Абсолютная непрерывность спектра двумерного периодического оператора Шрёдингера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Штеренберг, Роман Григорьевич

• Штеренберг, Роман Григорьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Штеренберг, Роман Григорьевич

Введение

1. Определение оператора. Основной результат

2. Разложение в прямой интеграл. Схема Томаса

3. Оценки для свободного оператора

4. Оценки для магнитного потенциала

5. Доказательство теоремы 2.7 при д — 1, ?/ =

6. Случай переменной скалярной метрики

7. Доказательство теоремы 1.

Публикации по теме диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Абсолютная непрерывность спектра двумерного периодического оператора Шрёдингера»

1. Спектральный анализ периодических операторов математической физики имеет как общетеоретическое, так и прикладное значение. В основе этого анализа лежат разложения Флоке-Блоха, являющиеся аналогом (хотя и не полным) разложений Фурье. В сравнительно широких предположениях метод Флоке-Блоха показывает, что спектр периодического оператора имеет зонную структуру. При этом из общих соображений не следует, что не могут существовать "вырожденные" зоны, сводящиеся к точке. Эта точка должна была бы представлять собой собственное значение бесконечной кратности. Ясно, что наличие или отсутствие таких точек существенно отражается на выводах о физических свойствах рассматриваемой периодической структуры. Господствующая точка зрения состоит в том, что в достаточно "регулярных" случаях вырожденных зон быть не должно. Однако, строгое обоснование этой гипотезы в каждом конкретном случае представляет собой довольно сложную математическую задачу и требует использования довольно продвинутой математической техники. Более того, само представление о "регулярных" случаях достаточно размыто и ограничивается наличием контрпримеров. Эти контрпримеры связаны либо с недостаточной гладкостью коэффициентов, либо с другими особенностями в постановке вопроса. Например, известен гладкий эллиптический оператор четвертого порядка, имеющий вырожденную зону.

2. Операторы математической физики обычно имеют второй (или первый) порядок, что несколько смягчает остроту ситуации. Однако, и здесь известны контрпримеры, связанные с негладкостью коэффициентов (см., например, [1]). В то же время наличие определенных особенностей у коэффициентов вполне реалистично с точки зрения применений. Поэтому важно уметь исключать наличие вырожденных зон при возможно более широких предположениях на коэффициенты. Поскольку доказательство отсутствия сингулярного непрерывного спектра представляет собой сравнительно простую задачу, отсутствие вырожденных зон фактически устанавливает абсолютную непрерывность спектра соответствующего оператора.

3. Настоящая работа посвящена исследованию абсолютной непрерывности спектра периодического двумерного оператора Шредингера при наличии метрики и электрического и магнитного потенциалов. При этом электрический потенциал может содержать "сингулярную" составляющую в виде заряда (распределения), сосредоточенного на периодической системе кривых. Потенциалы такого рода возникают, например, в теории фотонных кристаллов (см. [2]). Надо отметить, что эксперимент в ряде случаев не дает здесь возможности отличить очень узкие зоны от вырожденных. В настоящей работе показано (см. теорему 1.8 ниже) математическими средствами, что вырожденных зон в задачах такого типа быть не может.

4. Перейдем к обзору предшествующих результатов относительно абсолютной непрерывности спектра оператора Шредингера, причем не будем ограничиваться двумерным случаем. Рассмотрим оператор

Б-А(х))^(х)(Б-А(х))+ У(х), хеК^ й > 2. (В.1)

Здесь И = —«V; ^(х) — скалярный электрический потенциал, А(х) — векторный магнитный потенциал, <?(х) = {у-?'(х)}, 1 < з,1 < й, — положительная матрица (метрика). Предполагается, что V, А и д вещественны и периодичны относительно некоторой решетки Г в МЛ Через П обозначим элементарную ячейку решетки Г.

