Восстановление гравитационного поля в дискретной постановке при решении интерпретационных задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, доктор физико-математических наук Арсанукаев, Зайнды Зиявдиевич

• Арсанукаев, Зайнды Зиявдиевич
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Арсанукаев, Зайнды Зиявдиевич

Введение. стр

Глава 1. Методы интерпретации гравитационных и магнитных данных в геофизике.

1.1. Обзор существующих методов интерпретации данных гравитационных и магнитных аномалий. стр

1. 2.Дискретный метод при решении задач гравиметрии и магниметрии.стр

1.2.1. Основы теории дискретных гравитационных полей стр

1.2.2. Основы теории дискретных магнитных полей стр

1.3. Постановка задачи при аналитическом продолжении заданных значений (щ поля в дискретной постановке. стр

1.4. Методы устойчивого решения системы линейных алгебраических уравнений. стр

1.4.1. Метод последовательного умножения полиномов для решения системы линейных алгебраических уравнений. стр

1.4.2. Метод с использованием преобразования Хаусхолдера для решения системы линейных алгебраических уравнений. стр

Глава2 . Компьютерные технологии при вычислении % пространственных элементов аномальных гравитационных полей в горизонтальном слое, расположенном выше источников поля.

2.1. Методика проведения вычислительных экспериментов. стр

2 . 2. Пример прямого пласта. стр

2.3. Пример слоистой структуры. стр

2.4. Пример наклонного пласта. стр

2.5. Фильтрация заданных значений поля — , осложненных помехой, и { дх ф' используемых в качестве входных данных при аналитическом продолжении в двухмерном случае. стр

ГлаваЗ . Компьютерные технологии при аналитическом продолжении заданных значений поля в области, занятые источниками.

3.1. Восстановление пространственных элементов поля в областях с удаленными «купюрами». стр

3. 2. Формальное аналитическое продолжение заданных значений поля в горизонтальный слой, но при этом в этом слое заведомо находятся источники поля. стр

3. 2.1. Формальное аналитическое продолжение заданных значений поля в горизонтальный слой, если заданные значения поля располагаются на двух горизонтальных уровнях z = 0, z = -h. стр

3. 2.1.1. Формальное аналитическое продолжение заданных значений поля в горизонтальный слой , если в модельных примерах аномалеобразующие тела представлены в виде прямых и вертикальных пластов. стр

3. 2.1.2. Формальное аналитическое продолжение заданных значений поля в горизонтальный слой, если в модельных примерах аномалеобразующие тела представлены в виде круговых горизонтальных цилиндров. стр

3. 2.2. Формальное аналитическое продолжение заданных значений поля в горизонтальный слой, если заданные значения поля располагаются на двух горизонтальных верхних уровнях z = 0, z = -h и боковых вертикальных профилях или на полном контуре. стр

3.3. Инвариантность восстанавливаемых значений поля относительно различных решений прямой задачи. стр

3.4. Новые технологии , позволяющие повысить точность восстанавливаемых при аналитическом продолжении значений поля. стр

Глава4 . Дополнительные вычислительные эксперименты для решения различных практических и теоретических задач в дискретной постановке.

4 . 1.Вычисление высших производных потенциального поля. стр

4.2. Локализация особых точек построением функции подобной функции Березкина. стр

4.3. Сглаживание краевых эффектов у аномальных кривых поля Ag. стр 214 4.3.1. Технология сглаживания краевых эффектов у аномальных кривых поляЛ£. стр 214 4 .3 .2 . Составление программ и результаты расчетов. стр

4.4. Сходимость дискретных схем к точному решению при уменьшении шага сетки. стр

4.4.1. Аналитическое продолжение заданных значений поля в дискретной постановке при различных шагах сетки. стр

4.4.2. Исследование сходимости дискретных схем к точному решению при неограниченном уменьшении шага сетки. стр

4.4.2. 1 . Аппроксимация, устойчивость и сходимость стр

4.4.2.1.1. Приближение банахова пространства с помощью последовательности банаховых пространств. стр

4.4.2.1.2. Порядок аппроксимации элемента последовательностью, стр

4.4.2.1.3. Аппроксимация линейных операторов. стр 232 4.4.2. 1 .4. Условие устойчивости. стр 233 4.4.2. 1 .5. Теорема о сходимости приближенной схемы. стр 234 4.4.2.2 .Сходимость разностной схемы в случае уравнения Лапласа.стр

Глава 5. Решение обратной задачи с использованием методов теории дискретного гравитационного поля.

5.1. Пересчет заданных значений поля — на физической поверхности Земли в узлы равномерной сетки с заданным шагом, расположенных на уровнях г = О, г = -Ь. стр

5.2. Постановка задачи при восстановлении значений поля — внутри источников. стр

5.2.1. Потенциал однородной сферы. стр

5 .2.2. Потенциал объемных масс (общий случай). стр

5.3. Компьютерные технологии при решении уравнения Пуассона в дискретной постановке. стр

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Восстановление гравитационного поля в дискретной постановке при решении интерпретационных задач»

Актуальность проблемы.

В последнее десятилетие XX века огромное влияние на прикладную геофизику имело развитие вычислительной техники, и прежде всего -персональных компьютеров. Стали возможными реализации самых сложных вычислительных процедур и с каждым годом эти возможности возрастают. Соответственно возрастает роль математических методов в геофизике. Применение методов и результатов самых современных разделов математики при интерпретации данных об аномальных физических полях должно соответствовать реальной геофизической практике. Это соответствие теории практике достигается за счет: а) введения постановок любых задач, решения которых должны находиться по экспериментальной информации об аномальном поле, с учетом конечности и приближенности этой информации; б) использования аппроксимационного подхода ; в) использования идеи алгебраизации, суть которой в том, чтобы редуцировать решение линейных задач гравиметрии и магнитометрии к проблеме нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений, а решение нелинейных задач редуцировать к нахождению устойчивых приближенных решений последовательности систем линейных алгебраических уравнений.

Адекватные реальной геофизической практике постановки возникают в рамках метода построения дискретных аппроксимаций аномальных физических полей, общая методология и конструктивные основы которого были разработаны В. Н, Страховым. Использование этого метода в современной теории интерпретации имеет два важнейших преимущества: а) в рамках этого метода алгебраизация всех задач интерпретационного характера достигается наиболее простым и естественным образом; б) возникающие в рамках этого метода системы линейных алгебраических уравнений имеют очень сильно разреженные матрицы и специфические (содержащие много нулевых компонент) векторов правых частей.

Цель диссертации: разработка методологии интерпретации данных гравимагниторазведки на основе метода дискретных аппроксимаций физических полей, соответствующей возрастающим потребностям современной геофизической практике.

Основные задачи исследования:

1. Постановка задачи и разработка теории продолжения заданных значений поля в нижнее полупространство на основе метода дискретных аппроксимаций физических полей, предложенного В.Н. Страховым.

2. Разработка алгоритмов и компьютерных технологий продолжения заданных значений поля вертикального градиента потенциала вниз в заданный горизонтальный слой, целиком расположенный выше верхних особенностей, с использованием дискретных аппроксимаций оператора Лапласа в двумерном случае.

3. Разработка алгоритмов и компьютерных технологий продолжения заданных значений поля вертикального градиента потенциала в заданный горизонтальный слой, заведомо содержащий источники поля, с использованием дискретных аппроксимаций оператора Лапласа в двумерном случае.

