Наилучшая параметризация в задачах приближения кривых и поверхностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Якимович, Анна Юрьевна

• Якимович, Анна Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Якимович, Анна Юрьевна

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ КРИВЫХ

1.1. Постановка задач параметрического приближения кривых

1.2. Полиномиальная интерполяция.

1.3. Сплайн-приближение.

1.4. Параметрические сплайны.

1.5. Интерполяционные кубические параметрические сплайны.

1.6. Составные кривые Фергюсона.

1.7. Параметрические В-сплайны.

1.8. Способы параметризации кривой.

1.9. Наилучшая параметризация в задаче интерполяции кривой

1.10. Среднеквадратичная аппроксимация.

1.11. Наилучшая параметризация в задаче среднеквадратичной аппроксимации кривой.

Глава 2. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

2.1. Параметризация поверхности.

2.2. Классификация методов параметрического приближения поверхностей

2.3. Интерполяция двумерными полиномами.

2.4. Поверхности Кунса.

2.5. Поверхности Фергюсона.

2.6. Параметрические двумерные сплайны.

2.7. Бикубические параметрические интерполяционные сплайны

2.8. В-сплайновые поверхности.

2.9. Наилучшая параметризация в задаче интерполяции поверхности

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Наилучшая параметризация в задачах приближения кривых и поверхностей»

Актуальность темы. Задачи приближения играют исключительно важную роль в современной вычислительной математике, так как идеи приближения лежат в основе многих численных методов (см., например, [3, 5, 6, 56, 59, 70]).

Параметрическое приближение обладает рядом преимуществ по сравнению с традиционным. Параметрические функции позволяют дать простое математическое описание пространственных кривых, кривых и поверхностей, имеющих вертикальные касательные, в том числе замкнутых. Кроме того, параметрический способ задания кривых и поверхностей освобождает от привязки к какой либо определенной системе координат, позволяя наиболее просто осуществлять аффинные преобразования, такие как перенос и вращение. Благодаря данным преимуществам методы параметрического приближения получили широкое применение в компьютерной графике, при программировании станков с числовым управлением и других практических задачах, требующих построения кривых и поверхностей геометрически сложной формы. Достоинства параметрического приближения более подробно обсуждаются в работах [2, 14, 19, 67, 68, 106, 115].

Главной особенностью задач параметрического приближения кривых и поверхностей, как отмечается в [19], является то, что кривые и поверхности бывают заданы совокупностью точек, лежащих на них, а информация о способах параметризации отсутствует.

В задачах приближения кривых необходимо выбрать некоторый параметр и каждой заданной точке поставить в соответствие значение этого параметра. Во многих работах, например [2, 20, 58, 67, 100, 104, 105, 114, 115, 116, 124, 127, 139], при исследовании различных методов параметрического приближения кривых отмечается, что выбор параметра имеет критическое влияние на форму интерполирующей или аппроксимирующей кривой. При неудачном выборе параметра на кривой появляются осцилляции, а в некоторых случаях даже петли. Однако проблема выбора наилучшего параметра в данных работах не рассматривалась.

Для реализации параметрического приближения поверхности необходимо выбрать два параметра, задающих криволинейные координаты на поверхности таким образом, чтобы поверхность отображалась на прямоугольник в плоскости выбранной криволинейной системы координат. Как отмечается в работах [2, 20, 67, 104, 116, 124], выбор таких параметров имеет значительное влияние на форму приближающей поверхности. При неудачном выборе параметров на поверхности появляются нежелательные плоские и складчатые области. Проблема выбора наилучших параметров в задаче приближения поверхностей ни в одной работе не рассматривалась.

Цель и задачи работы. Целью данной работы является развитие общего подхода использования наилучшей параметризации в задачах приближения.

В связи с поставленной целью были решены следующие задачи

1. Сформулировать и доказать необходимые и достаточные условия наилучшей параметризации в задаче интерполяции поверхностей.

2. Сформулировать и доказать необходимые и достаточные условия наилучшей параметризации в задачах интерполяции и среднеквадратичной аппроксимации пространственных кривых.

