Аффинные связности, согласованные со структурой биаксиального пространства тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Шойимкулов, Махмудбек

• Шойимкулов, Махмудбек
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шойимкулов, Махмудбек

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ, СОГЛАСОВАННЫЕ СО СТРИТУ -РОЙ БИАКСИАЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА

§ I. История вопроса и постановка задачи

§ 2. Аффинные связности, допускающие подгруппы Uts } ,{ U* 2i3; Щ}

§ 3. Аффинные связности, допускающие подгруппы

§ 4. Аффинные связности, допускающие подгруппы

§ 5. Аффинные связности, допускающие подгруппы itЬ)Ш&Л , ^>

§ б. Аффинные связности, допускающие подгруппу

2b;2b;2it}

§ 7. Аффинные связности, допускающие подгруппу

§ 8. Аффинные связности, допускающие подгруппу

ГЛАВА П. ПРОЕКТИРОВАНИЕ АФФИННЫХ СВЯЗНОСТЕЙ, СОГЛАСО -ВАННЫХ СО СТРУКТУРОЙ БИАКСИАЛЬНОГО ПРОСТРАН -СТВА

§ I. История вопроса и постановка задачи

§ 2. Проектирование аффинных связностей, допускающих подгруппы/^*; Vy,lt5} JХ^ЩМ?}

§ 3. Проектирование аффинных связностей, допускающих подгруппы^; fy-^jjzit,; 2/,}

§ Проектирование аффинных связностей, допускающих подгруппы

§ 5. Проектирование аффинных связностей, допускающих подгруппы / Ыг J 2Ы , {U, J И*; Usi 21ч]

UxiM^Xr^j

§ б. Проектирование аффинных связностей, допускающих подгруппу {Их 'Щ21*}.

§ 7. Проектирование аффинных связностей, допускающих по дгруппу { Щ 'j2tff 21?}.

§ 8. Проектирование аффинных связностей, допускающих подгруппу {2ix; и* ', 2t?}.

§ 9. Проектирование геодезических аффинных связностей, согласованных со структурой биаксиального пространства

§ 10. О специальных проективно-евклидовых связностях биаксиального пространства

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аффинные связности, согласованные со структурой биаксиального пространства»

Актуальность темы. В современных дифференциально-гешетри -ческих исследованиях теория расслоенных пространств и связностей в расслоенных пространствах занимают одно из главных мест. Этими вопросами занимались и занимаются отечественные и зарубежные геометры. Теория связностей и параллельного перенесения впервые появляются в работах Риччи и Леви-Чивита. Дальнейшее развитие теория связностей получила в работах Э.Картана, И.Схоутена, В.В.Вагнера, Ш.Эресмана, Г.Ф.Лаптева и других геометров. Обзор работ по теории связностей за последние годы приведен в работе Б.Н.Шапуко-ва [19].

Биаксиальная геометрия предоставляет большие возможности для изучения специальных связностей. Само биаксиальное пространство является простейшим примером нетривиального расслоенного пространства и потому здесь возникают задачи проектирования аффинных связностей на базу. В последние годы стали также изучаться различные однородные пространства, связанные с биаксиальной группой (см. [8] ,[9]).

В настоящей работе изучаются аффинные связности без круче -ния в биаксиальном пространстве эллиптического типа Бз , допускающие преобразования подгрупп группы биаксиальных движений в качестве аффинных коллинеаций. Мы называем их связностями, сог -ласованными со структурой биаксиального пространства.

Конгруэнция особых прямых пространства Бз является вещественной моделью Па комплексной проективной прямой и позволяет рассматривать бз как расслоенное пространство Для каждой из рассматриваемых подгрупп в расслоении Бз строится естественно возникающая инфинитезимальная связность G* •

Также изучается вопрос о проектируемости найденных аффинных связностей на базу Па с помощью инфинитезимальных связностей G- и о проектируемости геодезических линий аффинных связностей Бъ(Пг/л) с помощью особых прямых пространства Бз . В расслоенном пространстве Бз(Г1г используемые инфинитезимальные связности Q (соответствующие тем или иным подгруппам) дают возможность выделить на расслоении Бз класс так называемых (? -проек -тируемых аффинных связностей и тензорных полей. При этом их (? -проекции, соответственно, определяют аффинные связности и тензорные поля на базисном многообразии Пл. .