4. Создание алгоритмов и компьютерных программ в при решении следующих задач в дискретной постановке, обеспечивающих повышение точности восстанавливаемых значений поля при аналитическом продолжении: фильтрация входных данных, осложненных помехой; разработка новых подходов, обеспечивающих повышение точности восстанавливаемых значений поля; постановка вычислительных экспериментов с уменьшением шага сетки и увеличением длины профиля , на котором расположены заданные значения поля.

5. Создание алгоритмов и компьютерных программ в дискретной постановке для трансформации аномальных элементов поля и построения функции, подобной функции Березкина для локализации особых точек.

6. Создание алгоритмов и компьютерных технологий решение обратных задач гравимагнитой разведки без решения прямых с использованием метода дискретных аппроксимаций физических полей.

7. Апробация созданных алгоритмов и программ на модельных и практических примерах.

Научная новизна:

1. Разработана теория построения дискретных аппроксимаций потенциальных полей при решении интерпретационных задач.

2. Разработаны основы аналитического продолжения заданных значений потенциальных полей в нижнее полупространство с использованием дискретных аппроксимаций.

3. Оценена точность восстанавливаемых значений поля с учетом гармоничности функций, представляющих потенциальные поля.

4. Разработаны основы линейного трансформирования потенциальных полей на базе полученных дискретных аппроксимаций.

5. Показано, что с помощью дискретных аппроксимаций гравитационного поля можно эффективно решать задачи фильтрации входных данных и разрабатывать технологии, которые значительно повышают точность восстанавливаемых значений поля.

6. Предложен алгебраический метод решения обратной задачи без многократного решения прямых задач с использованием дискретных аппроксимаций уравнения Пуассона.

Практическая ценность.

Теоретические разработки реализованы в виде программных продуктов для персональных компьютеров и могут применяться для широкого круга задач.

Создана новая технология обработки данных непосредственно в поле на основе метода дискретных аппроксимаций потенциальных полей.По полученной из наблюдений информации исследователь с помощью ноутбуков может построить дискретные аппроксимации элементов аномальных потенциальных полей, а затем, по мере накопления данных, уточнять уже построенные. Личный вклад автора.

Автором разработана теория и методика применения дискретных аппроксимаций для решения разнообразных геолого-геофизических задач, созданы программные продукты, обработанные на модельных и практических примерах.

Защищаемые положения. Показано, что

1. Для интерпретации данных гравитационных и магнитных аномалий вместе с классическим подходом, основанном на континуальном представлении, целесообразно применение дискретного подхода, основанного на дискретных аппроксимациях полей и соответствующих дифференциальных уравнений и обеспечивающих решение обратных задач по устойчивому определению локальных особенностей аномалеобразующих объектов.

2. Для получения устойчивых приближенных решений геофизических задач с учетом имеющейся априорной информации эффективны: 1) редукция указанных задач к решению систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданной правой частью и 2) решение получающихся систем линейных алгебраических уравнений с помощью специально разработанных устойчивых методов, что обеспечивает резкое повышение точности оценки положения верхней кромки источников.

3. Применение разработанных алгебраических методов, не нуждающихся в многократном решении прямых задач, дает возможность эффективно локализовать источники гравитационного и магнитного полей. Апробация и публикации. Основные положения и результаты работы докладывались на семинаре «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» им. А.Г. Успенского в разные годы (Ухта 1998, Киев 2001, Екатеринбург 2002, Москва 2003 ; 2004); на Второй Всероссийской конференции «Геофизика и математика» (Пермь, 2001 г.);на конференции «Геофизика на рубеже XX и XXI веков», посвященной 10-летию РФФИ (Москва, 2002 год);на Международной школе-семинаре«Вопросы теории и практики комплексной интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» ( Апатиты,2002г.); на Пятых ежегодных геофизических чтениях им.В.В.Федынского (Москва,2003 г.); на III Международном социальном конгрессе «Глобальная стратегия социального развития России: социологический анализ и прогноз».Секция « Актуальные проблемы математики и ее приложений»(Москва, 2003 г.). Были сделаны два доклада на Ученом совете Института геофизики НАН

Украины по приглашению вместе с академиком Страховым В.Н. по случаю Года России на Украине в марте 2003 года. По теме диссертации опубликовано около 18 печатных работ, написано 3 отчета по опытно-методическим и тематическим работам. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 288 наименований. Она содержит 321 страниц основного текста, в том числе 124 рисунков и 36 табл.

Заключение диссертации по теме «Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых», Арсанукаев, Зайнды Зиявдиевич

Заключение

Основные итоги работ состоят в следующем: 1 .На основе теории дискретных гравитационного и магнитного полей, предложенной В. Н, Страховым, сформированы 4 основных и связанных с ними дополнительных задач, относящиесяся к важному аспекту теории: аналитическому продолжению заданных значений поля в нижнее полупространство. Эти задачи редуцировались к системе линейных уравнений СЛАУ, устойчивость решения которых достигалась за счет совместного использования дискретных аппроксимаций оператора Лапласа.

2.Разработана методика, заключающаяся в том, что в модельных примерах в качестве аномалеобразующих используются тела простой геометрической формы, для которых прямая задача решается точно.С другой стороны эти решения прямой задачи являются, как известно, гармоническими функциями, т.е. удовлетворяют уравнению Лапласа, что устанавливается непосредственным дифференцированием.Таким образом, принимая решения прямой задачи для вертикального градиента потенциального поля в качестве «входных» данных на уровнях г = 0, г = -Ь. при аналитическом продолжении с использованием дискретных аппроксимаций оператора Лапласа, и сравнивая по какой-либо норме восстановленные значения поля в соответствующих точках нижнего полупространства с решениями этой же прямой задачи, можно оценить точность, с которой восстанавливаются значения поля.

3.Разработаны компьютерные технологии при аналитическом продолжении дУ заданных значении поля — в двухмерном случае в заданный горизонтальд2 ный слой, находящийся целиком выше верхней кромки аномалеобразующих тел, с проведением вычислительных экспериментов, в которых:

• Разработаны компьютерные программы, формирующие элементы разреженных матриц и векторов правой части СЛАУ, возникающих при аналитическом продолжении с использованием сразу нескольких дискретных аппроксимаций оператора Лапласа;

• Исследованы закономерности в восстановлении значений поля, когда в качестве «входных» значений при аналитическом продолжении используются решения прямой задачи для аномалеобразующих тел с различной геометрией поверхности;

• Исследовано влияние помехи, при достаточно высоком ее уровне, на точность восстанавливаемых значений поля;

• Разработаны схемы фильтрации «входных» данных, осложненных помехой, позволяющие значительно повысить точность восстанавливаемых значений поля.

4.Разработаны компьютерные технологии при аналитическом продолжении заданных значений поля в двухмерном случае в заданный горизонтальный слой, заведомо содержащий источники поля с проведением вычислительных экспериментов, в которых:

• Разработаны компьютерные программы, формирующие элементы разреженных матриц и векторов правой части СЛАУ, возникающих при аналитическом продолжении с использованием нескольких дискретных аппроксимаций оператора Лапласа в заданный горизонтальный слой с удаленными «купюрами» (т. е. с областями, со/ держащими источники поля).

