AG-деформации поверхностей положительной гауссовой кривизны при внешних связях кинематического типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Бабенко, Олеся Николаевна

• Бабенко, Олеся Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бабенко, Олеся Николаевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ АО - ДЕФОРМАЦИИ

ПОВЕРХНОСТЕЙ С КРАЕМ ПРИ ВНЕШНИХ СВЯЗЯХ

КИНЕМАТИЧЕСКОГО ТИПА.

§1. Некоторые сведения из функционального анализа и теории дифференциальных уравнений.

§2. Определение бесконечно малых АО - деформаций поверхности К Описание внешних связей кинематического типа. Основные предположения.

§3. Уравнение бесконечно малых АО - деформаций поверхности К.

§4. Уравнение бесконечно мшых АО - деформаций поверхностиТ7для компонент £, 77, ¿Г.

§5. Уравнение бесконечно малых АО - деформаций поверхности Р для нормальной компоненты Л.

§6. Уравнение бесконечно малых АО - деформаций поверхности Т7 для комплексной функции смещения.

§7. Бесконечно малые АО - деформации поверхности I7 с условием обобщенного закрепления края относительно плоскости и условием точечного типа.

§8. Бесконечно малые АО - деформации поверхности Т с условием защемления края.

§9. Бесконечно малые АО - деформации поверхности И при внешней связи обобщенного скольжения.

ГЛАВАII. НЕПРЕРЫВНЫЕ AG - ДЕФОРМАЦИИ

ПОВЕРХНОСТЕЙ С КРАЕМ ПРИ ВНЕШНИХ

СВЯЗЯХ КИНЕМАТИЧЕСКОГО ТИПА.

§1. Определение непрерывных AG - деформаций поверхности F. Описание внешних связей кинематического типа. Основные предположения.

§2. Уравнение AG - преобразований поверхности F.

§3. Интегро-дифференциальные уравнения

AG - преобразований поверхности F.

§4. Уравнение AG - преобразований поверхности F для нормальной компоненты Л.

§5. Уравнение AG - преобразований поверхности F для комплексной функции смещения.

§6. Непрерывные AG - деформации поверхности F с условием обобщенного закрепления края относительно плоскости и условием точечного типа.

§7. Непрерывные AG - деформации поверхности F с условием защемления края.

§8. Непрерывные AG - деформации поверхности F при внешней связи обобщенного скольжения.

ГЛАВА III. АНАЛИТИЧЕСКИЕ AG - ДЕФОРМАЦИИ

ПОВЕРХНОСТЕЙ С КРАЕМ ПРИ УСЛОВИИ ОБОБЩЕННОГО ЗАКРЕПЛЕНИЯ КРАЯ ПОВЕРХНОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ВЕРТИКАЛЬНОЙ

ПЛОСКОСТИ.

§ 1. Определение аналитических AG - деформаций поверхности F. Описание внешней связи обобщенного закрепления края поверхности. Основные предположения.

§2. Уравнение аналитических AG - деформаций поверхности F.

§3. Уравнение аналитических AG - деформаций п п п поверхности/7 для компонент Tjп =1,2,.

§4. Аналитические AG - деформации поверхности F с условием обобщенного закрепления края относительно вертикальной плоскости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «AG-деформации поверхностей положительной гауссовой кривизны при внешних связях кинематического типа»

Одним из важнейших разделов дифференциальной геометрии «в целом» является теория деформации поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве. Под деформацией поверхности F понимают семейство /Ft} преобразований поверхности F в поверхность Ft, зависящее некоторым образом от параметра t, t е (~t0> to), h > 0, так, что F0 = F. Как правило, рассматривают деформации, сохраняющее некоторые наперед заданные свойства поверхности F.

К настоящему времени достаточно полно изучены изометрические деформации поверхностей, называемые изгибаниями, сохраняющие длины дуг всех кривых, лежащих на поверхности. Вопросы изгибаний поверхностей нашли отражение в работах А.Д. Александрова [1], A.B. Погорелова [19], Н.В. Ефимова [8], В.Т. Фоменко [23], С.Б. Климентова [13] и других авторов. Одним из основных результатов теории изгибания поверхностей является теорема A.B. Погорелова об однозначной определенности замкнутых выпуклых поверхностей, а также теорема о существовании изгибаний поверхностей положительной полной кривизны с краем [19].

Наряду с теорией изгибаний поверхностей в настоящее время значительный интерес представляют исследования более общих форм деформаций поверхностей: деформаций, сохраняющих поточечно гауссов образ поверхности, ареальных деформаций, конформных, геодезических и других.

