AJW-алгебры и приложения к теории измеримых операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Арзикулов, Фарходжон Нематжонович

• Арзикулов, Фарходжон Нематжонович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Арзикулов, Фарходжон Нематжонович

1.7. Бесконечные суммы

1.8. Симметризованные матричные единицы

1.9. АЛ^-алгебры типа 1п,

где п — бесконечный кардинал

1.10. п-однородные АЛУ-алгебры

1.11. Классификация АЛ¥-алгебр

1.12. Вероятностные меры и состояния на АЛ'К-алгебре типа I

Глава 2. Иордановы алгебры абстрактных измеримых

операторов для обратимых ЛУ-алгебр

2.1. Измеримые операторы для обратимой ЛУ-алгебры

2.2. Локально измеримые операторы для обратимой Л^-алгебры

2.3. Измеримые относительно центразначного и числового

следов операторы

2.4. ¿^-измеримые операторы для обратимой Л^-алгебры

2.5. Измеримые операторы для обратимой ЛУ-алгебры

в булевозначной модели теории множеств

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «AJW-алгебры и приложения к теории измеримых операторов»

ВВЕДЕНИЕ

Данная диссертационная работа посвящена теории йордановых алгебр. Эти алгебры впервые введены в работах немецкого физика П. Иордана, посвященных аксиоматизации основ квантовой механики. В дальнейшем их также исследовали Дж. фон Нейман и Е. Вигнер, которыми совместно с П. Йорданом в середине 1930-х гг. была разработана аксиоматическая теория квантовой механики.

До середины 1960-х гг. йордановы алгебры рассматривались как чисто алгебраический объект. Позже они стали также изучаться с точки зрения функционального анализа.

Йордановы алгебры имеют тесную связь с ассоциативными алгебрами. Пусть А — ассоциативная алгебра над полем характеристики ф-2. Определим на векторном пространстве алгебры А новую операцию умножения а о Ь — 1/2(аЬ + Ьа). Полученную алгебру обозначим через А5. Эта алгебра является йордановой. Если подпространство В алгебры А замкнуто относительно операции о, то оно вместе с этой операцией образует подалгебру алгебры А1 и, следовательно, является йордановой алгеброй.

Над любым полем существует йордановы алгебры, не являющиеся подалгебрами алгебр А] ни для какой ассоциативной алгебры А. Если йорданова алгебра В является подалгеброй алгебры А1, где А — ассоциативная алгебра, то В называется специальной йордановой алгеброй.

А.И.Ширшов доказал, что любая йорданова алгебра с двумя порождающими специальна.

С началом систематического изучения йордановых алгебр с точки зрения функционального анализа была развита теория, которая тесно связана с теорией С*-алгебр и алгебр фон Неймана (см. 0.3.6). Основным объектом этой теории являются ЗВ- и ЗВ\¥-&лгебры (см. 0.2.6 и 0.2.2). В частности, ЗВИ^-алгебры являются йордановыми аналогами алгебр фон Неймана.

Одним из важных вкладов в теорию йордановых алгебр является работа П.Йордана, Дж.фон Неймана и Е. Вигнера [43]. В этой работе

построена классификация всех простых конечномерных формально вещественных йордановых алгебр. Конечномерные ^/ВТУ-факторы типа I являются конечномерными формально вещественными йордановыми алгебрами (изученными П. Иорданом, Дж. фон Нейманом и Е. Вигнером). С другой стороны, каждая простая конечномерная формально вещественная йорданова алгебра является /ВИ^-фактором типа I.

ЗВ-алгебры играют существенную роль применительно к теории С*-алгебр, математическим основам квантовой физики и теории комплексных функций нескольких и бесконечного числа переменных. Рассмотрим некоторые аспекты этого применения более подробно.

В теории С*-алгебр теоретические вопросы, связанные с порядком, имеют прямое отношение к йордановым алгебрам. В частности, классический результат, полученный Р. В. Кадисоном [44] утверждает, что порядковый автоморфизм С*-алгебры есть Йорданов автоморфизм. Теория, развитая в монографии [44], до сих пор применяется в современных исследованиях пространств состояний, антигомоморфизмов и положительных идемпотентных отображений С*-алгебр.

Одна из аксиом математической теории квантовой физики заключается в том, что случайные величины (так называемые наблюдаемые величины) образуют йорданову алгебру.

Более того, если мы хотим чтобы к этим наблюдаемым величинам можно было применить спектральную теорию мы должны потребовать, чтобы они образовывали /Б-алгебру. Эта взаимосвязь подробно рассмотрена в книге [35].

Обоснование того, что йордановы алгебры имеют прямое отношение к теории голоморфных функций нескольких переменных, впервые было дано в работе [50]. Позже аналоги результатов, полученных в этой работе, были установлены для случая комплексных функций бесконечного числа переменных (см. [49]). Ключевой результат, выявляющий эту связь, выглядит следующим образом: некоторые симметрические области (в С" или в комплексном банаховом пространстве) могут быть полностью охарактеризованы в терминах ЗВ-алгебр.

Основная часть диссертационной работы посвяшена теории йордановых алгебр самосопряженных операторов (ЗС- и «/РГ-алгебр, см. 0.2.1) и их абстрактных обобщений — ЗВ- и ЗВ\¥-алгебр. Предполагается, что все алгебры, рассматриваемые в диссертационной работе, являются алгебрами с единицей. Они являются вещественными неассоциативными аналогами С*-алгебр и алгебр фон Неймана. Впервые систематическое изложение теории ЗУУ-алгебр было дано в 1965 г. в работе

Д. М. Топпинга [72]. Исследование ЗС- и Л^-алгебр было продолжено в работах Е. А. Штермера и др. (см. [36], [37], [65], [66], [67], [68]).