• Разработаны компьютерные программы, формирующие элементы разреженных матриц и частей правой части СЛАУ, возникающих при формальном аналитическом продолжении с использованием нескольких дискретных аппроксимаций оператора Лапласа в заданный горизонтальный слой, включая и области, содержащие источники поля; расширен список аномалеобразующих тел в модельных примерах в сравнении с п. 3.

• Исследованы закономерности в восстановлении значений поля при аналитическом продолжении: а) до верхней кромки аномалеобразующих тел. б) до центра тяжести аномалеобразующих тел; в)ниже верхних и нижних особенностей аномалеобразующих тел.

• Исследованы закономерности восстановления значений поля при формальном аналитическом продолжении с измененными краевыми условиями.

5. Разработаны компьютерные технологии при решении различных дополнительных задач, тесно связанных с задачей аналитического продолжения, с проведением теоретических и вычислительных исследований, где:

• Установлена инвариантность восстанавливаемых значений поля при аналитическом продолжении относительно различных значений прямой задачи.

• Разработаны новые технологии, позволяющие повысить точность восстанавливаемых при аналитическом продолжении значений поля при фиксированном шаге сетки.

• Вычислены высшие производные для восстановленных значений поля с оценкой их точности; построена функция, подобная функции Березкина, позволяющая локализовать особые точки.

• Разработана технология сглаживания краевых эффектов у аномальных кривых поля.

• Установлено значительное увеличение точности восстанавливаемых значений поля при аналитическом продолжении за счет уменьшения шага сетки; доказана теоретически сходимость дискретных схем к точному решению в случае уравнения Лапласа для рассматриваемой в настоящей работе разностной схемы.

• Разработана технология, позволяющая определять местоположение верхних и нижних особенностей аномалеобразующих тел с использованием результатов аналитического продолжения заданных значений поля и построения функции, подобной функции Березкина; эта технология опробована на модельных и практических примерах в условиях Норильска и п-ва Таймыра и позволяет достаточно уве ренно восстанавливать границы аномалеобразующих тел.

• Разработаны компьютерные технологии при решении обратной задачи в модельных условиях с использованием дискретного уравнения Пуассона, для которого в качестве краевых условий используются восстановленные с помощью дискретного уравнения Лапласа dV ли значения поля — заданные на уровнях z = 0, z = -h.; эти техноло

DZ гии опробованы на модельном примере при априорно заданных границ области, содержащей массы, и дают удовлетворительные результаты при вычислении плотности 6. Расчеты на модельных и практических примерах позволяют установить, что разработанные В. Н. Страховым метод МПУП и автором - метод приведения матрицы к верхней треугольной форме с использованием преобразования Хаусхолдера позволяют находить устойчивые приближенные решения СЛАУ большей размерности ~ 10 4 на компьютерах Pentium за приемлемое время.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Арсанукаев, Зайнды Зиявдиевич, 2005 год

1. Алексидзе М.А. Решение некоторых основных задач гравиметрии. Тбилиси: Мицниереба, 1985. 411 с.

2. Андреев Б. А., Клушин И. Г. Геологическое истолкование гравитационных аномалий. Л.: Недра, 1965. С. 495

3. Антонов Ю.В. Разделение сложных аномалий силы тяжести. Воронеж: ВГУ, 1985. 240 с.

4. Аронов В.И. Методы построения карт геолого-геофизических признаков и геометризации залежей нефти и газа на ЭВМ. М.: Недра, 1990. 300 с.

5. Аронов В.И. Обработка на ЭВМ значений аномалий силы тяжести

6. Аронов В.И. К вопросу о редуцировании аномалий силы тяжести горной области. В кн. : Геофизическая разведка, вып. 14. М. Гостоптехиздат, 1963, с.80-91.

7. Арсанукаев 3. 3. Вычисление пространственных элементов аномальных полей с использованием методов теории дискретных гравитационных полей. Ж-л «Физика Земли» N11,2004. С.47-69.

8. Арсанукаев 3. 3. Новые технологии при аналитическомпродолжении в дискретной постановке заданных значений поля вертикальных градиентов. Ж-л «Физика Земли» N12,2004.0.42-47.

9. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М., ГИТТЛ, 1955.

10. Балк П.И. «Столкновение геофизических и математических интересов главный источник противоречий в современной теории интерпретации потенциальных полей».// Геофизический журнал. 2000. Т 22. № 4. С.3-20.

11. Балк П.И. Использование априорной информации о топологических особенностях источников поля при решении обратной задачи гравиметрии. // Докл. АН СССР. 1989. Т.309. № 5 . С.1082-1084.

12. Балк П.И. Использование априорной информации о топологических особенностях источников поля при решении обратной задачи в рамках монтажного метода // Физика Земли. 1993.№ 5.С. 59-71.

13. Бахурин И.М. Магнитное поле тел правильной формы с точки зрения магнитометрии // Изв. Ин-та прикладной геофизики. Л., 1925. Вып.1. С.19-37.

14. Бауман В.И. Интерпретация результатов магнитометрической съемки. Л.: Геофиз. сектор ЦНИИГРИ, 1932.

15. Березкии В.М. Применение гравиразведки для поисков месторождений нефти и газа. М.: Недра, 1978. С.264.

16. Березкш В.М. Учет влияния рельефа местности и промежуточного слоя при детальной гравиразведке. М.: Недра, 167. 124 с.

17. Блох Ю.И. Возможности интерпретаций магнитных аномалий с учетом размагничивания // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1987, № 4, С. 56-62.

18. Блох Ю.И. Комплексирование методов интерпретации при определении природы магнитных аномалий // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1991, №3, С. 36-42.

19. Блох Ю.И. Сингулярное разложение и конструктивная регуляризация в задачах аппроксимации геофизических полей // Материалы 1 -ой Всероссийской конференции « Геофизика и математика», Москва, 1999,С. 14-17.

20. Будак Б.М., Васильева В.Н. К обратной задаче об определении коэффициентов квазилинейного параболического уравнения // В сб.: Решение задач оптимального управления и некоторых обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1974. С.3-20.

21. Булах Е.Г. Об одном алгоритме решения обратной задачи гравиметрии по аномальному полю, осложненному фоновым влиянием. //Доклады HAH Украины. 1999. №2. С. 122- 126.

22. Булах Е.Г., Маркова М.Н., Бойко П.Д. Математическое обеспечение автоматизированной системы интерпретации гравитационных аномалий. Киев: Наук, думка. 1984. 112 с.

23. Булах Е.Г., Шиншин И.В. Прямые и обратные задачи гравиметрии для совокупности локальных объектов и построение аналитической модели исходного поля. // Доклады HAH Украины. 1999. № 1. С. 112 -115.

24. Ъв.Булычев A.A., Гайнанов А.Г. и др. Гравиметрия//Геол.-геофизич.исс-дования в Атлантическом, Индийском и Тихом океанах. М., 1990.

25. Васин В.В., Пруткин И.Л., Тимерханова Л.Ю. О восстановлении трехмерного рельефа геологической границы по гравитационным данным // Физика Земли. 1996. № 11. С. 58-62.

26. Васин В.В., Пруткин И.Л., Тимерханова Л.Ю. Решение задачи гравиметрии методами градиентного типа // Математическое моделирование. 1999. Т.П. № ю. С. 86-91.

27. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977. 303 с.

28. Воскобойников Г.М., Сиротин М.И. Об определении особенностей аналитического продолжения потенциальных полей // Изв. АН СССР.Физика Земли. 1965 .№ 12.С.21-30.

