Адаптивные алгоритмы и методы формирования и решения уравнений состояния электрических цепей с изменяющимися параметрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.09.05, доктор технических наук Савёлов, Николай Семенович

• Савёлов, Николай Семенович
• доктор технических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор технических наук Савёлов, Николай Семенович

Введение.

1. Анализ проблем.формирования и решения,уравнений* состояния электрических цепей с изменяющимися параметрами.

1.1. Математические модели электрических цепей с изменяющимися параметрами в форме уравнений состояния-.

1.2. Анализ существующих подходов к формированию уравнений состояния электрических цепей с изменяющимися параметрами

1.3. Анализ проблемы решения уравнений состояния электрических цепей с существенным изменением характеров переходных процессов.

1.4. Выводы.

2. Разработка новой алгоритмической основы метода формирования уравнений состояния электрических цепей с изменяющимися параметрами.

2.1. Анализ методов решения систем линейных алгебраических уравнений с точки зрения их использования в качестве алгоритмической основы для формирования уравнений состояния.

2.2. Разработка новой алгоритмической основы методов формирования уравнений состояния в виде модификации-метода исключения Гаусса применительно к первоначальному решению СЛАУ.

2.3. Разработка новой алгоритмической основы методов формирования уравнений состояния с учётом структуры преобразуемой матрицы.

2.4. Оценка вычислительных затрат на первоначальное решение СЛАУ при использовании новой алгоритмической основы методов формирования уравнений состояния.

2.5. Разработка новой алгоритмической основы методов формирования уравнений состояния применительно к повторному решению СЛАУ после изменения одного столбца её матрицы.

2.6. Разработка новой алгоритмической основы методов формирования уравнений состояния применительно к повторному решению СЛАУ после изменения многих столбцов её матрицы.

2.7. Разработка новых методов анализа электрических цепей с изменяющимися параметрами в режимах постоянного и переменного тока, основанных на предложенной модификации метода исключения Гаусса для решения СЛАУ.

2.8. Применение разработанной алгоритмической основы для формирования уравнений состояния при решении СЛАУ с выбором ведущей строки и с эффективной организацией хранения элементов преобразуемой матрицы.

2.9. Выводы.

3. Разработка нового адаптивного метода формирования уравнений состояния электрических цепей с изменяющимися параметрами.

3.1. Разработка новой исходной математической модели электрической цепи, использующейся для формирования уравнений состояния.

3.2. Разработка нового метода первоначального формирования уравнений состояния электрических цепей, учитывающего возможное изменение параметров элементов.

3.3. Особенности формирования выходных уравнений и разработка алгоритма формирование полной системы уравнений состояния

3.4. Выводы.

4. Определение критерия для анализа изменений в электрических цепях с изменяющимися параметрами и разработка нового метода коррекции математических моделей в форме уравнений состояния

4.1. Разработка критерия для анализа изменений в электрических цепях с изменяющимися параметрами.

4.2. Разработка нового метода коррекции математических моделей в форме уравнений состояния при локальных параметрических изменениях в цепи.

4.3. Анализ влияния изменений в электрической цепи на изменение структуры уравнений состояния.

4.4. Оценка вычислительных затрат на повторные формирования уравнений состояния.

4.5. Выводы

5. Разработка методов формирования уравнений состояния специального вида и частично символьных, функций электрических цепей.

5.1. Разработка метода формирования уравнений»состояния специального вида, использующихся-для расчета режимов электрических цепей при заданных производных переменных состояния.

5.2. Разработка метода формирования уравнений состояния специального вида на основе объединенной промежуточной системы уравнений.

5.3. Разработка метода формирования частично символьных функций электрических цепей с изменяющимися параметрами,.

5.4. Выводы.

6. Разработка нового подхода к выявлению областей в пространстве состояний, отличающихся различной динамикой переходных процессов в электрических цепях.

6.1. Разработка нового подхода к выявлению областей в пространстве состояний, отличающихся различной динамикой переходных процессов в электрических цепях и разработка на его основе методов анализа динамических режимов электрических цепей.

6.2. Определение понятие области стабилизации в пространстве' состояний применительно к анализу переходных процессов.

6.3. Разработка нового метода выявления областей в пространстве переменных состояния, отличающихся динамикой переходных процессов и нового метода обеспечения устойчивости численных алгоритмов расчёта переходных процессов.

6.3.1. Линеаризация исходной системы обыкновенных дифференциальных уравнений для оценки изменчивости частных решений при анализе переходных процессов.

6.3.2. Получение математических выражений для вычисления,столбца изменчивости и скаляра изменчивости.

6.3.3. Получение математических выражений для вычисления градиента скаляра изменчивости.

6:3.4. Получение математических выражений для вычислениякорректирующего столбца.

6.3.5. Получение математических выражений для управления' коррекцией переменных состояния.

6.3.6. Получение математических выражений, обеспечивающих применение алгоритма удвоения отрезков времени для коррекции переменных состояния.

6.3.7. Использование полученных результатов для выявления областей в пространстве переменных состояния, отличающихся динамикой переходных процессов.

6.3.8. Использование полученных результатов для обеспечения устойчивости численных алгоритмов расчёта переходных процессов.

6.4. Регулярная коррекция переменных состояния и производных при численном решении уравнений состояния.

6.5. Выводы.

7. Применение предложенных методов и алгоритмов для анализа электрических цепей.

7.1. Формирование уравнений состояния импульсного преобразователя напряжения.

7.2. Решение уравнений состояния импульсного преобразователя напряжения.

7.3. Анализ переходных процессов в тяговом двигателе постоянного тока при использовании его схемы замещения.

7.4. Ускоренный расчёт частотных характеристик электрических цепей с изменяющимися параметрами.

7.5. Численные эксперименты с программным обеспечением, разработанным на основе предложенных методов для анализа электрических цепей.

7.5.1. Численные эксперименты с программным обеспечением, разработанным на основе предложенной модификации метода исключения Гаусса для решения вещественных СЛАУ

7.5.2. Численные эксперименты с программным обеспечением, базирующемся на использовании понятия изменчивости и пакетом программ Ма&САО.

7.5.3. Численные эксперименты с программным обеспечением, базирующемся на использовании понятия изменчивости, и пакетом программ МаЙаЬ.

7.6. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Адаптивные алгоритмы и методы формирования и решения уравнений состояния электрических цепей с изменяющимися параметрами»

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность • проблемы. . Теоретическая; электротехника; относится к одной из наиболее быстро развивающихся наук, достижения? которой! существенно влияют на ^уровень развития: науки, и технологий [ 15, 16; 24, 49; 56, 105, 106;, 118; 128; , 141, 149; 222, 224, .245]. Объективной^ основой: этого, является важная и все более возрастающая роль электротехники, электроэнергетики и электромеханики в. современном мире. Необходимость, решения все более: сложных теоретических и практических задач4 в, данной предметной области требует непрерывного развития теоретических основ электротехники, методов моделирования электроэнергетических процессов и систем.

Одним из основных разделов, теоретической электротехники, имеющим исключительно широкое практическое применение, является теория электрических цепей [15; 16, 23, 24, 49, 83, 94, 105, 106, 107, 118, 128, 141,, 149, 224]. Многие методы теории цепей успешно используются не только в электротехнике, но и в других областях науки и техники, так как имеют универсальный характер.

В теории цепей усилиями зарубежных и отечественных учёных (Анисимов Б.В:, Артым А.Д., Астахов В.И., Атабеков F-.И., Басан С.Н., Баталов Б.В., Бахвалов Ю.А., Белецкий А.Ф., Бененсон З.М., Бессонов Л.А., Бутырин П.А., Влах И., Высоцкий В.Е., Глориозов E.JI., Гусев Г.Г., Данилов Л.В., Демирчян K.G., Ильин В.Н., Калахан Д.А., Ковалёв О.Ф., Колесников Э.В., Круг К.А., Лин Пен-Мин, Лосев А.К., Матханов П.Н., Миронов В.Г., Миткевич В.В., Нагорный Л.Я., Нейман; Л.Р., Некрасов С.А., Норенков И.П., Павленко A.B., Петренко А.И., Поливанов K.M., Попов В .П., Птах Г.К., Пухов F.E., Ракитский Ю.В., Сигорский В.П., Сингхал К., Ткачёв А.Н., Толстов Ю.Г., Филин В.А., Филиппов E.G., Чечурин В:Л., Чуа Л.О., Шакиров М.А., Шимони К. и многие другие) достигнуты весьма значительные результаты, но в ней, как в каждой непрерывно развивающейся науке, возникают всё новые актуальные проблемы, требующие углубления-исследований.