Наиболее бурное развитие этого направления началось в конце 1970-х гг. после появления работ Е. М. Альфсена — Ф. В. Шульца — Е. А. Штермера [23] и Ф. В. Шульца [61], где были введены и изучены йордановы банаховы алгебры (Л?-алгебры и ЗВТУ-алгебры) и, в частности, для них доказан аналог теоремы Гельфанда-Наймарка. Как известно, всякую С*-алгебру можно вложить в некоторую алгебру В{Н) ограниченных операторов в комплексном гильбертовом пространстве Н. Йорданов аналог теоремы Гельфанда-Наймарка показывает, что класс <71?-алгебр, в отличие от класса С*-алгебр, обладает выражающим его сущность отличительным свойством — а именно, не всякая /Б-алгебра вложима в какую-нибудь алгебру В(Н). Конкретным примером является алгебра эрмитовых 3x3 матриц над числами Кэли М38, т.е. эту алгебру нельзя вложить ни в какую С*-алгебру. Благодаря теореме Шульца [61, теорема 3.9] в случае ЗВ]¥-алгебр это свойство выражается более четко. А именно, произвольная ЗВИ^-алгебра А разлагается в прямую сумму А — Авр (В Аех, где Азр — /РК-алгебра, а ЗВ№-алгебра Аех изоморфна алгебре С(Х, М|) всех непрерывных отображений гиперстоуновского компакта X в ЗВИ^-алгебру М|.

Теория ЗВ- и ЗВШ-алгебр интенсивно разрабатывается, круг приложений расширяется. Этапы развития теории ЗВ-алгебр отражены в [42]. Основные направления исследований включают изучение структуры и классификацию <7Б-алгебр, неассоциативное интегрирование и квантовую теорию вероятностей, геометрию состояний </Б-алгебр и др. ([5], [6], [42]). В том'числе, в статье [12] А. Г. Кусраевым развита техника булевозначной реализации ЗВ-алгебр и даны ее приложения к некоторым аспектам теории 3В-алгебр.

Диссертационная работа состоит из материалов исследований, проведенных в четырех направлениях, которые можно озаглавить следующим образом: "классификация и структура ЗВ-алгебр", "меры и состояния на ЗВ-алгебрах", "приложения к теории измеримых операторов" и "</Б-алгебры и булевозначный анализ".

Структура и классификация /Б-алгебр — один из основных разделов теории 7Б-алгебр. В рамках этой теории уже достаточно хорошо изучена структура /БЖ-алгебр и построена их классификация, а также введены и исследованы /БЖ-алгебры типа I, II и III. В частности, доказано, что всякая <7БТУ-алгебра представляется в виде прямой суммы трех подалгебр типа I, II и III, и что всякая ЗВЦ*"-алгебра типа

I представляется единственным образом в виде прямой суммы алгебр типа 1П, 1 < п < оо, и Кроме того, установлено, что любая ЗВТУ-алгебра типа 1„, где 3 < п < оо, представляется как прямая сумма подалгебр, каждая из которых, в свою очередь, или равняется нулю, или имеет точное представление в виде алгебры функций из некоторого гиперстоуновкого компакта в йорданову алгебру эрмитовых п х п матриц над Т*1, где Р может равняться II, С, Н или О (в случае п = 3), где О — алгебра чисел Кэли. В частности, всякий /БИ^-фактор типа \п изоморфен одному и только одному из факторов Нп(Я), #П(С), Нп(Н) или М|. В случае п = 2 7БТУ-алгебра типа 1п представляется в виде прямой суммы подалгебр, каждая из которых имеет точное представление как йорданова алгебра функций из гиперстоуновского компакта в спин-фактор. В частности, ./БИ'-алгебра есть 7ВИ/-фактор типа ¡2 тогда и только тогда, когда она является спин-фактором (см. [72], [65], [23], [66], [73], [41], [55], [62], [63]).

Надо отметить, что аналогичная приведенным выше теорема в случае бесконечного кардинального числа п до сих пор не была доказана. В диссертационной работе установлен следующий факт: всякая алгебра типа 1п, где п — бесконечное кардинальное число, изоморфна алгебре ©¿=1,2,3 С(Х{, где Х{ — некоторый гиперстоуновский

компакт, — некоторое гильбертово пространство над ^ для каждого г, причем ^ = И, 7*2 = С и ^з = Н, и допускается случай Н^ = 0. Таким образом, в данной работе удалось завершить цикл функциональных представлений для <7.Е^-алгебр типа I (см. 1.9.6).

В работе [51] впервые поднят вопрос об однозначном продолжении счетно аддитивной меры до положительного линейного функционала на алгебре. Вскоре А. М. Глисон нашел положительное решение этой проблемы (теперь иногда называемой проблемой Глисона) в случае алгебры ограниченных операторов в гильбертовом пространстве размерности > 3 (см. [38]). С тех пор появилось много работ, посвященных этой проблеме.

В случае ЗВ]¥-алгебр и алгебр фон Неймана проблема Глисона полностью исследована в работах [5], [16], [17], [31], [30], [74], [32], [75], [33], [71]. В частности, показано, что всякая вероятностная мера на проекторах /БТУ-алгебры без прямых слагаемых типа ¡2 единственным образом продолжается до состояния (см. [31], [30]). Отметим, что незадолго до этого такая же теорема была доказана для алгебр фон Неймана (см. [33], [74], [75], [52]).

В общем виде рассматриваемая проблема имеет отрицательное реше-

ние. Можно привести множество примеров для случая ЛЗШ-алгебры типа ¡2 (см. 1.11.2). Однако всякую субаддитивную меру на проекторах /БИ^-алгебры (соответственно, алгебры фон Неймана) можно единственным образом продолжить до состояния, которое одновременно является следом ([32]).

Как было сказано выше, в работе А. Г. Кусраева [12] заложены основы развития направления "булевозначный анализ и <7Б-алгебры". Ключевым результатом является теорема о представлении /Л-алгебры с выделенной полной булевой алгеброй центральных проекторов в булевознач-ной модели ([12, § 3]). Кроме того, даны некоторые приложения, представляющие собой булевозначную интерпретацию известных результатов Шульца [61]. Оказалось, что в этом направлении можно продвинуться существенно дальше и получить много других результатов. Подтверждением последнего является §2.5 главы 2 данной диссертации, посвященный йордановым аналогам абстрактных измеримых операторов для АИ^-алгебр.

