Методика проведения спецкурса по геометрии для старшеклассников в условиях личностно-ориентированного обучения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Крайнева, Лариса Борисовна

• Крайнева, Лариса Борисовна
• кандидат педагогических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Крайнева, Лариса Борисовна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Психолого-педагогические аспекты постановки личностноориентированных спецкурсов для учащихся старших классов.

§ 1. История возникновения и развития факультативной формы обучения

§ 2. Различные теории личности.

§ 3. Основные требования к личностно-ориентированному обучению.

§ 4. Цели проведения личностно-ориентированных спецкурсов.

§ 5. Отбор содержания, методов и форм проведения спецкурсов по геометрии, направленных на формирование личности обучаемых.

Выводы по главе I.

ГЛАВА II. Методика проведения личностно-ориентированного курса для учащихся старших классов (на примере темы «Правильные многогранники»).

§ 1. Из истории вопроса о правильных многогранниках.

§ 2. Программа спецкурса «Правильные многогранники» для учащихся старших классов.

§ 3. Основное содержание спецкурса «Правильные многогранники»

1. Общие вопросы, связанные с темой «Правильные многогранники».

2. Теорема Эйлера о выпуклых многогранниках. Следствия из нее.

3. Существование (построение) правильных многогранников.

4. Симметрия правильных многогранников.

5. Объемы и площади поверхностей правильных многогранников.

6. Правильные многогранники и шар.

7. Моделирование многогранников (правильных, полуправильных)

8. Вопросы и задачи по теме «Правильные многогранни

9. Контрольная работа.

10. Контрольный тест.

§ 4. Результаты педагогического эксперимента.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика проведения спецкурса по геометрии для старшеклассников в условиях личностно-ориентированного обучения»

Как известно, радикальные социальные изменения находят свое отражение в целях, задачах, содержании обучения и воспитания подрастающего поколения. Обновление школы происходит согласно принятой в 2002 году Концепции модернизации российского образования. Разработкой ее основных направлений занимаются видные современные ученые: Д.В. Аносов, В.И. Арнольд, В.А. Васильев, Я.И. Кузьминов, B.JI. Матросов, Н.К. Никандров, С.М. Никольский, В.А. Садовничий, И.Б. Федоров и другие.

На смену обществу техногенного типа идет посттехногенное общество, главное отличие которого - изменение отношения к человеку. Если в первом человек - объект, вещь, средство, то во втором он - субъект и главная цель развития. Отсюда - признание прав человека и создание максимальных условий для его развития и самореализации.

Каждому типу общества присуща соответствующая система образования: техногенному обществу - так называемая «традиционная» система образования, а посттехногенному - принципиально новая парадигма образования. В современной педагогической литературе ее называют «личностно-ориентированным образованием», «гуманным образованием».

Важно подчеркнуть, что часто термин «образование» понимается не более чем процесс обучения и воспитания. Такое «узкое» понимание образования не соответствует духу времени и требует переосмысления. Принципиальное отличие состоит, прежде всего, в том, что образование должно рассматриваться как деятельность, цель которой - развитие личности посредством воспитания и обучения.

Главная цель образования - развитие человека. Новое тысячелетие, новый век требуют качественного изменения содержания образования, которое должно соответствовать концепции «нового гуманизма». Заметим, что философы называют XXI в. веком «неогуманизма». Особенность названной концепции заключается в том, что она направлена «не на удовлетворение потребностей (жизнь показала, что стремление наиболее полно удовлетворить потребности человека рано или поздно становится иллюзией), а на развитие возможностей и способностей человеческой личности» - подчеркивал великий гуманист XX в. А. Печчеи. И здесь первостепенную роль должно сыграть образование. Многие отечественные и зарубежные психологи в связи с этим неоднократно отмечали, что образование в демократическом обществе не может быть ничем другим, как помощью каждой личности в том, чтобы она полностью реализовала в себе человеческие качества. Например, А.А. Леонтьев в своих выступлениях и работах постоянно выделял главную задачу общеобразовательной школы - целостное развитие личности школьника, и его подготовку к дальнейшему развитию за стенами школы.

К гуманистической концепции в педагогике относится личностно-ориентированный подход к обучению.

Совокупность теоретических и методологических положений, определяющих современное личностно-ориентированное образование, представлено в работах Е.В. Бондаревской, С В. Кульневича, Т.И. Кульпиной, В.В. Орлова, В.В. Серикова, А.В. Петровского, И.С. Якиманской и других исследователей. Личностно-ориентированный тип образования рассматривается, с одной стороны, как дальнейшее движение идей и опыта развивающего обучения, с другой - как становление качественно новой образовательной системы.