В настоящее время, как и в других областях современной науки, в теоретической электротехнике- вообще и в теории цепей в. частности быстро возрастает роль' математического моделирования [19, 36, 37, 38, 80, 90, 91, 104, 229]. В этой связи всё более актуальными становятся следующие две фундаментальные проблемы: развитие теории и методов формирования математических моделей электрических цепей и развитие теории и методов исследования и численной реализации этих моделей с целью получения новых знаний об изучаемых объектах.

Достаточно часто-объектами изучения являются рассматриваемые в диссертации цепи, компонентные уравнения которых описываются квазилинейными функциями с параметрами, изменяющимися во времени. Для таких цепей математические модели должны корректироваться (переформировываться) при переходе от одного состояния цепи к другому [17, 24, 32, 95, 106, 118,241].

Универсальной формой математической модели электрической цепи являются уравнения состояния (УС), а метод переменных состояния является общепризнанным, одним из наиболее эффективных методов как теоретической электротехники, так и других наук, таких как современная теория управления [2, 3, 12, 32, 49, 59, 64, 77, 104, 106, 120, 136, 211, 241, 242, 243, 244]. Описание математических моделей электрических цепей и других динамических объектов в виде уравнений состояния имеет ряд важных преимуществ. Они обеспечивают выполнение наиболее глубокого и всестороннего анализа динамических свойств электрической цепи. Такие уравнения имеют минимально возможную размерность. Для анализа уравнений состояния созданы высокоэффективные методы. Многие подходы к исследованию динамических объектов требуют представления математической модели именно в форме уравнений состояния. Эта форма широко используется в таких современных эффективных математических пакетах программ, как МаЙаЬ и Ма&сай Однако формирование уравнений состояния требует значительных вычислительных затрат, что особенно важно при анализе цепей с изменяющимися параметрами, уравнения состояния которых необходимо переформировывать после каждого изменения параметров их элементов. В этой связи актуальными являются проблема сокращения вычислительных затрат на повторные формирования уравнений состояния, проблема эффективного выявления таких изменений параметров, которые существенно изменяют свойства цепи, что находит проявление в изменении вида уравнений состояния, а также проблема формирования с малыми вычислительными затратами частично символьных функций, которые существенно упрощают анализ влияния параметров элементов на свойства цепи.

Так как характер переходного процесса в электрической цепи достаточно часто существенно изменяется во времени [2, 3, 5, 32, 41, 49, 99, 148], актуальной является также проблема эффективного выявления областей в пространстве состояний, отличающихся динамикой переходных процессов . Это, во-первых, позволяет выполнять более полный анализ особенностей переходных процессов в цепи, и, во-вторых, увеличивает эффективность численных методов расчёта переходных процессов.

Наряду с методом переменных состояния в настоящее время для расчёта переходных процессов в электрических цепях широко используется узловой метод (метод ассоциированных дискретных моделей) [3, 17, 32, 39, 41, 46, 49, 52, 64, 66, 102, 107, 113, 121, 143, 144, 149, 215, 216, 241]. Этот метод основан на применении эквивалентных схем реактивных элементов (дискретных моделей), соответствующих конкретным неявным методам решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Для формирования ассоциированных дискретных моделей широко используются неявные; методы Гира [32, 66, 107, 149, 235, 241]. При выполнении очередного шага интегрирования каждый реактивный элемент представляется^ дискретной моделью- а затем осуществляется, анализ соответствующей схемы замещения в режиме постоянного тока. Если анализируемая;электрическая: цепь является-линейной- , то схема замещения ; также является линейной: , В^ этом случае для выполнения очередного шага интегрирования формируется система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) по методу узловых напряжений (потенциалов). Затем осуществляется решение этой СЛАУ, что обеспечивает определение узловых напряжений. Если анализируемая цепь является нелинейной, то схема замещения также оказывается нелинейной. Для её анализа широко используют различные модификации метода Ньютона (Ньютона-Рафсона) [13, 19, 30, 32, 37, 50, 107, 130, 131, 185, 200, 241]. С целью вычисления очередной итерации по методу Ньютона нелинейные элементы линеаризуются и замещаются, линейными дискретными (дискретизированными) моделями. Затем осуществляется формирование и решение линейной системы узловых уравнений [32, 41, 64, 102, 231, 241]. Для вычисления следующей итерации по методу Ньютона параметры дискретных моделей корректируются, а затем вновь формируется и решается СЛАУ. Если метод Ньютона сходится, то неоднократное повторение (обычно единицы - десятки раз) указанных операций по формированию и решению СЛАУ приводит к вычислению узловых напряжений, соответствующих очередному моменту времени [32, 41, 64, 66, 102, 231, 241].

Метод переменных состояния и метод ассоциированных дискретных моделей являются основными методами машинного расчёта переходных процессов в электрических цепях с изменяющимися параметрами. Поэтому представляет интерес сравнительный анализ этих методов. Основные достоинства и недостатки указанных методов, а также выводы представлены на рис.1.

Выполненный анализ показывает, что метод переменных состояния в теории электрических цепей имеет непреходящее значение и по своим возможностям в отношении глубоких и всесторонних исследований свойств электрических цепей существенно превосходит узловой метод. Однако более широкому применению метода переменных состояния препятствует сложность существующих алгоритмов формирования и переформирования уравнений состояния. Кроме того, решение и исследование уравнений состояния могут потребовать повышенных вычислительных затрат в случае цепей большой размерности и заполненности матриц уравнений состояния. В соответствии с этим актуальной является проблема совершенствования методов формирования, решения и исследования уравнений состояния электрических цепей.

Настоящая работа является дальнейшим развитием исследований, выполненных автором в рамках кандидатской диссертации. Исследования велись в соответствии с научными направлениями Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института) «Теория и принципы построения информационно-измерительных систем и систем управления» и «Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы».

Цель работы и задачи исследований. Целью диссертации является разработка эффективных методов формирования и решения уравнений состояния электрических цепей с изменяющимися параметрами, обеспечивающих снижение вычислительных затрат при анализе переходных,и установившихся режимов в условиях локального изменения параметров цепи и рационального выбора шага интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для достижения указанной

Основные методы машинного расчёта переходных процессов в электрических цепях с изменяющимися параметрами

Метод переменных состояния

Достоинства

1. Высокая информативность математической модели цепи в форме УС, обеспечивающая выполнение наиболее глубокого и всестороннего анализа цепи.

2. Наличие многочисленных и имеющих различную направленность высокоэффективных методов решения УС.

3.Минимальная размерность математической модели в форме УС.

4.Универсальность математического описания различных динамических объектов в форме УС.

Недостатки

1. Сложность формирования УС. 2.Заполненность, во многих случаях, матриц, входящих в УС 3 .Необходимость полного переформирования УС при локальных топологических и параметрических изменениях в цепи.

Узловой метод (метод ассоциированных дискретных моделей)

Недостатки

Использование предельно локализованной математической модели цепи в форме СЛАУ, не позволяющей выполнения какого-либо анализа, кроме расчёта электрического режима цепи для заданного момента времени.

2.Необходимость решения (часто многократного) СЛАУ при выполнении каждого шага интегрирования.

3.Применение методов численного интегрирования ОДУ обычно не выше 2 порядка.

Достоинства

1. Простота формирования математической модели цепи в форме СЛАУ.

2. Разреженность, во многих случаях, матрицы СЛАУ. I

Выводы

1. Метод переменных состояния имеет неоспоримые преимущества при глубоком и всестороннем исследовании электрической цепи.

2. Узловой метод (метод ассоциированных дискретных моделей) относительно прост в использовании и часто имеет преимущества при рутинных численных расчётах переходных процессов в электрических цепях.