29. Воскобойников Г. М. К вопросу о практической применимости метода Б. А. Андреева для определения глубины залегания источников потенциальных полей. Изв. АН СССР. Сер. Геофиз., 1954, №11, с.97-99.

30. Гавурин М.К., Фабровская Ю.Б. Об одном итеративном методе разыскания суммы квадратов // ЖВМ и МФ. 1966.Т.6. № 6.С. 1094-1097.

31. Гамбурцев Г. А. К вопросу о природе Курской магнитной и гравитационной аномалии. Притяжение подземными хребтами // Избр.труды. М.: Академиздат, 1960. С.72-80.

32. Гипбарг Д., Трудингер М. Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка. М.: Наука. 1989.

33. Голиздра Г.Я. Комплексная интерпретация геофизических полей при изучении глубинного строения земной коры. М.: Недра. 1988. 212 с.

34. Голуб Дж., ВанЛоун Ч. Матричные вычисления : М., Мир, 1999, 548 с.

35. Гольдшмидт В.И. Алгоритмы и программы для обработки геофизических данных на ЭВМ. Алма-Ата, КАЗВИРГ, 1971. Вып.1. 357 с.

36. Гольцман Ф.М. Состояние и перспективы развития статистических методов интерпретации геофизических наблюдений // Разведочная геофизика на рубеже 70-х годов. М.: Недра, 1974.

37. Гончарский A.B., Степанов В.В. Численные методы решения некорректно поставленных задач на компактных множествах // Вестн. Моск. Ун-та. Вычислительная математика и кибернетика. 1980, № 3. С. 12-18.

38. Гордин В.М. Способы учета влияния рельефа местности привысокоточных измерениях. Обзор ВИЭМС. Сер. IX. « Региональная, разведочная и промысловая геофизика». М.: ВИЭМС, 1974. 90 с.

39. Гравиразведка. Справочник геофизика. Изд. 3-е / Под ред. К.Е.Веселова и Е.А.Мудрецовой. М.: Недра, 1990. 607 с.

40. Долгаль A.C. Моделирование погрешностей учета влияния рельефа при гравиметрической съемке.// Известия РАН. Сер. Физика Земли. 1997. №8. С. 88-93.

41. Долгаль A.C. Оценка точности учета влияния рельефа местности при гравиметрической и магнитной съемках.// Доклады академии наук. 1997. Т. 354. №3. С. 389-391.

42. Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука. 1991. 448 с.

43. Жданов М. С. Аналоги интеграла типа Коши в теории геофизических полей. М.: Наука, 1984.328 С.

44. Заборовский А.И. Геофизические методы разведки. M.;JI.: Гос. научно-технич. горн, изд-во, 1932. 151 с.

45. Заморев A.A. Об определении производных гравитационного потенциала и соотношений между моментами возмущающих масс по производной, заданной на плоскости // Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1939. № 3. С.275-286.

46. Заморев A.A. Определение формы тела по производным внешнего гравитационного потенциала// Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1942. № 1-2. С.42-54.

47. Зидаров Д. О решении некоторых обратных задач потенциальных полей и его применении к вопросам геофизики. София : БАН, 1968. 253 с.

48. Зидаров Д. О решении некоторых обратных задач потенциальных полей и его применении к вопросам геофизики. София: БАН, 1968. 253 с.

49. Зидаров Д. Обратна гравиметрична задача в геопроучването и i® геодезията. София: БАН, 1984. 278 с.

50. Зидаров Д. Обратна гравиметрична задача в геопроучването и геодезията. София: БАН, 1984. 278 с.

51. Иванов В.К. Интегральное уравнение обратной задачи логарифмического потенциала // ДАН CCCP,T.105,N3,1955,c.409-411.

52. Иванов В.К. Интегральные уравнения первого рода и приближенное решение обратной задачи потенциала // Докл.АН

53. СССР, 1962,142,т.5,с.998-1 ООО.

54. Иделъсон Н.И. Теория потенциала и ее приложения к вопросам ^ геофизики.ГТТИ ,Ленинград,Москва, 1932.

55. Каленщкш А.И., Смирнов В.И. Методические рекомендации по учету влияния рельефа в гравиразведке. Новосибирск: СНИИГГиМС, 1981. 174 с.

56. Калинина Т.Б. Статистические методы оценивания в магнитометрии и гравиметрии: Дис. докт. физ.-мат. наук. Л., 1978.

57. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

58. Канторович Л.В.,Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа.-Ленинград.Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1952,695 с.

59. Кобрунов А.И. К анализу линейных приближений обратной структурной задачи гравиметрии // Доклады АН УССР, сер. Б. 1982. № 9. С. 7-9.

60. Кобрунов А.И. К теории интерпретации данных гравиметрии для слоистых сред ( равномерная аппроксимация) // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1986. № 1. С. 67-77.

61. Кобрунов А.И. Равномерные критерии оптимальности в задачах гравиметрии // Докл. АН УССР. Сер.Б. 1986. №11. С. 11-14.

62. Кобрунов А.И. Спектральные представления общего вида решения обратной задачи структурной гравиметрии // Докл. АН УССР. Сер. Б. 1988. №9. С.18-21.

63. Кобрунов А.И. Теория интерпретации данных гравиметрии для сложно-построенных сред. Учебное пособие. Киев, 1989. 100 с.

64. Коша А. Вариационное исчисление. М.: Высшая школа, 1983. 279 с.

65. Котляков Н.С.,Глинер Э.Б.,Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Физматгиз,1962. 767 с.

66. Красовский С.С. Гравитационное моделирование земной коры континентального типа. Киев: Наук, думка, 1980.

67. Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию. М.: Наука, 1966. 372 с.82 . Кузиванов В. А. Об аналитическом продолжении гравитациооного потенциала во внутреннюю область. Изв. АН СССР. Сер. Геофиз.,1956, № 12, с. 1419-1426.

68. Кузиванов В. А., Сагитов М. У. О невозможности определения геоида при помощи одних лишь гравитационных и геодезических данных. Изв. Вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1960, №2, с. 89-93.

69. Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления. М.;Л.: Гостоптехиздат, 1950.

70. Логачёв А. А. Методическое руководство по аэромагнитной съемке. Государственное научно-техническое издательство литературы по геологии и охране недр. М.: 1955.

71. Ломтадзе В.В. Программное и информационное обеспечение геофизических исследрваний . М.: Недра, 1993. 268 с.

72. М.: ОИФЗ РАН, 1997. С. 105-108.

73. Малкин Н.Р. Об определении вертикальной производной силы тяжести из наблюдений с крутильными весами // Астрон. журнал. 1936. Т. 13, вып.5. С.495-498.

74. Маргулис А.С. Вопросы эквивалентности и единственности в обратных задачах гравиметрии // Тр. Ин-та геофизики УНЦ АН СССР,

75. МартышкоП.С. Теория и методы интерпретации данных гравитационных, магнитных и электрических полей // Материалы 1 Всероссийской конференции «Геофизика и математика», Москва, 1999,с. 88-92.

76. Мартышко П.С. Обратные задачи электромагнитных геофизических полей // Наука. Екатеринбург, 1996. 144 с. 91 .Миков Д.С. Палетки для интерпретации магнитных и гравитационных аномалий // Материалы Уральского геол. упр. Свердл. М., 1939. Вып.2. С.132-144.

