Аффинная симметрия и проблемы механики ориентируемых жидкостей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор физико-математических наук Голубятников, Александр Николаевич

• Голубятников, Александр Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Голубятников, Александр Николаевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. КИНЕМАТИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ

1.1. Подгруппы Ли группы Лоренца

1.2. Тензорные инварианты подгрупп группы Лоренца

1.3. Псевдотензорные инварианты

1.4. Подгруппы группы Галилея

1.5. Кинематические симметрии простых жидкостей

2. МАТЕРИАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

2.1. Непрерывные подгруппы линейной унимодулярнои группы

2.2. Связные подгруппы полной линейной группы

2.3. Линейные группы симметрии с конечным числом связных компонент

2.4. Инвариантные тензоры, определяющие подгруппы

2.5. Материальная симметрия поверхностного натяжения

3. АНИЗОТРОПНЫЕ ЖИДКОСТИ

3.1. Структура, основные свойства и статика жидких кристаллов

3.2. Гидродинамика и оптические свойства жидких кристаллов

3.3. Равновесие капли нематического жидкого кристалла

3.4. Устойчивость сплошных сред с высокой материальной симметрией----

3.5. Устойчивость поверхностных сред

3.6. Анизотропно жесткие среды

4. ПОВЕРХНОСТНЫЕ СВОЙСТВА МАГНИТНЫХ ЖИДКОСТЕЙ

4.1. Поверхностное натяжение намагничивающихся сред

4.2. Равновесие капли магнитной жидкости

4.3. Движение пузырька в магнитной жидкости

4.4. Аномальность магнитокапиллярных свойств магнитных жидкостей

4.5. Распространение капиллярных волн малой амплитуды

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аффинная симметрия и проблемы механики ориентируемых жидкостей»

ВВЕДЕНИЕ

При построении математических моделей механики сплошной среды и теории поля /88, 89, 91/ широко используются алгебраические свойства симметрии, основанные на понятии инвариантности моделей исследуемых физических объектов и процессов относительно различных групп преобразований. Основными задачами теории симметрии являются:

1) построение моделей, инвариантных относительно данной группы симметрии, что обычно связано с выводом инвариантной системы уравнений, конечных, дифференциальных или интегро-дифференциальных, удовлетворяющих определенным законам механики и физики. Группа симметрии модели, в свою очередь, также должна определяться на основании имеющегося в данной области науки экспериментального материала или, во всяком случае, прямо или косвенно ему не противоречить. С наличием группы симметрии связываются многие важные свойства модели, в частности, это может быть определенный тип уравнений или наличие законов сохранения, связанных с дивергентными формами уравнений, возможностями их частичного интегрирования или оценок решений.

2) математическое исследование инвариантности данной модели или класса моделей относительно преобразований, вообще говоря, функциональных, переводящих решение в решение при соответствующих заменах дополнительных условий, а также отыскание инвариантно-групповых решений, что связано с классификацией подгрупп полученной группы симметрии, нахождением их инвариантов и построением упрощенных систем уравнений - подмоделей /81, 82, 83, 59/. При этом полное множество преобразований симметрии часто оказывается шире первоначально заданной группы симметрии модели.

В механике сплошной среды, в которой обычно роль основного параметра механического состояния среды играет дисторсия представляющая собой производные, например, от лагранжевых переменных а = 1,2,3, по эйлеровым координатам материальных точек и времени х\ г = 1,2,3,4, различают две группы симметрии модели - группы кинематической и материальной симметрий.

Группа кинематической симметрии представляет собой множество преобразований переменных хг и ее структура зависит от геометрии пространства-времени и воздействия внешних полей, нарушающих симметрию. Максимальными здесь являются следующие группы: в ньютоновской механике - группа Галилея Г, в специальной теории относительности - группа Лоренца Ь (с учетом сдвигов - группа Пуанкаре), в

общей теории относительности - множество всех гладких невырожденных преобразований четырех переменных.

Наибольшей группой материальной симметрии, определенной, например, как группа симметрии плотности внутренней энергии £ - функции от , является множество всех гладких невырожденных преобразований трех переменных Ее подгруппами являются группы линейных преобразований: ОЬз и более узкая ±5Хз, оставляющая инвариантной плотность среды р и, следовательно, играющая определяющую роль в механике изотропных жидкостей и газов. В теории деформируемых твердых тел максимальной группой материальной точечной (без сдвигов) симметрии принято считать ортогональную группу Оз.

При конструировании моделей сред и полей значительную роль играет классификация допустимых подгрупп одной из максимальных групп симметрии, что связано с описанием всех возможных нарушений симметрии. Ясно, что решение задач сразу в наиболее несимметричной модели сильно усложняет математические методы, часто эффективно использующие при решении свойства симметрии модели в целом. Знание всех подгрупп позволяет постепенно подойти к сильно несимметричным моделям, например, используя малые параметры и асимптотические методы /69/.

Общий подход к исследованию такой иерархии моделей сплошных сред намечается в представленной диссертации путем проведения полных классификаций подгрупп Ли группы кинематической симметрии Ь и группы материальной симметрии ±.5'Ь3 с конечным числом связных компонент, а также описания их инвариантов, входящих в уравнения состояния простых (без производных от и внутренних степеней свободы как дополнительных определяющих параметров) сплошных сред. Дана также классификация связных подгрупп группы ОЬ3 и их инвариантов.

Рассмотрение групп с конечным числом связных компонент, в первую очередь, связано с исследованием возможности задания, что не обязательно, группы симметрии с помощью набора инвариантных тензоров, определяющих анизотропию среды или пространства-времени, что типично для построения моделей механики, во всяком случае, с ортогональными группами материальной симметрии. Группа симметрии любого конечного набора тензоров, как алгебраическая группа /8/, имеет конечное число связных компонент.

Как показывают примеры сред с линейными уравнениями движения, требование гиперболичности системы уравнений (или устойчивости среды по Гиббсу /21, 54, 96/) существенно может сузить класс допустимых групп симметрии. Этот вопрос в общем, нелинейном, случае должен быть исследован дополнительно и содержит в себе, как возможность отсева групп симметрии, почти всегда не допускающих гиперболич-

ности уравнений, так и вывод систем неравенств, налагаемых на термодинамические функции среды и их производные, в случаях допустимых групп.

Проведем краткий обзор имевшихся здесь результатов в рамках механики сплошной среды, не касаясь приложений групп симметрии к теории решеток и теории поля.

Свойства симметрии многогранников, связанных с подгруппами группы Оз, были известны еще в древности. Подгруппы группы движений трехмерного евкли-дового пространства, локально изоморфной однородной группе Галилея, описаны А. П. Котельниковым /66, 84/. Классификация подгрупп группы магнитной симметрии Оз х 1 С Ь (с отражения времени 1) дана А. В. Шубниковым /108, 65/. Непрерывные подгруппы группы Ь найдены Г. И. Кручковичем /67/ и В. Г. Коппом /64/. В последнее время дана и классификация связных подгрупп неоднородной группы Галилея и группы Пуанкаре /102/.

Тензорные инварианты подгрупп группы Оз, как множества тензоров, задающих группу симметрии, так и построение полной алгебры тензорных инвариантов, в частности, целого рационального базиса, исследовались многими авторами (см. обзоры /92, 93, 77, 76/). Полное исследование, связанное с теорией нелинейных тензорных функций, проведено В. В. Лохиным и Л. И. Седовым /77/. Лохиным также найдены инварианты непрерывных подгрупп группы Лоренца /75/.

