у"€Г

(возможно у = у'). Рассмотрим момент времени £, определяемый равенством:

Ч

i:=< 2T(Y^'' Y' =Y (1.26)

t(y,v) + t(v y'), y = y.

При £ — £ — 0 сингулярность, прошедшая через V и, возможно через другие внутренние вершины, либо отраженная обратно к (в случае, если ' = ), достигает вершины у', а затем отражается от этой вершины. С использованием условия и6^6(у',£) = 6Т(у')6(£) = 0, I > 0, легко получить представление:

uM(.t) = J а6*(')М te (t - (127)

\ -а6*(*)« te (t,t + е),

где x(t) G е', у' G е', т(ж(£),у') = \t — ¿\, а = const = 0.

Таким образом, при достижении граничной вершины, сингулярность отражается со сменой знака константы.

v

t<x(y,v)

Jr -

3

v

t=x(y,y/)-E

2 3

Y t=T(y,v)+8

2

3

V 3

в

Y My.Y^e

2

v

2 3

D

Рисунок 1.2 — Распространение сингулярностей

1.4.4 Формальное описание фундаментального решения

Эволюцию фундаментального решения удобно и наглядно описывают следующие правила "динамики импульсов". Они формализуют проведенный выше анализ.

1. Под импульсом понимается мера а8Х; постоянная а = 0 называется его амплитудой.

2. Каждый импульс а8Х^) движется по ребру со скоростью 1 в одном из двух возможных направлений, так что |£(£)| = 1 при х(Ь) е е.

3. (принцип суперпозиции) Импульсы движутся независимо друг от друга. Если в момент £ имеется несколько импульсов а18Х(^),... ,ар6Х(^), расположенных в точке х(р) е О \ Г, то они складываются, образуя импульс [ (11 +-----Ъ ар ]6х(*).

4. (прохождение через внутреннюю вершину) Перемещаясь вдоль ребра е и проходя через внутреннюю вершину V, импульс а8Х^) делится на

импульсов: один отраженный и ц,(-и) — 1 прошедших. Отраженный

импульс движется вдоль е в обратном направлении и имеет амплитуду

а. Каждый из прошедших импульсов движется вдоль своего (инцидентного у) ребра в сторону от V и имеет амплитуду ^уа. При этом, общая амплитуда составляет ^ а + — 1] а = а, что соответствует закону сохранения токов Кирхгофа П[у] = 0.

5. (отражение от границы) Как только импульс а8Х(^ достигает вершины у е Г, он мгновенно меняет свое направление на противоположное и инвертируется: изменяет амплитуду с а на —а.

Приняв эти правила, можно описать решение и8уЬ следующим образом:

- при 0 ^ I ^ т(у,У) имеем иЬуЬ = 8Х(^), где х(Ъ) точка ребра е инцедент-ного у такая, что т(ж(£),у) = t. Таким образом, при малых временах, и8у8 это уединенный импульс единичной амплитуды, вошедший в граф из вершины у и движущийся по е с единичной скоростью;

— дальнейшая эволюция при временах £ > т(у,У) определяется правилами 1-5.

Нетрудно убедиться, что такое описание является вполне детерминированным. В каждый момент времени Ь ^ 0 решение и8у8 представляет собой набор конечного числа импульсов, движущихся в О. С физической точки зрения эта

картина описывает, например, распространение острых сигналов (скачков напряжения) в электросети - графе, составленном из проводов.

Таким образом, фундаментальное решение есть некоторое пространственно-временное распределение в П х {£ ^ 0}. Структура его такова, что для управлений вида / = 6тф с ф Е Ь2[0,Т] свертка по времени

и1 (х,г) := [и5^(хг) * ф] (¿), х Е П, 0 < г < Т (1.28)

корректно определена. Кроме того, можно показать, что и? Е С([0,Т]; Н) и, если ф является гладким и исчезает около Ь = 0, то и? совпадает с классическим решением задачи (1.8)-(1.11).

С этого момента, функция и?, определяемая соотношением (1.28), рассматривается как (обобщенное) решение для управлений указанного вида. В более общем случае, для / Е Ь2(Г х [0,Т]) вида / = ^ /7 с /7 = буфу полагаем

и (х,г) := (хД х Е П, 0 ^¿^Т. (1.29)

те£

Нетрудно показать, что и для обобщенного решения соотношение (1.13) остается верным. Оно показывает, что метрическая окрестность Пт[2] есть часть графа, захваченная волнами, идущими от к моменту £ = Т.