77. Мудрецова Е. А., Дорофеев И. В., Целее В. И., Филатов В. Г. Аналитическое продолжение гравитационного поля в нижнеее полупространство на основе метода регуляризации. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1980, № 2, с. 97-100.

78. Никитин A.A. Статистические методы выделения геофизических аномалий. М.: Недра, 1979.

79. Никитин A.A. Теоретические основы обработки геофизической информации. М.: Недра, 1986.

80. Новиков П.С. О единственности решения обратной задачи потенциала//Докл. АН СССР. 1938. Т. 18, № 3. С. 165-168.

81. Новоселицкий В.М. Интерпретация гравитационных данных в условиях материального изменения плотности осадочных толщ (на примере Пермского Приуралья): Дис. . д-ра геол.-мин. наук. Пермь, 1975.

82. Нумеров Б. В. Теоретические основания применения гравитационных методов в геологии // Изв. геол. комитета. 1925. Т. 10, №3.

83. Оганесян С.М. Теория и численные методы решения трехмерных задач гравиметрии: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Ленинакан, 1987.

84. Оганесян С.М., Старостенко В.И. Параметрический функционал А.Н. Тихонова и итерационные методы решения некорректных задач геофизики // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1978. № 1. С.63-74.

85. Остромогилъский А.Х. О единственности решения некоторых обратных задач // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1971. Т. 11, № 1. С.861-865.

86. Отчет по тематическим работам : « Разработка теории и компьютерной технологии построения линейных аналитических аппроксимаций гравитационных и магнитных пол ей».Вторая очередь. Москва. 2001 г., 229 с.

87. Пршепко А.И. О единственности определения формы и плотности тела в обратных задачах теории потенциала // Докл. АН СССР. 1970. Т. 193, № 2. С.37-40.

88. Пруткин И.Л. О решении трехмерной обратной задачи гравиметрии в классе контактных поверхностей методом локальных поправок // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1983. № 1. С.53-58. размагничивания // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1987, № 4, С. 56-62.

89. Пучков Е. П., Страхов В. Н. Решение обратных задач гравиметрии и магнитометрии в биополярной системе координат с помощью граничной окружности. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1973, № 9, с. 43-62

90. Раппопорт И.М. О некоторых достаточных условиях единственности решения обратной задачи теории потенциала // Докл. АН СССР. 1940. Т.28, № 5. С.23-30.

91. Ремпель P.P. Актуальные вопросы методики введения поправок, связанных с рельефом местности , в данные гравиразведки и магниторазведки // Физика Земли. 1980. № 12. С.75-89.1. С.4-23.

92. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.С. 380

93. Серкеров С.А. Преобразования Фурье и их приложение в гравираз-ведке и магниторазведке. М.: МИНХиГП, 1974. 71с. Соавт.: Гладкий К.В.

94. Ю.Смирнов В. И. Курс высшей математики.Тома 1-У,ГТТИ, 1969-1961.

95. Соколовский К.И. Унитарный метод решения трехмерных задач геофизики с применением кватернионов .В кн.: Теория и практика интерпретации гравитационных и магнитных полей в СССР.

96. Материалы III Всесоюзной школы-семинара. Киев: Наук.Думка. 1983. С. 213-220.

97. Сретенский J1.H. Об одной обратной задаче теории потенциала// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1938. № 5/6.

98. Старостенко В. И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии. Киев: Наук, думка, 1978. 227 с.

99. Старостенко В.И., Дядюра В.А., Заворотъко А.Н. Об интерпретации гравитационного поля методом подбора // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1975. № 4. С.78-85.

100. Стошов С. Теория функций комплексного переменного. М.: Ин. Лит. 1962.416 с.

101. Страхов В.Н, Керимов И.А., Страхов A.B. Линейные аналитические аппроксимации рельефа поверхности Земли // Геофизика и математика : Материалы 1-й Всероссийской конференции. М. : ОИФЗ РАН, 1999. С. 198 -212.

102. Страхов В.Н. Алгебраические методы в обратной задаче гравиметрии (решение обратных задач без решения прямых // Междун. геофиз. конф. "300 лет горно-геологической службе России": Тез. докл. Санкт-Петербург, 2-6 октября 2000 г. Секц. 1. С.50-52.

103. Страхов В.Н. Алгоритмы редуцирования и трансформаций аномалий силы тяжести, заданных на физической поверхности Земли // Интерпретация гравитационных и магнитных полей. Киев.Наук.Думка, 1992. С.4-81.

104. Страхов В.Н. Геофизика и математика // Физика Земли. 1995. № 12.

105. Страхов В.Н. Геофизика и математика. М.: ОИФЗ РАН, 1999. 64 с.

106. Страхов В.Н. К теории интерпретации двухмерных гравитационных аномалий от масс, распределенных по неограниченным областям // Доклады АН СССР, 1979,Т. 248, № 8, С. 1086- 1089.

107. Страхов В.Н. К теории плоской задачи гравиметрии в случае источников постоянной плотности в бесконечных областях // Доклады АН УССР, 1980, сер.Б, № 5, с. 40-43.

108. Страхов В.Н. К теории структурной гравиметрии. // Прикладн. геофизика, 1972, вып. 68, с.119-138.

109. Страхов В.Н. Методологические особенности интерпретации данных гравиразведки и магниторазведки // Труды совещания "Вопросы методологии интерпретации геофизических данных в прикладной геофизике". Москва, 7-8 фев. 1996 г. М.: ОИФЗ РАН, 1996. С.110-123.

110. Страхов В.Н. Некоторые вопросы плоской задачи гравиметрии // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1970, № 12, с. 32-44.

111. Страхов В.Н. Некоторые примеры эквивалентности и слабой единственности в плоской обратной задаче потенциала // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1973. № 5. С.39-62.

112. Страхов В.Н. Нерешенные проблемы математической теории плоской задачи гравиметрии и магнитометрии // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1979. № 8. С.3-28.

113. Страхов В.Н. О подходе к решению обратных задач гравиметрии, основанном на теории эквивалентных перераспределенных масс // Докл. АН СССР. 1977. Т.236, № 3. С.571-574.

114. Страхов В.Н. О построении аналитических аппроксимаций аномальных гравитационных и магнитных полей // Основные проблемы теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий. М.: ОИФЗ РАН, 1999. С.65-125.

115. Страхов В.Н. О решении некорректных задач магнито- и гравиметрии, представляемых интегральными уравнениями типа свертки. Г. // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1967. № 4. С.36-54.

116. Страхов В.Н. Об устойчивых методах решения линейных задач геофизики. I. Постановки и основные конструктивные идеи // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1990. № 7. С.3-27.

117. Страхов В.Н. Об устойчивых методах решения линейных задач геофизики. II. Основные алгоритмы // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1990. №8. С.37-64.

118. Страхов В.Н. Определение некоторых основных параметров намагниченных тел по данным магнитных наблюдений // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1956. № 2. С. 144-156.

119. Страхов В.Н. Основные направления развития теории и методологии интерпретации геофизических данных на рубеже XXI столетия. Ч. I // Геофизика. 1995. № 3. С.9-18.

120. Страхов В.Н. Основные направления развития теории и методологии интерпретации геофизических данных на рубеже XXI столетия. Ч. II // Геофизика. 1995. № 4. С. 10-20.

121. Страхов В.Н. Развитие гравиметрии и магнитометрии в XX веке: Труды конференции. Москва, 23 -25 сентября 1996 г. М.: ОИФЗ РАН. 1997. 234 с.