Первый результат получен в известной работе Л. Томаса [3] в 1973 г. для оператора Шредингера

-Д + К(х) 3

В.2) в 1,2 (К3) с периодическим потенциалом V Е Томас предложил метод доказательства абсолютной непрерьшности спектра, который использовался в большинстве дальнейших исследований. Этот метод опирается на разложение Флоке-Блоха и существенно использует аналитическое продолжение этого разложения на комплексные значения квазиимпульса. Подробно схема Томаса изложена в §2. Результат Томаса был обобщен в книге [4] на случай произвольной размерности (1> 2. Предполагалось, что V € ¿г(^) при Л — 2,3, V £ Ьа(И), в > <1— 1, при (I > 4. В дальнейшем условия на V были значительно ослаблены в заметно сложнее. В [11] был рассмотрен оператор (В.З) (в случае V = 0) при условии "малости" магнитного потенциала. Там же было отмечено, что если отказаться от условия малости, то магнитный оператор уже не удается исследовать как аддитивное возмущение "свободного" оператора -Д. Эта трудность была преодолена М. Ш. Бирманом и Т. А. Суслиной [12] в двумерном случае. Рассмотрения [12] основаны на изучении двумерного оператора Паули (Б - А(х))2 + д\А2{х) - с^Л^х), допускающего удобную факторизацию (см. (4.16) ниже). Это позволило учесть "магнитное" возмущение как мультипликативное. В [12] установлена абсолютная непрерывность спектра оператора (В.З) при (1 = 2, Ае С(К2), V € В дальнейшем, в [5] условия на потенциалы были ослаблены:

5], [6] и в [7]—[10].

Случай магнитного гамильтониана

Б-А(х))2 + К(Х)

В.З)

А £ ЬГ(П), г > 2; У£Ьв{П),д> 1.

В.4)

Отметим, что при условиях (В.4) оператор (В.З) задается в терминах соответствующей квадратичной формы.

Позднее, в работе [13] условие (В.4) на магнитный потенциал было заменено на более широкое условие

J |А|21п° (1 + |А|)гЬс < оо, а > 1. и

Допускались также другие, более широкие классы магнитных потенциалов, связанные с повторными логарифмами. Отдельно отметим работу [10], в которой была доказана абсолютная непрерывность спектра оператора (В.2) в £2(К2) для потенциалов V из класса Като Кч (см. [14]). Это условие на V шире, чем (В.4), поскольку имеет место включение У Ьв(£1) с Кг- Однако, для работы [10] существенным является ограничение А = 0.

При в, > 3 задача для оператора (В.З) оказалась значительно сложнее, чем при (I — 2. Она была решена А. Соболевым [15]. В [15] установлена абсолютная непрерывность спектра оператора (В.З) при (I > 3, А € См+3(0) и V б з > <1-1. Впоследствии, условие на магнитный потенциал было ослаблено. В [16] предполагалось, что А е Ял(0), 2а > Ы-2, и в [17], [18] — А 6 2у >(1-2, <1> 3.

В [5] была развита абстрактная схема теории возмущений для операторов, заданных через формы. На основе этой схемы результат из [15], [16] был обобщен в [6] на более широкий класс потенциалов V:

V е с/= 3,4; <* > 5. (В.5)

При этом ограничения на А остались прежними.

При А = 0 (т. е. для оператора (В.2)) условие (В.5) было заменено в [7] условием V € для любых (1 > 3.

Значительные трудности связаны с включением переменной метрики д{х). Исключение представляет случай скалярной метрики, обсуждавшийся в [б]. Именно, пусть д{х) = и>2(х)а, (В.6) где а — постоянная положительная матрица, cu — положительная Г-периодическая функция. При некоторых, не слишком обременительных, условиях гладкости на tu, в [6] отмечено, что задача об абсолютной непрерывности спектра оператора (В.1) с метрикой вида (В.6) в d> 2, сводится к аналогичному вопросу для оператора (В.З).

В работе А. Морама [19] при d — 2 доказана абсолютная непрерывность спектра оператора (В.1) с метрикой более общего вида, а именно, в случае g £ С°°, detg = 1, А е У G Ld = 2. (В.7)

Доказательство в [19] технически сложно и основано на оценках несколько иного типа, чем оценки Томаса. Впрочем, в двумерном случае существуют (см. [16], [20]) глобальные изотермические координаты, сохраняющие периодичность. Используя эти координаты, можно при d — 2 преобразовать оператор (В.1) с метрикой общего вида к оператору с конформной (скалярной) метрикой. При этом решетка периодов и потенциалы изменятся. Этот прием позволяет получить результаты из [19] прямым сведением к случаю скалярной метрики. Условия на <7, А, V тогда оказываются заметно шире, чем (В.7).