Теперь приведем некоторые основные положения, которые являются непосредственными обусловливающими факторами появления этой работы. Основная часть настоящей диссертации посвящена абстракным <7И^-алгебрам, называемым А/И^-алгебрами. Эти алгебры впервые были упомянуты в 1965 г. в работе Д. М. Топпинга [72]. Д. М. Топпинг ввел и изучил понятие А7И^-алгебры в рамках класса йордановых алгебр самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. В данной же диссертационной работе понятие АЛ^-алгебры вводится и исследуется в рамках класса Л?-алгебр. Эти алгебры являются вещественными неассоциативными аналогами АИ^*-алгебр (абстрактных алгебр фон Неймана), введенных И.Капланским в работе [46]. Новый класс А/ТУ-алгебр является промежуточным между двумя известными классами алгебр:

ЗВ\¥ С АШ С ЗВ. Отметим, что класс А/И^-алгебр раньше не рассматривался как подкласс ЗВ-алгебр и, тем самым, понятие А/И^-алгебры, данное в настоящей диссертации, является новым. В то же время такой классический объект как С(<3), где ф — экстремальный компакт, являясь </.В-алгеброй (и даже ассоциативной А/Ж-алгеброй), тем не менее, не всегда является /БЖ-алгеброй. (Алгебра С(ф) будет /ВИ^-алгеброй тогда и только тогда, когда С} является гиперстоуновским компактом, т.е. когда С{££) имеет предсопряженное пространство.) Таким образом, между хорошо изученными классами 1В- и алгебр имеется ин-

тересный и в значительной степени не исследованный класс — класс А3\¥-алгебр.

Автор считает своим приятным долгом выразить искренюю признательность своим научным руководителям А.Г. Кусраеву и А.Е. Гутману за внимание к работе.

Перечислим коротко основные результаты диссертации.

Глава 0 содержит предварительные сведения, обозначения и терминологию из теории йордановых алгебр и Л?-алгебр, из теории АИ^-алгебр и алгебр фон Неймана, а также из теории булевозначных реализаций ЗВ-алгебр.

В главе 1 введен и исследован новый класс — класс А/Т^-алгебр — в рамках ЗВ-алгебр. В частности, построена классификация А Л^-алгебр и доказана теорема о функциональном представлении однородных А3\¥-алгебр. Здесь после обсуждения основных свойств изучаемых объектов приводится приложение, связанное с проблемой о продолжении меры на проекторах йордановой алгебры.

Опишем содержание главы 1 более подробно.

В параграфе 1.1 введено понятие АЛУ-алгебры. В центральной в данном параграфе теореме 1.1.1 утверждается, что следующие условия эквивалентны:

(A) для всякого подмножества 5 С А+ (см. 1.2.3) существует проектор е е А такой, что 5х = ие(А), где (Vа, 6 6 А) 11аЬ = 2а о (а о Ь) — а2о 6, 51 (V* е 5) иаэ = 0} и ие(А) := {иеа : а е А};

(Б) для любого подмножества 5 С А существует такой проектор е £ А, что = ие(А+), где := {х £ А+: иах = 0, а Е 5};

(B) выполнены следующие два условия:

(1) в частично упорядоченном множестве проекторов любое подмножество попарно ортогональных элементов имеет точную верхнюю грань в этом множестве;

(2) любая максимальная сильно ассоциативная подалгебра порождается своими проекторами (т.е. совпадает с наименьшей замкнутой подалгеброй, содержащей ее проекторы).

Понятие А/И^-алгебры можно ввести, например, так: /Б-алгебра называется АЗЦ?-алгеброй, если она удовлетворяет приведенному выше условию (А) (см. 1.1.9).

В качестве следствия теоремы 1.1.1 установлено, что все проекторы А/И^-алгебры образуют полную решетку. Отметим, что множества 51

и ±5, фигурирующие в формулировке теоремы, являются йордановы-ми аналогами правых и левых аннуляторов множеств из теории АУ/*-алгебр.

Теорема 1.1.1 позволяет в почти не изменном виде перенести на случай А Л^-алгебр многие факты из теории ЗВУ/-алгебр вместе с доказательствами. Это касается и теоремы Шульда (см. [61]). В пункте 1.1.12 приведена теорема Шульца для А/И^-алгебр, в которой утверждается, что произвольную А/Ж-алгебру можно представить в виде прямой суммы /С-алгебры и исключительной /Б-алгебры.

Подтверждением сказанного выше является и заключительный пункт 1.1.13 параграфа 1.1, в котором утверждается, что элемент 2 лежит в центре АЛУ-алгебры А тогда и только тогда, когда 118г = г для любой симметрии 5 Е А (т.е. такого элемента з, что з2 = 1).

В параграфе 1.2 главы 1 приводятся эквивалентные определению АЗШ-алгебры условия, в которых участвуют другие йордановы аналоги аннуляторов подмножеств 7Б-алгебры (теоремы 1.2.3 и 1.2.9). Формулировка более короткого из этих условий выглядит следующим образом:

(Г) для всякого подмножества 5 С А+ (см. 1.2.3) существует проектор е е А такой, что Апп(З) = ие(А), где Лпп(5) = {а е А : (У я Е 5) а о в = 0}.

Эквивалентность этих условий позволяет обобщить понятие пирсов-ского разложения на случай общих 3В-алгебр, что и сделано в параграфе 1.3. Другими словами, в параграфе 1.3 доказана теорема (см. 1.3.2), заменяющая для общих ЗВ-алгебр теорему 1.1.7 (теорему Алберта) и в определенной степени являющаяся ее обобщением. В этой теореме, в частности, утверждается, что каждому множеству 5 положительных элементов Л?-алгебры А соответствуют множества А^А^Ао из А, удовлетворяющие следующим условиям:

1) А\,Ао являются 7Б-подалгебрами А, Ах/2 — банахово пространство;

2) существуют проекторы е, / в А** такие, что е + / < 1 и А\* = ие{А**), А\*/2 = {еА**/}, А1* = £//(А**),

при этом множества Ах, А1/2, Ао явно строятся с помощью 5; например, А0 = Апп(5).