122. Страхов В.Н. Разработка теории и методов решения некорректно поставленных задач геофизики на базе идей оптимизации и регуляризации // Основные достижения ОИФЗ РАН за 1992-1996 гг. Т.1. М.: ОИФЗ РАН, 1996. С.53-59.

123. Страхов В.Н. Специальные ряды теории потенциала и их применение при решении задач гравиметрии и магнитометрии // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1989. №4. С.3-7.

124. Страхов В. Н., Валягико Г. М. Методика оперативной интерпретации данных гидромагнитных съемок в океане.- Докл. АН СССР, 1977, т. 235, № 1, с. 57-60.

125. Страхов В. Н., Григорьева О. М., Лапина М. И. Определение особых точек двухмерных потенциальных полей. М.: Недра, Сборник «Прикладная геофизика», выпуск 85, 1977. С. 96-114

126. ХМ.Страхов В. Н. Методы интерпретации гравитационных и магнитных аномалий. Пермь: 1984. С. 70

127. Страхов В. Н. Будущее теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий // Комплексные исследования по физике Земли. М.: Наука, 1989.С. 68-87

128. Страхов В.Н. Третья парадигма в теории и практике интерпретации потенциальных полей (гравитационных и магнитныхданомалий). Ч. II // Электр, науч.-инф. журн. "Вестник ОГГГГН РАН". М: ОИФЗ РАН, 1997. №2(2). С.55-82.

129. Страхов В.Н. Третья парадигма в теории и практике интерпретации потенциальных полей (гравитационных и магнитных аномалий). Ч. III // Электр, науч.-инф. журн. "Вестник ОГГГГН РАН". М: ОИФЗ РАН, 1998. № 1(3). С. 100-152.

130. Страхов В.Н. Три парадигмы в теории и практике интерпретации потенциальных полей (анализ прошлого и прогноз будущего) // Известия секции наук о Земле РАЕН. 1999. № 2. С.95-135.

131. Страхов В.Н. Три парадигмы в теории и практике интерпретации потенциальных полей (анализ прошлого и прогноз будущего). М.: ОИФЗ РАН, 1999. 78 с.

132. Страхов В.Н.,Бродский М.А. К проблеме единственности в плоских обратных задачах гравиметрии и магнитометрии // Докл. АН СССР. 1983. Т.273, № 5. С. 1097-1101.

133. Страхов В.Н., Бродский М.А. О единственности решения плоской обратной задачи потенциала для многоугольников // Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1984. С.128-142.

134. Страхов В.Н., Керимов H.A. Аппроксимационная реализация спектрального анализа в гравиметрии и магнитометрии // Основные проблемы теории интерпретации гравитационных и магнитных полей/Сборник научных трудов. М.ЮИФЗ РАН, 1999.-С. 183-206.

135. Страхов В. Н, Иванов С. Н. Регуляризованные конечно-разностные алгоритмы восстановления функций и их использование в геофизике. // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1984. №2. С.63-83.

136. Страхов В.Н., Лапша М.И. Монтажный алгоритм решения плоской обратной задачи гравиметрии в случае двух односвязных тел однородной плотности // Вопросы численной обработки и интерпретации потенциальных полей. М., 1978. Деп. в ВИНИТИ, № 1198-78.С.26-47.

137. Страхов В.Н., Лапина М.И. Решение обратной задачи гравиметрии методом регулируемой направленной кристаллизации // Перспективы развития методов геологической интерпретации гравитационных аномалий. М.,1976.Деп. в ВИНИТИ, № 3053-76. С.66-78.

138. Страхов В.Н., Степанова И.Э., Гричук JI.B. Теория дискретного гравитационного потенциала и ее использование в гравиметрии // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. Воронеж, 1998.С.49.71.

139. Страхов В.Н., Степанова И. Э., Гричук JI.B., Керимов

140. И. А., Страхов A.B. Метод линейных интегральных представлений при решении задач гравиметрии и магнитометрии // Геофизика и ^ математика: материалы 1-й Всероссийской конференции. Москва, 2226 ноября 1999 г.М.: ОИФЗ РАН, 1999.С.191-198.

141. Страхов В.Н., Степанова Н.Э., Керимов И.А. К вопросу о вычислении поправок за рельеф // Физика Земли. № 4, 2002, с.55-66.

142. Страхов В.Н., Страхов A.B. О решении систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданной правой частью, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии // Известия секции наук о Земле РАЕН. 1999. Вып. 3, ноябрь. С.20-22.

143. Страхов В.H., Страхов A.B. Основные методы нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии. И. М.: ОИФЗ РАН, 1999. 52 с.

144. Страхов В.Н., Страхов A.B. О решении систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданной правой частью, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии. М.: ОИФЗ РАН, 1999. 68 с.

145. Страхов В.Н., Страхов A.B. О решении систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии. 1. Редукция к системам в канонической форме // Докл. РАН. 1999. Т.368, № 4. С.545-548.

146. Страхов В.Н., Страхов A.B. О решении систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии. 2. Методы решения систем в канонической форме // Докл. РАН. 1999. Т.368, № 5. С.683-686.

147. Страхов В.Н., Страхов A.B. Основные методы нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии. I. М.: ОИФЗ РАН, 1999. 40 с.

148. Страхов В.К, Шефер У., Страхов A.B. Линейные аппроксимации элементов аномальных гравитационных и магнитных полей Земли // Тезисы докладов Международной конференции « Обратные задачи математической физики». Новосибирск: Ин-т математики, 1998. С. 6769.

149. Ступак Н.К. Интерпретация магнитных аномалий, созданных некоторыми двухмерными телами в случае произвольного направления намагниченности: Дис. канд. геол-мин. наук. Днепропетровск, 1955.

150. Тихонов А.Н.,Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.-М.,Наука, 1986,287 с.

151. Тихонов А. Н., Гласно В. Б., Литвиненко О. К., Мелихов В. Р. О продолжении потенциала в сторону возмущающихся масс на основе метода регуляризации. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1968, № 12, с. 30-48.

152. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. С. 735

153. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. С. 494

154. Трошков Г.А., Грознова A.A. Математические методы интерпретации магнитных аномалий. М. Недра, 1985.151 С.

155. Трошков Г. А. Вопросы локализации особенностей потенциальных полей в пространстве трех измерений // Изв. АН СССР.Физика Земли. 1977. № 10. С.79-82.

156. Трошков Г.А. Представление векторных геофизических потенциальных полей в комплексном трехмерном пространстве // Изв. АН СССР.Физика Земли. 1988. № 9. С.49-58.

157. Р. Тьюарсон.Разреженные матрицы.Москва.Издательство «Мир», 1977.

158. Уилкинсон.Райнш. Справочник алгоритмов на языке Алгол. Линейная алгебра.Москва.Машиностроение. 1976.

159. ФаддеевД.К.и ФаддееваВ.Н.Вычислительные методы линейной алгебры.Москва, Ленинград, 1963.

160. Филатов В.Г. Устойчивые способы обработки и интерпретации потенциальных полей на основе регуляризации и концентрации источников: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. М., 1988.

161. Цирулъский A.B. О редукции потенциальных геофизических полей на внешнюю плоскость //Изв. АН СССР. Физика Земли. 1975. № 7. С. 43 47.