В области математического образования в современных условиях большими возможностями в реализации личностно-ориентированного подхода к обучению обладает, например, такая форма дифференцированного обучения, как факультативные занятия, а также элективные курсы по математике для учащихся старших классов (в дальнейшем будем называть их одним термином «спецкурсы»). И факультативы, и элективы имеют много общего. И то, и другое - это курсы по выбору учащегося. И то, и другое предполагает занятия старшеклассников в малых группах и по интересам, устремлениям, возможностям. Данная форма работы позволяет наиболее полно использовать личностно-ориентированный подход, являющийся основой развивающего обучения, что не всегда возможно на уроках из-за большого количества учащихся и из-за дефицита времени. На спецкурсах существует реальная возможность более широкого использования исторического материала, что позволяет старшеклассникам глубоко проникнуть в мировоззренческий смысл науки. Традиционное включение в содержание спецкурсов нестандартных задач с изящным решением, интересных доказательств, красивых моделей математических объектов способствует формированию эстетического восприятия математики и окружающего мира. Эти занятия - одна из наиболее гибких, в смысле отбора содержания, форм обучения. Это позволяет с их помощью расширить и углубить курс математики старших классов, уделяя большее внимание тем или иным аспектам изучаемого предмета в зависимости от психологических особенностей и индивидуальных наклонностей учащихся классов различных профилей.

Исследованию общих вопросов содержания, организации и проведения факультативных занятий по математике посвящены работы многих ученых: J1.C. Атанасяна, А.А. Болибруха, В.И. Голубева, И. Кадырова, В.М. Монахова, И.М. Смирновой, В.В. Фирсова, И.Ф. Шарыгина, С.И. Шварцбурда и др. Однако в данных исследованиях вопрос реализации личностно-ориентированного подхода к обучению на факультативных, а тем более элективных курсах старших классов различных профилей не ставился и не рассматривался. В нашей работе исследован вопрос о постановке спецкурса (факультатива, электива) по геометрии для учащихся старших классов в условиях личностно-ориентированного обучения.

Среди специальных курсов по математике геометрические спецкурсы в старших классах средней школы по своему содержанию отличаются богатством возможных направлений, важных для образования, воспитания и развития учащихся, то есть для формирования личности старшеклассников. В диссертации представлен спецкурс по одной из центральных тем курса геометрии «Многогранники». Теория многогранников ярко представлена в работах А.Д. Александрова, И.И. Баврина, Н.М. Бескина, Н.П. Долбилина, Л.А. Люстерни-ка, И.Ф. Шарыгина и др., в диссертациях С.В. Воейковой, А.Н. Колобова, О.П. Пензиной, А.И. Поспелова, И.М. Смирновой, М.А. Щукиной и др.

Мы остановили свой выбор на теме «Правильные многогранники» и разработали спецкурс для учащихся старших классов. Прежде всего, это связано с тем, что тема «Правильные многогранники» заключает в себе богатые возможности для решения, как общих образовательных задач, так и задач воспитания и развития школьников. Она имеет яркую историю, содержательную теорию, широкие практические приложения. Тема обладает занимательностью, математической красотой, она тесно связана с другими науками и различными видами искусства.

Все вышесказанное определило тему нашего исследования, его актуальность.

Объектом, исследования является процесс обучения геометрии на старшей ступени общего образования в условиях личностно-ориентированного обучения.

Предметом исследования служат содержание, методы и формы проведения спецкурса по геометрии по теме «Правильные многогранники» в старших классах средней школы.

Научная проблема диссертации состоит в том, чтобы с позиций современной науки исследовать психолого-педагогические и методические закономерности постановки специальных курсов по геометрии для учащихся старших классов в условиях личностно-ориентированного обучения.

Гипотеза исследования заключается в том, что спецкурс «Правильные многогранники», реализующий личностно-ориентированный подход к обучению, будет способствовать формированию личности старшеклассников, а именно, повышению уровня воспитания и развития учащихся, расширению их кругозора, окажет существенное воздействие на повышение качества их знаний по предмету.

Целью исследования является создание научно-обоснованного специального курса по геометрии «Правильные многогранники», реализующего лично-стно-ориентированный подход к обучению.

Реализация поставленной цели потребовала решения ряда конкретных задач, а именно:

1. Определить психолого-педагогические и методические особенности проведения специальных курсов по геометрии в старших классах в условиях личностно-ориентированного обучения.

2. Изучить состояние факультативных занятий по математике в старших классах, степень их соответствия личностно-ориентированному подходу к обучению.

3. Обосновать и разработать методику проведения спецкурса по геометрии по теме «Правильные многогранники», реализующего личностно-ориентированный подход к обучению.

4. Провести педагогический эксперимент с целью разработки содержания и проверки эффективности предложенного спецкурса.

Методологической основой исследования явились современные концепции гуманизации, гуманитаризации, дифференциации, личностно-ориентированного обучения математике, авторами которых являются Н.А. Алексеев, Е.В. Бондаревская, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, В.А. Далингер, Г.В. Дорофеев, И.В. Дробышева, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Т.Н. Миракова, В.М. Монахов, В.В. Орлов, Г.И. Саранцев, И.М. Смирнова, М.В. Ткачева, В.А. Трайнев, Л.М. Фридман, И.С. Якиманская и др.

Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования:

1. Изучение литературы по истории и методологии математики.

2. Анализ психолого-педагогической, учебно-методической и специальной литературы по теме исследования.

3. Изучение и обобщение опыта работы учителей по проведению математических факультативов и спецкурсов.

4. Проведение педагогического эксперимента.