В случае алгебры С((5), где ф — компакт, упомянутую теорему можно проиллюстрировать следующим образом. Пусть У — гиперстоунов-ский компакт такой, что С (С})** = С (У). Для всякого подмножества £

алгебры С(О) множества Апп(Апп(3)) и Апп(Б) являются замкнутыми подалгебрами алгебры С((д) и при этом Апп(Апп(3)) содержит 3. Кроме того, произведение каждой функции из 5 с каждой функцией из Апп(Апп(3)) отлично от нуля, а носители функций из Апп(5) и из 5 попарно не пересекаются. При этом существуют открыто-замкнутые множества <5ъ (¿о в У такие, что (^Пфо = {0} и = [Апп(Апп(3))]**, С(Я о) = [Апп(5)]**. Из теоремы 1.3.3 следует, что С {О) = Апп(Апп(3))ф Апп(З) тогда и только тогда, когда существует открыто-замкнутое множество 0, ъ С} такое, что ХдБ = 5 и £ Апп(Апп(3)) = 0, где Хд — характеристическая функция множества О,.

Далее, доказана теорема 1.3.4, которая представляет собой еще один критерий того, что /Л-алгебра является АЛУ-алгеброй. В случае алгебры в теореме 1.3.4 утверждается, что ф является экстремальным компактом тогда и только тогда, когда для каждого подмножества 5 С имеет место соответствующее разложение С (О) — Апп(Апп(3))© Апп(5).

Параграф 1.4 посвящен изучению АЛ^-факторов типа I. В начале параграфа введены понятия АЛУ-фактора типа I и АЛ^-фактора типа 1„, где п — кардинал. Примером АЛУ-фактора типа I является, например, йорданова алгебра ^(Н)- Центральная теорема 1.4.10 параграфа 1.4 утверждает: Если В — ЗВ-фактор, {дг} — бесконечное ортогональное семейство попарно эквивалентных минимальных проекторов из В такое, что вирд; = 1 и = Б,^-, то в предположении замкну-

тости В относительно точных верхных граней ортогональных семейств проекторов 3В-фактор В является «/БИ^-фактором типа I.

Установлено, что всякий АЛУ-фактор типа I является ЗВУ/-фактором типа I (теорема 1.4.6 и следствие 1.4.11).

В пунктах 1.4.7 и 1.4.12 параграфа 1.4 показана тесная связь между минимальными проекторами и нормальными функционалами. А именно, в 1.4.7 и 1.4.12 утверждается, что пространство всех нормальных функционалов А/И^-фактора типа I совпадает с замыканием линейной оболочки всех нормальных состояний, порожденных минимальными проекторами. Обобщая сказанное, можно говорить об аналогичной связи, например, между минимальными проекторами йордановой алгебры В(Н)ва всех ограниченных самосопряженных линейных операторов в комплексном гильбертовом пространстве Н и нормальными функционалами, определенными на /^-подалгебре алгебры В(Н)8а.

Структура и классификация АЛ^-алгебр.

По аналогии с факторами, изучаемыми в §1.4, в параграфе 1.5 вве-

дены понятия AJW-алгебр типа I, II, III и модулярной А/Ж-алгебры. Установлено, что всякая AJW-алгебра представляется в виде прямой суммы трех подалгебр типа I, II и III соответственно (теорема 1.5.4). А также введено понятие JB-суммы AJW-алгебр, на которое опираются представления AJW-алгебр и их элементов в виде бесконечных сумм. Понятие JБ-суммы оказывается полезным при доказательстве многих теорем данной диссертационной работы. В частности, теорема 1.5.4 тоже доказана с применением понятия J5-суммы. Ценность понятия JB-суммы обусловлена тем фактом, что для AJW-алгебры Л и ее ортогонального семейства {z{} центральных проекторов с точной верхней гранью, равной 1, JB-сумма подалгебр Z{A изометрически изоморфна алгебре А (см. 1.5.1).

В параграфе 1.6 введен и изучен класс AJW-алгебр типа 1п, где п — кардинал, а также, типа 1^. Построена классификация AJW-алгебр типа I, т.е. установлено, что всякая AJW-алгебра типа I раскладывается в прямую сумму вида Дх, © А\ © ... © Ап © ..., где А00 — AJW-алгебра типа Iqo или 0, а Ап — А/ТУ-алгебра типа 1п или 0 (теорема 1.6.6).

Как и в случае JBW-алгебр, имеет место теорема о том, что любая АJW-алгебра типа где п > 2 — конечное число, раскладывается единственным образом в прямую сумму подалгебр, каждая из которых имеет точное представление вида C(Q, Hn(F)), где Q — экстремальный компакт и F = R, С, Н или О (в случае п = 3) соответственно (теорема 1.6.11). Из теории J BW-алгебр также взята теорема о функциональном представлении для случая п = 2, т.е. всякая AJW-алгебра типа I2 представляется единственным образом как прямая сумма подалгебр, каждая из которых имеет точное представление в виде алгебры функций из экстремального компакта в спин-фактор (теорема 1.6.11).

Благодаря тому, что класс всех AJW-факторов типа I совпадает с классом всех /БИ^-факторов типа I, вопросы, касающие структуры и классификации, сводятся к таким же вопросам в случае J BW-факторов типа I. Отсюда, в частности, следует, что всякий AJW-фактор типа I имеет точное представление в виде йордановой алгебры всех ограниченных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, в виде йордановой алгебры М| эрмитовых 3x3 матриц над алгеброй чисел Кэли или же в виде спин-фактора (теоремы 1.6.8 и 1.6.9).