162. Цирулъский A.B., Никонова Ф.И., Федорова Н.В. Метод интерпретации гравитационных и магнитных аномалий с построением эквивалентных семейств решений. Свердловск: Изд. Ин-та геофизики АН СССР. 1980. 135 с.

163. Цирулъский A.B., Пруткин И.Л.О решении обратной задачи гравиметрии для произвольных классов двумерных и трехмерных потенциалаов // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1981. № 11. С. 45-63.

164. Чередниченко В.Г. Обратная задача для потенциала слоистых сред двухмерном случае // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, № 1. С. 140147.

165. Чередниченко В.Г. Обратные задачи логарифмического потенциала аналитической плотностью // Дифференц. уравнения. 1973. Т.9, № 2. С.333-342.

166. Шабат Я.5.Введение в комплексный анализ. М.:Наука, 1976. Ч.1.С.319.

167. Шалаев С.В. Применение линейного программирования в геофизике // Геология и геофизика. 1965. № 5. С.71-77.

168. Шалаев С.В. Применение функций комплексного переменного при геологическом истолковании гравитационных и магнитных аномалий // Вопр. развед. геофизики. 1960. Вып.1. С.3-13.

169. Шашкин Ю.А. К вопросу об обратной задаче теории потенциала // Докл. АН СССР. 1958. Т.118, № 1. С.45-46.

170. Шефер У., Балк Т.В. Монтажный метод решения совмещенной обратной задачи грави- и магнитометрии. // Докл. АН. 1992. Т. 327. № 1. С. 79-83.

171. Шрайбман В.И., Жданов М.С., Витвицкий О.В. Корреляционные методы преобразования и интерпретации геофизических аномалий. М.: Недра. 1977. 137 с.

172. Я гола А. Г. О выборе параметра регуляризации по обобщенному принципу невязки // Доклады АН СССР. 1979. Т. 245, № 1. С. 37-39.

173. Ягола А.Г. О выборе параметра регуляризации при решении некорректных задач в рефлексивных пространствах // ЖВМ и МФ. 1980. Т. 20, № 3. С. 586-596.

174. Aikawa Hiroaki,Potential theory-selected topics: in Lecture Notes in Mathematics, 1996, v. 1633,pp. 102-202.

175. Aruliah U., Ascher E., Haber U. and Oldenburg D. A method for the forward modelling of 3D electromagnetic quasi-static problems // Math Modelling Applied Sciences, 2001,Vol 11, No. 1, pp 1 21

176. Ballani L., Engels J. and Grafarend J. W. Global base functions for the mass density in the interior of a massive body (Earth) // Manuscripta Geodaetica 18 (1993), pp. 99-114.

177. Balmino G., BarriotJ.P. Vales N. Non-singular Formulation of the Gravity Vector and Gravity Gradient Tensor in Spherical Harmonics // manuscripta geodaetica, 15, 11-16, (1990).

178. Balmino G., Barriot J.P., Koop R., Middel B., Vermeer M. Simulation of Gravity Gradients : A Comparison Study // Bulletin Geodesique, 65, 218-229,(1991).

179. Barthelmes F., Ballani L., Klees R. On the Application of Wavelets in Geodesy. In : Sanso F. (Ed.): Geodetic Theory Today. Springer Verlag, Berlin, 1995, pp. 394-403.

180. Beth S.Multiscale Approximation by Vector Radial Basis Functions on the Sphere, Shaker Verlag, Aachen (2000).

181. Bostock, M. G.,Rondenay, S., Shragge, J. Multiparameter two-dimensional inversion of scattered teleseismic body waves, 1,Theory for oblique incidence // J. Geophys Res., 2001, Vol 106, No. 12 , p. 30,785.

182. Ellis R.G., and Oldenburg D. W. Applied geophysical inversion // Geophysical Journal International, 1994, 116, pp 5-11.

183. Essen Matts,Potential theory- selected topics: in Lecture Notes in Mathematics, 1996, v. 163 3,pp.3-99.

184. Farquharson C.G., and Oldenburg D. W. Nonlinear inversion using general measures of data misfit and model structure // Geophysical Journal International, 1998,134, pp 213-227.

185. Freeden W. and Michel V. Constructive approximation and numerical methods in geodetic research today—an attempt at a categorization based on an uncertainty principle. J. Geodesy 73 (1999), pp. 452-465.

186. Freeden W. and Schneider F. Wavelet approximation on closed surfaces and their application to boundary-value problems of potential theory. Math. Meth. Appl. Sci. 21 (1998), pp. 129-163.

187. Freeden W. Multiscale Modelling of Spaceborne Geodata, Teubner Verlag, Stuttgart, Leipzig (1999).

188. Freeden W., Gervens T. and Schreiner M. Constructive Approximation on the Sphere—With Applications to Geomathematics, Oxford Univ. Press, New York (1998).

189. Freeden W., On the approximation of external gravitational potential with closed systems of (trial) functions. Bull. Geod. 54 (1980), pp. 1-20.

190. Freeden W., Screiber M. New Wavelet Methods for Approximating Spherical Functions. In : Sanso F. (Ed.): Geodetic Theory Today. Springer -Verlag, Berlin, 1995, pp. 112-121.

191. Gleason D.M.: Partial Sums of Legendre Series via Cleshaw Summation//manuscripta geodaetica, 1985, vol. 10, pp. 115-130.

192. Gruber Th., Anzenhofer M. The GFZ 360 Gravity Field Model. Proc. XVIII General Assembly of the European Geophysical Society, 3-7 May 1993, Wiesbaden, 1993.

193. Haber E., and Oldenburg D. W. Joint inversion: a structural approach // Inverse Problems, 1997,13 , pp 63-77.

194. Haber U. and Ascher E. Preconditioned all-at-once methods for large, sparse parameter estimation problems // Inverse Problems, 17 (2001), 18471864.

195. Haber U., Ascher E., Aruliah U.and Oldenburg D. Fast modelling of 3D electromagnetic problems using potentials // J. of Comp. Phys., 2000, Vol 163, pp 150-171.

196. Haber, E., and Oldenburg, D. W. A GCV based method for nonlinear ill-posed problems // Computational Geosciences, 2000, Vol 4, pp 41-63.

197. Heiskanen fV.A., Moritz H. Physical Geodesy: W.S. Freeman, Co, San Fransisco, 1967.

198. Jiuping Chen, Eldad Haber and Douglas W. Oldenburg Three-dimensional numerical modelling and inversion of magnetometric resistivity data // Geophys. J. Int. (2002) 149, 679-697.

199. Klees R. Boundary Value Problems and Approximation of Integral Equations by Finite Elements // manuscripta geodaetica, 1995, vol. 20, pp. 345-361.

200. Li Y, and Oldenburg D. W. Incorporating geologic dip information into geophysical inversions // Geophysics, 2000,65, No. 1, pp 148-157

201. Li Y., and Oldenburg D. W. Joint inversion of surface and three-component borehole magnetic data I I Geophysics,2000, 65, No. 2, pp 540552.

202. Li Y., and Oldenburg D. W. 3D inversion of induced polarization data // Geophysics, 2000,Vol. 65, No.6.

203. Li Y., and Oldenburg D. W. 3-D inversion of magnetic data // Geophysics, 1996, 61, pp 394-408.

204. MallatS., Multiresolution approximations and wavelet orthonormal bases of 2(). Trans. Amer. Math. Soc. 315 (1989), pp. 69-87.