Научная новизна исследования заключается в том, что в нем выявлены особенности и возможности специальных курсов по геометрии в условиях личностно-ориентированного обучения на примере созданного спецкурса «Правильные многогранники». Выделены подходы к отбору содержания, методов и форм проведения специальных курсов для старшеклассников, реализующих личностно-ориентированный подход к обучению.

Теоретическая значимость исследования заключается в выявлении роли геометрических спецкурсов в формировании личности старшеклассников, определении значимости спецкурса «Правильные многогранники» в развитии логического, наглядно-образного и аналитического мышления, пространственных представлений учащихся, в выделении действий и приемов, позволяющих школьникам усвоенные на спецкурсе знания, умения и навыки использовать в самостоятельной исследовательской деятельности.

Практическая значимость исследования определяется тем, что в нем разработаны и проверены: программа и учебные материалы для проведения спецкурса «Правильные многогранники», а также соответствующие методические рекомендации для учителей математики.

На защиту выносятся следующие положения:

• Курсы по выбору как форма обучения обладают рядом особенностей и возможностей, позволяющих максимально эффективно осуществлять лично-стно-ориентированный подход в обучении, лежащий в основе реализации принципа гуманизации образования.

• Психолого-педагогические особенности учащихся старших классов являются основой для определения целей спецкурсов, осуществление которых ведет к формированию всесторонне развитой личности.

• Выделенные подходы к отбору содержания учебного материала, методов и форм проведения спецкурсов по геометрии в старших классах определяют механизм создания спецкурсов для старшеклассников, наиболее полно учитывающих их индивидуальные возможности и потребности в изучении данного предмета, что соответствует личностно-ориентированному подходу к обучению.

Также на защиту выносится методика проведения спецкурса по геометрии по теме «Правильные многогранники» для учащихся старших классов.

Обоснованность и достоверность полученных результатов и выводов обеспечиваются опорой на теории развития личности, концепции личностноориентированного обучения и воспитания, учетом современных достижений в практике методики обучения математике, а также результатами проведенного эксперимента.

Апробация основных положений и результатов настоящего исследования проводилась в форме докладов и выступлений на заседаниях научно-методического семинара методической лаборатории математики Московского института открытого образования (МИОО) (1999 - 2006 гг.), на научно-методической конференции окружных методистов г. Москвы «Актуальные проблемы преподавания математики в школе» (МИОО - февраль 2007 г.), на Научных сессиях МГТГУ (2005, 2006 гг.), на заседании научно-методического семинара кафедры элементарной математики МГТГУ (2007 г.), а также на занятиях курсов повышения квалификации учителей математики профильных и математических классов при методической лаборатории математики МИОО в 2002 - 2007 годах.

Внедрение результатов исследования в практику. Выдвинутые в диссертации положения, методические рекомендации по постановке спецкурсов по геометрии в старших классах, по проведению спецкурса «Правильные многогранники» внедрены в учебный процесс школ № 14, 1131 Западного округа города Москвы. Основные результаты исследования отражены в 12 публикациях.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и двух приложений.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Крайнева, Лариса Борисовна

Выводы по главе I

В настоящее время формирование личности учащегося является глобальной целью образования. С учетом основополагающих принципов образования: «научиться жить вместе; научиться приобретать знания; научиться работать» формируются мировоззренческие установки, определяющие развитие образовательной системы на многие годы вперед.

В связи с этим, реализация профильного обучения - как средства дифференциации и индивидуализации обучения, когда за счет изменений в структуре, содержании и организации учебного процесса более полно учитываются интересы, склонности и способности учащихся, - создает условия для образования старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования. Профильное обучение направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса. При этом существенно расширяются возможности выстраивания учеником собственной, индивидуальной образовательной траектории, что положительно влияет на формирование личности учащегося.

1. Успешное решение задач, стоящих перед школой в современных условиях, невозможно лишь на уроках. К лучшим результатам приводит использование различных форм учебной и воспитательной работы, в том числе и спецкурсы, которые позволяют решать отдельные задачи общеобразовательной средней школы, не нарушая единства:

- обеспечение всестороннего развития личности с учетом индивидуальных особенностей;

- удовлетворение и развитие индивидуальных интересов и склонностей школьников;

- достижение значительного, более высокого уровня подготовки по отдельным предметам, учитывая современные достижения науки и техники;

- подготовка учащихся к сознательному и обоснованному выбору профессии.

2. Личность - это психическая, духовная сущность человека, выступающая в разнообразных обобщенных системах качеств:

- совокупность социально значимых свойств человека;

- система отношений к миру и с миром, к себе и с самим собой;

- система деятельности, осуществляемых социальных ролей, совокупность поведенческих актов;

- осознание окружающего мира и себя в нем;

- система потребностей;

- совокупность способностей, творческих возможностей;

- совокупность реакций на внешние условия и т.д.

Все это образует содержательное обобщение «личность».

3. Главной целью спецкурсов по математике является расширение и углубление знаний, формирование интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей, привитие школьникам интереса к самостоятельным занятиям математикой, воспитание и развитие их инициативы и творчества.