3. Провести обзор и сравнительный анализ методов параметрического приближения кривых и поверхностей и способов параметризации кривых и поверхностей в задачах параметрического приближения.

4. Разработать алгоритмы и программы, реализующие параметрическое приближение кривых и поверхностей различными методами и с использованием различных способов параметризации. Сравнить результаты численных экспериментов с теоретическими утверждениями.

Методы исследования. В работе используются методы теории приближений, линейной алгебры, математического анализа, вычислительной геометрии.

Для построения кривых и поверхностей использовались методы интерполяции сплайнами, полиномиальной интерполяции и среднеквадратичной аппроксимации.

Доказательство необходимых и достаточных условий наилучшей параметризации основано на методе продолжения решения по параметру, с выбором наилучшего параметра, развитом в работах Шалашилина В.И. и Кузнецова Е.Б. [16, 28-34, 71, 138]. Данный метод применим для построения однопараметрических множеств, таких как решение нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений, задач Коши для ОДУ, краевых задач для ОДУ, дифференциально-алгебраических, функционально-дифференциальных, интегральных уравнений и т.п. При этом наилучшим параметром является длина дуги, вычисляемая вдоль кривой множества решений задачи. В работе [35] идея наилучшей параметризации обобщается на многомерный случай. В работах [32, 71, 138] рассмотрены необходимые и достаточные условия наилучшей параметризации в задачах интерполяции и среднеквадратичной аппроксимации плоских кривых.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия наилучшей параметризации в задаче интерполяции поверхностей. Проведены численные эксперименты, подтверждающие доказанные утверждения.

2. Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия наилучшей параметризации в задаче интерполяции и среднеквадратичной аппроксимации пространственных кривых. Проведены численные эксперименты, подтверждающие доказанные утверждения.

3. Установлена эффективность метода представления аппроксимирующих полиномов в виде линейной комбинации ортогональных полиномов в задаче среднеквадратичной аппроксимации параметрическими полиномами.

Достоверность научных утверждений и выводов подтверждена строгими математическими доказательствами и численными экспериментами.

Практическая значимость работы обеспечивается широким применением параметрического приближения во многих современных практических задачах, требующих построения кривых и поверхностей геометрически сложной формы, например таких, как обводы летательных аппаратов, корпусы судов, кузова автомобилей, лопасти турбин. Параметрическое приближение используется как на стадии проектирования, для визуализации кривых и поверхностей на экране дисплея ЭВМ и подготовки информации для автоматических чертежных устройств, так и на стадии производства, при программировании станков с числовым управлением.

Краткое содержание диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Якимович, Анна Юрьевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Найденные условия наилучшей параметризации, полученные при помощи метода продолжения решения по параметру, показывают, что параметоизаш при которой в качестве параметра принимается длина интерполируемой кривой, является наилучшей. При использовании в качестве параметра длины ломаной получается параметризация близкая к наилучшей, причем для задачи параметрической аппроксимации этот параметр будет наилучшим. В задаче параметрической интерполяции поверхности наилучшая параметризация в каждой точке поверхности будет задаваться длинами дуг, вычисляемых вдоль двух ортогональных кривых, лежащих на поверхности п проходящих через згу точку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Якимович, Анна Юрьевна, 2005 год

1. Айвазов С.Р., Айрапетян Р.Т., Барсуков В.Е., Белкин В.К., Вермель В.Д. Геометрические задачи для двумерных параметрических кубических сплайнов // Труды ЦАГИ, 1995, вып. 2581.

2. Алберг Дж., Нилъсон Э., УолшДж. Теория сплайнов и ее приложения. — М.: Мир, 1972.

3. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров.-М.: Высш. шк., 1994.

4. Ашкеназы В.О. Сплайн-поверхности. Тверь, 1993.

5. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.

6. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973.

7. Бердышев В.И., Субботин Ю.Н. Численные методы приближения функций. — Свердловск: Среднеуральское кн. изд-во, 1979.

8. Брудный Ю.А., Гопетауз И.Е. Приближение кусочно-полиномиальными функциями // Известия АН СССР. Сер. матем., 1963, Т.27, №4, с.723-746.

9. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. — Новосибирск: Наука, 1983.

10. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. -М.: Высш. шк., 2002.13 .Гардан К, Люка М. Машинная графика и автоматизация конструирования. Пер. с франц. М.:Мир, 1987.

11. Ы.Гилой В. Интерактивная машинная графика.—М:Мир, 1982.

12. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. -М.:Наука. Физматлит, 1997.

13. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко B.JI. Методы сплайн-функций. — М.: Наука, 1980.

14. Ю.Завьялов Ю.С., Jleyc В.А., Скороспелое В.А. Сплайны в инженерной геометрии —М.: Машиностроение, 1985.

15. Завьялов Ю.С. Интерполирование кубическими многозвенниками. // В сб.: Вычислительные системы. Новосибирск, АН СССР. Сиб. отд. Ин-т математики, 1970, вып.38, с.23-73.

16. Завьялов Ю.С .Интерполирование бикубическими многозвенниками. // В сб.: Вычислительные системы. Новосибирск, АН СССР. Сиб. отд. Ин-т математики, 1970, вып.38, с.74-101.

17. Завьялов Ю.С. Экстремальное свойство кубических многозвенников и задача сглаживания // В сб.: Вычислительные системы. Новосибирск, АН СССР. Сиб. отд. Ин-т математики, 1970, выл.42, с.89-108.

18. Завьялов Ю.С. Экстремальное свойство бикубических многозвенников и задача сглаживания // В сб.: Вычислительные системы. — Новосибирск, АН СССР. Сиб. отд. Ин-т математики, 1970, вып.42, с.109-158.

19. Игнатов М.И., Певный А.Б. Натуральные сплайны многих переменных. -Ленинград: Наука, 1991.

20. Колмогоров А.Н. О некоторых асимптотических характеристиках вполне ограниченных метрических пространств И Доклады АН СССР, 1956, Т.108,№3,с385-388.

21. П.Корнейчук Н.П., Лушпай Н.Е. Наилучшие квадратурные формулы для классов дифференцируемых функций и кусочно-полиномиальное приближение // Известия АН СССР. Сер. матем. 1969, Т.ЗЗ, №6, 14161437.

22. Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру решения дифференциальных уравнений. М.: Изд-во МАИ, 1997.

23. Кузнецов Е.Б. Наилучшая параметризация при построении кривых // Ж. вычисл. математ. и математич. физики, 2004, Т.44, №9, с.1540-1551.

24. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Параметрическое приближение // Ж. вычисл. математ. и математич. физики, 1994, Т.34, №12, с. 1757-1769.

25. ЪЪ.Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Наилучший параметр продолжения решения // ДАН, 1994, Т.334, №5, с. 566-568.

26. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Наилучший параметр параметрического интерполирования // УМН, 1996, Т.51, вып.2(308), с. 167-168.

27. ЪЪ.Кузнецов Е.Б., Шалашилин В. И. О наилучшей многомерной параметризации//Дифференц. уравнения, 2000, Т.З, №6, с. 841-843.

28. ЪП.Кузнецов Е.Б., Якимович А.Ю. Моделирование кривых параметрическими многочленами по методу наименьших квадратов // Матем. моделирование, 2004, Т. 16, № 6, с.48-51.

29. Кузнецов Е.Б., Якимович А.Ю. Наилучшая параметризация поверхностей // Материалы XII международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. М.: Вузовская книга, 2005, с.263.

30. Кузнецов Е.Б., Якимович А.Ю. Наилучшая параметризация в задачах приближения кривых и поверхностей // Ж. вычисл. математ. и математич. физики, 2005, Т.45, № 5, с.760-774.41 .КурошА.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматлит, 1963.

31. Мамай В.И., Ананченко Т.Н., Кудрина Т.Д., Корнейчук Л.Г. К построению геометрических характеристик поверхности в задачах теории оболочек. Отчет института механики МГУ №3540, 1987.