3. Основной проблемой при использовании метода переменных состояния является сложность формирования и переформирования математической модели электрической цепи. В случае цепи большой размерности и заполненности матриц, входящих в УС, решение уравнений может потребовать повышенных вычислительных затрат.

Рис. 1. Сравнительный анализ основных методов расчёта цели решены следующие две основные задачи и соответствующие подзадачи.

Задача 1. Разработка эффективных методов формирования уравнений состояния электрических цепей.

Задача 1.1. Разработка новой алгоритмической основы методов формирования уравнений состояния в виде модификации метода исключения Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Задача 1.2. Разработка методов анализа электрических цепей с изменяющимися параметрами в режимах постоянного и переменного тока на новой алгоритмической основе с целью сокращения вычислительных затрат.

Задача 1.3. Разработка полной математической модели электрической цепи.

Задача 1.4. Разработка двухэтапного метода формирования уравнений состояния электрических цепей.

Задача 1.5. Разработка метода формирования частично символьных функций параметрических электрических цепей.

Задача 2. Разработка теоретических основ и новых численных методов решения уравнений состояния электрических цепей.

Задача 2.1. Разработка новых подходов к анализу переходных процессов на базе количественной оценки изменения их характера.

Задача 2.2. Разработка нового метода выявления областей в пространстве переменных состояния, отличающихся динамикой переходных процессов в электрических цепях.

Задача 2.3. Обеспечение устойчивости численных алгоритмов расчета переходных процессов в электрических цепях.

Методы исследований и достоверность полученных результатов. Методологической основой диссертационной работы являются основные положения теории электрических цепей, теории графов, линейной алгебры, теории- обыкновенных дифференциальных уравнений и-численных методов: Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением этих положений и подтверждается результатами математического моделирования.

Научная новизна. Предложен новый подход к формированию математических моделей электрических цепей с изменяющимися параметрами в форме уравнений^ состояния, а также новый подход к построению численных методов решения этих уравнений. Получены следующие новые научные результаты.

1. Разработана новая алгоритмическая основа методов формирования уравнений состояния — модификация метода исключения Гаусса для решения* СЛАУ, отличающаяся от известных меньшими вычислительными затратами при повторных решениях после изменений матрицы, соответствующим локальным изменениям в цепи.

2. Разработаны новые методы анализа линейных электрических цепей в режимах постоянного и переменного тока с изменяющимися параметрами элементов на основе предложенной модификации метода исключения Гаусса, отличающиеся от известных меньшими вычислительными затратами на повторный анализ после изменения параметров цепи и на выявление параметров, приводящих к вырожденности матрицы СЛАУ.

3. Разработана новая математическая модель электрической цепи, отличающаяся от известных тем, что она включает все исходные уравнения, необходимые для формирования уравнений состояния.

4. Разработан новый двухэтапный метод формирования уравнений состояния электрических цепей, отличающийся от известных меньшими вычислительными затратами на повторные формирования уравнений после изменения параметров элементов и на выявление параметров, существенно изменяющих свойства цепей.

5. Разработан новый метод формирования частично символьных функций параметрических электрических цепей, отличающийся от известных меньшими вычислительными затратами:

6. Разработан новый, метод выявления областей в пространстве* состояний с различной динамикой переходных процессов ,в электрических цепях, отличающийся от известных тем, что указанные области определяются непосредственно, без решения задачи Коши, что снижает вычислительные затраты.

7. Разработан новый подход, обеспечивающий устойчивость численных алгоритмов расчёта переходных процессов в электрических цепях, отличающийся от известных меньшими вычислительными затратами за счёт увеличения шага интегрирования.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы при анализе электрических цепей с изменяющимися параметрами в режимах постоянного и переменного тока, при формировании математических моделей в форме уравнений состояния для электрических цепей, при формировании частично символьных функций электрических цепей, при решении уравнений состояния электрических цепей.

Эти результаты открывают принципиально новые возможности при решении задач анализа переходных и установившихся режимов электрических цепей. Использование полученных результатов снижает вычислительные затраты.

Реализация результатов работы. Результаты диссертационной работы реализованы в следующих программах, зарегистрированных в объединённом фонде электронных ресурсов «Наука и образование», институт научной информации и мониторинга:

- «Ускоренное формирование уравнений состояния электрических цепей». Свидетельство о регистрации № 15954;

- «Эффективный анализ квазилинейных электрических цепей». Свидетельство о регистрации № 15955;

- «Ускоренное решение систем линейных алгебраических уравнений». Свидетельство о регистрации № 15979.

Полученные результаты внедрены:

- во Всероссийском научно-исследовательском и проектно-конструкторском институте электровозостроения «ОАО ВЭлНИИ» для анализа переходных процессов в тяговых двигателях, моделируемых с помощью схем замещения;

- в учебном процессе Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института), включая подготовку магистерских диссертаций;

- в Техническом университете Ильменау, Федеративная Республика Германия, для проектирования устройств мехатроники, моделируемых с помощью схем замещения в виде электрических и магнитных цепей.

Научные результаты, выносимые на защиту.

1. Используемая в качестве алгоритмической основы методов формирования уравнений состояния модификация метода исключения Гаусса для решения СЛАУ.

2. Методы анализа электрических цепей с изменяющимися параметрами в режимах постоянного и переменного тока.

3. Математическая модель электрической цепи, включающая все исходные уравнения, необходимые для формирования уравнений состояния.

4. Метод первоначального формирования уравнений состояния.

5. Метод коррекции уравнений состояния.

6. Метод формирования частично символьных функций электрических цепей.

7. Новый подход к выявлению областей в пространстве состояний, отличающихся- различной динамикой переходных процессов; в, электрических цепях. 8. Новый метод; исследования переходных процессов в электрических цепях., .

9. Новый подход к обеспечению УСТОЙЧИВОСТИ! численных методов расчёта переходных процессов в электрических цепях.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной-работы докладывались: и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: ежегодных научно-технических конференциях ЮРГТ.У (НИИ);. научных семинарах кафедр автоматики и телемеханики, прикладной математики и теоретической электротехники ЮРГТУ (НГТИ), кафедры электрофизики Московского энергетического института, института Проблем моделирования в энергетике АН УССР, 1986г., г. Киев; 1-ой Всесоюзной конференции по теоретической, электротехнике, 1987г., г. Ташкент; заседании электромеханической секции научно-технического совета научно-производственного объединения «Магнетон», 1990г., г. Владимир; Третьей Всероссийской научно-технической конференции с международным участием «Теория цепей и сигналов» (ТЦ и С - 96), 1996г., г. Таганрог;. Международном научно-практическом коллоквиуме «Проблемы мехатроники - 2003», 2003г., г. Новочеркасск; Международной научно-практической 1 конференции «Микропроцессорные, аналоговые, цифровые и электромеханические устройства и системы», 2006г., г. Новочеркасск; УП-ой Международной научно-практической конференции «Компьютерные технологии в науке; производстве, социальных и экономических процессах», 2006г., г. Новочеркасск; Международном научно-практическом коллоквиуме «Проблемы^ мехатроники - 2006», 2006г., г. Новочеркасск; УП-ой Международной научно-практической конференции «Методы, и. алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике», 2007г., г. Новочеркасск; УП-ой Международной научно-практической конференции «Моделирование. Теория, методы, и. средства», 2007г., г. Новочеркасск; УП-ой Международной научно-практической5 конференции «Современные энергетические системы и комплексы и управление ими», 2007г., г. Новочеркасск; 50-ой Юбилейной научной конференции« Московского физико-технического института (МФТИ) «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», 2007г., г. Долгопрудный; УІІІ-ой Международной научно-практической конференции «Теория, методы и средства измерений, контроля и диагностики», 2007г., г. Новочеркасск; УП-ой Международной научно-практической конференции «Микропроцессорные, аналоговые и цифровые системы: проектирование и схемотехника, теория и вопросы применения», 2007г., г. Новочеркасск; УІІІ-ой Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике», 2008г., г. Новочеркасск; Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина «Дифференциальные уравнения и топология», 2008г., г. Москва, Московский государственный университет им. М;В: Ломоносова, Математический институт им. В,А. Стеклова РАН; ГХ-ой Международной научно-практической конференции «Теория, методы и средства измерений, контроля и диагностики», 2008г., г. Новочеркасск; Международном научно-практическом коллоквиуме «Мехатроника -2009», 2009г., г. Новочеркасск; 1Х-ой Международной научно-практической конференции «Микропроцессорные, аналоговые и цифровые системы: проектирование и схемотехника, теория и вопросы применения», 2009г., г. Новочеркасск; VI Всероссийской межвузовской конференции молодых учёных, Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, г. Санкт-Петербург, 2009г.; 52-ой научной конференции Московского физико-технического института (МФТИ) «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», 2009г., г. Долгопрудный; научном семинаре кафедры мехатроники технического университета Ильменау, 2010г., г. Ильменау, Федеративная Республика Германия; Всероссийской конференции с элементами:научной школы для молодёжи «Мехатроника и робототехника. Современное состояние и тенденции развития», 2010г., г. Новочеркасск; научном семинаре кафедры теоретических основ электротехники Московского энергетического института (технического университета), 2010г., г. Москва; 53-й научной конференции Московского физико-технического института (МФТИ) «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», 2010г., г. Долгопрудный.