Понятия проектируемых аффинных связностей и тензорных полей в расслоении с одномерными слоями впервые введены в работах Яно и Исикара [30,31] . Для произвольных расслоений при наличии инфини -тезимальной связности G- эта теория обобщена К.М.Егиазаряном м. И. В данной работе теория проектирования аффинных связностей и тензорных полей применена к трехмерному расслоенному пространству БзСЛа,*) И, тем самым, найдено одно из возможных приложений этой теории.

Цель работы. Целью настоящей работы является:

1) построить аффинные связности без кручения на расслоенном пространстве Бз СП» /JC) согласованные со структурой этого про -странства и выяснить их геометрический смысл;

2) изучить вопрос о проектируемоети этих связностей на базу с помощью инфинитезимальных связностей (? ;

3) выделить специальные проективно-евклидовы связности Бз(Пж,"Л) из найденных аффинных связностей, согласованных со структурой этого пространства и выяснить их геометрический смысл.

Научная новизна. Построены аффинные связности без кручения на расслоенном пространстве Бз(П9,?с) » допускающие различные подгруппы движений пространства Е>з в качестве аффинных коллине-аций. Изучены свойства этих аффинных связностей и выяснен их геометрический смысл. Применена теория Q -проектируемости аффинной связности и тензорного поля, введенные Яно, Исихара и Егиазаря -ном. Выделен класс Q -проектируемых аффинных связностей и тен -зорных полей на расслоении 6з » которые, будучи спроектированы, определяют, соответственно, аффинные связности и тензорные поля на базисном многообразии Пг • Среди проектируемых аффинных связностей в расслоении 5з выделен класс аффинных связностей, геодезические которых проектируются, соответственно, на геодезические спроектированной аффинной связности базы Пг . Выделены специальные проективно-евклидовы связности Бз из найденных аффинных связностей, согласованных со структурой этого пространства. Изу -чен вопрос о проектируемоети выделенных специальных проективно -евклидовых связностей и их геодезических линий. Все эти результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Материал, содержащийся в диссертации, может быть использован при чтении специальных курсов по дифференциальной и проективной геометрии в Тадж.гос. университете им.В.И.Ленина, Ташкентском гос.университете им. В.И. Ленина, Казанском гос.университете им.В.И.Ульянова-Ленина, Душанбинском и Пензенском пединститутах.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на годо -вых итоговых научных конференциях Казанского университета в 1980 и 1984 годах, на заседаниях семинара кафедры геометрии Казанского университета (руководитель - проф. А.П.Норден), на семинаре ка -федры геометрии Пензенского пединститута (руководитель - проф. И.П.Егоров), на У1 Прибалтийской геометрической конференции (г.Таллин, 1984г.).

Диссертация является самостоятельным научным исследованием ав тора.

Основные результаты диссертации отражены в девяти статьях и тезисах докладов научной конференции.

Краткое содержание диссертации. Диссертация состоит из двух глав и списка литературы. В первой главе изучаются аффинные связности, согласованные со структурой биаксиального пространства эллиптического типа.

В § I даются основные необходимые понятия: I) определение биаксиального пространства эллиптического типа Бз ; 2) самосо -пряженные образы: сфероиды, бицилиндры, к.а.п., циклические комплексы и группы движений пространства Бз , впервые введенные А.П.Норденом; 3) делается обзор аналогичных исследований отече -ственных и зарубежных геометров; 4) далее сформулирована поста -новка задачи - нахождение аффинных связиостей, допускающих пре -образования тех или иных подгрупп группы движений биаксиального пространства в качестве аффинных коллинеаций. Эти аффинные связности названы аффинными связностями, согласованными со структу -рой биаксиального пространства; 5) введены некоторые определения и обозначения для упрощения дальнейшей.записи.

В § 2 рассматриваются аффинные связности без кручения биаксиального пространства эллиптического типа, допускающие трех членную подгруппуг/а; Щ] группы У 6 параллельных пере -носов и четырехчленную подгруппу { Ui: К*} полной группы движений этого пространства, переводящую в себя действ и -тельный сфероид.3*/ х/ Говоря о подгруппе группы движений пространства Бз » мы Указываем базис ее инфинитезимальных преобразований и считаем, что тем самым подгруппа задана.