Именно спецкурсы с присущей им спецификой позволяют уделять значительное внимание воспитанию и формированию личности. Здесь имеются большие возможности для творческого усвоения математики и для развития способностей учащихся.

4. XXI век называют веком технологий. Ни одна конкурентноспособная сфера жизни человека сегодня не может обходиться без высоких технологий. Это касается и сферы образования, где технологии должны обеспечивать качество учебного процесса. Современные педагогические технологии должны характеризоваться:

- гуманностью: улучшать качество жизни людей, например, способствовать здоровьесбережению, развитию личности;

- эффективностью: быть результативными, то есть давать гарантированные результаты примерно через пять лет их применения;

- наукоемкостью: иметь серьезное научное обоснование с позиций философии, педагогики, психологии, информатики, системного анализа. Наукоем-кость требует также научного сопровождения в процессе применения технологий, чтобы исключить возможность их искажения;

- универсальность: иметь широкое применение, например одна и та же технология должна быть применима для преподавания разных учебных предметов, должна быть пригодна для разных ступеней обучения, а также для обучения детей с разным уровнем развития;

- интегрированностью: быть взаимосвязанными, взаимообусловленными и тем самым должны дополнять и усиливать друг друга;

- технологичностью: иметь четкий алгоритм (последовательность действий), не допускающий вольного их применения;

- креативностью: несмотря на то, что технологии имеют четкий алгоритм применения, их содержательное наполнение должно носить творческий характер.

В центре данного исследования технология личностно-ориентированного обучения и воспитания, которая, на наш взгляд, отвечает этим характеристикам и актуальна для гуманистического образования.

Эта технология выделена не случайно: она реализует два главных принципа современного образования - принципы гуманизации (установление субъект-субъектных отношений) и гуманитаризации («очеловечивание» содержания образования, с точки зрения актуализации личностных и социальных смыслов). Данная педагогическая технология также способствует эффективной реализации принципа информатизации: она усиливает гуманистическую направленность информационных технологий, ослабляет их технократическую составляющую. В частности, вступая в диалог с технологией личностно-ориентированного обучения и воспитания, информационно-коммуникативные технологии (ИКТ) могут усиливать развитие тех личностных качеств и компетенций, которые заложены в цель урока.

Данная педагогическая технология прошла успешную апробацию во многих школах нашей страны.

Личностно-ориентированное обучение направлено на формирование личности ученика.

Основные требования к личностно-ориентированному обучению:

- ученик учится только через действие;

- ученик имеет свои индивидуальные возможности в учебной деятельности;

- ученик осваивает мир в целостном восприятии;

- ученик учится от другого ученика так же, как и от учителя на уроке (учебном занятии);

- ученик успешен в учении, когд& ему хорошо;

- ученик.успешен в учении, когда его поддерживают и вдохновляют;

- ученик успешен в учении, когда учитель является свободной личностью;

- ученик успешен в учении, когда он здоров.

Сформулированные требования мы постарались реализовать на спецкурсе по геометрии, о котором пойдет речь ниже в следующей главе.

5. Математическое образование предполагает не только развитие личности средствами математики, как часто подчеркивают методисты, но и овладение системой знаний, дающей представление о предмете математики, методах математического исследования, основных понятиях, способах обоснования математических фактов, применении математики в исследовании явлений природы и общества.

Личностно-ориентированное обучение - это не овладение учащимися знаниями, умениями и навыками и подготовка школьников к жизни, а, прежде всего, становление человека, обретение им себя, своего образа, неповторимой индивидуальности, духовности, творческого начала. Цель его - заложить в ребенке механизмы самореализации, саморазвития, саморегуляции и другие, необходимые для формирования самобытной личности, способной к продуктивному взаимодействию с людьми, природой, культурой и цивилизацией.

На сегодняшний день с помощью специальных психолого-педагогических диагностик выявляются индивидуальные особенности ученика, формулируются конкретные цели обучения и составляется индивидуальная программа обучения математике.

При определении конкретных целей необходимо учитывать общие цели обучения и общие цели обучения предмету:

- это результат обучения;

- личность ученика с его особенностями;

- это начальный этап обучения.

Далее необходимо построить путь обучения, развития ученика средствами предмета математики от начального этапа к конечному результату, четко определяя иерархию целей.

6. Программа основного курса математики вместе с программой курсов по выбору по математике для средней школы составляют программу повышенного уровня по данному предмету для учащихся данного класса.

Курсы по выбору включают в себя такое содержание, которое предстоит осваивать школьникам за пределами общеобразовательного стандарта. Оно, как правило, тесно связано с программным, расширяет и углубляет его. По сравнению с другими формами повышенной подготовки учащихся (специальные школы и классы с углубленным изучением отдельных предметов), спецкурсы являются формой, доступной для всех учащихся.

Для решения воспитательных и развивающих задач обучения на спецкурсах с учащимися старших классов необходимо руководствоваться комплексным подходом к обучению. Необходимо, чтобы такой курс был связан с практикой. Учащиеся должны понимать, что изучение в школьном курсе каждого раздела вызвано либо потребностью практического приложения, либо потребностью развития математики и смежных дисциплин. В темах спецкурсов по математике должны сочетаться глубина математических абстракций, высокий научно-теоретический уровень современной математической науки и богатство математических приложений.