При d > 3 вопрос об абсолютной непрерывности спектра оператора (В.1) с метрикой общего вида остается открытым. В связи с этим укажем на недавнюю интересную работу [21], где была установлена абсолютная непрерывность спектра (гладкого) оператора (В.1) для Г = Zd, d > 2, при условии инвариантности оператора относительно симметрии xv — Условие гладкости в данной работе является несущественным и может быть легко ослаблено; условие же инвариантности, напротив, является ключевым.

Отметим также недавний отрицательный результат Н. Д. Филонова [1]: при d > 3 построен пример периодического оператора (В.1) с метрикой g £ f~) Са и А = 0, V — 0, имеющего собственное значение а<1 бесконечной кратности.

Кроме оператора Шредингера исследовался периодический оператор Дирака, оператор Максвелла, оператор теории упругости (см., например, [13], [17], [18], [22]—[24]). Изучались также задачи в периодических областях (волноводах). Отметим в этой связи работы [20], [25]—[29]. Более подробный обзор результатов по абсолютной непрерывности спектра периодических операторов математической физики приведен в [6], [27], [30].

5. Во всех предыдущих работах условия на коэффициенты ставились в терминах их принадлежности различным функциональным классам, что каждый раз требовало варьирования техники. В настоящей работе для изучения двумерного оператора Шредингера мы применяем несколько другой подход, позволяющий существенно ослабить условия на коэффициенты. С этой целью мы рассматриваем в (К2) оператор несколько более общего вида х))-1 ((Б - А(х)Г*(х)(0 - А(х)) + У(х)) Мх))"\ х € К2. (В.8)

Здесь У(х) — обобщенный электрический потенциал, задаваемый как распределение, г](х) — положительная Г-периодическая весовая функция. Точное определение оператора (В.8) дается через квадратичную форму £ 9з1т - А1)г)~1и)([Щ - А^г}~1и)(1х + / \^1и\Чи. (В.9) К2 3,1 К2

Здесь (1и — Г-периодический вещественный борелевский заряд локально конечной вариации. Обобщенный электрический потенциал V порождается зарядом ¿.и. Формально V = йи/<1х.

Точные условия на заряд описаны в §1 (см. условия Ш-(ш)). Существенно, что накладываются различные условия на положительную

1и+ и отрицательную ¿и части заряда. При этом, область определения формы (В.9) определяется по замыканию с множества г/С^°(М2). Сейчас отметим лишь, что для выполнения условий О)-(Ш) достаточно справедливости оценки

У \и\2\6и |<е У |Уи| 2с*х + С(е; !\и\2Лх., Уее(ОД), иеЯ1^). и и п

В .10)

В этом случае область определения формы (В.9) совпадает с г/Я"1 (К2).

Определение обобщенного электрического потенциала через заряд оказывается очень удобным. В частности, это позволяет включить в рассмотрение сингулярные потенциалы, сосредоточенные на периодической системе кривых. Именно, пусть £ — Г-периодическая система кусочно-гладких кривых, (¿95 (х) — элемент длины дуги на сг(х) — Г-периодическая вещественная функция на Е. Тогда можно рассмотреть заряд вида ¿и = УНх + ^¿.^(х), который порождает сингулярный электрический потенциал У+аб^ (здесь ¿х — дельта-функция, сосредоточенная на Е). Подробнее, см. п. 1.6. Сингулярные потенциалы такого вида естественным образом возникают, например, в теории фотонных кристаллов (см. [2]).

До сих пор при изучении абсолютной непрерывности спектра оператора Шредингера рассматривался лишь случай "регулярного" электрического потенциала V, отвечающего абсолютно непрерывному заряду ¿V — Уйх. И в этом частном случае условия 0)-(Ш) (и даже условие (В.10)) оказываются заметно шире, нежели условия, накладывавшиеся на электрический потенциал в предыдущих работах. Отметим также, что условие (В.10) равносильно компактности вложения класса Н1 (£2) в пространство 1*2(П;

В аналогичных абстрактных терминах ниже задается условие на магнитный потенциал. Предполагается, что выполнена оценка (ср.