Подход к построению моделей сплошных сред с аффинной материальной симметрией как подгруппой группы ±5Х3 предложен Б. Д. Колеманом /111/ и К.-К. Ваном /118/, которые также описали ряд анизотропных жидких сред с наиболее известными подгруппами. Согласно этой классификации среды с подгруппами группы материальной симметрии Оз относятся к твердым телам.

При построении всего множества тензорных инвариантов групп, заданных некоторой системой инвариантных тензоров, существенную роль играет ряд общих теорем /85, 86/.

В первой главе диссертации рассматриваются вопросы кинематической симметрии. Путем присоединения дискретных элементов к известным связным подгруппам дана классификация (с точностью до сопряженности) подгрупп группы Лоренца с конечным числом связных компонент. Анализ проводится в рамках спинорного представления группы Ь. Всего здесь с точностью до сопряженности и с учетом конечных подгрупп, сопряженных подгруппам группы Оз х 1, получаем 207 различных типов подгрупп, 76 из которых представлены сериями, зависящими от натурального числа га, и еще 10 - от га и положительного числа к, остальные - одиночные.

На основании этой классификации для каждой подгруппы строится алгебра тензорных инвариантов. Указаны системы образующих тензоров, из которых каждый инвариантный тензор получается операциями тензорной алгебры и свертками с метрическим тензором g пространства Минковского. Таким образом, всего получается 120 типов тензорных алгебр, 45 из которых представляют собой серии, параметризованные натуральным числом п, остальные - одиночные. На этом пути также могут быть построены и алгебры спинтензорных инвариантов /22, 23/.

В некоторых физических проблемах, связанных с действием магнитного поля имеет смысл введения величин, которые кроме тензорного закона преобразования дополнительно меняют знак при отражении времени /92/. Эти величины будем называть псевдотензорами. С помощью задания псевдотензорных инвариантов можно существенно расширить описание подгрупп группы Лоренца, которые нельзя выделить инвариантными тензорами /10/. В частности, таким образом выделяется связная компонента единицы группы Лоренца

Рассматривается действие подгрупп группы Лоренца на множестве всех псевдотензоров, получаемом из алгебры тензоров добавлением, с коммутативным умножением, псевдоскаляра П. Итак, получается еще 49 типов псевдотензорных алгебр, среди которых имеется 24 серии с натуральным параметром п, остальные - одиночные.

Проводится сравнение полученных результатов для подгрупп группы Лоренца с группами преобразований пространства-времени в рамках ньтоновской механики. Существенным обстоятельством здесь является отсутствие невырожденного фундаментального тензора типа g, позволяющего отождествлять четырехмерные тензоры с контравариантными и ковариантными компонентами. Указаны системы инвариантных тензоров, задающих связные подгруппы группы Галилея.

Дано приложение теории кинематической симметрии к простым идеальным жидкостям, подверженным возможному нарушению кинематической симметрии, как средам, инвариантным относительно группы материальной симметрии БЬ3 и одной из связных подгрупп группы Лоренца. Обсуждаются вопросы наличия законов сохранения, связанных с материальной симметрией, и структура канонической формы тензора энергии-импульса. Показано, что именно в силу инвариантности плотности внутренней энергии относительно группы БЬз всегда имеется закон сохранения некоторой обобщенной завихренности, а при ее отсутствии - обобщенный интеграл Коши-Лагранжа.

Во второй главе исследуются вопросы материальной симметрии. Дана полная классификация связных подгрупп группы 5Х3. Классификация проводится стандарт-

ными методами теории алгебр Ли, начиная с канонических типов матриц с нулевым следом, отвечающих одномерным алгебрам, путем последующего увеличения размерности. Группы восстанавливаются с помощью действия матричной экспоненты. Проводится отбор несопряженных подгрупп. Имеется всего 40 типов связных подгрупп, среди которых есть 8 непрерывных однопараметрических серий.

Для каждой подгруппы путем решения соответствующей системы дифференциальных уравнений в частных производных найдены множества инвариантов в шестимерном пространстве симметричных тензоров второго ранга. Тем самым в каждом случае определяется общий вид внутренней энергии среды (без нарушения кинематической симметрии) как функции компонент трехмерного метрического тензора многообразия мировых линий q (в ньютоновской механике - обычного метрического тензора подпространства постоянного абсолютного времени). Показано, что для подгрупп размерности 5 и выше эти инварианты могут совпадать.

Связные подгруппы группы з строятся с помощью присоединения путем известного приема /81/ одномерной группы растяжений В к уже известным подгруппам группы 5Х3, все элементы которых коммутируют с Б. Таким образом, получается всего 99 типов подгрупп, среди которых 23 однопараметрических и 19 двупараметри-ческих непрерывных серий, остальные - одиночные подгруппы.

Вычисляются инварианты подгрупп группы Сг.£3, как функций компонент тензора q, что можно уже сделать алгебраическими методами.

Путем присоединения дискретных элементов к связным подгруппам группы Б Ьз дана классификация подгрупп группы ±5Хз (с определителем, равным ±1) с конечным числом связных компонент. Всего с учетом конечных подгрупп получается 3 серии подгрупп с одним непрерывным и одним натуральным параметрами, 64 серии с непрерывным параметром, 42 серии с натуральным и 371 отдельную подгруппу. Итого 480 типов групп.

Намечен подход к добавлению дискретных элементов к подгруппам группы ОЬз. Проведено наиболее громоздкое описание однопараметрических подгрупп с конечным числом связных компонент.

Добавление дискретных элементов, конечно, существенно не меняет общий вид внутренней энергии, приводя лишь к свойствам типа четности или периодичности, но в конкретных моделях, например при полиномиальной зависимости от q, может существенно уменьшить число ненулевых коэффициентов.

Построены системы инвариантных тензоров, задающих связные подгруппы группы ±¿'¿3, а также те "ключевые" группы, содержащие и дискретные элементы, из которых все остальные подгруппы группы с конечным числом связных ком-

понент получаются постепенным удвоением числа элементов. Тензорные инварианты, задающие остальные подгруппы, в принципе, достаточно легко строятся из указанных систем тензоров с использованием трехмерного тензора Леви-Чивита.

Полные алгебры тензорных инвариантов всех подгрупп группы ±ЗЬ3 можно построить методами, развитыми в главе 1 для подгрупп группы Лоренца.

В связи с приложениями к теории анизотропного поверхностного натяжения проводится полная классификация подгрупп Ли группы вещественных линейных двумерных преобразований 0Ь2, имеющих конечное число связных компонент. Все указанные группы, конечно, содержатся в группе бг£з, классификация подгрупп которой дана выше. Однако в силу громоздкости их отбора проще провести классификацию заново с точности до сопряженности в группе СЬ?, используя применявшиеся ранее приемы.

Указаны все искомые группы и их инварианты в пространстве компонент двумерных симметричных тензоров второго ранга, что отвечает определению общего вида зависимости поверхностной энергии от компонент метрического тензора поверхности. Представлены соответствующие специализации аргументов, связанные с добавлением дискретных симметрии.