Более подробно остановимся на результатах из теории ареальных деформаций и деформаций, сохраняющих поточечно гауссов образ поверхности.

Ареальные деформации поверхности, то есть деформации, при которых сохраняется элемент площади поверхности ( коротко А - деформации), рассматривались М.С. Синюковым [20], JI.JI. Бескоровайной [3], и другими. Основные уравнения бесконечно малых А - деформаций первого порядка в тензорной форме впервые были получены М.С. Синюковым [20]. Им же было указано на возможность применения для бесконечно малых А - деформаций теории обобщенных аналитических функций и на возможность приложения этих деформаций в теории оболочек. Впоследствии, JI.JI. Бескоровайной было доказано [2], что бесконечно малая А - деформация первого порядка односвязной поверхности S ненулевой гауссовой кривизны К описывает безмоментное напряженное состояние равновесия оболочки со срединной поверхностью S при наличии внешней нагрузки, в выборе которой имеется две степени свободы и наоборот. Там же установлено, что поверхность положительной полной кривизны с краем допускает бесконечно малые А - деформации с произволом в две действительные функции. В работе [4] изучены вопросы продолжения бесконечно малых А - деформаций поверхности положительной гауссовой кривизны К >к0 > 0, ко = const, с краем в аналитические.

Вопросы деформаций поверхностей с сохранением поточечно гауссова, или, как иногда говорят, сферического образа (коротко G - преобразования) изучались в работах В.Ф. Кагана [12], Ю.А. Аминова [2], В.Т. Фоменко [25] и других. Наиболее распространенными преобразованиями, сохраняющими гауссов образ поверхности, являются преобразования гомотетии. К числу G - преобразований относится также переход от данной поверхности к параллельной ей поверхности [12] (ч.1, §33). В работе [27]

2 3 показано, что двумерная сфера S в Е допускает G - преобразования с произволом в одну действительную функцию двух переменных. Отметим, что соответствие Петерсона двух поверхностей F и F*, рассматриваемое в

30], (с.280-285), является О - преобразованием поверхности Р в поверхность Р*.

Проблема изучения преобразований двумерных поверхностей в Е\ которые одновременно являются и А - преобразованиями и С - преобразованиями (коротко АО - преобразования) возникает при рассмотрении проблемы Минковского, где решается вопрос о существовании и единственности в Е3 замкнутой выпуклой поверхности с заданной гауссовой кривизной как функцией внешней нормали, заданной на единичной сфере. В такой постановке единственность решения проблемы Минковского означает отсутствие АО - преобразований овалоида, отличных от параллельного переноса.

Известно [9], что односвязный кусок поверхности положительной гауссовой кривизны допускает АС - деформации (как бесконечно малые, так и непрерывные).

Бесконечно малые АО - деформации поверхности положительной гауссовой кривизны исследовались в работах В.Т. Фоменко. Так, в работе

26], им установлена связь между бесконечно малыми изгибаниями односвязной поверхности положительной гауссовой кривизны К >к0> 0, ко = 2 const^ в Е и бесконечно малыми АО - деформациями этой же поверхности, а именно, доказано, что всякое изгибающее поле двумерной поверхности 2 положительной гауссовой кривизны в Е при бесконечно малых изгибаниях поверхности порождает некоторое поле смещений бесконечно малых АО - деформаций этой же поверхности. Справедливо и обратное утверждение. Отсюда следует, что замкнутая двумерная поверхность положительной гауссовой кривизны в силу ее жесткости относительно бесконечно малых изгибаний допускает только бесконечно малые АО - деформации, совпадающие с параллельным переносом. В работе [26] доказано так же, что всякая пара поверхностей Ех и /72 положительной гауссовой кривизны, допускающих АО - преобразования друг на друга, порождает бесконечно малую АО - деформацию их срединной поверхности Р. Имеет место и обратное утверждение: всякая бесконечно малая АО - деформация срединной поверхности Р порождает пару поверхностей ^ и Р2, которые допускают АО - преобразования одной поверхности на другую. Отсюда еле

Л«»' дует, что пара изометричных поверхностей ^ и ^ порождает пару поверхностей I') и находящихся в АО - соответствии, и обратно.

Так как замкнутая двумерная поверхность положительной гауссовой кривизны не допускает АО - преобразований, отличных от параллельного переноса, то представляет большой интерес рассмотрение таких преобразований для поверхностей с краем.

Если на поверхность ^ наложить внешнюю связь и отыскивать АО - деформации поверхности Р, совместимые с этой связью, то вопрос о существовании таких АО - деформаций остается открытым. Внешние связи, налагаемые на поверхность ^ при ее АО - деформации могут быть весьма разнообразны: склеивание поверхностей [28], втулочные связи на краю поверхности F [24], защемление поверхности вдоль края [31], условия точечного типа [35] и другие. В настоящее время изучены АО - деформации односвязных поверхностей положительной гауссовой кривизны при задании поведения некоторых геометрических характеристик края поверхности при ее АО - деформации (стационарность линейного элемента вдоль края, стационарность второй квадратичной формы поверхности вдоль края, стационарность кривизны края, средней кривизны поверхности вдоль края и др.) [9], [10].

В то же время недостаточно изученными в теории АО - деформаций поверхностей являются внешние связи вида = о, , где К - линейный аддитивный оператор, заданный на некотором множестве Т точек поверхности Т7, сг - заданная на Т функция, сг0 = 0. Такие внешние связи были введены И.Н. Векуа в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и названы им внешними связями кинематического типа. Особый интерес представляет рассмотрение корректных и квазикорректных с р степенями свободы внешних связей кинематического типа, рассмотренных ранее в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей [22] и характеризующихся тем свойством, что поверхность, подчиненная этим связям, допускает деформации, порождаемые одним или конечным числом р >1 параметров. В связи с этим возникает проблема отыскания внешних связей кинематического типа, которые могут быть описаны в терминах корректности и квазикорректности. Этим обусловлена актуальность данного исследования.

В предлагаемой диссертации изучаются АО - деформации одно-связных поверхностей положительной гауссовой кривизны в трехмерном евклидовом пространстве при внешних связях кинематического типа.

Целью настоящей работы является выделение класса корректных и квазикорректных связей кинематического типа в отношении АО - деформаций поверхностей (бесконечно малых, непрерывных, аналитических по параметру) и описание поведения поверхностей в отношении АО - деформаций при этих связях.

Исследование рассматриваемых в диссертации вопросов проводится методами дифференциальной геометрии при систематическом использовании функционального анализа и теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Научная новизна работы определяется следующими результатами, полученными автором:

-Установлено, что внешняя связь обобщенного закрепления односвязной поверхности положительной гауссовой кривизны вдоль края относительно заданной плоскости совместно с условием точечного типа, а также условие защемления края поверхности являются корректными внешними связями в отношении АО-деформаций поверхности (бесконечно малых и непрерывных).

-Найдены условия жесткости и однозначной определенности в 8 - окрестности односвязной поверхности положительной гауссовой кривизны с краем в отношении бесконечно малых и непрерывных АО-деформаций поверхности при указанных выше внешних связях.

- Установлено, что внешняя связь обобщенного скольжения описывается в терминах квазикорректности для бесконечно малых и непрерывных АО - деформаций рассматриваемой поверхности.

-Указаны условия, при которых бесконечно малая АО - деформация односвязной поверхности положительной гауссовой кривизны, подчиненная условию обобщенного закрепления вдоль края, может быть продолжена в аналитическую АО - деформацию при внешней связи обобщенного закрепления края относительно заданной плоскости.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в исследованиях по геометрии в «целом», а также при построении раздела спецкурса по теории деформаций поверхностей.

Основные результаты диссертации были опубликованы в работах [31] - [37] и докладывались на итоговых научных конференциях ТГПИ (1997-2000), международной конференции «Ломоносов-2000» (Москва, апрель, 2000г.), на семинаре кафедры геометрии Ростовского государственного университета (руководитель проф. С.Б. Климентов) (май, 2000г.), на шестой международной конференции «Математические модели физических процессов и их свойства» (Таганрог, июнь, 2000г.), на международном школе-семинаре по геометрии и анализу памяти И.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, сентябрь, 2000г.).

Работа получила поддержку РФФИ, проект №99-01-00814, а также вошла в научно-техническую программу Министерства образования России «Университеты России - фундаментальные исследования», проект 1686, 1998-1999.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 37 названий.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бабенко, Олеся Николаевна, 2000 год

1. Александров А.Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. -М. - Л.: ОГИЗ- 1948.

2. Аминов Ю.А. О грассмановом образе двумерной поверхности в четырехмерном евклидовом пространстве // Укр. геометр, сб. 1980. -№23.-с. 3-16.

3. Бескоровайная Л.Л. Про нисюнченно мал! деформаци поверхонь, яю вщповщають одному типов! безмоментно! напружено! ривноваги навантажено! оболонки // 36. «Друга наукова конференц!я молодих математиюв Украши». Кшв: Наукова Думка. - 1966. - с. 39-42.

4. Бескоровайная Л.Л., Дерманец Н.В. О продолжении бесконечно малых ареальных деформаций поверхностей // Сб. «Восьмая Всесоюзная научная конференция по современным проблемам дифференциальной геометрии». Тезисы докладов. - Одесса. - 1984,- с. 20.

5. Бляшке В. Дифференциальная геометрия. М.: ОНТИ НКТП СССР, гл. ред. общетехнической литературы и номографии - 1935.

6. Векуа H.H. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука -1988.

7. Гахов В.Д. Краевые задачи. М.: Наука - 1977.

8. Ефимов Н.В. Качественные вопросы теории деформации поверхностей // УМН. 1948. - т. 3, вып.2. - с. 47-158.

9. Забеглов A.B. AG преобразование поверхностей положительной полной кривизны с заданным изменением первой и второй квадратичных форм поверхности вдоль края // Тезисы докладов конференции по геометрии «в целом» - Черкассы, ЧИТИ - 1999. - с. 68-69.

10. Исанов Т.Г. О продолжении бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны // Сиб. мат. ж. 1979. - 20, №6. - с. 1261-1268.

11. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. М.: ОГИЗ - 1948. - т. 1-2.

12. Климентов С.Б. Об одном способе построения решений краевых задач теории изгибания поверхностей положительной кривизны // Укр. геометр, сб. 1986. - №29. - с.56-82.

13. Колегаева Е.М., Фоменко В.Т. О продолжении бесконечно малых изгибаний поверхностей в аналитические изгибания при внешних связях // Мат. заметки. 1989. - т. 45, №2. - с. 30-39.

14. Кон-Фоссен С.Э. Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом. М.: Физматиз - 1959.

15. Ладыженская O.A., Уральцева И.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука - 1964.

16. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М., изд. иностранной лит. - 1957.

17. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск, изд. «Наука» - 1977,- с. 224-235.

18. Погорелов A.B. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. -М.: Наука-1969.

19. Синюков Н.С. О развитии современной дифференциальной геометрии в Одесском государственном университете им. И.И. Мечникова за последние годы // Изв. вузов. Математика 1986. - №1. - с. 69-74.

20. Фоменко В.Т. Распределение нежестких втулочных связей для выпуклой поверхности // Доклады академии наук СССР 1966. - т. 166, №6-с. 1300-1303.

21. Фоменко В.Т. Непрерывные изгибания выпуклых поверхностей с краевыми условиями // Мат. сб. 1979. - 110, №4 - с. 493-504.

22. Фоменко В.Т. Об изгибании и однозначной определенности поверхностей положительной кривизны с краем // Мат. сб. 1964. - 63, №3. -с. 409-425.

23. Фоменко В.Т. О бесконечно малых G деформациях поверхностей в римановом пространстве //Сб. науч. работ «Деформации поверхностей с заданными рекуррентными соотношениями». - Таганрог, изд. ТГПИ -1995.-с. 6-19.

24. Фоменко В.Т. Некоторые свойства AG преобразований поверхностей // Сб. науч. трудов шестой международной конференции «Математические модели физ. процессов и их свойства» - Таганрог, изд. ТГПИ -2000. - с. 3-5.

25. Фоменко В.Т. Общая формула решений уравнений Петерсона-Кодацци на гиперсфере // Укр. геометр, сб. 1989. - №32 - с. 124-126.

26. Фоменко Л.П. О жесткости одного класса склеенных кусочно-выпуклых поверхностей // Сб. науч. работ по межвузовской науч. программе «Университеты России фундаментальные исследования» - Таганрог, изд. ТГПИ - 1999. - 4.2. - с.50-57.

27. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. -М., гос. изд. физ-мат. лит. 1963. - с. 280-285.

28. Бабенко О.Н. Непрерывные AG деформации выпуклых поверхностей с краевыми условиями // Сб. науч. работ преподавателей и аспирантов матем. кафедр ТГПИ - Таганрог, изд. ТГПИ - 1999. - с.20-39.

29. Бабенко О.Н. Непрерывные AG деформации выпуклых поверхностей с условием обобщенного закрепления края поверхности относительно плоскости // Сб. науч. трудов преподавателей и аспирантов ТГПИ -Таганрог, изд. ТГПИ - 2000. - с. 216-226.

30. Бабенко О.Н. Непрерывные AG преобразования выпуклых поверхностей с краевым условием // материалы Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов». -М.; изд. Московского университета. - 2000. - вып. 4. - с. 318-319.