1.5 Гидра

Определим пространственно-временной граф, который используется для эффективного описания волн. Фиксируем граничную вершину у. Рассматривая фундаментальное решение как пространственно-временное распределение, определим множество

Ну := эирр ибуб С П х !+, (1.30)

которое будем называть гидрой [7]. По существу это пространственно-временной граф, образованный траекториями импульсов в ходе эволюции, описываемой правилами, указанными выше: см. Рис. 1.3. Его ребра суть характеристики волнового уравнения (1.8).

Рисунок 1.3 — Гидра

Определим проекции:

п : Ну Э К = (х$) ^ х е О, п—1(ж) := [К е Ну | п(К) = ж}; (1.31) р : Ну Э К = (ж,£) ^ £ е !+, р—1(£) := [К е Ну | р(К) = ¿}. (1.32)

На гидре зададим функцию (амплитуду) а(-) по следующему правилу:

— для точки К е Лу, такой, что п(К) = х е О \ Г и р(К) = I > 0 имеем ^М(^) = а§х(^) и определяем а(К) := а;

— для К е Ду, такой, что п(К) е Г и р(К) > 0, полагаем а(К) := 0;

— для К е Ну, такой, что п(К) = у и р(К) = 0, полагаем а(К) := 1.

Как видно, амплитуда является кусочно-постоянной функцией, определенной на всей гидре Ну: см. Рис. 1.4. Уточним, что в точках самопересечения р, согласно правилу 3 эволюции импульсов имеем а(р) = — | +1 = — 1. Точки вида р суть вершины Ну, которые проектируются в О \ [V и Г].

Рисунок 1.4 — Амплитуда на гидре

Приведем представление, ради которого введена гидра (см. [8]). Используя запись К = (х,£) Е Ну и а(К) = а(х^), для управления / = 6тф(£) с ф Е Ь2[0,Т] согласно (1.28) получим:

и1 (х,Т)= ^ а(х,г) ф(Т - ¿), х Е П.

¿Ер(л-1(ж))

(1.33)

В общем случае, когда управление / = буфу(£) действует из нескольких

граничных вершин, согласно (1.29) имеем:

и

(х,Т)= ^ ^ ау(х^) фу(Т - ¿), х Е П ,

(1.34)

ТЕ£ ¿Ер(л-1(ж))

где а суть амплитуды на гидрах Н .

Приведенные представления вполне эффективны: по ним можно вычислять значения волн. Однако, для предстоящего анализа алгебры эйконалов потребуется их модификация, к описанию которой мы переходим. Модификация использует разбиение графа П на части (семейства), согласованное со структурой гидр. Во всех подробностях и с графическими иллюстрациями оно описано в [8].

1.6 Разбиение П

В дальнейшем мы имеем дело с усеченными гидрами

Н^ := Ну П{^ х [0,Т]} . (1.35)

1.6.1 Транзитивное замыкание

Введем одно понятие общего характера.

Пусть дано множество X и симметричное рефлексивное отношение —0 на этом множестве. Будем говорить, что точки х и у соседние, если выполнено х —0 у. Рассмотрим отношение —, которое задается следующим условием: точки х и у находятся в отношении —, если в X имеется конечный набор элементов х1,... ,хп такой, что выполнено х —0 х1 —0 • • • —0 хп —0 у. Такое отношение — будем называть транзитивным замыканием отношения —0. При этом, как несложно заметить, оно является отношением эквивалентности.

Класс эквивалентности [х] элемента х £ X по введенному выше отношению — также можно описать конструктивно. Введем операцию ext, расширяющую подмножество В С X по правилу

В ^ ext В := У {х £ X | ж -0 Ь} ; (1.36)

ЪеВ

обозначим ext1^ := extß и ext-7'В := ext ext-7-1В, j > 2. Нетрудно убедиться в справедливости представления

[ж] = У ext-7 {ж} . (1.37)

j >1

Если множество X конечно, то последовательность ext-7 на некотором шаге стабилизируется: ext1{^} С ••• С extw{х} = extw+1{^} = ••• = [х]. Этот случай встретится в работе.