В параграфе 1.7 введено понятие бесконечной суммы для положительных элементов алгебр, изоморфных алгебре C(Q) или алгебре C(Q,#2(R)), гДе Q — экстремальный компакт. Кроме того, доказаны полезные технические леммы 1.7.3 и 1.7.4, касающиеся этих бесконеч-

ных сумм и используемые в доказательстве теоремы 1.10.3.

В параграфе 1.8 с помощью семейства симметризованных матричных единиц А/РК-алгебры А построен АЗРГ-фактор С типа I. Фактор С является А/РР'-подалгеброй в А, определенной так же, как и в пункте 1.1.9 (лемма 1.8.3). Конструкция фактора С в последствии использована при доказательстве теоремы 1.9.1.

В параграфе 1.9 доказана теорема 1.9.1 о функциональном представлении для А3\¥-алгебры типа 1п, где п — бесконечный кардинал. В теореме утверждается, что всякая А<7РГ-алгебра типа 1п, где п — бесконечный кардинал, раскладывается в прямую сумму трех подалгебр, изоморфных алгебрам С(фг-, В(Нр{)8а), г = 1,2,3, соответственно, где — экстремальные компакты, В(Нр{)ва — йорданова алгебра всех ограниченных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве над Fi (допускается случай = 0), причем ^ = Г1, ^ = С и ^з = Н. В случае, когда А — ЗВ№-алгебра, компакты являются гиперстоуновскими (следствие 1.9.6).

Отметим, что упомянутые факты можно получить с помощью методов булевозначного анализа [13], однако в целях общности изложения мы предпочли предъявить прямые доказательства.

В параграфе 1.10 изучен следующий вопрос: может ли АЛР^-алгебра иметь тип 1п и 1т для различных п и т? Для случая <7РГ-алгебр на этот вопрос имеется положительный ответ, т.е. для всякой /РГ-алгебры типа 1П кардинальное число п определено единственным образом [72, теорема 1.5.]. Из теории АРР^-алгебр известно, что, вообще говоря, существует п-однородная АРГ*-алгебра А, являющая т-однородной АИ^-алгеброй для некоторого кардинала ш такого, что тфп (см. [54]). Аналогичное утверждение имеет место и для АЛ^-алгебр (см. 1.10.4), т.е. существует АЛУ-алгебра А типа 1п, являющаяся одновременно А/РР"-алгеброй типа 1т для некоторого кардинала га, отличного от п. Кроме того, имеет место теорема о достаточном условии единственности кардинального числа п для АЛР'-алгебры типа 1п. А именно, установлено, что для всякой А3}¥-алгебры типа 1п, центр которой имеет локально счетный тип, кардинал п определяется единственным образом: если эта алгебра также имеет тип 1т, то п = т (теорема 1.10.3).

В параграфе 1.11 введены понятия чисто бесконечной А<7РГ-алгебры и А/РРг-алгебры типа Построена классификация А7РК-алгебр. А именно, установлено, что всякая АЛУ-алгебра раскладывается в пря-

мую сумму следующего вида:

А = А1/{п 0 А^ ф Ащ 8 Ац» © Ат.

Здесь часть А^^ © Ацг является модулярной АЛУ-алгеброй, а часть А\ж © Ацто © Ащ — чисто бесконечной АЛ^-алгеброй.

Меры и состояния на АЛ^-алгебрах.

В параграфе 1.12 главы 1 изучены связи между мерами и состояниями, заданными на /Б-алгебре. А именно, исследована проблема о продолжении меры в случае А Л¥-алгебр типа I. Имеют место следующие теоремы:

Теорема 1. Всякая вероятностная мера на проекторах АЛ^-алгебры типа 1п для произвольного кардинала п > 3, а также на проекторах АЛ^-алгебры ограниченного типа 1/гп без прямых слагаемых типа ¡2 единственным образом продолжается до состояния.

Определение АЛ^-алгебры ограниченного типа дано в п. 2.12.7.

Теорема 2. Всякая вполне аддитивная вероятностная мера на проекторах А/И^-алгебры типа I без прямых слагаемых типа 12 единственным образом продолжается до состояния.

Приложения к теории измеримых операторов.

В неассоциативной теории интегрирования интересной является проблема построения "измеримого оператора" без использования неограниченных линейных операторов. Основным объектом исследования в главе 2 являются измеримые и локально измеримые операторы, присоединенные к /БРГ-алгебре, имеющей точное представление в виде обратимой ЛУ-алгебры в комплексном гильбертовом пространстве Н (такую /ЛЖ-алгебру также называют ЛУ-алгеброй, [42]). Эти понятия введены абстрактным образом, т.е. в их определении не участвует понятие неограниченного оператора. Такой подход, в частности, удобен в изучении интересующих нас вопросов, касающихся измеримых и локально измеримых операторов. Правильно будет их называть абстрактными измеримыми и локально измеримыми операторами. Конкретные же измеримые и локально измеримые операторы введены и изучены Ш. А. Актовым в [7]. Измеримые и локально измеримые операторы, присоединенные к обратимой Л^Г-алгебре, введенные в данной диссертационной работе, являются йордановыми аналогами измеримых и локально измеримых операторов, присоединенных к АИ^-алгебре (абстрактной алгебре фон Неймана), изученных, в частности, в работах [26], [27], [28], [56], [57].