Спецкурсы по математике являются естественным полем использования разнообразных методов и приемов обучения в новых, более гибких сочетаниях и в необычных для общего курса математики контекстах.

На основании анализа соответствующих работ, выделены следующие аспекты личностно-ориентированного занятия:

1) Учащиеся должны иметь возможность быстрой перегруппировки рабочих мест.

2) Должен быть выбран оптимальный для данного занятия стиль общения, организовано учебное сотрудничество.

3) Учитель должен уметь разъяснять целевые ориентиры занятия, сделав их личностно значимыми для каждого ученика; использовать технику снятия напряженности; корректировать план занятия с учетом конкретной учебной ситуации.

4) Должны использоваться оптимальные формы введения в новый материал, опирающийся на личный опыт действия, мышления, ощущения учащегося:

- организация самостоятельной работы по опорным и справочным материалам;

- введение нового материала через лидера группы;

- введение нового материала через создание проблемной ситуации.

5) Занятие должно включать в себя различные формы работы и способы получения и усвоения знаний; должны присутствовать элементы взаимо- и самообучения; само- и взаимоконтроля.

6) Этапы работы учащихся над учебной задачей (проблемой) могут варьироваться с учетом учебной ситуации:

- самостоятельная работа с учебной литературой;

- изучение материала внутри групп с использованием внутригруппового контроля (парного или с помощью «сильных» учеников);

- самоконтроль с помощью тестов и др.;

- способы усвоения знаний (через понятие - к практике или через практику к общему понятию) - каждая группа по желанию;

- акцентирование внимания на способах работы с материалом (закрепляется и отрабатывается техника познавательной деятельности).

7) Должно иметь место быстрое реагирование на непонимание и ошибку («скорая помощь» учителя, совместное обсуждение, опоры-подсказки, взаимоконсультации учащихся).

8) Учащиеся должны иметь возможность обмениваться информацией; должна присутствовать свобода слова и мнения, свобода передвижения в классе во время проработки темы.

9) Учитель должен стимулировать само- и взаимооценку, выступая при этом как партнер, его оценочно-аналитическая деятельность должна быть направлена на формирование положительной «Я-концепции».

10) Учащиеся должны иметь возможность оценить занятие, выбрать из него те моменты и формы, которые им понравились, для дальнейшей работы.

11) Занятие должно способствовать сохранению психического и, как следствие, соматического здоровья учащихся.

Сказанное было реализовано на занятиях спецкурса по теме «Правильные многогранники» (разработке которого посвящена вторая глава данного исследования).

Глава II. Методика проведения личностно-ориентированного курса для учащихся старших классов (на примере темы «Правильные многогранники»)

§1. Из истории вопроса о правильных многогранниках

Теория многогранников - один из древнейших разделов математики. Многогранники были известны в Древнем Египте и Вавилоне приблизительно 3000 лет до н. э.

В Древней Греции геометрия, как теоретическая наука, стала складываться приблизительно с VII века до н. э. Большое значение для развития геометрии имели так называемые философские школы, в которых и берет свое начало теория многогранников.

Одной из самых известных школ была Пифагорейская (VI -V века до н. э.), основателем которой был знаменитый Пифагор. Пифагорейцы занимались изучением свойств правильных многоугольников и многогранников. Правильные многогранники использовались ими для философских космологических теорий, согласно которым элементы первоосновы бытия - огонь, земля, воздух, вода имели форму правильных многогранников, соответственно тетраэдра, куба, октаэдра, икосаэдра. Форму додекаэдра имела вся Вселенная.

Другой знаменитой философской школой была школа Платона (V -VI века до н. э.). Ее основатель, Платон, не был математиком и не получил никаких результатов в этой науке, но он любил в своих многочисленных произведениях говорить о математике, в частности, в своем произведении «Тимеи» он изложил учение пифагорейцев о правильных многогранниках, которые поэтому стали называться космическими фигурами или Платоновыми телами [45].

Более поздняя школа - Александрийская, интересна для истории развития многогранников тем, что дала миру трех знаменитых ученых: Евклида, Архимеда, Аполлония.

Евклид (жил около 300 г. до н. э.) - автор известной работы «Начала», состоящей из 13 книг. Книги 11-13 посвящены стереометрии. Книга 11 начинается с 28 определений, среди которых и описательные определения правильных многогранников, например, определение куба: «Куб есть телесная фигура, заключающаяся между шестью равными квадратами» [145]. Последняя 13-я книга, которую историки математики называют «венцом» «Начал», посвящена теории правильных многогранников. Здесь установлено существование пяти видов правильных многогранников путем их построения. Доказывается, что других правильных многогранников не существует. Доказательство опирается на следующее положение: «Всякий телесный угол заключается между плоскими углами, меньшими, чем четыре прямых угла» [145].