Публикации.

По результатам диссертационной работы опубликовано 49 работ, из них 18 в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования основных научных результатов диссертаций на соискание учёной степени доктора наук.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 7 основных разделов, заключения, списка литературы и приложений.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая электротехника», Савёлов, Николай Семенович

7.6. Выводы

1. Рассмотренные примеры подробно показывают особенности использования и преимущества предложенных методов формирования и решения уравнений состояния.

2. Предложенные методы могут использоваться для широкого круга задач теории электрических цепей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выполненный анализ существующих методов формирования и решения уравнений состояния электрических цепей с изменяющимися параметрами показал, что этим методам* присущи существенные недостатки: значительные вычислительные затраты на переформирование уравнений состояния после каждого изменения параметров» элементов, большая сложность выявления таких изменений параметров, которые существенно изменяют свойства цепей, неприспособленность известных методов к формированию частично символьных функций в форме уравнений состояния, значительная сложность выявления областей в пространстве состояния, отличающихся динамикой переходных процессов, а также, для явных методов решения, потеря устойчивости при увеличении шага решения даже на тех отрезках времени, на которых переходные процессы характеризуются медленным изменением переменных состояния.

Проблемы, относящиеся к формированию уравнений состояния, решены на базе разработанной новой алгоритмической основы методов формирования уравнений состояния в виде модификации метода исключения Гаусса для решения СЛАУ и разработанных новых математических моделей электрических цепей с изменяющимися параметрами, адаптированных к проблеме формирования и коррекции уравнений состояния. Разработанная модификация оказалась также эффективной методологической основой для построения новых методов анализа электрических цепей с изменяющимися параметрами в режимах постоянного и переменного тока.

Для решения проблем целенаправленного выявления областей в пространстве состояний, отличающихся динамикой переходных процессов, а также обеспечения устойчивости численных алгоритмов расчёта переходных процессов оказалась необходимой разработка нового конструктивного понятия в теории ОДУ — понятия изменчивости частного решения задачи

Коши. Использование этого понятия обеспечило получение математических соотношений, требующихся для решения этих проблем.

Итогом исследований, выполненных в рамках диссертационной работы, явились следующие основные научные результаты.

1. Разработана используемая-в качестве алгоритмической основы, модификация метода исключения Гаусса для решения СЛАУ, которая является; методологической базой для построения-методов анализа линейных электрических цепей с изменяющимися параметрами в- режимах постоянного и переменного тока, а также формирования и коррекции уравнений состояния.

2. Предложены новые математические модели электрических цепей с изменяющимися параметрами, адаптированные к проблеме формирования и коррекции уравнений состояния.

3. Предложен новый метод первоначального формирования уравнений состояния электрических цепей, учитывающий возможное изменение параметров элементов.

4. Предложен новый метод коррекции математических моделей в форме уравнений состояния при локальных параметрических изменениях в цепи.

5. Предложен новый метод формирования частично символьных функций электрических цепей с изменяющимися параметрами.

6. Предложен новый метод выявления различных областей в пространстве состояний, отличающихся динамикой переходных процессов, протекающих в электрических цепях.

7. Предложен новый метод исследования переходных процессов в электрических цепях, отличающийся использованием количественной оценки изменения характера этих процессов.

8. Предложен новый метод обеспечения устойчивости численных методов расчёта переходных процессов в электрических цепях.

9. Разработанные теория и методы внедрены в организациях, выполняющих анализ и синтез электрических цепей: во Всероссийском научно-исследовательском и проектно-конструкторском институте электровозостроения «ОАО ВЭлНИИ», в Южно-Российском государственном техническом университете (Новочеркасском политехническом институте), в Техническом университете Ильменау, Федеративная Республика Германия.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Савёлов, Николай Семенович, 2011 год

1.Автоматизация конструирования больших интегральных микросхем / Петренко А.И., Сыпчук П.П., Тетельбаум А.Я. и др. — Киев: Вища школа, 1983.-312 с.

2. Автоматизация проектирования радиоэлектронных средств / О.В. Алексеев, A.A. Головков, И.Ю. Пивоваров и др. М.: Высш. шк., 2000. -479с.

3. Автоматизация схемотехнического проектирования / В.Н. Ильин, В.Т. Фролкин, А.И. Бутко и др.: Под. Ред. В.Н. Ильина. — М.: Радио и связь, 1987.-368 с.

4. Адалёв A.C., Коровкин Н.В., Хайакава М. Способ повышения точности решения обратных задач теории линейных электрических цепей // Известия Академии электротехнических наук РФ. 2009. - №3. - С. 32 - 46.

5. Анисимов Б.В., Белов Б.И., Норенков И.П. Машинный расчет элементов ЭВМ. — М.: Высш. шк., 1976. — 336 с.

6. Анисимов В.И. Топологический расчёт электронных схем. — Л.: Энергия, 1977. 240с.

7. Антосик П., Микусинский С., Сикорский Р. Теория обобщённых функций.-М.: Мир, 1976.-311с.

8. Арайс Е.А., Дмитриев В.М. Моделирование неоднородных цепей и систем на ЭВМ. -М.: Радио и связь, 1982. 160 с.

9. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. — 272.

10. Артым А.Д., Филин В.А., Есполов К.Ж. Новый метод расчёта процессов в электрических цепях. — СПб.: «Элмор», 2001. 192с.

11. Архангельский А.Я., Балаян С.Р. Явный компонентный событийный расчет переходных процессов И Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника. 1988. № 6. - С. 37 — 43.

12. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. -М.: Высш. ппс., 1998. 574.

13. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 744 с.I

14. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и* алгоритмы. -М.: Мир, 1982. 583с.

15. Басан С.Н. Основы теории электрических и электронных цепей. — 4.1. Основные понятия и определения. Таганрог: ТРТУ, 1995. — 136с.

16. Басан С.Н. Теоретические основы электротехники'. — 4.2. Линейные электрические цепи гармонического тока. — Таганрог, Туапсе: ТТИ ЮФУ, филиал ТТИ ЮФУ в г. Туапсе, 2008. 201с.

17. Баталов Б.В., Егоров Ю.Б., Русаков С.Г. Основы математического моделирования больших интегральных схем на ЭВМ. М.: Радио и связь, 1982.-168 с.

18. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. — М.: Наука. Гл. ред. физмат. лит., 1990.-488с.

19. Бахвалов Н.С, Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000г. — 624с.

20. Бахвалов Ю.А. Математическое моделирование. — Юж-Рос. гос. техн. ун-т / Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ), 2010. 142с.

21. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. -368с.

22. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. - 632с.

23. Бессонов Л.А. Нелинейные электрические цепи. М.: Высш. шк., 1977.-343 с.

24. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. — М.: Высш. шк., 1973. 752 с.

25. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш. шк., 1991. - 303с.

26. Бобков В.В. Об одном способе построения методов численного решения дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения, 1983.-Т. 19.-№7.-0. 1115-1122.

27. Бородулин М.Ю., Дижур Д.П., Кадомский Д.Е. Точность численного интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы в электрических цепях // Электричество. 1988. - № 6. -С.45-51.

28. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1980. — 520с.

29. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). М.: Высш. шк., 2000. — 266с.

30. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения). — М.: Высш. шк., 2001. — 382с.

31. Влах И., Сингхал К. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем / Пер. с англ. А.Ф. Объедкова и др.; Под ред. A.A. Туркина. -М.: Радио и связь, 1988. 560 с.

32. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.-304 с.

33. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984.-320с.

34. Волков Е.А. Численные методы. — М.: Наука, 1982. — 256 с.

35. Воронцов Г.В. Введение в математическую теорию оптимального оценивания и управления состояниями технических систем. — Новочеркасск:1. ЮРГТУ (НПИ), 2006. 308с.

36. Вычислительные методы / A.A. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копчёнова. -М.: Издательский дом МЭИ, 2008. 672с.

37. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. - 552 с.

38. Геворкян Г.Х., Семёнов В.Н. Электротехнические расчёты на языке БЕЙСИК. -М.: Энергоатомиздат, 1989. 184с.

39. Глазенко Т.А., Балясникова А.Н. Численные методы расчета электрических цепей с дискретно-изменяющимися параметрами // Электричество. 1988. - № 5. - С. 76 - 79.

40. Глориозов Е.Л., Сорин В.Г., Сыпчук П.П. Введение в автоматизацию схемотехнического проектирования. -М.: Сов. радио, 1976. -224 с.

41. Голуб Дж, Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.-548с.

42. Гончарик Л.И., Кешишьян В.А. Формирование уравнений состояния емкостно-ключевых цепей // Электричество. — 1988. № 8. - С. 82 -84.

43. Гужев Д.С., Калиткин H.H. Уравнение Бюргерса тест для численных методов // Математическое моделирование, 1995. — Т.7. - № 4. — С. 99 - 127.

44. Гумен Н.Б. Исследование способов динамического кусочно-линейного моделирования нелинейных устройств радиоэлектроники // Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника. 1988. — № 9. - С. 14 - 19.

45. Гупта К., Гардж Р., Чадха Р. Машинное проектирование СВЧ устройств / Пер. с англ. С.Д. Бродецкой; Под ред. В.Г. Шейнкмана. М.: Радио и связь, 1987. - 432 с.

46. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений / Пер. с англ. А.Ю. Захарова и др.; Под ред. A.A. Самарского. М.: Мир, 1988. - 334 с.

47. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. 664с.49: Демирчян К.С., Бутырин П.А. Моделирование и машинный, расчет электрических цепей. -М.: Высш. шк., 1988. -335 с.

48. Денис. Дж., Шнабель Р. Численные методы- безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988. - 440с.

49. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений / Пер. с англ. Х.Д. Икрамова. М.:Мир, 1984. - 333 с.

50. Диалоговые системы схемотехнического проектирования / В.И. Анисимов, Г.Д. Дмитриевич, К.Д. Скобельцын и др.; Под ред. В.И. Анисимова. — М.: Радио и связь, 1988. —288 с.

51. Дифференциальные уравнения / А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. -М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1985. — 231с.

52. Дмитриев-Здоров В.Б., Дудка В.Б. Алгоритм решения системы нелинейных алгебраических уравнений'при анализе электрических цепей с помощью адаптивных моделей // Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника. 1988. - № 6. - С. 43 - 48. .

53. Дмитриев-Здоров В.Б., Дудка В.Б., Попов В.П. Каноническая схемная модель линейной электрической цепи // Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника. 1989. -№ 6. - С. 62 - 67.

54. Евсеев М.Е. Теоретические основы электротехники. — СПб.: Политехника, 2008. 380с.

55. Жумик В;В., Стахив П.Г. Оценка устойчивости диакоптических методов расчета динамических режимов электронных цепей // Теоретическая электротехника. 1987. - Вып. 43. - С. 123 - 126.

56. Заворин А.Н. Применение нелинейных методов для расчёта прееходных процессов, в электрических цепях // Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника, 1983. Т. 26. - № 3. - С. 35-41.

57. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем: (Метод пространствасостояний) -М.: Наука, 1970. 620 с.

58. Зыков A.A. Основы теории графов. М.: Наука. Гл. ред физ.-мат. лит., 1987.-384с.

59. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных ураванений. М.: Наука, 1984. - 192 с.

60. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1984.296 с.

61. Ильин В.Н. Интеллектуализация САПР // Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника. 1987. - № 6. - С. 5 - 13.

62. Ильин В.Н. Основы автоматизации схемотехнического проектирования. -М.: Энергия, 1979.-392 с.

63. Ильин В.Н., Жигалов И.Е., Ланцов В.Н. Методы автоматизированного схемотехнического проектирования нелинейных радиотехнических цепей // Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника. -1985.-№6. -С. 7-17.

64. Ильин В.Н., Коган В.Л. Разработка и применение программы автоматизации схемотехнического проектирования. — М.: Радио и связь, 1984.-368 с.

65. Использование неявного ДТ-метода при анализе переходных процессов в цифровых комбинаторных устройствах / Э.П. Семагина, В.П. Роменцов, В.В. Пфенинг, А.Х. Шарипов // Электронное моделирование. -1989. -№ 6. С. 89-91.

66. Калиткин H.H. Численные методы решения жёстких систем // Математическое моделирование. — 1995. Т.7, №5. — С. 8 - 11.

67. Калниболотский Ю.М., Хиленко В.В. Понижение порядка системы уравнений переменных состояния на основе разделения движений II Электронное моделирование. 1984. -№ 1.-С. 32 — 35.

68. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и математическое обеспечение. М.: Мир, 1998. — 575с.

69. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщённых функций с приложениями в технике. — М.: Мир, 1978. 520с.

70. Коган В.Л. Алгоритм расчета схем в базисе узловых потенциалов с применением явных методов интегрирования // Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника. 1982. - № 6. — С. 9 - 12.

71. Копылов И.П. Математическое моделирование электрических машин. -М.: Высш. шк., 2001. 327с.

72. Корн. Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1974.832 с.

73. Кострикин А.И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977. 496 с.

74. Крутько П.Д., Максимов А.И., Скворцов Л.М. Алгоритмы м программы проектирования автоматических систем. М.: Радио и связь, 1988.-306 с.

75. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука. Физматлит, 1997. - 496с.

76. Ланкастер П. Теория матриц / Пер. с англ. С.П. Демушкина. М.: Наука, 1982. - 272 с.

77. Лачин В.И., Савёлов Н.С. Электроника. Изд. 8-е. - Ростов н/Д: Феникс, 2010.-703с.

78. Лебедев В.И. Как решать явными методами жёсткие системы дифференциальных уравнений // Вычислительные процессы и системы. Вып. 8.-М.: Наука. 1991, С. 237 - 291.

79. Лекции по математическому анализу / Архипов Г.И., Садовничий В .А., Чубариков В.Н. -М.: Высш. шк. 1999. 695с.

80. Лосев А.К. Линейные радиотехнические цепи. М.: Высш. шк., 1971.-560 с.

81. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 232с.

82. Маничев* Б.Б., Уваров М.Ю. Базовые методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений для программ анализа радиоэлектронных схем // Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника. -1989.-№6.-С. 34-40.

83. Маничев Б.Б., Усенканов М.К. Адаптивный метод вложенного интегрирования дифференциальных уравнений многопериодных объектов // Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника. — 1989. № 6. - С. 82 - 84.

84. Маничев В.Б., Глазкова В.Н. Методы интегрирования систем ОДУ для адаптируемых программных комплексов анализа РЭС // Радиотехника. 1988. - № 4. - С. 88-91.

85. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 608с.

86. Матвеев Н.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -СПб.: Специальная литература, 1996.-372с.

87. Математика и САПР: В 2-х кн. Кн.1. / Шенен П., Коснар М., Гардан И. и др. -М.: Мир, 1988. 204с.

88. Математика и САПР: В 2-х кн. Кн. 2 / Жермен-Лакур П., Жорж П.Л., Пистр Ф., Безье П. М.: Мир, 1989. - 264с.

89. Математический анализ. В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. — 720с.

90. Математическое и программное обеспечение для автоматизации проектирования интегральных схем: Численные методы / Э.Я. Гринберг, Л.З. Кацнельсон, А.А. Ванагс и др. Рига: ЛГУ им. П. Стучки, 1987. - 107с.