В третьей главе диссертации рассматривается механика анизотропных жидкостей. Прежде всего к ним относятся органические среды, называемые жидкими кристаллами, с несферически-симметричным строением молекул, взаимодействие между которыми может приводить к наличию коллективной ориентации среды, проявляющейся в оптических, упругих и гидродинамических свойствах таких жидкостей.

В свою очередь, отдельные, например, стержнеобразные молекулы могут объединяться в слоистые структуры или, наоборот, дискообразные молекулы - в колончатые. Наличие таких состояний среды зависит от интенсивности теплового движения молекул, присутствия растворителя или внешнего электромагнитного поля. Представления о возможных здесь моделях в рамках механики сплошной среды основываются, прежде всего, на свойствах материальной симметрии таких сред.

Сюда также относятся различные суспензии с более крупными вытянутыми или сплюснутыми частицами. Проявление свойств собственной анизотропии имеют разнообразные физико-химические, биологические, медецинские и технические приложения.

Проведен обзор физических свойств жидких кристаллов, включая фазовые превращения. Подробно рассматривается модель Озеена-Франка-Лесли, описывающая поведение нематического жидкого кристалла в состоянии насыщения ориентации. Обсу-

ждаются известные примеры типичных эффектов, которые могут служить для экпе-риментального определения входящих в модель материальных параметров или демонстрируют возможности проявления физических свойств, которые могут быть использованы в приложениях.

В первых двух параграфах автору принадлежит размерный анализ возможных гидродинамических ситуаций, а также развитие термодинамики сред с внутренним моментом количества движения. В результате показано, что при развитом гидродинамическом течении, когда упругостью ориентации можно пренебречь, достаточно рассмотреть модель среды с частично (при сохранении условия насыщения ориентации) или полностью вмороженной ориентацией в движущийся континуум, что приводит к возможности эффективного приложения развитой выше теории аффинной материальной симметрии.

Отправляясь от набора таких идеальных моделей, проще подойти к пониманию динамических свойств ориентированных жидкостей и, в частности, рассмотреть влияние гидродинамики на состояние среды вблизи фазового перехода, используя, например, диссипативные релаксационные модели, включающие в схему описания лишь первые производные от вектора ориентации по времени /16, 17/.

Упругость ориентации жидкого кристалла является существенной в состоянии равновесия малых объемов или тонких слоев толщиной порядка Ю-5 см, когда его можно считать монокристаллом. Дано аналитическое и численное исследование задачи о равновесии такой достаточно малой капли нематического жидкого кристалла, взвешенной в обычной изотропной жидкости.

Решение строится путем применения приближений по двум малым параметрам, связанным со слабостью анизотропии поверхностного натяжения. Показано, как влияет на форму капли в целом положение оси легкого ориентирования, располагающейся под определенным углом к нормали к поверхности. Когда ось легкого ориентирования близка к нормали, капля преимущественно сплющивается; в случаях, когда ось близка к поверхности - вытягивается вдоль оси симметрии. Показано, что при промежуточных углах поверхностной ориентации на полюсах капли имеются конические пики.

В связи с многообразием возможностей построения моделей сплошных сред, обладающих одной из приведенных во второй главе групп материальной симметрии в рамках ньютоновской механики проводится отбор симметрий, допускающих гиперболичность уравнений движения, при условии вмороженности анизотропии. Результаты могут быть распространены и на упоминавшиеся выше релаксационные модели, не меняющие главных членов уравнений. Рассматриваются случаи высокой материальной симметрии, отвечающей четырехпараметрическим и выше подгруппам группы БЬ3.

Путем проведения анализа, связанного с явным вычислением и исследованием так называемой энергетической формы, в данном случае биквадратной функции двух трехмерных векторов, показано, что устойчивыми могут быть только фактически наблюдающиеся в природе среды: чисто изотропная жидкость (группа симметрии ЯЬ3) и две среды с пятипараметрическим группами симметрии, соответствующие нитевидным и слоистым анизотропным средам (группы инвариантности вектора и ковектора). В этих случаях должны еще быть наложены определенные неравенства на вид внутренней энергии.

Исследованы вопросы устойчивости сред с высокой материальной симметрией и в рамках теории относительности. При этом также может быть выставлено дополнительное условие, связанное с ограниченностью скорости движения среды скоростью света. Результаты по допустимым группам симметрий аналогичны. Выведены достаточные условия гиперболичности уравнений движения.

Подобной анализ проводится и для безинерционных "поверхностных сред", характеризующих структуру поверхностного натяжения. Здесь исследуются материальные симметрии, отвечающие однопараметрическим и выше группам симметрии. Поверхностная среда предполагается находящейся на границе раздела двух идеальных несжимаемых жидкостей. Краевые условия, рассматриваемые как система уравнений для определения деформированного состояния поверхности, предполагаются эллиптическими.

В этом случае исследование сводится к изучению положительной определенности биквадратичной формы от одного трехмерного и одного двумерного векторов. Показано, что устойчивыми (в этом смысле) могут быть только изотропные жидкие (группа ЗЬ2) или упругие (группа Я02) пленки, а также жидкокристаллические с группой симметрии вектора. Получены критерии эллиптичности.

В этих трех случаях рассматриваются поверхностные волны малой амплитуды, распространяющиеся в однородном гравитационном поле. Выведенные условия эллиптичности обеспечивают устойчивость равновесной формы поверхности при направлении силы тяжести в сторону более плотной среды. Получены и исследованы дисперсионные соотношения.

Описывается класс анизотропно жестких моделей механики сплошной среды, промежуточных между абсолютно твердым телом и несжимаемой жидкостью. На основании классификации непрерывных групп материальной симметрии, сохраняющих объем, явно указаны все возможные типы инвариантных скалярных связей, составленных из сопутствующих компонент метрического тензора. Тензор напряжений определяется наличием соответствующих множителей Лагранжа, частично внутрен-

— и

ней энергией и видом функции диссипации. Группа симметрии в данной точке играет роль множества допустимых аффинных деформаций.

Случай трех и более условий жесткости является кинематически определимым. Анализ, проведенный для стационарных плоских течений сред с однопараметрическим подгруппами группы БЬг как группами материальных симметрий, показывает, что отделяющиеся в этом случае уравнения связей могут иметь разрывные решения. Исследованы допустимые кинематические условия на разрывах.

Решена задача об обтекании кругового препятствия анизотропно жесткой несжимаемой средой с группой симметрии вектора, которую можно себе представить состоящей из нерастяжимых нитей. Решение сводится к решению одного уравнения первого порядка, известного в теории сыпучих сред. При это образуется симметричная картина уходящих вперед и назад сильных разрывов. Характерной особенности данной модели является появление на боковых сторонах препятствия точек бесконечного напряжения, связанного с его обжатием движущейся средой.

В четвертой главе экспериментально и теоретически исследуется вопрос влияния магнитного поля на поверхностное натяжения границы раздела намагничивающихся сред, в частности, магнитных жидкостей. Магнитные жидкости представляют собой коллоидные растворы ферромагнитных частиц размером порядка 10_6 см, покрытых поверхностно-активной оболочкой, препятствующей образованию более крупных агрегатов и последующему расслоению раствора.

Построена модель, в которой наряду с объемным магнитным моментом среды вводится магнитный момент единицы площади поверхности раздела. Получены соотношения, определяющие зависимость поверхностной намагниченности и тензора поверхностных натяжений от магнитного поля.