205. Mallat S., Applied mathematics meets signal processing, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I, pp. 319-338, Documenta Mathematica, 1998.

206. Maus, S., and V. Dimri, Depth estimation from the scaling power spectrum of potential fields // Geophys. J. Int., 124, 113-120, 1996.

207. Michel V., A Multiscale Method for the Gravimetry Problem: Theoretical and Numerical Aspects of Harmonic and Anharmonic Modelling, Ph.D. thesis, Geomathematics Group, Shaker Verlag, Aachen, 1999.

208. N. Week, Zwei inverse Probleme in der Potentialtheorie. Mitt. Inst. Theoret. Geodasie, Univ. Bonn 4 (1972), pp. 27-36.

209. Naidu P.S., Mathew M.P. II Fast reduction oof potential fields measured over an uneven surface to a plane surface.// IEEE Trans. Geosci. and Remote Sens. 1994. 32. № 3. p. 508 512.

210. Naidu, P. Spectrum of the potential field due to randomly distributed sources// Geophysics, 33, 337-345, 1968.

211. Nerem R.S., Jekeli C., Kaula W.M. Gravity Field Determination and Characteristics : Retrospective and Prospective // J. Geophys. Res., 1995, vol. 100, No. B8, pp. 15053 -15074.

212. Nettleton L.L. Determination of density for reduction of gravity observations. Geophysics 4 (1939), pp. 176-183.

213. Nettleton L.L. Geophysical Prospecting for Oil, McGraw-Hill, New York (1940).№ 3, C. 36-42.

214. Oldenburg D.W., and Ellis R.G. Inversion of Geophysical Data Using an Approximate Inverse Mapping // Geophysical Journal International, 1991, 105, pp 325-353.

215. Oldenburg D. W., and Li Y. Inversion of induced polarization data // Geophysics, 1994, 59, 1327-1341.

216. Oldenburg D.W., Li Y, and Ellis R.G. Inversion of geophysical data over a copper gold porphyry deposit: a case history for Mt. Milligan // Geophysics, 1997, 62, No.5, pp 1419-1431.

217. Pasion, L., and Oldenburg, D.W. A discrimination algorithm for UXO Using Time Domain Electromagnetic Induction // Journal of Environmental and Engineering Geophysics, 2001,Vol 6, pp 91-102.

218. Pilkington Mark, Urquhart W. E. S. Reduction of potential field data to a horizontal plane. // Geofizics. 1990. 55. № 5. p. 549 -555.

219. Pilkington, M., and J.P. Todoeschuck, Naturally smooth inversions with a priori information from well logs // Geophysics, 56, 1811-1818, 1991.

220. Pilkington, M., M.E. Gregotski, and J.P. Todoeschuck, Using fractal crustal magnetization models in magnetic interpretation // Geophys. Prosp., 42, 677-692, 1994.

221. Rapp R.H Gravity Anomalies and Sea Surface Heights Derived from a Combined GEOS-3/SEASET Altimeter DATA Set // J. Geophys. Res., 1986, vol. 91, No. B5, pp. 4867-4876.t

222. Rapp R. H., Wang Y.M., Paulis N.K. The Ohio State 1991 Geopotential and Sea Surface Topography Harmonic Coefficient Models. Dep. Of Geod. Sei. And Surv., Rep. 410, The Ohio State Univ., Columbus, Ohio, 1991.

223. Reigber C., Balmino G., Mueller H., Bosch W., Mognot B. GRIM Gravity Model Improvement Using LAGEOS ( GRIM3-L1). //J.Geophys.Res., 1985, vol.90, No B11, pp.9285-9299.

224. Reigber Ch, Balmino G., MoynotB., Mueller H. The GRIM3 Earth gravity field model // manuscripta geodaetica , 1983, vol. 8, pp. 93-138.

225. Rondenay, S., Bostock, M. G., Shragge, J. Multiparameter two-dimensional inversion of scattered teleseismic body waves, 3,Application to the Cascadia 1993 data set // J. Geophys Res., 2001, Vol 106, No. 12 ,p. 30, 771.

226. Routh, P.S., and Oldenburg, D. W. Electromagnetic coupling in frequency -domain induced polarization: a method for removal //

227. Geophysical Journal International, 2001, Vol 145, pp 59 76.

228. Sanso F., RummelR. (Eds.) : Theory of Satellite Geodesy and Gravity Field Determination. Springer Verlag, Berlin (1989).

229. Settle M., TaranikJ. V. Mapping the Earth's Magnetic and Gravity Field from Space. Current Status and Future Prospects // Adv. Space Res., 1983, vol.3, No 2,pp.l47-155.

230. Shragge, J., Bostock, M. G.,; Rondenay, S. Multiparameter two-dimensional inversion of scattered teleseismic body waves, 2,Numerical examples //J. Geophys Res., 2001, Vol 106, No. 12 ,p. 30,797.

231. Sneeuw N. Global Spherical Harmonic Analysis by Least-Squares and ^ umerical Quadrature Methods in Historial Perspective : Geophys. J. Int.,1994, pp. 707-716.

232. Stenger M. Das Gravimetrie-Problem—theoretische und numerische Aspekte eines neuen Multiskalenverfahrens, Diploma Thesis, Geomathematics Group, Dept. of Mathematics, University of Kaiserslautern, 1999.

233. Strakhov V.N., Schaefer U., Strakhov A. V. Neue lineare approximation linearer elemente des Gravitationsfeldes der Erde. Probleme nud Perspsctiven II Progress in Geodetic Science at GW 98. Als Ms. Gebr. -Aachen : Shaker, 1998. P. 315-322.

234. Strakhov V.N., Strakhov A. V., Teterin D.E.,Stepanova I.E.,Schaefer U. Algorithms for synthezing the Earth's gravity field // EGS XXI General Assembly. Vienna, 1997.

235. Suenkel H. (Ed.) Mathematical and Numerical Techniques in Physical Geodesy. : Lecture Notes in Earth Sciences, vol. 7, Springer-Verlag, Berlin, 548 p, 1986.

236. Thong N.C. Untersuchungen zur Loesung der fixen gravimetrischen Randwertprobleme mittels sphaeroidaler und Greenscher Functionen. : Deutsche Geodaet. Komm. B.d. Bayer Akd. Der Wiss., Reihe C., Heft Nr. 339, Muenchen, 1993.

237. Tscherning C. C. Computation of Second Order Derivatives of the Normal Potential on the representation by a Legendre Series // manuscripta geodaetica, 1976, vol. 1, pp. 71-92.

238. Tscherning C.C., RappR.H., GoadC.C. A Comparison of Methods for Computing Gravimetric Quantaties from High Degree Spherical Harmonic Expansions // manuscripta geodaetica, 1983, vol. 8, pp. 246-272.

239. Vandergheynst P., Ondelettes Directionnelles et Ondelettes sur la Sphere, Ph.D. thesis, Catholic University of Louvain, Louvain-la-Neuve, 1998.

240. Wenzel H.-G. Hochaufloesende Kugelfunktionsmodelle fuer das fj) Gravitationspotential der Erde. Wiss. Arbeiten der Fachrichtung

241. Vermessungswesen der Universitaet Hannover, Nr. 137, Hannover, 1985.

242. Zhang Z, and Oldenburg D.W. Recovering Magnetic Susceptibility from EM Data over a ID Earth // Geophysical Journal International, 130, No.2, pp 422-434.W