В .10))

А\1\и\Ч-х<е У |Уи|2ггх + С(е;0,А) j \и\2сЬс, € (ОД), и € Н1{П), п и п или, что то же, компактно вложение в Ь2(£1\ |А|2).

Обсудим теперь условия на метрику. Представим матрицу д в виде д(х) = ¿и2(х)(Д)(х), где = 1, си(х) := (ёе^х))1/4. Относительно до предполагается лишь, что

4)1 < 9о(х) < са, 0 < со < с! < оо, х € К2.

Условия на скалярный множитель ы несколько жестче. Именно, мы считаем выполненными следующие соотношения:

0 < и>0 < ^(х) < и>1 < оо, X е К2, си е я,1ос(М2),

J \Чш\2\и\2<Ь.<е J \^и\Чх + С{е;П,ш) ^ \и\2(Ы, Уе€(0,1), и€Н1{П). » п $г

Предложенные нами условия на метрику и магнитный потенциал также существенно шире, нежели в предшествующих работах.

Неотрицательная весовая функция г](х) предполагается почти везде положительной и такой, что вложение Н1 (17) в г/2) компактно. Отметим, что ход доказательства приводит к оператору с нетривиальной весовой функцией, даже если в исходном операторе было т) = 1 (весовая функция неизбежно возникает при использовании глобальных изотермических координат, см. [16] и п. 7.2 настоящей работы). Поэтому удобно включить весовую функцию ?7 в оператор (В.8) с самого начала.

6. Основной результат работы — теорема 1.5 об абсолютной непрерывности спектра оператора (В.8). Отдельно, в теореме 1.8 формулируется результат в важном для приложений случае, когда ¿и = Vr.bc + аНву^х); условия на заряд тогда могут быть упрощены (см. п. 1.6; там же приведены некоторые примеры зарядов иного типа). Отметим, что наши условия на коэффициенты выражены в терминах компактности некоторых вложений. Именно отказ от рассмотрения конкретных функциональных классов позволяет существенно ослабить условия на коэффициенты и включить в рассмотрение широкий класс сингулярных возмущений. Предложенные "абстрактные" условия на ¿и, А, да и г/ фактически неулучшаемы.

Аналогичный результат при схожих условиях на коэффициенты был получен в задаче об абсолютной непрерывности спектра двумерного оператора Шредингера (В.8) в односвязном периодическом волноводе (см. [31], [32]).

Т. В основе наших рассмотрений лежит подход Томаса. Этот метод использует разложение периодического оператора в прямой интеграл. Затем операторы, действующие в слоях прямого интеграла, продолжаются на комплексные значения параметра слоя (квазиимпульса). Дальнейшее сводится к оценкам резольвенты этих операторов при больших мнимых значениях квазиимпульса. Именно получение таких оценок представляет конкретную трудность в каждой новой задаче. В нашем случае соответствующие оценки составляют содержание теоремы 2.7, из которой впоследствии выводится теорема 1.5. Часть нужных нам фактов заимствована из работ [5], [12] в готовом виде.

Исходно теорема 2.7 об оценках доказывается для случая, когда матрица д — единичная. Затем оценки переносятся на случай скалярной метрики (В.6). Наконец, использование глобальных изотермических координат позволяет доказать теорему 1.5 в полном объеме.

8. В § 1 приведены исходные определения и формулируются основные результаты диссертации. В §2 собран необходимый материал относительно схемы Томаса, и сформулирована опорная теорема 2.7 об оценках. В §§ 3,4 устанавливаются оценки, нужные для доказательства теоремы 2.7 при д — 1, г) = 1. Доказательству теоремы 2.7 при д = 1, г) = 1 посвящен § 5. В § б мы включаем в рассмотрение скалярную метрику. В § 7 мы завершаем доказательство теоремы 2.7 и выводим из нее теорему 1.5 в случае скалярной метрики; затем доказываем теорему 1.5 в полном объеме.

9. В заключение кратко сформулируем основные положения, которые выносятся на защиту.

В диссертации исследуется задача об абсолютной непрерывности спектра двумерного периодического оператора Шредингера с метрикой, магнитным (векторным) потенциалом, электрическим потенциалом и весовой функцией при минимальных ограничениях на данные задачи. Условия на коэффициенты ставятся в терминах компактности некоторых вложений. Это позволяет, в частности, рассмотреть важные для применений случаи разрывных коэффициентов. В качестве электрического потенциала впервые допускаются обобщенные функции (заряды). Оператор задается через замкнутую полуограниченную форму. Осуществляется разложение периодического оператора в прямой интеграл, в слоях которого действуют операторы с дискретным спектром, зависящие от параметра слоя (квазиимпульса). Эти операторы аналитически продолжаются на комплексные значения квазиимпульса. В случае скалярной метрики получены оценки на убывание нормы резольвенты этих операторов при больших мнимых значениях квазиимпульса. При помощи этих оценок с использованием глобальных изотермических координат, на основании абстрактной теории прямых интегралов устанавлена абсолютная непрерывность спектра оператора.

Все полученные результаты являются новыми.

Результаты работы опубликованы в статьях [БСШ], [Ш1]-[Ш4].

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю М. Ш. Бирману за постановку задачи и большое внимание к работе. Автор благодарит также Т. А. Суслину за многочисленные полезные обсуждения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Штеренберг, Роман Григорьевич, 2003 год

1. H. Д. Филонов, Эллиптическое уравнение второго порядка в дивергентной форме, имеющее решение с компактным носителем, Проблемы матем. анализа, СПб, вып. 22 (2001), 246-257.

2. P. Kuchment, The mathematics of photonic crystals, Ch. 7 in "Mathematical modeling in optical science", G. Bao, L. Cowsar, and W. Masters (Editors), Frontiers in Appl. Math., Vol. 22, SIAM, Philadelphia, PA, 2001, 207-272.

3. L. Thomas, Time dependent approach to scattering from impurities in a crystal, Comm. Math. Phys. 33 (1973), 335-343.

4. M. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов, Мир, М., 1982.

5. М. Щ. Бирман, Т. А. Суслина, Абсолютная непрерывность двумерного периодического магнитного гамильтониана с разрывным векторным потенциалом, Алгебра и Анализ 10 (1998), вып. 4, 1-36.

6. М. Ш. Бирман, Т. А. Суслина, Периодический магнитный гамильтониан с переменной метрикой. Проблема абсолютной непрерывности, Алгебра и Анализ 11 (1999), вып. 2, 1—40.

7. Z. Shen, On absolute continuity of the periodic Schrodinger operators, International Math. Res. Notices 2001(1) (2001), 1-32.

8. Z. Shen, The periodic Schrodinger operator with potentials in the C. Fcfferman-Phong class, Preprint mparc №99-455 (1999), http: / / www.ma.utexas.edu/mp arc

9. Z. Shen, The periodic Schrodinger operator with potentials in the Morrey-Campanato class, Preprint mparc (1999).

10. Z. Shen, Absolute continuity of periodic Schrodinger operators with potentials in the Kato class, Preprint mp arc №00~294 (2000).

11. R. Hempel, I. Herbst, Bands and gaps for periodic magnetic hamiltonians, in Operator Theory: Advances and Applications 78 (1995), 175-184.

12. M. Ш. Бирман, Т. А. Суслина, Двумерный периодический магнитный гамильтониан абсолютно непрерывен, Алгебра и Анализ 9 (1997), вып. 1, 32-48.

13. И. С. Лапин, Абсолютная непрерывность спектра двумерных периодических магнитных операторов Шредингера и Дирака с потенциалами из классов Зигмунда, Проблемы матем. анализа, СПб, вып. 22 (2001), 74-105.

14. X. Цикон, Р. Фрезе, В. Кирш, Б. Саймон, Операторы Шредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии, М., Мир, 1990.

15. А. V. Sobolev, Absolute continuity of the periodic magnetic Sclirodinger operator, Invent. Math. 137(1) (1999), 85-112.

16. P. Kuchment and S. Levendorskii, On the structure of spectra of periodic elliptic operators, Trans. Amer. Math. Soc. 354 (2002), 537-569.

17. JI. И. Данилов, Об абсолютной непрерывности спектра периодических операторов Шредингера и Дирака. I. Рукопись деп. в ВИНИТИ 15.06.2000, №1683-800.

18. Л. И. Данилов, Об абсолютной непрерывности спектра периодических операторов Шредингера и Дирака. II. Рукопись деп. в ВИНИТИ 09.04.2001, №916-В2001.

19. A. Morame, Absence of singular spectrum for a perturbation of a two-dimensional Laplace-Beltrami operator with periodic electromagnetic potential, J. Phys. A: Math. Gen. 31 (1998), 7593-7601.

20. E. Shargorodsky and A. V. Sobolev, Quasi-conformal mappings and periodic spectral problems, University of Sussex at Brighton, Preprint №2001-07 (2001).

21. L. Friedlander, On the spectrum of a class of second order periodic elliptic differential operators, Comm. Math. Phys. 229 (2002), 49~55.

22. M. Sh. Birman and T. A. Suslina, The periodic Dirac operator is absolutely continuous, Integr. equ. oper. theory 34 (1999), 377—395. Birkhiiuser Verlag, Basel, 1999.

23. A. Morame, The absolute continuity of the spectrum of Maxwelloperator in a periodic media, J. Math. Phys. 41, №10 (2000), 70997108.

24. В. И. Дергузов, Математическое исследование периодических цилиндрических волноводов, I, Вестник ЛГУ, №13 (1972), 32-40; II, Вестник ЛГУ, №19 (1972), 14-20.

25. В. И. Дергузов, О дискретности спектра периодической краевой задачи, связанной с изучением периодических волноводов, Сибирский матем. ж. 21 (1980), №5, 27-38.

26. P. Kuchment, Floquet theory for partial differential equations, Birkhàuser Verlag, Basel, 1993.

27. A. V. Sobolev and J. Walthoe, Absolute continuity in periodic ■waveguides, University of Sussex at Brighton, Preprint №2000-19 (2000).

28. Т. А. Суслина, Абсолютная непрерывность спектра периодического оператора Максвелла в слое, Зап. научн. семин. ПОМИ 288 (2002), 232-255.

29. Т. A. Suslina, Absolute continuity of the spectrum of periodic operators of mathematical physics, Journées equations aux dérivées partielles, Nantes, 5-9 juin 2000.

30. T. A. Суслина, P. Г. Штеренберг, Абсолютная непрерывность спектра магнитного оператора Шредингера с метрикой в двумерном периодическом волноводе, Алгебра и Анализ 14 (2002), вып. 2, 159-206.

31. Р. Г. Штеренберг, Оператор Шредипгера в периодическом волноводе на плоскости и квази-конформные отображения, Зап. научн. семин. ПОМИ 293 (2003).

32. М. Z. Solomyak, Spectral problems related to the critical exponent in the Sobolev embedding theorem, Proc. London Math. Soc. (3) 71 (1995), 53-75.

33. В. А. Солонников, H. H. Уральцева, Пространства Соболева, В кн. "Избранные главы анализа и высшей алгебры", Изд-во Ленингр. университета, 1981, 129-197.

34. Т. А. Суслина, Р. Г. Штеренберг, Абсолютная непрерывность спектра оператора Шредингера с потенциалом, сосредоточенным на периодической системе гиперповерхностей, Алгебра и Анализ 13 (2001), вып. 5, 203-247.

35. Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, М., Мир, 1972.

36. Y. Aharonov and A. Casher, Ground state of a spin -1/2 charged particle in a two-dimensional magnetic field, Phys. Rev. A. (3) 19 (1979), 2461-2462.

37. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, Основные состояния двумерного электрона в периодическом MCLZHUTtiHOM поле, JK. эксперим. и теор. физ. 79 (1980), №3, 1006-1016.

38. В. Г. Мазья, Пространства С. Л. Соболева, Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.

39. М. А. Красносельский, П. П. Забрейко, Е. И. Пустыльник, П. Е. Соболевский, Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, М., Наука, 1966.

40. И. Н. Векуа, Обобщенные аналитические функции, Гос. изд-во физико-матем. литературы, Москва, 1959.

41. L. Ahlfors and L. Bers, Riemann's mapping theorem for variable metrics, Annals of Math. 72 (1960), №2, 385-404.