32. Мамай В.И., Кудрина Т.Д. Об использовании сплайнов в задачах динамики тонкостенных конструкций. Отчет института механики МГУ №2865,1983.

33. Мамай В.И., Кудрина Т.Д. Об одном двухступенчатом методе приближения дифференцируемых функций // В сб.: Задачи механики твердого деформируемого тела. / Под ред. Нетребко. М.:МГУ, 1985, с. 100-107.

34. Мамай В.И., Кудрина Т.Д., Ананченко Т.Н., Корнейчук Л.Г., Кулаков A.A. Сплайн-функции в задачах теории приближений оболочек неканонической формы. Препринт № 7-94. - М.: Изд-во НИИ Механики Моск. ун-та, 1994.

35. Математика и САПР. В 2-х кн. Кн 1. Пер. с франц. / Шенен П, Коснар М, Гардан И. и др. -М.:Мир, 1988.

36. Назаренко H.A. О приближении плоских кривых параметрическими эрмитовыми сплайнами // Укр. мат. журнал, 1979, Т.31, №2, с.201-205.

37. Носач В.В. Решение задач аппроксимации с помощью персональных компьютеров. М.: МИКАП, 1994.

38. Ортега Дж.М., Пул У.Дж. Введение в численные методы для решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986.

39. Павлов H.H., Скороспелое В.А. Моделирование кривых и поверхностей в системе автоматизации геометрических расчетов // Сплайн-функции в инженерной геометрии. Вычислительные системы. Ин-т математ. СО АН СССР. 1989, вып.86, с.44-59.

40. Переверзев C.B. Точные значения приближения эрмитовыми сплайнами на одном классе функций двух переменных // Укр. мат. журнал, 1979, Т.31, №5 с. 510-516.

41. Пирумов A.A. Численные методы. М.:Вагриус, 2004.

42. Попов В.А., Сеидов Б.Х. О классах, характеризуемых наилучшим приближенем сплайн-функциями // Матем. заметки, 1970, Т.8, №2, 137148.

43. Роджерс Д, Адаме Дж. Математические основы машинной графики. -М.: Мир, 2001.

44. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989.

45. СеберДж. Линейный регрессионный анализ. -М.: Мир, 1980.61 .Сендов Б. Хаусдорфовы приближения. София: Болгарская АН, 1979.

46. Снигирев В.Ф. Вычисление параметров срединной поверхности оболочки методами сплайн-функций // Актуальные проблемы механики оболочек. Казанский авиац. ин-т. 1985, с. 113-121.

47. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. -М.гНаука, 1976.

48. Субботин Ю.Н Об одном линейном методе приближения дифференцируемых функций // Математ. заметки, 1970, Т.7, №4, с.423-430.

49. Субботин Ю.Н., Черных Н.И. Порядок наилучших сплайн-приближений некоторых классов функций // Математ. заметки, 1970, Т.7, №1, с.31-42.

50. Треногин В.А. Теорема Люстерника и наилучшая параметризация // Функц. анализ и его приложения, 1998, Т.32, №1. с.87-90.

51. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. -М.: Мир, 1982. б&.Фоли Дж, вэн Дэм А. Основы интерактивной машинной графики. В 2-хкн. Кн.2. М.: Мир, 1985.

52. Форсайт Дж, Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. -М.: Мир, 1980.

53. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука 1972. 1\.Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения попараметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике. М.: Эдиториал УРРС, 1999.

54. Advances in CAD/CAM. / In T.M.R. EUis, O.I. Semencov ed. Amsterdam / New York / Oxford: North-Holland Publishing Company, 1983.

55. Advances in computer-aided manufacture. / In McPher D. son ed. -Amsterdam / New York / Oxford: North-Holland Publishing Company, 1977.

56. AhlbergJ.H., Nilson E.N., Walsh J.L. Convergence properties of generalized splines // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1965, V.54, №2, p.344-350.

57. Atteia M.M. "Spline-Fonctions" généralisées // Comptes Rendys de l'Académie des Sciences. Paris. 1965, V.261, №11,2149-2152.