Для проверки степени соответствия модели и опыта проведена серия экспериментов по равновесию и колебаниям капли магнитной жидкости в переменном магнитном поле. Данные измерений обработаны на основе решения в рамках построенной модели методом эффективного эллипсоида задачи о поведении малой тяжелой капли в неоднородном поле. Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что построенная модель правильно отражает существо исследуемого явления, и получить численные значения новых, введенных теоретически, материальных параметров, имеющих размерность длины. Полученные значения имеют порядок Ю-4 см, что указывает на характерный размер структурирования приповерхностного слоя магнитной жидкости.

В результате установлено, что поверхностное натяжение магнитной жидко-

сти (на границе с немагнитной) проявляет анизотропные магнитные свойства: диамагнитные по нормали и парамагнитные в касательном направлении к поверхности, причем при полях порядка 100 Э поверхностное действие магнитного поля сравнимо с молекулярным поверхностным взаимодействием. Подтверждение наличия указанного магнитокапиллярного эффекта имеется в работах /110, 57/.

Выведены также уравнения движения газового пузырька в магнитной жидкости. Показано, что учет влияния магнитного поля на поверхностное натяжение может привести к существенному изменению характера движения пузырьков достаточно малых размеров (порядка Ю-3 см).

Рассматривается ряд задач гидромеханики магнитных жидкостей со свободной поверхностью с учетом зависимости поверхностного натяжения от магнитного поля, допускающей отрицательные значения эффективных коэффициентов поверхностного натяжения. Решаются плоская и осесимметричная статические задачи о форме поверхности жидкости в гравитационном и поперечном горизонтальном магнитном полях. Указан случай появления резонансов формы поверхности.

Исследуются дисперсионные свойства поверхностных волн малой амплитуды в постоянном магнитном поле. Отмечена возможность появления неустойчивости типа Рэлея - Тейлора за счет изменения направления действия поверхностного натяжения. В свете предложенной теории дано простое объяснение механизма лабиринтной неустойчивости.

Работы автора по теме диссертации представлены в списке литературы.

1. кинематическая симметрия.

1.1. Подгруппы Ли группы Лоренца.

Рассмотрим группу Лоренца Ь линейных преобразований переменных хг (г = 1, 2,3,4), которые оставляют инвариантной квадратичную форму (х4)2 — (ж1)2 — (ж2)2 — (ж3)2. Инфинитезимальные операторы алгебры Ли ее связной компоненты единицы, называемой собственной группой Лоренца Ьо, имеют вид

Х1 = х2д3 - х3д2, Х2 = х3д1-х1д3, Х3 = х1д2-х2д1,

Х4 = х1дА + х4ди Х5 = х2д4 + х4д2, Х6 = хгд4 + х4д3, (1.1.1)

где д{ = д/дхг.

Для изучения подгрупп группы Ь удобно использовать ее спинорное представление группой Б матриц вида

а 0\ / 0 а \ / 0 а\ / а 0 \ ,

о (в0]' и о]' (о-*]' (и'2)

где группе Ьо ставится в соответствие группа комплексных унимодулярных матриц второго порядка а (с^ а = 1) по закону

, „ / х4 + х3 х1 + гх2 \

с = аса , с= . (1.1.3)

\ ж — гх1 х — х )

Здесь черта означает комплексное сопряжение, звездочка - эрмитово (комплексное сопряжение элементов с транспонированием). При этом полному отражению 2 (в обозначениях А. В. Шубникова /108/) пространственных координат ха (а = 1,2,3) и отражению 1 временной координаты х4 соответствуют матрицы

Ч:;)- -С.:)- ^

Так как это представление двузначно, то будем рассматривать только подгруппы группы Б, содержащие матрицы ±е (е - единичная матрица), соответствующие подгруппам группы Ь.

В силу структуры группы Б все конечные подгруппы группы Ь сопряжены в ней конечным подгруппам ее ортогональной подгруппы О, содержащей ортогональные

преобразования переменных ха и отражение ж4, которые известны как группы магнитной симметрии /92/. При этом преобразование сопряжения и, с помощью которого матрицы ак элементов Шк конечной подгруппы порядка г приводятся к унитарному виду (а-1 = а*), отвечающему подгруппе О, определяется соотношением /80/

и может быть выбрано принадлежащим связной компоненте единицы группы 5", что соответствует собственному преобразованию Лоренца из Ьо.

Спинорные преобразования, отвечающие собственным элементам группы О (без отражений), имеют вид

где х - угол поворота вокруг единичного вектора (р, г).

Классификация вещественных подалгебр Ли алгебры Ли группы Лоренца Ь известна /67, 64/. По ним, применяя матричную экспоненту, нетрудно восстановить все с точностью до сопряженности в группе Ь ее связные подгруппы, двумерное спинор-ное представление которых приведено в таблице 1.1.1. В таблице указаны размерность группы, ее порядковый номер, базис алгебры Ли, а также соответствующие матрицы а. Здесь - комплексные числа, ф - вещественное, к > 0 - параметр серии

подгрупп.

Так как связная компонента единицы Со всякой группы Ли С является ее инвариантной подгруппой /107/, то для отыскания подгрупп Ли группы Ь размерности большей нуля с конечным числом связных компонент можно сначала вычислить в рамках ее спинорного представления нормализаторы N (ЬаЬ'1 = аа, а' Е Со, Ъ 6 АО указанных выше связных подгрупп в группе Ь. Сама группа Ь является нормализатором для Ь0.

Исследование показывает, что все найденные нормализаторы N для каждой из своих подгрупп (7, содержащих Со в качестве связной компоненты единицы и имеющих конечное число связных компонент, позволяют выбрать представителей смежных классов по Со так, что чтобы они образовывали конечную группу, изоморфную факторгруппе С/Со. Поэтому для классификации с точностью до сопряженности в Ь подгрупп группы Ь с конечным числом связных компонент достаточно при фиксированной группе Со перечислить для соответствующего N все не сопряженные в нем его конечные подгруппы, пересечение которых с Со равно единице группы (в спинорном

*

V V =

(1.1.5)

¡л = сое х/2 — гг 8ш х/2, V = ~{гр + д) эт х/2,

(1.1.6)

представлении ±е). Все они будут давать различные не сопряженные в Ь группы с конечной числом связных компонент.

Учитывая полученные результаты и явный вид матриц конечных групп в спи-норном представлении, укажем также максимальные конечные факторгруппы С/Со (или их компактные надгруппы, содержащие непрерывную группу поворотов оо вокруг оси ж3, таблица 1.1.1), несопряженные подгруппы которых и являются искомыми. Ниже использованы следующие обозначения образующих конечных групп: п означает поворот вокруг оси ж3 на угол 27г/п(п - натуральное число), 1:2- поворот вокруг оси х2 на 7г, 1 : 2' - вокруг оси жх на 7г; 1 : га - отражение Жз, 1 • т - ж2, 1 • т' - 2п - зеркальный поворот на угол 7г/п, черта снизу - отражение ж4. Нумерация связных групп Со соответствует таблице 1.1.1 (размерность, номер).

Итак, для связных групп Сзд, С3.3, С4.1, Сбл имеем следующие конечные факторгруппы:

1,1 :2,2,1-т,2-га, (1.1.7)

для Сз.4, С2.3 -

для сз.5 -

для С3.2, С2.1, Сы

п,п : 2,2п,п : т,п • т,т ■ п : т, (1.1.8)

п,2п,п : т, (1.1.9)

1,1,1 : 2,1 : 2,1:2,2,2,2 х 2,1 - га, 1 - га, Ьт,

2-т,2-т,2-т,2-т,2-т х 1, (1.1.10)

для С1.4, С2.2 -

1,1,1 : 2,2,2 : 2,1 : т, 2 : га, 1 • т, 2 • т, ш • 1 : т,т -2 : т,

2 • т, 1 : 2', 1 • т', т' • 1 :т,2-т', (1.1.11)

для С1.2 -

п, 2п, п х I, п : 2, п : 2,2п : 2, п : 2 х 1,2п, 2п, 2п х 1,п : т, п : т,2п '■

2п : т, п : т х п • т, п • т, 2п • т, п • т х 1, т • п : т, т • п : т, Ш • п : т, т • п : т, т • 2га : т, т • 2п : т. т • п : т х 1.

2п • т,2п • т,2п • т, 2п ■ т, 2п • т х 1, (1.1.12)

Приведем также список конечных подгрупп группы I/, необходимых для вычисления инвариантов. Косая черта указывает неперпендикулярность осей соответствующих порядков, характерную для групп симметрии правильных многогранников. Так, символы 3/2, 3/4, 3/5 означают группы собственных вращений соответственно тетраэдра, октаэдра и икосаэдра. Имеются следующие группы:

га, 2га, га х 1, га : 2, га : 2,2га : 2, га : 2 х 1,2га, 2га, 2га х 1, га : т, га : т, 2га : т, 2га : га.

га : т х 1, га • га, га • га, 2га • га, п ■ т X 1, га • га : га, т • га : га, т • га : т, га • га : га, га • 2га : т, га • 2га : га, т • га : га х 1,2га • га, 2га • т, 2га • га, 2га • т, 2га • га х 1, 3/2,3/2 х 1,6/2,6/2,6/2 х 1,3/4,3/4,3/4 х 1,3/4,3/4,3/4 х 1,

6/4, б/4,6/4,6/4,6/4 х 1,3/5,3/5 х 1,3/10,3/10,3/10 х 1. (1.1.14)

Предложение 1. Всякая подгруппа Ли группы Лоренца с конечным числом связных компонент сопряжена в ней одной из указанных выше групп Ли.

Таким образом, учитывая конечные подгруппы группы X, получаем всего 207 различных типов таких подгрупп, 76 из которых представлены сериями, зависящими от натурального числа га, и еще 10 - от га и положительного числа к.

(Ит № Алгебра Ли Представление тах Сг/£то

1 1 (::)• И = 1 2 • т х 1

2 (о 1/®)' 1тх = 0 Го'00:тх1

3 Хз + кХв и 1/*/' ж = т • оо : т

4 Х\ — Х-1 1т у — 0 т - 2 : т

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Голубятников, Александр Николаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Дана полная классификация подгрупп группы кинематических преобразований Лоренца с конечным числом связных компонент.

2. Дано полное описание алгебр тензорных инвариантов всех подгрупп группы Лоренца.

3. Дана полное описание алгебр псевдотензорных инвариантов (включающих величины, меняющие знак при отражении времени) всех подгрупп группы Лоренца.

4. Указаны системы инвариантных тензоров, задающих связные подгруппы группы Галилея.

5. Дано описание всех возможных нарушений кинематической симметрии, инвариантных относительно связных подгрупп группы Лоренца, в моделях простых идеальных изотропных жидкостей.

6. Дана полная классификация связных подгрупп группы преобразований материальной симметрии сохраняющей объем.

7. Вычислены инварианты всех связных подгрупп группы как функции сопутствующих компонент метрического тензора многообразия мировых линий.

8. Дана полная классификация связных подгрупп полной линейной группы

9. Определены метрические инварианты всех связных подгрупп полной линейной группы (т£з.

9. Дана полная классификация подгрупп группы ¿'Ь3 с конечным числом связных компонент.

10. Дана классификация однопараметрических подгрупп группы ОЬ3 с конечным числом связных компонент.

11. Построены системы инвариантных тензоров, задающих связные подгруппы группы (с определителем, равным ±1), а также те подгруппы, из которых все остальные (с конечным числом связных компонент) строятся постепенным удвоением числа элементов.

12. В связи с приложениями к теории поверхностного натяжения проведена полная классификация подгрупп группы ОЬ2, имеющих конечное число связных компонент.

13. Для всех связных подгрупп группы ОЬ2 указаны инварианты как функции компонент двумерных симметричных тензоров второго ранга. Представлены соответствующие специализации аргументов, связанные с добавлением дискретных симметрий.

14. В случае простых идеальных сред показано, что при наличии вариационной формулировки уравнений движения и инвариантности лагранжиана относительно группы 5Хз, причем при любом нарушении кинематической симметрии, всегда имеется закон сохранения некоторой обобщенной завихренности, а при ее отсутствии -обобщенный интеграл Коши-Лагранжа.

15. Проведен вывод определяющих соотношений модели нематического жидкого кристалла в рамках термодинамики сред с внутренним моментом количества движения.

16. В рамках модели нематического жидкого кристалла (с использованием типичных значений физических параметров) проведен размерный анализ возможных гидродинамических ситуаций. Показано, что при развитом гидродинамическом течении достаточно рассмотреть модель среды с ориентацией, вмороженной в движущийся континуум.

17. В рамках модели Озеена дано решение задачи о равновесии капли нематического жидкого кристалла, взвешенной в обычной изотропной жидкости, использующее наличие малых безразмерных параметров, связанных со слабостью анизотропии поверхностного натяжения. Показано, что при почти всех положениях поверхностной оси легкого ориентирования на полюсах капли имеются конические пики.

18. В рамках теории простых сред проведен отбор материальных симметрий, допускающих гиперболичность уравнений движения, при условии вмороженности анизотропии. Рассматрены случаи высокой симметрии, отвечающей четырехпараметри-ческим и выше подгруппам группы Б'Ь3. Показано, что допустимыми могут быть только изотропная жидкость (группа симметрии 5Хз) и две среды с пятипараметриче-скими группами симметрии, соответствующие нитевидным и слоистым анизотропным жидкостям (группы инвариантности вектора и ковектора).

19. В рамках теории относительности указаны достаточные условия гиперболичности уравнений движения сред с высокой материальной симметрией.

20. Проведен отбор однопараметрических (и выше) подгрупп группы материальных симметрий Для простых поверхностных сред, связанный с эллиптичностью системы краевых условий на поверхности раздела идеальных несжимаемых изотропных жидкостей. Показано, что допустимыми могут быть только изотропные жидкие (группа 51/2) или упругие (группа Б02), а также жидкокристаллические пленки с группой симметрии вектора. Получены критерии эллиптичности.

21. Выведены и исследованы дисперсионные соотношения для распространения волн малой амплитуды на плоской поверхности тяжелой жидкости во всех трех случаях допустимых симметрии поверхностного натяжения.

22. Дана групповая классификация анизотропно жестких моделей механики сплошной среды, промежуточных между абсолютно твердым телом и несжимаемой жидкостью с явным указанием всех возможных видов инвариантных скалярных связей, составленных из сопутствующих компонент метрического тензора.

23. Решена кинематически-определимая задача об обтекании кругового препятствия анизотропно жесткой несжимаемой средой с группой симметрии вектора, которую можно себе представить состоящей из нерастяжимых нитей. При это образуется симметричная картина уходящих вперед и назад сильных разрывов.

24. Построена модель поверхностного натяжения магнитной жидкости, в которой вводится магнитный момент единицы площади поверхности раздела. Получены соотношения, определяющие зависимость тензора поверхностных натяжений от магнитного поля.

25. В рамках построенной модели методом эффективного эллипсоида решена задача о равновесии малой тяжелой капли магнитной жидкости в неоднородном магнитном поле.

26. Проведена серия экспериментов по равновесию капли магнитной жидкости, получены численные значения новых материальных параметров. Установлено, что поверхностное натяжение магнитной жидкости (на границе с немагнитной) проявляет анизотропные магнитные свойства: диамагнитные по нормали и парамагнитные в касательном направлении к поверхности, причем при полях порядка 100 Э поверхностное действие магнитного поля сравнимо с молекулярным поверхностным взаимодействием.

27. Выведены уравнения движения малого газового пузырька в магнитной жидкости. Показано, что учет влияния магнитного поля на поверхностное натяжение может привести к существенному изменению характера движения пузырьков с размерами порядка Ю-3 см.

28. Решена плоская и осесимметричная статические задачи о форме поверхности жидкости в гравитационном и поперечном горизонтальном магнитном полях, при которых допускаются отрицательные значения эффективных коэффициентов поверхностного натяжения. Указаны случаи появления резонансов формы поверхности.

29. Исследованы дисперсионные свойства поверхностных волн малой амплитуды в постоянном магнитном поле. Отмечена возможность появления неустойчивости типа Рэлея - Тейлора за счет изменения направления действия поверхностного натяжения.

30. В рамках предложенной модели поверхностного натяжения магнитной жидкости дано простое объяснение механизма лабиринтной неустойчивости.

В заключение автор выражает глубокую признательность своему учителю и наставнику, академику Леониду Ивановичу Седову, а также проф. В. В. Гогосову и В. В. Лохину за постоянное внимание к работе, всем своим коллегам и ученикам.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Голубятников, Александр Николаевич, 1998 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Архипенко В. Н., Барков Ю. Д., Баштовой Ю. Г. Исследование формы капли намагничивающейся жидкости в однородном магнитном поле // Магнитная гидродинамика, 1978. № 3. С. 131 - 134.

2. Аэро Э. JL, Булыгин А. Н. Гидродинамика жидких кристаллов // Итоги науки и техники. Гидромеханика. Том 7. М.: ВИНИТИ, 1973. С. 106 - 213.

3. Бабкин В. А. Введение в механику волокнистых суспензий. Петрозаводск: Изд -во ПГУ, 1993. 108 с.

4. Бердичевский В. JI. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448 с.

5. Бердичевский В. Л. О нелинейных тензорных функциях в теории относительности // Прикл. матем. и механ. 1967. 31, вып. 1. С. 187 - 189.

6. Блинов Л. М. Электро - и магнитооптика жидких кристаллов. М.: Наука, 1978. 384 с.

7. Блум Э. Я., Майоров М. М., Цеберс А. О. Магнитные жидкости. Рига, Зинайтне, 1989. 387 с.

8. Борель А. Линейные алгебраические группы // Арифметические группы и ав-томорфные функции. Под ред. И. И. Пятецкого-Шапиро. М.: Мир, 1969. С. 7 -33.

9. Браун Г., Уолкен Дж. Жидкие кристаллы и биологические структуры. М.: Мир, 1982. 200 с.

10. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления. М.: ИЛ, 1947. 408 с.

11. Вит Р. де. Континуальная теория дисклинаций // Механика. Новое в зарубежной науке. Том 9. М.: Мир, 1977. 208 с.

12. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1967. 436 с.

13. Войнов О. В., Петров А. Г. Движение пузырей в жидкости // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. Том 10. М.: ВИНИТИ, 1976. С. 86 - 147.

14. Воинов О. В., Петров А. Г. Функция Лагранжа газового пузырька в неоднородном потоке // Докл. АН СССР, 1973. 210, № 5. С. 1036 -1039.

15. Вопросы магнитной гидродинамики плазмы без столкновений в сильном магнитном поле. Под ред. Г. А. Любимова, И. С. Шикина. М.: Изд-во МГУ, 1978. 168 с.

16. Галин Г. Я., Голубятников А. Н., Каменярж Я. А., Карликов В. П., Куликовский А. Г., Петров А. Г., Свешникова Е. И., Шикина И. С., Эглит М. Э. Механика сплошных сред в задачах. Том 1: Теория и задачи. Под ред. М. Э. Эглит. М.: Изд-во "Московский Лицей", 1996. 396 с.

17. Галин Г. Я., Голубятников А. Н., Каменярж Я. А., Карликов В. П., Куликовский А. Г., Петров А. Г., Свешникова Е. И., Шикина И. С., Эглит М. Э. Механика сплошных сред в задачах. Том 2: Ответы и решения. Под ред. М. Э. Эглит. М.: Изд-во "Московский Лицей", 1996. 394 с.

18. Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро 3. Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. М.: Физмагиз, 1958. 368 с.

19. Гидродинамическое взаимодействие частиц в суспензиях. Под ред. Ю. А. Буевича // Механика. Новое в зарубежной науке. Том 22. М.: Мир, 1980. 246 с.

20. Гогосов В. В., Налетова В. А., Шапошникова Г. А. Гидродинамика намагничивающихся жидкостей. // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. Том 16. М.: ВИНИТИ, 1981. С. 76 - 208.

21. Годунов С. К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978. 304 с.

22. Голубятников А. Н. Нелинейные спинорные функции // Докл. АН СССР. 1965. 165, № 2. С. 265 - 267.

23. Голубятников А. Н. Нелинейные спинорные функции и сплошная среда со спи-норными характеристиками // Международный конгресс математиков. Москва, 1966. Секция 12. Прикладная математика и математическая физика. Тезисы кратких научных сообщений. М.: Наука, 1966. С. 34.

24. Голубятников А. Н. Подгруппы Ли группы Лоренца с конечной группой компонент // Докл. АН СССР. 1969. 186, № 3. С. 503 - 505.

25. Голубятников А. Н., Лохин В. В. Тензорные инварианты подгрупп группы Лоренца // Докл. АН СССР. 1969. 187, № 2. С. 249 - 251.

26. Голубятников А. Н. Псевдотензорные инварианты подгрупп группы Лоренца // Модели и задачи механики сплошных сред. Под ред. Л. И. Седова, В. В. Лохина. Научные труды НИИ механики МГУ. Том 31. М.: Изд-во МГУ, 1974. С. 4 - 5.

27. Голубятников А. Н. Об интегральном представлении тензорных функций // Докл. АН СССР. 1974. 216, № 1. С. 24.

28. Голубятников А. Н. Непрерывные группы симметрии жидких кристаллов // Докл. АН СССР. 1978. 240, № 2. 298 - 301.

29. Голубятников А. Н. Определение магнитной восприимчивости, плотности и поверхностного натяжения магнитной жидкости // Отчет НИИ механики МГУ, № 2238. 1979. 21 с.

30. Голубятников А. Н. Плоские течения анизотропно несжимаемых материалов // Механика твердого деформируемого тела и родственные проблемы анализа. Под ред В. 3. Партона. М.: МИХМ, 1980. С. 116 - 122.

31. Голубятников А. Н. Колебания капли магнитной жидкости а переменном поле // Отчет НИИ механики МГУ, № 2438. 1980. 22 с.

32. Голубятников А. Н. Теория анизотропно жестких несжимаемых сплошных сред // 5 Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Алма-Ата, 1981. Аннотации докладов. Изд-во "Наука" Казахской ССР, 1981. С. 116 - 117.

33. Голубятников А. Н. Гидродинамика малых намагничивающихся капель // Всесоюзная конференция "Проблемы феррогидродинамики в судостроении" Николаев, 1981. Тезисы докладов. Николаев: НКИ, 1981. С. 32.

34. Голубятников А. Н. Гидродинамика тонких намагничивающихся пленок // Всесоюзная конференция "Проблемы феррогидродинамики в судостроении" Николаев, 1981. Тезисы докладов. Николаев: НКИ, 1981. С. 33.

35. Голубятников А. Н. К выводу уравнений движения деформирующейся капли магнитной жидкости //4 Всесоюзная конференция по магнитным жидкостям, 1985. Тезисы докладов. Том 1. Иваново: ИЭИ, 1985. С. 101-102.

36. Голубятников А. Н. О движении пузырька с магнитной пленкой в неоднородном поле //4 Всесоюзная конференция по магнитным жидкостям, 1985. Тезисы докладов. Том 1. Иваново: ИЭИ, 1985. С. 103-104.

37. Голубятников А. Н., Субханкулов Г. И. О поверхностном натяжении магнитной жидкости // Магнитная гидродинамика. 1986. № 1. С. 73 - 78.

38. Голубятников А. Н., Субханкулов Г. И. Поверхностные магнитные свойства магнитных жидкостей //12 Рижское совещание по магнитной гидродинамике. Том 3. Магнитные жидкости. Саласпилс, 1987. Тезисы докладов. Рига, 1987. С. 87 -90.

39. Голубятников А. Н. Обратимые процессы при наличии гистерезиса намагничивания //5 Всесоюзная конференция по магнитным жидкостям. Москва, 1988. Тезисы докладов. Том 1. М.: МГУ, 1988. С. 61 - 62.

40. Голубятников А. Н. Групповой подход к классификации и интегрированию уравнений связи в механике сплошной среды // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. 1991. № 3. С. 102.

41. Голубятников А. Н. Аффинные группы симметрии анизотропных сплошных сред //11 Российский коллоквиум "Современный групповой анализ и задачи математического моделирования" Самара, 1993. Тезисы докладов. Самара: СГУ, 1993. С. 30.

42. Голубятников А. Н. Аффинные группы симметрии анизотропных сплошных сред и их инварианты // Современный групповой анализ. Под ред. Н. X. Ибрагимова, Л. М. Берковича и др. М.: МФТИ, 1993. С. 25 - 32.

43. Голубятников А. Н. Точечные группы симметрии жидких кристаллов // Фундаментальные проблемы математики и механики. Том 1. Математика. Под ред. А. Н. Тихонова, В. А. Садовничего и др. М.: Изд-во МГУ, 1994. С. 275 - 276.

44. Голубятников А. Н., Калугин А. Г. Об устойчивости несжимаемых сплошных сред с высокой аффинной симметрией // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. 1996. № 2. С. 59 - 62.

45. Голубятников А. П., Калугин А. Г. Об устойчивости поверхности жидкости с анизотропным поверхностным натяжением / / Материалы Международной конференции и Чебышевских чтений, посвященных 175-летию со дня рождения П. Л. Чебышева. Т. 2. М.: МГУ, 1996. С. 396 - 398.

46. Голубятников А. Н. Аффинные группы симметрии сплошных сред с конечным числом связных компонент // Алгебраические и аналитические методы в теории

дифференциальных уравнений. Сборник трудов Международной конференции. Под ред. А. Г. Мешкова. Орел: Изд-во ОГУ, 1996. С. 68 - 72.

47. Голубятников А. Н. Магнитокапиллярные поверхностные волны // 7 Международная Плесская конференции по магнитным жидкостям. Плес, 1998. Тезисы докладов. Иваново: ИГЭУ, 1998. С. 95.

48. Голубятников А. Н. К определению зависимости поверхностной энергии магнитной жидкости от магнитного поля / / Физико-химические и прикладные проблемы магнитных жидкостей. Сборник научных трудов. Под ред. Ю. Н. Скибина. Ставрополь: СГУ, 1997. С. 96.

49. Голубятников А. Н. Аффинная симметрия сплошных сред // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика, 1997, № 6. С. 56 - 59.

50. Голубятников А. Н. Теория аффинной симметрии: группы, инварианты, устойчивость // Всероссийская конференция "Современные методы и достижения в механике сплошных сред". Москва, 1997. Материалы конференции. М.: МГУ, 1997. С. 27 - 28.

51. Голубятников А. Н. Об особенностях действия поверхностного натяжения магнитных жидкостей //8 Международная Плесская конференции по магнитным жидкостям. Плес, 1998. Сборник научных трудов. Иваново: ИГЭУ, 1998. С. 132 -134.

52. Голубятников А. Н. К теории аффинной симметрии поверхностного натяжения // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика, 1998, N 5. С. 61 - 63.

53. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 455 с.

54. Гринфельд М. А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. М.: Наука, 1990. 312 с.

55. Джейкок М., Парфит Дж. Химия поверхностей раздела фаз. М.: Мир, 1984. 272

с.

56. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964. 355 с.

57. Диканский Ю. И., Беджанян М. А., Борисенко О. В. Исследование поверхностного натяжения и капиллярного подъема магнитных жидкостей // Физико-химические и прикладные проблемы магнитных жидкостей. Сборник научных трудов. Под ред. Ю. Н. Скибина. Ставрополь: СГУ, 1997. С. 28-30.

58. Жен П. Ж. де. Физика жидких кристаллов. М.: Мир, 1977. 400 с.

59. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с.

60. Калугин А. Г. Об устойчивости анизотропных сплошных сред // Всероссийской конференции " Современные методы и достижения в механике сплошных сред", Москва, 1997. Материалы конференции. М.: МГУ, 1997. С. 35 - 36.

61. Калугин А. Г., Голубятников А. Н. О равновесной форме капли нематического жидкого кристалла. Труды Математического института В. А. Стеклова, 1998. Том 223. С. 81 - 87.

62. Кац Е. И., Лебедев В. В. Динамика жидких кристаллов. М.: Наука, 1988. 144 с.

63. Клапдорф-Клайнгротхаус Г. В., Штаудт А. Неускорительная физика элементарных частиц. М.: Наука, 1997. 528 с.

64. Копп В. Г. Классификация бесконечно-малых движений и их пучков в 4-мерном пространстве Лоренца // Ученые записки Казанского ун-та, 1963. Том 123, кн. 1. С. 59 - 77.

65. Копцик В. А. Шубниковские группы. М.: Изд-во МГУ, 1966. 723 с.

66. Котельников А. П. Винтовое счисление и некоторые приложения его к геометрии и механике. Казань, 1895. 215 с.