1.6.2 Отношения на гидре и графе

Рассмотрим эквивалентность такого вида на гидре. Скажем, что точки К,К' Е НТ суть соседние (К —0 К'), если выполнено хотя бы одно из условий:

у

п(К) = п(К') или р(К) = р(К'). Через — обозначим отношение эквивалентности, порожденное таким соседством. Класс эквивалентности

% [К] := {К'ЕНТ | К'- К} (1.38)

назовем решеткой. Можно показать, что этот класс состоит из конечного числа точек. Для подмножества В С НТ определим решетку

% [ В] := У % [К] . (1.39)

НеВ

Легко проверить, что операция В ^ % [В] обладает следующими свойствами:

- В С % [В]

- %[ В]] = % [В]

- % [ В! и В2] = % [В1] и % [В2]

- п-1(п(% [В])) = р-1(р(% [В])) = % [В]

Первые три свойства показывают, что она является топологическим замыканием (по Куратовскому).

С каждой точкой х Е Пт [у] свяжем множество

Л[ х] := [п-1(х)]) С , (1.40)

(замыкание в метрике П) которое назовем множеством определенности точки х. Это множество конечно. Как нетрудно проверить, отношение

х - х' ^ Л[х] = Л[х'] (1.41)

есть эквивалентность на П, а операция А ^ Л[А] := У Л[х] = [п-1(А)]) -

ХЕА

топологическое замыкание. Множества А = Л[А] мы называем Л-замкнутыми.

1.6.3 Критические точки

На полной гидре, точку h £ Ну назовем угловой, если n(h) £ V U Г или h является точкой самопересечения (как р на Рис.1.4). Последние суть вершины гидры валентности 4, которые проектируются в Q \ [V U Г].

На усеченной гидре Н^, помимо содержащихся в ней угловых точек полной гидры, отнесем к угловым и точки множества р-1(Т). Через Corn Н^ обозначим множество всех угловых точек усеченной гидры.

Решетка L [ Corn Н^] разделяет гидру на конечное число открытых пространственно-временных интервалов. На каждом интервале амплитуда а принимает постоянное значение.

Точки, составляющие конечное множество

0 := п (L[ Corn Щ]) с QT[у] , (1.42)

называются критическими. Оставшиеся точки х £ [у] \ в назовем регулярными. Критические точки делят [у] на части. Множество регулярных точек

П := ПТ[у] \ в (1.43)

представляет собой совокупность конечного числа открытых интервалов, каждый из которых принадлежит некоторому ребру е. Таким образом, [у] = П и в есть разбиение части графа захваченной волнами, определяемое структурой гидры Н^.

1.6.4 Семейства

Пусть ш = (с,с/) С П есть максимальный интервал, состоящий из регулярных точек. Максимальность означает, что концы интервала с и с' суть критические точки, так что расширение ш сохранением регулярности внутренних точек невозможно. Несложно убедиться, что множество

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Каплун Александр Владимирович, 2022 год

Список литературы

1. Белишев М. И. Граничное управление и томография римановых многообразий (BC-метод) // Усп. Мат. Наук. — 2017. — Т. 72, № 4. — С. 3-66.

2. Belishev M. I. Geometrization of Rings as a Method for Solving Inverse Problems // Sobolev Spaces in Mathematics III: Applications in Mathematical Physics. — Springer-Verlag Inc., 2004. — Pp. 5-24.

3. Belishev M. I., Demchenko M. N. Elements of noncommutative geometry in inverse problems on manifolds // Journal of Geometry and Physics. — 2014. — Vol. 78. — Pp. 29-47.

4. Гельфанд И. М, Райков Д. А., Шилов Г. Е. Коммутативные нормированные кольца // Усп. Мат. Наук. — 1946. — Т. 1, № 2. — С. 48-146.

5. Belishev M. I. Boundary spectral inverse problem on a class of graphs (trees) by the BC-method // Inverse Problems. — 2004. — Vol. 20, no. 3. — Pp. 647-672.

6. Belishev M. I., Vakulenko A. F. Inverse problems on graphs: recovering the tree of strings by the BC-method // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. — 2006. — Vol. 14, no. 1. — Pp. 29-46.

7. Belishev M. I., Wada N. On revealing graph cycles via boundary measurements // Inverse Problems. — 2009. — Vol. 25, no. 10. — Pp. 1-25.

8. Belishev M. I., Wada N. A C*-algebra associated with dynamics on a graph of strings // J. Math. Soc. Japan. — 2015. — Vol. 67, no. 3. — Pp. 1239-1274.

9. Belishev M. I., Kaplun A. V. Eikonal algebra on a graph of simple structure // Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications. — 2018. — Vol. 6, no. 3. — Pp. 4-33.

10. Каплун А. В. Каноническое представление алгебры эйконалов трехлучевого графа // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2021. — Т. 506. — С. 57-78.

11. Белишев М. И., Каплун А. В. Каноническое представление С*-алгебры эйконалов метрического графа // Известия Российской академии наук. Серия математическая. — 2022. — Т. 86, № 4. — С. 3-50.

12. Avdonin S., Kurasov P. Inverse problems for quantum trees // Inverse Problems and Imaging. — 2008. — Vol. 2, no. 1. — Pp. 1-21.

13. Avdonin S., Kurasov P., Nowaczyk M. Inverse problems for quantum trees II: recovering matching conditions for star graphs // Inverse Problems and Imaging.

— 2010. — Vol. 4, no. 4. — Pp. 579-598.

14. Avdonin S., Leugering G., Mikhaylov V. On an inverse problem for tree-like networks of elastic strings // ZAMM Z. Angew. Math. Mech. — 2010. — Vol. 90, no. 2. — Pp. 136-150.

15. Kurasov P., Nowaczyk M. Inverse spectral problem for quantum graphs // J. Phys. A. — 2005. — Vol. 38, no. 22. — Pp. 4901-4915.

16. Kurasov P., Nowaczyk M. Geometric properties of quantum graphs and vertex scattering matrices // Opuscula Math. — 2010. — Vol. 30, no. 3. — Pp. 295-309.

17. Yurko V. A. On recovering Sturm-Liouville operators on graphs. // Math Notes.

— 2006. — Vol. 79. — Pp. 572-582.

18. Yurko V. A. An inverse problem for higher order differential operators on startype graphs // Inverse problems. — 2007. — Vol. 23, no. 3.

19. Yurko V. A. Inverse spectral problems for differential operators on arbitrary compact graphs // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. — 2010. — Vol. 18, no. 3.

20. Berkolaiko G., Kuchment P. Introduction to quantum graphs. — American Mathematical Soc., 2013.

21. Fell J. M. G. The structure of algebras of operator fields // Acta Math. — 1961.

— Vol. 106. — Pp. 233-280.

22. Tomiyama J., Takesaki M. Applications of fibre bundles to the certain class of C*-algebras // Tohoku Mathematical Journal, Second Series. — 1961. — Vol. 13, no. 3. — Pp. 498-522.

23. Kaplansky I. The structure of certain operator algebras // Transactions of the American Mathematical Society. — 1951. — Vol. 70, no. 2. — Pp. 219-255.

24. Fell J. M. G. The dual spaces of C*-algebras // Transactions of the American Mathematical Society. — 1960. — Vol. 94, no. 3. — Pp. 365-403.

25. Fell J. M. G. С*-algebras with smooth dual // Illinois Journal of Mathematics. — 1960. — Vol. 4, no. 2. — Pp. 221-230.

26. Effros E. G. A decomposition theory for representations of C*-algebras // Transactions of the American Mathematical Society. — 1963. — Vol. 107, no. 1. — Pp. 83-106.

27. Bunce J. W, Deddens J. A. C*-algebras with Hausdorff spectrum // Transactions of the American Mathematical Society. — 1975. — Vol. 212. — Pp. 199-217.

28. Васильев Н. Б. С*-алгебры с конечномерными представлениями // Усп. Мат. Наук. — 1966. — Т. 21, № 1. — С. 135-154.

29. Niemiec P. Models for subhomogeneous C*-algebras // Colloquium Mathe-maticum. — 2021. — Vol. 166. — Pp. 75-106.

30. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — Санкт-Петербург, Москва, Краснодар: Лань, 2010. — 218 с.

31. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. — М.: Наука, 1974. — 400 с.

32. Мерфи Дж. С*-алгебры и теория операторов. — М.: Факториал, 1997. — 336 с.

33. Кориков Д. В. Об унитарных инвариантах семейства одномерных подпространств // ПРЕПРИНТ ПОМИ. — 2022. — № 02.

34. Arveson W. An Invitation to С*-Algebras. — New York, Berlin: Springer-Verlag Inc., 1976. — 106 pp.

35. Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968. — 664 с.