58. Barnhill R.E. Coons' Patches // Computers in Industry, 1983, V.3, p. 37-43.

59. S3.Barnhill R.E. Computer aided surface representation and design. // in Barnhill R.E., Boehm W. ed.: Surfaces in Computer Aided Geometric Design. -Amsterdam, North-Holland, 1983, p. 1-24.

60. Barsky B.A. End conditions and boundary conditions for uniform B-spline curve and surface representations // Computers in Industry, 1982, V.3, 17-29.

61. Barsky B. A. Computer graphics and geometric modeling using Beta-splines. Springer Verlag, 1988.

62. S6.Bartels R.H., Beatty J.C., Barsky B.A. An introduction to spline for use in computer graphics and geometric modeling. Morgan Kaufmann Publishers, 1987.

63. ButteifieldK.R. Ph. D. Thesis. Brunei University Uxbridge. Middlesex. 1978.

64. Bezier P. Example of an existing system in the motor industry: The UNISURF System // Proc. Roy. Soc. Lond, 1971, A 321, p.207-218.

65. Bezier P. Numerical control: mathematics and applications. London, Wiley, 1972.

66. Bezier P. The mathematical basis of the UNISURF CAD system. London, Butterworth, 1986.9 l.Birkhoff G. Local spline approximation by moments I I J. Math and Mech., 1967, V.16, №9, p.987-990.

67. Birkhoff G., De Boor C. Error bounds for spline interpolation // J. Math and Mech. 1964, V.13, №5, p.827-835.

68. Butzer P.L., Schmidt M, Stark E.L Observations on the history of central B-splines // Archive for history of exact science. 1988, V.39, p. 137-156.

69. Computer language for numerical control. / In Barhnhill R.E. and Riesenfeld R.F. ed. Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1973.

70. Coons S.A. Surfaces for computer aided design. MIT, Mechan. Engin. Department, Design Division, 1964.

71. Coons S.A. Surfaces for computer aided design of space forms. MIT, Project MAC, Report MAC-TR-41, 1967.

72. Cox M.G. The numerical evaluation of B-spline I I Nat. Phys. Lab. England: Teddingston, 1971.

73. Curry H.B., Schoenberg I.J. On Polya frequency functions IV: The fundamental spline functions and their limits // J. Analyse Math. 1966, V.17, p.71-107.

74. De Boor C. On calculating with B-splines // Journal of Approximation theory, 1972, №6 50-62.

75. Epstain M.P. On the influence of parametrization in parametric interpolation // SI AM Journal on Numerical Analysis, 1976, V.13, №2, 261-268.

76. Farin G. Curves and surfaces for computer aided geometric design. A practical guide, third adition. Cambridge, Massachusetts: Academic Press Inc., 1993.

77. Ferguson J.C. Multivariable Curve Interpolation. Report №D2-22504, The Boeing Co., Seattle, Washington, 1963.

78. Ferguson J.C. Multivariable Curve Interpolation // Journal ACM, 1964, V.ll,№2, p.221-228.

79. Foley Th.A. Weighted bicubic spline interpolation to rapidly varying data.// AC M Transactions on Graphics, 1987, V.6, p. 1-18.

80. Foley Th.A, Nielson G.M. Knot Selection for Parametric Spline Interpolation // in Lyche T., Schumaker L.L. ed.: Mathematical Methods in Computer Aided Geometric Design. Academic Press, 1989, p.261-272.

81. Forrest A.R. Curves and surfaces for computer-aided design, Ph. D. Thesis, University of Cambridge, 1968.

82. Forrest A.R. Mathematical Principles for curve and surface representation // Proc. Curved Surfaces Eng., IPC Science and Technology Press, London, 1972, p. 5-13.

83. Forrest A.R. Interactive interpolation and approximation by Bezier polynomials // Computer Journal, 1972, V.15, p.71-79.

84. Gordon W.J. Distributive lattices and the approximation of multivariate functions // in Schoenberg I.J. ed. Approximations with Special Emphasis on Spline Functions Academic Press, New York, 1969, p.223-277.

85. Gordon W.J. Spline-blended surface interpolation through curve networks // J. Math, and Mech., 1969, V.18, №io, p.931-952.

86. Gordon W.J. Blending function methods of bivariate and multivariate interpolation and approximation // SIAM Journal of Numerical Analysis, 1971, V.8, p. 158-177.

87. Gordon W.J., Riesenfeld R.F. B-spline curves and surfaces. In Barhnhill R.E. and Riesenfeld R.F. ed., New York: Academic Press, 1974.

88. Gordon W.J., Riesenfeld R.F. Bernstein-Bezier method for the computer-aided design of free form curves and surfaces // Journal ACM 1974, V.21, №2, p.293-310.

89. Hartley P.J., Judd C.J. Parametrization and shape of B-spline curves for CAD // Computer-Aided Design, 1980, V.12, p.235-238.

90. Hoschek J. Intrinsic parametrization for approximation // Computer Aided Geometric Design, 1988, V.5, p.27-31.

91. Hoschek J., Lasser D. Fundamentals of computer aided geometric design. -Massachusetts, Wellesley: AK Peters Ltd., 1993.

92. Wl.Holladay J.C. A smoothest curve approximation // Math. Tables and Aids Computation., 1957, V.l 1, №60, p.233-243.

93. Kuznetsov E. B., Yakimovich A. Yu. The Best Parameterization for Parametric Splines Interpolation // Lecture Series on Computer and Computational Science, 2004, V.l, p. 1201-1204.

94. Kuznetsov E.B., Yakimovich A.Yu. The best parameterization for parametric interpolation // Journal of Computational and Applied Mathematics (in print).

95. Lee E.T.Y. Choosing nodes in parametric curve interpolation. // Computer-Aided Design, 1989, V.21, p.363-370.

96. Loh R. Convex B-spline surfaces // Computer-Aided Design, 1981, V.13, p.145-149.

97. Mas tin C.W. Parametrization in grid generation I I Computer-Aided Design, 1986, V.18, p.22-24.

98. Melum E. Curve and surface fitting based on variational criterion for smoothness. Central Institute of Industrial Research, Oslo, 1969.

99. Melum E. Non-linear splines // In Barhnhill R.E. and Riesenfeld R.F. ed. Computer Aided Geometric Design New York: Academic Press, 1974.

100. Reinsch C.H. Smoothing by spline functions. I //Numer. Math. 1967, Bd 10, Hft3, s. 177-183.

101. Reinsch C.H. Smoothing by spline fonctions. II // Numer. Math. 1971, Bd 16, Hft 6, s.451-454.131 .Runger C. Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten // ZAMM 1901, №46, s.224-243.

102. Schoenberg I.J. Contributions to problem of approximation of equidistant data by analytic functions // Quart. Appl. Math., 1946, V.4, № 1, c 54-99, №2, 112-141.

103. Schoenberg I.J. Spline interpolation and the higher derivatives // Proc. Nat. Acad. Sei. USA. 1964, V.51, № 1, p. 24-28.

104. Schoenberg I.J., Whitney A. On Pôlya frequence functions. III. The positivity of translation determinants with an application to the interpolation problem by spline curves // Trans. Amer. Math. Soc. 1953, V.74, №2, p.246-259.

105. Schoenberg I.J., Greville T.N.E. On spline functions // In Shisha O. ed.: Inequalities. Academic Press. 1967, p.255-291.

106. Schweikert D.G. An interpolation curve using a spline in tension // Journal Mathematics and Physics. 1966, V.45, p.312-317.

107. Shalashilin V.l., Kuznetsov E.B. Parametric Continuation and Optimal Parametrization in Applied Mathematics and Mechanics. Dordrecht / Boston / London: Kluwer Academic Publishers, 2003.

108. Töpfer H.J. Models for smooth curve fitting // Numerical Methods of Approximation Theory Birkhäuser Verlag, 1982, V.6, p.209-224.

109. Van Rooj P.L.J., Schurer F. A bibliography on spline functions I I II-Natherlands, Technological University Eindhoven, Department of Mathematics, T.H.Report, 73-WSK-01,1973.