91. Матханов П.Н. Синтез реактивных четырехполюсников по временным функциям. — Л. Энергия, 1970. 136 с.

92. Машинные методы расчёта и проектирования систем электросвязи и управления / А.Н. Дмитриев, Н.Д. Егупов, A.M. Шестопалов, Ю.Г. Моисеев.-М.: Радио и связь, 1990. -272с.

93. Метод* и программа моделирования разнотемповых процессов в сложных электронных схемах / JI.C. Казаринов, О.Н. Казьмин, В.И. Константинов и др. // Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника. — 1987. № 6. — С. 63-67.

94. Методы автоматизированного расчёта электронных схем в технике связи / Б.А. Калабеков и др. — М.: Радио и связь, 1990. — 272с.

95. Миронов В.Г., Пуньков И.М., Жунусов З.А. Адаптивная стратегия при анализе нелинейных схем на ЭВМ // Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника. — 1989. — № 7. — С. 11 — 16.

96. Михайлов В.Б. Численно-аналитические методы решения сверхжёстких дифференциально-алгебраических систем уравнений. — СПб.: Наука, 2005.-234с.

97. Мищенко Е.Ф. Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. — М.: Наука, 1975. 248с.

98. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно-возмущенных системах. -М.: Наука. Физлит, 1995. 336с.

99. Моделирование и оптимизация на ЭВМ радиоэлектронных устройств / З.М. Бененсон, М.Р. Елистратов, JI.K. Ильин и др.; Под ред. З.М. Бененсона. — М.: Радио и связь, 1981. — 272 с.

100. ЮЗ.Моругин C.JI. Адаптивный метод анализа нелинейных узкополосных электронных схем // Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника. 1988. - № 9. - С. 44 - 50.

101. Нагорный Л.Я. Моделирование электронных цепей на ЦВМ. —

102. Киев: Техшка, 1974. —360 с.

103. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. — Т.1. — Л.: Энергоиздат, 1981. 536 с.

104. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Т.2. - Л.: Энергоиздат, 1981. - 416 с.

105. Нерретер В, Расчёт электрических цепей на персональной ЭВМ. — М.: Энергоатомиздат, 1991. —220с.

106. Новиков Е.А. Явные методы для жёстких систем. Новосибирск: Наука, 1997. - 195с.

107. Новосельцев A.B. Дифференцируемость переменных состояния силовых цепей с вентилями // Техн. электродинамика. — 1986. — № 4. — С. 37 — 44.

108. Новосельцев A.B. Симметрия отображения переменных состояния линейной электрической цепи // Электронное моделирование. -1989.-№4.-С. 35-38.

109. Ш.Норенков И.П., Евстифеев Ю.А., Маничев В.Б. Адаптивный метод ускоренного анализа многопериодных электронных схем И Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника. 1987. — № 6. - С. 47 — 51.

110. Норенков И.П., Евстифеев Ю.А., Маничев В.Б. Метод стационарного анализа многопериодных электронных схем // Радиотехника. 1987. -№ 11. - С. 86-89.

111. Норенков И.П., Маничев В.Б. Основы теории и проектирования САПР. М.: Высш. шк., 1990. - 335с.

112. Норенков И.П., Маничев В.Б. Стратегия автоматического выбора шага в комбинированном методе интегрирования // Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника. 1984. - № 6. - С. 90 — 91.

113. Определение стационарных режимов вентильных преобразователей / Васильев A.C., Блинов Ю.И., Гуревич С.Г., Пейсахович Л.В. // Электричество. 1988, № 8. - С. 35 - 40.

114. Ope О. Теория графов / Пер. с англ. И.Н., Врублевской; Под ред. Н.Н; Воробьева; М.: Наукам 1980; - 336 с.

115. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения» дифференциальных уравнений / Пёр ¡с англ., Н.Б. Конюховой; Под ред. A.A., Абрамова. -М.: Наука, 1986. -288 с.

116. Основы теории цепей / Зевеке Г.В;, Ионкин П.А., Нетушил A.B., Страхов C.B. М.: Энергия, 1975. - 752с.

117. Петренко А.И., Власов А.И., Тимченко А.П. Табличные методы моделирования электронных схем на ЭЦВМ. Киев.: Вища шк., 1977. - 192 с.

118. Петренко А.И., Ладогубец В.В., Цифра А.И. Использование полуявного линейного многошагового метода при машинном анализе электронных схем // Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника. 1989. -№ 6.-С. 71-72.

119. Петренко А.И., Слюсар П.Б. Автоматическое переключение явных и неявных методов интегрирования при решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника: 1986. - № 1. - С. 49 - 54.

120. Прудников А.П, Брычков Ю.А., Маричев О.И: Интегралы и ряды. -М.: Наука, 1981.-800 с.

121. Пуньков И.М. Метод последовательного частичного LU-разложения // Методы и устройства цифровой обработки информации. — Воронеж.: ВПИ, 1987.-С. 112-116.

122. Пухов Г.Е. Дифференциальные преобразования функций и уравнений. — Киев: Наук, думка, 1980. 419 с.

123. Пухов Г.Е. Дифференциальный анализ электронных цепей. -Киев: Наук, думка, 1982. 496 с.

124. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем / Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. М.: Мир, 1983. - 200с.

125. Разевиг В.Д. Система сквозного проектирования электронных устройств Desing Lab 8.0. M.: Солон, 1999. — 698с.

126. Разевиг В.Д. Система схемотехнического моделирования Micro-Cap 6. — M.: Горячая линия Телеком, 2001. - 344с.

127. Райе Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение / Пер. с англ. О.Б. Арушаняна; Под ред. В.В. Воеводина. М.: Мир, 1984. — 264 с.

128. Ракитин В.И., Первушин В.Е. Практическое руководство пометодам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров. — М.: Высш. шк., 1998. 389с.

129. Розенфельд A.C., Яхинсон Б.И. Переходные процессы иобобщенные функции. M.: Наука, 1966. - 440с.

130. Савёлов Н.С. Алгоритм для повторного анализа электронных схем // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2003. — Спецвып.: Математическое моделирование и компьютерные технологии. — С. 21 - 23.

131. Савёлов Н.С. Исследование динамических режимов на основе количественной оценки изменчивости интегральных кривых // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2007. - Спецвыпуск. ЮРГТУ(НПИ) 19072007. - С. 63 - 64.

132. Савёлов Н.С. Новый метод исследования объектов, описываемых жесткими системами дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2007. - № 3. - С. 19 - 23.

133. Савёлов Н.С. Новый подход к формированию уравненийсостояния электронных схем // Изв. высш. учеб. заведений. Электромеханика. 1986. - № 9. - С. 72 - 74.

134. Савёлов Н.С. Полные исходные системы уравнений электронных схем и формирование частично символьных функций // Изв. вузов. Электромеханика. 2007. № 3 - С. 3 - 6.

135. Савёлов Н.С. Расчет переходных процессов в предварительно упорядоченных электрических цепях // Изв. высш. учеб. заведений. Электромеханика. 1985. - № 4. - С. 85 - 92.

136. Савёлов Н.С. Управление коррекцией переменных состояния динамических объектов, моделируемых жесткими дифференциальными уравнениями // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2007. - № 4. - С. 23-24.

137. Савёлов Н.С. Усовершенствование явных методов с целью решения жестких систем дифференциальных уравнений электрических цепей // Изв. высш. учеб. заведений. Электромеханика. — 1989. — № 9. — С. 14 — 20.

138. Савёлов Н.С. Формирование уравнений состояния при изменениях в электрических цепях // Изв. высш. учеб. заведений. Электромеханика. 1987. — № 12. - С. 13-18.

139. Савёлов Н.С., Колпахчьян П.Г., Чан Д.М. Ускоренный анализ переходных процессов в тяговом двигателе постоянного тока // Изв. высш. учеб. заведений. Электромеханика. — 2010. — № 4. — С. 14 — 17.

140. Савёлов Н.С., Лыонг С.Т. Эффективный метод расчёта частотных характеристик электрических цепей // Изв. высш. учеб. заведений. Электромеханика. -2010. № 5. - С. 31 -34.