Вслед за Евклидом изучением пяти правильных многогранников занимался Архимед (287-212 гг. до н. э.). Убедившись в том, что нельзя построить шестой правильный многогранник, Архимед стал строить многогранники, у которых гранями являются правильные, но не одноименные многоугольники, и в каждой вершине, как и у правильных многогранников, сходится одно и то же число ребер. Так он получил 13 полуправильных многогранников. До нас дошла работа самого ученого «О многогранниках» [17], в которой подробно описаны и даны рисунки 13 таких многогранников, которые, в честь ученого, названы телами Архимеда.

Еще одним крупным ученым этой эпохи, который занимался изучением многогранников, был Аполлоний (около 260-170 гг. до н. э.). Ему принадлежит теорема о том, что отношение объемов октаэдра и икосаэдра равно отношению их поверхностей («Задача Аполлония»).

Итак, к началу нашей эры древние ученые накопили достаточно сведений по теории многогранников, в частности, описали комбинаторные свойства правильных и полуправильных многогранников, знали способы их построения, доказали, что существует не более пяти типов правильных многогранников, знали метрические свойства этих многогранников, использовали многогранники в строительстве и архитектуре.

В средние века (XV-XVI) возрождается интерес к геометрии пространства, в частности, к теории многогранников в кругах скульпторов, архитекторов, художников. Великие А. Дюрер и JL да Винчи занимались изучением многогранников, изображали их на своих полотнах. Так, например, в 1525 году А.

Дюрер написал трактат «Руководство к измерению при помощи циркуля и линейки в линиях, плоскостях и целых телах», в котором рассмотрел пять платоновых тел, поверхности которых служат хорошими моделями перспективы. Далее автор рассмотрел и архимедовы тела и предложил ранее неизвестный способ построения моделей многогранников из разверток, в том числе, сложных многогранников, например, развертку ромбоусеченного кубооктаэдра 166], имеющего шесть восьмиугольных, восемь шестиугольных и двенадцать квадратных граней.

JI. да Винчи - одна из загадок истории. Математика занимала видное место в творчестве ученого и художника. Он изучал симметрию правильных многоугольников и многогранников, изображал многогранники на своих картинах, например, в книге Я. Пачоли «О божественной пропорции», причем сначала изготовил каркасные деревянные модели правильных и полуправильных многогранников. В книге были помещены изображения еще не известных многогранников, в частности, «продолженный октаэдр», который спустя почти сто лет был переоткрыт И. Кеплером и назван им «Stella octangula» (звезда восьмиугольная). Этот многогранник состоит из тетраэдров, вершины которых образуют куб.

Знаменитый И. Кеплер (1571-1630)в начале своего научного пути тоже увлекался правильными многогранниками. Эту тему он развил в пятитомном труде «Гармония мира», в котором изложил свое учение о строении солнечной системы. Модель гелиоцентрической системы мира принесла ученому большой успех. Она получила название «космического кубка», так как состояла из сфер, на которых были расположены орбиты планет, и в которые последовательно вписывались и описывались правильные многогранники [212]. В книге «Тайна Вселенной» есть чертеж, из которого видно, каким он представлял себе механизм, ведающий размещением планет. Вокруг Солнца описана самая большая сфера, по ней движется Сатурн. Теперь в нее надо вписать куб, а в этот куб - снова сферу, которая определит собой орбиту Юпитера. Если в эту меньшую сферу вписать тетраэдр, а в него опять сферу, то получится орбита Марса. Так, следуя Кеплеру, и надо продолжать вписывать в сферы правильные многогранники, а в них - снова сферы. Между Марсом и Землей окажется додекаэдр, между Землей и Венерой - икосаэдр, а Венеру и Меркурий разделяет октаэдр. Точные значения орбит у Кеплера не получались, но он считал, что есть разница между «мыслимой идеей круга и действительным путем планеты», поскольку «небесные движения - произведения не разума, а природы». Поэтому ему пришлось подправлять свою модель - сферы на его чертеже имеют различную толщину. Но все это было бы ничего, если бы не открыли новые планеты, а запас Платоновых тел, разумеется, не пополнился: их, как было, так и осталось пять [45].

И. Кеплер вслед за JL да Винчи открыл многогранник «Stella octangula», который встречается в природе в виде двойного кристалла. Кроме этого Кеплер открыл два правильных звездчатых многогранника - малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр [90].

Современная теория многогранников берет свое начало с работ JI. Эйлера (1707-1783), которые оказали решающее влияние на многие разделы математики. В 1752 году им была доказана ставшая знаменитой теорема о числе граней, вершин и ребер (выпуклого) многогранника, которую историки называют первой теоремой топологии [84]. Последующие ее доказательства и обобщения сыграли существенную роль в развитии теории многогранников, топологии, теории графов.

Первая попытка обобщения теоремы Эйлера на многогранники более сложного вида была предпринята французским математиком и механиком, профессором Политехнической школы J1. Пуансо (1777-1859) в работе «О многоугольниках и многогранниках» [134], в которой заново открыты два правильных звездчатых многогранника Кеплера - малый и большой додекаэдры, а также два новых правильных звездчатых многогранника - большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр (отсюда и название звездчатых многогранников - тела Кеплера-Пуансо). В этой работе поставлен, но не решен вопрос о существовании правильных многогранников, число граней которых отлично от 4, 6, 8, 12, 20.