67. Кручкович Г. И. Однородные пространства общей теории относительности // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. Вып. 12. М.: Изд-во МГУ, 1963. С. 71 - 95.

68. Куликовский А. Г., Любимов А. Г. Магнитная гидродинамика. М.: Физматгиз, 1962. 246 с.

69. Куликовский А. Г., Свешникова Е. И. Нелинейные волны в упругих телах. М.: Изд-во "Московский лицей", 1998. 412 с.

70. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. 3-е изд. М.: Наука, 1986. 736 с.

71. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. 2-е изд. М.: Наука, 1982. 620 с.

72. Ле Т. X. Инвариантно-групповые свойства и интегрируемость одномерных уравнений нематических жидких кристаллов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика, 1986, № 4. С. 87 - 89.

73. Ле Т. X. О движении тел в ориентированной жидкости // ВИНИТИ. Дел. НР, 1985, 3, анн. 684.

74. Левич В. Г. Физико-химическая гидродинамика. 2-е изд. М.: Физматгиз, 1959. 699 с.

75. Лохин В. В. Симметрия и нелинейные тензорные функции в пространстве Мин-ковского // Докл. АН СССР, 1969. 186, № 3. С. 513 -515.

76. Лохин В. В. Нелинейные тензорные функции в пространстве Минковского // Научные труды НИИ механики МГУ. Том 31. М.: Изд-во МГУ, 1974. С. 6 - 66.

77. Лохин В. В., Седов Л. И. Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов // Прикл. матем. и механ. 1963. 27, вып. 3. 393 - 417.

78. Любарский Г. Я. Теория групп и ее применения в физике. М.: Физмагиз, 1958. 354 с.

79. Мелвин-Хьюз Э. А. Органическая химия. Кн. 2. М.: ИЛ, 1962. 1148 с.

80. Мурнаган Ф. Теория представлений групп. М.: ИЛ, 1950. 486 с.

81. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.

82. Овсянников Л. В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // Прикл. матем. и механ. 57, вып. 5. С. 30 - 55.

83. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989. 639 с.

84. Петров А. 3. Новые методы в общей теории относительности. М.: Наука, 1966. 496 с.

85. Рашевский П. К. О структуре тензоров, допускающих данную группу инвариантности // Докл. АН СССР, 1967. 177, № 2. С. 275 - 276.

86. Рашевский П. К. Тензоры с данной группой инвариантности и сферические функции на однородных пространствах // Труды Моск. матем. общ-ва. Том 20. Изд-во МГУ, 1969. С. 83 - 110.

87. Розенцвейг Р. Феррогидродинамика. Москва: Мир, 1989. 356 с.

88. Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. 284 с.

89. Седов Л. И. Механика сплошной среды. 5-е изд. М.: Наука, 1994. Том 1. 528 с. Том 2. 560 с.

90. Седов Л. й. Методы подобия и размерности в механике. 6-е изд. М.: Наука, 1967. 428 с.

91. Седов Л. И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред // Успехи матем. наук, 1965. 20, вып. 5. С. 121 - 180.

92. Сиротин Ю. И., Шаскольская М. П. Основы кристаллофизики. М.: Наука, 1975. 680 с.

93. Спенсер Э. Математическая теория инвариантов. М.: Мир, 1974. 156 с.

94. Сонин А. С. Введение в физику жидких кристаллов. М.: Наука, 1983. 320 с.

95. С уху Р. Магнитные тонкие пленки. М.: Мир, 1967. 424 с.

96. Схоутен Я. А. Тензорный анализ для физиков. М.: Наука, 1965. 456 с.

97. Такетоми С., Тикадзуми С. Магнитные жидкости. М.: Мир, 1993. 272 с.

98. Тактаров Н. Г. К обоснованию условий для электромагнитных величин на поверхности двумерных континуумов // Докл. АН СССР, 1985. 280, №5. С. 1079 -1083.

99. Тактаров Н. Г. О силах, действующих на намагничивающиеся и поляризующиеся среды в электоромагнитном поле // Магнитная гидродинамика. 1986. 1. С.79 -84.

100. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.

101. Трускиновский JI. М. Равновесные межфазные границы. // Докл. АН СССР, 1982. 265, № 2. С. 306 - 310.

102. Фущич В. И., Баранник Л. Ф., Баранник А. Ф. Подгрупповой анализ групп Галилея, Пуанкаре и редукция нелинейных уравнений. Киев: Наукова думка, 1991. 299 с.

103. Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам. М., 1966. 588 с.

104. Цеберс А. О., Майоров М. М. Магнитостатические неустойчивости в плоских слоях намагничивающихся жидкостей // Магнитная гидродинамика, 1980. № 1. С. 27 - 35.

105. Цеберс А. О., Майоров М. М. Гребенчатая неустойчивость в тонких слоях магнитной жидкости // Магнитная гидродинамика, 1980. № 2. С. 22 - 26.

106. Черный Г. Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. 424 с.

107. Шевалле К. Теория групп Ли. М.: ИЛ. Том 1, 1948. 316 с. Том 2, 1958. 274 с. Том 3, 1949. 307 с.

108. Шубников А. В. Симметрия и антисимметрия конечных фигур. М.: Изд-во АН СССР, 1951. 172 с.

109. Эриксен Дж. Исследования по механике сплошной среды // Механика. Новое в зарубежной науке. Том 13. М.: Мир, 1977. 248 с.

110. Carlos М, Quispe М. Influencia del campo magnético sobre la tension superficial de un liquido magnético // Bol. Soc. Quirn. Peru, 1990. V. 56 (2).

111. Coleman В. D. Simple liquid crystals // Arch. Ration. Mech. Anal. 1965. 20, № 1. 41 - 58.

112. Demus D., Demus H., Zaschke H. Flussige Kristalle in Tabellen. Leipzig: Deutscher Verl. Grundstoffindustrie, 1974. 356 p.

113. Kelker H., Hätz R. Handbook of Liquid crystals. Weinheim: Verl. Chemie, 1980. 917 P-

114. Golubiatnikov A. N. Linear Groups of Symmetries of State Equations in Continuum Relativistic Mechanics //8 International Conference "Symmetry Methods in Physics". Abstracts. Dubna: JINR, 1997. P. 44.

115. Golubiatnikov A. N. On magnetocapillary properties of magnetic fluids //8 International Conference on Magnetic Fluids. Romania, Tomisoara, 1998. Abstracts. P. 308 -309.

116. Press M. J., Arrott A. S. Theory and experiments on configurations with cylindrical symmetry in liquid - crystal droplets // Phys. Rev. Lett. 1974. 33, № 7. P. 403 - 406.

117. Sulem C., Sulem P. L., Bardos C. et al. Finite time analiticity for the two- and three-dimensional Kelvin-Helmgoltz instability // Comm. Math. Phys., 1981. 80, № 4. P. 485 - 516.

118. Wang C.-C. A general theory of subfluids // Arch. Ration. Mech. Anal. 1965. 20, № 1. 1 - 40.

Рис. 1

CM

о »

о

Рис. 4

РИС. 5

Рис. 6

Рис. 7

1 см

шщт^ттщ

i)5ï«<

, 5) \\) X! <VÁ w77

)№il(tíú\\\\4¿UK(t

Í CM

1 CM

Рис. 8