141. Савёлов Н.С., Ревин М.С. Организация автоматического выбора значений итерационного параметра при анализе устройств мехатроники //

142. Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. -2009. — № 1. — С. 30-31.

143. Самарский A.A. Введение в численные методы — М.: Наука, 1982.-272 с.

144. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы — М.: Наука, 1989.-432 с.

145. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы / Пер. с англ. М.В. Горбатовой и др.; Под ред. В.А. Горбатова. М.: Мир, 1984. - 455 с.

146. Семагина Э.П. Дифференциальные преобразования и их возможности для решения задач динамики // Электронное моделирование. — 1986.-№4.-С. 44-50.

147. Семагина Э.П., Новицкая Н.В. Проблемно-адаптивные ДТ-процедуры решения систем ОДУ // Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника. 1988. - № 9. - С. 39 - 44.

148. Сигорский В.П. Проблемная адаптация в системахавтоматизированного проектирования // Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника. 1988. — № 6. — С. 5 - 22.

149. Сигорский В.П., Витязь O.A. Покоординатная адаптация алгоритмов анализа динамического режима электронных схем // Электронное моделирование. 1984. - № 4. - С. 22 - 26.

150. Сигорский В.П., Витязь O.A. Проблемно-адаптируемый подход к анализу нелинейных электронных схем // Электронное моделирование. -1980.-№5.-С. 41-44.

151. Сигорский В.П., Коляда Ю.В., Колодницкий Н.М. Проблемная адаптация численного анализа электронных схем: I. Формализация и рекурентность вычислительных формул // Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника. 1986. - № 11. - С. 18 - 23.

152. Сигорский В.П., Коляда Ю.В., Колодницкий Н.М. Проблемная адаптация численного анализа электронных схем: 2. Двусторонние процессы // Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника. — 1987. — № 6. С. 42 - 47.

153. Сигорский В.П., Коляда Ю.В., Колодницкий Н.М. Проблемная адаптация численного анализа электронных схем: 3. Организация адаптивного процесса (адаптор) // Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника. 1988. — № 5. - С. И - 18.

154. Сигорский В.П., Коляда Ю.В., Колодницкий Н.М. Проблемная адаптация численного решения ОДУ и классификация алгоритмов // Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника. — 1989. — № 6. С. 40 - 45.

155. Сигорский В.П., Петренко А.И. Алгоритмы анализа электронных схем. — М.: Сов. радио, 1976. — 608 с.

156. Синицкий JI.A. О комбинированных методах численного интегрирования уравнений электрических цепей // Теоретическая электротехника. 1984. - Вып. 37. - С. 65 - 73.

157. Синицкий JI.A., Михалевич Г.А. О самонастраивающихся программах машинного анализа электрических и электронных схем //

158. Техническая электродинамика. — 1982. — № 2. С. 34 — 40.

159. Системы автоматизированного проектирования: В 9-ти кн. Кн.5. Автоматизация функционального проектирования / П.К. Кузьмик, В.Б. Маничев; Под ред. И.П. Норенкова. -М.: Высш. шк., 1986. 144 с.

160. Скворцов Л.М. Адаптивные методы цифрового моделирования динамических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления, 1995. №4. -С. 180-190.

161. Скворцов Л.М. Явные адаптивные методы численного решения жёстких систем // Математическое моделирование. — 2000. — Т.12. № 12. — С. 97-107.

162. Слипченко В.Г., Елизаренко Г.Н. Методы диакоптики в электронике. — Киев: Вища шк., 1981. 208 с.

163. Современные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Дж. Холл, Дж. Уатт, Дж. Батчер и др. М.: Мир, 1979.-312 с.

164. Справочник по специальным функциям / Под ред. А. Абрамовича и И. Стиган; Пер. с англ.; Под ред. В.А. Диткина и Л.Н. Кармазиной. М.: Наука, 1979. - 832 с.

165. Тамм. И.Е. Основы теории электричества. — М.: Наука, 1979.616 с.

166. Теоретические основы САПР / В.П. Корячко, В.М. Курейчик, И.П. Норенков. -М.: Энергоатомиздат, 1987. -400с.

167. Толстов Ю.Г. Теория линейных электрических цепей. М.:1. Высш. шк., 1978. 279 с.

168. Турчак Л.И. Основы численных методов. М.: Наука, 1987. - 320с.

169. Тьюарсон Р. Разреженные матрицы. М.: Мир, 1977. — 163 с.

170. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. -М.: Наука, 1984. 416 с.

171. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. СПб.: Издательство «Лань», 2002. — 736с.

172. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. -Долгопрудный: Издательский Дом «Интиллект». 2008. — 504с.

173. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: В 2-х томах. Т.1 / Пер. с англ. Ю.В. Прохорова. -М.: Мир, 1984. 528 с.

174. Фидлер Дж. К., Найтингейл К. Машинное проектирование электронных схем / Пер. с англ. и предисл. Д.И. Панфилова, А.Н. Соколова; Под ред. Г.Г. Казеннова. М.: Высш. шк., 1985. - 216 с.

175. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений / Пер. с англ. Х.Д. Икрамова. — М.: Мир, 1980. — 280 с.

176. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем алгебраических уравнений / Пер. с англ.; Под ред. Г.И. Марчука. — М.: Мир, 1969.-168 с.

177. Фролкин В.Т., Тихомирова Е.М., Мошняга В.Т. Моделирование электронных схем с высокой степенью интеграции компонентов: (Состояние и перспективы) // Изв. высш. учеб. заведений. Радиоэлектроника. — 1984. № 6.-С. 17-31.

178. Хайер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи. — М.: Мир, 1999. -685с.

179. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи. М.: Мир, 1990. — 512с.

180. Хвищун И.А. Алгоритм учета латентности при машинном анализе электронных схем с использование метода переменных состояния // Проблемы нелинейной электроники. Киев: Наук, думка, 1984. — С. 134 — 135.

181. Хетчел Г.Д., Санджованни-Винчентелли А. Обзор методов моделирования третьего поколения // ТИИЭР. - 1981. - Т. 69. — № 10. - С. 100-119.

182. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ / Пер. с англ. Х.Д. Икрамова и др.; Под ред. Х.Д. Икрамова. М.: Мир, 1989. — 655 с.

183. Черноруцкий И.Г. Оптимальный параметрический синтез: Электротехнические устройства и системы. — Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1987. 128с.

184. Чуа Л.О., Лин Пен-Мин. Машинный анализ электронных схем: Алгоритмы и вычислительные методы / Пер. с англ. Е.С. Виленкина и др.; Под ред. В.Н. Ильина. -М.: Энергия, 1980. 640 с.

185. Шаталов A.C. Блочно-матричная форма расширенных уравнений состояния линейных электрических цепей // Электричество. — 1978. — № 12. — С. 47-54.

186. Шаталов A.C. Модальное пространство состояний линейных электрических цепей с накопителями энергии // Электричество. 1988. - № 9. - С. 1-10.

187. Шаталов A.C. Отображение процессов управления в пространствах состояния. М.: Энергоатомиздат, 1986. — 255 с.

188. Шимони К. Теоретическая электротехника / Пер. с немецкого; Под ред. K.M. Поливанова. -М.: Мир, 1964. 776 с.

189. Шуп Т. Прикладные численные методы в физике и технике. — М.: Высш. шк., 1990. -255с.

190. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ / Пер. с англ. В.А. Хохрякова; Под ред. В.Б. Миносцева. -М.: Мир, 1982. —238 с.

191. Эстербю.О., Златев 3. Прямые методы для разреженных матриц / Пер. с англ. Х.Д. Икрамова. М.: Мир, 1987. - 120 с.

192. Brandon D.M. A new single-step integration algorithm with A-stability and improved accuracy//Simulation, 1974.—v. 23. —№ l.-p. 17 — 29.

193. Chin M.J. Searching for multiple solutions of nonlinear systems // IEEE Trans.; GAS-26. 1979. -№ 10. - P. 817 - 827.

194. Chien M.J., Kuh E.S. Solving nonlinear resistive networks using piecewise linear analysis and simplicial subdivision // IEEE Trans.: GAS — 24. — 1977.-№ 6.-P. 305-317.