В параграфе 2.1 главы 2 построены и исследованы измеримые опера-

торы для обратимых JW-алгебр. Доказано, что они образуют йордано-ву алгебру. Если обратимая ЛУ-алгебра А является самосопряженной частью некоторой алгебры фон Неймана А, то йорданова алгебра измеримых операторов, присоединенных к А, совпадает с самосопряженной частью бэровской *-алгебры измеримых операторов, присоединенных к А (см. 2.1.19). Йорданова алгебра измеримых операторов, которая вкладывается в *-алгебру измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана, не всегда является ее самосопряженной частью. Поэтому изучение класса йордановых алгебр абстрактных измеримых операторов представляет интерес. Исследованию этого класса алгебр и посвящен параграф 2.1. Здесь нас прежде всего интересует вопрос о том, существует ли йорданова алгебра измеримых операторов, удовлетворяющая хотя бы одному из приведенных выше условий (А), (Б) или (Г), т.е. являющаяся йордановым аналогом бэровской *-алгебры, которая содержит неограниченные элементы и не является самосопряженной частью бэровской *-алгебры. На этот вопрос дан ответ в теореме 2.1.8, где утверждается, что всякая йорданова алгебра измеримых операторов, присоединенных к обратимой модулярной ЛУ-алгебре, удовлетворяет приведенному выше условию (А), т.е. является йордановым аналогом бэровской *-алгебры.

В начале параграфа (см. 2.1.1-2.1.6) введено понятие измеримого оператора, присоединенного к обратимой ЛУ-алгебре. Установлено, что множество таких операторов образует йорданову алгебру (теорема 2.1.7) Отметим, что для введения понятия измеримого оператора используется лемма 2.1.17, в которой утверждается, что для всякого элемента х вещественной ^-алгебры R*(A) (см. 0.4.5) обратимой Л^-алгебры А, его левый и правый проекторы /(ar), г(х), определенные в алгебре W*{A) (см. 0.4.4, 0.4.5), лежат в Р(А).

В теореме 2.1.10 утверждается, что йорданова алгебра всех измеримых операторов, присоединенных к JW-фактору А типа 1п, где п > 3 — конечный кардинал, совпадает с самой алгеброй А.

Один из важных результатов, использованных при исследовании йордановых алгебр измеримых операторов, утверждает, что йорданова алгебра всех измеримых операторов, присоединенных к обратимой JW-алгебре А, вкладывается в бэровскую *-алгебру всех измеримых операторов, присоединенных к универсальной обертывающей алгебре фон Неймана W*(A) алгебры А (предложение 2.1.12).

Так же, как в теории *-алгебр абстрактных измеримых операторов, для йордановых алгебр измеримых операторов представляет интерес

следующая проблема (см. 2.1.19). Пусть А^ и Аг- — обратимые 1]У-алгебры. Предположим, что Аоо является ЗВ-суммой алгебр Аг-, и рассмотрим йорданову алгебру С(А00) (соответственно, С(Д)) измеримых операторов, присоединенных к Аоо (соответственно, Аг-). Верно ли, что С(Асо) является прямым произведением Пг'С(А') алгебр С(Д-), т.е. алгеброй всех семейств (хг), хг- Е С(Аг-), с покоординатными операциями? В пункте 2.1.19 показано, что ответ на поставленный вопрос является отрицательным, т.е., вообще говоря, равенство С(А00) = ПгС(Л) может не выполняться.

В параграфе 2.2 определен локально измеримый оператор, присоединенный к обратимой «/И^-алгебре А. Этот оператор является йордано-вым аналогом локально измеримого оператора, присоединенного к А\¥*~ алгебре (см. [57]). Множество локально измеримых операторов, присоединенных к обратимой Л^-алгебре А, образует йорданову алгебру (см. 2.2.2). Аналогично случаю измеримых операторов йорданова алгебра всех локально измеримых операторов, присоединенных к обратимой /И^-алгебре А, вкладывается в бэровскую *-алгебру всех локально измеримых операторов, присоединенных к универсальной обертывающей алгебре фон Неймана И^*(А) алгебры А (см. 2.2.6).

В случае обратимой модулярной 3И^-алгебры множество локально измеримых операторов тоже является йордановым аналогом бэровской *-алгебры относительно естественным образом введенной операции йорданова умножения (теорема 2.2.8).

В параграфах 2.3, 2.4 введены и рассмотрены понятия ^-измеримого оператора, присоединенного к обратимой ЛУ-алгебре, относительно точного нормального полуконечного центрозначного и числового следа. Установлено, что ¿^-измеримые операторы относительно точного нормального полуконечного центрозначного (соответственно числового) следа образуют йорданову алгебру относительно естественным образом введенных операций умножения на скаляр, сложения и йорданова умножения (теорема 2.4.2). •

ЗВ-алгебры и булевозначный анализ.

Материалы статьи [12] способствуют установлению связи между измеримыми операторами, присоединенными к обратимой /Ж-алгебре и измеримыми операторами в булевозначной модели теории множеств. Параграф 2.5 главы 2 посвящен установлению этой связи.

В параграфе 2.5 рассмотрены произвольная обратимая /И^-алгебра А, в то же время являющаяся В — /ВИ^-алгеброй, и ее булевозначная реализация, которую можно получить благодаря теореме 0.5.3, и дока-

заны теоремы о связи между йордановой алгеброй Z-измеримых операторов, присоединенных к алгебре А, и йордановой алгеброй измеримых операторов, присоединенных к булевозначной реализации алгебры А в булевозначной модели теории множеств (теоремы 1 и 2). Там же доказана теорема о связи между йордановой алгеброй Z-измеримых операторов относительно точного нормального полуконечного Z-значного следа и йордановой алгеброй измеримых операторов, присоединенных в булевозначной модели теории множеств к соотвествующей реализации алгебры А, относительно точного нормального полуконечного числового следа (теорема 3).

По сути дела, можно сказать, что в параграфе 2.5 главы 2 установлены аналоги результата A.M.Короля и В.И.Чилина (см. [11, теорема 2]), который устанавливает связь между ассоциативной алгеброй измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана, относительно центрозначного следа и ассоциативной алгеброй измеримых операторов относительно числового следа в булевозначной модели теории множеств.