Ответ на этот вопрос был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком О. Коши (1789-1857) в работе «Исследование о многогранниках» [108]. В ней доказывается, что не существует других правильных многогранников, кроме перечисленных Пуансо. Автор приходит к выводу, что правильные звездчатые многогранники получаются из правильных многогранников путем продолжения их граней или ребер; исследуется вопрос, из каких именно правильных многогранников могут быть получены правильные звездчатые многогранники; Делается вывод о том, что тетраэдр, куб или октаэдр не имеют звездчатых форм, додекаэдр имеет три, а икосаэдр - одну звездчатую форму.

Среди последних достижений в области теории многогранников можно назвать работу академика А.Д. Александрова «Выпуклые многогранники» [4], в которой дано стройное, систематическое изложение всей теории выпуклых многогранников, основные ее результаты к середине прошлого столетия, показано богатство содержания и связей теории многогранников, ее геометрических методов. В книге содержится целый ряд результатов, опубликованных впервые. Каждая глава содержит параграф, называемый «Обобщения», в котором формулируются нерешенные перспективные проблемы.

Теория многогранников нашла отражение в школьном преподавании геометрии, начиная с первых учебников по геометрии в России конца XVIII - начала XIX века, на которые большое влияние оказали «Начала» Евклида. В них был заключен значительный материал по теории многогранников, особенно правильных. Тема «Многогранники» прочно заняла место во всех учебниках геометрии. Начал складываться определенный круг вопросов по ней: определение многогранника, простейшие виды выпуклых многогранников - призмы, пирамиды, правильные многогранники, измерения площадей их поверхностей и объемов.

В современных учебниках геометрии тема «Многогранники» является одной из центральных тем курса стереометрии, однако, материал данной темы несколько сокращен по сравнению с учебниками прошлых периодов: не рассматриваются невыпуклые многогранники, полуправильные, правильные звездчатые многогранники, сокращен материал о правильных многогранниках, не нашли отражение многие интересные факты теории многогранников (за исключением учебников для математических классов А.Д. Александрова и др. и учебников В.А. и И.М. Смирновых). В учебниках геометрии для старшеклассников не представляется возможным в полной мере использовать богатые возможности содержания темы «Многогранники». Это может быть сделано в системе школьных факультативов и элективов (спецкурсов).

§ 2. Программа спецкурса «Правильные многогранники» для учащихся старшей школы

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Крайнева, Лариса Борисовна, 2007 год

1. Александров А.Д. и др. Геометрия: учебник для 11 класса школ с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 2005.

2. Атанасян J1.C. и др. Геометрия: учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2000.

3. Баврин И.И., Садчиков В.А. Новые задачи по стереометрии: Фигуры вращения правильных многогранников. -М.: Владос, 2000.

4. Веннинджер М. Модели многогранников. М.: Мир, 1974.

5. Волошинов А.В. Математика и искусство. М.: Просвещение, 2000.

6. Волошинов А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. М.: Просвещение, 1993.

7. Глейзер Г.И. История математики в школе. IX-X классы. М.: Просвещение, 1983. С. 171,172.

8. Долбилин Н.П. Жемчужины теории многогранников. М.: МЦНМО, 2000.

9. Крайнева Л.Б. Построение правильных многогранников с использованием куба. // Математика в школе. № 2. - 1994. С. 54-56.

10. Крайнева Л.Б. Задачи по теме «Правильные многогранники». // Математика в школе. -№ 5. - 1994. С. 54-55.

11. Левитин К. Геометрическая рапсодия. М.: Знание, 1984.

12. Литвиненко В.Н. Геометрия, 11: Учебное пособие. М. Вербум-М, 2003.

13. Матиясевич Ю. Модели многогранников // Квант. 1978. - №1. - С. 8-17.

14. Погорелое А.В. Геометрия, 10-11: учебник для общеобразовательных учреждений. -М.: Просвещение, 2003.

15. Смирнова КМ. В мире многогранников: Книга для учащихся. М.: Просвещение, 1995.

16. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия, 10-11: учебник для общеобразовательных учреждений. -М.: Мнемозина, 2006.

17. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Изображение пространственных фигур: Элективный курс для 10-11 кл. М.: Мнемозина, 2007.

18. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Компьютер помогает геометрии. М.: Дрофа, 2003.

19. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Многогранники: Элективный курс для 10-11 кл. М.: Мнемозина, 2007.

20. Шарыгин И.Ф. Геометрия, 10-11: Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Дрофа, 2004.§ 3. Основное содержание спецкурса «Правильные многогранники»

21. Общие вопросы, связанные с темой «Правильные многогранники»

22. Но прежде чем начать изучение этой темы, необходимо рассмотреть некоторые определения основных понятий, связанных с правильными многогранниками.

23. Отрезок, который соединяет две вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

24. Уточним понятие тела и связанных с ним понятий.

25. Объединение ограниченной пространственной области и ее границы называется телом. Границу тела иначе называют его поверхностью, а фигуру, состоящую из внутренних точек данной фигуры его внутренностью.