Аффинные связности биаксиального пространства, допускающие эти подгруппы, зависят, соответственно, от восемнадцати и от четырех произвольных постоянных. Далее изучена начальная связность и базисные тензоры аффинной деформации, которые приведены в одиннадцати случаях для подгруппы fZ/a; U2: ИъЬ и четырех случаях для подгруппы/Wi; Uz-j Unit*} . Показывается, что базисные тензоры аффинной деформации имеют простой смысл с точки зрения биакси -альной геометрии.

В § 3 рассматриваются аффинные связности биаксиального пространства, допускающие трехчленную подгруппу { Us* Щ-иг } группы ^6 и четырехчленную подгруппу Us*ЩJ U3~uz:U%] группы движений ^^ этого пространства, переводящую в себя мни -мый сфероид. Аффинные связности, допускающие эти подгруппы, за -висят, соответственно, от восемнадцати и от четырех произвольных постоянных. Аналогично § I, изучена начальная связность и базисные тензоры аффинной деформации. Выясняется геометрический смысл этих аффинных связностей биаксиального пространства Е5з .

В § 4 рассматриваются аффинные связности биаксиального пространства, допускающие трехчленную подгруппу (иг\ Us; Щ+ли*} группы Ъб и четырехчленную подгруппу {цг; Us i Uj,+*UhU*} группы движений ^ этого пространства. Показано, что аффинные связности бз , допускающие эти подгруппы, зависят, со ответе т -венно, от восемнадцати и от четырех произвольных постоянных; выделены начальная связность, базисные тензоры аффинной деформации и выяснен их геометрический смысл.

В § 5 изучаются аффинные связности биаксиального простран -ства, допускающие четырехчленную подгруппу {UajUs; Us■; itu,} группы , четырехчленную подгруппу / 2/*; uZj USj U1} и пя -тичленную подгруппу {Ыг; Its; группы движений этого пространства, переводящую в себя особую прямую. Эти аффинные связности биаксиального пространства, допускающие четырех -членные подгруппы, зависят от пяти, а пятичленная подгруппа - от трех произвольных постоянных. Показано, что можно выделить на -чальную связность, которая будет общей для этих подгрупп. Изучены тензоры кривизны аффинных связностей, допускающие вышеуказанные подгруппы. Выделяются базисные тензоры аффинной деформации. Изучается геометрический смысл этих аффинных связностей биакси -ального пространства.

В § б рассматриваются аффинные связности биаксиального пространства, допускающие трехчленную подгруппу { г/ij гг?} группы движений этого пространства, переводящую в себя действи -тельный сфероид и одну из ее прямолинейных образующих. Эти аффинные связности биаксиального пространства зависят от восемнадцати произвольных постоянных. Выделены начальная связность, базисные тензоры аффинной деформации и изучен их геометрический смысл.

В § 7 рассматриваются аффинные связности биаксиального про -странства, допускающие подгруппу / Uz: UsJ группы движений tf* этого пространства. Показывается, что эти связности зависят от восемнадцати произвольных постоянных.

В § 8 рассматриваются аффинные связности биаксиального про -странства, допускающие подгруппу {Ui't группы движений этого пространства, переводящую в себя пару особых прямых. Эти связности Бз зависят от восемнадцати произвольных постоянных. Выделяются начальная связность, базисные тензоры и выясняется их геометрический смысл.

Таким образом, в первой главе изучены аффинные связности,согласованные со структурой биаксиального пространства Бз • Выяс ~ нен геометрический смысл этих аффинных связностей.

Во второй главе диссертации изучается проектируемость найденных аффинных связностей, согласованных со структурой биаксиально- • го пространства эллиптического типа 65 на базу ги .

В § I даются необходимые сведения: I) вводится понятие расслоенного пространства Бз(ГЦ,"ЗС) ; 2) напоминаются исследо -вания отечественных и зарубежных геометров о проектируемоети аффинных связностей и тензорных полей на дифференцируемом расслоении с заданной инфинитезимальной связностью Q- ; 3) показывается возможность применения этих понятий для аффинных связностей расслоенного пространства E5a(T72j3t) ; 4) находится отображение проекции; 5) приводятся операторы шестичленной группы преобразования Мёбиуса в ГТа , порожденные операторами группы Ъб биак -спального пространства.