В заключение отметим, что в диссертационной работе использована техника и методы исследования AJW-алгебр, базирующиеся на понятиях совместности элементов и совместности подмножества йордановой алгебры, изученных в [8], [18]. При внимательном рассмотрении доказательств различных утверждений можно заметить, что некоторые из них проведены по одной и той же схеме. Такое изложение материала нам представляется уместным, поскольку, не смотря на внешную схожесть цепочек рассуждений, различные доказательства имеют существенные различия в деталях. Помимо техники, характерной для исследования AJW-алгебр, в диссертационной работе использованы методы теории J В-алгебр, JC-алгебр (в том числе JBW- и JW- алгебр), теории AW*-алгебр и алгебр фон Неймана, а также техника булевозначных реализаций JB-алгебр.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Арзикулов, Фарходжон Нематжонович, 1998 год

Литература

[1] Арзикулов Ф.Н. Определение AJW-алтебры //XXXIV Международная научная студенческая конференция.-Новосибирск, НГУ, -1996.-Тезисы докладов. Математика.-С.5-6.

[2] Арзикулов Ф.Н. Об абстрактных JW-алгебрах// Сиб. мат. журн. -1998.-N 1.-С.20-27.

[3] Арзикулов Ф.Н. Меры и состояния на AJW- и АТ¥*-алгебрах и йордановы алгебры измеримых операторов.-Новосибирск, 1998.-41 е.-(Препринт/ Новосиб. гос. универ-т; N32).

[4] Арзикулов Ф.Н. Об одном аналоге пирсовского разложения для общих J В-алгебр //III Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике.-Новосибирск, -1998.-Тезисы докладов. Часть I.-C.54-55.

[5] Аюпов Ш.А. Йордановы операторные алгебры// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Мат. анализ.-1985.-Т.27.-С.67-97.

[6] Аюпов Ш.А. Классификация и представления упорядоченных йор-дановых алгебр.-Ташкент:Фан, 1986.

[7] Аюпов Ш.А. Локально измеримые операторы для /И^-алгебр и представление упорядоченных йордановых алгебр// Изв. АН СССР. Сер. MaT.-1984.-T.48.-N 2.-С.211-236.

[8] Аюпов Ш.А.,Желябин В.Н. Совместность элементов в йордановых алгебрах// Мат. 3aMeTKH.-1985.-T.37.-N 3.-С.305-312.

[9] Владимиров Д.А. Булевы алгебры.-М.:Наука, 1969.

[10] Жевлаков К.А., Слинъко A.M., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца близкие к ассоциативным.-М.:Наука, 1978.

[11] Король A.M., Чилин В.И. Измеримые операторы в булевозначной модели теории множеств// Докл. Ак. наук Y3CCP.-1989.-N 3.-С.7-9.

[12] Кусраев А.Г. Булевозначный анализ и Jß-алгебры// Сиб. мат. журн.-1994.-Т.35.^ 1.-С.124-134.

[13] Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Нестандартные методы анализа.-Новосибирск:Наука, 1990.

[14] Кусраев А.Г. Векторная двойственность и ее приложения. -Новосибирск:Наука, 1985.

15] Кусраев А. Г. Булевозначный анализ инволютивных банаховых алгебр. -Владикавказ:Сев.-Осет.гос.ун-т, 1996.

16] Матвейчук М. С. Одна теорема о состояниях на квантовых логиках. Состояния в алгебрах Иордана// Теор. и мат. физ.-1983.-Т.57.-К 3.-С.465-468.

17] Матвейчук М.С. Нессонов Н.И. Описание мер в факторах Неймана типа III// Изв. вузов. MaT.-1984.-N 2. С.68-71.

18] Сарымсаков Т.А., Аюпов Ш.А., Хаджиев Дж., Чилин В.И. Упорядоченные алгебры.-Ташкент:Фан, 1983.

19] Чилин В. И. Частично упорядоченные бэровские инволютивные алгебры//Итогй науки и техники. ВИНИТИ.Математический анализ.-1985.-Т.27.-С.99-128.

20] Aarens J.F. Quasi-states on C*-algebras//Trans. Am. Math. Soc. -1970.-Vol.l49.-N2.-P.601-625.

21] Ajupov S.A. Exitension of traces and type criterions for Jordan algebras of selv-adjoint operators//Math. Z.-1982.-Vol.l81.-P.253-268.

22] Alfsen E.M., Hanhce-Olsen H., Shultz F.W. State spaces of C*-algebras//Acta Math.-1980.-Vol.l44.-P.267-305.

23] Alfsen E.M., Shultz F. W., St0rmer E.A. Gelfand-Neumark theorem for Jordan algebras//Adv. in Math.-1978.-Vol.28. -Nl.-P. 11-56.

24] Arzikulov F.N. AJW-algebras of type I and their classification//Sib. Adv. Math. -1998.-Vol.8.-N2.-C.30-48.

25] Bell J.L. Boolean Valued Models and Independence Proofs in Set Theory. -Oxford:Clarendon Press,1979.

26] Berberian S.K. The regular ring of a finite AW*-algebra// Ann. of Math.-1957.-Vol.65.-P.224-240.

27] Berberian S.K. Note on a theorem of Fuglede and Putnam//Proc. Amer. Math. Soc.-1959.-Vol.l0.-P.175-182.

28] Berberian S.K. A note on the algebra of measurable operators of an AW*-algebra// Tohoku Math. J.-1970.-Vol.22.-P.613-618.

29] Berberian S.K. Bear *-rings. Berlin:Springer Verlag, 1972. -296 p.

[30] Bunce L.J. and Wright J.D. Continuity and linear extensions of quantum measures on Jordan algebras//Math. Scand.-1989.-Vol.64.-P.300-306.

[31] Bunce L.J. and Wright J.D. Quantum measures and states on Jordan algebras//Comm. Math. Phys. -1985.-Vol.98.-P.187-202.

[32] Bunce L.J. and Hamhalter J. Traces and subadditive measures on projections in JBW-algebras and von Neumann algebras//Am. Math. Soc.-1995.-Vol.123.-Nl.

[33] Christensen E. Measures on projections and physical states//Commun. Math. Phys.-1982. -Vol.86.-P.529-538.

[34] Dixmier J. Les algebras d'operateurs dans l'espace hilberttien. -Paris :Gauthier-Villars, 1969.

[35] Emch G. G. Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory.-New YorkfWiley-Interscience, 1972.

[36] Effros E.,St0rmer E. Jordan algebras of self-adjoint operators//Trans. Amer. Math. Soc.-1967. -Vol.l27.-N2.-P.313-316.

[37] Effros E.,St0rmer E. Positive projections and Jordan structure in operator algebras//Math. scand. -1979.-Vol.45.-Nl.-P.127-138.

[38] Gleason A.M. Measures on closed subspaces of a Hilbert space// J. Math. Mech.-1957.-N6.-P.885-893.

[39] Grothendieck A. Produit tensoriels Topologiques et espaces nucléaires// Mem. Am. Math. Soc.-1955.-Vol.16.

[40] Gunson J. Physical states on quantum logics// I. Ann. Inst. Henri Poincare. Sect. A.-1972.-P.295-311.

[41] Hanche-Olsen H. A note on the bidual of a JB-algebra// Math. Z.-I980.-Vol.l75.-P.29-31.

[42] Hanche-Olsen H., St0rmer E. Jordan Operator Algebras. Boston etc.:Pitman Publ. Inc., 1984.

[43] Jordan P., von Neumann J. and Wigner E. On an algebraic generalisation of the quantum mechanical formalism// Annals Math.-1934.-Vol.35.-P.29-64.

[44] Kadison R. V. A generalized Schwarz inequality and algebraic invariants for operator algebras//Annals Math.-1952.-Vol.56.-P.494-503.

[45] Kaplansky I. Normed algebras// Duke. Math. J.-1949.-Vol.l6.-P.399-418.

[46] Kaplansky I. Projections in Banah algebras// Ann. Math.-1951.-Vol.53.-N2.-P.235-249.

[47] Kaplansky I. Algebras of type I//Ann. Math.-1952.-Vol.56.-N2. -P.460-472.

[48] Kaplansky I. Modules over operator algebras//Amer. J. Math. -1953.-Vol.75.-N4.-P.839-858.

[49] Kaup W. Algebraic characterisation of symmetric complex Banach manifolds//Math. Ann.-1977.-Vol.228.-P.39-64.

[50] Koecher M. Positivitatsbereichen in Rm// Am. J. Math.-1957.-Vol.79.-P.595-600.

[51] Mackey G.W. Quantum mechanics and Hilbert space// Am. Math. Month.-1957.-Vol.64.-P.45-57.

[52] Matveichuk M.S. Description of the finite measures in semifinite algebras// Funct. Anal. Appl.-1982.-Vol.l5.-P.187-197.

[53] von Neumann J. On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism I// Math. Sbornic.-1936.-Nl.-P.415-84.

[54] Ozawa M. Boolean valued analysis and type I AW*-algebras// Proc. Jap. Acad. A59.-1983.-N8.-P.368-371.

[55] Robertson A.G. Automorphisms of spin factors and the decomposition of positive maps// Q. J. Math. Oxford (2).-1983.-Vol.34.-P.87-96.

[56] Saito K. On the algebra of measureble operators for a general AW*-algebras, I//Tohoku Math.J.-1969.-Vol.21.-P.249-270.

[57] Saito K. On the algebra of measureble operators for a general AW*-algebras, II//Tohoku Math.J.-1971.-Vol.23.-P.525-534.

[58] Sakai S. C*-algebras and iy*-algebras. Springer Verlag, 1971.

[59] Sasaki U. Lattices of projections in AW*-algebras// J. Sci. Hiroshima Univ. A19.-1955.-N1.-P.1-30.

[60] Semadeni Z. Banach spaces of continuous functions//Vol. I. Monog. Matematyczne. Warsaw:Polish Scientific Publ.-1971.-Vol.55.

[61] Shultz F. W. On normed Jordan algebras wich are Banah dual spases//J. Func. Anal. -1979.-Vol.31.-N3.-P.360-376.

[62] Stasey P.J. Real structure in the approximately finite dimensional II^ factor .-Melbourne:Preprint, 1981.

[63] Stasey P.J. Type I2 JPW-algebras// Q. J. Math. Oxford (2).-1982.-Vol.33.-P.115-27.

[64] Stone M.H. Boundness properties in function-lattices// Canadian J.Math.-1949.-Vol.1.-P. 176-186.

[65] St0rmer E. On The Jordan structure of C*-algebras// Trans. Amer. Math. Soc.-1965.-Vol.l20.-N12.-P.438-447.

[66] St0rmer E. Jordan algebras of type I//Acta. Math.-1966. -Vol.115.-NN3-4.-P.165-184.

[67] St0rmer E. On antiautomorphisms of von Neumann algebras// Pacif J. Math.-1967.-Vol.21.-N2.-P.349-370.

[68] St0rmer E. Irreducible Jordan algebras of self-adjoint operators// Trans. Amer. Math. Soc.-1960.-Vol.l30.-Nl.-P.153-166.

[69] Takesaki M. Theory of operator algebras I. Springer Verlag, 1979.

[70] Takeuti G., Zaring W.M. Axiomatic Set Theory.-New York:Springer-Verlag, 1973.

[71] Tischer J. Gleason's theorem for type I von Neumann algebras// Pacif. J. Math.-1982.-Vol.l00.-N2.-P.473-488.

[72] Topping D.M. Jordan algebras of self-adjoint operators// Mem. Am. Math. Soc.-1965.-Vol.53.

[73] Topping D.M. An isomorphism invariant for spin factors// J. Math. Mech.-1966.-Vol.15.-P. 1055-63.

[74] Yeadon F.J. Finitely additive measures on projections in finite W*-algebras//Bull.London Math.Soc.-1984.-Vol.l6.-P.145-150.

[75] Yeadon F.J. Measures on projections in W*-algebras of type Hi// Bull. Lond.Math.Soc.-1983.-Vol.15.-P. 139-145.