26. Шаром с центром О и радиусом г называется фигура, состоящая из всех точек пространства, расстояние от каждой из которых до точки О не больше г (г> 0)).

27. Границей фигуры называется фигура, состоящая из всех точек пространства, для каждой из которых произвольный шар с центром в этой точке содержит как точки, принадлежащие данной фигуре, так и точки, не принадлежащие ей.

28. Фигуру называют ограниченной, если существует шар, содержащий эту фигуру.

29. Многогранник называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками он содержит и соединяющий их отрезок.

30. Повторить определения двугранного угла, многогранного угла; свойства трехгранного угла).1. Вопросы и задачи

31. Приведите примеры пространственных областей.

32. Назовите примеры предметов и объектов в окружающей обстановке, которые имеют форму многогранника.

33. Приведите примеры выпуклых и невыпуклых многогранников.

34. Может ли невыпуклый многоугольник быть гранью выпуклого многогранника?

35. Докажите, что, если многогранник лежит целиком по одну сторону от плоскости любой своей грани, то он выпуклый (свойство выпуклого многогранника).

36. Какое наименьшее число ребер может иметь многогранник?

37. Какое наименьшее число многогранных углов может иметь многогранник?

38. Задачи для самостоятельной работы

39. Сколько ребер может сходиться в вершине многогранника?

40. Приведите примеры веществ, изученных в курсе химии, кристаллы которых имеют форму многогранников.

41. Сколько трехгранных углов имеет: а) тетраэдр; б) параллелепипед; в) четырехугольная пирамида?

42. Индивидуальное задание Подготовить сообщения (доклады): «Из истории открытия правильных многогранников», «Пифагор и пять стихий мироздания».1. Рис. 1 Рис. 2

43. Теорема Эйлера о выпуклых многогранниках.1. Следствия из нее

44. Между числом вершин В, числом граней Г и числом ребер Р любого выпуклого многогранника существует простая зависимость, впервые (около 1620 г.) установленная Р. Декартом и позднее (в 1752 г.) заново открытая Я. Эйлером.

45. Т е о р е м а (Эйлера о выпуклых многогранниках). Сумма числа вершин В и граней Г выпуклого многогранника на две единицы больше числа его ребер Р: В + Г = Р + 2.

46. Выбор такой точки S можно осуществить следующим образом. Рассмотрим все грани многогранника, примыкающие к

47. Наглядно можно представить себе грань а в виде окошка, через которое просматривается внутренность многогранника М. Если многогранник выпуклый, то можно встать настолько близко к окошку, чтобы была видна вся внутренность многогранника.

48. Проектируя из точки S на грань а все остальные грани многогранника, получим на грани а некоторую сеть многоугольников. На этой сети каждой вершине многогранника соответствует один и только один узел, каждому ребру один и только один отрезок.

49. Вычислим теперь двумя различными способами сумму всех плоских углов многогранника.

50. Ad (В + 2d {к - 2). К этой сумме надо прибавить еще сумму углов грани а, т.е. 2d (к - 2). Таким образом, сумма всех плоских углов многогранника оказывается равной:• Z = 4d(B-k) + 4d(k-2) = 4d(B-2). (1)

51. Эту же сумму можно вычислить иным путем. Пусть грани многогранника занумерованы, и грань с номером / имеет г1 ребер.1. Тогда, очевидно,

52. Y = 2d{rl-2) + 2d(r2-2)+.+ 2d(rr-2) = 2d(rl+r2+. + rr) 4с/Г.

53. Но каждое ребро лежит в двух гранях, так что в нашем расчете каждое ребро было учтено дважды, т.е. г\ + гг + . + гг = 2Р.

54. Поэтому I = 2d -2Р 4dr = 4d (Р - Г). (2)

55. Из (I) и (2) непосредственно следует:4d (В 2) = 4с/ (Р - Г).т.е. В + Г = Р + 2, что и требовалось доказать.

56. Теперь перейдем к рассмотрению выпуклых правильных многогранников.

57. Определение. Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

58. Обозначим число ребер многогранника, лежащих в одной грани, через п, а число ребер, сходящихся в одной вершине, через т. Выясним, какие правильные многоугольники могут являться гранями правильных многогранников.

59. Сумма плоских углов любого многогранного угла меньше 2ж, поэтомутт(п- 2) 2т 2 2---<2тг, откуда п<-= —— <—тг = 6, т.е.п /и — 2 ^1 — —m 3гранями могут служить только правильные треугольники, квадраты или правильные пятиугольники.1. Ttttl

60. Пусть п = 3, тогда — < 2п, откуда m < 6, т.е. w = 3, 4, 5.

61. Пусть и = 4, тогда ^~-<2п, откуда m < 4, т.е. m = 3.

62. Пусть и = 5, тогда < 2п, откуда m < у, т.е. m = 3.

63. Из рассмотрения случаев 1) 3) видим, что может существовать не более 5 видов правильных многогранников: их существование доказывается построением.

64. Наконец, используя случаи 1) 3) и формулы (3) - (5), можно составить итоговую таблицу 2: