Задачи для параболо-гиперболических уравнений и соответствующие спектральные вопросы с параметром в граничных точках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Капустин, Николай Юрьевич

• Капустин, Николай Юрьевич
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Капустин, Николай Юрьевич

Введение

Глава 1. Задача Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с волновым оператором в гиперболической части

§1. Априорная оценка для классического решения.

§2. О существовании и единственности классического решения

§3. Об однозначной обобщенной разрешимости в классе Ь

§4. Изучение задачи Трикоми спектральным методом

§5. О классической задаче с коэффициентом и спектральным параметром в граничном условии, возникающей в теории задачи Трикоми.

Глава 2. Задача Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с вырождающейся гиперболической частью

§1. Определения. Некоторые свойства пространства допустимых функций

§2. Априорная оценка для классического решения.

§3. О существовании и единственности классического решения.

§4. Об однозначной обобщенной разрешимости в классе Ь

Глава 3. Задача с квадратом спектрального параметра в граничном условии и задача со спектральным параметром в двух граничных условиях

§1. Построение биортогонально сопряженной системы для задачи с квадратом спектрального параметра в граничном условии.

§2. О равномерной сходимости ряда Фурье для задачи с квадратом спектрального параметра в граничном условии.

§3. О спектральной задаче из математической модели крутильных колебаний стержня со шкивами на концах.

Глава 4. Об одной смешанной задаче для уравнения теплопроводности со смешанной производной в граничном условии

§1. О спектральной задаче, возникающей при решении смешанной задачи со смешанной производной.

§2. О корректности смешанной задачи со смешанной производной

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи для параболо-гиперболических уравнений и соответствующие спектральные вопросы с параметром в граничных точках»

Актуальность темы диссертации. Исторически, первые глубокие исследования в области уравнений смешанного типа появились в двадцатые годы двадцатого века. Ф.Трикоми [208,190] для эллиптико-гиперболического уравнения рассмотрел краевую задачу, которая сейчас называется задачей Трикоми для уравнения Трикоми. Затем С.Геллерстедт [202,203] исследовал обобщения задачи Трикоми для более общих уравнений эллиптико-гиперболического типа.

Новым этапом в развитии теории краевых задач для уравнений смешанного типа явились работы М.А.Лаврентьева [124], Ф.И.Франкля [193], И.Н.Векуа [38], А.В.Бицадзе [34,35], Л.В.Овсянникова [157], К.И.Бабенко [27]. В этих работах указывалось на актуальность задач для уравнений эллиптико-гиперболического типа в связи с трансзвуковой газовой динамикой, теорией магнитодинамических течений, теорией бесконечно малых изгибаний поверхностей. Появились, также, работы по изучению краевых задач для параболо-гиперболических уравнений. Исследования в области теории уравнений смешанного типа стали проводиться не только по вопросам классической разрешимости краевых задач, но и по вопросам обобщенной разрешимости в различных функциональных классах, а также было начато активное изучение задач с нелокальными граничными условиями.

Уравнения смешанного параболо-гиперболического типа возникают при математическом моделировании различных процессов естествознания, например, при изучении движения газа или малосжимаемой жидкости в канале, окруженном пористой средой. В канале газодинамическое давление жидкости или газа удовлетворяет волновому уравнению, а в пористой среде описывается уравнением фильтрации, которое в этом случае совпадает с уравнением диффузии. Математическое исследование напряженности электромагнитного поля в неоднородной среде, состоящей из диэлектрика и проводящей среды, приводит к системе, состоящей из волнового уравнения и уравнения диффузии. Многие задачи теплообмена в средах с различным временем релаксации и массообмена в капиллярно-пористых средах также сводятся к задачам для параболо-гиперболических уравнений. О математических моделях естествознания, приводящих к такого рода проблемам математического характера, написано в работах Я.С.Уфлянда [192], А.Г.Шашкова [198], А.М.Нахушева [151], Х.Азиза и Э.Сеттари [1].

В конце семидесятых - начале восьмидесятых годов двадцатого века работы Е.И.Моисеева [138-140], С.М.Пономарева [159,160], Т.Ш.Кальменова [80] положили начало развитию спектральной теории краевых задач для уравнений смешанного типа. В основе спектрального метода решения некоторых задач для уравнений параболо-гиперболического типа лежат задачи со спектральным параметром в граничных условиях. Эти задачи возникают и в ряде математических моделей для уравнения одного параболического или гиперболического типа. Еще М.Пуассон [206] в 1820 г. рассматривал вопрос о движении тела, подвешенного к концу нерастяжимой нити. А.Кнезер [205] в 1914 г. изучал колебания струны с распределенной плотностью, в некоторых точках которой сосредоточены массы. А.Н.Крылов [121] и С.П.Тимошенко [187] рассматривали задачу о продольных колебаниях стержня, как одну из актуальных задач естествознания, к которой сводится теория индикатора паровой машины, изучение крутильных колебаний вала с маховиком на конце и крутильных колебаний шкива с подвешенной на конце массой. Классическая задача о колебаниях струны или мембраны, нагруженной сосредоточенными массами, связана с изучением вибраций крыльев самолета. Аналогичные математические модели возникают в задачах о распространении тепла в средах, граничащих с сосредоточенными теплоемкостями и задачах об изучении электромагнитных колебаний в системах с сосредоточенными емкостями и самоиндукциями, которые рассматривались А.А.Самарским [183] и А.А.Виттом [40], А.А.Виттом и С.П.Шубиным [41].

Спектральные задачи, возникающие в теории уравнений смешанного типа, как правило, являются несамосопряженными. Большой вклад в науку был внесен академиком В.А.Ильиным, получившим .фундаментальные результаты по спектральной теории для несамосопряженных дифференциальных операторов. Им установлены необходимые и достаточные условия базисности подсистемы собственных и присоединенных функций пучка М.В. Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов, необходимые и достаточные условия базисности в Ьр и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений и разложений по системам экспонент. Им установлена связь между видом краевых условий и свойствами базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям несамосопряженного дифференциального оператора, проведено изучение вопроса о безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка [71-79].

В работе А.А.Шкаликова [197], опубликованной в 1983 г., построена общая теория спектральных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных точках, где доказаны теоремы кратной базисности, разложения и полноты для выделенных классов краевых задач: регулярных, почти регулярных и нормальных. В различных функциональных пространствах доказаны теоремы полноты и базисности в зависимости от гладкости коэффициентов. А.М.Ахтямов в цикле работ [5-26], посвященных математическому моделированию и численному исследованию в диагностике закреплений и нагруженности механических систем, получил ряд новых важных результатов в теории обратных задач Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. Им предложены алгоритмы решения задач со сложным вхождением спектрального параметра в граничные условия, представлены соответствующие формулы диагностики механических систем и строительных конструкций. В работах З.С.Алиева [4], Н.Б.Керимова и З.С.Алиева [116-118], Н.Б.Керимова и В.С.Мирзоева [119] рассмотрены вопросы базисности в пространстве Ьр(0,1 ),р > 1 систем собственных функций некоторых краевых задач для обыкновенных дифференциальных операторов второго и четвертого порядка со спектральным параметром в граничном условии. В некоторых случаях используются осцилляционные свойства решений и свойства пространств с индефинитной метрикой. Классические результаты по этим вопросам содержатся в работах А.Ф.Никифорова и В.Б.Уварова [156], Т.Я.Азизова и И.С.Иохвидова [2].

В работах В.М.Говорова [44,45], В.М.Говорова и М.Барновской [46] изучен вопрос об однозначной обобщенной разрешимости в классе 1/2 первой смешанной задачи для параболического и гиперболического уравнений с негладкими граничными и начальными условиями. Исследована точность априорных оценок решений в соответствующих классах. В диссертации в параграфах 1-3 гл. 1 и гл. 2 рассматривается вопрос об однозначной обобщенной разрешимости в классе ¿2 задачи Трикоми для параболо-гиперболических уравнений с волновым в гл. 1 и вырожденным в гл. 2 операторами в гиперболической части. Для доказательства априорных оценок решений предложен метод вспомогательных функций, основанный на решении задачи Коши для уравнения первого порядка с разрывным коэффициентом, дающий возможность получать некоторую информацию о гладкости решения на линии изменения типа. Учет геометрии области при применении метода сглаживающих функций был проведен, например, в работах В.П.Диденко [53-56], Ю.В.Девингталя [49-51] и К.Моравец [204].

В параграфе 4 гл. 1 проводится исследование спектральным методом задачи Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с волновым оператором в гиперболической части в случае однородных граничных условий на характеристике в гиперболической части и на нехарактеристическом отрезке задания условий в параболической. Общий подход методом разделения переменных к изучению такого рода проблем для уравнений смешанного типа предложен в работах академика Е.И.Моисеева [138-145] на примере классических задач Трикоми и Франкля. В диссертации на основе анализа билинейного ряда, представляющего решение рассмотренной в параграфе 4 задачи Трикоми для параболо-гиперболического уравнения, получена точная в классах Ьр и С априорная оценка этого решения и таким образом установлена максимальная гладкость обобщенного решения.

В параграфе 5 гл. 1 рассмотрена задача со спектральным параметром в граничном условии, которая возникает при решении методом разделения переменных задачи Трикоми, изученной в параграфе 4. В предположении, что постоянный коэффициент в граничном условии может принимать и комплексные значения, проводится исследование полноты, минимальности и базисности системы корневых функций, отвечающих этой спектральной задаче.

В параграфе 2 гл. 2 доказана априорная оценка решения задачи Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с вырожденной на линии изменения типа гиперболической частью, которая в отличие от случая волнового оператора справедлива без условия "нормировки". В параграфе 1 этой главы изучены некоторые свойства пространства допустимых функций на характеристике в области гиперболичности, а параграф 4 посвящен доказательству теоремы об однозначной обощенной разрешимости в классе ¿2 этой задачи. При доказательстве в параграфе 3 леммы о классической разрешимости рассматриваемой в гл. 2 задачи Трикоми с достаточно гладкими правой частью уравнения смешанного типа и граничными функциями использовалась идея Ф.Трикоми [208] о сведении задачи к интегральному уравнению на линии изменения типа. Этот метод является классическим и применялся в работах многих авторов; для эллиптико-гиперболических уравнений описан в книгах А.В.Бицадзе [34,35] и М.М.Смирнова [186], а для параболо-гиперболических уравнений использован в работах О.А.Репина [166170], А.М.Нахушева [152,153], В.А.Елеева [57-63] и др.

В первом параграфе гл. 3 изучается задача с квадратом спектрального параметра в граничном условии. Эта задача получается при решении методом разделения переменных смешанной задачи для уравнения теплопроводности с граничным условием в виде аналога оператора теплопроводности, в котором время и пространственная переменная поменялись местами. К этой же спектральной задаче приходят, когда решают вопрос о возможности почленного дифференцирования ряда, полученного при решении спектральной задачи с граничным условием третьего рода общего вида с линейным вхождением спектрального параметра. Рассматриваются вопросы полноты, минимальности, базис-ности и построения биортогонально сопряженной системы для выделенной минимальной подсистемы. Во втором параграфе главы 3 изучается равномерная сходимость в классах непрерывных и непрерывно-дифференцируемых функций соответствующих спектральных разложений.

Известная математическая модель, описывающая малые крутильные колебания стержня, состоит из волнового уравнения для угла поворота стержня, в котором коэффициент при операторе дифференцирования по пространственной переменной прямо пропорционален модулю сдвига, полярному моменту инерции поперечного сечения и обратно пропорционален моменту инерции единицы длины стержня, и соответствующих граничных условий. Если на обоих концах стержня находятся шкивы, то интерпретирующие действия сил граничные условия содержат вторые производные по времени. Решая соответствующую математическую задачу методом разделения переменных, мы получим спектральную задачу со спектральным параметром в обоих граничных условиях, рассмотренную в третьем параграфе гл. 3. К этой спектральной задаче можно свести методом разделения переменных задачу для параболо-гиперболического уравнения с волновым оператором и оператором теплопроводности в случае наличия двух линий изменения типа. Обсуждаются вопросы полноты, минимальности и базисности. В связи с этим отметим работу З.С.Алиева [3], опубликованную в 2010 г.

В гл.4 рассматривается начально-краевая задача для уравнения теплопроводности со смешанной производной в граничном условии, возникающая, например, при решении методом разделения переменных задачи о распространении тепла в среде, состоящей из участков, для которых принимаются различные гипотезы о конечности или бесконечности скорости распространения тепла. Математической моделью в этом случае служит начально-краевая задача для параболо-гиперболического уравнения теплопроводности с соответствующим равенством потоков на границе раздела, которое приводит к условию со смешанной производной. В связи с этим изучаются две задачи со спектральным параметром в граничном условии, которые появляются при решении этой смешанной задачи методом разделения переменных. В первом параграфе рассматриваются вопросы полноты, минимальности и базисности систем собственных функций, отвечающих спектральным задачам. Изучается равномерная сходимость разложений по указанным системам. В параграфе 2 отмечено, что эта смешанная задача в традиционной постановке некорректна, так как ее решение существует, но не единственно. Указано достаточное условие корректности и доказана единственность решения с помощью принципа максимума. Отметим, что одной из первых работ, где применялся принцип максимума для уравнений смешанного типа, была статья С.Агмона, Л.Ниренберга и М.Проттера

199]. Спектральным методом построено решение этой смешанной задачи в виде ряда.

В связи с рассматриваемыми в диссертации вопросами отметим работы Ж.Бен Амара и А.А.Шкаликова [29], Ж.Бен Амара [200],

A.А.Шкаликова [195,196], Ю.М.Березанского [30-32], Б.Т.Билалова [33], В.Д.Будаева [36,37], В.В.Власова [42,43], Г.Г.Девдариани [48],

B.И.Жегалова [64-67], А.Н.Зарубина [68,69], А.Г.Костюченко и

A.А.Шкаликова [120], А.Г.Кузьмина [122], В.М.Курбанова [123],

B.Б.Лидского [126,127], Ж.-Л.Лионса [128], И.С.Ломова [129132], А.С.Макина [133,134], Д.Б.Марченкова [135], С.В.Мелешко и Ю.В.Покорного [136], В.П.Михайлова [137], В.А.Нахушевой [154], З.А.Нахушевой [155], А.А.Полосина [158], А.В.Псху [161,162],

C.П.Пулькина [163], С.П.Пулькина и А.М.Ежова [164], Л.С.Пулькиной [165], О.А.Репина и С.В.Ефимовой [171], Е.М.Русаковского [172], К.Б.Сабитова [173-175], К.Б.Сабитова и Н.В.Мартемьяновой [176], К.Б.Сабитова и Л.Х.Рахмановой [177], К.Б.Сабитова и Э.М.Сафина [178,179], В.А.Садовничего, Я.Т.Султанаева и А.М.Ахтямова [180,181], А.П.Солдатова [184,185], Е.А.Уткиной [191], М.М.Хачева [194], С.Т.Фултона [201], М.Розо [207], Ж.Уолтера [209].

Цели исследования. 1) Изучение вопроса об однозначной обобщенной разрешимости в классе ¿2 задачи Трикоми с негладкими граничными условиями для параболо-гиперболических уравнений с волновым оператором в гиперболической части и вырождающимся на линии изменения типа гиперболическим оператором; 2) получение спектральным методом точной априорной оценки в классах Lp и С решения задачи Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с волновым оператором в гиперболической части в случае, допускающем применение метода разделения переменных; 3) изучение полноты, минимальности и базисности в пространстве р > 1 систем корневых функций классических задач со спектральным параметром в граничных условиях, возникающих в теории уравнений смешанного типа, а также формулировка условий, обеспечивающих сходимость соответствующих спектральных разложений в классах непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций на отрезке; 4) решение спектральным методом вопроса о корректности постановки смешанной задачи со смешанной производной в граничном условии для оператора теплопроводности, возникающей при описании процесса теплопередачи параболо-гиперболическим уравнением.

Научная новизна полученных результатов. Доказаны новые теоремы как в теории параболо-гиперболических уравнений, так и в спектральной теории задач с параметром в граничных условиях. В случае, допускающем спектральный подход к решению задачи Трикоми, установлена точная в классах Ьр и С априорная оценка решения и, тем самым, доказана максимальная гладкость обобщенного решения. Сформулировано условие корректности постановки смешанной задачи со смешанной производной в граничном условии из теории параболо-гиперболического уравнения теплопроводности. Получены новые результаты по вопросам полноты, минимальности и базисности в пространствах Ьр, где р > 1, С, С1 систем корневых функций задач со спектральным параметром в граничных условиях, возникающих в теории уравнений смешанного типа.

Методы исследования. Для получения априорных оценок решения задачи Трикоми для параболо-гиперболических уравнений используется метод вспомогательных, сглаживающих функций. В случае спектрального подхода для получения априорных оценок - анализ представляющего решение билинейного ряда с использованием принципа максимума и классических неравенств из функционального анализа. Для изучения вопросов базисности в Ьр, р > 1 вводится вполне непрерывный оператор как функция выделенной минимальной подсистемы и соответствующего известного ортонормированного базиса с предварительным построением биортогонально сопряженной системы и выводом асимптотических формул для собственных значений и собственных функций. Сходимость спектральных разложений в классах С, С1 установлена на основе асимптотических формул для функций биортогонально сопряженной системы и последующим учетом граничных условий нелокального характера.

Практическая и теоретическая значимость результатов. Полученные в диссертации результаты и подходы к исследованиям могут быть использованы при дальнейшем развитии теории уравнений смешанного типа, спектральной теории несамосопряженных операторов, а также в других областях математики. Возможно широкое применение этих результатов при математическом моделировании процессов колебаний нагруженных тел, газодинамических процессов, различных физических явлений в теории теплообмена и массообмена в капиллярно-пористых средах.

Апробация работы. По материалам диссертации были сделаны доклады на многих семинарах и конференциях, из которых можно выделить следующие: научно-исследовательский семинар кафедры общей математики факультета ВМК МГУ под руководством академика В.А.Ильина, академика Е.И.Моисеева и чл.-корр. РАН И.А.Шишмарева, научно-исследовательский семинар кафедры функционального анализа и его применений факультета ВМК МГУ под руководством академика Е.И.Моисеева, научно-исследовательский семинар кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ под руководством профессора А.А.Шкаликова, 3-rd and 4-th Internatinal Conference on Applied Informatics (1997 and 1999, Eger-Noszvaj, Hungary), XXIII Seminar on Stability Problems for Stochastic Models (2003, Pamplona, Spain), Международная конференция "Тихонов и современная математика"(2006, Москва), конференция факультета ВМК МГУ "Тихоновские чте-ния"(2010, Москва), конференция МГУ "Ломоносовские чтения"(2011, Москва), посвященная 300-летию со дня рождения М.В. Ломоносова.

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации изложены в работах автора [81-101] и работах [106,146,147], выполненных совместно с Е.И.Моисеевым.

Автор выражает глубокую благодарность академикам Владимиру Александровичу Ильину и Евгению Ивановичу Моисееву за постоянное внимание к его научной деятельности и поддержку.

Сформулируем более подробно основные результаты диссертации.

В параграфе 1 главы 1 для классического решения задачи Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с волновым оператором в гиперболической части ихх(х,у)-иуу{х,у) = д(х,у), у< 0, их(х,у)-иуу(х,у) = д(х,у), у > О

1.1) в области Л, представляющей собой объединение треугольника с вершинами в точках Л(0,0), С( 1/2, —1/2), В( 1, 0), квадрата с вершинами в точках Д М(0,1), Аг( 1,1), В и интервала где под решением понимается функция и(х,у) из класса С(/}) ПС1 (.О) ПС1,2(.0+) П являющаяся решением уравнения (1.1) в областях и удовлетворяющая граничным условиям и(х,у)\сА = 'Ф(у)1 и(х,у)\АМ = /(у), и(х,у)\мм = (1-2) я,!/) 6 Ср+и^"), ^(у) € С[-1/2,0],/(у) € С[0,1],#г) е

С[0,1],-0(0) = /(0), /(1) = </>(0), установлена справедливость априорной оценки.

Лемма 1.1. Пусть функция и(х, у) - классическое решение задачи Трикоми (1.1)-(1.2), причем ф{0) = 0,д(х,у) Е 1/2 Тогда для этого решения справедлива оценка

Ф,у)\\ь2(о) + 1Кт,0)||£2(о,1) ^ С1^\\д(х,у)\\ыо)+

1.3)

1^Ы1и2(-1/2,о) + 11/Ы1и1(о,1) + 11Ф01к(о,1)), в которой положительная постоянная С\ не зависит от функции и(х,у).

В параграфе 3 этой же главы показано, что оценка (1.3) без условия нормировки ф(0) = 0, вообще говоря, неверна.

Там же обсуждается вопрос об однозначной обобщенной Ь2(0) — разрешимости задачи Трикоми

Ьи(х,у) = д(х,у), (ж,г/)еД и(х, у)\Ас = Ф(у),

1.16) и{х,у)\лм = /{у), и(х,у)\мм = Ф(х), где д(х,у) еЫИ), ф(у)еЬ2(-1/2,0), у)еь1(0,1), фО е ¿2(0,1),

1.17) а дифференциальный оператор Ь соответствует левой части уравнения (1.1): их(х,у) - иуу(х,у), у > 0.

Ьи{х,у) = < у), У < 0.

Для этого вводится в рассмотрение число II, которое полагается равным пределу функции ф в точке у = 0 слева, если этот предел существует.

Определение 1.2. Назовем обобщенным Ь2(0)— решением задачи Трикоми (1.16)-(1.17) со значением из 1/2(0,1) на линии изменения типа пару функций [и(х,у),т(х)],и(х,у) Е Ь2(0),т(х) Е ¿2(0,1), удовлетворяющих тождеству

JJ[д(х,у)у(х,у) - и(х,у)Ь*у(х,у)](1х(1у = 1Гу(0,0)

- j 1{у)ъ{х,у)(1у + 2 j ф{у)(Ь{х,у) + j ф{х)Уу(х,у)<1х- (1.18) ам ас мы для любой функции у(х,у) е ^ ^"Ч^О) = у~(х, 0),х е {0,1),у(х,у)\свивмимм = 0]у+(х,0),у+(х,0)- следы со стороны области 0+, у~(х,0),у~(х,0)— следы со стороны области ав

Ух{х,у) - Ууу{х,у), у> 0, ь*у(х,у) = < у), У < 0.

Сформулирована и доказана

Теорема 1.1. Пусть д{х,у) - произвольная функция из класса Z/2(-D), а функции ф(у), /(у),ф(х) - любые элементы из пространств L2(—1/2, 0), Li(0,1), £2(0,1) соответственно. Тогда существует единственное обобщенное ¿^(-D) ~ решение задачи Трикоми (1.16)-(1.17) со значением из ¿2(0,1) на линии изменения типа.

В параграфе 4 главы 1 на основе представления решения задачи Трикоми (1.1)-(1.2) в виде билинейного ряда доказана

Теорема 1.2. Пусть f{y) G Са[0,1], a G (0,1], /(0) = /(1), g(x,y) = 0, (ж, у) G D+ U D~, ф{у) = 0, у G [-1/2,0], ф(х) = 0, х G [0,1], е - любое число из полуинтервала (0,2]. Тогда существует классическое решение задачи Трикоми (1.1)-(1.2) и для этого решения справедлива оценка

Mx,y)\\b3^(D+) + I\и(х,у)\\ст ^ CV||/(y)IUi(o,i)> (1-24) где постоянная C-j не зависит от функции и(х,у).

Установлено, что оценка (1.24) при е = 0, вообще говоря, неверна.

Оценка (1.24) может быть обобщена на случай р > 1, т.е. имеет место неравенство

Hx,y)\\b3p^(D+) + Ых,У)\\С(П=) < CV||/(y) 11^(0,1) для любого € G (0, 3р — 1].

В параграфе 5 главы 1 рассмотрена спектральная задача и"(х) + Хи(х) = 0, же (0,1), 19

1.31) и{ 0) = 0, u'(l) = d\u{l), (1.32) где d - любое комплексное число, отличное от нуля. Эта задача имеет собственные функции

Un(x) = V^sin (1.33)

7г/2 < агдл/Хп ^ 7г/2, где собственные числа An, п = 1, 2,3,. являются занумерованными в порядке возрастания их абсолютных величин корнями характеристического уравнения ctg \/Л = dy/X. (1.34)

Сформулированы и доказаны две теоремы.

Теорема 1.3. Если d ^ {ctg z/z], где {z} - множество (комsinz cos г плексных) корней уравнения 1 Н--= 0, то система {ип(х)\, п = 1,2,., га — l,rn+l, • • • собственных функций задачи (1.31)-(1.32) без любой собственной функции является базисом в пространстве Lp(0,1), р > 1 (базисом Рисса при р = 2). Биортогонально сопряженная система (Фп(а;)} к этой системе состоит из функций Фп(х), где

Фп(а;) = -- 1 2 (л/2 sin у/Кх - V2s'm у/Х^х),

1 + asm у/Хп \ sin у Хт /

77 = 1, 2, . , 777 — 1, 777 + 1, . . . .

Если d — ctg z/z, где комплексное число z - любой корень уравнения 1 + ——CQS = 0; то вся система (1.33) собственных функций задачи (1.31)-(1.32) образует базис в пространстве Lp(0,1), р > 1 (базис

Рисса при р — 2). Биортогоналъно сопряженная система {Фп(а')} к этой системе состоит из функций Фп(х), где A¿ = z2, i(x) = y/2 sin y/Xix - —4=V2cos y/xix, dy/Xi

Фn{x) = -- 1 2 f\/2sin \f\nx - sm V^ñ^/2sin ^/xlX\

1 + a sin y/Án \ sin \/ái / n = 1, 2,. Л — 1, i + 1,.

Для собственной функции «¿(.т) вводится в рассмотрение функция ^(х), которая является решением задачи у'Цх) + \vi{x) = ж G (0,1), (1.35)

Эта функция имеет вид vi(x) = ал/2 sin \/Л/х--л/2 cos y/Xix, где о; - произвольное комплексное число.

Теорема 1.4. Если d = ctgz/z, где комплексное число z - любой sin z COS z г / м корень уравнения 1 Н--= (J, то система {ип{х)\, состоящая из собственных функций (1.33) задачи (1.31)-(1.32) ,п = 1,2, .J — 1,1 + 1,. , и присоединенной функции щ(х) = vi(x), A¿ = z2 (вместо собственной функции выбрана соответствующая ей присоединенная) при а Ф ^ ^ ^^ образует базис в пространстве Ьр(0,1), р > 1 (базис Рисса при р = 2). Биортогоналъно сопряженная система {Фп(х)} к этой системе состоит из функций $п(х), где

Фг(я) =--^\/2sin y/Xix - —^==y/2œs y/Xix^j, a------* 1

6(d+l) 1

1 + d sin2 d2 sin y/X^ sin y/Xi y/2 sin \J\nx--; sin yJ~Xixd a

2 sin sin y/X~i x ix dy/Xi

6(d+l)' n = 1,2,., / — 1, / + 1,. y/2 COS y/xix

В замечании к теореме 1.4 сказано, что система функций {«„(а;)} при а = пГ 7 не полна и не минимальна. Функция

6(d+l) у/2 sin \/\ix x dy/Xi y/2 cos \pk\x ортогональна ко всем элементам этой системы и справедливо разложение d

6(d+l) y/2 sin y/Xix x y/2 cos \/\ix = ë i , л 1 2 /V- [ (^Sin >Afc* - SmV^\/2sin l + dsinVA)t J \ sin y/Xi кф1 о t X y/2 cos y/Xitdt 2 y/^r sin y/Xi y/2 sin y/XkX. x

В параграфе 2 главы 2 для классического решения задачи Трико-ми для параболо-гиперболическое уравнения с нехарактеристической линией изменения типа и вырожденной на линии изменения типа гиперболической частью

-уихх(х, у) - иуу(х, у) = д(х, у), у < О,

2.1) их{х,у) - иуу(х,у) = д{х,у), у > О в области И, представляющей собой объединение характеристического треугольника уравнения (2.1) с вершинами в точках А(0, 0), С(1/2, — /), 5(1, 0), / = (3/4)(2/3), квадрата 1)+ с вершинами в точках А, М(0,1), N{1,1), В и интервала АВ, где под решением понимается функция и(х, у) из класса С(П) П С1 (Б) П С1'2(И+) П С2(£>~), являющаяся решением уравнения (2.1) в областях и удовлетворяющая граничным условиям и{х,у)\сА = Ф{у), и{х,у)\АМ = ¡(у), и(х,у)\мм = ф(х), (2.2) д(х,у) е С(Б+ и И-), ф(у) е СН,0],/(у) е С[0,1],ф(х) е С[0,1],"0(0) = /(0), /(1) = 0(0), установлена справедливость априорной оценки

Лемма 2.2. Пусть функция и(х,у) - классическое решение задачи Трикоми (2.1)-(2.2), причем д(х, у) Е 1/2(^). Тогда для этого решения справедлива оценка и{х,у)\\ь2{в) < С1(^\\д(х,у)\\Ыо)+

2.12)

1Му)Нсн,О) + 11/Ы1и1(од) + \\Ф^)\\ь2т), в которой положительная постоянная С\ не зависит от функции и{х,у).

Предварительно в параграфе 1 введено в рассмотрение функциональное пространство С(—/,0) измеримых на интервале (—/,0) функций ф{у), для которых существуют понимаемые в смысле Лебега интегралы о о

I (-у)ф2(у)с1у, I (-уГ^ФШу, (2.6)

-i а норма в этом пространстве определяется по формуле о о

1№(у)цсн,0) = (i {-у)ф2шу)1'2 +1 (~у)-1/2ш\с1у.

-I -I

Там же сформулированы и доказаны два утверждения, описывающих свойства этого пространства.

Априорная оценка (2.12) справедлива без условия нормировки для решения в точке (0,0), в отличие от оценки (1.3).

В параграфе 4 главы 2 обсуждается вопрос об однозначной обобщенной 1/2(.О)— разрешимости задачи Трикоми. Для этого вводится в рассмотрение дифференциальный оператор Ь, который соответствует левой части уравнения (2.1): их(х,у) - иуу{х,у), у> 0,

Ьи{х. у) = < - уихх(х, у) - Пуу(х, у), у < 0.

Определение 2.2. Назовем обобщенным Ь2{0)— решением задачи Трикоми

Ьи(х,у) = д(х,у), (х,у)еО, и{х,у)\АС = ф(у), и(х,у)\АМ = ¡{у), и(х,у)\мм = Ф(х), где

2.3) д(х, у) е ^ДРу)ф{у) € Ы-1, 0),

-2/)(-1/2)Л) е 0), (2.4)

1(у)еь1(0,1), ф(х)еь2(0,1), функцию и(х,у) £ Ь2{0), удовлетворяющую тождеству fJl^(x^ у)у(х1 У) = в ~ J ¡{у)ъ{х,у)(1у+ J ф(х)уу{х,у)(1х+ (2.5)

АМ МИ J Ф(у)(у/(-у)^(ж, у) + л/(—у)) ас для любой функции V {х,у) е Ж21'2(^+)ПЖ22(£>-)ПЖ21(^); подчиненной граничным условиям у(х,у)\свивыимы = 0. Сопряженный оператор Ь* к оператору Ь определяется по формуле:

Ь*ь(х,у) =

-ьх(х,у)-ууу(х,у), у> 0,

- уухх{х, у) - Ууу(х, у), у < 0. 25

Сформулирована и доказана

Теорема 2.2. Пусть д(х,у) - произвольная функция из класса Ь2(В) , а функции ф(у), /(у), ф(х) - любые элементы из пространств 1,0), 1/1(0,1), 1/2(0,1) соответственно. Тогда существует единственное обобщенное 1/г(-0) - решение задачи Трикоми (2.3)-(2.5).

В параграфах 1 и 2 главы 3 изучается спектральная задача с квадратом спектрального параметра в граничном условии

Х"(х) + XX (х) =0, 0<х<1, (3.4)

Х(1) = 0, Х'{0) = -сД2Х(0), (3.5) решением которой является система собственных функций

Хп(х) = 8тл/\г(1 - X), 72=1,2,3,., отвечающих собственным значениям Ап из характеристического уравнения сЬду/А = й?(\/А)3. (3.6)

Уравнение (3.6) имеет счетное число положительных корней и, в случае (1 > 0, один отрицательный корень, а в случае д < 0 два комплексных корня, сопряженных друг другу. Обозначим через Ах и А2 - любые два корня этого уравнения, а остальные положительные корни расположим в порядке возрастания. В параграфе 1 построена биортогонально сопряженная система к исходной системе без двух собственных функций.

Лемма 3.1. Биортогонально сопряженная система {Ут(х)},т = 3,4, 5,. к системе (Хт(2-)}, т = 3,4, 5,. будет состоять из функций вида

1 + 3d\m sin2

Xm(x)

ATO — A2)^m(0) . . (Am — Ai)XTO(0) , '

-Ада;] ——-\ w /п\ л2\х)

AI-A2)XI(0)

A2 - AI)X2(0)

В формулах для функций биортогонально сопряженной системы следует сопряженные комплексные собственные значения и их соответствующие собственные функции поменять местами.

В параграфе 2 главы речь идет о равномерной сходимости спектральных разложений по системе собственных функций задачи (3.4)-(3.5).

Доказаны следующие утверждения

Теорема 3.1. Пусть f(x) Е С[О,1]. Тогда функция f(x) разложима в равномерно сходящийся ряд Фурье на отрезке [0,1] по системе {Xfc(rc)}, к = 3,4, 5,. в том и только в том случае, когда функция

F(*) = + Ж-и1"!- /Г* d{Ai — А2) sin v Ai sin у A2 i x J[sin y^sin - t) - sin y/\~ism — t)]f(t)dt o разложима в равномерно сходящийся на отрезке [0,1] ряд Фурье по системе {л/2 sin — 2)х}, к = 3,4, 5,.

Следствие. Пусть f(x) G Са[0,1], где Са - класс Гелъдера положительного порядка, и удовлетворяет условиям: /(1) = 0 и -n -1 лг • лгх а{Ai — Á2) sinyAi sin y/X2

3.9) 1 x J[sin v^sin -t)- sin y/x¡sm \/X¡(l - t)]f(t)dt = 0. o

Тогда функция f(x) разложима в равномерно сходящийся ряд Фурье на отрезке [0,1] по системе (Х^т)}, к = 3,4, 5,.

Теорема 3.2. Пусть f{x) £ CQ[0,l],a > 0,/(1) = 0. Тогда функция f(x) разложима в равномерно сходящийся ряд оо т = £ i к=2

1 + 3dXk sin у/Хк dV2 sin \/~Xk(Xk — Ai)/(0)+ in y/Xk / (4/2sin -t)- sin y/Mil - t

J \ sin y/Xi o sin yfx{ x y/2 sin y/Xk(l - x) x

3.12) на отрезке [0,1] по системе {Х^(гс)}, к = 2,3,4,.

Теорема 3.4. Пусть функция /(х) принадлежит классу Гельде-ра С1+а[0,1], а > 0 и удовлетворяет граничному условию /(1) = 0.

Тогда эта функция разложима в равномерно сходящийся на отрезке [0,1] ряд (3.12) по системе {Хк(х)},к = 2,3,4,.причем этот ряд можно почленно дифференцировать, и ряд, составленный из производных, будет сходиться равномерно на отрезке [0,1] к производной

В параграфе 3 главы 3 рассматривается спектральная задача и"{х) + Ли{х) = 0, х е (0,1), (3.23) г/(0) + аАи(О) = 0, и'(1) - ЪХи{1) = 0 (3.24) со спектральным параметром в обоих граничных условиях; а и Ь - заданные положительные числа.

Установлены два утверждения

Теорема 3.5 .В случае несовпадения параметров а и Ь выберем любые два номера т и п, а в случае равенства а и Ь выберем любые два номера тип разной четности. Обозначим г¡(х) = ит(х),Г2(х) = ип(х), а из оставшихся элементов нашей системы собственных функций (3.25) составим новую систему {щс(х)} в порядке возрастания собственных чисел А& без номеров пит. Тогда эта подсистема будет образовывать базис в пространстве Ьр(0,1),р > 1 (при р=2 базис

Рисса), а биортогоналъно сопряженная система {и!к;(х)} к новой системе {г1/е(х)} будет вычисляться по формуле х , s Uk{0)r2{l) - гц(1)г2(0) «fc(0)ri(l)-«fc(l)ri(0) '

Щ[Х) n(0)r2(l) - n(l)r2(0) niXj + n(0)r2(l) - n(l)r2(0) r2iX)

Теорема 3.6. Пусть a = b, тип- любые два номера одинаковой четности. Удалим из нашей системы собственных функций (3.25) две функции с номерами тип, а из оставшихся элементов составим новую систему {^(а;)} в порядке возрастания собственных чисел \ без номеров пит. Тогда построенная подсистема (w/c(x)} исходной системы собственных функций задачи (3.23)-(3.24) будет не полна и не минимальна в L2(0,1) .

В параграфе 2 главы 4 изучается смешанная задача следующего вида. Пусть требуется найти непрерывную на замыкании D области D = {(.т, t) : 0 < х < 1,0 < t < Т} функцию и(х, t), удовлетворяющую уравнению теплопроводности ut(x,t) = uxx{x,t). О < я < 1, 0 <t<T, (4.5) начальному условию u(x,0) = f(x), O^x^l (4.6) и граничным условиям и{ 1, t) = 0, аих{0, t) + uxt(0, t) = Ъщ(0, t), (4.7)

О < t < Т, a,b = const > 0. В связи с этим в параграфе 1 рассмотрена спектральная задача

Y"(x) + XY{x) = 0, 0 < х < 1, (4.1)

У'(1) = 0, (а-А)У(0) = ЬУ'(0), (4.2) в которой коэффициенты а и b - положительные постоянные. Собственные функции этой задачи имеют вид

Yn(x) = \/2со8Л/Л^(1 -х), п = 0,1,2,. с положительными собственными числами Ап из характеристического уравнения

Ьу/Х

Нулевой индекс присваивается любой наперед выбранной собственной функции, а все остальные нумеруются в порядке возрастания собственных чисел. Функции биортогонально сопряженной системы (Фп(х)} к системе (УЦа;)}, п = 1, 2, 3,. определяются по формуле т / л гк( л cos^cos^a-xh Фп(я) = V2 cos л/Ап(1 -х)--—--х

COS V AQ ' COS2 л/ХЦ , о cos2 y/\t\

Сформулированы и доказаны следующие утверждения Теорема 4.1. Пусть д(х) Е С[0,1]. В этом случае ряд оо \

I] / *пШ№Уп(х) (4.4) п= 1 0 сходится равномерно на отрезке [0,1] к функции д(х) тогда и только тогда, когда сходится равномерно ряд Фурье для функции b 1 g(x) Н--у= f cos л/Ло(1 — s)g(s)ds no ортонормированному базису cos V Ao о уДcos(^ + тг(п - 1)) (1 - ar)}, n = 1,2, 3,.

Следствие. Пусть g(x) принадлежит классу Гельдера Са[0,1] с любым положительным показателем а и выполнено условие д(0) + b 1

--¡= fcos\/Ao(l — s)g(s)ds = 0. Тогда функция д(х) разложима в cos VA0 о ряд (4-4)> равномерно сходящийся на отрезке [0,1].

Теорема 4.2. Пусть функция д{х) принадлежит классу Гельдера Са[0,1] с любым положительным показателем а. Тогда ее можно разложить в равномерно сходящийся на отрезке [0,1] ряд g(0) cos л/ХЦ J оо -^--Ь J cos vAn(l - t)g(t)dt

9{x) = 2 V---cos ^fx~n{l - x). cos \/Xn a cos v An

II—V ---1-b bXn

Спектральная задача (4.1)-(4.2) необходима при исследовании равномерной сходимости в классе непрерывно дифференцируемых функций спектральных разложений, отвечающих спектральной задаче, возникающей при решении методом разделения переменных задачи (4.5)

4-7),

Х"{х) + ХХ(х) = 0, 0<ж<1, (4.8)

Х(1) = 0, (а - Х)Х'(О) + ХЬХ(О) = 0, (4.9) которая имеет только собственные функции

Хп(х) = у/2 sin -х), п = 0,1, 2,. с положительными собственными числами из того же характеристического уравнения tgy/X = (а— Л)/(Ь-\/Л), что и спектральная задача, рассмотренная в предыдущем параграфе. Нулевой индекс присваивается любой наперед выбранной собственной функции, а все остальные нумеруются в порядке возрастания собственных чисел. Функции биортого-нально сопряженной системы {фк(х)} к системе к = 1,2,3,. определяются по формуле фк(х) = у 2 sin V Afc(l - х)--=--- /

V \/Ак cos V А0 J (л I cos2 V^fc , acos2 V b + ьхк ) ■

Если функция f(x) принадлежит классу Гельдера на [0,1] и /(1) = 0, то она разложима в равномерно сходящийся на [0,1] ряд оо \ = Z / 4>k(t)№dtxk(x) k=i{ по системе {Xk(x)},k = 1,2,3, — Поэтому решение задачи (4.5)-(4.7) можно записать в виде оо \ и{х, t) = J2 Ake~XktXk{x), Ак= f(z)<t>k(z)dz. (4.17) к=1 {

Наличие формулы (4.17) доказывает существование решения задачи (4.5)-(4.7); теорема единственности при такой постановке задачи не имеет места. Потребовав дополнительно непрерывность производной решения задачи (4.5)-(4.7) по пространственной переменной в точке (0,0), мы можем гарантировать единственность решения.

Теорема 4.4. Пусть функция /(х) имеет производную ¡'{х), принадлежащую классу Гельдера Са[0,1] с любым положительным показателем а и /(1) = 0. Тогда существует единственное решение и{хзадачи (4-5)-(4-7) с непрерывной производной их{х^) в точке (0,0), которое представимо в виде ряда

- + /вт - 5')/(з)<&> 0 1 X п=0

СОЭ2 у/Х^ а соэ2 Ь

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Капустин, Николай Юрьевич, 2012 год

1. Азиз X., Сеттари 3. Математическое моделирование пластовых систем. М.: Недра, 1982.

2. Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. М.: Наука, 1986.

3. Алиев З.С. Базисные свойства корневых функций одной спектральной задачи со спектральным параметром в граничных условиях. // Доклады РАН. 2010. Т. 433. № 5. С. 583-586.

4. Алиев З.С. Базисные свойства в пространстве Lp систем корневых функций одной спектральной задачи со спектральным параметром в граничном условии. // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. № 6. С. 764775.

5. Ахтямов A.M. О вычислении коэффициентов разложений по производным цепочкам одной спектральной задачи // Мат. заметки. 1992. Т. 51. № 6. С. 137-139.

6. Ахтямов A.M. Можно ли по одному обертону определить характер закрепления струны? // Вестник Башкирского университета. 1996. № 3(1). С. 12-15.

7. Ахтямов A.M. Единственность восстановления коэффициента дифференциального уравнения 4-го порядка по спектру краевой задачи // Вестник Башкирского университета. 1998. № 3(1). С. 38-40.

8. Ахтямов A.M. Об определении краевого условия по конечному набору собственных значений // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. №8. С. 1127-1128.

9. Ахтямов A.M. О восстановлении краевых условий задачи Штурма-Лиувилля по ее спектру // Вестник Башкирского университета.'1999. № 1. С. 13-17.

10. Ахтямов A.M. О коэффициентах разложений по собственным функциям краевой задачи со спектральным параметром в граничных условиях // Известия вузов. Математика. 2000. № 2. С.13-18.

11. Ахтямов A.M. О восстановлении краевых условий задачи Штурма-Лиувилля по ее спектру // Математическое моделирование. 2000. Т. 12. № 3. С. 6.

12. Ахтямов A.M. О единственности восстановления краевых условий спектральной задачи по ее спектру // Фундаментальная и прикладная математика. 2000. Т. 6. Вып. 4. С. 995-1006.

13. Ахтямов A.M. , Николаенко В.В. Об определении концевой массы вала по собственным частотам его колебаний // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. Т. 8. Вып. 1. С. 92-93.

14. Ахтямов A.M. Распознавание закрепления кольцевой мембраны по собственным частотам ее колебаний // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 2001. Т. 5. № 3. С. 103-110.

15. Ахатов И.Ш., Ахтямов A.M. Определение вида закрепления стержня по собственным частотам его изгибных колебаний // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. Вып. 2. С. 290-298.

16. Ахтямов A.M. О вычислении коэффициентов разложений по производным цепочкам Келдыша для одной эллиптической задачи спараметром в граничном условии // Мат. заметки. 2001. Т. 69. Вып. 4. С. 622-624.

17. Ахтямов A.M. Обратная задача распознавания закрепления кольцевой мембраны по собственным частотам его колебаний // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Т. 9. Вып. 1. С. 154-155.

18. Ахтямов A.M. Определение моментов инерции вращающихся дисков относительно оси вала // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Т. 9. Вып. 3. С. 584-585.

19. Ахтямов A.M. Об одной модели акустической диагностики // Труды Средневолжкого математического общества. 2003. Т. 5. № 1. С. 214-221.

20. Ахтямов A.M. К единственности решения одной обратной спектральной задачи // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 8. С. 10111015.

21. Ахтямов A.M. К решению обратной статической задачи // Электронный журнал "Исследовано в России ". 2003. 49. С.567-573 (. 2003. 49. С.567-573 (http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/049.pdf).

22. Ахтямов А. М. Диагностирование нагруженности механической системы // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2003. № 6. С. 60.

23. Ахтямов A.M. Можно ли определить вид закрепления колеблющейся пластины по ее звучанию? // Акустический журнал. 2003. Т. 49. № 3. С. 325-331.

24. Ахтямов A.M. Диагностирование закрепления кольцевой пластины по собственным частотам ее колебаний // Известия РАН. МТТ.2003. № 6. С. 137-147.

25. Ахтямов A.M. О коэффициентах разложений по собственным функциям краевых задач с параметром в граничных условиях // Мат. заметки. 2004. Т. 75. Вып. 4. С. 493-506.

26. Ахтямов А. М. Диагностирование нераспадающихся условий закрепления // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика.2004. № 7. С. 51-52.

27. Бабенко К.И. К теории уравнений смешанного типа: Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук,-М.,1952.

28. Бари Н.К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве. // Уч. зап. МГУ. 1951. Вып. 148. С. 69-107.

29. Бен Амара Ж., Шкаликов A.A. Задача Штурма-Лиувилля с физическим и спекиральным параметрами в граничном условии. // Мат. заметки. 1999. Т. 66. Вып. 2. С. 163-172.

30. Березанский Ю.М. Энергетические неравенства для некоторых классов уравнений смешанного типа. // Доклады АН СССР. 1960. Т. 132. № 1. С.9-12.

31. Березанский Ю.М. Существование слабых решений некоторых краевых задач для уравнений смешанного типа. // Украинский Математический Журнал. 1963. Т.15. № 4. С. 347-364.

32. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Наукова думка, 1965.

33. Билалов Б.Т. Базисность некоторых систем экспонент, косинусов и синусов. // Дифференциальные уравнения. 19906. Т.26. № 1. С. 10-16.

34. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа.- М.: АН СССР, 1959.

35. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных.- М.: Наука, 1981.

36. Будаев В.Д. Некоторые свойства корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов высокого порядка. // Дифференц. уравнения. 1992. Т.28. № 8. С. 1454-1456.

37. Будаев Б.Д. О необходимых условиях безусловной базисно-сти систем корневых функций несамосопряженных дифференциальных операторов. // Доклады РАН. 1993. Т.329. № 4. С. 396-399.

38. Векуа И.Н. Обощенные аналитические функции.- М.: Физмат-гиз, 1959.

39. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов.- М.: Наука, 1975.

40. Витт A.A. Неоднородная нагруженная антенна. // Журнал прикладной физики. 1928. Т. 5. Вып. 1. С. 3-21.

41. Витт A.A., Шубин С.П. О тонах мембраны, закрепленной в конечном числе точек. // Журнал технической физики. 1931. Т. 1. №№ 2-3. С. 163-176.

42. Власов В.В. Кратная минимальность части системы корневых векторов пучка М.В. Келдыша. // Доклады АН СССР. 1982. Т.263. №6. С. 1289-1293.

43. Власов В.В. О некоторых спектральных вопросах, возникающих в теории дифференциально-разностных уравнений. // УМН. 1998. Т.53. № 4. С. 217-218.

44. Говоров В.М. Первая краевая задача для параболического уравнения с граничной функцией из L2. // Доклады АН СССР. 1978. Т. 239. № 3. С. 515-518.

45. Говоров В.М. Первая краевая задача для гиперболического уравнения с граничной функцией из L2. // Доклады АН СССР. 1982. Т. 262. № 5. С. 1044-1047

46. Говоров В.М., Барновска М. Интегральная оценка обобщенного из класса L2 решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности. // Mathematics Slovaca. 1996. Т. 46. № 2-3. С. 231-238.

47. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука. 1965.

48. Девдариани Г.Г. О базисности одной тригонометрической системы функций. // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. № 1. С. 168-170.

49. Девингталь Ю.В. О существовании решения одной задачи Ф.И. Франкля. // Доклады АН СССР. 1958. Т. 119. № 1. С. 15-18.

50. Девингталь Ю.В. О существовании и единственности одной задачи Ф.И. Франкля. // Известия вузов, Математика. 1958. №. 2(3). С. 39-51.

51. Девингталь Ю.В. К вопросу о существовании и единственностирешения задачи Франкля. // Успехи мат. Наук. 1959. Т. 14. № 1(85). С. 177-182.

52. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН. 1979.

53. Диденко В.П. О некоторых системах дифференциальных уравнений смешанного типа. // Доклады АН СССР. 1962. Т.114. № 4. С.709-712.

54. Диденко В.П. О некоторых системах дифференциальных уравнений смешанного и смешанно-составного типа. // Дифференц. уравнения. 1966. Т.2. № 1. С. 33-36.

55. Диденко В.П. Об обобщенной разрешимости граничных задач для систем дифференциальных уравнений смешанного типа. // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8. № 1. С. 24-29.

56. Диденко В.П. Об обобщенной разрешимости задачи Трикоми. // Украинский Математический Журнал. 1973. Т. 25. № 1. С. 14-24.

57. Елеев В.А. О некоторых краевых задачах для одного вырождающегося гиперболического уравнения второго порядка. // Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7. № 1. С. 24-33.

58. Елеев В.А. О некоторых задачах типа задачи Коши и задачи со смещением для одного вырождающегося гиперболического уравнения. // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12. № 1. С. 46-58.

59. Елеев В.А. Аналог задачи Трикоми для смешанных параболо-гиперболических уравнений с нехарактеристической линией изменения типа. // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. № 1. С. 56-63.

60. Елеев В.А. Обобщенная задача Трикоми для смешанных параболо-гиперболических уравнений. // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. № 1. С. 41-53.

61. Елеев В.А. Обобщенная задача Трикоми для смешанных гиперболо-параболических уравнений с характеристической линией изменения типа. // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 1. С. 59-73.

62. Елеев В.А. Обобщенная задача Трикоми для смешанного гиперболо-параболического уравнения с одновременным вырождением типа и порядка. // Доклады АН СССР. 1980. Т. 253. № 4. С. 796-799.

63. Елеев В.А. Обобщенная задача Трикоми для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа с разрывными коэффициентами. // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17. № 1. С. 58-72.

64. Жегалов В.И. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа четвертого порядка. // Известия вузов, Математика. 1960. № 4(17). С. 73-78.

65. Жегалов В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа высшего порядка. // Доклады АН СССР. 1961. Т. 136. № 2. С. 274-276.

66. Жегалов В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии. // Уч. Зап. Казанского университета. 1962. Т. 122. № 3. С. 3-16.

67. Жегалов В.И. Некоторые краевые задачи для системы уравнений смешанного типа второго порядка. // Уч. Зап. Казанского университета. 1962. Т. 122. № 3. С. 17-19.

68. Зарубин А.Н. Прямая и обратная задачи для дифференциального уравнения диффузии. // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 10. С. 1431-1433.

69. Зарубин А.Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения и запаздывающим аргументом в производной. // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 12. С. 1710-1721.

70. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.1. М.: Мир, 1965.

71. Ильин В.А. Спектральная теория дифференциальных операторов. М.: Наука, 1991.

72. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности подсистемы собственных и присоединенных функций пучка М.В. Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов. // Доклады АН СССР. 1976. Т. 227. № 4. С. 796-799.

73. Ильин В.А. О существовании приведенной системы собственных и присоединенных функций у несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора. // Труды Математ. института им. В.А. Стеклова. 1976. Т. 142. С. 148-155.

74. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. I. // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 5. С. 771-794.

75. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. И. // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 6. С. 980-1006.

76. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности в Ьр и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений и разложений по системам экспонент. // Доклады АН СССР.1983. Т. 273. № 4. С. 789-793.

77. Ильин В.А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка. // Доклады АН СССР. 1983. Т. 273. № 5. С. 1048-1053.

78. Ильин В.А. О необходимом условии равносходимости с тригонометрическим рядом спектрального разложения произвольной суммируемой функции. // Дифференц. уравнения. 1985. Т 21. № 3. С. 371-379.

79. Ильин В.А. О связи между видом краевых условий и свойствами базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям несамосопряженного дифференциального оператора. // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. № 9. С. 1516-1529.

80. Кальменов Т.Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. С. 17181725.

81. Капустин Н.Ю. Об обобщенной разрешимости задачи Трикоми для параболо-гиперболического уравнения. // Доклады АН СССР.1984. Т. 274. №. 6. С. 1294-1298.

82. Капустин Н.Ю. О существовании и единственности Ь2 решения задачи Трикоми для одного параболо-гиперболического уравнения. // Доклады АН СССР. 1986. Т. 291. №. 2. С. 288-292.

83. Капустин Н.Ю. О разрешимости в классе Ь2 задачи Трикоми для одного параболо-гиперболического уравнения с вырождающейся гиперболической частью. // Дифференц. уравнения. 1986. Т.22. № 1. С. 60-66.

84. Капустин Н.Ю. Задача Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с вырождающейся гиперболической частью. I. // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 1. С.72-78.

85. Капустин Н.Ю. Задача Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с вырождающейся гиперболической частью. II. // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 8. С. 1379-1386.

86. Капустин Н.Ю. О Ь2 разрешимости краевых задач для уравнений смешанного типа. // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 1. С. 50-59.

87. Капустин Н.Ю. О новом подходе к изучению краевых задач с обобщенными Ь2 решениями. // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 6. С. 975-982.

88. Капустин Н.Ю. О однозначной разрешимости в классе Ь2 задачи Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с младшими членами. // Доклады АН СССР. 1990. Т. 313. № 4. С. 790-795.

89. Капустин Н.Ю. Об одном свойстве обобщенных аналитических функций. // Доклады РАН. 1992. Т. 322. № 3. С. 465-468.

90. Капустин Н.Ю. Единственность решения задачи Франкля и некоторые вопросы теории обобщенных аналитических функций. // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. № 5. С. 876-884.

91. Капустин Н.Ю. Априорные оценки решения двух задач для обобщенного параболо-гиперболического уравнения. // Доклады РАН. 1995. Т. 341. № 5. С. 585-587.

92. Капустин Н.Ю. Об однозначной разрешимости в классе Ь2 задачи Трикоми с нелокальным условием на линии изменения типа. // Доклады РАН. 1995. Т. 341. № 6. С. 740-743.

93. Капустин Н.Ю. О спектральных задачах, возникающих в теории параболо-гиперболического уравнения теплопроводности. // Доклады РАН. 1996. Т. 349. № 6. С. 736-739.

94. Капустин Н.Ю. К теории обобщенного параболо-гиперболического уравнения теплопроводности. / / Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. № 3. С. 375-383.

95. Капустин Н.Ю. Осцилляционные свойства решений одной несамосопряженной спектральной задачи со спектральным параметром в граничном условии. // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 8. С. 1024-1027.

96. Капустин Н.Ю. О спектральной задаче из математической модели процесса крутильных колебаний стержня со шкивами на концах. // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 10. С. 1413-1415.

97. Капустин Н.Ю. О точной в Ьр оценке решения задачи распространения тепла в стержне с сосредоточенными теплоемкостями на концах. // Доклады РАН. 2006. Т. 409. № 3. С. 310-311.

98. Капустин Н.Ю. Априорная оценка решения одной смешанной задачи для уравнения теплопроводности. // Дифференц. уравнения.2006. Т. 42. № 10. С. 1375-1379.

99. Капустин Н.Ю. Об одной спектральной задаче в теории оператора теплопроводности. // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 10. С. 1509-1511.

100. Капустин Н.Ю. О равномерной сходимости ряда Фурье для спектральной задачи с квадратом спектрального параметра в граничном условии. // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 10. С. 1504-1507.

101. Капустин Н.Ю. О равномерной сходимости в классе С1 ряда Фурье для спектральной задачи с квадратом спектрального параметра в граничном условии. // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. № 10. С. 1394-1399.

102. Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. О спектральной задаче из теории параболо-гиперболического уравнения теплопроводности. // Доклады РАН. 1997. Т. 352. № 4. С. 451-454.

103. Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. О спектральных задачах со спектральным параметром в граничном условии. // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. № 1. С. 115-119.

104. Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. Об одной спектральной задаче для оператора Лапласа на квадрате со спектральным параметром в граничном условии. Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 5. С. 662667.

105. Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. О сходимости спектральных разложений функций из класса Гельдера для двух задач со спектральным параметром в граничном условии. // Дифференц. уравнения. 2000. Т.36. № 8. С. 1069-1074.

106. Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. О базисности в пространстве Lp систем собственных функций, отвечающих двум задачам со спектральным параметром в граничном условии. // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 10. С. 1357-1360.

107. Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. К проблеме сходимости спектральных разложений для одной классической задачи со спектральным параметром в граничном условии. // Дифференц. уравнения. 2001. Т.37. № 8. С. 1599-1604.

108. Капустин Н.Ю., Моисеев Т.Е. О спектральной задаче со спектральным параметром в граничном условии в теории уравнения радиального распространения тепла. // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 10. С. 1382-1386.

109. Капустин Н.Ю., Моисеев Т.Е. Об одной спектральной задаче для уравнения Бесселя нулевого порядка. // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 8. С. 1135-1137.

110. Капустин Н.Ю., Сабитов К.Б. О решении одной проблемы в теории задачи Франкля для уравнения смешанного типа. // Доклады АН СССР. 1991. Т. 317. № 5. С. 1048-1052.

111. Капустин Н.Ю., Сабитов К.Б. О решении проблемы единственности обобщенной задачи Трикоми, возникшей в теории сопла Лаваля. // Доклады АН СССР. 1991. Т. 321. № 6. С. 1151-1154.

112. Капустин Н.Ю., Сабитов К.Б. О решении одной проблемы в теории задачи Франкля для уравнений смешанного типа. // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. № 1 С. 60-68.

113. Капустин Н.Ю., Сабитов К.Б. О решении проблемы единственности решения задачи Франкля для уравнения Чаплыгина. // Успехи матем. наук. 1991. Т. 46. Вып. 6. С. 151.

114. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов М.: Физматгиз, 1958.

115. Кашин B.C., Саакян A.A. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984.

116. Керимов Н.Б., Алиев З.С. Некоторые спектральные свойства одной краевой задачи со спектральным параметром в граничном условии. // Доклады РАН. 2006. Т.411. № 6. С. 741-744.

117. Керимов Н.Б., Алиев З.С. О базисных свойствах одной спектральной задачи со спектральным параметром в граничном условии. // Доклады РАН. 2007. Т. 412. № 1. С. 18-21.

118. Керимов Н.Б., Алиев З.С. О базисности системы собственных функций одной спектральной задачи со спектральным параметром в граничном условии. // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 7. С. 886895.

119. Керимов Н.Б., Мирзоев B.C. О базисных свойствах одной спектральной задачи со спектральным параметром в граничном условии. // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44. № 5. С. 1041-1045.

120. Костюченко А.Г., Шкаликов A.A. К теории самосопряженных квадратичных пучков операторов. // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1983. № 6. С. 40-51.

121. Крылов А.Н. Вибрация судов. М.-Л.: ОНТИ НКТП. 1936.

122. Кузьмин А.Г. Неклассические уравнения смешанного типа. Л.: Изд-во ЛГУ. 1990.

123. Курбанов В.М. О базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений дифференциального оператора 2п-го порядка. // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 7. С. 1279-1280.

124. Лаврентьев М.А., Бицадзе A.B. К проблеме уравнений смешанного типа. // Доклады АН СССР. 1950. Т. 70. № 3. С. 373-376.

125. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1987.

126. Лидский В.Б. О полноте системы собственных и присоединенных функций несамосопряженного дифференциального оператора. // Доклады АН СССР. 1956. Т. 110. № 1. С. 172-175.

127. Лидский В.Б. Несомосопряженный оператор типа Штурма-Лиувилля с дискретным спектром. // Труды Моск. матем. общества. 1960. № 9. С. 45-79.

128. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука. 1987.

129. Ломов И.С. Сходимость биортогональных разложений функций на отрезке для дифференциальных операторов высокого порядка. // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 5. С. 632-646.

130. Ломов И.С. О различных характеристиках, влияющих на скорость сходимости биортогональных рядов, связанных с обыкновенными дифференциальными операторами. // Доклады РАН. 2010. Т. 430. № 6. С. 743-746.

131. Ломов И.С. Зависимость оценок скорости локальной сходимости спектральных разложений от расстояния внутреннего компакта до границы. // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 10. С. 1409-1420.

132. Ломов И.С. Негладкие собственные функции в задачах математической физики. // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. № 3. С. 358-365.

133. Макин A.C. О базисности системы собственных функций одной нелинейной спектральной задачи. // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. Ш 5. С. 612-618.

134. Макин A.C. Об одной задаче на собственные значения для нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля. // Доклады РАН. 2004. Т. 399. № 2. С. 161-164.

135. Марченков Д.Б. Базисность в пространстве Ьр{0,1) системы собственных функций, отвечающей задаче со спектральным параметром в граничном условии. // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10. № 2. С. 143-152.

136. Мелешко C.B., Покорный Ю.В. Об одной вибрационной задаче. // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 8. С. 1466-1467.

137. Михайлов В.П. Об обобщенной задаче Трикоми. // Доклады АН СССР. 1967. Т. 175. № 5. С. 1012-1014.

138. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральнымпараметром. М.: Изд-во МГУ, 1988.

139. Моисеев Е.И. О базисности систем синусов и косинусов. // Доклады АН СССР. 1984. Т. 275. № 4. С. 794-797.

140. Моисеев Е.И. О базисности одной системы синусов. // Дифферент уравнения. 1987. Т. 23. № 1. С. 177-179.

141. Моисеев Е.И. Применение метода разделения переменных для решения уравнений смешанного типа. // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 7. С. 1160-1172.

142. Моисеев Е.И. О безусловной базисности систем собственных и присоединенных функций дифференциальных операторов первого порядка в пространстве вектор-функций. // Mathematics Slovaca. 1990. Т.40. № 3. С. 325-336.

143. Моисеев Е.И. Об одной задаче Лионса. // Доклады АН СССР. 1991. Т. 316. № 6. С. 1306-1311.

144. Моисеев Е.И. О дифференциальных свойствах разложений по системе синусов и косинусов. // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. № 3. С. 389-393.

145. Моисеев Е.И. О базисности систем синусов и косинусов в весовых пространствах. // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 3. С. 359-369.

146. Моисеев Е.И., Капустин Н.Ю. Об особенностях корневого пространства одной спектральной задачи со спектральным параметром в граничном условии. // Доклады РАН. 2002. Т.385. № 1. С. 20-24.

147. Моисеев Е.И., Капустин Н.Ю. Об оценке решения одной задачи для параболо-гиперболического уравнения с помощью рядов Фурье. // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 5. С. 656-662.

148. Моисеев Е.И., Капустин Н.Ю. Уточнение априорной оценки решения одной известной задачи для параболо-гиперболического уравнения. // Доклады РАН. 2009. Т. 427. № 5. С.591-592.

149. Моисеев Е.И., Прудников А.П., Седлецкий A.M. Базисность и полнота некоторых систем элементарных функций. М.: ВЦ РАН, 2004.

150. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

151. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995.

152. Нахушев A.M. К теории краевых задач для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа. // Доклады АН СССР. 1977. Т. 235. № 2. С. 273-276.

153. Нахушев A.M. К теории линейных краевых задач для уравнения второго порядка смешанного гиперболо-параболического типа. // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. № 1. С. 66-73.

154. Нахушева В.А. Смешанные краевые задачи для параболо-гиперболических уравнений. // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1998. Т. 3. № 2. С. 12-15.

155. Нахушева З.А. Об одной нелокальной краевой задаче для вырождающегося гиперболического уравнения второго порядка со спектральным параметром. // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. № 10. С.1452-1465.

156. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1984.

157. Овсянников JI.B. О задаче Трикоми в одном классе обобщенных решений Эйлера-Дарбу. // Доклады АН СССР. 1953. Т. 91. № 3. С. 457460.

158. Полосин A.A. О расположении спектра и отсутствии свойства базисности у системы корневых функций задачи с наклонной производной с переменным углом наклона. // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. № 10. С. 1466-1473.

159. Пономарев С.М. К задаче на собственные значения для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. // Доклады АН СССР. 1977. Т. 233. № 1. С. 39-40.

160. Пономарев С.М. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа в трехмерных областях. // Доклады АН СССР. 1979. Т. 246. № 6. С. 1303-1305.

161. Псху A.B. Задача Франкля для гиперболо-параболического уравнения. // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 1. С. 105-112.

162. Псху A.B. Задача Франкля для одного гиперболо-параболического уравнения. // Доклады АМАН. 1999. Т. 4. № 1. С. 26-30.

163. Пулькин С.П. Задача Трикоми для обобщенного уравнения Лаврентьева-Бицадзе. // Доклады АН СССР. 1958. Т. 118. № 1. С. 3841.

164. Пулькин С.П., Ежов A.M. Оценка решения задачи Трикоми для одного класса уравнений смешанного типа. // Доклады АН СССР. 1970. Т. 193. № 5. С. 978-980.

165. Пулькина JI.C. О разрешимости в пространстве HI задачи Франкля для уравнения смешанного типа. // Тезисы докладов XVI Всесоюзной школы по теории операторов в функциональных пространствах. Н. Новгород. 1991. С. 184.

166. Репин O.A. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Саратов : Изд-во Саратовского университета, 1992.

167. Репин O.A. Нелокальная краевая задача для параболо-гиперболического уравнения с характеристической линией изменения типа. // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 1. С. 173-178.

168. Репин O.A. О разрешимости задачи с краевым условием на характеристиках для вырождающегося гиперболического уравнения. // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 1. С. 110-113.

169. Репин O.A. Аналог задачи Нахушева для уравнения Бицадзе-Лыкова. // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. № 10. С. 1412-1417.

170. Репин O.A. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной. // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 5. С. 638-644.

171. Репин O.A., Ефимова С.В. Нелокальная краевая задача для парабологиперболического уравнения с нехарактеристической линией изменения типа. // Вестник Самарского госуд. техн. Университета. Серия "Физико-математические науки". 2002. Т.16. С. 10-14.

172. Русаковский Е.М. Операторная трактовка граничной задачи со спектральным параметром, полиномиально входящим в граничные условия. // Функц. анализ и его приложения. 1975. Т.9. № 4. С.91-92.

173. Сабитов К.Б. Задача Трикоми для уравнения параболо-гиперболического типа в прямоугольной области. // Мат. заметки. 2009. Т. 86. Вып. 2. С. 273-279.

174. Сабитов К.Б. Начально-граничная задача для нагруженного уравнения параболо-гиперболического типа. // Доклады АМАН. 2009. Т. 11. № 1. С. 66-73.

175. Сабитов К.Б. Краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа с нелокальным интегральным условием. // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 10. С. 1468-1478.

176. Сабитов К.Б., Мартемьянова Н.В. Нелокальная обратная задача для уравнения смешанного типа. // Известия вузов. Математика. 2011. № 2. С. 71-85.

177. Сабитов К.Б., Рахманова JI.X. Начально-граничная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области. // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 9. С. 1175-1181.

178. Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная задача для уравнения параболо-гиперболического типа в прямоугольной области. // Доклады РАН 2009. Т.429. № 4. С. 55-62.

179. Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области.Известия вузов. Математика. 2010. № 4. С. 55-62.

180. Садовничий В.А., Султанаев Я.Т., Ахтямов A.M. Аналоги теоремы единственности Борга в случае нераспадающихся краевых условий // Доклады РАН. 1999. Т. 367. № 6. С. 739-741.

181. Садовничий В.А., Султанаев Я.Т., Ахтямов A.M. О корректности обратной задачи Штурма-Лиуввиля с нераспадающимися краевыми условиями // Доклады РАН. 2004. Т. 395. № 5. С. 592-595.

182. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент.: ФАН. 1975.

183. Самарский A.A. Об одной задаче распространения тепла. 1. // Вестник МГУ. 1947. № 3. С. 85-102.

184. Солдатов А.П. О единственности решения одной задачи А.В.Бицадзе. // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8. № 2. С. 143-146.

185. Солдатов А.П. Решение одной краевой задачи теории функций со смещениями. // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10. N2 2. С. 143-152.

186. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука. 1970.

187. Тимошенко С.П. Прочность и колебания элементарных конструкций. М.: Наука, 1975.

188. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1972.

189. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

190. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. Л.: Го-стехиздат. 1947.

191. Уткина Е.А. Задача Дирихле для одного уравнения четвертого порядка // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. № 4. С. 600-604.

192. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. М.: Наука. 1968.

193. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука. 1973.

194. Хачев М.М. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в прямоугольной области. // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 8. С. 1123-1127.

195. Шкаликов A.A. О базисности собственных функций обыкновенного дифференциального оператора. // УМН. 1979. Т. 34. № 5. С. 235-236.

196. Шкаликов A.A. О базисности собственных функций квадратичных операторных пучков. // Мат. заметки. 1981. Т. 3. С. 371-385.

197. Шкаликов A.A. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях. // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 1983. Т. 9. С. 190-229.

198. Шашков А.Г. Системно-структурный анализ процессов тепло-ообмена и его применение. М.: Энергоатомиздат. 1983.

199. Agmon S., Nirenberg L., Protter M.H. A maximum principla for a class of hyperbolic equations and aplications to equations of mixed elliptic-hyperbolic tipe. // Communs Pure and Appl. 1953. V. 6. № 4. P. 455-470.

200. Fulton C.T. Two-point boundary value problems with eigenvalue parameter contained in the boundary conditions. // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1977. V. 77A. P. 293-308.

201. Gellerstedt S. Sur un problème aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de tipe mixte. Thesis. Upsala.1935.

202. Gellerstedt S. Sur une equation lineaire aux derivees partielles de tipe mixte. Arkiv Mat., Astr. och Fysik. V. 29. 1937. B.25A.

203. Morawetz C.S. A uniqueness theorem for the Francl problem. // Communs Pure and Appl. 1954. V. 7. № 4. P. 697-703.

204. Kneser A. Die Integralgleichungen und ihre Andwendung in der mathematichen Physik. 1922. SS. 191-197.

205. Poisson M. Sur la maniéré d'experimer les fonctions par des series de quantités périodiques, et sur l'usage de cette transformation dans la resolution de différents problèmes. 18eme cahier. V. XI. Paris: l'Ecole Politechnique de Paris, 1820.

206. Roseau M. Vibrations in mechanical systems. Berlin, 1987.

207. Tricomi F. Ulteriori richerche sull'equazione yzxx + zyy = 0. // Rend. Circolo Math. Palermo. 1028. T. 58. P. 63-90.

208. Walter J. Regular eigenvalue problems with eigenvalue parameter contained in the boundary conditions. // Math. Z. 1973. V. 133. P. 301-312.