195. Dahlquist G. A special stability problem for linear multistep methods //BIT. V.3. - 1963. - P. 27-43.

196. Enright W. H., Kamel M.S. Automatic partitioning of stiff systems and exploiting the resulting structure // ACM Trans, on. Math. Software. 1979. — V. 5.-№4.-P. 374-385.

197. Fowler M.E., Wazten R.M. A numerical integration technique for ordinary differential equation with widely separated eigenvalues // IBM J. Res and Development, 1967 v. 11. - №5. - p. 537 - 543.

198. Mülthei H.N. Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen mit splinefunktionen // Computing, 1980. T. 25. - № 4. -S. 317-335.

199. Rinzel J., Miller R. Numerical calculation of stable and unstable periodie solution to the Hogkin-Huxley eduatios // Mathematical biociences. — 1980.-№49, P. 27-59.

200. Van Bokhoven W.M.G. Linear implicit differentiation Formulas of variable Step and Order // IEEE Trans. CAS. 1975. - V. 22. - № 2. - P. 109 -115.

201. ПОВТОРНОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПРИ ИЗМЕНЕНИЯХ ВСЕХ1. СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ

202. Изменение матрицы А по выражению А! = А + сгт означает, очевидно, изменение столбцов матрицы А по выражению а^ = а + г,с приj = 1,2, .,п, где «у — у-ый столбец матрицы А', — у -ый элемент столбцаг.

203. Выберем такую строку fi матрицы Р, что /¡-сфО. Если такой строки не найдется, то есть если /. с = 0 при у = 1, 2,., п, то, очевидно,рассматриваемое изменение матрицы не изменяет решение, и поэтому какие-либо преобразования матрицы Р не требуются.

204. Обозначим через у = ОД,., и -1 строку после у-огопреобразования. Принимаем, что = .

205. Преобразование (5) возможно, так как, в соответствии с (3), ff)■a^j*й.1. Нетрудно показать, что7 = 1,2(6)1. Покажем, что1. Ап-х)-а\Ф 0. (7)

206. Предположим, что соответствии с изложенным, строкаявляется линейной комбинацией строк /•, . = \, 2, .,п матрицы /<\

207. Из изложенного следует, что неравенство (7) выполняется. 3-ий этап. Преобразование строк . = 1,2,., п, ] Ф г.

208. Обозначим через у = 1, 2,., п, у Ф / строки послепреобразования. Преобразование выполняем по выражениюпри j = 1, 2jiti.

209. Это преобразование возможно, так как справедливо неравенство (7). Из (8) следует, что

210. V ■ ai = /Я • <»; ((/f • a¡ У(йМ • «;))• (/¿и> • «;)= о (9)при 7 = 1, 27* г; иfi2)-"'j = fP-«'j=fj-«j*° (Ю)при 7 = 1, 2,., и,1. Составим матрицу i7':f=/,(2)r. №л(-1)г- /Л(2)ТГ

211. Обозначим через f'j, j = \,2, .,п строки матрицы i7'.

212. Из выражений (6), (7), (9) и (10) следует, что /• • а'-Ф 0 при 7 = 1, 2,п;1. П)f'j -a'k = 0 при у = 1, 2,., п, к = 1, 2,., п, к Ф j.

213. Это выражение фактически (без учета особенностей обозначений) повторяет (1).

214. Исходя из (11), получаем выражение для определения неизвестных x'j, 7 = 1, 2,., п системы с измененной матрицей:•*)/(/; ч) <12)при 7 = 1, 2,., 77 (Ь столбец правой части системы А'х = Ь).

215. Таким образом, описанные преобразования обеспечивают повторное решение системы уравнений.

216. Это преобразование возможно, так как справедливо неравенство (9).1. Очевидно,

217. Заменим в матрице Р' (полученной после описанных выше трех этапов преобразований), строку на строку Тогда, зачитывая10., можно записать-а) =1 при 7 = 1, 2• а'к = 0 при у = 1, 2,., п, к- 1, 2,п, кФ у .

218. Поэтому для рассматриваемого случая выражение (12) можно записать в следующем виде:х) =/} -Ь при . = 1,2,., п. (14)

219. Определим число операций умножения и деления, необходимых для повторного решения системы в случае Р = А'1. При этом предполагаетсявыполнение четырех описанных выше этапов преобразования и использование выражения (14).1.ый этап. Преобразование (2).

220. Число операций умножения при умножении строк на столбец (вида fj • (ггс) при у" = 1, 2,., п) равно п2.

221. Число операций умножения при умножении строки на скаляры (вида (/) • • г ¡с) ^ при у = 1, 2,п, .Фі) равно п(п -1).

222. Общее число операций умножения и деления на первом этапе равно 2п2 — 1.2.ой этап. Преобразование (5).

223. Для рассматриваемого случая (І7 = А'1) выражение (5) может быть, на основании соотношения (3), записано в следующем виде:при у = 1, 2,., п, у Ф і (причем / изменяется в соответствии с правилом, приведенным в описании выражения (5)).

224. Число операций умножения при умножении строки на столбцывида • аj при у = 1, 2,.,п, у Ф і) равно п(п — і).

225. Число операций умножения при умножении строк на скаляры (вида ■ при у = 1, 2,., п, у Ф і) равно п(п -1).

226. Общее число операций умножения на втором этапе равно 2п(п -1).3.ий этап. Преобразование (8).

227. Число операций умножения при умножении строк на столбец (вида /Р • а\ при у = 1, 2,п, у Ф і и • а\) равно п2.

228. Число операций деления скаляров (вида • а\/■ а\ при у = 1, 2,п, у" Ф /) равно п — 1.

229. Число операций умножения при умножении строки на скалярывида при у=1, 2,.,п, у*/) равно п(п-1).

230. Общее число операций умножения и деления на третьем этапе равноп2 + п(п -1)+ п -1 = 2п2 -1.4.ый этап. Преобразование (13).

231. Число операций деления при делении единицы на скаляр (вида

232. Число операций умножения при умножении скаляра на строку

233. Общее число операций умножения и деления на четвертом этапе равно п +1.

234. Общее число операций умножения и деления на четырех этапах равно2п2 -1 + 2п(п — 1) + 2п2 — 1 + я +1 = 6п2 -п-1.

235. Число операций умножения при использовании выражения (14), тоесть при умножении строк на столбец (вида • Ъ при у = 1, 2, .,п) равно л2.

236. Общее число операций умножения и деления, необходимых для повторного решения системы {а + сгт .х = Ь равно 1п2 —п — 1.

237. При использовании формулы Шермана-Моррисона на повторноерешение СЛАУ требуется число операций, пропорциональное п 17, 70.

238. Таким образом, при малом числе искомых неизвестных предложенная модификация имеет преимущество перед формулой Шермана — Моррисона по вычислительным затратам.

239. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ВЫБОРОМ ВЕДУЩЕЙ СТРОКИ И ХРАНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ФОРМИРУЕМОЙ МАТРИЦЫ

240. Покажем также, что элементы матрицы Р можно, по мере их вычисления, помещать на место элементов матрицы А, не используемых при следующих преобразованиях. Такое хранение элементов сокращает объем используемой памяти ЭВМ.

241. Решение системы уравнений с выбором ведущей строки

242. Аналогично выбору ведущего элемента по столбцу при использовании метода исключения Гаусса 13, 19. может быть выполнен выбор ведущей строки матрицы Р. Такая аналогия основывается на предложении 2.1.

243. Пусть выполнена обработка р столбцов матрицы А, 0 < р < п -1.

244. Для обработки (р + 1)-го столбца ар+1 в качестве ведущей выбирается такаястрока матрицы Р, которая не является ведущей ни для одного изобработанных ранее столбцов матрицы А и дает максимальное по абсолютной величине произведение fj ■ ар+1.

245. Считаем, что присвоение переменной s(j) значения номера соответствующей строки происходит сразу же после умножения строк матрицы F на столбец a¡ матрицы А и выявления максимального поабсолютной величине произведения.

246. Следуем тому же соглашению в отношении обозначения суммы, которое было принято перед записью выражений (2.30). Используем обозначение:т , .z(s(m)) = X fTj+l)s(k) ' as{k)m+\ + as(m+í)m+\ ■ С1)