В § 2 рассматривается проектирование аффинных связностей биаксиального пространства, допускающих трехчленные и четырех -членные подгруппы группы движений этого пространства, переводя -щие в себя действительный сфероид. Проектирование аффинных связностей из пространства Бз на Па , допускающие эти подгруппы, вводится с помощью распределения горизонтальных площадок, опре -деляемых циклическим комплексом, присоединением к действительному сфероиду.

В § 3 рассматривается проектирование аффинных связностей биаксиального пространства, допускающих трехчленные и четырех -членные подгруппы группы движений этого пространства, переводя -щие в себя мнимый сфероид. Проектирование этих аффинных связно -стей из пространства Бз на Пг вводится с помощью распределения горизонтальных площадок, определяемых циклическим комплексом,присоединенным к мнимому сфероиду.

В параграфах 2 и 3 указан новый подход к известным конформным моделям Пуанкаре неевклидовых плоскостей.

В § 4 изучается проектирование аффинных связностей биакси -ального пространства, допускающих трехчленную подгруппу

- II

Иг) Ms; группы и четырехчленную подгруппу uZ\ ifsi У*} ГРУППЫ Движений этого пространства.

Проектирование этих аффинных связностей из Бз на П2 вводится с помощью инфинитезимальной связности Q- . Горизонтальные площадки связности G- задаются с помощью пучка плоскостей, проходящих через инвариантную особую прямую вышеуказанной подгруппы.

В § 5 рассматривается проектирование аффинных связностей биаксиального пространства, допускающих четырехчленную подгруппу {Ш&г.ЩьЩ} группы Уб , четырехчленную^,- Иг-, Us: и: пятичленную подгруппу { Иг; Кл, • Its'* группы движений ^ этого пространства, переводящие в себя особую прямую. Проектирование этих аффинных связностей из Бз на Пх вводится с помощью горизонтальных площадок, задаваемых пучком плоскостей, проходящих через указанную инвариантную особую прямую.

В § 6 рассматривается проектирование аффинных связностей биаксиального пространства, допускающих трехчленную подгруппу и,ич\ группы движений ^ этого пространства, переводящую в себя действительный сфероид и одну из его особых прямолинейных образующих. Проектирование этих аффинных связностей из Бз наПг вводится с помощью горизонтальных площадок, задаваемых пучком плоскостей, проходящих через инвариантную особую прямолинейную образующую действительного сфероида.

В § 7 изучается проектирование аффинных связностей биакси -ального пространства, допускающих трехчленную подгруппу {Иг; itsiXt} группы движений этого пространства. Проекти -рование этих аффинных связностей биаксиального пространства избз на ГЦ вводится с помощью пучка плоскостей, проходящих через ин -вариантную особую прямую подгруппы.

В § 8 рассматривается проектирование аффинных связностей биаксиального пространства, допускающих трехчленную подгруппу

Utile*; группы движений этого пространства, переводящую в себя пару особых прямых. Проектирование этих аффинных связ-ностей биаксиального пространства из Бз на Пл вводится с помощью связности £ , горизонтальные площадки которой задаются пучком плоскостей, проходящих через одну из особых инвариантных прямых подгруппы.

В § 9 изучаются геодезические линии, определяемые аффинными связностями биаксиального пространства эллиптического типа, и их проектируемоеть на базу Пл с помощью конгруэнции особых прямых. Рассматриваются различные классы проектируемых аффинных связно -стей биаксиального пространства, допускающих те или иные под группы группы движений этого пространства в качестве аффинных коллинеаций. Находятся уравнения проекций геодезических линий. Показывается, что в ряде случаев эти проекции совпадают с геодезическими спроектированной связности.

В § 10 выделены те проективно-евклидовы связности из найденных аффинных связностей.биаксиального пространства бз » У кото -рых геодезические изображаются прямыми пространства Бз . Такие проективно-евклидовы связности определяются по методу А.П.Норде -на соответствием между точками и плоскостями этого пространства. Изучен вопрос о проектируемоети выделенных специальных проектив -но-евклидовых связностей и их геодезических линий.

Автор считает своим долгом выразить сердечную признатель -ность научному руководителю профессору Александру Петровичу Широкову за постоянное внимание при выполнении работы.

Заключение диссертации по теме «Геометрия и топология», Шойимкулов, Махмудбек

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту:

1. Найдены аффинные связности без кручения биаксиального пространства эллиптического типа, допускающие различные подгруппы группы движений этого пространства в качестве аффинных колли-неаций.

2. Изучены свойства ряда найденных аффинных связностей и выяснен геометрический смысл этих связностей с точки зрения би -аксиальной геометрии.

3. Изучен вопрос о проектируемости найденных аффинных связностей биаксиального пространства Б3 на базу Па, .

Среди проектируемых связностей в расслоении 63 выделен класс связностей, геодезические которых проектируются, соответ -ственно, на геодезические спроектированной аффинной связности.

5. Выделены специальные проективно-евклидовы связности пространства Бз и изучен вопрос о проектируемости этих связностей и их геодезических линий.

- из

Ш. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шойимкулов, Махмудбек, 1984 год

1. Бархин Г.С. О подгруппах движений биаксиального прост -ранства. Уч.зап.Казанск.го.ун-та, т.Ш, кн.8, 1951, с. 105-124-.

2. Егиазарян К.М. О проектировании инвариантных связностей на главных расслоенных пространствах. Изв.вузов, Математика, №7, 1978, с.97-101.

3. Егиазарян К.М., Широков А.П. Проектирование связностей в расслоениях' и его приложения к геометрии пространства над алгебрами. Саратовск.геом.сб., Изд-во Саратовск.ун-та, вып.1У, 1979.

4. Егиазарян К.М. Спроектированные инвариантные аффинные связности. Труды геом.семин.,вып.12, Казань, Изд-во Казанск. ун-та, 1980, с.27-37.

5. Егиазарян К.М., Q -проектируемые тензорные поля на рас -слоениях. Изв.вузовМатематика, № 8, 1981, с.27-31.

6. Егоров И.П. Движения в пространствах аффинной связности. Казань, 1965.

7. Мелентьев А.И. К геометрии, определяемой группами дроб -но-линейных подстановок над алгебрами второго порядка. Сб.асп.работ. Точные науки. Математика. Казань, Изд-во Казанск.ун-та,1969, с.69-80.

8. Мигов Д.Б., Борисов А.В. Об инвариантных связностях на биаксиальном пространстве эллиптического типа. "Докл.Болгарской Академии наук", т.35, § 8, 1982, с.Ш-Ш.

9. Митов Д.Б., Борисов А.В. Об инвариантных связностях на однородных биаксиальных пространствах. "Докл.Болгарской Академии наук", т.35, § 9, 1982, с.1201-1204.

10. Норден А.П. Внутренняя геометрия поверхности пространства биаксиальной группы. ДАН СССР, 1947, т.55, с.199-202.

11. Норден А.П. Поверхности нулевой кривизны биаксиального-114 пространства. ДАН СССР, 1947, т.58, с.1597-1600.

12. Норден А.П. Пространство линейной конгруэнции. Матем. сб., 1949, т.24(66), с.429-455.

13. Норден А.П. О самосопряженных образах биаксиального пространства. Учен.зап.Казанск.ун-та, 1954, кн.114, 1$2, с.3-12.

14. Норден А.П., Симонов Ю.Б. Об одной интерпретации унитарного пространства постоянной кривизны. Изв.вузов. Математика, 1969, № 2, с.63-71.

15. Норден А.П. Связность, присоединенная к вырожденной метрике. Изв.вузов. Математика, 1970, |4, с.74-86.

16. Норден А.П. Пространство аффинной связности. 2-е изд., М., 1976.

17. Талантова Н.В., Широков А.П. Трехчленные группы дробно-линейных подстановок дуального переменного как аффинные коллинеа-ции. Труды геом.семин., вып.IX, Изд-во Казанск.ун-та, 1976, с.105-113.

18. Шапиро Я.Л. О линейных многообразиях геодезических по -лей направлений в пространстве аффинной связности. Мат.сб., т.45 (87), № 4, 1958.

19. Шапуков Б.Н. Связности на дифференцируемых расслоениях. В сб.: "Проблемы геометрии", т.15, с.60-92.

20. Широков П.А. Об одном типе симметрических пространств. Мат.сб., 1937, т.41(83):3, с.361-372.

21. Широков А.П. Классификация групп движений биаксиально -го пространства эллиптического типа. Уч.зап.Казанск.ун-та, т.123, кн.1, 1963.

22. Широков А.П. Об одной биаксиальной модели главного расслоенного пространства. Труды геом.семин., вып.З, 1968, Изд-во Казанск.ун-та.

23. Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообрази- 115 ях. В сб.: "Алгебра. Топология. Геометрия", т.II. Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР, М., 1974, с.153-207.

24. Широков А.П. О нормализадиях в проективном пространстве с заданным расслоением. Изв.вузов. Математика, 1974, № 5,с.216-221.

25. Широков А.П. Инвариантные связности без кручения в касательных расслоениях конформных плоскостей Мёбиуса. Труды геом. семин., вып.Х, Изд-во Казанек.ун-та, 1978, с.121-127.

26. Широков А.П. Геометрия касательных расслоений и прост -ранства над алгебрами. В сб.: "Проблемы геометрии", т.12, М.,1981, с.61-96.

27. Широков А.П. О связностях нормализованного проективного пространства с заданным расслоением.'У1 Прибалтийская геом. конф. Тезисы докл.Таллин, 1984.

28. MaeiuS.y- Connexion-S Lnija^ianries Ъиъ ъп JZipace Ъ1гсх-таг7псег7 "V^I „ fruit, ci. Set. AectcL. boy. Be£%.», 1964,50 >//211

29. Sio&a Mct-ziub J. Connexion* ЫмЫакЫ

30. Sett? nn ^space biecLTnOLnnien Vs-U » Rw^oomaine тЫЯ. pwez ei apf>2*n }1966 г -us*

31. Уа no K. Dsi&ciira sJi. Ft feed Spaced yyctfi

32. SternannXln -metztc . J. Ceam.31 • Уало 2zftijiCfzo.si. Ziff^enbat -m<U2<f oj jfQOiA . Koda.1. Sam .КгрАЭ,

33. Шойимкулов M. Аффинные связности, согласованные со структурой биаксиального пространства. I. Казань, Казанск.ун-т,1982, 29с. (Рукопись деп.в ВИНИТИ 23 ноябр.1982г.,№ 3776-82 деп.).

34. Шойимкулов М. Аффинные связности, согласованные со- 116 структурой биаксиального пространства, П., Казань, Казанск.ун-т, 1983, 14с.(Рукопись деп.в ВИНИТИ 28 янв.1983 , №532-83,деп.).

35. Шойимкулов М. Аффинные связности, согласованные со структурой биаксиального пространства, Ш. Казань, Казанск.ун-т, 1983,11 с.(Рукопись деп.в ВИНИТИ 16 февр.1983,й 854-83,деп.).

36. Шойимкулов М. Аффинные связности, согласованные со структурой биаксиального пространства,1У. Казань, Казанск.ун-т, 1983,12с. (Рукопись деп.в ВИНИТИ 20 мая 19832713-83,деп.).

37. Шойимкулов М. Аффинные связности, согласованные со структурой биаксиального пространства,У. Казань, Казанск.ун-т, 1983, 15с. (Рукопись деп.в ВИНИТИ I июля 1983, Р. 3566-83 ,деп.).

38. Шойимкулов М. Аффинные связности, согласованные со структурой биаксиального пространства, У1. Казань,Казанск.ун-т, 1983, 14с.(Рукопись деп.в ВИНИТИ 5 авг.19834334-83,деп.).

39. Шойимкулов М. Аффинные связности, согласованные со структурой биаксиального пространства, УЛ. Казань, Казанск.ун-т, 1983, 17с. (Рукопись деп.в ВШШИ 28 окт.1983, № 5872-83 ,деп.).

40. Шойимкулов М. Проектирование аффинных связностей, согласованных со структурой биаксиального пространства. Казань, Казанск.ун-т, 1984, 26с. (Рукопись деп.в ВИНИТИ 28 марта 1984,1. Ш 1704-84, деп.).

41. Шойимкулов М. О связностях, согласованных со структу -рой биаксиального пространства. У1 Прибалтийская геом.конф.,те -зисы докл., Таллин, 1984.

42. Шойимкулов М. О геодезических аффинных связностях, согласованных со структурой биаксиального пространства. Казань, Казанск.ун-т, 1984, 17 с. (Рукопись деп.в ВИНИТИ 31 июля 1984,5566-84,деп.).